Analyse nach harmonischen Schwingungen

Mechanisches Modell

Inhalt

• Analyse eines unbekannten Systems auf Eigenschwingungen

• Amplituden Signal• Phasen - Signal

Versuch

• „Erzwungene mechanische Schwingung“

• Beobachtung von Amplitude und Phase als Funktion der Antriebsfrequenz

Zwei über eine Feder gekoppelte Oszillatoren:Antrieb (rot) und angetriebener Oszillator (blau) mit

unbekannter Mechanik

Mechanisches Modell für die Fourier-Analyse: Ein Antrieb mit variabler Frequenz ist elastisch an das unbekannte System gekoppelt

Antriebsfrequenz kleiner als eine Eigenfrequenz des unbekannten Systems

Kopplungsfeder wird wenig beansprucht, Praktisch gleichphasige Auslenkung bei Antrieb und unbekanntem System

Antriebsfrequenz höher als eine Eigenfrequenz des unbekannten Systems

Kopplungsfeder wird stark beansprucht, praktisch gegenphasige Auslenkung bei Antrieb und unbekanntem System

Antriebsfrequenz gleich einer Eigenfrequenz des unbekannten Systems

Jede Schwingung überträgt Energie vom Antrieb in das unbekannte System, die Amplitude wächst an, die Phasen-verschiebung beträgt π/2

Analyse eines unbekannte, mechanischen Aufbaus auf Eigenschwingungen

• Ein Antrieb mit variabler Frequenz regt ein unbekanntes System zu „erzwungenen Schwingungen“ an

• Die Antriebs-Frequenz wird von Null an langsam gesteigert

• Die „Antwort“ des unbekannten Systems wird beobachtet:– Amplitude und – Phase

• Nur bei der Frequenz einer Eigenschwingung zeigt das angeregte System „Resonanz“:– Amplitude steigt– Phase springt

• Jede harmonische Schwingung ist durch– Frequenz, – Amplitude – und Phase

charakterisiert

Resonanz

• Resonanz, falls Antriebsfrequenz gleich Eigenfrequenz– Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung

und führt ohne Dämpfung zur „Resonanzkatastrophe“

• Unabhängig von der Dämpfung „springt“ die Phase an der Resonanzstelle

Erzwungene Schwingung und Fourier-Transformation

• Gegeben sei eine beliebige periodische Funktion – sie entspricht dem „unbekannten System“

• Diese Funktion wird in eine Summe von Sinus Funktionen mit individuellen– Frequenzen– Amplituden– Phasen zerlegt – entsprechend dem Antrieb mit variabler

Frequenz und Beobachtung der „Antwort“ des Systems

• Für die Zerlegung einer Funktion gibt es ein mathematisches Verfahren, die „Fourier-Transformation“

Das Signal sei eine „Schwebung“

Die Periode der Schwebung ist – in diesem Beispiel – etwa das 20-fache der Periode der Ausgangs-Signale

f=0,05 [Hz]

Fourier-Analyse: Test des Systems auf Eigenschwingungen

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Antriebsfrequenz < νResonanz_1

Antriebsfrequenz = νResonanz_1

Antriebsfrequenz = νResonanz_2

Antriebsfrequenz > νResonanz_2

Fourier-Analyse: Test auf Eigenschwingungen, Ergebnis für die Phase

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150

Pha

se z

wis

chen

Ant

rieb

und

Osz

illat

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Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Antriebsfrequenz = 0,2 Hz : Phasensprung 360° Artefakt, kein Amplitudensignal

0,8 < Antriebsfrequenz [Hz ]<1,1: Phasensprung und Amplitude zeigen „Treffer“

Ergebnis der automatischen Fourier-Analyse (per Mausklick „FFT“)

• Die Zerlegung des (Schwebungs-) Signals zeigt zwei benachbarte Frequenzen• Beide sind viel höher als die Frequenz der Schwebung

ν=0,95 Hz ν=1,00 Hz

Zum Vergleich. Analyse einer einzigen Sinus Kurve, T=1,00 [s]

Ergebnis der automatischen Fourier-Analyse (per Mausklick „FFT“)

• Bei Zerlegung einer einzigen Schwingung steigt das Amplitudensignal - wie zu erwarten - bei einer einzigen Frequenz

• Analog zur Resonanz einer erzwungen Schwingung „springt“ die Phase

ν=1,00 Hz

0,00,5

1,0

1,5

2,01,4

1,21,0

0,80,6

0,40,2

0,0

0

2

4

Am

plitu

de

Dämpf

ung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit abnehmender Dämpfung schärfer

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5

2,01,5

1,00,5

0,0

0

50

100

150P

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Däm

pfung

Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz

Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.

Zusammenfassung

• Die Fourier-Analyse testet das System auf Eigenschwingungen

• Mechanisches Modell: Ein Antrieb mit variabler Frequenz regt das System zu „erzwungenen Schwingungen“ an

• Bei der Frequenz einer Eigenschwingung zeigt das angeregte System „Resonanz“:– Amplitude steigt– Phase springt

• Jede harmonische Schwingung ist durch– Frequenz, – Amplitude – und Phase

charakterisiert

finis