Koordinatensysteme (Angabe von Positionen und Richtungen im Raum)

a) geradlinige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige jeweils mit dem Punkt P(3;2)

Kartesisches Koordinatensystem (orthogonales Koordinatensystem, dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand)

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten : Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich

als Transformation zu kartesischen Koordinaten. Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall x<0 ist π, und für x>0,y<0 sogar 2π zu diesem Winkel zu addieren.

Zylinderkoordinaten

x = r cos φ, y = r sin φ z = h Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten:

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen:

Vektorraum, Vektoren (mathematische Struktur zur Angabe von Koordinaten)

Rechnen mit Vektoren: Addition:

Streckung:

Skalarprodukt:

Betrag von Vektoren:

Winkelberechnung (zwischen 2 Vektoren):

aus :

folgt: Kreuzprodukt: (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) Produkt zweier Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum, ist in kartesischen Koordinaten ebenfalls ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms der beiden Vektoren) Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

Die 3 Komponenten des Kreuzproduktes lauten:

Orientierung des Koordinatensystems und des Kreuzproduktes:

Rechte-Hand-Regel !!! Spreizen Sie die ersten drei Finger Ihrer rechten Hand. Kraft der Rechten-Hand-Regel wird Ihr Daumen zur x-Achse, der rechtwinklig zum Daumen abstehende Zeigefinger zur y-Achse und der Mittelfinger zur z-Achse. Von entscheidender Bedeutung ist die Stellung des Mittelfingers. Er zeigt in die positive z-Richtung. Wie auch immer Sie nun Ihre rechte Hand mit den gespreizten Fingern verdrehen, durch die Rechte-Hand-Regel ist immer die positive Richtung der z-Achse eindeutig bestimmt.

Rechte-Daumen-Regel Zur Rechten-Hand-Regel gesellt sich die Rechte-Daumen-Regel. Hintergrund dieser Regel ist die Frage "Welche Drehrichtung ist positiv, welche negativ?" Ebenfalls mit der rechten Hand läßt sich nämlich jede positive Drehrichtung auch im verdrehten Raum ganz einfach bestimmen: Formen Sie Ihre rechte Hand so, als wollten Sie als Anhalter ein Auto stoppen. Greifen Sie nun nach der Drehachse, so daß der Daumen in die positive Richtung der Achse zeigt dann weisen die restlichen Finger in Richtung des mathematisch positiven Drehsinns.

Für Einheitsvektoren gilt:

Wichtige Eigenschaften des Kreuzproduktes:

Sind die Vektoren und parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor. Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Es gelten zwei Distributivgesetze:

und

. Ferner gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:

λ sei aus . Für das Quadrat der Norm erhält man:

Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren, eine Kombination von Kreuzprodukt und Skalarprodukt, ist die Größe des orientierten Volumens des Spats, der durch die drei Vektoren aufgespannt wird. Das Spatprodukt ist gegeben durch:

Für eine 3×3-Matrix berechnet man die Determinante: det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Matrix (Anordnung von Zahlen in Tabellenform)

oder Matrizenaddition

Skalarmultiplikation mit Matrizen

Matrizenmultiplikation Rechenbeispiel:

Drehmatrix Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im euklidischen Raum beschreibt. Die Drehung kann entweder ein Objekt (eine Figur, einen Körper) bezüglich einem festgehaltenen Koordinatensystem oder das Koordinatensystem selbst bewegen. In der Ebene wird die Drehung um den Ursprung um den Winkel α entgegen dem Uhrzeigersinn realisiert durch die Matrix:

angewandt auf einen Vektor.

