Agnès Pracht und Hans Marthaler

Mathematik Grundlagen für Vorkurse und berufliche Weiterbildung

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Dieses neue Lehrwerk vermittelt die klassischen Themen der gewerb-

lich-technischen Fachmathematik: Grundlagen der Algebra sowie die

rechtwinklige und die schiefwinklige Trigonometrie. Zudem wird der Einsatz

eines gängigen Taschenrechners geübt. Der methodische Schwerpunkt liegt

auf dem Üben, die Theorie ist kurz gehalten: verstehen durch Üben.

Das Lehrmittel eignet sich für die berufliche Weiterbildung – bis und mit

Vorbereitung auf die höhere Fachprüfung an Fachschulen. Zudem lässt es

sich in Vorkursen für höhere berufsbildende Schulen einsetzen. Aufgrund

der zahlreichen Übungsaufgaben mit Lösungen kann es auch als Repetitori-

um und zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden.

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Vorwort Dieses neue Lehrmittel vermittelt und festigt die klassischen Gebiete der gewerblich-

technischen Fachmathematik: Grundlagen der Algebra sowie die rechtwinklige und die

schiefwinklige Trigonometrie. Zudem wird der Einsatz eines gängigen Taschenrechners

und seiner Funktionen geübt.

Die wichtigsten Gebiete der gewerblichen Fachmathematik werden praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel richtet sich an Lehrabgänger, die sich beruflich weiterbilden – bis und mit Vorbereitung auf die höhere Fachprüfung HFP an Fachschulen. Zudem kann das Lehrmittel auch für Vorkurse für höhere berufsbildende Schulen eingesetzt werden. Der Inhalt steht auf den drei Säulen Grundlagen der Algebra, Trigonometrie am rechtwinkligen und allgemeinen Dreieck, sowie die Bedienung eines gängigen technischen AOS-Taschenrechners. Das methodische Schwergewicht wurde auf zahlreiche Übungsaufgaben gelegt. Die Theorie ist abschliessend, jedoch kurz gehalten: Verstehen durch Üben. Das Lehrmittel kann aufgrund der vielen Übungsaufgaben auch als Repetitorium und zur Vorbereitung auf Prüfungen oder zur Vertiefung des Fachrechnens eingesetzt werden. Ebenfalls ist es sehr gut für Klassen mit heterogenem Niveau geeignet. Für die unmittelbare Selbstkontrolle wurden die Lösungen der Übungsaufgaben am Ende des Lehrmittels aufgeführt. Im Algebra Teil werden anhand von vielen Übungsaufgaben die Inhalte aus der Volksschule repetiert, gefestigt und inhaltlich leicht ausgebaut. Als Hauptgebiete werden die Grundoperationen mit Termen bis zum Rechnen mit Brüchen behandelt. Beim Faktorisieren werden die binomischen Formeln einbezogen. Abgeschlossen wird der Teil mit dem Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Die in der Praxis oft vorkommenden Zehnerpotenzen, die Vorsätze (Kilo, Mega, Milli, Mikro, …) sowie gängige Einheiten werden ausführlich geübt. Mittels Textaufgaben wird jeweils der Bezug zur gewerblichen Anwendung hergestellt. Beim Einstieg in die Trigonometrie werden zunächst die wichtigsten Grundlagen der Geometrie inkl. Satz vom Pythagoras repetiert. Die Anwendung der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens werden am rechtwinkligen Dreieck gründlich eingeführt und anhand zahlreicher Übungsaufgaben gefestigt. Anschliessend werden die Anwendungen am allgemeinen Dreieck wie Sinus- und Cosinus-Satz eingeführt. Im Taschenrechner Teil werden die Grundfunktionen eines gängigen Taschenrechners mit AOS wie eines TI-30, … systematisch für die Anwendung geübt.

