A x Rx 0 ,B x Rx > 1 C x R0 x 1 A B A B C A C A...

Mathematik 2, Übungen, Joachim Schneider 3. September 2009 1

Aufgabe 1: Es sei in der folgenden Aufgabe R die Menge der reellen Zahlen, alsodie Punkte auf der Zahlengerade; darauf wird später noch genauer eingegangen.

Es seien

A = {x ∈ R|x ≤ 0}, B = {x ∈ R|x > 1}

und

C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}.

Bestimmen Sie A ∩ B, A ∪ B ∪ C, A \ C und B \ C (aus [7]).

Aufgabe 2: Es seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Aus-drücke (aus [7]):

(a) A ∩ A;

(b) A ∪ ∅;

(c) A ∩ (A ∪ B);

(d) A ∩ (B \ A);

Aufgabe 3: Veranschaulichen Sie das Distributivgesetz

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).

Aufgabe 4: Veranschaulichen Sie die Formel

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).

Aufgabe 5: Wir betrachten die Funktion y = x2 auf verschiedenen Definiti-onsbereichen. Ermitteln Sie jeweils ob die Abbildung injektiv oder surjektiv ist.Falls die Abbildung injektiv und surjektiv (also bĳektiv) ist, bestimmen Sie dieUmkehrabbildung. Mit R bezeichnen wir die reellen Zahlen, mit R

+0 die positiven

reellen Zahlen mit Einschluß der Null.


(a) f : R → R, x 7−→ x2,

(b) f : R → R+0 , x 7−→ x2,

(c) f : R+0 → R, x 7−→ x2,

(d) f : R+0 → R

+0 , x 7−→ x2.

Aufgabe 6: Herr Moosbacher hat ein Kleiderproblem. Er besitzt 3 Jacken, 4Hosen und 3 Krawatten und möchte an keinem Tag im Monat gleich gekleidet imBüro erscheinen. Ist das möglich?

Aufgabe 7: Beim 11er-Fußballtoto entscheidet man sich bei jedem der 11 Tippsfür eine der drei Möglichkeiten 0, 1 oder 2 (Unentschieden, X gewinnt, Y gewinnt).Wie viele verschiedene Tipps könnte man abgeben?

Aufgabe 8: Beim Lotto 6 aus 49 kreuzt man 6 von 49 Zahlen an. Wie vieleverschiedene Tipps könnte man abgeben?

Aufgabe 9: Wie oft kann man die vier Buchstaben a, b, c und d ohne (mit)Buchstabenwiederholungen zu einem 4-buchstabigen “Wort” zusammensetzen?

Aufgabe 10: Geben Sie eine Abzählung der ganzen Zahlen Z an!

Aufgabe 11: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen:

(a) 5 − 3(a − 2),

(b) 5 − (a − 2) − 3,

(c) 3ab − 2(7ac − 5ba),

(d) y − 3(x − y),

(e) x − (a − (x − y)) + a,

(f) −2zx + (6ya + 2xz).

Aufgabe 12: Schreiben Sie die folgenden Summen als Produkt, in dem Sie allegemeinsamen Terme ausklammern (Faktorisieren)

(a) ax + ay,

(b) x(a + b) − y(a + b),

(c) a(u − v) + b(v − u),

(d) (x − y)(3a + b) − (2a − b)(x − y)

Aufgabe 13: Multiplizieren Sie aus

(a) (x + y)(x − y),


(b) (b − a)(a − b),

(c) (x − y)(x2 + xy + y2),

(d) a(4a − b)(3b − a).

Aufgabe 14: Leiten Sie durch Ausmultiplizieren die binomischen Formel her für

(a) (a + b)3,

(b) (a + b)4,

(c) (a + b + c)2.

Aufgabe 15: Addieren Sie die folgenden Brüche

(a) 14

+ 19

+ 115

+ 116

,

(b) 518

− 3−a24

+ a30

,

(c) 2x− 1

3x+ 1

x+1,

(d) abcd

+ xyuv

,

(e) 1x− 1

x−2.

Aufgabe 16: Schreiben Sie mit nur einem Bruchstrich

(a) abcd

· xyuv

,

(b) abcd

· x+yu+v

,

(c) 41

a+ 1

b

,

(d) 3ba− a

b

.

Aufgabe 17: Kürzen Sie die folgenden Brüche, wenn dies möglich ist

(a) a2b2ab

,

(b) a2ba2+a

,

(c) a2ba2+b

,

(d) a2ba2b+b

,

(e) a+ba−b

,

(f) a+bb+a

,

(g) a−bb−a

,

(h) a+bb2+a2 ,


(i) a+bb2−a2 ,

(j) (a+b)2

a2−b2,

(k) (a+b)2

a2+b2,

(l) uva· a2u

v,

(m) u2−v2

2mn3 · abm2n2(u+v)

.

Aufgabe 18: Faktorisieren Sie

(a) 2ax − 2ay + bx − by − cx + cy,

(b) axnd − axnc + abnd − abnc.

Aufgabe 19: Fassen Sie zusammen 3u2v3 − 5u3v2 + 8v3u2 − 2u3v2 + 9uv3.

Aufgabe 20: Schreiben Sie als Dezimalzahl (ohne Taschenrechner lösen):

(a) 210,

(b) 213,

(c) 2−3,

(d) 5−2,

(e) 81

3 ,

(f) 161

2 .

Aufgabe 21: Schreiben Sie als Zehnerpotenz der Einheit m (die einzige Ziffervor dem Komma soll keine Null sein)

(a) 0.048mm,

(b) 37451km,

(c) 0.4256cm.

Aufgabe 22: Beseitigen Sie die negativen Exponenten:

(a) a−3,

(b) a2b−1,

(c) a−3/b−5.

Aufgabe 23: Schreiben Sie mit einem Exponenten (a > 0, b > 0):

(a) a4b4,


(b) a29

b29,

(c) a√

a,

(d) b2 3√

b,

(e)√

a3,

(f)3√

a5,

(g) ( 3√

a)5,

(h) 3√

a 5√

a.

Aufgabe 24: Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (a > 0, b > 0) — BeachtenSie, daß x und y sowohl negativ als auch positiv sein können und daß die n-teWurzel einer (nicht negativen) Zahl r als die positive Lösung x der Gleichungxn = r definiert ist; verwenden Sie den Betrag einer Zahl.

(a)√

4a2b3,

(b) 4√

x2y4,

(c)√

a2 + b2,

(d)√

a2 + 2ab + b2,

(e)√

a2 − 2ab + b2.

Aufgabe 25: Wann ist y = 3x− 3

x2 negativ?

Aufgabe 26: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen

(a) 23− 1

2x < 1

3x − 1

2,

(b) 1 − 34x ≥ −1

2,

(c) 9x2 − 25 < 0,

(d) x2 − 8x + 8 > 1.

Aufgabe 27: Bestimmen Sie folgende Logarithmen:

(a) log2(16),

(b) log3(27),

(c) log5(√

5),

(d) log5(1/5),

(e) log2(1/4),

(f) 10log10(8),


(g) 3log3(5).

Aufgabe 28: Bestimmen x in:

(a) 3x = 5,

(b) 4x = 8,

(c) 5x = 2,

(d) 2x = 0.2.

Tipp: beide Seiten zur Basis 10 logarithmieren. Ermitteln Sie gegebenenfalls dennumerischen Wert mit dem Taschenrechner. Machen Sie die Probe.

Aufgabe 29: Formen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze um:

(a) loga(x2y3

u4v),

(b) loga(4√

a3),

(c) loga(u) − 2 loga(v) + 4 loga(z),

(d) loga(x3)

loga( 4√

x).

Aufgabe 30: Wenn eine Volkswirtschaft jedes Jahr um 3 Prozent wächst, wannhat sie sich dann verdoppelt?

Aufgabe 31: (a) Wie muß man E wählen, damit sich 9w2 − 480w + E alsQuadrat schreiben läßt? E ist die quadratische Ergänzung. Tipp: Binomi-sche Formel!

(b) Lösen Sie mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Gleichung x2+6x−5 =0.

Aufgabe 32: Bestimmen Sie den Parameter t so, daß die Gleichung 2x2+4x = tgenau eine Lösung hat.

Aufgabe 33: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Scheitert derBeweis von „2n + 1 ist für alle n ≥ 100 eine gerade Zahl“ am Induktionsanfang,am Induktionsschritt oder an beidem?

Hinweis: Überprüfen Sie, ob sich der Induktionsschritt vollziehen lässt, ob alsoaus der Ungeradheit von 2n + 1 auch die Ungeradheit von 2(n + 1) + 1 folgenwürde. Ist die Aussage für n = 100 wahr?


Aufgabe 34: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Siemittels vollständiger Induktion für alle natürlichen n:

n∑

k=1

(2k + 1) = n (n + 2)

Hinweis: Das Vorgehen erfolgt analog zu dem für die arithmetische Summenfor-mel.

Aufgabe 35: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Beweisen Siefür n ∈ N≥2:

n∏

k=2

(k − 1) = (n − 1)!

Hinweis: Induktionsbeweis mit Induktionsanfang bei n = 2 oder Beweis perIndexverschiebung.

Aufgabe 36: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die ersten 6 Glieder derdurch u0 = 1 und un+1 := 1

2(un + x

un) rekursiv definierten Folge für

(a) x = 1,

(b) x = 1/2,

(c) x = 4,

(d) x = 2

und vergleichen Sie die sich ergebenden Werte mit√

x

Aufgabe 37: Untersuchen Sie die Folgen (an), (bn), (cn) und (dn) mit den untenangegebenen Gliedern auf Konvergenz.

an =n2

n3 − 2bn =

n3 − 2

n2

cn = n − 1 dn = bn − cn

Hinweis: Formen Sie die Ausdrücke so um, dass in Zähler und Nenner nur be-kannte Nullfolgen oder Konstanten stehen und wenden Sie die Rechenregeln an.


Aufgabe 38: Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (xn), falls dieserexistiert:

(a) xn =1 − n + n2

n(n + 1)

(b) xn =n3 − 1

n2 + 3− n3(n − 2)

n2 + 1

(c) xn =√

n2 + n − n

(d) xn =√

4n2 + n + 2 −√

4n2 + 1

Hinweis: Kürzen Sie höchste Potenzen in Zähler und Nenner. Bei (b) könnenSie xn/n

2 betrachten. Bei Differenzen von Wurzeln führt das Erweitern mit derSumme der Wurzeln zum Ziel.

Aufgabe 39: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie die Menge M aller x ∈ I, für die die Reihen

(a)

( ∞∑

n=0

(sin 2x)n

)

I = (−π, π),

(b)

( ∞∑

n=0

(

x2 − 4)n

)

I = R

konvergieren.

Aufgabe 40: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wir betrach-ten ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a. Nun wird ein neues Dreieck kon-struiert, dessen Seiten genauso lang sind, wie die Höhen des ursprünglichen Drei-ecks. Dieser Vorgang wird iterativ wiederholt.

Bestimmen Sie den Gesamtumfang und den gesamten Flächeninhalt all dieserDreiecke.

Hinweis: Bestimmen Sie Umfang und Flächeninhalt der ersten drei oder vierDreiecke und versuchen Sie ein Schema zu erkennen.

Aufgabe 41: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Eine Aufgabefür die Weihnachtszeit: Eine Gruppe von Freunden möchte eine Weihnachtsfeierveranstalten. Dafür werden 5 Liter Glühwein gekauft. Die 0.2-Liter-Becher stehenbereit, und es wird rundenweise getrunken. Die Freunde sind aber vorsichtig, dahertrinken sie nur bei der 1. Runde einen ganzen Becher, in der 2. Runde nur nocheinen halben, danach einen viertel Becher, usw.


Wie groß muss die Gruppe mindestens sein, damit alle 5 Liter Glühwein ver-braucht werden? Wie viele Runden müssen bei dieser minimalen Zahl von Freun-den getrunken werden?

Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe.

Aufgabe 42: Aufgabe: Zeichnen Sie dazu ein Diagramm, in dem auf der x-Achsen und auf der y-Achse un aufgetragen wird.

Aufgabe 43: Berechnen Sie folgende Logarithmen:

(a) log2 8

(b) log214

(c) log21√2

(d) log3 81

(e) log9 3

(f) log4 0.5

Aufgabe 44: Berechnen Sie mit dem oben angegebenen Algorithmus für ganz-zahlige Division mit Rest 9 : 4. Gehen Sie den Algorithmus Schritt für Schrittdurch und geben Sie die jeweiligen Werte von a, b, x und r an.

Aufgabe 45: Warum ist das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade?

Aufgabe 46: Fassen Sie folgende Ausdrücke zu einem Bruch zusammen undvereinfachen Sie soweit wie möglich:

(a) A0 = x+a4π

+ a−22y

− xyπy

,

(b) A1 = 1x+1

− 1x+2

+ 1x+3

,

(c) A2 = π2/cab

/bcπxab

.

Aufgabe 47: Bei Hintereinanderschaltung zweier Widerstände R1 und R2 istder Gesamtwiderstand Rges = R1 + R2, bei der Parallelschaltung von Wider-ständen gilt für den Gesamtwiderstand Rges, 1

Rges= 1

R1+ 1

R2. Ermitteln Sie den

Gesamtwiderstand der unten stehenden Schaltung:

________ ________

------|__R1__|------|__R3__|------

___| |___

| ________ ________ |

------|__R2__|------|__R4__|------


Aufgabe 48: Weisen Sie die Dreiecksungleichung für den Betrag nach, indemSie die vier Fälle

(i) x ≥ 0, y ≥ 0

(ii) x < 0, y < 0

(iii) x ≥ 0, y < 0

(iv) x < 0, y ≥ 0

gesondert untersuchen. Hinweis: In den Fällen (iii) und (iv) wird noch eine weitereFallunterscheidung nötig sein.

Aufgabe 49: Beweisen Sie, daß keine rationale Zahl l existiert, die die Gleichungl3 = 2 erfüllt, indem Sie so wie in der Vorlesung vorgehen.

Aufgabe 50: Man ermittle die Lösungsmenge folgender Ungleichungen:

(a) 3 − x < 4 − 2x,

(b) ||x| − |−5|| < 1,

(c) 6x2−13x+6 < 0; Hinweis: Verwenden Sie die quadratische Ergänzung oderzerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren (rechnerische Methoden) oderfertigen Sie eine Skizze von y = 6x2 − 13x + 6 an (zeichnerische Methode).

(d) 3−x1+x

> 1; Hinweis: Fallunterscheidung.

Aufgabe 51: Berechnen Sie√

3 mit dem in der Vorlesung dargestellten Iterati-onsverfahren mit einer Genauigkeit von 2 Dezimalstellen.

Aufgabe 52: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·

Aufgabe 53: Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe

1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + · · ·

Aufgabe 54: Berechnen Sie bis auf zwei Dezimalstellen genau die Fläche desQuadrates über der Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1.0.

Aufgabe 55: Berechnen Sie folgende Dualzahlen:

(a) III00

(b) I0I0I0.I0I0


Aufgabe 56: Geben Sie die Dualdarstellung von 13 an.

Aufgabe 57: Geben Sie die Dualdarstellung von 0.7 an.

Aufgabe 58: Geben Sie die Dualdarstellung von 10.7 an.

Aufgabe 59: Wandeln Sie den unendlichen Dezimalbruch 3.12678678678 · · · ineinen Bruch um.

(*)Aufgabe 60: Begründen Sie die folgenden Aussagen über die trigonometri-schen Funktionen (Winkelfunktionen) durch geeignete Betrachtungen am Ein-heitskreis — Verwenden Sie also die oben gegebene Definition der trigonometri-schen Funktionen durch die Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis (machenSie entsprechende Zeichnungen!):

(a) sin(−x) = − sin(x)

(b) cos(−x) = cos(x)

(c) sin(x + π/2) = cos(x)

(d) cos(x + π/2) = − sin(x)

(e) cos(x + π) = − cos(x)

(f) sin(x + π) = − sin(x)

(g) sin(x + 3π/2) = − cos(x)

(h) cos(x + 3π/2) = sin(x)

(i) sin(x ± n2π) = sin(x)

(j) cos(x ± n2π) = cos(x)

(k) sin2(x) + cos2(x) = 1

(l) sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√

2

(m) sin(π/3) =√

3/2, cos(π/3) = 1/2. Anleitung: Konstruieren Sie ein geeig-netes gleichseitiges Dreieck im ersten Quadranten, verwenden Sie dann denSatz des Pythagoras und den Satz über die Winkelsumme im Dreieck.

(n) sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −1

(o) cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1, cos(3π/2) = 0

(p) −1 ≤ sin(x) ≤ 1, −1 ≤ cos(x) ≤ 1

(q) Für kleine |α| gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1.


(r) Unter Verwendung des für |x| ≪ 1 gültigen Näherungsausdrucks für√1 + x nämlich

√1 + x ≈ 1 + x/2i und von Teil (0.60.k) zeigem Sie, daß

“für kleine x” cos(x) ≈ 1 − x2/2 gilt.

Aufgabe 61: Berechnen Sie exaktii das Resultat der Drehung um α = 45o desQuadrates X1(1,−1), X2(3,−1), X3(3, 1), X4(1, 1); skizzieren Sie das Quadratund das gedrehte Quadrat.

(*)Aufgabe 62: Für die durch Gleichung ?? beschriebenen aktiven Drehungengilt offensichtlich, daß eine Drehung um den Winkel α + β denselben Effekt hatwie zwei hintereinander ausgeführte Drehungen mit den Winkeln α bzw. β.

Betrachtet man also den Punkt X = (1, 0) auf dem Einheitskreis, so entstehtdaraus durch Drehung um den Winkel β der Punkt X ′ = (cosβ, sin β) auf demEinheitskreis. Dreht man nun diesen Punkt X ′ weiter um den Winkel α so entstehtder Punkt X ′′ = (x′′, y′′) = (cos(α + β), sin(α + β)) auf dem Einheitskreis.

Andererseits können die Punkte X ′ und X ′′ nach Gleichung ?? berechnet werden:

X → X ′ Drehung um β

X ′ → X ′′ Drehung um α

Berechnen Sie auf diese Weise den Punkt X ′′ und setzen Sie das Ergebnis mitX ′′ = (x′′, y′′) = (cos(α + β), sin(α + β)) gleich. Sie erhalten so ein neues Gesetzfür die trigonometrischen Funktionen!

Aufgabe 63: Gegeben sei folgende Situation: OC = 2cm, OA = 4cm, AC =3.2cm Gesucht sind die Strecken OD und BD.

iDieser Ausdruck ergibt sich als erstes Folgenglied in obiger Iterationsvorschrift zur Bestim-mung der Wurzel

iianalytisch, also insbesondere ohne Rechner


Aufgabe 64: In einem rechtwinkligen Dreieck mit c als Hypotenuse sind gege-ben: Die Länge der Seite b = 9cm sowie q = 12cm. Bestimmen Sie die Länge derübrigen Seiten.