Funktion: Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen y:=f(x) als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

„Funktion f von A nach B“ : Lineare Funktion:

Potenzfunktion

Polynom

Wurzelfunktion

oder allgemeiner Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen, es gilt

Exponentialfunktion In der Mathematik wird als Exponentialfunktion zur Basis a > 0 eine Funktion der Form bezeichnet. In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; von daher auch die Namensgebung.

e-Funktion: (Exponentialfunktion)

= exp (x)

Eulersche Zahl Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte Euler’sche Zahl e = 2,718281828459... ist eine irrationale (und sogar transzendente) reelle Zahl.

die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion:

Logarithmus Logarithmieren zu einer Basis ist die Umkehrung des Potenzierens einer Basis und entspricht der Suche nach dem Exponenten (nach der Hochzahl).

logb : Logarithmus zur Basis b ln : Logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur

Basis e, der Eulerschen Zahl ld : logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder

dyadischer oder binärer Logarithmus log : In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen

Anwendungen (so z.B. bei Taschenrechnern) für den dekadischen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Trigonometrische Funktion

, , Aus diesen Beziehungen folgt unmittelbar die Beziehung:

Die Ankathete des Winkels ist gleichzeitig die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels β des rechtwinkligen Dreiecks; da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, und der rechte

Winkel 90° zu dieser Summe beiträgt, ist dieser Winkel und daher

Graphen von Kosinus und Sinus

Graphen von tan und cot

Winkelbeziehungen

´

Wichtige Funktionswerte

Additionstheoreme

Differentialrechnung

Sekantensteigung =

Ableitung = Schreibweisen in der Physik:

ffdx

dxf

dx

d

dx

xdf

dx

fd ′==== )()(

Zeitableitungen :

ffdt

dtf

dt

d

dt

tdf

dt

fd •

==== )()(

Partielle Ableitungen : Die partielle Ableitung setzt eine Funktion voraus, die von mehreren Parametern abhängt. Als Beispiel wird die Funktion f(x,y): = x2 + y2 betrachtet, die von den beiden Parametern x und y abhängt. Betrachtet man den Parameter y als eine Konstante, z.B. y = 3, so hängt die Funktion f(x,3) nur noch von dem Parameter x ab:

f(x,3) = x2 + 9 = g(x) Für die neue Funktion g(x) = x2 + 9 kann man den Differenzialquotienten bilden:

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x bildet:

Die partielle Ableitung von f(x,y) nach y lautet entsprechend:

Dieses Beispiel demonstriert wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Parametern abhängt:

Bis auf einen Parameter werden alle anderen Parameter als konstant angenommen, bezüglich dieses einen Parameters wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach diesem einen Parameter.

Fehlerrechnung / Fehlerfortpflanzung (wichtig für das physikalische Praktikum!)

Mehrfache Ableitungen Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein. Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts x(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die

Beschleunigung. Aus der Physik kommt die Schreibweise )(tx•

, (Sprich: x Punkt), für die 1.

Ableitung einer beliebigen Funktion nach der Zeit, )(tx••

(Sprich: x 2 Punkt), für die 2. Ableitung nach der Zeit.

Berechnung von Minima und Maxima: Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich unter anderem bei monotonen Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, im folgenden werden jedoch nur zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir das Polynom

Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x) .

Integralrechnung Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen. Einfache Integrale:

Mehrfachintegrale:

Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation. Um dies zu präzisieren wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist f eine Funktion, so heißt eine Funktion F eine Stammfunktion von f, wenn die Ableitung von F gleich f ist:

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a,b], und ist F eine Stammfunktion von f, so gilt

Die rechte Seite wird oft abkürzend als:

oder oder geschrieben. Unbestimmtes Integral Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von f(x) bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist F(x) eine Stammfunktion, so schreibt man häufig:

Partielle Integration Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet:

Beispiel:

Setzt man

und

so ist

und und man erhält

Variablensubstitution (Beispiel: Volumenintegrale)

Bsp.: Zylinderkoordinaten

Koordinatentransformation:

Volumenelement :

Bsp.: Kugelkoordinaten

Koordinatentransformation:

Volumenelement :

Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Differentialgleichungen Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:

• in der Physik verschiedene Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,

• in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,

• in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln, • in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen, • in der Elektrotechnik das Verhalten von Netzwerken mit energiespeichernden

Elementen. Um eine Differenzialgleichung zu lösen, muss eine Funktion y gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiel unten). Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab – z. B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert. Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung

dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung

worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen. Die Haupttypen von Differentialgleichungen

• gewöhnliche Differentialgleichungen: In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf

• partielle Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs): In der

Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf.