1 WOLKEN 1

1 Wolken

1.1 Wolkenklassifikation

1.1.1 Erscheinungsformen

Die Einteilung erfolgt nach Stockwerken

Höhe Beispiel

hohe Wolke 5-13 km Cirrus, Cirrocummulus, Cirrostratusmittelhohe Wolke 2-7 km Altocummulus, Altostratustiefe Wolke 0-2 km Stratocummulus, Stratusgroßer vertikaler Mächtigkeit 0-13 km Nimbostratus, Cumulus, Cumulonimbus

Diese Höheneinteilung gilt allerdings nur für unsere Breitengrade, da Abhängig von derTropopause.

(Nebenbemerkung: Übersicht von Wolken unter www.wolkenatlas.de)

1.1.2 Bildungsprozesse

• Erzwungene Hebung

– beim überströmen von Gebirgen

– beim Aufleiten an einer Warmfront

– Leewellen (Kondensation)

– Gewitter

• Konvektion: Luft wärmer als die Umgebung

– Dichteunterschied → Auftrieb (Luft steigt auf)

– Abkühlung beim Aufsteigen

– Anstieg der relativen Feuchte

– Taupunkt wird erreicht

– Kondenstation im Aufwindbereich

2 2 WOLKENBILDUNG - NUKLEATION

1.1.3 Auflösungsprozesse

• Absinken (relative Feuchte sinkt)

• Entrainment (Vermischung der Wolke mit trockener Luft)

• Ausfall von Niederschlag

1.1.4 Erkennungsmerkmale

• Stratuswolken (Altostratus, Starus) sind immer geschlossen und diffus

• Cumulus hat Struktur

– Entstehung durch Konvektion

– Wellen

– kleinstrahlige Turbulenz

1.1.5 Beziehung zur Schichtung

Wolken machen Schichtung der Atmosphäre sichtbar

• Wolkenbasis (Temperatur, Feuchte)

• Wolkenlücken (durch Absinken)

• Ambossbildung

• Vereisung

• Wolkendeformation (Windscherung)

2 Wolkenbildung - Nukleation

2.1 Definition homogene vs heterogene Kondensation

Definition 2.1 (homogene Kondensation)Kondensation ohne Kondensationskeime. Experimenteller Befund: extreme Übersätti-gung von 600% nötig. Ist also in der Atmosphäre nicht möglich

2 WOLKENBILDUNG - NUKLEATION 3

Definition 2.2 (heterogene Kondensation)Ist die Kondensation an Kondensationskeimen; z.B. Salz, Staub, Eiskristalle, o.ä. fun-gieren in Bezug auf Wasser als “Teilchenfänger“→ Radius und Chemie Eigenschaft bestimmen, wie gut Moleküle haften bleiben undwie groß die Tropfen werden.

2.2 Sättigung

Definition 2.3 (Sättigung)Gleich viele Teilchen treten aus ebener Wasserfläche in die Luft und umgekehrt

Wiederholung: Sättigungsdampfdruck

• ist Partialdruck des Wasserdampfes im Gasgemisch der feuchten Luft

• maximaler Dampfdruck ist Sättigungsdampfdruck

• stellt sich bei Gleichgewicht von Kondensation und Verdunstung ein

• Sättigungsdampfdruck über Eis ist geringer als über Wasser. Grund: Wegen Bin-dung an (Eis-)Kristallen treten aus der Eisfläche weniger Moleküle aus

• Bei Sättigung über Eis: Relative Feuchte (bezogen auf Wasser) < 100%

Magnus Formel (gilt nur für ebene Wasserfläche):

p21w (ϑ) = 6, 11hPa · exp

[17, 1 · ϑ235 + ϑ

]

über Eis (ice):p21i (ϑ) = p21

w (ϑ) · exp[0, 0097 · ϑ]

2.3 Kelvineffekt

Definition 2.4 (Kelvineffekt)Erhöhung des Sättigungdampfdruck bei konvexer Krümmung. Die Magnus-Formel giltnur über ebener Wasserfläche. Krümmung verändert Austrittsarbeit - Tropfen habe einegrößere Oberflächenspannung gegen die eine Austrittsarbeit verrichtet werden muss

p21(r) = p21w (ϑ) exp

[2σ

ρwRWT

1

r

]mit:

4 2 WOLKENBILDUNG - NUKLEATION

• σ(0) = 76, 1 · 10−3 Nm

(Kapillarkkonstante/Oberflächenspannung für Wasser)

• Rw = 462 JkgK

(Gaskonstante für Wasser)

• ρw = 1000 kgm3 (Dichte flüssigen Wassers)

Beispiel 2.5geg. r = 1µm, T = 20

p21w (20) = 6, 11hPa · exp

[17, 1 · 20235 + 20

]= 23, 39hPa

Lösungen: Salz bindet Moleküle besser. Bei Salzlösung Tröpfchenbildung unter 100%relativer Feuchte möglich

Definition 2.6 (Raoultsches Gesetz)Verminderung des Sättigungsdampfdruckes über Lösungen. Für verdünnte Lösungengilt:

p21 − p21s = p21 ns

ns + nw

mit:

• nw – Molzahl des Wassers

• ns – Molzahl des gelösten Salzes

2.4 Köhlerkurve

gibt für jeden Tropfenradius die relative Feuchte an, bei welcher de Sättigungsdampf-druck über einem Tropfen gleich dem Dampfdruck der Umgebungsluft ist.

Definition 2.7 (Köhlerformel)

p21sr − p21 = p21

[A

r− B

r3

]

Verlauf der Kurve ist abhängig von der im Tropfen gelösten Salzmenge

2.4.1 Kondensationskeime

• Aerosolteilchen:

– Ruß von Waldbränden / Industrie

2 WOLKENBILDUNG - NUKLEATION 5

Umgebung Durchmesser

Nebel um 1µmWolkentröpfchen 1− 50µmNieseltropfen 50− 500µmRegentropfen 500µm - 8 mm

Tabelle 1: Typische Tröpfchengrößen

– Meersalz

– Staub

– Ionen

• Anzahl der Teilchen in der luft nimmt mit der Höhe ab

• Anzahl:

– typischerweise 1000 pro cm3

– in Städten 100.000 pro cm3

– in Polarregionen unter 100 pro cm3

• Größe: 10−4 µm bis 1µm

2.5 Wolkentröpfchen

(Enstehen meistens durch Heterogene Kondensation und enthalten dementsprechendeinen Kondensationskeim.)

2.5.1 Typische Tropfengrößen

Vgl. Tabelle 1

2.5.2 Fallgeschwindigkeiten

Nach Stokes:Betrachte 3 Kräfte:

• Auftrieb

6 2 WOLKENBILDUNG - NUKLEATION

• Gravitation

• Reibung (geschwindigkeitsabhängig)

Daraus folgt die Endgeschwindigkeit eines fallenden Teilchens (Tropfen):

U∞(r) =2

9

r2g(ρW − ρL)

η(2.1)

Mit:

• η = 1, 8 · 10−5 kgm·s = dynamische Zähigkeit von Luft

• ρW = Dichte von flüssigem Wasser

• ρL = Dichte von Luft

• r = Tröpfchenradius

• g = Schwerebeschleunigung

Näherung für die Endgeschwindigkeit eines fallenden Hagelkorns:

U∞(d) ≈ 9 · d0,8 (Faustformel)

U∞(d) in ms

2.5.3 Tropfendichte

Nd = Anzahl pro Volumen, Nd =∫∞

0nd(r)dr, nd(r)= Tropfenspektrum

2.5.4 Flüssigwassergehalt

(englisch: LWC - liquid water content) Vergleichbar mit Partialdichte von Wasser-dampf

LWC =

∫ ∞0

ρWnd(r)V (r)dr ≈ ρWNdV (rmittel)

Typische Werte vgl. Tabelle 2.

2.5.5 Niederschlag

Regenmenge: Niederschlag angegeben in mmRegenrate: Regenmenge pro Zeit in mm

h

Beobachtung mit Regenmessern, standardmäßige Fläche von 200 mm2

Regenradar: Regenrate aus Z-R-Beziehung: Formel nach Marshall & Palmer (1948)Z = 200R1,6, Z = Radarreflektivität in mm6

m3 , R = Regenrate in mmh.

3 STRAHLUNG 7

Umgebung LWC [gm− 3]

Nebel 0,05 - 0,2St, Sc 0,05 - 0,25Cu 0,3 - 1Cb 1,5 - 4,5

Niederschlag ab 0,5

Tabelle 2: Typische Werte für den LWC

3 Strahlung

3.1 Wiederholung

3.1.1 Plancksches Strahlungsgesetz

B(λ, T ) =2hc2

λ5

1

exp(

hcλkBT

)− 1

in [Wm−2m−1]

mit h = 6, 626 · 10−34 Js (Plancksches Wirkungsquantum), kB = 1, 381 · 10−23 JK(Boltz-

mann-Konstante). (Gibt die Energiedichte pro Zeit (Leistungsdichte) und Fläche undpro Wellenlänge an)

3.1.2 Stefan Boltzmann-Gesetz

Gesamtintensität (Energie pro Zeit und Fläche)

E = σT 4[Wm−2]

mit σ = 5, 67 · 10−8 Wm2K4

3.1.3 Wiensches Verschiebungsgesetz

Maximum der Strahlung liegt bei Wellenlänge λmax

λmaxT = const. = 2,9 · 10−3 mK

Trennung in kurzwellige (solare) und langwellige (terrestrische) Strahlungrelevante Quellen: Sonne mit 6000 K, alles andere 250-310 K

Solarkonstante: I = 1370 Wm2

8 3 STRAHLUNG

Bereich Wellenlänge [nm]

UV(A,B,C) 100-380sichtbar 380-780

IR 780 - ca. 1mm

Material ε a

Wasser 0,05-0,97 0,06-0,12Schnee 0,05-0,97 0,6-0,95Rasen 0,97 0,1-0,3

Sand/Gestein 0,88 0,1-0,4poliertes Metall 0,02-0,06 0,55-0,9

3.2 Nicht schwarze Körper

Schwarzkörper strahlt gemäß Planck. Absorbiert alles – größtes Emissionsvermögenbei allen Temperaturen

Emissivität für nicht schwarze Körper 0 ≤ ε ≤ 1 (vgl. Schwarzer Körper ⇒ ε = 1)

E = εσT 4

Albedo mit a := Anteil der von der Oberfläche reflektierten kurzwelligen Strahlung.Typische Werte siehe Tabelle.

3.3 Strahlungstemperatur der Erde

Ausgangspunkt: StrahlungsgleichgewichtPlanetare (mittlere extraterrestrische) Albedo ap = 0, 3; ε1;Pi = Pa wobei Pi : einfal-lende Leistung; Pa : abgestrahlte Leistung

(1− ap)I0 πr2Erde︸ ︷︷ ︸

Energieaufnahmeauf Kreisfläche

= εσT 4 4πr2Erde︸ ︷︷ ︸

Energieabgabe aufgesam. Kugelberfl.

auflösen nach T :

T =

[I0

4(1− ap)

1

εσ

]1/4

=

[1370 Wm−2

4(1− 0, 3)

1

1 · 5, 67 · 10−8 Wm−2K−1

]1/4

= −18

globale Mitteltemperatur ist 15⇒ Differenz (33) = natürlicher Treibhauseffekt

3 STRAHLUNG 9

3.4 Wechselwirkung mit Medium

3.4.1 Streuung

Rayleigh: Wellenlänge Größe der Struktur

• Streuung an kleinen sphärischen Teilchen (z.B. Luftmoleküle)

• Abhängigkeit der gestreuten Gesamtleistung von λ−4 (blauer Anteil des Lichtswird stärker gestreut las rote Anteil)

• Vorzugsweise Vorwärts -& Rückwärts - Streuung(etwa doppelt so stark wie seit-wärts)

Mie: Wellenlänge ≤ Größe der Struktur

• große Teilchen (auch nicht sphärisch) (z.B. Wolkentröpfchen, Aerosole)

• Abhängigkeit der gestreuten Gesamtleistung von λ−1

• hauptsächliche Vorwärtsstreuung

Beispiel 3.1 (im sichtbaren Bereich)1. Rayleigh. p(650 nm)

p(420 nm)= 4204

6504= 1

6

2. Mie p(650 nm)p(420 nm)

= 420650

= 11,5

“Blaues Licht“ wird bei Rayleigh-Streuung deutlich stärker gestreut las bei Mie Streu-ung. Bei “rotem Licht” ist der Unterschied nicht so stark

3.4.2 Extinktion:

Definition 3.2 (Extinktion)Streuung und Absorption ergeben Verlust an Strahlung Extinktion ist proportional zuWeg und Anfangsintensität

Definition 3.3 (Beersches Gesetz)

dI

dz= −αI

mit:

• I Intentsität [Wm−2]

• z Weglänge [m]

10 3 STRAHLUNG

• α Extinktionskoeffizient (Summe aus Absorptions- und Streukoeffizient) [m−1]

Integration über den Strahlweg:

I(z) = I0e−αz

Definition 3.4 (optische Dicke)Maß für die Durchlässigkeit eines Mediums (für elektromagnetische Strahlung) NachPassage einer Wegstrecke mit der optischen Dicke = 1 fällt I auf 1

e· I0 ab. Wenn

α = const⇒ optische Dicke αz = − ln II0

Beispiel 3.5Betrachte Medium mit einem Extinktionskoeffizient von α = 0, 01 m−1. Nach welcherWegstrecke in diesem Medium entspricht es der otpischen Dicke 1?

z =opt. Dicke

α=

1

0, 01 m−1= 100 m

Wie groß ist die optische Dicke von 10m des Mediums?

optische Dicke = αz = 0, 01 m−1 · 10 m = 0, 1

3.5 Energiebilanz

3.5.1 Strahlungsbilanz für Erdboden

Q = K↓ −K↑ + L↓ − L↑mit:

• K↓ = (I + H): Globalstrahlung = direkte Strahlung und diffuse/gestreute Him-melstrahlung

• K↑ = reflektierte solare Strahlung

• L↓: atmosphärische Gegenstrahlung

• L↑: Erdoberflächenstrahlung (langwellige Ausstrahlung)

Mit K↑ = aK↓ und L↑ = σT 40 gilt, wobei a Reflektionskoeffizient:

Q = K↓(1− a) + L↓ − σT 40

Beispiel 3.6Erdoberfläche:

• K↓ < I0 wegen Extinktion

• globales Mittel Q = 103 Wm−2 (positiv!)

3 STRAHLUNG 11

Modell Treibhauseffekt Glasplatte zwischen Boden und Weltall: Absorbiert keinekurzwellige, aber langwellige Strahlung zum Anteil (bzw. B statt C) C = rL↑

Strahlungsabgabe nach oben und unten(C2

). Damit ergibt sich die Strahlungsbilanz

am Boden:

0 = K↓ −K↑ + L↓ − L↑

= (1− a)K↓ +C

2− L↑

= (1− a)K↓ + (rL↑)/2− L↑= (1− a)K↓ + (r/2− 1)L↑

hier fehlt was

Normales Treibhaus ist die Erhöhung von 10 auf 25 ergibt r ≈ 0, 4

Verlauf der Strahlungskomponenten Tagesgang für Strahlungstag: Tägliche Ein-strahlung

3.5.2 Energiebilanz

Erdoberfläche ist masselos. Daraus folgt, dass die Summe aller Energieflüsse gleich Nullist

0 = Q+B + L+ V

mit:

• Q : Strahlungsbilanz

• B : Bodenwärmestrom

• L : fühlbare Wärmestrom

• V : latenter Wärmestrom (Verdunstung)

Positives Vorzeichen eines Terms bedeutet Erwärmung (andere Definitionen sind jedochmöglich und sogar üblich)

12 4 DRUCK UND GEOPOTENTIAL

4 Druck und Geopotential

4.1 Wiederholung

4.1.1 Gravitations- und Zentrifugalkraft

Allgemein: Kraft pro Masseneinheit = Beschleunigung ⇒ Gravitations- und Zentrifu-galbeschleunigung. Summe entspricht der Schwerebeschleunigung g

4.1.2 Gravitationsbeschleunigung

Definition 4.1 (Gravitationskraft)(nach Newton) pro Masseneinheit:

ag = −γmErde

r2

mit mErde Erdmasse (5, 9736 · 1024kg; γ Gravitationskonstante (6, 67 · 10−11m3kg−1s−2)ist zum Erdmittelpunkt gerichtet und proportional zu 1

r2

4.1.3 Zentrifugalbeschleunigung

Zentrifugalkraft pro Masseneinheit

az = Ω2R

mit:

• Ω Winkelgeschwindigkeit Erddrehung ( 2π24h

)

• R Abstand

Von Drehachse weggerichetet, proportional zu R

4.1.4 Schwerebeschleunigung

Summe (Gravitations-, Zentrifugalbeschleunigung) = Schwerebeschleunigung

g = g(φ, z) = g0(φ)

(rl

rl + z

)2

mit: Abhängigkeit von der geographischen Breite φ

4 DRUCK UND GEOPOTENTIAL 13

g0(φ) = gN(1− 2, 6373 · 10−3 cos(2φ) + 5, 9 · 10−6 cos2(2φ))

mit: gN Normalschwere 9, 80665 ms2

4.2 Geopotential

4.2.1 Geopotential

Definition 4.2 (Geopotential Φ)

Φ(φ, z) =

∫ z

0

g(φ, z′) dz′ ≈ g(φ, z)z

mit Φ(z = 0) = 0

Oft reicht Nährung (z-Abhängigkeit vernachlässigt)

Φ(φ, z) = g(φ) · z

• Einheit von Φ ist der geopotentielle Meter = 1 gpm = 9, 806m2

s2

• Äquipotentialflächen: “Geopotentialflächen”

• Merke: Verschiebe auf der Fläche gleichen Geopotentials kostet keine potentielleEnergie

4.2.2 Geopotentielle Höhe

Alternative Höhenkoordinate - Geopotentielle Höhe ZAlternative

Z =Φ

gN=

Φ

9, 806ms2

=g(φ, z)

gNz[m]

• kompensiert Breitenabhängigkeit von g

• Angabe von Φ in gpm entspricht zahlenmäßig ungefähr der Höhe in m

4.2.3 Geopotential auf Druckfläche

Z2 − Z1 =R0

gN

∫ p2

p1

Tv d/ p

14 5 STATISCHE STABILITÄT DER ATMOSPHÄRE

bei Isothermie gilt: Z2−Z1 = R0TvgN

ln p1p2

für trockene Atmosphäre Tv = T . Schichtdickezwischen p1 und p2 zur abhängig von (mittleren) Tv

Tv = T (1 + 0, 611m)

5 Statische Stabilität der Atmosphäre

5.1 potentielle Temperatur

• Temperatur, die trockene Luft annähme, wenn sie adiabatisch (ohne Energieaus-tausch mit der Umgebung) auf p = 1000 hPa gebracht würde

• θ bleicht konstant bei adiabatischen Prozessen

5.1.1 Gradienten

• Adiabatische Hebung eines trockenen Luftpaketes→ Druckabnahme→ Abnahmevon Temperatur

• Trockenadiabatischer Grad Γd = gcp

= 0, 0098 Km

• Merke: Atmosphäre mit ∂T∂z

= Γ wird auch “adiabatisch geschichtet” genannt.ABER θ bleibt konstant!

• Achtung: Mittlere Temperaturabnahme mit der Höhe: 0, 65 K100m

5.1.2 Äquivalent - Temperatur

Definition 5.1 (Äquivalent - Temperatur)Temperatur, die Luft annähme, wenn der gesamte Wasserdampf adiabatisch und isobarverflüssigt würde

• Äquivalent-Temperatur Teq berücksichtigt latente Wärme in der Luft

• Merke: Wasser bleibt aber im Volumen (geschlossenes System)

Teq = T +r1Lvc1

≈ T +0, 622

pcpp1

mit: Lv = 2, 5 · 106 Jkg; r1 = Mischungsverhältnis; p1 ≈ 1, 61 · p · m1︸︷︷︸

r1

5 STATISCHE STABILITÄT DER ATMOSPHÄRE 15

5.1.3 Äquivalent - potentielle Temperatur

Definition 5.2 (Äquivalent - potentielle Temperatur θl)Temperatur, die Luft annähme, wenn der gesamte Wasserdampf verflüssigt und dieLuft dann adiabatisch auf p = 1000 kPa gebracht würde

Merke: Wasser bleibt aber im Volumen (geschlossenes System)

θl = T

(p0

p

)R/cpexp

[r1LvcpT

]≈ θ

(1 +

r1LvcpT

)Wasser bleibt im Luftvolumen → Prozess unter Erhaltung von θl reversibel. Linien mitθl = const reversibel Feuchtadiabaten

5.1.4 Pseudopotentielle Temperatur

Definition 5.3Temperatur, die Luft annimt, wenn sie

1. trockenadiabatisch gehoben würde bis zum Hebungs-Kondensations-Niveau (HKN)

2. Sättigungsadiabatisch weitergehoben würde, bis alles Wasser kondensiert undausfällt

3. und trockenadiabatsich auf das Niveau 1000 hPa gebracht würde.

Ausfallendes Wasser nimmt neben der Masse auch Wärme mit ⇒ System ist offen→ nicht reversibel

θps ≈ θ exp

[r21LvcpT

]mit: r21 : Sättigungs-Mischungsverhältnis; T und θ im HKN

5.2 Vertikalbewegung von Luftpaketen

Paketmethode:

1. Druck ist ausgeglichen mit Umgebung

2. nur adiabatische Prozesse im Paket zulässig

keine Druckdifferenz→ Temperaturdifferenz definiert eindeutig Dichtedifferenz→ Auftrieb(positiv oder negativ)

16 5 STATISCHE STABILITÄT DER ATMOSPHÄRE

vertikaler Gradient von θ gibt ein wort Stabilität (trockene Luft):

• θ fällt mit der Höhe ab → aufsteigendes Luftpaket wärmer → Auftrieb ⇒ labil

• θ nimmt mit Höhe zu → aufsteigendes Luftpaket kälter → Abrieb ⇒ stabil

etwas fehlt noch etwas

5.2.1 Absinkinversion

• Annahme: trockene Luftschicht zwischen 400 und 500hPa. Habe: T(400) = -48,5; T(500)=-41

• Berechne θ für beide Höhen: θ(400) = 18, 9; θ(500) = 10

• Die Luftschicht sinke trocken-adiabatisch um 500hPa auf 900 ... 1000 hPa ⇒θ(900) = 18, 9; θ(1000) = 10

• Berechne T für beide Höhen T (900hPa) ≈ T (1000hPa) = 10

Sinke eine Luftschicht, wird der vertikale Temperaturgradient positiver. Deshalb kannsich darin eine Inversion bilden. Diese nennt man Absinkinversion

Wird eine Luftschicht angehoben, wird der vertikale Temperaturgradient negativer.Deshalb wird die Schichtung labiler

5.3 Thermodynamisches Diagrammpapier

• übersichtliche und anschauliche Darstellung

• Hauptlinien: p = const, T = const

• T-Linien meist nach rechts geneigt

• Adiabaten (θ = const, θe = const)

• weitere Linien für Erhaltungsgrößen (die für bestimmte Prozesse konstant blei-ben)

Nutzen zur:

1. Umrechnung von Größen (θ, relative Feuchte, θpseudopotentiell,. . . )

2. Verfolgen von Prozessen (adiabatisch, pseudoadiabiatisch

5 STATISCHE STABILITÄT DER ATMOSPHÄRE 17

3. Untersuchung der Schichtung geometrische Zustandskurve (Umgebung). indivi-duelle Aufstiegskurve

5.3.1 Skew-T-Diagrammm

• Temperatur gegen log(p) aufgetragen

• Findet häufig Verwendung bei Radiosondenaufstiegen

• Trockenadiabaten, Feuchtadiabaten, Linienkonstanten Mischungsverhältnis

Beispiel 5.4 • HKN: Hebungskondensationsniveau: Höhen, in der Luft bei erzwun-gener Hebung kondensiert (Bsp: Überströmung eines Berges, vgl. erste Übung)(Nebenbemerkung: gehe auf Mischungsverhätnis bis Schnittpunkt mit tro-ckenadiabaten = Basis/untere grenze einer Wolke)

• KKN: Kumuluskondensationsniveau: Niveau, bei dem bodennahe Luft kräfte-frei (d.h. auf Adiabate, ohne Hebung) aufsteigend kondensiert (Bsp: thermischeEinflüsse) (Nebenbemerkung: Taupunkt von Boden (wie oben), auf Linie bisTemperatur Schnittpunkt)

zu ue-meteo8 labil, stabil mit theta machen

• θ(1000hPa) = T (1000hPa) = 0; θ(900hPa) ≈ 8, 4

• Annahme: θ = const bei Hebung

• θ = 0 T (700hPa) = −26, 5; θ = 8, 4→ T (600hPa) = −29, 5

• Barometrische Höhenformel: TMittel = −28 : p1/p2 = exp[−g(z1−z2)RLT

]⇒ z1−z2 =

− ln(p1/p2)RLTg

= 1100m∂T∂z

= −3K1100m

> −1K100

= Γ ⇒stabil (ist labiler als vorher aber immer noch stabil)oder Argumentation über ∂θ

∂z(dann absolut im Vergleich zu 0)

18 6 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

6 Bewegungsgleichungen

6.1 Koordinatensystem

6.1.1 Tangentialsystem

Definition 6.1Achse parallel zu positiv nach Einheitsvektor

x Breitenkreis Osten ~i

y Meridian Norden ~j

z Gravitation oben ~k

• berührt in (0,0,0) die Erdoberfläche

• Jeder Punkt auf der Erdoberfläche hat ein eigenes Tangentialsystem

6.1.2 Erdrotation

Vektor der Erdrotation ~Ω im Tangentialsystem geneigt

~Ω := Ω cosϕ~j︸ ︷︷ ︸horizontal

+ Ω sinϕ~k︸ ︷︷ ︸vertikal

6.2 Kräfte

Kraft pro Masseneinheit = Beschleunigung

6.2.1 im ruhenden System (Inertialsystem)

• Druckgradientkraft: ~Fp = −mρ~∇p

• Schwerkraft: ~Fg = −m~∇φ = −mg~k

• Reibungskraft: ~FR = mµρ~∇2~v2

mit: µ Viskosität (gilt für inkompressible Strömung)

6 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 19

6.2.2 im rotierenden System (beschleunigten System)

• (Zentrifugalkraft): vertikaler Anteil in g enthaltenhorizontaler Anteil ist in der Regel vernachlässigbar

• Corioliskraft: ~FC = 2m~Ω× ~v

– abhängig von Geschwindigkeit und geographischer Breite

– senkrecht zur Bewegungsrichtung: Nordhalbkugel: nach rechts; Südhalbku-gel: nach links

– ändert Richtung, aber nicht Betrag der Geschwindigkeit (Scheinkraft)

– Betrag der Corioliskraft bei geographischer Breite ϕ : | ~Fc| = 2mΩ sinϕv =mfvmit Coriolisparameter: f = 2Ω sinϕfür Hannover: f = 2 2π

86400ssin(52°) = 1, 15 · 10−4s−1

6.3 Bewegungsgleichung

Beschleunigung eines Luftpakets = Summe aller Beschleunigungen

d~v

dt+ 2~Ω× ~v = −~∇φ− 1

s~∇p

Euler-Schreibweise:

∂~v

∂t︸︷︷︸lokale zeitliche Änderung

+ (~v · ~∇)~v︸ ︷︷ ︸Advektion

+ 2~Ω× ~v︸ ︷︷ ︸Corioliskraft

= −~∇φ︸ ︷︷ ︸Schwerkraft

− 1

ρ~∇p︸︷︷︸

Druckgradientkraft

6.4 Geostrophischer Wind

Gleichgewicht zwischen Druckgradientkraft und Corioliskraft

0 = Fp + FC

20 6 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

Bewegung horizontal: WICHTIG

f~k × ~vh = −1

ρ~∇hp

~k × (f~k × ~vh) = −~k × (1

ρ~∇hp)

f~k (~k · ~vh)︸ ︷︷ ︸=0

−~vh (~k · f~k)︸ ︷︷ ︸=f

= −1

ρ~k × ~∇hp

⇒ −~vhf = −1

ρ~k × ~∇hp

⇒ ~vh = ~vg =1

ρf~k × ~∇hp

ergibt Gleichungen für geostrophischen Wind:

• Geostrophischer Wind parallel zu den Isobaren vg = ρf∂p∂x

• Betrag ~vg bestimmbar durch Isobarenabstand |~vρ = ρf∂p∂n

mit n = Normale zurIsobaren

6.4.1 5.4.1 im p-System

Vorteil: kein Druck in der Gleichung, praktisch z.B. für Radiosonden (Höhe wird überbarometer gemmessen. Rückschluss auf Höhe; Rest GPS)

Vertikalkoordinate p (statt z). Vorsicht: ist krummlinig ud zeitabh.

~vg =1

f~k × ~∇pΦ

mit ~∇p = (∂x, ∂y, ∂p)

⇒ |~vg| =1

f

∂Φ

∂n

mit ~∇p auf isobare (Druckfläche); n = Richtung senkrecht zur Isobare

6.5 Gradientenwind

• Erweiterung des geostrophischenWindes für gekrümmte Isobaren⇒Zentrifugalkraft| ~FZ = v2

R

• Def: ~FR = 0 und nur horizontale Bewegungen ⇒= 0 = ~Fp + ~Fc + ~Fz

6 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 21

• Fz immer aus dem Krümmungszentrum heraus gerichtet

• Strömung zyklonal (Tief): ‖ ~Fp‖ = ‖ ~Fc‖ + ‖ ~Fz‖ Strömumg antizyklonal (Hoch):‖FC‖ = ‖ ~Fp‖+ ‖ ~Fz‖

6.6 Zyklostrophische Strömung

Definition 6.2

FR = FC = 0

Reibung und Corioliskraft vernachlässigbar; Gleichgewicht zwischen Zentrifugal- undDruckgradienten, horizontale Strömung:

⇒ 0 = ~Fp + ~Fz

Nährung gilt für tropische Wirbelstrürme (klein), Tornados und andere Tromben

Bei Krümmunsradius R (zyklonal R > 0, antizyklonal R < 0) gilt:

−v2

R=

1

ρ

∂p

∂n⇒ v =

√−Rρ

∂p

∂n

6.7 Trägheitsströmung (Trägheitskreis)

Definition 6.3

~FR = ~Fp = 0

• Reibung & Druckgradient vernachlässigt; Gleichgewicht von Zentrifugal- und co-rioliskraft, horizontale Strömung:

0 = ~FC + ~Fz

• Bei Krümmungsradius R gilt:

~v2R + fv = 0 ⇒ v = f |R|

⇒Zeit für einen Umlauf: t = 2π|R|v

= 2πf

= πΩ sinϕ

Beispiel 6.4Trägheitszeit in unseren Breiten (ϕ = 50°) t = π

Ω sinϕ≈ 15, 5h

22 6 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

6.8 Thermische Wind

• Änderung des geostrophischen Windes mit der Höhe

~vth = ~vg(oben) = ~vg(unten)

• Hilfsvorstellung: Wind gemessen an einem Messmaste, der auf einem Heißluftbal-lon steht

• wird verursacht durch horizontalen Temperaturgradienten:1

~vth =∂ ~vg∂z

∆z =

(g

fT~k × ~∇hT

)·∆z

• Die kalte Luft leigt in Richtung von ~vth immer links

(Nebenbemerkung: KLA Kaltluftadvektion (heranführung) bzw. WLA Warmluft-advektion) (Nebenbemerkung: Vertikalkoordinate ist 0 statt z)

6.9 Reibung

Reibungskraft entgegen Geschwindigkeit, bodennah am stärksten kleinerr⇒Corioliskraftkleiner⇒Richtungsänderung mit Annäherung an Boden (typisch 20°bis 40°über Land)

1Etling: kap 10.2

7 KLAUSURVORBEREITUNG 23

7 Klausurvorbereitung

1. Beschreiben und erklären Sie den natürlichen Treibhauseffekt in der Atmosphäre.Welche Treibhausgase kennen Sie? Wodurch wird der zusätzliche anthropogeneTreibhauseffekt hervorgerufen?

CO2, CH4, O3, H2O, FCKW

2. Wann ist eine Luftmasse stabil, instabild und indifferent (=neutral) geschichtet?Wie lauten dabei die Bedingungen für die vertikalen Gradienten der Temperaturund der potentiellen Temperatur.?

Ist die potentielle Temperatur θ 2 von der Höhe unabhängig, so ist die Atmosphäreneutral geschichtet

Nimmt sie mit der Höhe ab, so ist es eine labile Schichtung ∂θ∂z

< 0. Steigt siehingegen, so ist die Schichtung labil.

Alternativ: Nimmt die Temperatur mit mehr als K100m

= Γ = gcp

mit der Höhe ab,so ist die Schichtung labil

3. Beschreiben Sie die Wirkung der Corioliskraft auf ein bewegtes Objekt. Wieändert sich die Corioliskraft mit der geographischen Breite?

Def: Bis auf Vorfaktor das Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit der Erde Ωund Geschwindigkeit v. Die Winkelgeschwindigkeit ist abhängig von der geogra-phischen Breite ϕ: Ω sinϕ

4. Nenne Sie jeweils ein Beispiel für niedrige, mittelhohe, hohe Wolken und geben Sieeinen Bildungsprozß für diese Wlken an. Über welchen Höhenbereich ersteckensich Cumulonimbuswolken? Kann sich (a) Altocumulus aus Cumulus (b) Cumulusaus Cirrus bilden?

Höhe Beispiel

hohe Wolke 5-13 km Cirrus, Cirrocummulus, Cirrostratusmittelhohe Wolke 2-7 km Altocummulus, Altostratustiefe Wolke 0-2 km Stratocummulus, Stratusgroßer vertikaler Mächtigkeit 0-13 km Nimbostratus, Cumulus, Cumulonimbus

Altostratus3, Cirrus4, Cumulus5, Stratus6

2Temperatur, die trockene Luft annähme, wenn sie adiabatisch (ohne Energieaustausch mit derUmgebung) auf p = 1000 hPa gebracht würde. θ bleicht konstant bei adiabatischen Prozessen

3“Luftschichten langsam bis in genügend große Höhen gehoben werden. Er ist oft als Hochnebel imHerbst und Winter zu beobachten”

4bestehen aus feinen Eiskristallen5“Sie entstehen durch lokal begrenzten Aufwind”6“wenn die unteren Schichten der Atmosphäre feucht und kalt sind”

24 7 KLAUSURVORBEREITUNG

5. Welche Prozesse gleichen die Energiebilanz aus, wenn dieStrahlungsbilanzs unausgeglichen ist

6. Erklären Sie, was das Geopotential einers Punktes in der Atmosphäre physikalischbedeutet

potentiellen Energie der Luft in einer bestimmten Höhe. Es setzt sich aus demGravitationspotential und dem Zentrifugalpotential zusammen

7. Nennen sie 3 verschiedene Formen des Niederschlags und die Bedingungen ihresAuftretens. Wie wird Niederschlagsmenge und Niederschlagsrate gemessen? Inwelchen Maßeinheiten werden diese Größen angegeben?

fallender Niederschlag flüssig (Wind, Regen) und fest (Schnee, Hagel) bzw. ge-mischt. Bedingung: Tropfchengröße

abgesetzter Niederschlag Tau, Reif. Bedingung: Kühlt sich eine Oberfläche un-ter die Taupunktstemperatur ab, so bildet sich bei Temperaturen unter0°Tau bzw. über 0°Reif

abgefangener Niederschlag meist von Bäumen, der Atmosphäre entzogenerNiederschlag: Bsp Nebel. Bedingung: Kondensation tritt bei feuchte-gesättig-ter Luft ein; Nebel: häufige Ursache bzw. Bedinung für Nebelbildung: nächt-licher Temperaturrückgang

Einheit mm Wasserhöhe = 1l/m2

Niederschlagsrate = Niederschlagsintensität = Niederschlag pro Zeiteinheit (instd)

Messung Regenschreiber, Regenradar (Radarreflektivität ↔ Regenrate)

8. Erklären Sie, was das Geopotential eines Punktes in der Atmosphäre physikalischbedeutet

spezifische Arbeit im Schwerefeld, um 1kg von z = 0 auf z > 0 zu heben

9. Nennen und beschreiben Sie die 4 wesentlichen Terme der Strahlungsbilanz fürein Luftvolumen in Erdbodennähe. Skizzieren Sie den Tagesgang der einzelnenTerme und der Gesamtbilanz für einen Sommertag. Welche Prozesse gleichen dieEnergiebilanz aus, wenn die Strahlungsbilanz unausgeglichen ist?

Globalstrahlung, reflektierte Strahlung vom Erdboden, Ausstrahlung vom Box-den, Gegenstrahlunglatenter Wärmestrom, fühlbarer Wärmestrom, Bodenwärmestrom

10. Ein feuchtes, ungesättigtes Luftpaket werde gehoben (ohne dass es zu Kondensa-tiono kommt). Welche Größen bleiben dabei konstant? Wie verhalten sich Tem-

8 SONSTIGES 25

peratur und der Taupunkt

Die aktuelle Temperatur erreicht nicht den Taupunkt, da es nicht zur Kondensa-tion kommt.Konstanten: Das Mischungsverhältnis, spezifische Feuchte. Temperaturgradient(ungesättigt und ohne Kondensation = trockenadiabatisch = 1K/100m).

8 Sonstiges

• 60% Übung

• 75% Anwesenheit

• Klausur 2011-07-25