Analysis I Script / Mitschrift Dortmund 16-12-2010

Analysis I - Vorlesungs-Script

Prof. Dr. Matthias Roger

10/11

Mitschrift:

Sascha Gruter

1

Contents

1 Einleitung 9

I Die reellen Zahlen 9

2 Die Axiome der reellen Zahlen 92.1 Die algebraischen Axiome (Korperaxiome) . . . . . . . . . . . . . 92.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Rechenregeln der Addition und Multiplikation . . . . . . . . . . . 102.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Regeln des Bruchrechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Regeln fur die Anordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Definition: (nach oben, nach unten) beschrankt. . . . . . . . . . . 122.10 Definition: kleinste obere (großte untere) Schranke . . . . . . . . 122.11 Das Vollstandigkeitsaxiom (Supremumsaxiom) . . . . . . . . . . 122.12 Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.13 Definition: sup und inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.14 Satz: Charakterisierung des Supremums . . . . . . . . . . . . . . 132.15 Satz: Charakterisierung des Infimums . . . . . . . . . . . . . . . 132.16 Definition: Maximum und Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . 132.17 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Die Mengen N,Z,Q 132.18 Definition: induktive Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.19 Definition der naturlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.20 Satz: Teilmengenverhaltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.21 Satz: Prinzip der Vollstandigen Induktion . . . . . . . . . . . . . 142.22 Bemerkung zum Ablauf der Induktion . . . . . . . . . . . . . . . 142.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.24 Bemerkung: Summe, Produkt und Fakultat . . . . . . . . . . . . 152.25 Satz: Eigenschaften der naturlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . 152.26 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.27 Rechenregeln fur endliche Summen, endliche Produkte und Poten-

zen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.28 Definition der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.29 Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.30 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.31 Satz:Dichtheitseigenschaft der rationalen Zahlen . . . . . . . . . 16

2

III Wurzeln 172.32 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.33 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.34 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.35 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.36

√2 ist irrational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.37 Existenz von√c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.38 Existenz von n√c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.39 Rechenregeln fur Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . 17

IV Ein wenig Kombinatorik 182.40 Definition: Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.41 Satz uber die Anzahl von Teilmengen und Anordnungen endlicher

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.42 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.43 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.44 Pascalsches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

V Der Absolutbetrag 19

3 Folgen und Reihen 193.1 Definition: Der Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Die eigenschaften des Absolutbetrags . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Definition: Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Eigenschaften des Abstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

VI Folgen und Konvergenz in Folgen 203.7 Definition: Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 Definition: Konvergenz einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.10 Die ε−Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.11 Definition: Divergente Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.13 Definition: beschrankte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.14 Satz: Konvergente Folgen sind beschrankt . . . . . . . . . . . . . 213.15 Bemerkung Fibonacci Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.16 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.17 Summe und Produkt konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . 223.18 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

3.20 Satz: Großenvergleich konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . 223.21 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.22 Definition: Bestimmt divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.24 Satz: Kehrwert bestimmter divergenter Folgen. Kehrwert von

Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

VII Intervallschachtelung 233.25 Definition: Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.26 Definition: Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.27 Satz: Intervallschachtelungen erfassen genau einen Punkt . . . . 243.28 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.29 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.30 Darstellung reeller Zahlen bezuglich einer Basis . . . . . . . . . . 243.31 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.32 Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.33 Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen . . . . . . . 25

VIII Teilfolgen und Haufungspunkte 253.34 Definition: Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.35 Definition Haufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.35.1 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.36 Proposition: Charakterisierung von Haufungspunkten . . . . . . 263.37 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

IX Konvergenzsatze fur Folgen 263.38 Definition: (streng) Monoton wachsende, (streng) monoton fall-

ende Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.39 Monotone Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.40 Definition: Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.41 Satz: Eigenschaften von Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . 273.42 Satz: Cauchy Konvergenz-kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 273.43 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.44 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

X Unendliche Reihen 283.45 Definition: unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.46 Definition: Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.47 Beispiel: Geometrische und harmonische Reihe . . . . . . . . . . 293.48 Satz: Linearkombination konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . 293.49 Satz: Konvergenz einer majorisierten Reihe mit nichtnegativen

Summanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4

3.50 Cauchy Konvergenzkriterium fur Reihen30

3.51 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriterium fur alternierende Reihe . . . 313.53 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.54 Definition: Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . 313.55 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.56 Satz: Majorantenkriterium fur die absolute Konvergenz einer Reihe 323.57 Satz: Quotientenkriterium fur die absolute Konvergenz einer Reihe 323.58 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.59 Satz: Wurzelkriterium fur die absolute Konvergenz einer Reihe . 33

XI Umordnung und Produkt von Reihen 333.60 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.61 Satz: Umordnungen einer absolut konvergenten Reihe sind abso-

lut konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.62 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.63 Satz: Doppelreihensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.64 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.65 Satz: Produkt absolut konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . . 36

XII Die Exponentialreihe 373.66 Satz:Die Exponentialreihe zu x ist fur alle x ∈ R absolut konvergent. 373.67 Definition: Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.68 Satz: Additionstheorem der Exponentialfunktion . . . . . . . . . 373.69 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.70 Satz: exp(q · x) = exp(x)q fur rationale q . . . . . . . . . . . . . . 38

XIII Dezimaldarstellung reeller Zahlen 393.71 Dezimaldarstellung durch unendliche Reihe

Periodische Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.72 Proposition: Charakterisierung der Uneindeutigkeit der Dezimal-

darstellung einer rellen Zahl als unendliche Reihe . . . . . . . . . 39

4 Funktionen und Stetigkeit 404.1 Definition: Abbildung, Definitionsbereich, Wertebereich . . . . . 404.2 Definition: Injektive, surjektive, bijektive Abbildung; Umkehrab-

bildung einer bijektiven Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Definition: Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . 40

5

XIV Abzahlbarkeit 404.4 Definition:

Gleichmachtigkeit von Mengenendliche, abzahlbar (unendliche), hochstens abzahlbare, uberabzahlbareMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Satz:Teilmengen hochstens abzahlbarer Mengen sind hochstens abzahlbar.Die Vereinigung hochstens abzahlbar vieler hochstens abzahlbar-er Mengen ist hochsten abzahlbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Korollar: Z und Q sind abzahlbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7 Satz: Die Menge der Folgen in {0,1} ist uberabzahlbar . . . . . . 434.8 Satz: R ist uberabzahlbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

XV Reellwertige Funktionen 434.9 Definition: Reellwertige Funktion

Graph einer Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.10 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.12 Definition: Verknupfungen von Funktionen: Summe, Vielfaches,

Produkt, Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

XVI Grenzwerte 454.13 Definition: Haufungspunkt einer Menge D ⊂ R . . . . . . . . . . 454.14 Definition: Konvergenz einer Funktion an einem Punkt . . . . . . 464.15 Satz: Aquivalente Charakterisierung mit ’ε− δ Kriterium’. . . . . 464.16 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.17 Definition: Rechts- und linksseitiger Grenzwert . . . . . . . . . . 484.18 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

XVII Stetigkeit 484.19 Definition: Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.20 Charakterisierung der Stetigkeit mit ε− δ Kriterium . . . . . . . 494.21 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.22 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.23 Satz: Summe, skalares Vielfaches und Produkt stetiger Funktio-

nen gibt wieder eine stetige Funktion.Der Quotient stetiger Funktionen ist stetig auf seinem Defini-tionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.24 Definition: Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . 504.25 Korollar: Rationale Funktionen sind stetig . . . . . . . . . . . . 504.26 Stetigkeit ist lokale Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.27 Satz: Komposition stetiger Funktionen ist stetig . . . . . . . . . . 51

6

XVIII Eigenschaften stetiger Funktionen 524.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.29 Korollar: Zwischenwertsatz (allgemeine Version) . . . . . . . . . . 534.30 Beispiel: Polynome ungeraden Grades besitzen mindestens eine

Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.31 Definition: Uneigentliche Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.32 Proposition: Stetige Abbildungen bilden Intervalle (evtl. uneigentlich)

auf Intervalle (evtl. uneigentlich) ab . . . . . . . . . . . . . . . . 544.33 Definition: Beschrankte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.34 Satz: Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenem Intervall

nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an . . . . . . . . . . . . . 554.35 Definition: Gleichmaßig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . 564.36 Satz: Stetige Funktionen auf einem abgeschlossenem Intervall sind

gleichmaßig stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.37 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.38 Definition: (Streng) monoton wachsende, (streng) monoton fall-

ende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.39 Satz: Eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf einem

reellen Intervall ist bijektiv auf ihr Bild. Die Umkehrfunktion iststetig und streng monoton wachsend . . . . . . . . . . . . . . . . 59

XIX Logarithmus und allgemeine Potenzen 604.40 Satz/Definition: log := exp−1 : (0,∞) → R ist stetig, streng

monoton wachsend und erfullt ∀x, y ∈ R die Funktionsgleichunglog (xy) = log x+ log y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.41 Definition: Exponentialfunktion zur Basis a > 0. . . . . . . . . . 614.42 Satz: Eigenschaft der Exponentialfunktion zu einer allgemeinen

Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.43 Definition: Allgemeine Potenz ax fur a > 0, x ∈ R . . . . . . . . . 624.44 Proposition: Rechenregeln fur allgemeine Potenzen . . . . . . . . 62

5 Die trigonometrischen Funktionen 62

XX Die komplexen Zahlen 625.1 Definition: Der Korper der komplexen Zahlen C . . . . . . . . . . 625.2 Bemerkung: Identifizierung von R als Teilmenge von C; imaginare

Einheit i ∈ C; Realteil und Imaginarteil von z ∈ C . . . . . . . . 635.3 Satz: i2 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 Satz: C ist Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6 Definition: Komplex Konjugierte und Betrag von z ∈ C . . . . . 645.7 Lemma: Eigenschaft der komplexen Konjugation . . . . . . . . . 655.8 Lemma: Eigenschaft des Betrags, insbesondere Dreiecksungleichung 655.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7

XXI Folgen und Reihen in C 655.10 Definition: Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen . . . . . . . 655.11 Satz: Charakterisierung der Konvergenz in C.

Aquivalenz mit Konvergenz der beiden Folge der Realteile undImaginarteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.12 Korollar: Konvergenz einer Folge und der Folge der komplex Kon-jugierten Folgeglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8

1 Einleitung

...

Part I

Die reellen Zahlen

2 Die Axiome der reellen Zahlen

Mit R sei die Menge der reellen Zahlen bezeichnet. Auf R sind zwei Verknup-fungen gegeben:

Addition + R×R→ R (x, y) 7→ x+ yMultiplikation · R×R→ R (x, y) 7→ x · y

R und +, · sind durch Gruppen von Axiomen charakterisiert.

die algebraischen Axiome (Korperaxiome)die Anordnungsaxiomedas Vollstandigkeitsaxiom

2.1 Die algebraischen Axiome (Korperaxiome)

(K1) Assoziativgesetz: (x+ y) + z = x+ (y + z)

(K2) Kommutativgesetz: x+ y = y + x

(K3) Neutrales Element:Es gibt eine Zahl 0 ∈ R, sodass gilt: ∀x ∈ R :x+ 0 = x

(K4) Inverses Element: Zu jedem x ∈ R∃!y ∈ R : x+ y = 0 Wir bezeich-nen (−x) = y

(K5) Assoziativgesetz: x · (y · z) = (x · y) · z(K6) Kommutativgesetz: x · y = y · x(K7) Neutrales Element: ∃! 1 ∈ R ∀x ∈ R : 1 · x = x

(K8) Inverses Element: Zu jedem x ∈ R, x 6= 0,∃!y ∈ R : x · y = 1 Wirbezeichnen dann y mit 1

x oder x−1

(K9) Distributivgesetz: x · (y + z) = x · y + x · z

2.2 Bemerkung

Eine Menge K mit Verknupfungen + und · , die diese Axiome(K1 bis K9)erfullen, heißt Korper.

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2.3 Rechenregeln der Addition und Multiplikation

Es gilt ∀x, y, z ∈ R

(i) −(−x) = x

(ii) (−x) + (−y) = − (x+ y)

(iii)(x−1

)−1= x , falls x 6= 0

(iv) x · (−y) = −x · y

(v) x · 0 = 0

(vi) (−x) · (−y) = x · y

(vii) x · (y − z) = x · y − x · z

(viii) Aussage: Aus x − y = 0 folgt, dass mindestens eine der Zahlen xund y null ist.

2.4 Bemerkung

(i) Die Eindeutigkeit des Elementes 0 in K3 braucht nicht gefordert zuwerden.

(ii) Die Eindeutigkeit von (−y) ∈ R zu x ∈ R in K4 braucht nichtgefordert zu werden.

(iii) Die Eindeutigkeit der 1 in K7 und von x−1 zu x ∈ R , x 6= 0 in K8brauchen nicht gefordert zu werden.

2.5 Regeln des Bruchrechnens

Es gelten fur w, x, y, z ∈ R,y, z 6= 0

(i) wy + x

z = wz+xyyz

(ii) wy · xz = wx

yz

(iii)wyxz

= wzxy , falls x 6= 0

Beweis: Ubung

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2.6 Die Anordnungsaxiome

Auf R gibt es eine Relation <, sodass fur beliebige x, y ∈ R genau eine derEigenschaften x < y, x = y, x > y gilt.R mit der Relation < erfullt die folgenden Axiome (Anordnungsaxiome)

(A1) Aus x < y und y < z folgt x < z

(A2) Aus x < y folgt ∀z ∈ R, dass x+ z < y + z

(A3) Aus x < y und z ∈ R 0 = z folgt xz = yz

2.7 Bemerkung

(i) Fur x < y fuhren wir die equivalente Schreibweise y > x ein.

(ii) x ≤ y schreiben wir fur die Aussage, dass x = y oder x < yentsprechend fur x ≥ y

(iii) Wir nennen x ∈ R positiv bzw. negativ, falls x > 0 bzw. x < 0x ≥ 0 ist nicht negativ!x ≤ 0 ist nicht positiv!

2.8 Regeln fur die Anordnungsrelation

(i) Es gilt x < y ⇔ x− y < 0

(ii) x < 0⇔ −x > 0x > 0⇔ −x < 0

(iii) x < y ⇔ −x > −y

(iv) Aus x < y und z < w folgt x+ z < y + w

(v) xy > 0⇔ (x > 0, y > 0) oder (x < 0, y < 0)xy < 0⇔ (x > 0, y < 0) oder (x < 0, y > 0)

(vi) x 6= 0⇔ x2 > 0Insbesondere 1 > 0

(vii) Aus x < y und z < 0 folgt xz > yz

(viii) x > 0⇔ 1x > 0

(ix) Aus x2 < y2 , x > 0 und y > 0 folgt x < y

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2.9 Definition: (nach oben, nach unten) beschrankt.

Eine mittlere Teilmenge M von R heißt nach oben beschrankt, falls ∃k ∈ R,sodass: x ≤ k ∀x ∈MEine mittlere Teilmenge M von R heißt nach unten beschrankt, falls ∃k ∈ R,sodass: x ≥ k ∀x ∈MEin solches k heißt obere bzw. untere Schranke

eine nichtleere Teilmenge M von R heißt beschrankt, falls ∃k ∈ R , sodassgilt: −k ≤ x ≤ k ∀x ∈M

2.10 Definition: kleinste obere (großte untere) Schranke

Eine Zahl k ∈ R heißt kleinste obere Schranke einer nichtleeren TeilmengeM ∈ R , falls

1. k obere Schranke

2. es gibt keine kleinere obere Schranke von M

Eine Zahl k ∈ R heißt großte untere Schranke einer nichtleeren TeilmengeM ∈ R , falls

1. k untere Schranke

2. es gibt keine großere untere Schranke von M

2.11 Das Vollstandigkeitsaxiom (Supremumsaxiom)

Jede nichtleere nach oben beschrankte Teilmenge M von R besitzt eine kleinsteobere Schranke in RDieses Element heißt Supremum von M.

Wir schreiben supM

2.12 Infimum

Jede nichtleere nach unten beschrankte Teilmenge M von R besitzt eine großteuntere Schranke in RDieses Element heißt Infimum von M.

Wir schreiben inf M

2.13 Definition: sup und inf

Sei M 6= ∅Wir schreiben:

12

supM <∞, falls M nach oben beschrankt istsupM =∞, falls M nicht nach oben beschrankt istinf M > −∞, falls M nach unten beschrankt istinf M = −∞, falls M nicht nach unten beschrankt ist

2.14 Satz: Charakterisierung des Supremums

(i) Ist M 6= ∅ und supM < ∞, so gibt es zu jedem ε > 0 ein x ∈ R ,sodass x > (supM)− ε

(ii) Ist M 6= ∅ und supM = ∞, so gibt es zu jedem k ∈ R ein x ∈ Mmit x > k

2.15 Satz: Charakterisierung des Infimums

(i) Ist M 6= ∅ und inf M > −∞, so gibt es ∀ε > 0 ein x ∈ M , sodassx < inf M + ε

(ii) Ist M 6= ∅ und inf M = −∞, so gibt es zu jedem k ∈ R ein x ∈ Mmit x < k

2.16 Definition: Maximum und Minimum

Sei M ⊂ R 6= ∅ m heißt großtes Element (Maximum) von M, falls x ≤ m ∀x ∈MSei M ⊂ R 6= ∅ m heißt kleinstes Element (Minimum) von M, falls x ≥ m ∀x ∈MWir schreiben:

m = maxM bzw. m = minM

2.17 Bemerkung

(i) Das Maximum und Minimum muss auch fur beschrankte Men-gen nicht existieren, betrachte etwa

M = {x ∈ R : 0 < x < 1}

(ii) Falls supM <∞ und supM ∈M , dann ist supM = maxM

Part II

Die Mengen N,Z,Q2.18 Definition: induktive Teilmenge

Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, falls

13

(i) 0 ∈M

(ii) falls x ∈M , so ist auch x+ 1 ∈M

2.19 Definition der naturlichen Zahlen.

(i) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist der Durchschnitt allerinduktiven Teilmengen von R

(ii) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist definiert durch:

N := {n ∈ No : n ≥ 1}

(iii) Die Menge Z der ganzen Zahlen ist definiert durch:

Z := {...,−1, 0, 1, ...}

2.20 Satz: Teilmengenverhaltnis

Sei M ⊂ No nach Vorraussetzung, zum anderen No ⊂M nach Definition. Damitfolgt: M = No

2.21 Satz: Prinzip der Vollstandigen Induktion

Sei fur jedes n ∈ No eine Aussage (Bn) gegeben und gelte(i) (Bo) ist wahr(ii) Falls (Bn) fur ein beliebiges n ∈ No richtig ist, dann ist (Bn+1) richtig.

Dann ist also (Bn) wahr fur alle n ∈ No

2.22 Bemerkung zum Ablauf der Induktion

Sei fur jedes n ∈ No eine Aussage (Bn) gegeben.Ein Induktionsbeweis der Aussagen (Bn) besteht aus den folgenden Schritten:

(i) Induktionsanfang (IA): Zeige, dass Bo gilt.

(ii) Induktionsschluss (IS):Zeige unter der Induktionsvorraussetzung (IV): Bkgilt fur ein k ∈ NoZeige, dass die Induktionsbehauptung (IB) : Bk+1 gilt.

2.23 Beispiele

Berechne0 + 1 + 2 + · · ·+ n =?

Anschaulich:0 + 1 + 2 + · · ·+ n+ = (n+ (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 0) = (n+1)·n

2

Beweis mit Vollstandiger Induktion.

14

(Bn) 0 + 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

(IA) 0 = 0·12 = 0 damit ist B0 wahr.

(IS)

(IV ) Angenommen Bk wahr, d.h. 0 + 1 + · · ·+ k = k(k+1)2

Zu Zeigen:

(IB): 0 + 1 + · · ·+ k + (k + 1) = (k+1)(k+2)2

In der Tat: 0 + 1 + · · ·+ k + (k + 1)(IV )= k(k+1)

2 + (k + 1) = (k + 1) ·(k2 + 1

)=

(k+1)2 · (k + 2)

Damit haben wir nach 2.21 die Behauptung ∀n ∈ N0 bewiesen.

2.24 Bemerkung: Summe, Produkt und Fakultat

Fur Summen fuhren wir eine Abkurzung ein.Seien m ≤ n ganze Zahlen und sei ∀k ∈ Z mit m ≤ k ≤ n eine reelle Zahl akgegeben. Dann

n∑k=m

ak = am + am+1 + am+2 + ...+ an

n+1∑k=1

ak :=

(n∑k=1

ak

)+ an+1

Seien m ≤ n ganze Zahlen und sei ∀k ∈ Z mit m ≤ k ≤ n eine reelle Zahlak gegeben. Dann

n∏k=m

ak = am · am+1 · ... · amn+1∏k=m

ak =

(n∏

k=m

ak

)· an+1

n! :=n∏k=1

k , damit 0! = 1

2.25 Satz: Eigenschaften der naturlichen Zahlen

Es gilt:

(i) n ≥ 0∀n ∈ N0

(ii) n+m ∈ N0∀n,m ∈ N0

(iii) n ·m ∈ N0∀n,m ∈ N0

(iv) ∀n ∈ N0 gilt: n = 0 oder n− 1 ∈ N0

(v) n−m ∈ N0∀n,m ∈ N0, n ≥ m

15

2.26 Korollar

(i) Es gibt kein n ∈ N0 mit 0 < n < 1

(ii) Ist m ∈ N0 , so gibt es kein n ∈ N0 , sodass m < n < m+ 1

2.27 Rechenregeln fur endliche Summen, endliche Pro-dukte und Potenzen.

(i) Seien n,m ∈ No und aij ∈ R fur 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m Dann gilt:n∑i=0

m∑j=0

aij =m∑j=0

n∑i=0

aij

(ii) Seien n,m ∈ No und xiyi ∈ R , 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m Dann gilt:(n∑i=0

xi

)·(

m∑j=0

yj

)=

n∑i=0

m∑j=0

xiyj

(iii) Fur n,m ∈ No und x ∈ R geltenxnxm = xn+m

(xn)m = xn·m

∀y ∈ R gilt: xnyn = (xy)n

2.28 Definition der rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen Q sind definiert durchQ ={mn , m ∈ Z, n ∈ N}

2.29 Satz von Archimedes

(i) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N ,sodass n > x.

(ii) Zu jedem x ∈ R∃z ∈ N ,sodass z < x.

(iii) Zu jedem x ∈ R∃n ∈ N , sodass 1n < x.

2.30 Bemerkung

Ein Korper mit diesen Eigenschaften heißt archimedischer Korper.

2.31 Satz:Dichtheitseigenschaft der rationalen Zahlen

Seien x, y ∈ R mit x < y .Dann ∃y ∈ Q mit x < q < y. (“Q liegt dicht in R”)

k ∈ Z x y

16

Part III

Wurzeln

2.32 Satz

Sei M ⊂ No nach oben beschrankt, dann hat M ein maximales Element. Ins-besondere maxM = supM

2.33 Lemma

Seien m,n ∈ N0 . Dann existieren q, r ∈ N0 , sodass m = qn+ r, 0 ≤ r < n

2.34 Lemma

Seien m,n ∈ N mit m,n teilerfremd. Dann existieren a, b ∈ Z , sodass 1 =am+ bnohne Beweis!

2.35 Lemma

Falls m,n ∈ N und(mn

)k ∈ N fur ein k ∈ N. Dann ist mn ∈ N .

ohne Beweis!

2.36√2 ist irrational

Es gibt keine rationale Zahl q ∈ Q , sodass q2 = 2

2.37 Existenz von√c

Fur jedes c ≥ 0, c ∈ R∃x ∈ R : x ≥ 0 , sodass x2 = c. Wir schreiben dannx =√c = c

12

2.38 Existenz von n√c

Sei n ∈ N. Dann existiert zu c ≥ 0 genau ein x ∈ R, x > 0 , sodass x2 = c. Wirsetzen dann x = n

√c = c

1n

2.39 Rechenregeln fur Potenzen mit rationalen Exponen-ten

Fur x ≥ 0 und p, q ∈ N, setzen wir xpq =

(x

1q

)pFur x > 0 setzen wir x

−pq = ( 1

x )pq . Dann gilt ∀r, s ∈ Q:

17

xr+s = xrxs

xrs = (xr)s

(xy)r = xr + yr

Part IV

Ein wenig Kombinatorik

2.40 Definition: Binomialkoeffizienten

Fur n∈No definieren wir(nk

). Wir lesen “n uber k”(

nk

)= n!

k!(n−k)! = 1..n(1..k)(1..n−k)

Insbesondere(n0

)= 1,

(nn

)= 1,

(nk

)=(n

n−k)

2.41 Satz uber die Anzahl von Teilmengen und Anord-nungen endlicher Mengen

(i) Es gibt 2n Teilmengen von der Menge {1, 2, ..., n}Teilmengen sind ungeordnet, d.h. {1, 2} = {2, 1}Ø ist Teilmenge von jeder Menge

(ii) Es gibt n! Anordnungen von {1, 2, ..., n}Anordnungen berucksichtigen die Reihenfolge, d.h. {1, 2} 6={2, 1}

(iii) Es gibt n!(n−k)! Anordnungen von k Elementen aus {1, 2, ..., n}

(iv) Es gibt(nk

)k-elementige Teilmengen von {1, 2, ..., n}

2.42 Korollar

(i)(nk

)= n!

k!(n−k)! ∈ N

(ii)(n0

)+(n1

)+ · · ·+

(nn

)= 2n

(iii)(nk

)ist nach 2.41 die Anzahl Moglichkeiten eine k-elementige Teil-

menge aus {1, . . . , n} zu wahlen, damitn∑k=0

(nk

)die Anzahl Teilmen-

gen von {1, . . . , n}Nach 2.41 (i) ist diese gerade 2n

2.43 Binomische Formeln

Fur x, y ∈ R und n ∈ N gilt:

(x+ y)n =n∑k=0

(nk

)xn−kyk

18

2.44 Pascalsches Dreieck

11 1

1 2 11 3 3 1

(00

)(10

) (11

)(20

) (22

) (23

)(30

) (31

) (32

) (33

)

Part V

Der Absolutbetrag

3 Folgen und Reihen

3.1 Definition: Der Absolutbetrag

Fur eine reelle Zahl x ∈ R definieren wir ihren Absolutbetrag

|x|:={x, falls x ