Abschlussprüfung Regionale Schule Mecklenburg-Vorpommern - … · 2019-05-20 · Vorwort Liebe...

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Inhalt

Vorwort

Übungsaufgaben

Trainingseinheiten 1– 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-1 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-11

Übungsaufgaben 1– 2: Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Übungsaufgaben 3 – 9: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Übungsaufgaben 10 –13: Zuordnungen, Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Übungsaufgaben 14 – 20: Planimetrie, Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Übungsaufgaben 21– 25: Stereometrie, darstellende Geometrie . . . . . . . . . 8 Übungsaufgaben 26 – 30: Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Abschlussprüfungsaufgaben

Abschlussprüfung 2006 Pflichtaufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-1 Pflichtaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-3 Pflichtaufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-3 Pflichtaufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-4 Wahlaufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-4 Wahlaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-5 Wahlaufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-5 Wahlaufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006-7


Fortsetzung siehe nächste Seite




Abschlussprüfung 2014 Pflichtaufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-1 Pflichtaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-3 Pflichtaufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-3 Pflichtaufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-3 Wahlaufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-4 Wahlaufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-5 Wahlaufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-7

Autoren der Übungsaufgaben und Lösungen der Prüfungsaufgaben:

Margot Feiste, Greifswald (Übungen, Jahrgänge 2006 – 2008) Hans Joachim Grueter, Stralsund (Übungen, Jahrgänge 2006 – 2009) Gero Schwedhelm, Altefähr (Jahrgänge 2009 – 2014)


Vorwort

Liebe Schülerin, lieber Schüler,

seit 2014 sind Zeitvorgaben, Bepunktung und der Wahlteil der schriftlichen Abschlussprüfung Mathematik in Mecklenburg-Vorpommern verändert worden. Die Prüfung gliedert sich seit-her in einen Pflichtteil, bestehend aus vier Aufgaben, und einen Wahlteil mit drei Aufgaben. Die Abschlussprüfungen der Jahrgänge 2006 bis 2013 umfassen im Pflicht- und Wahlteil noch jeweils vier Aufgaben.

Die Aufgaben des Pflichtteils prüfen in erster Linie grundlegendes Wissen und Können. Die erste Pflichtaufgabe ist als Arbeitsblatt gestaltet, das innerhalb von 15 Minuten ohne die Verwendung von Formelsammlung und Taschenrechner zu bearbeiten ist. Von den drei Aufgaben des Wahlteils, die ein höheres Maß an Komplexität kennzeichnet, ist eine auszuwählen und zu lösen.

Als Arbeitszeit stehen für die Prüfung 180 Minuten zur Verfügung zuzüglich 15 Minuten für die Auswahlentscheidung im Wahlteil.

Als Hilfsmittel sind eine an der Schule zugelassene Formelsammlung, ein nicht program-mierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, Schreib- und Zeichengeräte sowie ein Nachschlagewerk zur deutschen Rechtschreibung erlaubt.

Für die Bewertung gilt: Insgesamt sind 40 Punkte zu erreichen. Für jede vollständig gelöste Pflichtaufgabe werden 6 Punkte und für eine Wahlaufgabe 16 Punkte vergeben. Die 12 erreichbaren, sogenannten „Feinpunkte“ der Pflichtaufgabe 1 werden im Verhältnis 2 : 1 in Punkte umgerechnet. Dabei werden halbe Punkte aufgerundet. Hast du eine Wahlaufgabe vollständig richtig gelöst, ergibt jede weitere ebenfalls vollständig richtig gelöste Wahlaufgabe einen Zusatzpunkt. Es ist jedoch nicht sinnvoll jede Wahlaufgabe ein bisschen zu bearbeiten. Gewertet wird nur diejenige, welche die meisten Punkte erbracht hat. Entscheide also sorgfältig. Ab dem Jahr-gang 2009 sind Hinweise enthalten, die für die Entscheidung zur Wahlaufgabe wichtig sind. Die Lösungswege sind übersichtlich und in mathematisch exakter Form aufzuschreiben, die Ergebnisse mit einer sinnvollen Genauigkeit anzugeben. Wenn die Form mathematisch und äußerlich einwandfrei ist, kann ein weiterer Zusatzpunkt vergeben werden.