6 Vorwort

Die mit einem bezeichneten Aufgaben können im Unterricht mit der ganzen Klasse besprochen werden. Sie decken jeweils die wichtigsten Aspekte eines neuen Lernschrittes ab. Diese Aufgaben wurden so ausgewählt, dass sie exemplarisch vorgelöst werden können. Dabei werden sämtliche wichtigen Lerninhalte abgedeckt. Etwas anspruchsvollere Aufgaben werden mit •••• bezeichnet. Einzelne Textaufgaben in der Algebra setzen teilweise Fachwissen wie das Ohm’sche Gesetz, … voraus. Diese müssen je nach Branche und Kenntnisstand der Lernenden ausgewählt werden. Diese Aufgaben können auch ohne Weiteres weggelassen oder als Anlass zur Behandlung resp. Repetition dieser Anwendungsgebiete genommen werden. Dr. Agnès Pracht dozierte an der Berner Fachhochschule. Heute unterrichtet sie an der Höheren Fachschule für Technik Mittelland in Biel und Grenchen. Dr. Hans Marthaler unterrichtete an verschiedenen Berufsfachschulen in den Kantonen Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden. März 2016 Dr. Agnès Pracht und Dr. Hans Marthaler

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Inhaltsverzeichnis Algebra 1 Einleitung

1.1 Was ist Mathematik? .............................................................................. 9 1.2 Unsere Zahlen ......................................................................................... 10 1.3 Physikalische Grössen ............................................................................ 11 1.4 Zehnerpotenzen und Vorsätze ................................................................ 12 1.5 Signifikante Stellen und Runden ............................................................ 14 1.6 Grundoperationen und ihre Prioritäten ................................................... 16

2 Strichoperationen

2.1 Addition .................................................................................................. 17 2.2 Subtraktion .............................................................................................. 18 2.3 Klammern ............................................................................................... 19 2.4 Repetitionsaufgaben zur Addition und Subtraktion ............................... 21 2.5 Addieren und Subtrahieren von Zehnerpotenzen ................................... 24

3 Multiplikation

3.1 Multiplikation von Zahlen und Variablen .............................................. 25 3.2 Multiplikation von einem Term mit einer Summe ................................. 27 3.3 Multiplizieren von zwei Summen ........................................................... 28 3.4 Die Binomischen Formeln ...................................................................... 30 3.5 Multiplizieren von Zehnerpotenzen ........................................................ 34 3.6 Repetitionsaufgaben zur Multiplikation ................................................. 35 3.7 Ausklammern .......................................................................................... 38

4 Division

4.1 Brüche ..................................................................................................... 39 4.2 Vorzeichenregeln der Division ............................................................... 41 4.3 Dividieren von Zehnerpotenzen ............................................................. 42 4.4 Kürzen von Brüchen ............................................................................... 43 4.5 Kürzen nach Ausklammern .................................................................... 47 4.6 Multiplikation von Brüchen .................................................................... 49 4.7 Division von Brüchen ............................................................................. 50 4.8 Repetitionen zur Multiplikation und Division von Brüchen .................. 51 4.9 Erweitern von Brüchen ........................................................................... 54 4.10 Addition und Subtraktion von Brüchen .................................................. 56 4.11 Repetitionsaufgaben zur Algebra ........................................................... 57

5 Anwendungen der Algebra

5.1 Gleichungen ............................................................................................ 59 5.2 Umstellen von Formeln .......................................................................... 65 5.3 Textaufgaben .......................................................................................... 67 5.4 Ungleichungen ........................................................................................ 69

8 Vorwort

Trigonometrie 6 Elementare Lehrsätze aus der Geometrie

6.1 Erster Strahlensatz .................................................................................. 73 6.2 Zweiter Strahlensatz ............................................................................... 74 6.3 Satz von Pythagoras ................................................................................ 74 6.4 Satz von Thales ....................................................................................... 76 6.5 Übungen zur elementaren Geometrie ..................................................... 77

7 Rechtwinkliges Dreieck

7.1 Sinus ....................................................................................................... 85 7.2 Übungen zum Sinus ................................................................................ 87 7.3 Cosinus ................................................................................................... 90 7.4 Übungen zum Cosinus ............................................................................ 93 7.5 Tangens ................................................................................................... 96 7.6 Übungen zum Tangens ........................................................................... 97 7.7 Repetitionsaufgaben zum rechtwinkligen Dreieck ................................. 100

8 Das allgemeine Dreieck

8.1 Sinussatz ................................................................................................. 108 8.2 Übungen zum Sinussatz .......................................................................... 109 8.3 Cosinussatz ............................................................................................. 111 8.4 Übungen zum Cosinussatz ...................................................................... 112 8.5 Flächenberechnung im allgemeinen Dreieck ......................................... 114 8.6 Aufgaben zum allgemeinen Dreieck ...................................................... 115 8.7 Angewandte Aufgaben ........................................................................... 119

Taschenrechner

9.1 Einsatz eines Rechners ........................................................................... 123 9.2 Grundoperationen ................................................................................... 124 9.3 Potenzen .................................................................................................. 124 9.4 Exponentialform ..................................................................................... 126 9.5 Wurzeln .................................................................................................. 128 9.6 Klammern ............................................................................................... 130 9.7 Kehrwert ................................................................................................. 131 9.8 Brüche ..................................................................................................... 132 9.9 Prozent .................................................................................................... 134 9.10 Winkelumrechnungen ............................................................................. 135 9.11 Trigonometrische Funktionen ................................................................. 136 9.12 Repetitionsaufgaben ............................................................................... 137

Lösungen ..................................................................................................................... 139

Algebra

1 Einleitung In diesem ersten Teil geht es um die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von algebraischen Termen (= Ausdrücke mit Zahlen und Buchstaben). Zudem sollen mit den erarbeiteten Rechenverfahren Gleichungen und Ungleichungen gelöst werden.

1.1 Was ist Mathematik?

Die Mathematik umfasst verschiedenste Teilgebiete. Die Wichtigsten sind:

Algebra Rechnen mit Buchstaben, Lehre der Gleichungen

Analysis Differential- und Integralrechnung

Arithmetik Rechnen mit Zahlen

Geometrie geos = Erde; metrie = Messen

Planimetrie planos = Ebene; metrie = Messen

Stereometrie stereos = zwei; metrie = Messen von Raumebenen

Trigonometrie trigonos = drei Ecken

Vektorrechnung Rechnen mit gerichteten Grössen

Stochastik Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

10 Algebra

1.2 Unsere Zahlen

Die ersten Zahlen, die man kennen lernt, sind 0; 1; 2; 3; … Sie bilden die Menge der natürlichen Zahlen. Allerdings kann es vorkommen, dass die Zahl 0 von dieser Menge ausgeschlossen wird. Wenn man die negativen ganzen Zahlen wie 1− ; 2− ; 3− ; … zu den natürlichen Zahlen fügt, erhält man die Menge der ganzen Zahlen. Rationale Zahlen sind gebrochene Zahlen, die als gemeine Brüche (Quotienten mit ganzzahligen Zähler und Nenner), endliche, periodische oder vorperiodische Dezimalbrüche dargestellt werden. Beispiele:

gemeine Brüche: 1

2,

5

6,

19

4

endliche Dezimalbrüche: 0.325 , 2.9146 , 105.7

periodische Dezimalbrüche: 2

3 ,

6

11 , 0.748

vorperiodische Dezimalbrüche: 14

15 , 0.96 , 3.82

Damit alle Zahlen dargestellt werden können, kommen noch weitere Zahlen, die weder als ganze Zahl noch als gebrochene Zahl darstellbar sind, hinzu.

Beispiele: 2 , π , e (euler´sche Zahl), sin 35° , … Damit ergibt sich die Menge der reellen Zahlen. Stellt man die reellen Zahlen als Zahlengerade dar, so hat die Gerade keine Lücken mehr: Aufgaben: Ordnen Sie die folgenden Zahlen einer Zahlenmenge zu (ankreuzen):

natürliche Zahl ganze Zahl rationale Zahl reelle Zahl

001 0.5

002 17−

003 3.1

0 1

2 π

51−4−

3

2− e

1 Einleitung 11

1.3 Physikalische Grössen

Eine physikalische Grösse besteht aus einem Zahlenwert und einer Einheit. Beispiele von Einheiten sind Liter, Meter, Sekunde, Volt, Kilogramm, … In der folgenden Tabelle werden die Basisgrössen mit den zugehörigen SI-Basiseinheiten aufgelistet: Basisgrösse Grössensymbol SI-Einheit Zeichen

Länge l Meter m Masse m Kilogramm kg Zeit t Sekunde s Stromstärke I Ampère A Temperatur T Kelvin K Stoffmenge n Mol mol Lichtstärke Iv Candela cd Alle übrigen physikalischen Grössen können mit abgeleiteten SI-Einheiten beschrieben werden. Beispiel: Kräfte werden in Newton N gemessen.

Ein Newton ist ausgedrückt in Basiseinheiten: 2

m1 N 1 kg

s= ⋅

12 Algebra

1.4 Zehnerpotenzen und Vorsätze

In der Technik und der Natur kommen oft sehr kleine und sehr grosse Werte vor. Beispielsweise beträgt die Strecke zwischen Erde und Sonne 149 '600 '000 km.