Aufgabe 65: Aus einem Kreis mit Radius 3cm wird ein Sektor mit dem Öff-nungswinkel 74o ausgeschnitten. Wie lang ist der Bogen des Sektors und wie großist der Öffnungswinkel im Bogenmaß; wie groß ist die Fläche des Sektors?

Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Bogenmaße der Winkel 30o, 45o, 60o, 90o, 120o,135o, 150o, 180o in Bruchteilen von π.

Aufgabe 67: Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck aus Aufgabe 0.64.

Aufgabe 68: Eine Seilbahn überwindet auf einer Strecke von 350m (längs desSeils gemessen) den Höhenunterschied von 260m. Wie groß ist der Steigungswin-kel?

Aufgabe 69: Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Parallelogramm, wenndie Grundlinie AB = 8cm, der Winkel bei B mit 42o und die Länge der von Aausgehenden Diagonalen mit 12.5cm angegeben ist.

Aufgabe 70: Eine regelmäßige quadratische Pyramide habe die Grundkantea = 4cm und die Seitenkante s = 8cm. Berechnen Sie ihre Höhe, ihr Volumenund ihre Oberfläche.

Anmerkung: Für das Volumen verwenden Sie die für jeden Kegel mit beliebigerGrundfläche gültige Formel Grundfläche×Höhe/3, die man sich durch Zerlegungin zur Grundfläche parallele Scheiben klarmachen kann.

Aufgabe 71: Führen Sie folgende Divisionen aus:

(a) (24x3 + 50x2 + x − 30) : (2x + 3)

(b) (3x2 − 5x + 8) : (x − 2)


(c) (x3 − y3) : (x − y)

Aufgabe 72: Bestimmen Sie Q:

(a) (x3 − y3) = Q(x − y)

(b) Q : (u2 + v) = u2v − 2

(c) (a5 − b5) : (a − b) = Q

Aufgabe 73: Bestimmen Sie zeichnerisch die Umkehrfunktion(en) zu y = x2.

Aufgabe 74: (Aus [?]) Gegeben ist die Funktion y = f(x) = 1/(1 + x), D =R \ {−1}.

(a) Skizzieren Sie die Funktion.

(b) Bestimmen Sie B = f(D).

(c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Aufgabe 75: Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden y = ax + b durch diePunkte P1(x1, y1) und P2(x2, y2).

Aufgabe 76: (Aus [?]) Man bestimme die Gleichung der Parabel mit der Ach-se parallel zur y-Achse, die durch die Punkte P1(3, 7), P2(5, 9) und P3(−2, 4)?Anleitung: eine solche Parabel hat die Form y = a + b(x − c)2. Lösung: y =0.0571x2 + 0.543x + 4.857.

Aufgabe 77: (Aus [?]) Wie lautet die Gleichung der Parabel aus Aufgabe (0.76),wenn die Achse der Parabel als parallel zur x-Achse vorgegeben ist? Anleitung:eine solche Parabel hat die Form x = a + b(y − c)2. Lösung: x = −1.333y2 +3.13y − 12.40.

Aufgabe 78: (Aus [?]) Der Scheitelpunkt der Wurfparabel y = x tan α −[g/(2v2

0 cos2 α)]x2 ist zu berechnen. Dabei ist α der Abwurfwinkel gegen die Waag-rechte, v0 die Anfangsgeschwindigkeit und g = 9.81m

s2 die Fallbeschleunigung.

Lösung: Scheitel v20

2g(sin(2α), sin2(α)). Wurfweite: xW = (v2

0/g) sin(2α).

Aufgabe 79: Aus ([?]) Die Druckverteilung in der Atmosphäre bis zu h = 11kmHöhe kann durch die Funktion

p

p0

=

(

31km − h

31km + h

)2

beschrieben werden (p0 Bodendruck, p Luftdruck in der Höhe h). Man zeichne einDiagramm. In welcher Höhe beträgt der Druck die Hälfte des Bodendrucks?


Aufgabe 80: In welchen Punkten schneiden sich der Kreis x2 +y2 = 25 und dieHyperbel x2

4− y2

9= 1?

Aufgabe 81: Es ist die Gleichung tan α = 2 gegeben.

(a) Ermitteln Sie α ∈ (−π2, π

2) als Lösung der Gleichung.

(b) Ermitteln Sie α ∈ (π2, 3

2π) als Lösung der Gleichung.

(*)Aufgabe 82: Es ist die Gleichung cosα = 0.7 gegeben.

(a) Ermitteln Sie α ∈ [0, π) als Lösung der Gleichung.

(b) Ermitteln Sie α ∈ [π, 2π) als Lösung der Gleichung.

(*)Aufgabe 83: Es ist die Gleichung sin α = 0.7 gegeben.

(a) Ermitteln Sie α ∈ (−π2, π

2) als Lösung der Gleichung.

(b) Ermitteln Sie α ∈ (π2, 3

2π) als Lösung der Gleichung.

Aufgabe 84: Man bestimme x aus der Gleichung 0.8 sin(x) − 0.7 cos(x + 1) =0. Anleitung: Mit Hilfe des Additionstheorems für den Cosinus wird cos(x + 1)zerlegt. Die darin auftretende sin-Funktion wird über sin2 + cos2 = 1 durch cosausgedrückt. Es ergeben sich zwei mögliche (±) Gleichungen für cos(x) aus demman den cos(x) und schließlich x errechnet. Es ist eine Probe erforderlich!

Aufgabe 85: Man bestimme die Werte von x ∈ [0, 2π), die die Gleichung3 sin(x) + 5 cos(x) − 4 = 0 erfüllt ist. Anleitung: Drücken Sie sin durch cos aus(sin2 + cos2 = 1), lösen Sie nach cos(x) auf. Für jede Lösung zu cos gibt es wiederzwei mögliche x-Werte — bedenken Sie daß es zwei Umkehrfunktionen zum Co-sinus im Intervall [0, 2π) gibt, sodaß man vier mögliche Werte für x erhält. Daherist eine Probe erforderlich.

Aufgabe 86: Lösen Sie die Gleichung tanx = 2x, x > 0 auf eine Dezimalstellegenau. Anleitung

(a) Zeichnen Sie ein Diagramm für 0 < x < π2

mit y = tan x und y = 2x.Bestimmen Sie x0 als x-Wert des Schnittpunktes der beiden Funktionsgra-phen.

(b) Setzen Sie y(x) = tan x − 2x. Ausgehend von x0 bestimmen Sie durchAusprobieren benachbarter Werte auf dem Taschenrechner Werte xn, sodaß y(xn) “möglichst gut” zu Null wird.

(c) Das Verfahren aus (0.86.b) läßt sich systematisieren: Sei dazu yn := y(xn).Liegen dann yn und yn−1 auf verschiedenen Seiten der Null, so wählt manxn+1 = xn+xn−1

2, ansonsten als xn+1 = xn+xn−2

2(Regula Falsi).


Aufgabe 87: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P für die dieSumme der Abstände zu zwei Punkten F1 und F2, die den Abstand 2e haben, eineKonstante, nämlich 2a mit a > e, ist. Liegt F1F2 parallel zur x-Achse, der Ur-sprung in F1 und bezeichnet ϕ den Winkel mit der x-Achse und r(ϕ) den Abstandeines Punktes auf der Ellipse vom Ursprung, so gilt die Brennpunktsdarstellung

r(ϕ) =p

1 − ǫ cos(ϕ),

wobei p und ǫ durch

p =a2 − e2

a, ǫ =

e

a

gegeben sind.

Zwei Satelliten kreisen um die Erde. Bahndarstellung:

r1(ϕ) =p1

1 − ǫ1 cos(ϕ − α1)

r2(ϕ) =p2

1 − ǫ2 cos(ϕ − α2)

Durch welche Gleichung ist eine mögliche Kollision bestimmt? Wie viele Kollisi-onspunkte sind maximal möglich?

Zahlenbeispiel:

α1 = 0o, α2 = 60o,

ǫ1 = 0.1, ǫ2 = 0.8,

p1 = 400Km, p2 = 600Km.

Aufgabe 88: Berechnen Sie e = exp(x) auf zwei Arten:

(a) Indem Sie (1 + 1n)n für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.

(b) Indem Sie Sn :=∑n

j=01j!

für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.

Tragen Sie die Werte in eine Tabelle ein. Welche Folge konvergiert schneller?

Aufgabe 89: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke

(a) (a2)3 + a2 ∗ a3 + (a3)2

(b) a7x/a3x

(c) (e3)2


(d) exp(32)

(e)√

ex

Aufgabe 90: Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne einen (Taschen)rechnerzu verwenden:

(a) log2 8

(b) log214

(c) log21√2

(d) log3 81

(e) log9 3

(f) log4 0.5

Aufgabe 91: Drücken Sie die folgenden Terme als Terme in lnx und ln y aus:

(a) ln(x2y)

(b) ln√

xy

(c) ln(x5y2)

Aufgabe 92: Drücken Sie die folgenden Terme durch einen einzigen Logarith-mus aus:

(a) ln 14 − ln 21 + ln 6

(b) 4 ln 2 − 12ln 25

(c) 1.5 ln 9 − 2 ln 6

(d) 2 ln(2/3) − ln(8/9)

Aufgabe 93: Vereinfachen Sie die Ausdrücke

(a) exp{

12ln[

1−x1+x

]}

(b) e2 ln x

Aufgabe 94: Zeichen Sie die folgenden Funktionen jeweils in einen Graphen

(a) y = 2x und y = log2 x

(b) y = ex und y = lnx

(c) y = 10x und y = log x


Aufgabe 95: Bei der Radiokarbonmethode nutzt man die Tatsache aus, daßdas radioaktive Kohlenstoff-Isotop 14C mit einer Halbwertszeit T 1

2

von 5730a (1a= 1 Jahr) unter β-Zerfall zu Stickstoff (14N) zerfällt. Für das Verhältniss γ von14C zu 12C gilt ein Gesetz

γ = γLuft ∗ e−λt,

wobei t die Zeit beschreibt.

Bestimmen Sie λ aus der angegebenen Halbwertszeit T 1

2

, die ja angibt, nach wel-cher Zeit die Hälfte des Stoffes zerfallen ist.

Bei einer Probe wurde γ = 0.19γLuft gemessen. Wie alt ist die Probe?

Aufgabe 96: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt

x −2 −1 0 1p(x) −3 −1 −1 3

Hinweis: Einsetzen der angegebenen Stellen in einen Ansatz der Form p(x) =a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 liefert die Koeffizienten.

Aufgabe 97: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Jede Null-stelle x eines Polynoms p mit

p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn (an 6= 0)

lässt sich abschätzen durch

|x| <|a0| + |a1| + . . . + |an|

|an|.

Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die Fälle |x| < 1 und |x| ≥ 1 getrenntbetrachten.

Hinweis: Setzen Sie eine Nullstelle x ins Polynom ein und vergessen Sie nicht dieIdentität |an|

|an| = 1.

Aufgabe 98: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BegründenSie die Monotonie der Logarithmusfunktion, das heißt, es gilt

lnx < ln y für 0 < x < y .

Hinweis: Nutzen Sie sowohl die Abschätzung ln z ≤ z−1 für eine geeignete Zahlz > 0 als auch die Funktionalgleichung des Logarithmus.


Aufgabe 99: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Sie,dass log2 3 irrational ist.

Hinweis: Für n, m ∈ N ist 2n gerade, aber 3m ungerade.

Aufgabe 100: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] EntwickelnSie das Polynome p um die angegebene Stelle x0, das heißt, finden Sie die Koeffi-zienten aj zur Darstellung p(x) =

∑nj=0 aj(x − x0)

j ,

(a) mit p(x) = x3 − x2 − 4x + 2 und x0 = 1,

(b) mit p(x) = x4 + 6x3 + 10x2 und x0 = −2.

Hinweis: Ersetzen Sie x = (x − x0) + x0.

Aufgabe 101: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zerlegen Siedie Polynome p, q, r : R → R in Linearfaktoren:

p(x) = x3 − 2x − 1

q(x) = x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6

r(x) = x4 − 6x2 + 7

Hinweis: Auswerten der Polynome an Stellen wie 0, 1,−1 und/oder quadratischeErgänzung liefert Nullstellen. Durch Polynomdivision lassen sich die Polynomedann in Faktoren zerlegen.

Aufgabe 102: (+ + +) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Be-trachten Sie die beiden rationalen Funktionen f : Df → R und g : Dg → R, diedurch

f(x) =x3 + x2 − 2x

x2 − 1, g(x) =

x2 + x + 1

x + 2

definiert sind. Geben Sie die maximalen Definitionsbereiche Df ⊆ R und Dg ⊆ R

an und bestimmen Sie die Bildmengen f(Df ) und g(Dg). Auf welchen Intervallenlassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?

Hinweis: Für die Definitionsbereiche bestimme man die Nullstellen der Nenner.Außerhalb dieser Nullstellen müssen wir versuchen die Gleichungen y = f(x) bzw.y = g(x) nach x aufzulösen, um die Bildmengen und die Umkehrfunktionen zubestimmen.


Aufgabe 103: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BerechnenSie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners:

√e3 ln 4 ,

1

2log2(4 e2) − 1

ln 2,

x√

e(2+x)2−4

ex

mit x > 0 .

Hinweis: Nutzen Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und/oderdes Logarithmus und die Umkehreigenschaften der beiden Funktionen.

Aufgabe 104: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] VereinfachenSie für x, y, z > 0 die Ausdrücke:(a) ln(2x) + ln(2y) − ln z − ln 4

(b) ln(x2 − y2) − ln(2(x − y))

(c) ln(x2

3 ) − ln(3√

x−4)

Hinweis: Verwenden Sie die Funktionalgleichung des Logarithmus.

(*)Aufgabe 105: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] DerSinus hyperbolicus ist gegeben durch

sinhx =ex − e−x

2,

der Cosinus hyperbolicus durch

coshx =ex + e−x

2,

und der der Tangens hyperbolicus durch

tanh x =sinhx

coshx.

• Verifizieren Sie die Identität

tanhx

2=

sinh x

coshx + 1.

• Begründen Sie, daß für das Bild der Funktion gilt

tanh(R) ⊆ [−1, 1] .


• Zeigen Sie, daß durch

artanh x =1

2ln

(

1 + x

1 − x

)

.

die Umkehrfunktion artanh: [−1, 1] → R, der Areatangens hyperbolicusFunktion gegeben ist.

Hinweis: Verwenden Sie die Definitionen von sinh und cosh und binomischeFormeln.

Aufgabe 106: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Zeigen Siedie Identitäten

cos(arcsin(x)) =√

1 − x2

und

sin(arctan(x)) =x√

1 + x2.

Hinweis: Verwenden Sie in beiden Fällen die Beziehung sin2 x + cos2 x = 1 unddie Umkehreigenschaft der jeweiligen Arkus-Funktion.

Aufgabe 107: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Die Licht-empfindlichkeit von Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei istzum einen die lineare Skala ASA (American Standards Association) vorgesehen,bei der eine Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Wertsbedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN-Norm, bei der eine Ver-doppelung der Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um 3 Ein-heiten gegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie 100/21 oder 200/24für die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktionf : R>0 → R mit f(1) = 1, die den funktionalen Zusammenhang des ASA Wertsa zum DIN Wert f(a) (gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt.

Hinweis: Bestimmen Sie aus den Angaben zur Verdoppelung der Lichtempfind-lichkeit und der Funktionalgleichung des Logarithmus eine Basis b für die Funktionf(x) = logb x + c.

Aufgabe 108: Lösen Sie die Gleichung y3 − 3y + 2 = 0 mit der CardanischenFormel. Raten Sie eine weitere Nullstelle und dividieren Sie beide Nullstellennacheinander vom Polynom ab, so daß Sie schließlich das Polynom als Produktseiner Nullstellen darstellen können.

Hinweis: Polynome mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten haben häufig kleineganze Zahlen als Nullstellen.


Aufgabe 109: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y3 + 3y = 4 mit derCardanischen Formel. Formen Sie soweit um, daß das Resultat keine Wurzelnmehr enthält!

Tipp: Berechnen Sie (1±√

5)3 und verwenden Sie dieses Zwischenresultat um dasErgebnis zu vereinfachen.

(*)Aufgabe 110: Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichung y3 − 15y − 4 = 0mit Hilfe der Cardanischen Formel. Bei der auftretenden Quadratwurzel aus einernegativen Zahl

√−a mit a > 0 verwenden Sie die Rechenregel√−a =

√a√−1 = j

√a für a ≥ 0

Vereinfachen Sie das Endresultat so weit wie möglich, indem Sie als Zwischen-rechnung

(2 ±√−1)3

mittels der Binomischen Formel berechnen.

Aufgabe 111: Sei z1 = −5 − 3j, z2 = 1 + j. Wie lauten z1 + z2, z1 − z2, z1z2

sowie z1/z2?

Aufgabe 112: Bestimmen Sie |j|, |1 + j|, |1 − j|, |jn| (n ∈ N).

Aufgabe 113: Prüfen Sie die sogenannte Dreiecksungleichung

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

mit den komplexen Zahlen j, 1 ± j, −j.

(*)Aufgabe 114: (a) Weisen Sie die Regeln

z1 · z2 = z1 · z2

z1 + z2 = z1 + z2

(1)

nach, indem Sie z1,2 = x1,2 + jy1,2 einsetzen und beide Seiten berechnen.

(b) Zeigen Sie

1

z=

1

z, (2)

indem Sie Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zahl multiplizieren.


(*)Aufgabe 115: Mit dem Resultat der Aufgabe 0.114 und der Darstellung|z| =

√zz weisen Sie die Regel

|z1z2| = |z1| |z2| (3)

nach, indem Sie beide Seiten berechnen.

(*)Aufgabe 116: Zeigen Sie

Re z =z + z

2und Im z =

z − z

2j

Aufgabe 117: Wie lautet die zu 1+j1−j

konjugiert komplexe Zahl?

Aufgabe 118: Bestimmen Sie 54−3j

.

Aufgabe 119: Finden Sie die Lösungen der Gleichung

(a) x2 + 2x + 2 = 0.

(b) x3 + 8 = 0.

Aufgabe 120: Mit z = 2 − j3 bestimmen Sie

(a) jz

(b) z

(c) 1z

(d) z

Aufgabe 121: Drücken Sie in der Form x + jy mit reellen x und y aus:

(a) 1−j1+j

(b) 15−j3

− 15+j3

(c) (1 − j2)2

Aufgabe 122: Wie lauten die Polardarstellungen von j, −1, 1 ± j?

Aufgabe 123: Bestimmen Sie 54−3j

in Polardarstellung.

Aufgabe 124: z = −35− 4

5j liegt im dritten Quadranten. Wie lautet die Polar-

darstellung? Machen Sie die Probe, ob sie daraus wieder die kartesische Darstel-lung gewinnen.