Übungsaufgaben mit ausführlichen und schülergerechten Lösungen zu den jeweiligen Themenkomplexen findest du im ersten Abschnitt des Buches.

r r r r

Wie du weißt, gibt es beim Lösen von Aufgaben häufig verschiedene Wege, die zum Ergeb-nis führen. Betrachte den im Buch vorgeschlagenen Lösungsweg als Anregung. Texte mit grauen Markierungen enthalten Hinweise und Tipps, die dir helfen, den Weg zur Lösung einer Aufgabe zu finden, wenn du am Anfang gar nicht weißt, wo du ansetzen sollst. Im weiteren Verlauf ist es wichtig, dass du die Aufgabe selbstständig löst, denn nur so be-reitest du dich gut auf die Prüfung vor.

Die Prüfungen werden mit freundlicher Genehmigung durch das Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern abgedruckt. Sollten nach Erscheinen dieses Bandes noch wichtige Änderungen für die Abschlussprüfung vom Ministerium bekannt gegeben werden, findest du aktuelle Informationen dazu im Internet unter: www.stark-verlag.de/pruefung-aktuell

Ich wünsche dir viel Erfolg bei der bevorstehenden Abschlussprüfung! Gero Schwedhelm


1

Realschulabschluss Mathematik in Mecklenburg-Vorpommern Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Prozentrechnung

Ein Computerunternehmen hat 3 Teilhaber. Der 1. Teilhaber ist mit 325 000 E, der 2. Teilhaber mit 275 000 E, der 3. Teilhaber mit 250 000 E beteiligt. Es wird ein Jahresgewinn in Höhe von 212 000 E erzielt. Die Verteilung erfolgt so, dass jeder zunächst 15 % davon erhält. Der Rest wird entsprechend den Einlagen verteilt.

a) Berechnen Sie die prozentualen Anteile der jeweiligen Einlagen und stellen Sie diese in einem Diagramm dar!

b) Wie hoch ist der Gewinn für den 2. Teilhaber? Aufgabe 2: Prozentrechnung

Eine Familie (Vater, Mutter, Sohn) spart auf eine größere Urlaubsreise und zahlt dazu 4 Jahre lang am Jahresbeginn 3 000 E auf ein Konto ein. Die Verzinsung beträgt 4 %.

a) Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen bis zum Ende des vierten Jahres angewachsen, wenn die Zinsen nicht abgehoben wurden?

b) Die Reise kostet für jeden Erwachsenen 4 800,00 E, für das Kind werden 30 % Ermäßi-gung gewährt. Wie viel Geld verbleibt noch in der Reisekasse?

Aufgabe 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

In der Tabelle sind die Elektroenergiepreise für eine Jahresabnahme von zwei Anbietern dargestellt. Das vom Kunden zu zahlende Entgelt setzt sich aus dem Arbeitspreis und dem Leistungspreis zusammen.

Arbeitspreis (brutto) Cent / kWh

Leistungspreis (brutto) Euro / Jahr

Tarifart Verbrauch Anbieter A Anbieter B Anbieter A Anbieter B

H0 0 bis 160 kWh / Jahr

28,71 31,52 26,46 24,47

H1 über 160 bis 4250

kWh / Jahr

15,42 14,98 49,99 39,15


12

Realschulabschluss Mathematik in Mecklenburg-Vorpommern Übungsaufgaben: Lösungen

Lösung Aufgabe 1: Prozentrechnung

a) 325000275000250000

100 %850000

++

�

E

E

E

E

1. Teilhaber: 325000 100%

38,24%850000

⋅ =E

E

2. Teilhaber: 275000 100%

32,35%850000

⋅ =E

E

3. Teilhaber: 250000 100%

29,41%850000

⋅ =E

E

Für diese Darstellung kann man ein Kreisdiagramm verwenden. Dazu ordnet man den prozentualen Anteilen die entsprechenden Winkel zu.

1 % =∧ 3,6°

38,24 % =∧ 38,24 ⋅ 3,6° ≈ 138°

32,35 % ≈ 116° 29,41 % ≈ 106°

b) 15 % des Jahresgewinns: 15 % 212000

31800100 %

⋅ =EE

Verbleibender Gewinn: 212000 3 31800 116600− ⋅ =E E E

Davon 32,35 % =∧ 37 720,00 E 3180037 72069 520

+E

E

E

Der Gewinn für den 2. Teilhaber beträgt 69 520 E.