Anders ausgedrückt ist die Strecke 111.496 10⋅ m. Dabei ist 111.496 10⋅ der Zahlenwert und „m“ steht für Meter und ist die Einheit. Zahlenwert und Einheit bilden bekanntlich die physikalische Grösse. Für die Darstellung von sehr grossen und sehr kleinen Zahlen werden am besten Zehnerpotenzen eingesetzt. In der Praxis werden oft Zehnerpotenzen in Tausenderschritten benutzt:

310 , 610 , 910 , 1210 und ebenso 310− , 610− , 910− , 1210−

wobei: 310 1'000= , 610 1'000 '000= und 3

3

1 110 0.001

10 1'000− = = =

Diese speziellen Zehnerpotenzen werden als Vorsätze bezeichnet und sind wie folgt definiert: Name Zeichen Potenz Faktor

Tera T 1210 1'000 '000 '000 '000

Giga G 910 1'000 '000 '000

Mega M 610 1'000 '000

Kilo k 310 1'000

Dezi d 110− 0.1

Zenti c 210− 0.01

Milli m 310−

0.001 Mikro µ 610−

0.000001 Nano n 910−

0.000000001 Pico p 1210−

0.000000000001 Aufgaben: Wandeln Sie die folgenden Längen um:

Beispiel: 314'500 m 14.5 10 m 1'450'000 cm 14'500 '000 mm 14.5 km= ⋅ = = =

m Zehnerpotenz cm mm km

004 33.7 10 m−⋅

005 281 mm

006 695.03 m

1 Einleitung 13

Schreiben Sie die physikalischen Grössen in der vorgegebenen Einheit mit Vorsatz: 007 26 '000 g in kg

008 71'500 '000 J in MJ

009 0.000049 m in mµ

010 0.000003 kg in mg

011 12 '800 '000 '000 W in GW

012 0.000000000034 F in pF

013 102 '500 '000 Hz in MHz

014 0.0000000068 s in ns

015 53'000 V in kV

016 1'700 '000 '000 '000 W in TW

Geben Sie die physikalischen Grössen mit der passenden SI-Einheit ohne Vorsatz, dafür mit Zehnerpotenzen an:

Beispiel: 6 711.7 MHz 11.7 10 Hz 1.17 10 Hz= ⋅ = ⋅

017 8.1kHz

018 0.2 mA

019 13.5 TW

020 0.0094 dm

021 652 ng

022 0.738 MV

023 243.9 mµ

024 56.18 kJ

025 0.32 MΩ

026 0.0006 mC

14 Algebra

1.5 Signifikante Stellen und Runden

Wenn eine Dezimalzahl auf eine gewisse Anzahl Stellen gerundet werden soll, gilt folgende Rundungsregel:

Folgt nach der Stelle, die als Letzte stehen bleiben soll, eine 5, 6, 7, 8 oder 9,

wird diese Stelle um 1 erhöht (aufrunden).

Folgt nach der Stelle, die als Letzte stehen bleiben soll, eine 0, 1, 2, 3 oder 4, bleibt diese Stelle unverändert (abrunden).

Beispiel: Runde die Zahl π jeweils auf 2, 3, 4 oder 5 Stellen nach dem Komma. 3.141592654... ≈ 3.14 abrunden ≈ 3.142 aufrunden ≈ 3.1416 aufrunden ≈ 3.14159 abrunden Aufgaben: Runden Sie folgende Dezimalzahlen jeweils auf 2, 3 und 5 Stellen nach dem Komma: 027 2.715382946

028 0.634912584

029 14.87523619

030 583.1549367

031 74.31602856−

1 Einleitung 15

Neben den Nachkommastellen werden Zahlen auch oft auf eine bestimmte Anzahl signifikanter Stellen gerundet:

Signifikante Stellen sind alle von Null verschiedenen

Ziffern sowie Zwischen- und Endnullen.

Bei Dezimalbrüchen wird dabei das Komma nicht beachtet.

Wenn die Zahl in Exponentialform angegeben ist, beachtet man nur die Zahl vor der Zehnerpotenz.

