Altana vortrag

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25. Oktober 2005 Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound Globale Existenz und exponentielle Stabilität Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Lehrstuhl Prof. Dr. R. Racke Diplomand: Michael Pokojovy Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke

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25. Oktober 2005

Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound –

Globale Existenz und exponentielle Stabilität

Universität KonstanzFachbereich Mathematik und StatistikLehrstuhl Prof. Dr. R. Racke

Diplomand: Michael Pokojovy

Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke

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Timoshenkos Balkentheorie

Stephan Timoshenko

(1878-1972)

Balken sind im allgemeinen mehrdimensionale Festkörper. Die Balkentheorien beschäftigen sich mit gewissen Approximationen, welche das elastische Verhalten von Festkörpern aufgrund ihrer Längscharakteristiken beschreiben.

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Beispiel

Beispiel: Eine Brücke kann als Balken betrachtet werden, indem man die Querschwingungen vernachlässigt.

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Schwingende Saite

•Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines elastischen Körpers) kann eine schwingende Saite dienen:

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Schwingende SaiteDie Schwingungen werden durch die hyperbolische Differentialgleichung

0),,0(,0),(),(

2

2

2

2

≥∈=∂

∂−∂

∂=− tLxx

xtu

t

xtuuu xxtt

beschrieben. Diese Gleichung heißt Wellengleichung.

Man definiert die Energie der Lösung der Wellengleichung:

( )∫ +=L

xt dxxtuxtutE0

22 ),(),(2

1)(

Die Energie bleibt erhalten, d.h. constEtE == )0()(

kinetische Energie potentielle Energie

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Kopplung mit Wärmeleitung

• Die elastischen Schwingungen eines Körpers sind mit

dem Wärmefluss eng verbunden.

• Bei der reinen Wellengleichung ist dieser

Zusammenhang aber nicht berücksichtigt.

• Um die physikalischen Phänomene adäquater zu

beschreiben, benötigt man kompliziertere

mathematische Modelle.

Ergo:

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Wärmeleitung

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WärmeleitungDie Wärmeleitung lässt sich durch die parabolische Differentialgleichung

0),,0(,0),(),(

2

2

≥∈=∂

∂−∂

∂=− tLxx

xtu

t

xtuuu xxt

beschreiben. Diese Gleichung heißt Wärmeleitungsgleichung.

Man definiert die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung:

∫=L

dxxtutE0

2 ),(2

1)(

Die Energie fällt exponentiell ab, d.h. )0,()0()( 2 >≤ − αα cecEtE t

Wärmeenergie

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Exponentielle Stabilität

t

)(tE

Die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung klingt exponentiell ab. Diese Eigenschaft heißt exponentielle Stabilität.

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Mathematische Balkentheorie

• Die von Timoshenko vorgeschlagene Balkentheorie ist die

Verallgemeinerung der klassichen mechanischen Balkentheorie

von Euler und Bernoulli. Ihre mathematische Formulierung ergibt

ein System partieller Differentialgleichungen.

• Im R1 hat das Timoshenko System die Gestalt:

( )0

0

0),(

3

2

1

=+−=+++−

=−

txxxt

xxxxtt

xxtt

kb

γψκθθργθψϕψψρ

ψϕσϕρ

(Zuzüglich Anfangs- und Randbedingungen)

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Energie des Timoshenko Systems

( )∫ +++++=L

xxtt dxxtkbtE0

23

2222

21 ),(

2

1)( θρψϕψψρϕρ

Energie

exponentielle obere Schranke

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Klassisches Timoshenko System

• Es wurde für Timoshenko Systeme schon gezeigt:

1) Existenz einer eindeutigen globalen Lösung

2) Exponentielle Stabilität wegen Dissipation (Dämpfung durch Wärme) unter der Voraussetzung:

kb21 ρρ

=

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Fourier vs. Cattaneo GesetzDie klassischen Wärmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz)

0=− xxt θθ

modellieren unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Dieses physikalische Paradoxon wird für einige Situtationen behoben durch ein hyperbolisches Cattaneo Gesetz:

)(0 kleinxxttt τθθτθ =−+

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Diplomarbeitsziel

• Meine Aufgabe ist es, die exponentielle

Stabilität und globale Lösbarkeit des

nichtlinearen Timoshenko Systems mit

second sound (Cattaneo Gesetz) zu

untersuchen.

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Anwendung

• Reinigung von Chips mithilfe von Lasern

• Konstruktion von Brücken bei großen

Temperaturschwankungen

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