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Algorithmentheorie13. Vorlesung

Martin Dietzfelbinger

6. Juli 2006

FG KTuEA, TU Ilmenau AT – 06.07.2006

”Cliquenproblem“: Geg.: Graph G = (V,E) und k ∈ N.

4

2 3

1

5

6 7

Frage: Gibt es in G eine Clique der Große ≥ k?

Hat das Cliquenproblem einen Polynomialzeitalgorithmus?

Analog:

Independent Set, Vertex Cover, Rucksack, Partition,

Binpacking, TSP, Hamiltonkreis, . . .

FG KTuEA, TU Ilmenau AT – 06.07.2006 1

Definition

P = {LM | ∃ Polynom p(n) : M ist p(n)-zeitbeschrankte TM}

NP = {LM | ∃ Polynom p(n) : M ist p(n)-zeitbeschrankte NTM}.

Nichtdeterministisch, Polynomialzeitbeschrankt

co-NP = {L | L ∈ NP}.

Klar: P ⊆ NP.


Das P-NP-Problem (1970)

Gilt P = NP oder gilt P 6= NP ?

Das beruhmteste und wichtigste offene Problem der

Komplexitatstheorie/Theoretischen Informatik.


Polynomialzeit-Reduzierbarkeit

( )

* ∆*

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f

x

f x( )

L

L’z

f z

Σ

f ∈ FP


Definition Gegeben: Sprachen L1 ⊆ Σ∗ und L2 ⊆ ∆∗.

L1 heißt polynomialzeit-reduzierbar auf L2 (L1 ≤p L2),

wenn es ein f ∈ FP gibt, f : Σ∗ → ∆∗, mit

∀x ∈ Σ∗ : x ∈ L1 ⇔ f(x) ∈ L2.


Beispielreduktionen

LClique ≤p LIS und LIS ≤p LClique.

LIS ≤p LVC und LVC ≤p LIS.

Mit Transitivitat: LVC ≤p LClique und LClique ≤p LVC.


NP-vollstandige SprachenDefinition

(a) L heißt NP-vollstandig (engl.”NP-complete“), falls

(i) L ∈ NP(ii) fur alle L′ ∈ NP gilt L′ ≤p L

(b) NPC := {L | L Sprache, L NP-vollstandig}.

Beispiele:

LClique, LVC, LIS, LRucksack und LTSP sind NP-vollstandig.

(Beweise spater oder in KT-Vorlesung.)

Entscheidungsproblem heißt NP-vollstandig,

falls zugehorige Sprache in NPC.


Satz

NPC ∩ P 6= ∅ ⇔ P = NP.


Satz

NPC ∩ P 6= ∅ ⇔ P = NP.

Problem der Komplexitatstheorie: Ist”P = NP?“

ist aquivalent zum Problem der Algorithmik:

”Gibt es einen Polynomialzeitalgorithmus fur das Cliquenpro-

blem?“


Satz

NPC ∩ P 6= ∅ ⇔ P = NP.

Problem der Komplexitatstheorie: Ist”P = NP?“

ist aquivalent zum Problem der Algorithmik:

”Gibt es einen Polynomialzeitalgorithmus fur das Cliquenpro-

blem?“

Vermutung: NPC ∩ P = ∅(Geeignet als Hypothese fur die Alltagsarbeit)


Vermutete Situation:

P

NPC

NP

Sprachen, die

effiziente Algo-

rithmen haben

Sprachen, die

effiziente

Algorithmen

haben


2.5 Der Satz von Cook/Levin

Aussagenlogische Formeln:




(A ∨B)




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))

((A → B) → C)




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))

((A → B) → C)

((A ∧B) ↔ (¬((¬A) ∨ (¬B))))




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))

((A → B) → C)

((A ∧B) ↔ (¬((¬A) ∨ (¬B))))

A, B, . . . :”Aussagenvariable“, reprasentieren Aussagen




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))

((A → B) → C)

((A ∧B) ↔ (¬((¬A) ∨ (¬B))))


Induktive Definition der Menge der aussagenlogischen

Formeln:




(A ∨B)

(A → ((¬B) ∨ C))

((¬A) → (A → B))

((A → B) → C)

((A ∧B) ↔ (¬((¬A) ∨ (¬B))))


Induktive Definition der Menge der aussagenlogischen

Formeln: AFS-Vorlesung


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)

Wahr oder falsch?