Dabei meint „signifikant“ „von Bedeutung sein“. Die Anzahl signifikanter Stellen einer Zahl wird bestimmt, indem man ab der ersten, von Null verschiedenen Ziffer, von links nach rechts zählt. Beispiele: Zahl Signifikante Stellen Bemerkungen

46 2 46.0 3 die letzte Null wird auch gezählt 46.01 4 die Null dazwischen zählt mit 0.73 2 die links stehende Null zählt nicht 0.730 3 die Null ganz rechts wird gezählt 0.7302 4 59'001 5 die Nullen werden auch gezählt

359 10⋅ 2 nur die zwei Ziffern zählen 359.0 10⋅ 3

Die Lösungen der Aufgaben im Anhang werden, sofern nicht anders angegeben, auf vier signifikante Stellen notiert. Aufgaben: Wie viele signifikante Stellen haben die folgenden Zahlen? 032 7305

033 490162

034 68.307

035 0.02948

036 0.7040

037 35.2 10⋅

038 51.64 10⋅

039 82.099 10⋅

16 Algebra

1.6 Grundoperationen und ihre Prioritäten

Die Rechenprioritäten innerhalb der Grundoperationen sind folgendermassen gegeben: Operation Operations-

zeichen Gleichungsbeispiel Priorität

Addition: Summe (addieren, hinzufügen) Subtraktion: Differenz (subtrahieren, wegzählen)

+

−

4 7 11+ = 6 13 19+ =a a a 13 17 4− = − 7 5 2− =x x x

tiefste Priorität

Multiplikation: Produkt (multiplizieren, mal rechnen) Division: Quotient (dividieren, geteilt rechnen)

⋅

:

7 6 42⋅ = 4 3 12⋅ =c a ac 12 : 3 4= 140 : 20 7=a a

mittlere Priorität

Potenzieren: Potenz (mit sich selber multiplizieren) Radizieren: Wurzel (Wurzel ziehen)

nx

x

34 64= 3 64 4=

höchste Priorität

Bemerkung: Zu den Strichoperationen gehören die Addition und die Subtraktion, weil das

Operationszeichen aus Strichen besteht. Aus demselben Grund gehören die Multiplikation und die Division zu den Punktoperationen.

Zuerst wird immer die Operation mit der höchsten Priorität ausgeführt

(Punkt vor Strich).

Beispiele: 2 3 4+ ⋅ = 14

42 3⋅ = 162

25 4 3+ ⋅ = 41

Aufgaben: Berechnen Sie die folgenden Werte mit dem Taschenrechner: 040 73 11 8+ ⋅

041 4 26 19⋅ −

042 517 6 2+ ⋅

043 38 61 128 7 2⋅ − − ⋅

2 Strichoperationen 17

2 Strichoperationen

2.1 Addition

Es können nur zwei gleichartige Terme (gleiche Buchstaben) addiert werden.

Beispiele: 2a a a+ =

2 3b c c b c b c+ + + + = +

Gleichartige Terme werden addiert, indem man die Koeffizienten (Zahlen,

die vor den Buchstaben stehen) addiert und die Variablen beibehält.

Beispiele: 5 7a a+ = 12a 3 8a b+ = 3 8a b+ 6 3 2r r t+ + = 9 2r t+ Der Koeffizient 1 wird nicht geschrieben: 1 1a a a= ⋅ = Aufgaben:

044 7 4 9 16b b b b+ + +

045 14 9 15 4a c d c+ + +

046 27 16 13 4a c b a+ + +

047 17 6 4 3p pq q pq+ + +

048 2 24 3 2 6r q r q+ + +

049 14 15 16 31 41α + γ + α + β + β

050 2 241 3 4 5 4d b e c b+ + + +

18 Algebra

Im Resultat werden die Buchstaben alphabetisch geordnet aufgeschrieben.

Beispiel: 21 43 16 17 13 17 43 16 34yx db tu a xy a bd tu xy+ + + + = + + +

Es können auch ganze Blöcke (Klammerausdrücke) addiert werden.

Aufgaben: 051 25 ( ) 19 ( )a b a b⋅ + + ⋅ +

052 156 ( 1) 93 ( 1) 244 ( 1)b b b⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

2.2 Subtraktion

Es können, wie bei der Addition, nur gleichartige Terme subtrahiert werden.

Man subtrahiert gleichartige Terme, indem man die

Koeffizienten subtrahiert und die Variablen beibehält.

Beispiele: 5 4a a− = a 5 4a b− = 5 4a b− 11 3 2e e g− − = 8 2e g−