(()a ))(4 = (()a ))(⋅⋅⋅⋅(()a ... - kk.s.bw.schule.de · 80 Maurer: Mathe macht Spaß 55...

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80 Maurer: Mathe macht Spaß 5 5 5 P P o o t t e e n n z z r r e e c c h h n n e e n n u u n n d d P P o o t t e e n n z z f f u u n n k k t t i i o o n n e e n n 5 5 5 . . . 1 1 1 P P o o t t e e n n z z r r e e c c h h n n e e n n D D e e f f i i n n i i t t i i o o n n e e n n Für natürliche Hochzahlen gilt: a n = a ... a n mal Für n = 0 gilt: a 0 = 1 Für ganze Hochzahlen gilt: n n a 1 a = Für gebrochene Hochzahlen gilt: n n 1 a a = bzw: p q q p a a = a p q = q a p Bezeichnungen: a n heißt Potenz a ist die Basis oder Grundzahl n ist der Exponent oder die Hochzahl V V o o r r b b e e r r e e i i t t u u n n g g d d e e r r P P o o t t e e n n z z g g e e s s e e t t z z e e u u n n d d M M o o t t i i v v a a t t i i o o n n d d e e r r D D e e f f i i n n i i t t i i o o n n e e n n M M u u l l t t i i p p l l i i k k a a t t i i o o n n v v o o n n P P o o t t e e n n z z e e n n m mi i t t g g l l e e i i c c h h e e r r H H o o c c h h z z a a h h l l : : a a a a a a a 2 3 = 5 2 3 a a = = + Hochzahlen addieren D D i i v v i i s s i i o o n n v v o o n n P P o o t t e e n n z z e e n n m m i i t t g g l l e e i i c c h h e e r r H H o o c c h h z z a a h h l l : : a a a a a a a a a a 1 2 3 2 3 = = = / / / / = Hochzahlen subtrahieren 0 3 3 3 3 a a 1 a a a a a a a a = = = / / / / / / = . Also ist es sinnvoll: 1 a 0 = zu definieren. 1 4 3 4 3 a a a 1 a a a a a a a a a = = = / / / / / / = Also ist es sinnvoll: a 1 a 1 = zu definieren. P P o o t t e e n n z z i i e e r r e e n n v v o o n n P P o o t t e e n n z z e e n n : : ( ) ( )( )( )( ) a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 3 3 3 4 3 = = 12 4 3 a a = = Hochzahlen multiplizieren. (1) a c = heißt (2) a c 2 = (2) in (1) eingesetzt: ( ) 1 2 a a a = = . Also ist es sinnvoll 2 1 a a = zu definieren, denn dann gilt ( ) a a a a a 1 2 2 1 2 2 1 2 = = = =

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80 Maurer: Mathe macht Spaß

555555555555 PPPooottteeennnzzzrrreeeccchhhnnneeennn uuunnnddd PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn

555555555555............111111111111 PPPooottteeennnzzzrrreeeccchhhnnneeennn DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnneeennn Für natürliche Hochzahlen gilt: an = a ... a

n mal Für n = 0 gilt: a0 = 1

Für ganze Hochzahlen gilt: nn

a1a =−

Für gebrochene Hochzahlen gilt: nn

1

aa = bzw:

p qqp

aa = apq = q ap

Bezeichnungen: an heißt Potenz a ist die Basis oder Grundzahl n ist der Exponent oder die Hochzahl

VVVooorrrbbbeeerrreeeiiitttuuunnnggg dddeeerrr PPPooottteeennnzzzgggeeessseeetttzzzeee uuunnnddd MMMoootttiiivvvaaatttiiiooonnn dddeeerrr DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnneeennn

MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr HHHoooccchhhzzzaaahhhlll::: aaaaaaa 23 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ 523 aa ======== ++++ Hochzahlen addieren DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr HHHoooccchhhzzzaaahhhlll:::

aaaaa

aaaaa 123

2

3

============////⋅⋅⋅⋅////

////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅==== −−−− Hochzahlen subtrahieren

0333

3

aa1aaaaaa

aa ============

////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////==== −−−− .

Also ist es sinnvoll: 1a0 ==== zu definieren.

1434

3

aaa1

aaaaaaa

aa −−−−−−−− ============

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////====

Also ist es sinnvoll: a1a 1 ====−−−− zu definieren.