(*)Aufgabe 125: Reihendarstellung der triginometrischen Funktionen:Die zur Eulerschen Formel äquivalente Beziehung

cosϕ = Re ejϕ und sinϕ = Im ejϕ

kann man verwenden, um aus der bekannten Reihendarstellung der Exponential-funktion

ex =

∞∑

i=0

xk

k!

die Reihendarstellungen für die trigonometrischen Funktionen zu erhalten.

(a) Geben Sie so die Näherungspolynome der Ordnung 5 bzw. 4 für Sinus bzw.Cosinus an.Skizzieren Sie die Polynome zusammen mit den zugehörigen Funktionenim Intervall [−π, π).

(b) Geben Sie geschlossene Formeln der Reihendarstellungen für Sinus undCosinus an.

Aufgabe 126: Drehstrom oder auch Dreiphasenstrom läßt sich über drei kom-plexe Spannungen Ui, i = 1, 2, 3 mit

U1 = Uej(2πft)

U2 = Uej(2πft+2π/3)

U3 = Uej(2πft+4π/3).

beschreiben. Dazu kommt noch der Nulleiter, der die Spannung U0 = 0 trägt.Dabei ist f die Frequenz des Stromes — z.B. f = 50Hz und U die für allePhasen identische Scheitelspannung — z.B. U =

√2 × 220V . Die physikalischen

Spannungen der Einzelnen Phasen ergeben sich als die Realteile der Ui.

(a) Für die oben angegebenen Werte von U und f und die Zeitpunkte t = 0sund t = 1/400s stellen Sie die zu Ui (i = 0, 1, 2, 3) gehörigen Vektoren(“Zeiger”) in der Gaußschen Zahlenebene dar.

(b) Berechnen Sie allgemein und für den oben angegeben Wert von U dieScheitelspannungen zwischen den Phasen als

1. |U1 − U0|2. |U2 − U0|3. |U3 − U0|4. |U2 − U1|


5. |U3 − U2|6. |U1 − U3|• Zeichnen Sie die zugehörigen Vektoren in obiges Diagramm ein.• Berechnen Sie auch die Effektivwerte als Scheitelwert/

√2.

Aufgabe 127: Trigonometrische Formeln: Setzen Sie in

ej3ϕ = (ejϕ)3

die Eulersche Formel ein. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt sicheine Formel für cos 3ϕ bzw. sin 3ϕ, bei der im Argument der trigonometrischenFunktionen nur noch der einfache — nicht mehr der dreifache — Winkel steht.Vereinfachen Sie den entstehenden Ausdruck noch mittels cos2 + sin2 = 1.

(*)Aufgabe 128: Die Funktion y = f(x) sie durch

f(x) =

√x2 − x3

xx 6= 0 und x ∈ (−∞, 1),

gegeben.

(a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.

(b) Berechnen Sie die Grenzwerte limx→0− f(x) und limx→0+ f(x).

(c) Existiert der Grenzwert limx→0 f(x)?

Aufgabe 129: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Welche derfolgenden Aussagen über eine Funktion f : (a, b) → R sind richtig, welche sindfalsch.

(a) f ist stetig, falls für jedes x ∈ (a, b) der linksseitige Grenzwert limx→x−

f(x)

mit dem rechtsseitigen Grenzwert limx→x+

f(x) übereinstimmt.

(b) f ist stetig, falls für jedes x ∈ (a, b) der Grenzwert limx→x

f(x) existiert und

mit dem Funktionswert an der Stelle x übereinstimmt.

(c) Falls f stetig ist, ist f auch beschränkt.

(d) Falls f stetig ist und eine Nullstelle besitzt, aber nicht die Nullfunktion ist,dann gibt es Stellen x1, x2 ∈ (a, b) mit f(x1) < 0 und f(x2) > 0.

(e) Falls f stetig und monoton ist, wird jeder Wert aus dem Bild von f angenau einer Stelle angenommen.


Hinweis: Wenn Sie vermuten, dass eine Aussage falsch ist, versuchen Sie einexplizites Beispiel dafür zu konstruieren.

Aufgabe 130: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] Wie mussjeweils der Parameter c ∈ R gewählt werden, damit die folgenden Funktionenf : D → R stetig sind?

(a) D = [−1, 1], f(x) =

{

x2+2x−3x2+x−2

, x 6= 1

c, x = 1

(b) D = (0, 1], f(x) =

{

x3−2x2−5x+6x3−x

, x 6= 1

c, x = 1

Hinweis: Nullstellen der Nenner bestimmen, Polynomdivision.

Aufgabe 131: (+) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BerechnenSie die folgenden Grenzwerte:

(a) limx→2

x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12

x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12

(b) limx→∞

2x − 3

x − 1

(c) limx→∞

(√x + 1 −√

x)

(d) limx→0

(

1

x− 1

x2

)

Hinweis: (a), (b) Polynomdivision (bei (b) mit Rest), (c) dritte binomische For-mel, (d) als ein Bruch schreiben.

Aufgabe 132: (++) [T. Arens et al.: Mathematik, Heidelberg: 2008] BestimmenSie die globalen Extrema der folgenden Funktionen.

(a) f : [−2, 2] → R mit f(x) = 1 − 2x − x2

(b) f : R → R mit f(x) = x4 − 4x3 + 8x2 − 8x + 4

Hinweis: Ű

(*)Aufgabe 133: Weisen Sie nach, dass es zu jedem Ort auf dem Äquator einenzweiten Ort auf der Erde gibt, an dem die Temperatur dieselbe ist – mit der


möglichen Ausnahme von zwei Orten auf dem Äquator. Nehmen Sie dazu an,dass die Temperatur stetig vom Ort abhängt.

Hinweis: Betrachten Sie nur den Äquator. Nutzen Sie aus, dass die Erde rundist, d. h., die Temperatur auf dem Äquator ist periodisch. Gibt es Extrema derTemperatur?

(*)Aufgabe 134: Mit Hilfe des Additionstheorems für die trigonometrischenFunktionen (siehe Gleichung ??, es wurde nur noch sin±β = ± sin β berücksich-tigt)

cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sin α sinβ

sin(α ± β) = sin α cosβ ± cosα sinβ

und den für kleine ∆x gültigen Beziehungen (die auch aus den in der Vorlesungbehandelten Reihendarstellungen für Sinus und Cosinus folgen)

cos ∆x = 1 − (∆x)2/2 + O((∆x)3),

sin∆x = ∆x + O((∆x)2),

wobei das Landau-Symbol O((∆x)n) Terme beschreibt, die für ∆x ∈ Uǫ(0) kleinerals eine Konstante mal |∆x|n sind

|O((∆x)n)| ≤ const |∆x|n für kleine ∆x,

bestimme man die Ableitungen von

(a) y = cosx,

(b) y = sinx.

(*)Aufgabe 135: Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen:

(a) y = arcsin(x).

(b) y = arccos(x).

Aufgabe 136: Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnungdie Richtigkeit der folgenden Ungleichungen:

(a) ex > 1 + x für x > 0,

(b)√

1 + x < 1 + x2

für x > 0,

(c) 1√1+x

> 1 − x2

für x > 0.

Aufgabe 137: Berechene Sie die folgenden Grenzwerte G mit der Regel von del’Hospital:


(a) limx→0sin 5x

3x, Lösung G = 5/3,

(b) limx→0ex−1sin 2x

, Lösung G = 1/2,

(c) limx→1x−1lnx

, Lösung G = 1,

(d) limx→∞lnxx

, Lösung G = 0,

(e) limx→0+ x lnx, Lösung G = 0,

(f) limx→0+ xx, Lösung G = 1,

(g) limx→∞ x1/x, Lösung G = 1.

Aufgabe 138: Bilden Sie von folgenden Funktionen die erste und die zweiteAbleitung:

(a) y = y(t) = cos t · sin t,

(b) x = x(t) = cos2 t,

(c) v = v(s) = ss−1

,

(d) w = w(s) = s4 ln s,

(e) y = y(x) = x3

x−1.

Aufgabe 139: Bilden Sie von folgenden Funktionen die ersten vier Ableituun-gen:

(a) y = sinx,

(b) y = lnx,

(c) y =√

x + 1,

(d) y = cos 3x.

Aufgabe 140: Bestimmen Sie den allgemeinen Ausdruck f (n), wenn gebeben ist

(a) y = f(x) = 1+x1−x

,

(b) y = f(x) = eax.

(*)Aufgabe 141: Bestimmen Sie — durch geschicktes Ausprobieren — Stamm-funktionen y = F (x) zu folgenden Funktionen y = f(x):

(a) y = 1x,

(b) y = 11−x

, für |x| < 1.

(c) y = ab+cx

, wobei c 6= 0,

(d) y = aecx, wobei c 6= 0,


(e) y = axn,

(f) y = a cos(cx), für c 6= 0,

(g) y = a sin(cx), für c 6= 0,

(h) y = 11+x2 .

Aufgabe 142: Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellung der

(a) Exponentialfunktion y = ex,

(b) Cosinusfunktion y = cosx

für den Entwicklungspunkt x0 = 0.

(*)Aufgabe 143: In welchem Kreis um 0 ist die Funktion y = 11+x2 durch eine

Potenzreihe darstellbar? Ermitteln Sie dazu, an welchen Orten der komplexenEbene die ins Komplexe fortgesetzte Funktion y = 1

1+z2 nicht differenzierbar ist.