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)

Wahr oder falsch?

Eine aussagenlogische Formel ϕ fur sich

kann nicht wahr oder falsch sein.


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)

Wahr oder falsch?



Brauchen: Belegung v (”value“) der Variablen, die in ϕ

vorkommen, mit Wahrheitswerten.


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)

Wahr oder falsch?





v(A) = v(C) = falsch, v(B) = wahr :


Beispiel:

ϕ = A → (¬B ∨ C)

Wahr oder falsch?





v(A) = v(C) = falsch, v(B) = wahr :

⇒ Wahrheitswert v(ϕ) von A → (¬B ∨ C) ist wahr.


Gegeben ϕ und eine Belegung v,


Gegeben ϕ und eine Belegung v, konnen wir

den Wahrheitswert v(ϕ) von ϕ unter v

ausrechnen.




ausrechnen.

Methode (bekannt): Wahrheitstafeln.




ausrechnen.

Methode (bekannt): Wahrheitstafeln.

0 = falsch 1 = wahr


A → ((¬B) ∨ C)


A → ((¬B) ∨ C)

v(A) v(B) v(C) v(¬B) v(¬B ∨ C) v(A → (¬B ∨ C))0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 10 1 0 0 0 10 1 1 0 1 11 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1


Definition

Eine aussagenlogische Formel ϕ heißt Tautologie,


Definition


wenn v(ϕ) = 1 fur alle Belegungen v gilt.


Definition



(Ergebnisspalte in der Wahrheitstafel enthalt nur 1en.)


Definition




Beispiele fur Tautologien:


Definition





A ∨ ¬A


Definition





A ∨ ¬A

(A → B) ↔ ((¬B) → (¬A))


Definition





A ∨ ¬A

(A → B) ↔ ((¬B) → (¬A))

(A → B) ↔ ((¬A) ∨B)


Definition





A ∨ ¬A

(A → B) ↔ ((¬B) → (¬A))

(A → B) ↔ ((¬A) ∨B)

(A ∧B) ↔ (¬((¬A) ∨ (¬B)))


Tautologieproblem


Tautologieproblem

Eingabe: Aussagenlogische Formel ϕ


Tautologieproblem


Frage: Ist ϕ eine Tautologie?


Tautologieproblem



Formalisierung:

LAL−Taut = {〈ϕ〉 | ϕ ist Tautologie}


Tautologieproblem



Formalisierung:


(〈ϕ〉: Kodierung von ϕ als Wort.)


Tautologieproblem



Formalisierung:


(〈ϕ〉: Kodierung von ϕ als Wort.)

Kann zeigen: LAL−Taut ∈ co−NP.


Definition

Eine aussagenlogische Formel ϕ heißt erfullbar,


Definition


wenn v(ϕ) = 1 fur mindestens eine Belegung v gilt.


Definition



(Ergebnisspalte in der W.-tafel enthalt mindestens eine 1.)


Definition




Andernfalls heißt ϕ unerfullbar.


Definition





Beispiele:

A ∧ (¬A)


Definition





Beispiele:

A ∧ (¬A) unerfullbar


Definition





Beispiele:


A ∧ (¬B)


Definition





Beispiele:


A ∧ (¬B) erfullbar


Definition





Beispiele:



(A ∧ (A → B)) ∧ (¬B)


Definition





Beispiele:



(A ∧ (A → B)) ∧ (¬B) unerfullbar


Definition





Beispiele:



(A ∧ (A → B)) ∧ (¬B) unerfullbar

Klar: ϕ Tautologie genau dann wenn (¬ϕ) unerfullbar.


Erfullbarkeitsproblem fur aussagenlogische Formeln:




Frage: Ist ϕ erfullbar?





Formalisierung:

LAL−SAT = {〈ϕ〉 | ϕ ist erfullbare a.l. Formel}





Formalisierung:


(engl.”SATisfiable“:

”erfullbar“)





Formalisierung:



”erfullbar“)

Kann zeigen: LAL−SAT ∈ NP.





Formalisierung:



”erfullbar“)

Kann zeigen: LAL−SAT ∈ NP.

Sogar: NP-vollstandig.


{∨,∧,¬}-Formeln: A


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)

Wissen:


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)

Wissen: Zu jeder a.l. Formel ϕ

gibt es eine”aquivalente“ {∨,∧,¬}-Formel ϕ′, d.h.:


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)



v(ϕ) = v(ϕ′) fur alle Belegungen v.


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)




Beispiel: zu A ↔ (B ∧ (¬C))


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)




Beispiel: zu A ↔ (B ∧ (¬C)) bilde

(A ∧B ∧ (¬C)) ∨ (¬A ∧ (¬(B ∧ (¬C))))


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)





(A ∧B ∧ (¬C)) ∨ (¬A ∧ (¬(B ∧ (¬C)))) oder

((¬A) ∨B) ∧ ((¬A) ∨ (¬C)) ∧ (A ∨ (¬B) ∨ C).


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)





(A ∧B ∧ (¬C)) ∨ (¬A ∧ (¬(B ∧ (¬C)))) oder

((¬A) ∨B) ∧ ((¬A) ∨ (¬C)) ∧ (A ∨ (¬B) ∨ C).

Noch enger:

disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen


{∨,∧,¬}-Formeln: A , (¬A) ∨B , C ∧ ((¬(¬A)) ∨B)





(A ∧B ∧ (¬C)) ∨ (¬A ∧ (¬(B ∧ (¬C)))) oder

((¬A) ∨B) ∧ ((¬A) ∨ (¬C)) ∧ (A ∨ (¬B) ∨ C).

Noch enger:

disjunktive Normalform: Disjunktion von Konjunktionen

konjunktive Normalform, KNF:

Konjunktion von Disjunktionen


Definition

(a) Boolesche Variable (≈ Aussagevariable):


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .

(b) Literale (Variable und negierte Variable):


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .


X0, X0, X1, X1, X2, X2, . . .


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .


X0, X0, X1, X1, X2, X2, . . .

(Xi ist synonym mit ¬Xi)


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .


X0, X0, X1, X1, X2, X2, . . .


(c) Klausel: (l1 ∨ · · · ∨ ls), wobei l1, . . . , ls Literale sind.


Definition


X0, X1, X2, X3, . . .


X0, X0, X1, X1, X2, X2, . . .


(c) Klausel: (l1 ∨ · · · ∨ ls), wobei l1, . . . , ls Literale sind.

(d) Formel in KNF: C1 ∧ · · · ∧ Cr, wobei C1, . . . , Cr Klauseln

sind.


Beispiele:


Beispiele:

Variable: X1, X10, X2005


Beispiele:


Literale: X1, X5 (bzw. ¬X5)


Beispiele:



kein Literal: X1 (bzw. ¬¬X1)


Beispiele:




Klauseln: (X1 ∨X3 ∨X1 ∨X8) und (X2)


Beispiele:





keine Klausel: ((X1 ∧X3) ∨ (X4))


Beispiele:





keine Klausel: ((X1 ∧X3) ∨ (X4))

KNF-Formel: (X0) ∧ (X1 ∨X3) ∧ (X0 ∨X3)


Definition

Eine Belegung


Definition

Eine Belegung der Booleschen Variablen ist eine Abbildung

v : {X0, X1, X2, . . .} → {0, 1}.


Fortsetzung von v auf Literale, Klauseln, KNF-Formeln:



v(Xi) = v(Xi)



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)

v((l1 ∨ · · · ∨ ls)) = max{v(l1), . . . , v(ls)}



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)

v((l1 ∨ · · · ∨ ls)) = max{v(l1), . . . , v(ls)}v(C1 ∧ · · · ∧ Cr) = min{v(l1), . . . , v(ls)}



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)


Modelliert NEG, ODER, UND.



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)



Anstelle von v schreiben wir wieder v.



v(Xi) = v(Xi)

v(Xi) = 1− v(Xi) = 1− v(Xi)



Anstelle von v schreiben wir wieder v.

Kurz:

v(C1 ∧ · · · ∧ Cr) = 1 (”wahr“)

⇔ jede Klausel Ci von ϕ = C1 ∧ · · · ∧Cr enthalt ein Literal,

das unter v wahr wird.


Beispiel :

ϕ = (X0) ∧ (X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X5) ist KNF-Formel.


Beispiel :


v(X0) = v(X1) = v(X2) = v(X5) = 0 und v(X3) = 1(andere Werte irrelevant):

v(ϕ) = 0.


Beispiel :



v(ϕ) = 0.

v′(X0) = v′(X1) = 1 (andere Werte irrelevant):


Beispiel :



v(ϕ) = 0.


v′(ϕ) = 1.


Beispiel :



v(ϕ) = 0.


v′(ϕ) = 1.

Fur den Wahrheitswert v(ϕ) sind die Belegungswerte v(Xi)nur fur die Xi wichtig, die in ϕ vorkommen.


Definition


Definition

Eine KNF-Formel ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr heißt erfullbar,


Definition

Eine KNF-Formel ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr heißt erfullbar,

falls es eine Belegung v gibt, so dass v(ϕ) = 1 ist.


Kodierung von Formeln uber dem Alphabet

Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}

Kodiere Xi durch [bin(i)] und Xi durch ¬[bin(i)], fur i ∈ N.



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}


Formel ϕ = (X1 ∨X2) ∧ (X1 ∨X2005)



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}


Formel ϕ = (X1 ∨X2) ∧ (X1 ∨X2005)wird als

〈ϕ〉 = ([1] ∨ [10]) ∧ (¬[1] ∨ ¬[11111010101])

kodiert.



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}



〈ϕ〉 = ([1] ∨ [10]) ∧ (¬[1] ∨ ¬[11111010101])

kodiert.

Die Sprache LKNF = {〈ϕ〉 | ϕ ist KNF-Formel} ist regular;

aus 〈ϕ〉 lasst sich ϕ leicht ablesen.



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}



〈ϕ〉 = ([1] ∨ [10]) ∧ (¬[1] ∨ ¬[11111010101])

kodiert.



Wir schreiben ϕ, meinen aber strenggenommen 〈ϕ〉, z.B.:



Σ = {[, ], (, ),∧,∨,¬, 0, 1}



〈ϕ〉 = ([1] ∨ [10]) ∧ (¬[1] ∨ ¬[11111010101])

kodiert.



Wir schreiben ϕ, meinen aber strenggenommen 〈ϕ〉, z.B.:

LKNF = {ϕ | ϕ ist KNF-Formel}.


Definition


Definition

LSAT = {ϕ | ϕ ist erfullbare KNF-Formel}.


Definition


Satz (Satz von Cook/Levin, 1970)LSAT ist NP-vollstandig.


Definition



Konsequenz: Wenn P 6= NP,


Definition



Konsequenz: Wenn P 6= NP, besitzt das Erfullbarkeitsproblem

fur KNF-Formeln keinen Polynomialzeitalgorithmus.


Definition





• Dreh- und Angelpunkt der NP-Vollstandigkeits-Theorie


Definition





• Dreh- und Angelpunkt der NP-Vollstandigkeits-Theorie

• Erfullbarkeit von Formeln/Schaltkreisen praktisch relevant


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).

Def.: Eine KNF-Formel ϕ ist in 3-KNF-Form, wenn jede

Klausel genau drei Literale enthalt.


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).



Das Entscheidungsproblem 3-SAT:


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).




Eingabe: Formel ϕ in 3-KNF-Form


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).







Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).






L3−SAT := {ϕ | ϕ Formel in 3-KNF, ϕ erfullbar}.


Beispiel :

(X2∨X4∨X7)∧(X0∨X1∨X4)∧(X2∨X1∨X6)∧(X1∨X2∨X4).






L3−SAT := {ϕ | ϕ Formel in 3-KNF, ϕ erfullbar}.

Werden sehen: Auch L3−SAT ist NP-vollstandig.


1. Teil: LSAT ∈ NP.



Beweis: Beschreibe NTM M .



Beweis: Beschreibe NTM M . Auf Input x:




(1) Syntaxcheck: Prufe, ob x = 〈ϕ〉 fur eine KNF-Formel ϕ.





Falls nicht: halte und verwerfe.