PPPooottteeennnzzziiieeerrreeennn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn::: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) aaaaaaaaaaaaaaaaa 333343 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 1243 aa ======== ⋅⋅⋅⋅ Hochzahlen multiplizieren. (1) ac ==== heißt (2) ac2 ====

(2) in (1) eingesetzt: (((( )))) 12aaa ======== .

Also ist es sinnvoll 21

aa ==== zu definieren, denn dann gilt

(((( )))) aaaaa 12212

21

2============

====

⋅⋅⋅⋅

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5. Potenzfunktionen 81

PPPooottteeennnzzzgggeeessseeetttzzzeee MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn///DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss wwweeerrrdddeeennn mmmuuullltttiiipppllliiizzziiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn aaaddddddiiieeerrrttt...

(1) an • am = an + m PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss wwweeerrrdddeeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssuuubbbtttrrraaahhhiiieeerrrttt...

(2) an : am = an - m PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeemmm EEExxxpppooonnneeennnttt wwweeerrrdddeeennn mmmuuullltttiiippplll iiizzziiieeerrrttt,,, iiinnndddeeemmm mmmaaannn dddiiieee BBBaaassseeennn mmmuuullltttiiipppllliiizzziiieeerrrttt uuunnnddd dddaaasss EEErrrgggeeebbbnnniiisss pppooottteeennnzzziiieeerrrttt...

(3) an • bn = (a b)n PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeemmm EEExxxpppooonnneeennnttt wwweeerrrdddeeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt,,, iiinnndddeeemmm mmmaaannn dddiiieee BBBaaassseeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt uuunnnddd dddaaasss EEErrrgggeeebbbnnniiisss pppooottteeennnzzziiieeerrrttt...

(4) an :bn = n

ba

PPPooottteeennnzzzeeennn wwweeerrrdddeeennn pppooottteeennnzzziiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee EEExxxpppooonnneeennnttteeennn mmmuuullltttiiippplll iiizzziiieeerrrttt...

(5) ( ) mnmn aa ⋅= FFFaaauuussstttrrreeegggeeelllnnn:::

••• PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt nnneeegggaaatttiiivvveeennn HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssiiinnnddd eeeiiigggeeennntttllliiiccchhh BBBrrrüüüccchhheee...

••• PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggeeebbbrrroooccchhheeennneeennn HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssiiinnnddd eeeiiigggeeennntttllliiiccchhh WWWuuurrrzzzeeelllnnn...

••• PPPaaassssssiiieeerrrttt eeeiiinnneee PPPooottteeennnzzz eeeiiinnneeennn BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhh,,, dddaaannnnnn ääännndddeeerrrttt dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhlll iiihhhrrr VVVooorrrzzzeeeiiiccchhheeennn...

� Beispiel

65

54

4223

531

4223

531

4213

5432

xayb

xayb

xxaaybb

yxbayxba ============ ++++++++

++++

−−−−

−−−−−−−−

oder a-5 b4 x-6 y

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111::: Vereinfachen Sie

a) 2n

n22

222−−−−

⋅⋅⋅⋅ b) 2

3nn3

842 ++++⋅⋅⋅⋅ c) 3

3

2

aa

aa ⋅⋅⋅⋅

d) xxxxx

3

23

2

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ e)

02

3

43

3

2

ba

ab

ba

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

f)

n6n12

23

32

⋅⋅⋅⋅

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...222::: Fassen Sie zusammen: a) 5 • 2n + 3 • 2n b) 5 • 3n - 1 + 4 • 3n-1 c) 21• 5n-4 + 54 • 5n-4 d) 6 • 2n + 5 • 2n+1 e) 200 • 5k+1 - 3 • 5k+3 f) 90 • 3p-2 - 3p

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...333:::::: Multiplizieren Sie aus: a) (2x - 7xp+1)2 b) (x2p - y2q) (x2p + y2q) c) (4an + 9bn)2

d) (p6 - q7)2

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...444::: Multiplizieren Sie aus: a) (a2p +ap bp + b2p) (ap - bp); b) (x2p - 3 xp yq + 3 y2q) (xp + 3 yq);

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82 Maurer: Mathe macht Spaß

c) (a4p-a3p+a2p-ap+1)(ap+1) d) (((( ))))32 1x −−−−

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...555::: Faktorisieren Sie: a) x12 - y8 b) x8 – 32 x4y3 + 256 y6 c) x2m - y2n d) 4 tn+3 - tn-1 e) t4p - 12 t2p + 36 e) e2x - 1