13

Lösung Aufgabe 2: Prozentrechnung

a) Wir stellen die Entwicklung des Guthabens übersichtlich dar:

1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr

Betrag am Jahresanfang 3 000,00 3120 003000 006120 00

,,,

+ 6364 803000 009364 80

,,,

+ 9739 393000 00

12739 39

,,,

+

Zinsen 120,00 244,80 374,59 509,58

Betrag am Jahresende 3 120,00 6 364,80 9 739,39 13 248,97

Der Kontostand am Ende des vierten Jahres beträgt rund 13 249 E.

b) Reisekosten: Vater: 4 800 E Mutter: 4 800 E Sohn: 4 800 E abzüglich 30 % von 4 800 E = 1 440 E, also 3 360 E. Gesamtreisekosten: 12 960 E

angespart: 13 249 EReisekosten: 12 960 E

Differenz: 289 E

289 E verbleiben noch in der Reisekasse.

Lösung Aufgabe 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

a) 50 kWh Anbieter A: 40,82 E Anbieter B: 40,23 E Anbieter B ist günstiger, da 40,23 E < 40,82 E

150 kWh Anbieter A: 150 · 28,71 ct = 43,07 E 43,07 E + 26,46 E = 69,53 E Anbieter B: 150 · 31,52 ct = 47,28 E 47,28 E + 24,47 E = 71,75 E Anbieter A ist günstiger, da hier das Entgelt geringer ist.

b) Anbieter A: 3 200 · 15,42 ct = 493,44 E 493,44 E + 49,99 E = 543,43 E Anbieter B: 3 200 · 14,98 ct = 479,36 E 479,36 E + 39,15 E = 518,51 E Familie Küster sollte sich für Anbieter B entscheiden, da hier der Preis niedriger ist.

c) Man könnte sich durch schrittweises Ausrechnen dem gesuchten Verbrauch nähern und ihn schließlich auf diese Weise ermitteln. Das Lösen der folgenden Gleichung führt auch zum Ergebnis: x sei der gesuchte Verbrauch in kWh

0,2871 x 26,46 0,3152 x 24,471,99 0,0281 x

x 70,8

⋅ + = ⋅ += ⋅=

Ab 71 kWh ist Anbieter A günstiger.


2014-1

Prüfung zum Erwerb der Mittleren Reife in Mathematik, Mecklenburg-Vorpommern Prüfung 2014: Aufgaben

Arbeitsblatt (Pflichtaufgabe 1)

Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk und Taschenrechner zu bearbeiten. Die verwendeten Skizzen sind nicht maßstäblich. Sie brauchen bei den Aufgaben keine Rechnungen, sondern nur Lösungen angeben. Nach einer maximalen Bearbeitungszeit von 15 Minuten ist dieses Arbeitsblatt abzugeben.

1. Berechnen Sie.

a) 75,5 : 5 = _________________

b) 401 · 4 = _________________

c) 112 :10

= _________________

2. Überprüfen Sie alle Angaben. Kreuzen Sie jeweils alle richtigen Angaben an.

a) 12,11 ist um 0,2 größer als 12,31 12,09 11,91

K K K

b) 34

von 1 ; sind 750 cm3 75 cm3 0,75 dm3 7,5 dm3

K K K K

3. Welche ganze Zahl liegt genau in der Mitte zwischen –7 und 9? _______________

4. Bei einer Verkehrskontrolle werden 100 Autos kontrolliert. Jedes zwanzigste Auto weist einen Mangel auf. Das sind _______________ %.

5. Der Preis von 5,50 e wird um 10 % erhöht. Geben Sie den neuen Preis an. _______________ e


2014-2

6. Geben Sie den Anstieg m der abgebildeten Funktion an.

m = ___________________

7. Bestimmen Sie in diesem Parallelogramm den Winkel β, wenn α = 76° ist.

β = ___________________°

8. Eine Gehwegplatte ist 25 cm lang und 50 cm breit. Geben Sie die Anzahl der Gehweg-platten für einen Quadratmeter an. _______________ Gehwegplatten

9. Wie viele unterschiedliche dreistellige Zahlen kann man aus den Ziffern 2, 4 und 8 bilden, wobei jede Ziffer nur einmal vorkommt? _______________ Zahlen


2014-3

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist das Dreieck ABC mit folgenden Stücken:

BC 8,8 cm, 105 , AB 10,5 cm.= γ = ° =

a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC.

b) Spiegeln Sie das Dreieck an seiner längsten Dreiecksseite. Nennen Sie den Namen der so entstandenen Figur AC 'BC.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur AC 'BC. Entnehmen Sie dazu die fehlenden Stücke aus der Zeichnung.

