Alexander Tochtenhagen, Marcel Gr uneberg 10. November...

Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Aquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

Alexander Tochtenhagen, Marcel Gruneberg

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultat II - Institut fur Mathematik

10. November 2010

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Inhaltsverzeichnis

1 Logik

2 Rahmenplan

3 Logische Grundlagen

4 Aquivalenzumformungen

5 Beweise

6 Bedingungen

7 Zum Anfang

8 Quellen

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Einfuhrung

Ein Jager geht auf die Jagd

Ein Jager geht auf die Jagd; So-

nusvox ist sein Hufthorn, aus wel-

chem duae praemissae als zwei Ro-

sen hervorgehen; der das Horn hal-

tende Arm bedeutet Argumenta; auf

seiner Brust ist Conclusio geschrie-

ben; Syllogismus ist sein Waidmes-

ser, Quaestio der Bogen in seiner

rechten Hand; vor ihm springen zwei

Jagdhunde, ein schoner Veritas und

ein haßlicher Falsitas; Gegenstand

der Jagd ist ein Hase Problema;

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Einfuhrung

Definition Logik

Logik

Logik ist die Lehre des vernunftigen (Schluss-)Folgerns.

Logik untersucht die Gultigkeit von Argumenten hinsichtlichihrer Struktur unabhangig vom konkreten Inhalt dereigentlichen Aussagen.

man spricht auch von”mathematischer”Logik.

Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und derInformatik

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Einfuhrung

Historischer Uberblick

Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen

Schließen”von Aristoteles begrundet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.

George Boole fuhrte als erster fur den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zuganglich wurde.Booles Ansatz wurde spater zur Pradikatenlogik erweitert.

Den Hohepunkt der Entwicklung stellt die Veroffentlichungder

”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.

Russel dar.

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Ein paar einfache Probleme

Wason Selection Task

Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einemBuchstaben auf der anderen Seite.

These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zutesten?Tipp: Es sind so wenig wie moglich, aber soviel wie notigumzudrehen.

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Ein paar einfache Probleme

Die Verneinung

Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!

1 Alle Schuler sind fleißig.

2 Der gegenwartige Konig von Frankreich hat eine Glatze.

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Logik im Berliner Rahmenplan

Sekundarstufe I

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Prozessbezogene Kompetenzbereiche

Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allenNiveaustufen Schulerinnen und Schulern den Erwerb derfolgenden Kompetenzen zu ermoglichen.

Argumentieren

Probleme losen

Modellieren

Darstellungen verwenden

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen derMathematik umgehen

Kommunizieren

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Argumentieren

Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden vonSituationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlussigeBegrunden von vermuteten Zusammenhangen. In derSekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedlicheGrade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichenBegrunden bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zuruckfuhrenauf gesicherte Aussagen.

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Prozessbezogene Standards

Die folgenden Standards werden von Schulerinnen und Schulernaller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufenerwartet.

Argumentieren

Die Schulerinnen und Schuler

erkunden mathematische Situationen und stellenVermutungen auf,

begrunden die Plausibilitat von Vermutungen oder widerlegendiese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen,

entwickeln schlussige Argumentationen zur Begrundungmathematischer Aussagen,

hinterfragen Argumentationen und Begrundungen kritisch,finden und korrigieren Fehler.

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Beispiele

Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schulerinnen und Schuler dazu befahigendiese auch kritisch zu prufen. =⇒ Beweisen!

P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz uber die Winkelsumme im Dreieck

P5 – 9/10 Mit Winkeln und Langen rechnen

FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

P2 – 9/10 Langen und Flachen bestimmen und berechnen

FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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Beispiele

P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken

FFF beweisen die Irrationalitat einer Quadratwurzel (indirekterBeweis)

Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen desModuls

”Entdecken, Begrunden, Beweisen”behandelt.

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Sekundarstufe II

Kurs ma–Z3 Logik

Aussagen– und Pradikatenlogik

Quantoren, Verknupfungen bei Aussageformen,Mengendiagramme

logische Schlussformen

Beachte: Zusatzkurse durfen nicht vor dem Besuch derentsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden

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Mathematische Logik

Einfuhrung

Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalenMethode der Mathematik auf das Gebiet der Logik.

logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkul

erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen reininhaltliches Denken versagt

nutzlich in Disziplinen die eine axiomatische Begrundungzulassen

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Aussagenlogik

Definition

Aussage

Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten,dass sein Inhalt richtig oder falsch ist.

Beispiele:

Der Schnee ist schwarz.

9 ist eine Primzahl.

Hertha BSC steigt nachste Saison nicht auf.

Die Masse m eines Korpers ist von seinem Bewegungszustandunabhangig, d.h. m0 = mv .

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Aussagenlogik

Verknupfung von Aussagen

Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.

Was uns interssiert ist der Wahrheitswert

Wichtige Verknupfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Aquivalenz)

A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ B

f f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w

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Aussagenlogik

Aussagenlogische Gesetze

tertium non datur

Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zweieinander widersprechende Aussagen nicht beide ungultig seinkonnen.

