Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner

Wie man durch eine Postkarte steigt

Band 6146

Das BuchMathematik zum Anfassen und Selbermachen: Zwei ausge-fuchste Experimentatoren schnippeln, knicken und falten, wasdas Zeug hält. Sie basteln Möbiusbänder und Doppelringe,bauen einen Spiegelkasten und steigen ganz ungeniert durcheine Postkarte. Ob im DIN-Format zum Mond oder beim un-fairen Würfelspiel: Mit Lineal, Schere und Klebstoff in derHand lernen wir wie von selbst die Mathematik besser verste-hen. Ein unterhaltsames und spannendes Buch für kleine undgroße Mathematiker. Der Bestseller nun endlich als Taschen-buchausgabe.

„Beutelspacher und Wagner schreiben herrlich einfach, all-tagsnah und schnörkellos.“ Bild der Wissenschaft

Die AutorenProf. Dr. Albrecht Beutelspacher, geb.1950 in Tübingen, seit 1988Professor am Mathematischen Institut der Universität Gießenund seit 2002 Direktor des Mathematikums in Gießen. Trägerzahlreicher Preise, darunter des Communicator-Preises des Stifterverbands für die Deutsche Wissenschaft (2000) und desDeutschen IQ-Preises (2004).

Marcus Wagner, geb.1979 in Bad Nauheim, Studium der Mathe-matik, war von 2005 bis 2007 Volontär im Mathematikum. Ab2007 wissenschaftlicher und pädagogischer Leiter im Dynami-kum Science Center in Pirmasens. Seit 2009 Lehrer für Mathe-matik und Physik in Berlin.

Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner

Wie man durch einePostkarte steigt

... und andere spannende mathematische Experimente

Mit Illustrationen von Anna Zimmermann

Titel der Originalausgabe: Wie man durch eine Postkarte steigt

© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2008ISBN 978-3-451-29643-7

© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2010Alle Rechte vorbehalten

www.herder.de

Umschlagkonzeption und -gestaltung:R·M·E Eschlbeck / Hanel / Gober

Umschlagmotiv © Anna ZimmermannFoto Albrecht Beutelspacher: © Mathematikum Gießen /

Foto: Rolf K.WegstFoto Marcus Wagner: © privat

Satz: Dtp-Satzservice Peter Huber, FreiburgHerstellung: fgb· freiburger graphische betriebe

www.fgb.de

Gedruckt auf umweltfreundlichem, chlorfrei gebleichtem PapierPrinted in Germany

ISBN 978-3-451-06146-2

Inhalt

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Bevor Sie anfangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Vom Rechteck zum Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 14Vom Rechteck zum Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . 17Parallelogramm aus einer Zeitung . . . . . . . . . . . . 20Fünfeckknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Vom Dreieck zum Sechseck . . . . . . . . . . . . . . . . 27Vom Quadrat zum Achteck . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Parabeln falten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ellipsen falten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Gärtnerkonstruktion der Ellipse . . . . . . . . . . . . . 42Sinusschablone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Gleichdicks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Es passt! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Das T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Formenpuzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Pentomino-Kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Griechisch-lateinisches Quadrat . . . . . . . . . . . . . 59Qua-Kreuz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Qua-Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Wie man durch eine Postkarte steigt . . . . . . . . . . 68

4. Zwischen zweiter und dritter Dimension . . . . . . . . 71Alles gerade, trotzdem rund . . . . . . . . . . . . . . . 72Das Möbiusband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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Die Quadratur von zwei Kreisen . . . . . . . . . . . . 81Zwei Herzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Schraubenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. Würfel und Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Kantenmodell eines Würfels . . . . . . . . . . . . . . 91Pop-up-Dodekaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Falt-Oktaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Ikosaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Fußball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Pentagrammleuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Tetraeder im Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Keplerstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Reflexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Spiegelprisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Spiegelbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Eckspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Spiegelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7. Kleine und große Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Pi am Kölschglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Im DIN-Format zum Mond . . . . . . . . . . . . . . . 136Seildreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ein unfaires Würfelspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Binärtrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8. Geheimnisvolles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Sandorf-Verschlüsselung . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Cäsar-Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Skytala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Vorwort

Mathematische Experimente – gibt es das überhaupt? Ohne uns auf philosophische Fragestellungen einzulas-

sen, sagen wir einfach: Ja, es gibt sie! Und in diesem Buchhaben wir unsere mathematischen Lieblingsexperimentezusammengestellt. Sie müssen die Experimente nicht inder Reihenfolge wie im Buch durchmachen. Beginnen Siemit einem Experiment, das Sie besonders anspricht.

Dass dies Experimente sind, daran werden Sie nichtzweifeln, denn Sie müssen etwas tun. Keine Angst! Siebrauchen weder spezielles Material (meist reicht Papier),noch ausgefallene Werkzeuge (manchmal ist eine Scherenotwendig), noch speziell trainierte motorische Fähigkei-ten (oft reicht es, Papier zu falten). Unser Motto lautet: Je einfacher, desto besser. In der Tat sind diese Experimen-te auch in besonderer Weise für Kinder, zum großen Teil sogar für Vorschulkinder geeignet, die so einen ersten Zu-gang zur Mathematik erhalten.

Denn es handelt sich um mathematische Experimente.Wie bei jedem guten Experiment werden Sie staunen, sichwundern und manchmal auch verblüfft sein. Aber diemathematischen Experimente gehen darüber hinaus. Siegeben zu Fragen Anlass (Warum ist das so?), sie regen Vor-stellungen an (Wie wird aus etwas Zweidimensionalem etwas Dreidimensionales) und sie bergen in sich Hinweisezur gedanklichen Klärung. Denn oft macht es an einer spe-ziellen Stelle des Überlegens „klick“ (der berühmte „Aha-Effekt“), und damit sehen Sie wie durch einen Blitz die„Lösung“ beziehungsweise kommen zum Verständnis.

Wenn man den Unterschied zwischen einem physikalischenund einem mathematischen Experiment scharf fasst, kann

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man sagen: Mit einem physikalischen Experiment wird einNaturgesetz nachgewiesen, mathematische Experimente re-gen Gedanken an. In jedem Fall ist es so, dass mathemati-sche Experimente immer das gleiche Ergebnis liefern!

In diesem Buch finden Sie ein reiches Angebot an Themen:Sie können nicht nur durch eine Postkarte steigen, sondernauch einen Fußball und weitere geometrische Körper her-stellen. Sie erleben Verschlüsselungsmethoden und könnenPi am Kölschglas entdecken.

Hinter all diesen Experimenten steckt auch benennbareMathematik. An einigen Stellen haben wir das herausge-arbeitet. In jedem Fall sind die Erkenntnisse, die Sie ausden Experimenten erhalten, anschlussfähig an die bekann-te Mathematik. Insofern bilden diese Experimente einenreichen Schatz, von dem Kinder und Erwachsene viele Jah-re zehren können.

Wir danken den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern desMathematikums, die mit uns die Experimente getestet, er-probt und verbessert haben.

Wir hoffen, dass Sie viel Freude an diesen Experimentenhaben. Sicher werden Sie Erfahrungen machen und fest-stellen, dass manches anders noch besser geht, und viel-leicht vermissen Sie auch ein Experiment. Wir würden unsfreuen, wenn Sie uns Ihre Erfahrungen mitteilen würden.

Schreiben Sie an albrecht.beutelspacher@mathematikum.deoder marcus.wagner@mathematikum.de.