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...666::: Faktorisieren und kürzen Sie

a) 34

56

xxxx

++++++++ b) n1n

n2n2

axaxa

−−−−−−−−

++++ c) 49y

49y14ym2

mm2

−−−−++++++++

d) 1qq1q

2q1q

z16z8zz4z

−−−−++++

−−−−−−−−

++++−−−−−−−−

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...777::: a)

nn2 4x

b)

0

nn4

n3

aba

− c) m

nn ma

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...888::: Berechnen Sie ohne GTR die exakten (d.h. Wurzeln stehen lassen) Funktionswerte der Funktion f für f(x) =2x für x=-2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1, 5; 2.

555555555555............222222222222 PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn vvvooommm TTTyyyppp fff(((xxx))) === aaa xxxnnn,,, nnn ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈

IIINNN,,, nnn >>> 111

Wir kennen bereits drei Funktionen der Bauart

f(x) = a xn, mit einer natürlichen Zahl n als Hochzahl:

Für n = 0 erhält man f(x) = a, also eine konstante Funktion. Für n = 1 erhält man f(x) = a x, also eine lineare Funktion, das Schaubild ist eine Ursprungsgerade. Für n = 2 erhält man f(x) = a x2, also eine quadratische Funktion, das Schaubild ist eine Parabel, die ab sofort Parabel zweiter Ordnung heißt.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...999::: Betrachten Sie mit dem GTR die Schaubilder der Funktion f1(x) = x3; f2(x) = x4; f3(x) = x5; f4(x) = x6

f1(x) = x3 f2(x) = x4

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5. Potenzfunktionen 83

f3(x) = x5 f4(x) = x6

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111000::: Lesen Sie aus den beiden folgenden Koordinatensystemen die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Verschiebungsform ab, wie Sie es von den Parabeln (2. Ordnung) her kennen.

f g h k

l m n o

Dario Simon

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84 Maurer: Mathe macht Spaß

ZZZuuusssaaammmmmmeeennnfffaaassssssuuunnnggg

Die Schaubilder der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN, n>1, kann man in 2 Gruppen einteilen:

y = x6

y=x4

y=x2

y = x5

y = x7

y = x3

nnn gggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg::: Sie ähneln der Normalparabel. S( 0 | 0 ) ist ihr Scheitel. Je größer n, � desto enger schmiegt sich die

Kurve in der Nähe von x = 0 an die x-Achse an,

� an der Nullstelle hat sie keinen Vorzeichenwechsel, � desto steiler wächst / fällt sie

für x → ± ∞

nnn uuunnngggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg::: Sie kommt von unten, schmiegt sich in O( 0 | 0 ) an die x-Achse an und geht dann nach oben. Der Ursprung ist kein Scheitelpunkt mehr, sondern ein Wendepunkt. Je größer n, � desto enger schmiegt sich die

Kurve in der Nähe von x = 0 an die x-Achse an,

� an der Nullstelle hat sie einen Vorzeichenwechsel,

� desto steiler wächst sie für x → ± ∞

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5. Potenzfunktionen 85

VVVeeerrrsssccchhhiiieeebbbuuunnngggsss---fffooorrrmmm

f(x) = a (x - x0)n + y0 Wie bei der quadratischen Funktion gilt: a bestimmt die Dehnung/Stauchung in y-Richtung a < 0 bedeutet Spiegelung an der x-Achse

x0 bedeutet die Verschiebung nach rechts/links (x-Richtung) y0 bedeutet die Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung)

Die Schaubilder aller dieser Funktionen f heißen PPPaaarrraaabbbeeelllnnn nnn---ttteeerrr OOOrrrdddnnnuuunnnggg.

� Beispiel: a) Skizzieren Sie die Parabel 4. Ordnung mit der Gleichung

f(x) = ( ) 32x31 4 +−− .

b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen?

