Algebra Probleme

7/25/2019 Algebra Probleme

1/18


2/18


3/18


4/18

6'0 ./0;

~.. , ~ :

er. !'?t.e:uzu A.4e.li tu.il...Ic- ,Ll ~LLLCLl',(LU cE lu!fla.....{fll~d( {/}aw e. . . ~

- ),7l.L{ ""..L A:::- {t:'/1-e-;~ dJ e5 ~ (?~/(,u -i.R ~lCL

)

2. {(~/ ~ ~ (c< ')cVJ(~ eJ ) (e) ce} $~ i ., ~ CQ UUU-le/u>~'L.. ll...a....Ui~a:..k N

- . , I.t ,k,~ ~ -

:>

f? , rdLu h..'" 1 1 ) L-::::z-~ /J'"h


5/18

~~ Cu crz-cLL( vuU.2- C-

,1 . /?ue. .; ~a.Z:lCu...te d..iu.t;; e.uuu..Q~~u--e- , ./U&.Zu- e~ tJ

:>

e y e ; 0A:ti?oZ.J-e d.)

) (:z ) I) ('~O+ICL cer dMNLwe'kZ~.~ ) A; ; { C ? ') 'C.) e) d 7 ? I < .zf (q)~L}.J(go) ~ ) (~ '(;~ {Cf?L/ .J ((!.J ft~

(~J u) (~dJ) rei., eJ:; (C{Jd) 5

e L J dx d c !. u - I'uea..R,7~(C( -(i) u{("-)d)~=- -e < d'''';!__-a/s dr(,.

? -

Z> .ea ~}t:t ~ LU~~-UP hit. he -?(X)) U-..ut:e/ ,rz .vl.I..ud e i!.; ~ /

I C f'J ~/ (1)d~)d'-;ku.-ul~ 0 ,~./Q/iJe_ d~ CYlc(~e..

..-"L~ .~ ~~ N-.J2a4b d.D~v,~ : J )


6/18

CQJ .. e. ~ "1~) ~~ .f:>tJ7 /J ~ ~ ~ 'k/ rE) UuJeL7tU~ ~

e.f.tUJ eu k? c.;'hdu~ C?~nf .?t.uzL:/ Gc9--tu..u /.-..,_ Aro...f:..V " = ? (J CA-

~ I- ~o ~l '(;1.., VL Luz @Jl~ lor tA-~ -c -. ./ ?

Ne. (f1} ..)e) U-V t-u~..~...lVid r/tu..t'-t. ~~~Ir:0' ~-- t..u..I ~'-U-/~

~la. (ad~-;cr'?)/-qU 4"'


7/18

G

r!a" k ~ ~/'V -. ~ ~ Lu l"] fi ? (LL~';y-c1 r-~c6;;4 l.-u'k(0 {.LU.j (?.:b .Jt ..U ~ '2 Q.J...q eu It-- ') ~a.., (.'


8/18

~ '(J 'Z;-, .fe.ud ed-v"a..{ev..Zi")

~ a -Jv are(0 1tdl.a.J& 7e_ . '?

~rru"--) e" ~(-RA..LUJ-IUH/ ~ ~ QJ/Q.f2~d

~ 'C Ca..A. E- ~.

e:.. .J.e t'"LU

e qr

c~ dL c:i4U-l

A - :; ~qJ-e~

o-u' ~ - - ~


9/18

I ~tLU/t.Laf7 ~&-7'uJl

~ tuCQ.j '/h .' .- -eC/)

~)

cd}

f J

--~0~0 - -e ->~~'""7

Q..

a. . .


10/18

0(, R e . A = ~c t., (?? Peu?W/N GOre fI.U tR"::J '-U'~-C

' " ~{,~ - c t ." '"

--~tJ' (6


11/18

c .e )

~)

~ /t J- e ~ ( } u...Lc9-Vv..,-du..Jl de XCU-.


12/18

tV S-66J> ~Od~)

~) ,~6:3 (U(oe:f~)

6 G < P3 (~Odb)

~ u..u (.,OJ u..ut2.


13/18

- --II ..[1Cv~ ~ -ZU"-4/~7At.i" Fe~~ ~oP~eu 9 ~ JtU JIe

I~ . H - (G ) c> Je.) u.u rf/eDUJ.Ulc:u:.ov- ~ ~ )rl-E G ' ~01rJ-fcL 'tAl ~ ke.. ~ 0~e.. ~

th~'l.


14/18

Lista 4

Exercitiul 1. Pe multimeaV = R2 consideram operatiile

(x, y) + (x, y) = (x+x, y+y)

si

(x, y) =(0, 0) daca = 0

(x, y

) daca = 0

pentru(x, y), (x, y) R2, R. EsteV un spatiu vectorial pesteR n raportcu aceste operatii? Justificati raspunsul.

Exercitiul 2. Sa se arate ca nu exista o operatie externa (n afara de ceaidentic nula) : Q Z Z n raport cu care grupul (Z, +) devine spatiuvectorial pesteQ (atentie! nu este neaparat operatia uzuala de nmultire).

Exercitiul 3. Fiek un corp comutativ siV ={(x, y) k2 |x2 +y2 = 0}. PeV consideram operatiile uzuale de adunare si multiplicare cu scalari pe compo-nente, adica

(x, y) + (x

, y

) = (x+x

, y+y

) si (x, y) = (x,y)pentru(x, y), (x, y) k2, k. Verificati dacaV un spatiu vectorial pestek,pentru:

(i) k = R (ii) k = C (iii) k = Z2 (iv) k = Z5

Exercitiul 4. Care dintre urmatoarele submultimi este subspatiu vectorial nR[X]?