Gießen, im Dezember 2007

Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner

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Bevor Sie anfangen

Die meisten Experimente in diesem Buch können Sie oh-ne Vorbereitung durchführen.Wenn Sie dieses Symbolsehen, brauchen Sie nur Materialien, die Sie vermutlichgriffbereit haben: Papier, Stift, Lineal und Kleber. Schreib-utensilien werden in den Experimentbeschreibungen nichtgesondert aufgeführt.Wenn für ein Experiment sehr wenig Material und Werk-zeug benötigt wird, beispielsweise ausschließlich ein BlattPapier, so wird es mit dem Symbol gekennzeichnet.Um diese Experimente durchzuführen, brauchen Sie nurwenig Zeit. Das Symbol zeigt an, dass Sie für das Ex-periment zunächst ein paar Materialien besorgen müssen.Es handelt sich jedoch stets um wenige Dinge, die Sie inBastelgeschäften oder Baumärkten finden.

Kopiervorlagen

Für manche Experimente sind Kopiervorlagen abgedruckt.Meist empfiehlt es sich, die Vorlagen zu vergrößern. Über-legen Sie vor dem Kopieren, um welchen Faktor Sie dieVorlage vergrößern wollen. Das können Sie leicht berech-nen: Messen Sie die Länge der Kopiervorlage und legen Sie fest, wie groß die Kopie sein soll. Teilen Sie die ge-wünschte Größe der Kopie durch die Originalgröße undschieben Sie das Komma um zwei Stellen nach rechts. Soerhalten Sie die Prozentangabe, die Sie am Kopierer ein-stellen müssen.

Ein Beispiel: Die Vorlage ist 18 cm lang. Sie soll nachdem Kopieren ein DIN-A4-Blatt gut ausfüllen. Damit nochein kleiner Rand übrig bleibt, soll die Länge der Vorlagenach dem Kopieren 27 cm betragen. 27 geteilt durch 18 ist

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1,5. Nach dem Verschieben des Kommas erhält man denWert 150. Stellen Sie den Kopierer daher auf 150 Prozentein. Sie müssen dann nur noch die Vorlage an der richti-gen Stelle auf dem Vorlagenglas des Kopierers anlegen.

Basteln

Bei allen Experimenten gilt: Je genauer Sie arbeiten, destoschöner wird das Ergebnis. Viele Experimente sind jedochso gestaltet, dass sie auch bei nicht hundertprozentig exak-tem Arbeiten zu einem guten Ergebnis führen.

Das Symbol zeigt Ihnen, welche Materialien Sie be-nötigen.

Bei Legespielen können Sie statt Papier auch Moos-gummi verwenden. Dadurch wird das Spiel noch schönerund länger haltbar.

Bei der Herstellung von dreidimensionalen Körpern istes hilfreich, alle Kanten genau vorzufalten. Klebestellenkönnen Sie mit Büroklammern fixieren.Wenn Sie den Kör-per während der Herstellung mit Papierabfällen füllen, haben Sie beim Schließen der letzten Klebestelle einenWiderstand zum Festdrücken.

Lassen Sie den Kleber nach jedem Bastelschritt trock-nen. Dafür ist etwas Geduld nötig, aber es erleichtert dasBasteln ungemein. Das Trocknen geht schneller, wenn Sienicht mehr Klebstoff als nötig verwenden. Für die meistenExperimente eignet sich Flüssigkleber oder ein Klebestift;manchmal ist eine Heißklebepistole von Vorteil.

Wie geht es weiter?

Wollen Sie die Experimente anderen zeigen oder für sichselbst nochmals durchführen? Dann reicht ein Blick auf dieZusammenfassung am Anfang eines Experiments, um sichdie wichtigsten Schritte wieder ins Gedächtnis zu rufen.

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An vielen Stellen werden zusätzlich Hinweise auf Vari-ationsmöglichkeiten oder Fortsetzungen für ein Experimentgegeben. Beispielsweise lassen sich die Techniken, die beiden Experimenten „Würfel“ und „Ikosaeder“ vorgestellt wer-den, auf andere geometrische Körper übertragen.