(2) Schreibe auf Band 2:

#[bin(i1)]#[bin(i2)]# · · ·#[bin(im)], wobei [bin(i1)], . . . , [bin(im)]die verschiedenen in ϕ vorkommenden Variablen sind








(3) Schreibe 0m auf Band 3








(3) Schreibe 0m auf Band 3

(4) Erzeuge mit MRatewort auf Band 3 b1 · · · bm ∈ {0, 1}m.

(5) Andere Band 2 zu b1[bin(i1)]b2[bin(i2)] · · · bm[bin(im)].



(6) Ersetze in ϕ auf Band 1

[bin(ir)] durch br · · · br und ¬[bin(ir)] durch br · · · br.





(7) Teste, ob auf Band 1 in jedem Paar von runden Klammern

mindestens eine 1 vorkommt.







Falls ja, akzeptiere, falls nein, verwerfe.








Verhalten:

Wenn x keine KNF-Formel ist, verwirft M .








Verhalten:

Wenn x keine KNF-Formel ist, verwirft M . Sonst:








Verhalten:


ϕ besitzt eine erfullende Belegung ⇔








Verhalten:


ϕ besitzt eine erfullende Belegung ⇔die TM M besitzt auf Eingabe x eine akzeptierende

Berechnung.


2. Teil: LSAT ist NP-schwer.


2. Teil: LSAT ist NP-schwer. → Nachste Vorlesung.



Satz

L3−SAT ist NP-vollstandig.



Satz


Beweis: (i)



Satz


Beweis: (i) L3−SAT ∈ NP.



Satz



Beschreibe NTM M .



Satz



Beschreibe NTM M . Auf Input x:



Satz




(1) Syntaxcheck: Prufe, ob x = 〈ϕ〉 fur eine 3-KNF-Formel ϕ.



Satz








Satz






(2) . . . (weiter wie bei LSAT)


(ii)


(ii) L3−SAT ist NP-schwer.



heißt:

Fur jedes L′ ∈ NP gilt L′ ≤p L3−SAT.



heißt:

Fur jedes L′ ∈ NP gilt L′ ≤p L3−SAT.

Konnte ziemlich muhsam sein

(siehe Beweis des Satzes von Cook/Levin).


Reduktionsmethode


Reduktionsmethode

Lemma


Reduktionsmethode

Lemma Wenn (i) L ∈ NP


Reduktionsmethode

Lemma Wenn (i) L ∈ NP und (ii)∗ L′ ≤p L


Reduktionsmethode

Lemma Wenn (i) L ∈ NP und (ii)∗ L′ ≤p L fur eine

NP-vollstandige Sprache L′,


Reduktionsmethode


NP-vollstandige Sprache L′, dann ist L NP-vollstandig.


Reduktionsmethode



Beweis: Es gelte (i), (ii)∗.


Reduktionsmethode




Zu zeigen: (ii) L′′ ≤p L fur alle L′′ ∈ NP.


Reduktionsmethode





Sei L′′ ∈ NP beliebig.


Reduktionsmethode






Weil L′ NP-vollstandig, gilt L′′ ≤p L′.


Reduktionsmethode







Weil ≤p transitiv, folgt mit (ii)∗: L′′ ≤p L.


Reduktionsmethode







Weil ≤p transitiv, folgt mit (ii)∗: L′′ ≤p L. Fertig.


Reduktionsmethode








Rezept: Zeige (i) und (ii)∗. Folgere: L ist NP-vollstandig.


Reduktionsmethode









Hier: L′ = LSAT, L = L3−SAT.


Reduktionsmethode









Hier: L′ = LSAT, L = L3−SAT.

Sonst haufig: L′ = L3−SAT


Behauptung: LSAT ≤p L3−SAT.



Mussen beliebige KNF-Formel ϕ transformieren

in 3-KNF-Formel f(ϕ) = ϕ∗




in 3-KNF-Formel f(ϕ) = ϕ∗ mit:

ϕ erfullbar ⇔ ϕ∗ erfullbar.

Achtung! ϕ, ϕ∗ haben verschiedene Variablenmengen.

Sie sind nicht aquivalent







Sie sind nicht aquivalent (nur”erfullbarkeitsaquivalent“).








Randbemerkung: Syntaxcheck.