Pflichtaufgabe 3

An einem Spieltag in der Fußballbundesliga fielen in den Spielen zwischen 0 und 5 Tore.

Tore 0 1 2 3 4 5

Häufigkeit 3 2 0 2 1 1

a) Zeichnen Sie ein geeignetes Diagramm zu diesem Sachverhalt.

b) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Toren in einem Spiel.

c) Verändern Sie das Beispiel bei gleicher Anzahl der Spiele so, dass sowohl der Modalwert als auch der Median 3 Tore betragen. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Pflichtaufgabe 4

Gegeben ist eine quadratische Pyramide, deren Kanten alle 4 cm lang sind.

a) Bestimmen Sie die Höhe der Seitenflächen der Pyramide.

b) Ermitteln Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide.

c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.


2014-4

Wahlaufgabe 1

1.1 Die Graphen zweier linearer Funktionen mit den Gleichungen y = f1(x) = –x + 5 und y = f2(x) = 2x + 2 schneiden einander in dem Punkt P.

a) Ermitteln Sie diesen Schnittpunkt P grafisch und überprüfen Sie ihn rechnerisch. (1 LE A 1 cm)

b) Die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit der x-Achse und der Punkt P bilden ein Dreieck. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

1.2 Ein Pkw-Hersteller testet das Bremsverhalten eines neuen Fahrzeugs. Dabei wird auf trockener Fahrbahn bei verschiedenen Geschwindigkeiten zu Beginn des Bremsvor-ganges der Bremsweg gemessen. Die folgende Wertetabelle enthält die Zahlenwerte x der Geschwindigkeit und die Zah-lenwerte y des Bremsweges einer Messreihe.

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

y 0 1 4 9 16 25 36 49 64

a) Stellen Sie die Messreihe grafisch dar.

b) Der Graph der Funktion lässt sich mit der Funktionsgleichung y = a ⋅ x2 beschreiben. Zeigen Sie, dass in diesem Fall a = 0,01 gilt.

c) Bestimmen Sie y für x = 100.

d) Die Länge des Bremsweges hängt auch von der Fahrbahnbeschaffenheit ab. Zeichnen Sie in das von Ihnen angefertigte Diagramm einen möglichen Graphen für eine Messreihe auf einer nassen Fahrbahn ein. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

e) In einer Gefahrensituation benötigt der Fahrer eine Reaktionszeit von etwa einer Se-kunde bis zum Einleiten der Vollbremsung. In dieser Zeit legt der Pkw einen zusätz-lichen Weg zurück. Dieser Weg muss zum Bremsweg noch hinzugerechnet werden. Für einen Pkw mit einer Geschwindigkeit von km

h80 beträgt der Bremsweg auf

trockener Fahrbahn 64 m. Berechnen Sie den gesamten Weg, der dann bei einer Gefahrensituation bis zum Still-stand zurückgelegt wird.


2014-7

Prüfung zum Erwerb der Mittleren Reife in Mathematik, Mecklenburg-Vorpommern Prüfung 2014: Lösungen

Pflichtaufgabe 1

r

r

r

Die Pflichtaufgabe 1 muss ohne Zuhilfenahme von Formelsammlung und Taschenrechner bearbeitet werden. Schriftliche Rechnungen und Skizzen auf einem „Kladde-Zettel“ oder dem Aufgabenblatt sind jedoch erlaubt.

1. a) 75,5 : 5 15,1

525250550

=

b) 401 41 604

⋅

c) r

r

Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem reziproken Wert (Kehrwert) multipliziert wird.

1 1012 : 12 12 10 12010 1

= ⋅ = ⋅ =

2. a) r Die gesuchte Zahl ist um 0,2 kleiner als 12,11.

12,11 0,2 11,91− =

b) r 1 ; = 1 dm3 = 1 000 cm3

3 3 3 33 3 25 75dm dm 0,75 dm 750 cm4 4 25 100

⋅= = = =⋅

;

3. r

r

r

r

Die Differenz zwischen 9 und –7 beträgt 16. Die Hälfte davon ist 16 : 2 = 8. 9 8 1− = oder 7 8 1− + =

4. r

r

Jedes zwanzigste Auto weist einen Mangel auf. Bei 100 Autos sind dies 100 Autos : 20 = 5 Autos.

55 von 100 Autos 5 %100

=�


2014-8

5. r

r

r

10 1100 10

10 % = =

10 % von 5,50 E A 1

105,50 5,50 :10 0,55⋅ = =E E E

5,50 0,55 6,05+ =E E E

6. r

r

Auf eine Einheit in x-Richtung fällt der Graph 0,5 Einheiten in y-Richtung. Du kannst auch ein beliebiges anderes Steigungsdreieck wählen, wie zum Beispiel:

y 4 0,5m 0,5

x 8 1

∆ − −= = = = −∆

7. r

r

Da es sich um ein Parallelogramm handelt, ergänzen sich α und β zu 180°. Es handelt sich um entgegengesetzt liegende Winkel.

180 180 76 104β = ° − α = ° − ° = °

8. r

r

r

Ein Quadratmeter ist 1 m lang und 1 m breit. 2 Gehwegplatten mit den angegebenen Maßen passen in einen Quadratmeter nebenein-ander, 4 solcher Gehwegplatten übereinander.

2 4 8 Gehwegplatten⋅ =

9. r Hier hilft systematisches Probieren oder ein Baumdiagramm.

Es gibt 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 unterschiedliche Zahlen.


2014-9

Pflichtaufgabe 2

a) r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Eine Skizze verdeutlicht den Sachverhalt. Da der gegebene Winkel der größeren der beiden Seiten gegenüberliegt, ist die Kon-struktion eindeutig ausführbar. Es handelt sich um die Kongruenzabbildung Seite-Seite-Winkel (Ssw). Es ist sinnvoll, die Dreiecksseite BC als Grundseite zu legen. Aus Platzgründen sind die Lösungen zu den Teilaufgaben a und b in einer Zeich-nung dargestellt.

Skizze:

Konstruktionsbeschreibung:

• Zeichne die Strecke BC 8,8 cm.= • Trage im Punkt C den Winkel γ = 105° an. • Schlage um den Punkt B einen Kreisbogen mit Radius r = 10,5 cm. • Der Schnittpunkt mit dem Schenkel von γ ist der Punkt A. • Verbinde A und B.

b) r Zunächst ist zu prüfen, welche die längste Dreiecksseite ist.

Da γ = 105° ein stumpfer Winkel ist und die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt, müssen α und β spitze Winkel sein. Laut Seite-Winkel-Relation liegt dem größten Winkel in einem Dreieck stets die längste Seite gegenüber. Also ist AB die längste Seite des Dreiecks.

r Die Spiegelung ist in der Zeichnung oben dargestellt.

Durch die Spiegelung entsteht ein Drachenviereck.


2014-10

c) r

r

r

r

r

r

Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigst du die Länge der beiden Diagonalen des Drachenvierecks. Die Länge der Diagonalen AB ist gegeben, die Länge der anderen Diagonalen sollst du laut Aufgabenstellung deiner Zeichnung entnehmen. Erkundige dich bei deinem Lehrer, welche Toleranz beim Messen zulässig ist. Runde das Ergebnis mit sinnvoller Genauigkeit.

e AB 10,5 cm

f CC' 6,3 cm

= == ≈

Flächeninhalt des Drachenvierecks:

210,5 cm 6,3 cme fA 33,075 cm2 2

⋅⋅= ≈ =

Der Flächeninhalt beträgt 2A 33 cm .≈

Pflichtaufgabe 3

a)

r Andere Diagrammformen sind möglich.

b) Gesamtanzahl xges der gefallenen Tore an dem Spieltag:

ges

ges

x 3 0 Tore 2 1 Tor 0 2 Tore 2 3 Tore 1 4 Tore 1 5 Tore

x 17 Tore

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

Anzahl n der Spiele, die an diesem Spieltag stattfanden: n 3 2 0 2 1 1 9= + + + + + =

Die durchschnittliche Anzahl von Toren x wird dann wie folgt berechnet:

gesx 17 Torex 1,8 Tore

n 9= = =


2014-11

c) r

r

r

r

r

Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Wert. Im ursprünglichen Beispiel: „0 Tore“. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median oder Zentralwert der Wert, der bei der Größe nach geordneter Angabe aller Werte in der Mitte, also im Zentrum, steht. Im ursprünglichen Beispiel: 0 0 0 1 1 3 3 4 5, also „1 Tor“.