Lösung:

OOOhhhnnneee GGGTTTRRR

MMMiiittt GGGTTTRRR

a) Die Parabel mit y = x4 wird an der x-Achse gespiegelt, mit Faktor 1/3 getaucht, um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. b) Schnitt mit x-Achse: OOOhhhnnneee GGGTTTRRR Ansatz: f(x) = 0

( ) 32x31 4 +−− = 0

( ) 92x 4 =−

x - 2 = ± 4 9 = ± 3 x1 = 3 , x2 = - 3 N1,2(2±±±± 3 |||| 0000

))))

Schnitt mit der y-Achse: Ansatz: x = 0, f(0) =37− , d.h. Sy(0 |

37− )

Schnitt mit x-Achse: Ansatz: f(x) = 0 Menü Graph. G-Solve. Root N1(0,27 I 0 ), N2(3,73 I 0 ) Schnitt mit der y-Achse: Ansatz: x = 0 Menü Graph. G-Solve. Y-ISPT

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111111::: Skizzieren Sie die Parabeln a) ( ) ( ) 12xxf 3 +−= b) ( ) ( ) 41x2xf 4 +−−=

c) ( ) ( ) 33x91xf 3 +−= d) ( ) ( ) 42x

41xf 4 −−=

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111222::: a) Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung f(x) = ( ) 21x41 3 ++− .

b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? (GTR) c) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit y = - x+1 die Parabel. (GTR) d) Verschieben Sie die Parabel aus dem a)-Teil um 2 Einheiten nach rechts und um 3 nach unten. Welche Gleichung hat die entstehende Kurve?

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111333::: a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel 4-ter Ordnung, deren Scheitel auf der Geraden x = 3 liegt und die durch die beiden Punkte A(2|2,5) und B(5|10) geht. (Ohne GTR) b) Skizzieren Sie diese Parabel.

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86 Maurer: Mathe macht Spaß

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111444::: Lesen Sie aus dem beiden folgenden Koordinatensystem die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Verschiebungsform ab

555555555555............333333333333 PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn vvvooommm TTTyyyppp fff(((xxx))) === aaa xxx---nnn ,,, nnn ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈

IIINNN,,, nnn ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 111

Auch die Funktionen mit f(x) = nx1 , n ∈ IN, n ≥ 1 kann man nach ihren

Schaubildern in zwei Gruppen einteilen.

y = 3x1 y = 4x

1

y = x1 y = 2x

1

Gemeinsame Eigenschaften: Alle Schaubilder bestehen aus zwei Teilen, die wir Äste nennen. Bezeichnung der Schaubilder: HHHyyypppeeerrrbbbeeelllnnn Die x-Achse ist AAAsssyyymmmppptttooottteee , d.h. die Hyperbel schmiegen sich für x → ± ∞ an die x-Achse, genauer für x → ± ∞ gilt f(x) → 0. Die y-Achse ist ebenfalls AAAsssyyymmmppptttooottteee , d.h. die Hyperbel schmiegen sich für x → 0 an die y-Achse, genauer für x → 0 von rechts oder von links gilt f(x) → ± ∞.

f1 f2 f3 f4 f5 f6

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5. Potenzfunktionen 87

Bei senkrechten Asymptoten spricht man auch von PPPooolllsssttteeelllllleeennn . x = 0 ist bei all diesen Funktion Polstelle kurz Pol.

nnn uuunnngggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg

x = 0 ist Pol mit Vorzeichen-wechsel, d.h. der eine Ast der Kurve schmiegt sich nach oben, der andere nach unten an die y-Achse an. Die Kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemeinsame Punkte P( 1 | 1 ), Q(- 1| - 1 )

nnn gggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg x = 0 ist Pol ohne Vorzeichen-wechsel, d.h. beide Hyperbel-äste schmiegen sich nach oben an die y-Achse an. Die Kurve ist achsen-symmetrisch zur y-Achse. Gemeinsame Punkte P( 1 | 1 ), Q(- 1| 1 )

VVVeeerrrsssccchhhiiieeebbbuuunnngggsss---fffooorrrmmm

(((( )))) 0n0

yxx

a)x(f ++++−−−−

====

a bestimmt die Dehnung/Stauchung in y-Richtung a < 0 bedeutet zusätzliche Spiegelung an der x-Achse

x0 bedeutet die Verschiebung nach rechts/links (x-Richtung) y0 bedeutet die Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung)

Die Schaubilder aller dieser Funktionen f heißen Hyperbeln. � Beispiel a) Skizzieren Sie die Hyperbel mit der Gleichung f(x) = 3

2x1 ++++−−−−

−−−− .

b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? Lösung:

a) Die Hyperbel mit y = x1 wird

an der x-Achse gespiegelt, um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Damit hat die Hyperbel die beiden Asymptoten y = 3 und x = 2. b) Schnitt mit x-Achse: Ansatz: f(x) = 0

32x

1 ++++−−−−

−−−− = 0

3 = 2x

1−−−−

⇒ x - 2 = 31

x = 312 , d.h. N

0

312

Schnitt mit y-Achse: x = 0 f(0) = 3,5, d.h. Sy(0 | 3,5 ).