Randbemerkung: Syntaxcheck. Fur Inputs x fur f , die keine

KNF-Formel sind,








Randbemerkung: Syntaxcheck. Fur Inputs x fur f , die keine

KNF-Formel sind, setzen wir f(x) = 0 (keine 3-KNF-Formel).


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r

Dabei entstehen die ϕ∗j aus den Cj, separat.


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r


Beispiel : Aus

ϕ = (X2 ∨X4)︸︷︷︸C1

∧ (X1 ∨X2 ∨X4 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸C2

wird


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r


Beispiel : Aus

ϕ = (X2 ∨X4)︸︷︷︸C1

∧ (X1 ∨X2 ∨X4 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸C2

wird

ϕ∗ = (X2 ∨X4 ∨X101) ∧ (X2 ∨X4 ∨X101)︸︷︷︸ϕ∗

1

∧


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r


Beispiel : Aus

ϕ = (X2 ∨X4)︸︷︷︸C1

∧ (X1 ∨X2 ∨X4 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸C2

wird

ϕ∗ = (X2 ∨X4 ∨X101) ∧ (X2 ∨X4 ∨X101)︸︷︷︸ϕ∗

1

∧

∧ (X1 ∨X2 ∨X203) ∧ (X203 ∨X4 ∨X204) ∧ (X204 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸ϕ∗

2


Gegeben: ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

Wir bilden: ϕ∗ = ϕ∗1 ∧ · · · ∧ ϕ∗

r


Beispiel : Aus

ϕ = (X2 ∨X4)︸︷︷︸C1

∧ (X1 ∨X2 ∨X4 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸C2

wird

ϕ∗ = (X2 ∨X4 ∨X101) ∧ (X2 ∨X4 ∨X101)︸︷︷︸ϕ∗

1

∧

∧ (X1 ∨X2 ∨X203) ∧ (X203 ∨X4 ∨X204) ∧ (X204 ∨X5 ∨X7)︸︷︷︸ϕ∗

2

Die Details folgen.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

1. Fall:


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

1. Fall: s = 1, Cj = (l1).


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

1. Fall: s = 1, Cj = (l1).

ϕ∗j =

(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

1. Fall: s = 1, Cj = (l1).

ϕ∗j =

(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)∧(l1 ∨ Z1 ∨ Z2)

Dabei: Z1, Z2 neue Variable.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall:


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

Dabei: Z1 neue Variable.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)


3. Fall:


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)


3. Fall: s = 3, Cj = (l1 ∨ l2 ∨ l3).


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)


3. Fall: s = 3, Cj = (l1 ∨ l2 ∨ l3).

ϕ∗j = Cj.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall:


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j =


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)

∧ (Z4 ∨ l4 ∨ Z5)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)

∧ (Z4 ∨ l4 ∨ Z5)...


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)

∧ (Z4 ∨ l4 ∨ Z5)...

∧ (Zs−2 ∨ ls−2 ∨ Zs−1)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)

∧ (Z4 ∨ l4 ∨ Z5)...

∧ (Zs−2 ∨ ls−2 ∨ Zs−1)

∧ (Zs−1 ∨ ls−1 ∨ ls) .


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

4. Fall: s ≥ 4.

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z3)

∧ (Z3 ∨ l3 ∨ Z4)

∧ (Z4 ∨ l4 ∨ Z5)...

∧ (Zs−2 ∨ ls−2 ∨ Zs−1)

∧ (Zs−1 ∨ ls−1 ∨ ls) .

Dabei: Z3, Z4, . . . , Zs−1 neue Variable.


Zu zeigen: Fur jede KNF-Formel ϕ gilt:





Im Detail:

”⇒“:

Starte mit Belegung v fur die Variablen in ϕ mit v(ϕ) = 1.

Man kann v so zu einer Belegung v∗ auch der neuen

(Z...-)Variablen erweitern, dass v∗(ϕ∗) = 1.




Im Detail:

”⇒“:

Starte mit Belegung v fur die Variablen in ϕ mit v(ϕ) = 1.

Man kann v so zu einer Belegung v∗ auch der neuen

(Z...-)Variablen erweitern, dass v∗(ϕ∗) = 1.