Durch Tausch der Häufigkeiten der Ereignisse „0 Tore“ und „3 Tore“ wird „3 Tore“ zum häufigsten Wert, also zum Modalwert. Die Anzahl der Spiele bleibt dadurch unverändert. Für die der Größe nach geordnete Reihenfolge der Werte ergibt sich dann: 0 0 1 1 3 3 3 4 5 Der Median ist nun ebenfalls „3 Tore“.

Die nachfolgend angegebene Tabelle stellt also eine mögliche Lösung dar:

Tore 0 1 2 3 4 5

Häufigkeit 2 2 0 3 1 1 r

r

r

r

Es gibt weitere Lösungsmöglichkeiten, wie zum Beispiel: Tore 0 1 2 3 4 5

Häufigkeit 0 0 0 9 0 0

Pflichtaufgabe 4

a) r

r

Die Seitenflächen der quadratischen Pyramide sind 4 gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge s = 4 cm.

Skizze einer Seitenfläche:

Die Höhe hs der Seitenflächen lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: 2

2 2s

ss h2

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 2

2 2s

22

s

2 2s

s

sh s2

sh s2

h (4 cm) (2 cm)

h 12 cm

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

=

sh 3,5 cm≈

r

r

Für die weiteren Berechnungen solltest du für die Höhe der Seitenflächen sh 12 cm=

verwenden, damit sich der Rundungsfehler nicht vervielfacht.


2014-12

b) r

r

Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus den 4 Seitenflächen und der quadratischen Grundfläche zusammen.

Flächeninhalt einer Seitenfläche:

s 2D

s h 4 cm 12 cmA 7 cm

2 2

⋅ ⋅= = ≈

Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche: 2 2 2

GA s (4 cm) 16 cm= = =

Oberflächeninhalt der Pyramide: 2 2 2

O D GA 4 A A 4 7 cm 16 cm 44 cm= ⋅ + ≈ ⋅ + =

c) r

r

r

r

Um das Volumen der Pyramide bestimmen zu können, benötigst du die Höhe h der Pyramide. Diese bildet mit der Höhe hs der Seitenflächen und

s2

ein rechtwinkliges Dreieck. Verdeutliche dir die Lage am besten in einer Skizze.

Skizze:

Die Höhe h der Pyramide lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: 2

2 2s

sh h2

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 2

2 2s

22

s

2 2

sh h2

sh h2

h ( 12 cm) (2 cm)

h 12 4 cm

h 8 cm

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

= −

=

h 2,8 cm≈ r

r

Für die Berechnung des Volumens solltest du wieder den genauen Wert h 8 cm= ver-wenden.

Für das Volumen der Pyramide gilt:

G

2

3

A hV

3

16 cm 8 cmV

3

V 15 cm

⋅=

⋅=

≈


2014-13

Wahlaufgabe 1

r

r

r

r

r

Für die richtige Lösung dieser Aufgabe musst du dich gut mit linearen und quadratischen Funktionen auskennen. Das benötigte Wissen wird in unterschiedlichen Schuljahren, Stoffgebieten und sogar an-deren Fächern (Physik) vermittelt bzw. gefestigt. Aufgaben mit solcher Komplexität waren bisher eher selten in Abschlussprüfungen enthalten.

1.1 a) r

r

r

r

r

Die linearen Funktionen haben die Form y = f(x) = mx + n, wobei m der Anstieg und n die Schnittstelle mit der y-Achse ist. Mit n beginnt man in der Regel, lineare Funktionen in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Der Anstieg m gibt an, um wie viele Einheiten in y-Richtung der Graph auf eine Einheit in x-Richtung steigt bzw. fällt. Beachte die Vorzeichen.

Die Graphen der Funktionen schneiden sich im Punkt P(1 4).;

Zur rechnerischen Überprüfung können die für den Schnittpunkt P abgelesenen Werte x = 1 und y = 4 in die Funktionsgleichungen eingesetzt werden.

1y f (x) x 5 4 1 5= = − + ⇒ = − + 4 4 (wahre Aussage)=

2y f (x) 2x 2 4 2 1 2= = + ⇒ = ⋅ + 4 4 (wahre Aussage)=


Abschlussprüfung Regionale Schule Mecklenburg-Vorpommern - … · 2019-05-20 · Vorwort Liebe...

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