Literatur

Wenn Sie ein Experiment und die darin steckende Mathe-matik besonders interessieren, können Sie in den Literatur-angaben weitere Informationen finden. Teilweise han-delt es sich um Bücher mit weiteren Bastelanleitungen,meist aber um Bücher und Zeitschriften, welche die im Experiment enthaltene Mathematik vertiefen. Es sind je-doch keine wissenschaftlichen Lehrbücher, sondern nurallgemein verständliche Texte angegeben.

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1.Figuren

Vom Rechteck zum Dreieck

Kann man aus einem gewöhnlichen rechteckigenPapier ein Dreieck falten? Klar, man muss nur ei-ne Ecke umknicken. Doch so entstehen nur recht-

winklige Dreiecke. Wir wollen aber ein gleichseitiges Drei-eck falten, also eines, bei dem alle Seiten gleich lang sind.Manche sagen, das sei das schönste Dreieck.

Mit nur einmaligem Falten kann man kein gleichseiti-ges Dreieck erhalten, aber mit ein bisschen mehr Aufwandschon. Und so geht es:

Papier im DIN-Format (z.B. A5, A4 oder A3)

Zuerst braucht man eine Hilfslinie. Falten Sie das Blatt da-zu längs in der Mitte, sodass die beiden langen Kantenaufeinanderliegen. Klappen Sie es wieder auf und legen Siees hochkant vor sich hin.

Nun kommt der entscheidende Schritt: Falten Sie die rech-te untere Ecke des Blattes so ein, dass zwei Eigenschaftengleichzeitig erfüllt sind: Erstens muss die rechte untere

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Ecke auf der Hilfslinie in der Mitte liegen, und zweitensmuss die neue Knickfalte durch die linke untere Ecke ver-laufen. Das so entstandene Dreieck ist zwar noch nichtgleichseitig; aber seine längste Seite ist bereits die ersteSeite des Dreiecks, das wir falten wollen.

Betrachten Sie die kürzeste Seite des gerade gefaltetenDreiecks. Denken Sie sich diese Seite verlängert und faltenSie das Papier entlang dieser Linie. Wenn Sie präzise ge-arbeitet haben, kommt die erste Faltkante genau auf dierechte Papierkante. Jetzt muss nur noch der überstehendeTeil links oben abgeknickt werden, und fertig ist das Drei-eck.

Wie kann man überprüfen, ob das Dreieck gleichseitigist? Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Sie können die Kan-tenlängen messen oder das Dreieck an den Symmetrie-achsen falten, um zu sehen, ob die Kanten und Winkeleinander entsprechen. Sie können aber auch – wenn Siedas Experiment mit anderen gemeinsam machen – mehre-re Dreiecke übereinander- oder (noch besser) aneinander-legen.

Wie viele Dreiecke kann man an einer Ecke zusam-menlegen? Daraus ergibt sich der Winkel: Einmal herum

sind es 360°, durch 6 gibt 60°,also ist es auch ein gleichwink-liges Dreieck.

Wieso kann man so einfach auseinem Rechteck ein gleichseiti-ges Dreieck machen, obwohl bei-de auf den ersten Blick nichtviel miteinander zu tun haben?Der entscheidende Schritt ge-schieht bereits beim ersten Fal-ten. Hier wird der 90°-Winkelder linken unteren Ecke des Blat-

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tes in drei gleiche Teile geteilt. Zwei Teile zusammen bil-den 60°, also genau den Winkel, den man für das gleich-seitige Dreieck braucht.

Man kann das sogar beweisen: Wenn man das Dreieckwieder auffaltet, kann man sehen, dass die ursprünglicheuntere Kante des Blattes nach dem ersten Falten genaueine Höhenlinie des Dreiecks bildet. Das ist die kürzesteVerbindung von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite.Im Fall des gleichseitigen Dreiecks trifft jede Höhe genauauf die Mitte einer Seite. Daher muss man die rechte un-tere Ecke zuerst auf die Hilfslinie in der Mitte falten. DieHilfslinie teilt jede Verbindung zwischen der rechten undder linken Kante des Blattes automatisch in zwei gleicheTeile. Der Rest ist dann eine Wiederholung dieses Schrittes.

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