”⇐“:

Starte mit Belegung v∗ fur die Variablen in ϕ∗ mit v∗(ϕ∗) = 1.

Man zeigt: v∗(ϕ) = 1.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall:


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

”⇒“:

Sei v(Cj) = 1. Dann v(l1) = 1 oder v(l2) = 1.

Setze (z.B.) v∗(Z1) = 0. Dann v∗(ϕ∗j) = 1.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

”⇒“:



”⇐“:

Sei v∗(ϕ∗) = 1.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

”⇒“:



”⇐“:

Sei v∗(ϕ∗) = 1. Dann ist v∗(ϕ∗j) = 1.


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

”⇒“:



”⇐“:


Es ist nicht moglich, dass v∗(l1) = v∗(l2) = 0(sonst hatte eine der beiden Klauseln in ϕ∗

j Wert 0).


Cj = (l1 ∨ · · · ∨ ls)

2. Fall: s = 2, Cj = (l1 ∨ l2).

ϕ∗j = (l1 ∨ l2 ∨ Z1) ∧ (l1 ∨ l2 ∨ Z1)

”⇒“:



”⇐“:


Es ist nicht moglich, dass v∗(l1) = v∗(l2) = 0(sonst hatte eine der beiden Klauseln in ϕ∗

j Wert 0).

1. Fall analog, 3. Fall klar, 4. Fall: Skript, Ubung.


Satz

LClique ist NP-vollstandig.


Satz


Beweis: (i) LClique ∈ NP:


Satz


Beweis: (i) LClique ∈ NP: schon gesehen.


Satz



(ii) Mit Reduktionsmethode.


Satz



(ii) Mit Reduktionsmethode.

Behauptung: L3−SAT ≤p LClique.


Mussen: Funktion f definieren



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel

Gϕ Graph,



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel

Gϕ Graph, kϕ ∈ N



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel

Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit

• f polynomialzeitberechenbar,



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel


• f polynomialzeitberechenbar, und

• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel




ϕ ∈ L3−SAT



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel




ϕ ∈ L3−SAT ⇔



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel




ϕ ∈ L3−SAT ⇔ f(ϕ) = (Gϕ, kϕ) ∈ LClique.



f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)

ϕ: 3-KNF-Formel




ϕ ∈ L3−SAT ⇔ f(ϕ) = (Gϕ, kϕ) ∈ LClique.

(Syntaxcheck: f(x) = 0 falls x keine 3-KNF-Formel.)


Beispiel :


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).

Gϕ:


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).

Gϕ:

u

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

u

u

u

22


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).

Gϕ:

u

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

u

u

u

22

kϕ := 3 (Anzahl der Klauseln)


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

mit

Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

mit

Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.

Graph Gϕ hat 3r Knoten


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

mit

Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.


uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

mit

Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.


uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.

Ein Knoten fur jede Literal-Position in ϕ.


Formal : Gegeben

ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr

mit

Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.


uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.

Ein Knoten fur jede Literal-Position in ϕ.

kϕ = r.


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.

Anordnung in r Spalten


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.

Anordnung in r Spalten (= Klauseln)


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.

Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:

Keine Kante innerhalb einer Spalte.


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:


j 6= j′:


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:


j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:



existiert genau dann wenn


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:




nicht ljs und lj′s′ entgegengesetzte Literale sind.


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:





(Entgegengesetzt sind z.B. X3 und X3.)


3r Knoten

uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.


Kanten Eϕ:





(Entgegengesetzt sind z.B. X3 und X3.)

Die im Bild eingetragenen Literale sind nicht Teil des Graphen

Gϕ; sie dienen nur zur Orientierung.


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).

Gϕ:u u

u

uu

u

u

u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

kϕ = 3


Beispiel :

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).

Gϕ:

u

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

u

u

u

22

kϕ = 3


Nicht schwer zu sehen:

Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.




Behauptung:




Behauptung: Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:





ϕ ∈ L3−SAT ⇔ f(ϕ) ∈ LClique,






das heißt:






das heißt:

ϕ ist erfullbar ⇔ Gϕ hat Clique der Große kϕ.


Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ LClique.



”⇒“:



”⇒“: Gegeben: Belegung v mit v(ϕ) = 1.