(i) {a+bX+cX2 +dX3 |a, b, c, d R, a+b+c+d= 0}

(ii) {P R[X]| grad(P)> 2}

(iii)

P R[X]| X2

+X+ 1 | P

(iv) {P R[X]| P(X) = P(X)}

Exercitiul 5. Vectorul (3, 1, 0, 1) apartine spatiului generat de vectorii(2, 1, 3, 2), (1, 1, 1, 3) si(1, 1, 9, 5)? nR4?

1


15/18

CC-Matematica 2 2

Exercitiul 6. FieV spatiul vectorial al elementelor de forma(x1, x2, x3, x4, x5)R5, care satisfac sistemul

2x1 x2+

43x3 x4 = 0

x1+ 23

x3 x5 = 0

3x1 x2+ 2x3 x4 x5 = 0

Determinati o familie finita de vectori care genereaza peV.

Exercitiul 7. FieV un spatiu vectorial, XV o submultime six, y V. Sase arate ca dacay Sp (X {x}) siy /Sp(X), atuncix Sp(X {y}).

Exercitiul 8. FieV ={f : R R |fcontinua}. PeV introducem operatiile:

(f+ g)(x) = f(x) +g(x)

si( f)(x) = f(x)

x R, f , g V, R. Atunci:

(i) Veste un spatiu vectorial pesteR;

(ii) Functiilef1, . . . , f n V, f1(x) = ex, f2(x) = e

2x, . . ., fn(x) = enx sunt

liniar independente nV, n N \ {0};

(iii) dimRV =.

Exercitiul 9. Determinati o baza si dimensiunea urmatoarelor spatii vectoriale:

(i) U1 = Sp{(2, 1, 0, 1), (1, 1, 3, 7), (0, 1, 6, 13)} R4

.

(ii) U2 = {(x,y,z,t) R4 |

x 2y+z = 0

x y z t= 0

x 3z 2t= 0

}

Exercitiul 10. Aratati ca polinoamele1, X 1, (X1)2

2! , . . . , (X1)

n

n! formeaza o

baza a spatiului vectorial al polinoamelor de grad cel multn pesteR. (Indicatie:utilizati eventual seriile Taylor).

Exercitiul 11. FieW1, W2 subspatii vectoriale ale luiR3, astfel cadim W1 0.

2. t2x 2tx+ 3 = 0, t >0.

3. x = 1 + 3x tgt, t (0, ).

4. tx + 2(1t)x= et, t >0.

Exercitiul 2. Determinati solutia ecuatiei diferentialex = 2t(1 +x2).

Exercitiul 3. Fie ecuatia diferentialax =f(t)x + g(t)x, unde R \ {0, 1}(ecuatie Bernoulli).

1. Aratati ca daca mp artim ecuatia prin x si not am y = x1, atunciecuatia data este echivalenta cu o ecuatie diferentiala liniara.

2. Utilizand acest rezultat, determinati solutia generala a ecuatiilor

(a) x = 2xt x

2

2t2, t >0.

(b) tx2

x

=x3

+ 2t, t >0.

Exercitiul 4. Aflati curbele plane y = f(x) de clasa C1 pentru care distantade la punctulO(0, 0)la dreapta normala la curba n punctul(x, f(x))este egalacu |x|. (Indicatie: normala la curba este dreapta perpendiculara pe dreaptatangenta n punctul de tangent a)

Exercitiul 5. Determinati solutia generala a urmatoarelor sisteme de ecuatiidiferentiale:

1.

x1

=7x1+x2

x2

=2x15x2

2.

x1 = 4x1x2x3

x2

=x1+ 2x2x3

x3

=x1x2+ 2x3

3.

x1 = 5x13x2+ 2e

3t

x2 =x1+x2+ 5e

t

1


18/18

CC-Matematica 2 2

Exercitiul 6. Aflati, pentru fiecare dintre sistemele de mai jos, solutia careverifica conditiile date:

1.

x1

= 3x1x2+x3

x2 =x1+x2+x3

x3

= 4x1x2+ 4x3

, x1(0) =x2(0) =x3(0) =2

2.

x1

=x1+x2

x2 =x1+x3

x3 =x1

, x1(0) = 1, x2(0) =1, x3(0) = 0

3.

x1 = 4x2+ 5e

t

x2 =x120e

t , x1(0) =5, x2(0) = 1

Exercitiul 7. Rezolvati urmatoarele sisteme de ecuatii diferentiale, cautandsolutia sub forma unor serii de puterix1(t) =

n0

antn, x2(t) =

n0

bntn:

1.

x1 = 6x14x2

x2 = 9x16x2

, x1(0) = 1, x2(0) =1

2.

x1

= 6x14x2+et

x2

= 9x16x2, x1(0) = 7, x2(0) = 9

Exercitiul 8. Fie ecuatia diferentialax 3x + 2x= 2t1.

1. Aratati ca daca notam x1 = x, x2 = x, atunci ecuatia data este echiva-

lenta cu un sistem de ecuatii diferentiale liniare n necunoscutelex1, x2.

2. Rezolvati acest sistem si determinati astfel solutia generala a ecuatieiinitiale.

Algebra Probleme

Documents

Transcript of Algebra Probleme