Aufgabe 144: Enwickeln Sie

(a) f(x) = 3 + 11x − 9x2 + 2x3 nach Potenzen von (x − 2),

(b) f(x) = −1000 + 300(x + 5) − 30(x + 5)2 + (x + 5)3 nach Potenzen von x,

(c) f(x) = x4 − x2 nach Potenzen von (x + 3).

Aufgabe 145: Geben Sie für die folgenden Funktionen die ersten drei nicht-verschwindenden Glieder ihrer Taylorreihe mit dem angegebenen Entwicklungs-punkt x0 an:

(a) f(x) = ecosx, x0 = 0,

(b) f(x) =√

x3, x0 = 1,

(c) f(x) = 1x, x0 = 2,

(d) f(x) = ln cosx, x0 = 0.

Aufgabe 146: Ermitteln Sie die Reihenentwicklung von y = ln(1−x) um x0 = 0aus der bekannten Reihenentwicklung von y = 1

1−xdurch Auffinden einer Stamm-

funktion.

Aufgabe 147: Entwickeln Sie mit Hilfe der Taylor-Formel

(a) f(x) = ex nach Potenzen von (x + 1) bis zum Glied mit (x + 1)3,

(b) f(x) = lnx nach Potenzen von x − 1 bis zum Glied mit (x − 1)2,

und geben Sie das Lagrangesche Restglied an.


Aufgabe 148: Zeigen Sie, daß sin(x0 + h) von sinx0 + h cosx0 um nicht mehrals 1

2h2 abweicht.

Aufgabe 149: Schätzen Sie den Fehler der Formel

e ≈ 2 +1

2!+

1

3!+

1

4!

ab.

Aufgabe 150: Zeigen Sie, daß die Kettenlinie

y = a · coshx

a

für |x| ≤ a näherungsweise durch die Parabel

y = a +x2

2a

ersetzt werden kanniii. Schätzen Sie den Fehler ab.

Aufgabe 151: Berechnen Sie ln 1.5 nach der Näherungsformel

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4

und schätzen Sie den Fehler ab.

Aufgabe 152: Berechnen Sie den Grenzwert

limx→0

sinx − arctanx

x2 · ln(1 + x).

(a) Mit Hilfe der Regel von de l’Hospital.

(b) Mit Hilfe der Taylorschen Formel für die Funktionen y = sin x, y = arctan xund y = ln(1+x) am Entwicklungspunkt x0 = 0; drücken Sie die Restglie-der jeweils mit dem Landau-Symbol aus.

Aufgabe 153: Berechnen Sie aus der gegebenen Definition der Ableitung dieAbleitung f ′ wobei f :

iii

cosh x :=ex + e

−x

2und sinhx :=

ex − e

−x

2


(a) Eine Konstante K,

(b) x,

(c) x2 − 1,

(d) x3,

(e)√

x,

(f) 11+x

Aufgabe 154: Wir befassen uns mit der Funktion y = f(x) = 2x2 − 5x − 12.Ermitteln Sie

(a) Die Ableitung von y = f(x) aus der Definition der Ableitung.

(b) Die Änderungsrate von y = f(x) an der Stelle x = 1.

(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1,−15) mit der Steigung m denGraphen von f schneidet.

(d) Den Wert von m, bei dem die in (0.154.c) gefundenen Punkte zusammen-fallen.

(e) Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (1,−15).

Aufgabe 155: Wir befassen uns mit der Funktion y = f(x) = 2x3−3x2 +x+3.Ermitteln Sie

(a) Die Ableitung von y = f(x) aus der Definition der Ableitung.

(b) Die Änderungsrate von y = f(x) an der Stelle x = 1.

(c) Die Punkte, an denen die Linie durch (1, 3) mit der Steigung m den Gra-phen von f schneidet.

(d) Den Wert von m, bei dem die in (0.155.c) gefundenen Punkte zusammen-fallen.

(e) Die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f für x = 1 und x = 14.

Aufgabe 156: Zeigen Sie, daß für f(x) = ax3 + bx2 + cx + d gilt:

f(x + ∆x) = ax3 + bx2 + cx + d

+(3ax2 + 2bx + c)∆x

+(3ax + b)(∆x)2

+a(∆x)3.

Leiten Sie daraus die Formel für f ′(x) ab.


Aufgabe 157: Finden Sie die Ableitungen der Funktionen

(a) y = (3x3 − 2x2 + 1)5

Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 3x3 − 2x2 + 1 ein.

(b) y = 1(5x2−2)7

Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariable z = 5x2 − 2 ein.

(c) y = (x2 + 1)3√

x − 1

Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u = (x2 + 1)3 und v =√

x − 1 ein.

(d) y =√

2x+1(x2+1)3

Hinweis: Führen Sie die Hilfsvariablen u =√

2x + 1 und v = (x2 + 1)3 ein.

Aufgabe 158: Aus Blech einer vorgegebenen Fläche A soll ein Kreiszylinder mitmaximalem Volumen hergestellt werden. Wie sind der Radius R und die Länge Ldes Zylinders zu wählen?

Aufgabe 159: Aus drei Brettern der Breite a soll eine symmetrische Rinne mitmaximalem Querschnitt gelegt werden:

b a b

___ ________ ___

\ . . /

a \ . . / a

\.________./

a

Wie ist b zu wählen?

Aufgabe 160: Finden Sie die Ableitung der Funktion y =√

1 + sin(x) ZeichnenSie die Funktion und ihre Ableitung für 0 ≤ x ≤ 2π.

Aufgabe 161: Differenzieren Sie die Funktionen

(a) y = sin(3x − 2)

(b) y = cos4(x)

(c) y = cos2(3x)

(d) y = sin(2x) cos(3x)

(e) y = x sin(x)


(f) y =√

2 + cos(2x)

(g) y = a cos(x + θ)

(h) y = tan(4x)

Aufgabe 162: Differenzieren Sie die Funktionen

(a) y = arcsin(x). Ergebniss: y′ = 1cos(y)

= 1√1−sin2(y)

, also y = 1√1−x2

.

(b) y = arccos(x). Hinweis: Verfahren Sie so wie in Aufgabe 0.162.a.

(c) y = arctan(x)

Aufgabe 163: Durch Erwärmen vergrößert sich der Radius einer Kugel von r1 =2.000cm auf r2 = 2.034cm. Wie groß ist die relativeiv Zunahme des Kugelvolumens(V = 4

3πr3)? Verwenden Sie zur Berechnung das Differential der Funktion r 7−→

V (r).

Aufgabe 164: Wie lautet für y = f(x) = x3 auf Grund der Gleichung ∆y =f ′(x0)∆x + R das Restglied R.

Aufgabe 165: Man berechne (Taschenrechner) für die Funktion y = sin(x):∆y :=y(x+∆x)−y(x) und dy = y′(x)∆x an der Stelle x = 2 (Bogenmaß!) jeweilsfür

(a) ∆x = 0.1

(b) ∆x = 0.01

Aufgabe 166: Wie groß ist in linearer Approximation die prozentuale Änderungdes Kugelvolumens, wenn sich der Radius um 2% vergrößert?

Aufgabe 167: Für das in einem Rohr vom Radius r pro Zeit transportierteFlüssigkeitsvolumen gilt bei laminarer Strömung

V =π

8

r4

η

∆p

l.

Dabei ist ∆p die Druckdifferenz an den Enden, l die Rohrlänge und η die Zähigkeitder Flüssigkeit.

ivUnter der relativen Änderung einer Größe U versteht man die Änderung (den Zuwachs) derGröße dividiert durch die Größe selbst, also

∆U

U.


(a) Um wieviel Prozent muß man r ändern um V um 10% zu steigern?

(b) Durch welche prozentuale Änderung von ∆p läßt sich dies erst erreichen?

Aufgabe 168: Berechnen Sie sin(25o) und sin(35o) mit Hilfe der Linearisierungum α0 = 30o = π/6

sinα ≈ sinα0 + d sin(α0; ∆α)

= sinα0 + sin′(α0)(α − α0)

Verwenden Sie die exakten Werte von sin(π/6) und cos(π/6). Vergleichen Sie dieaus dieser Linearisierung gewonnenen Werte für sin(25o) und sin(35o) mit den perTaschenrechner gewonnenen Werten (3 Dezimalstellen).

Aufgabe 169: Berechnen Sie zu y = ln(1 + x) das Taylorpolynom zweiter Or-dung um den Entwicklungspunkt x = 0. Verwenden Sie dieses Polynom zur Be-rechnung von

(a) ln(1)

(b) ln(1/2)

(c) ln(3/2)

(d) ln(3/4)

(e) ln(5/4)

Vergleichen Sie mit den per Taschenrechner ermittelten Werten.

Aufgabe 170: Ermitteln Sie die Taylorreihen folgender Funktionen

(a) y = exp(x),

(b) y = cos(x),

(c) y = ln(1 + x)

jeweils um den Entwicklungspunkt x0 = 0.

Aufgabe 171: Berechnen Sie das Integral∫ b

ax dx mittels des Grenzübergans

Z → ∞ aus einer geeigneten Riemann-Summe. Hinweise:

1. Wählen Sie die Zwischenpunkte ξi = xi+1+xi

2.

2. Beachten Sie (u + v)(u − v) = u2 − v2.


3. Eine Teleskopsumme läßt sich leicht berechnen:

N−1∑

i=0

(qi+1 − qi) = q1 − q0 + q2 − q1 + · · · + qN − qN−1 = qN − q0.