Beispiel : v(X1) = v(X2) = v(X3) = v(X4) = 1.

u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

u

u

In jeder Spalte gibt es ein wahres Literal.





u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

u

u

In jeder Spalte gibt es ein wahres Literal. Keine Clique!





uu

u

u

X

u

1

X1

X1

X2

X3X4

X4

X222

X2

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

u

Aus jeder Spalte ein wahres Literal wahlen! → Clique.


Allgemein:

In jeder Klausel Cj


Allgemein:

In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sj


Allgemein:

In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj

) = 1.


Allgemein:


) = 1.

Dann ist


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj|


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}

eine Clique in Gϕ mit r Knoten.


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}


Denn:


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}


Denn: lj,sjund lj′,s

j′haben unter v den Wert 1


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}




⇒ konnen nicht entgegengesetzte Literale sein


Allgemein:


) = 1.

Dann ist

V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}




⇒ konnen nicht entgegengesetzte Literale sein

⇒ (uj,sj, uj′,s

j′) ∈ Eϕ.



”⇐“:



”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.



”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten. Beispiel :

u

u

u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu




u

u

u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

Definiere Belegung: v(X3) = v(X4) = 1, die anderen auf 0.




u

u

u

X

u

1

X1

X1

X2

X2

X3X4

X4

X222

11 21 31

3212

13

23

33

u uu

uu

Definiere Belegung: v(X3) = v(X4) = 1, die anderen auf 0.

Erfullend fur

ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).



”⇐“:




⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten





⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3},





⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass

V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.






V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.

Definiere Belegung:






V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.

Definiere Belegung:

v(Xi) :=






V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.

Definiere Belegung:

v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj






V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.

Definiere Belegung:

v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,






V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.

Definiere Belegung:

v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.

Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.

Dann v(Xi) = 1,


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.

Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.

Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.


Sonst ware lj′,sj′

= Xi fur einen Knoten uj′,sj′

in Clique V ′.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.




in Clique V ′.

Das ist unmoglich, weil


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.




in Clique V ′.

Das ist unmoglich, weil (uj,sj, uj′,s

j′) keine Kante in Eϕ ist.


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.




in Clique V ′.



Also v(Xi) = 0 und v(lj,sj) = 1;


v(Xi) :=

{1 falls Xi = lj,sj

fur ein j,

0 sonst.


1. Fall: lj,sj= Xi.


2. Fall: lj,sj= Xi.




in Clique V ′.



Also v(Xi) = 0 und v(lj,sj) = 1; also v(Cj) = 1.


Haben:

NP-vollstandige Sprachen

LSAT, L3−SAT, LClique ∈ NPC

Weil LClique ≤p LIS und LIS ∈ NP, folgt (Red.-methode):

LIS ∈ NPC.

Weil LIS ≤p LVC und LVC ∈ NP, folgt (Red.-methode):

LVC ∈ NPC.

Nachste Woche: Satz von Cook/Levin.


Haben:




LIS ∈ NPC.


LVC ∈ NPC.


LRucksack∗, LRucksack sind NP-vollstandig.


Haben:




LIS ∈ NPC.


LVC ∈ NPC.



(Mit Ubung: LPartition, LBinpacking sind NP-vollstandig.)


Haben:




LIS ∈ NPC.


LVC ∈ NPC.



(Mit Ubung: LPartition, LBinpacking sind NP-vollstandig.)

Nur der Anfang von Tausenden von NP-vollstandigen

Problemen.


Bis nachste Woche

• mindestens 5 Zeitstunden fur diese Vorlesung (jede Woche)

• Folien besorgen, nacharbeiten

• Skript Seite 159–165 und 172–178

• Fragen vorbereiten

• Ubungsaufgaben drucken und vorbereiten


Bis nachste Woche

• mindestens 5 Zeitstunden fur diese Vorlesung (jede Woche)

• Folien besorgen, nacharbeiten

• Skript Seite 159–165 und 172–178

• Fragen vorbereiten

• Ubungsaufgaben drucken und vorbereiten

• Sprechstunde: nach der Vorlesung


Algorithmentheorie 13. Vorlesung - Startseite TU Ilmenau · FG KTuEA, TU Ilmenau AT – 06.07.2006...

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