A ¬A A ∨ ¬Awahr falsch wahr

falsch wahr wahr

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Aussagenlogik

Aussagenlogische Gesetze

ex falso quodlibet

Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahmekann man quasi beliebige Aussagen ableiten.Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf.

Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben,dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhinmeinte der Philosoph, konnen Sie mir beweisen:

”Wenn 1 = 2, so

sind Sie der Papst.” [6]

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Schlussregeln

Modus ponendo ponens

Abtrennungsregel

Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) derklassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussageeine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen ersterPramisse,

”Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten

Pramisse A folgt die Konklusion B.

A⇒ B

A

B

Beispiel:

”Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und

”Es regnet“ folgt

logisch:”Die Straße wird nass“.

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Schlussregeln

Modus tollendo tollens

Aufhebungsregel

Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

”nicht B“und

”Wenn A, dann B“auf die

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

A⇒ B

¬B¬A

Beispiel:

”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

”Die Straße ist nicht

nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

unzulassig und falsch.

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Schlussregeln

Modus tollendo tollens

Aufhebungsregel

Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

”nicht B“und

”Wenn A, dann B“auf die

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

A⇒ B

¬B¬A

Beispiel:

”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

”Die Straße ist nicht

nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

unzulassig und falsch.21 / 52


Pradikatenlogik

Grundlagen

Pradikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik

Erweiterung der Aussagenlogik betrachten

Pradikatenlogik kann mogliche Variablen mit Hilfesogenannter Quantoren quantifizieren

Fur uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren:

∀ fur alle

∃ es existiert

∃! es existiert genau ein

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Pradikatenlogik

Formalisierung

Mit Hilfe der Pradikatenlogik lasst sich ein großer Bereich anSatzen formalisieren und dann auf seine Gultigkeit innerhalb einesAxiomsystems prufen.

Ein Madchen spielt Schach.

Es gibt jemanden, der Madchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , fur das gilt: x ist Madchen und x spielt Schach.∃x : x ist Madchen ∧ x spielt Schach.

Alle Frauen sind gute Autofahrer.

Fur jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fahrt es gutAuto.Fur alle x gilt: ist x eine Frau, dann fahrt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fahrt gut Auto.

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Pradikatenlogik

Wahrheitswerte

Beachte, auch in der Pradikatenlogik lassen sich Wahrheitswerteden Aussagen zuordnen.

Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn esmindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x)erfullt ist.

Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn fur alleBelegungen der Variable x , F (x) erfullt ist.

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Pradikatenlogik

Die Implikation

Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

Fall Einsetzungfur x

x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

wf– – – –

fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

Damit ist die Allgemeingultigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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Grundlagen der Aquivalenzumformungen

Grundlage: Aussageform

Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welchesmindestens eine Variable enthalt und nach geeigneterErsetzung in eine wahre oder falsche Aussage ubergeht

Beispiele

A(x) :√x = 2,M = {x ∈ R :

√x = 2} = {4}

B(x , y) : x + 10y = 8

M = {(x , y) ∈ R2 : x + 10y = 8} = {(k , (8− k

10)) ∈ R2, k ∈ R}

Belegung fur die eine Aussageform wahr wird, wird alsErfullungsmenge M uber der Grundmenge Gn bezeichnet.

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Aquivalenz von Aussageformen

Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unterder gleichen Grundmenge als aquivalent genau dann, wenn ihreErfullungsmengen ubereinstimmen.Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einerGleichung, die die Erfullungsmenge nicht verandert alsAquivalenzumformung.Dazu gehoren:

Addition eines Terms und

Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten

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Beweis

Verallgemeinerung

Satz

Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einerGleichung an, so bezeichnet man dies als Aquivalenzumformung.

Beweiszu zeigen ist:

Sei (x,y,..) eine Losung der Gleichung h = j , mit h,j Terme,dann ist (x,y,...) eine Losung der Gleichung f (h) = f (j).

Es existieren keine Losungen von f (h) = f (j), die nichtgleichzeitig Losungen von h = j sind.

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Beweis

Zum Beweis

Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion

Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivitat von f

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Typische Schulerfehler

Fehler

Losen von Gleichungssystemen uber R

Aquivalenzumformungen von Gleichungen uber R

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Losungsmenge des Gleichungssystems

Abbildung: Losungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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Losungsmenge des verandertem Gleichungssystems

Abbildung: Losungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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Erfahrungen

Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wieseid ihr damit umgegangen?

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Definition

Beweis

Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gultigerSchlussregeln durchgefuhrt werden und die von wahren bzw. alswahr angenommenen Aussagen (Pramissen) ausgehen und zu derAussage A (Konklusion) fuhren, nennen wir Beweis der Aussage A.

einige wichtige Beweisverfahren:

direkter Beweis

indirekter Beweis

Beweis durch Kontraposition

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Direkter Beweis

Vorgehen

Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahrangenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gultigenSchlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten dieBehauptung folgt.

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Indirekter Beweis

Vorgehen

Die Implikation”wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der

Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorhergesehen in Abschnitt

”Implikation”.

A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A

Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzungund die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn dieVerneinung falsch ist.

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Indirekter Beweis

Kalkul

Die Annahme fur den indirekten Beweis gewinnen wir durchdie Negation der Behauptung.

Mit gultigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis einWiderspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlichwird.

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Indirekter Beweis

Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation

A B ¬A ¬B A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬(A⇒ B)⇔ ¬B ∧ A

w w f f w fw f f w f wf w w f w ff f w w w f

Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitigwahr sein konnen. Daraus muss folgen, dass die Annahme falschund die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist.

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Kontraposition

Beweis durch Kontraposition

Achtung: Haufig mit dem indirekten Beweis verwechselt.

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Kontraposition

Wahrheitstabelle

WahrheitswerteA B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬B ⇒� A ⇔ ¬A∨B ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ A

w w f f w w fw f f w f f wf w w f w w ff f w w w w f

Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A⇔ A⇒ B

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Kontraposition

Erfahrungen

Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginndes Studiums

Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisengemacht?

Wurde euch eine solch theoretische Einfuhrung zum Beginndes Studiums helfen mit Beweisen umzugehen?

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Notwendige und Hinreichende Bedingung

Grundlagen

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sindBegriffe aus der Aussagenlogik.

Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichendenTypen von Voraussetzungen

Unterscheidung ermoglicht die genauere Einordnung vonSchlussfolgerungen

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Notwendige Bedingung

Notwendige Bedingung

Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung,ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfullung derVoraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses.Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auchK.O.-Kriterium genannt

Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nichtgelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgendarf.

Beispiel: Nur wer volljahrig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen.

Volljahrigkeit ist eine notwendige Bedingung fur das Wahlrecht zum

Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss

noch weitere notwendige Bedingungen erfullen, z. B. die deutsche

Staatsburgerschaft besitzen.

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Hinreichende Bedingung

Hinreichende Bedingung

Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei derenErfullung Ereignis zwangslaufig eintritt und keine weiterenVoraussetzungen benotigt werden. Das Vorliegen des Ereignissesjedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignisvorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichendeBedingung erfullt sein muss.

Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegtdaran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf.

Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend

(ausreichend) dafur, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine

notwendige Bedingung hierfur, weil es auch andere Moglichkeiten gibt,

eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem

Wasserschlauch.44 / 52



Notwendige und hinreichende Bedingungen fur Extrema

Eine notwendige Bedingung fur die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?

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Notwendige und hinreichende Bedingungen fur Extrema

Hinreichend ware:f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) < 0 fur ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0 fur ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Wurde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?

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Losung der Aufgaben

Wason Selection Task

These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Die Karten A und 7 mussen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.

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Losung der Aufgaben

Die Verneinung

Aufgabe: Verneine folgende Aussage!

Der gegenwartige Konig von Frankreich hat eine Glatze.

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Losung der Aufgaben

Ausfuhrliche Analyse des Problems

Wir konnten uns in der Vergangenheit davon uberzeugen, dass Aussagen wahr oderfalsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenneine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Moglichkeit gibt esnicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur).Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwartige Konig von Frankreich hat eineGlatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwartige Konig von Frankreich hatkeine Glatze“aus? Einer der beiden Satze muss wahr sein, der andere falsch. Welcherist wahr, welcher falsch?Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unterihnen den gegenwartigen Konig von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hatkeinen Konig). Der Satz ”Der gegenwartige Konig von Frankreich hat eine Glatze“waredemnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird manjedoch auch nicht auf den gegenwartigen Konig von Frankreich stoßen. Der Satz ”Dergegenwartige Konig von Frankreich hat keine Glatze“ware somit nicht weniger falsch!

Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung

falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen

Sprache nicht vertraglich.

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Losung der Aufgaben

Ausfuhrliche Losung des Problems

Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung”der

gegenwartige Konig von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname.Der Satz ”Der gegenwartige Konig von Frankreich hat eine Glatze“muss korrektanalysiert werden als Es gibt genau ein Ding, das Konig von Frankreich ist, und diesesDing hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch.Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu

”Es ist nicht der Fall, dass es genau

ein Ding gibt, das gegenwartiger Konig von Frankreich ist, und dass dieses Ding eineGlatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz

”Der gegenwartige Konig

von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Es gibt genau ein Ding,das gegenwartiger Konig von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. DieserSatz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Moglichkeit, dass beide Satzezugleich falsch sein konnen, ist daher kein Problem fur unsere logische Sprache.

Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fallt also die

Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwartige Konig von Frankreich

hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwartige Konig von Frankreich hat keine

Glatze“lautet.[1]

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Quellen

Bertrand Russel: On Denoting –(http://www.jstor.org/pss/2248381)

Berliner Rahmenlehrplan fur die Sekundarstufe I – Mathematik

Berliner Rahmenlehrplan fur die Sekundarstufe II –Mathematik

Georg Klaus: Moderne Logik (1972)

D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzuge der theoretischen Logik(1958)

http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf

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Spock

Logic is the beginning of wisdom, not the end.

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