Aufgabe 172: Man berechne die Integrale

(a)∫ 2

0x3 dx,

(b)∫ π

0cos t dt,

(c)∫ e

11x

dx,

(d)∫ 2

11x3 dx,

(e)∫ 2π

0sin t dt,

(f)∫ π

0sin t dt,

(g)∫ 1

0eξ dξ,

(h)∫ 4

1dx√

x.

Aufgabe 173: Es ist

arcsinx =

∫ x

0

dt√1 − t2

Ermitteln Sie aus diesem Ausdruck die ersten drei Glieder der Taylorentwicklungvon y = arcsinx indem Sie die Taylorreihe von y = (1 + x)r, nämlich (Binomial-reihe!)

(1 + x)r = 1 + rx +r(r − 1)x2

2!+

r(r − 1)(r − 2)x3

3!+ · · ·

einsetzen.

Aufgabe 174: Geben Sie eine Reihenentwicklung für das Integral∫ 1

0e−x−1

xdx

an, indem Sie die Taylorreihe für y = e−x einsetzen. Berechnen Sie die ersten dreiGlieder der Reihe.

Aufgabe 175: Berechnen Sie das Integral A =∫ 2

12x lnx dx mittels partieller

Integration.

Aufgabe 176: Berechnen Sie das unbestimmte Integral∫

x sinx dx mittels par-tieller Integration.


Aufgabe 177: Berechnen Sie das Integral∫ 1

0xex2

dx mit Hilfe einer geeignetenSubstitution.


xe−x2

dx.


ln(1 + x) dx.

Aufgabe 180: Berechnen Sie∫ 9

0ln(1 + x) dx.

Aufgabe 181: Berechnen Sie mit einer geeigneten Substitution∫

tan ϕ dϕ

Aufgabe 182: Man bestimme mittels Substitution die folgenden unbestimmtenIntegrale:

(a)∫

1x+2

dx,

(b)∫

xx2−1

dx,

(c)∫

x2

1−2x3 dx,

(d)∫

(3s + 4)8 ds,

(e)∫

sin(ωt + ϕ) dt,

(f)∫

cos 3t dt

(g)∫

e−x dx.

Aufgabe 183: Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:

(a)∫

e−x(1 − x) dx = xe−x + const,

(b)∫

cos(x)esin(x) dx = esin(x) + const.

Aufgabe 184: Man löse das Integral∫

2−x1+

√x

dx mit der Substitution u = 1+√

x.

Aufgabe 185: Man löse das integral∫

x√

1 − x2 dx mit der Substitution x =sin u.

Aufgabe 186: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für die folgenden DGLnerster Ordnung durch Trennung der Variablen:

(a) x2y′ = y2, Lösung: y = x1+Cx

.

(b) y′(1 + x2) = xy, Lösung: y = C√

1 + x2.

(c) y′ = 1 − y2, Lösung: y = e2x+2C−1e2x+2C+1

.

(d) y′ = (1 − y)2, Lösung: y = 1 − 1x+C

.


(e) y′ sin y = −x, Lösung: y = arccos(12x2 + C).

*(f) y′ = ey cosx, Lösung: y = − ln(− sin x + C).

Aufgabe 187: Die folgenden Differentialgleichungen können nicht direkt durchTrennung der Variablen gelöst werden, sondern erst nach der Substitution u =y/x. Das führt immer dann zum Ziel, wenn die Differentialgleichung die Form

y′ = f(y/x)

hat, denn dann erfüllt u die Differentialgleichung

u′ = y′/x − y/x2 =(f(u) − u)

x,

bei der die Variablen getrennt werden können.

*(a) xy′ = y + 4x

(b) x2y′ = 14x2 + y2

Aufgabe 188: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme für die angegebe-nen Differentialgleichungen erster Ordnung — ermitteln Sie also zunächst dieallgemeine Lösung der Differentialgleichung und passen Sie die darin auftretendeKonstante so an, daß die vorgegebene Anfangsbedingung y(x0) = y0 erfüllt wird— damit erhalten Sie eine partikuläre (spezielle) Lösung der Differentialgleichung:

*(a) y′ + cos(x) · y = 0; y(π/2) = 2π. Lösung: y(x) = 2πe− sin x+1.

(b) x(x + 1)y′ = y; y(1) = 1/2. Lösung: y(x) = xx+1

.

(c) y2y′ + x2 = 1; y(2) = 1. Lösung: 3√

3 + 3x − x3.

(d) x2y′ = y2 + xy; y(1) = −1 (Substitution: u = y/x). Lösung: y = x−1−ln x

.

(e) yy′ = 2e2x; y(0) = 2. Lösung: y =√

2 + 2e2x.

Aufgabe 189: Freier Fall mit Reibung — Fallschirmspringer

Die Bewegung eines Fallschirmspringers nach dem Absprung soll beschrieben wer-den. Newtons zweites Gesetz “Kraft(F ) = Masse(M) ∗ Beschleunigung(a)”

F = m ∗ a

liefert uns die Beschleunigung, wenn die Masse m (eine Eigenschaft des “Systems”)und die von außen wirkende Kraft (eine Eigenschaft der “Umgebung”) bekanntsind zu

a =F

m


F setzt sich zusammen aus der “nach unten” wirkenden Schwerkraft FD = mg(g = 9.81m/s2) und der “nach oben” wirkenden, von der Geschwindigkeit v abhän-genden Kraft des Luftwiderstands FU . Für FU sind verschiedene Modelle möglich:

Laminare Widerstandskraft Bei kleinen Geschwindigkeiten v gilt

FU = −cv,

mit dem Widerstandskoeffizienten c ([c] = kg/s) — Stokessche-Reibung.

Turbulente Widerstandskraft Bei großen Geschwindigkeiten v gilt

FU = −kv2,

mit dem Widerstandskoeffizienten k ([k] = kg∗m−1) — Newtonsche Reibung.

Reynolds-Kriterium: Eine Strömung mit der Geschwindigkeit U um einen Körpermit der Längsabmessung L in einem Medium mit der Zähigkeit η und der Dichteρ ist laminar bzw. turbulent, wenn für die Reynoldszahl

Re =UL

η/ρ

Re ≪ 1000 bzw. Re ≫ 1000 gilt.

Für Luft ist η = 1.8 ∗ 10−5kg ∗ m−1 ∗ s−1 und ρ = 1.2kg ∗ m−3, also Re =UL/(1.5 ∗ 10−5m2 ∗ s−1), für L ≈ 0.5m folgt also Re ≈ U/(m/s) ∗ 3 ∗ 104, sodaß für realistische Probleme eigentlich immer mit der Newtonschen Reibunggerechnet werden muß.

Weil ja die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit ist, erhaltenwir die Differentialgleichungen:

Stokessche Reibung

dv

dt= g − c

mv (4)

Newtonsche Reibung

dv

dt= g − k

mv2 (5)

Als Anfangsbedingung haben wir jeweils v(t = 0) = 0.

Zahlenwerte: k = 0.25kg/m, m = 68.1kg, c = 12.5kg/s, g = 9.81m/s2.

Bestimmen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems fur den Anfangswertv(0) = 0. setzen Sie die angegebene Zahlenwerte ein. Skizzieren Sie die Lösung imBereich 0 ≤ t ≤ 20s. Führen Sie das durch für


(a) Stokessche Reibung,

(b) Newtonsche Reibung.

Aufgabe 190: Bestimmen Sie eine Näherungslösung für die Duffingsche Diffe-rentialgleichung

x + ω2x + µx3 = 0

indem Sie zunächst durch geeignetes Umskalieren der Zeit, also die Substitutionτ = αt mit geeignetem α die Gleichung auf die Form

x + x + ǫx3 = 0

bringen und dann die Mittelungsmethode von Bogoliubov und Krylov

anwenden.

Aufgabe 191: Finden Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichun-gen:

(a) x − 2x − 3x = t,

(b) x − 2x − 5x = t2 − 2t,

(c) x − 5x − x = 5et.

Aufgabe 192: Finden Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichun-gen:

(a) x − 3x + 4x = cos 4t − 2 sin 4t,

(b) 9x − 12x + 4x = e−3t,

(c) 2x + 4x − 7x = 7 cos 2t.

Aufgabe 193: Zeigen Sie, daß die charakteristische Gleichung der folgendenDifferentialgleichung (D := d

dt)

D3x − 9D2x + 27Dx − 27x = 0

durch

pL(λ) = (λ − 3)3 = 0

gegeben ist und verwenden Sie diese Information, um die allgemeine Lösung fol-gender Differentialgleichungen anzugeben:

(a) D3x − 9D2x + 27Dx − 27x = cos t − sin t + t,


(b) D3x − 9D2x + 27Dx − 27x = et,

(c) D3x − 9D2x + 27Dx − 27x = e3t + t.

Aufgabe 194: Bestimmen Sie mit Hilfe der Duhamel-Formel die DGL

y + y = t.

Hinweis: Wählen Sie t0 = 0

Aufgabe 195: Bestimmen Sie mit Hilfe der Duhamel-Formel die DGL

y + y = sin t.

Hinweis: Wählen Sie t0 = 0 und verwenden Sie später die Additionstheoreme dertrigonometrischen Funktionen.

Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung der Lösung!

Aufgabe 196: Lösen Sie die DGL

y + y = sin t,

indem Sie für yp einen geeigneten Ansatz verwenden.

Hinweis: Beachten Sie, daß sin t = ejt−e−jt

2jist, und daß Ansätze für yp linear

kombiniert werden können!

Aufgabe 197: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialglei-chungen:

(a) y + 9y = e5t; Lösung: y = C1 cos 3t + C2 sin 3t + 134

e5t,

(b) y − y = et(t2 − 1); Lösung: y = et(16t3 − 1

4t2 − 1

4t) + C1e

−t + C2et,

(c) y + 4y = cos 2t; Lösung: y = C1 cos 2t + (C2 + t4) sin 2t,

(d) y + y = t + 2et; Lösung: y = C1 cos t + C2 sin t + t + et,

(e) y′′ + 3y′ = 9x; Lösung: y = C1 + C2e−3x + 3

2x2 − x.

Aufgabe 198: geben Sie die allgemeine Lösung an:

(a) y′′ + 4y = 1sin 2x

; Lösung: y = (C1 − x2) cos 2x + (C2 + 1

4ln sin 2x) sin 2x,

(b) y′′ + y = tan x; Lösung: y = C1 cosx + C2 sinx − cosx ln tan(x2

+ π4),

(c) y′′ + y′ = 11+ex ; Lösung: y = C1 + C2e

−x − (1 + e−x) ln(1 + ex) + x,

(d) y′′+4y = 1sin2 x

; Lösung: y = (C1−ln |sinx|) cos 2x+(C2−x− 12cotx) sin 2x.


Aufgabe 199: Ein Motoradmotor wird durch die Massenkräfte seines Kurbel-triebs von innen zu Schwingungen erregt. Ist n die Motordrehzahl, so gilt annä-hernd für die Motordrehzahl x(t)

x + 2dx + k2x = Aω2

(

cosωt +1

4cos 2ωt

)

,

mit ω = 2πn und k = 4d = 24012.

(a) Welche Eigenfrequenz ω1 hat die Motoraufhängung? (Zu ihrer Berechnungsetze man setze A = 0!)

(b) In welchem Drehzahlbereich läuft das Motorad besonders rauh? Dazu setzeman

x(t) = A1 cos(ωt + ϕ1) + A2 cos(2ωt + ϕ2),

berechne A1, A2 und bestimme die n, für welche A1 bzw. A2 maximalwerden. Mit einem (Taschen-) rechner bestimmeman den Drehzahlbereich,für welchen

√

A21 + A2

2 > 2A.

Aufgabe 200: Man zeichne das Phasenportrait ((x, x)-Ebene für die ge-dämpfte freie Schwingung

x + 2dx + k2x = 0,

mit ω = 2πn und k = 4d = 24012.

Aufgabe 201: Das ebene autonome DGL-System

x = −y + xf(x2 + y2)

y = x + yf(x2 + y2)

hat in Polarkoordinaten r = r(t), ϕ = ϕ(t) die einfache Gestalt

r = rf(r2), ϕ = 1.

(a) Man bestätige dies mit der Kettenregel aus

x(t) = r(t) cos ϕ(t) und y(t) = r(t) sin ϕ(t).

(b) Bestimmen Sie eine Lösung für den Fall f(u) = 1 −√

(u).


(c) Zeichen Sie für diesen Fall das Phasenportrait.

Aufgabe 202: Es seien

A =

1 2 11 1 21 1 1

, B =

2 11 01 1

, C =

0 1 10 0 11 0 0

Bestimmen Sie — falls es möglich ist —

(a) A + B

(b) A + C

(c) C − A

(d) 3A

(e) 4B

(f) C + B

(g) 3A + 2C

(h) A + AT

(i) A − AT

(j) A + CT + BT

Was fällt Ihnen bei den Teilen 0.202.h und 0.202.i auf?

Aufgabe 203: Es seien die Beziehungen

z1 = y1 + 3y2

z2 = 2y1 − y2

undy1 = −x1 + 2x2

y2 = 2x1 − x2

gegeben.

(a) Eliminieren Sie die y1/2 aus diesen Beziehungen, und geben Sie die zwischenden z1/2 und x1/2 geltenden Gleichungen an.

(b) Schreiben Sie die Gleichungen zwischen y1/2 und x1/2 in Matrix-Form alsy = Bx und die Gleichungen zwischen z1/2 und y1/2 in Matrix-Form alsz = Ay und die zwischen z1/2 und x1/2 als z = Cx an.


(c) Berechnen Sie A ∗ B und vergleichen Sie mit C aus der vorigen Aufgabe.

Aufgabe 204: Es seien

A =

120

, B =(

0 1 1)

C =

(

3 2 11 2 −1

)

, D =

5 67 89 10

.

Berechnen Sie, falls es möglich ist,

(a) A + B

(b) BT + A

(c) B + CT

(d) C + D

(e) DT + C

Aufgabe 205: Gegeben sei die Matrix

A = λ

(

1 00 1

)

+ µ

(

1 10 1

)

+ ν

(

0 01 0

)

(a) Finden Sie die Werte von λ, µ, ν so, daß A =

(

0 −10 3

)

.

(b) Zeigen Sie, daß keine Lösung möglich ist, wenn A =

(

1 −11 0

)

.

Aufgabe 206: Gegeben seien

A =

(

1 1 02 0 1

)

, B =

2 00 11 3

b =

(

−12

)

, c =

11−1

und C =

1 −2−1 2−2 4

Berechnen Sie

(a) AB


(b) BA

(c) Bb

(d) ATb

(e) cT (ATb)

(f) AC

Aufgabe 207: Sei T (θ) die in Gleichung ?? definierte Transformationsmatrixfür zweidimensionale Drehungen. Dann wird durch

D(θ) = T (−θ) =

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

eine Drehung um den Winkel θ im Gegenuhrzeigersinn um den Koordinatenur-

sprung beschrieben: Der Punkt P mit den Koordinaten x =

(

xy

)

wird in den

Punkt P ′ mit den Koordinaten x′ =

(

x′

y′

)

überführt, wobei gilt:

x′ = D(θ)x.

(a) Berechnen Sie exaktv das Resultat der Drehung um θ = 45o des QuadratesP1(1,−1), P2(3,−1), P3(3, 1), P4(1, 1); skizzieren Sie das Quadrat und dasgedrehte Quadrat.

(b) Für diese Drehungen gilt

D(α + β) = D(α)D(β)

1. Erklären Sie in Worten, was diese Formel bedeutet.2. Führen Sie die in der Formel angegebene Matrixmultiplikation aus und

leiten Sie daraus die Additionstheoreme für cos und sin her.

Aufgabe 208: Lösen Sie das Gleichungssystem

x1 + x2 = 3

2x1 + x2 + x3 = 7

−x1 + 2x2 + 3x3 = 12

mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren und mit der Cramerschen Regel. Er-mitteln Sie als Nebenergebniss die Determinante der Koeffizientenmatrix.

vanalytisch, also insbesondere ohne Rechner


Aufgabe 209: Lösen Sie das Gleichungssystem

x + y + z = 6

x + 2y + 3z = 14

x + 4y + 9z = 36

mit dem Gauß-Jordan-Verfahren . Ermitteln Sie als Nebenergebniss die Determi-nante der Koeffizientenmatrix.

Aufgabe 210: Lösen Sie die Gleichungssysteme

x + 2y + 3z + t = 5

2x + y + z + t = 3

x + 2y + z = 4

y + z + 2t = 0

und

x + 2y + 3z + t = 1

2x + y + z + t = 1

x + 2y + z = 1

y + z + 2t = 1,

indem Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix berechnen und auf die rechte Seiteanwenden.

Aufgabe 211: Lösen Sie, wenn möglich, die Gleichungssysteme

x + y + z = 6x + 2y + 3z = 14

2x + 3y + 4z = 10

x + y + z = 6x + 2y + 3z = 14

2x + 3y + 4z = 20

mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Ermitteln Sie als Nebenergebniss dieDeterminante der Koeffizientenmatrix.

Versuchen Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren zu berechnen.

Aufgabe 212: Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel α heraus-geschnitten. Der Sektor wird zu einem kegelförmigen Trichter zusammengerollt.Bei welcher Größe des Winkels α wird das Volumen des Kegels am größten?

Lösung: Für α = 2π√

23.


Aufgabe 213: Einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypothenuse 8cm und ei-nem Winkel von 60o wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen eine Seite in dieHypothenuse fällt. Welche Abmessungen erhält das Rechteck, wenn sein Flächen-inhalt möglichst groß sein soll?

Lösung: 4cm und√

3cm.

Aufgabe 214: Einem Halbkreis mit Radius r wird ein Rechteck maximalen Flä-cheninhalts einbeschrieben. Bestimmen Sie die Abmessungen dieses Rechtefckssowie seinen Inhalt.

Lösung: AMax = r2 bei einer Höhe von x = r√2.

Aufgabe 215: Mit welcher Genauigkeit (|∆x|) muß man man die Abszisse derKurve y = x2

√x im Bereich x ≤ 4 messen, damit der Fehler (|∆y|) bei der

Berechnung ihrer Ordinate den Wert 0.1 nicht überschreitet.

Hinweis: Nähern Sie ∆y durch das Differential dy an!

Lösung: |∆x| ≤ 1200

.

Aufgabe 216: Die Kantenlänge eines Würfels ist

x = 5m ± 0.01m.

Bestimmen Sie den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung desWürfelvolumens.

Hinweis: Die absolute Fehler einer Größe V ist ∆V , der relative Fehler ist derWert

∣

∣

∆VV

∣

∣. Verwenden Sie zur Berechnung das Differential.

Lösung: ∆V = 0.75m3 und ∆V/V = 0.6%.

Aufgabe 217: Mit welcher relativen Genauigkeit muß man den Radius einerKugel messen, damit der relative Fehler bei der Berechnung des Kugelvolu-mens 1% nicht übersteigt?

Lösung:∣

∣

∆RR

∣

∣ ≤ 13%.

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