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111555 a) Skizzieren Sie die Hyperbel mit der Gleichung f(x) = ( )

21x

141

3 ++

b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? c) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit y = - x + 1 die Hyperbel? d) Verschiebe die Hyperbel aus dem a)-Teil um 2 Einheiten nach rechts und um 3 nach unten. Welche Gleichung hat die entstehende Kurve?

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88 Maurer: Mathe macht Spaß

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111666 a) Bestimme die Gleichung der Hyperbel der Form f(x) = a (x-x0)-2+y0,

deren Asymptotenschnitt auf der Geraden x = 3 liegt und die durch die beiden Punkte A( 1 | 3 ) und B( − 1 | 3,75 ) geht. b) Skizziere diese Hyperbel. c) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111777 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 12x

1 +−

− .

Ihr Schaubild sei K. Skizziere K und spiegle K dann an der Geraden y = 2. Gib die Gleichung der entstehenden Kurve an.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111888 Gegeben ist die Funktion g mit ( )( )

21x

1xg 2 +−

−= .

a) Die Asymptoten von K, y = 2 und x = 1, bilden zusammen mit den Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt S(u | v ) auf der Kurve K ( u > 1 ) ein Rechteck. Zeichne K und zeichne auch das Rechteck für u = 2,5 ein. b) Gib eine Formel für den Inhalt A(u) des Rechtecks an. c) Gib eine Formel für das Volumen V1(u) des Zylinders an, der bei der Rotation des Rechtecks um die Asymptote y = 2 entsteht. d) Gib eine Formel für das Volumen V2(u) des Zylinders an, der bei der Rotation des Rechtecks um die Asymptote x = 1 entsteht.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111999 Gib die Gleichungen der folgenden Kurven an:

Da unten kommt noch Meer, ähh ich meine noch mehr.

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5. Potenzfunktionen 89

EEEIIINNNIIIGGGEEE AAANNNWWWEEENNNDDDUUUNNNGGGSSSAAAUUUFFFGGGAAABBBEEENNN

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222000 Ein Skifahrer fährt einen Abhang hinunter, der die Form einer Parabel 3. Ordnung von der Bauart f(x) = a x3 hat. Die Strecke hat auf halber Höhe eine Stelle, auf der die Piste einen kurzen Augenblick waagrecht ist. Der Höhenunterschied beträgt 400 m. Der Abstand zwischen Start- und Zielpunkt beträgt per Luftlinie 500 m. Gib die Gleichung der Kurve an, auf der der Skifahrer unterwegs ist.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222111 Auf einer kreisförmigen Grundrissfläche mit dem Durchmesser d = 10 m soll ein h = 6 m hohes Gewölbe erstellt werden. Für den senkrechten Schnitt stehen als Profile Parabeln der Form y = a xn mit n = 2, 4 oder 6 zur Auswahl.

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222222 Eine Seilbahn führt über einen kleinen Hügel. Das Seil der Sessel-Bahn liegt auf der Kurve mit der Gleichung f(x) = 0,5 x2 – 3 x + 8. Das Hügelprofil lässt sich durch g(x) = -x2 +3x+1 beschreiben. An welcher Stelle wird es kritisch für den Sessel?

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222333 Ein drehsymmetrischer Kühlturm ist 100 m hoch. Die Skizze zeigt einen vertikalen Schnitt längs der Rotationsachse (Maßangaben in 10 m). Im ersten Feld wird die Begrenzung der Schnittfläche im Innern des Turms beschrieben durch das Schaubild K der

Funktion f mit (((( ))))cx

axf−−−−

==== . K

verläuft durch P( 2 I 4 ) und endet in Q( 4 I 0,8 ).

a) Bestimmen Sie f(x). Welchen Innendurchmesser hat der Turm in 100 m Höhe? b) Wie entsteht die linke innere Begrenzungslinie aus K. Welche Gleichung hat sie?

AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222444 Gegeben ist die Kurve K, die Schaubild

der Funktion f mit f(x) = x2 ist.

Der Punkt P( u I v), u > 0, liegt auf der Kurve. Die Parallelen zu den Koordinaten-achsen durch P bilden zusammen mit den Asymptoten ein Rechteck.

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks für jeden Punkt P gleich ist.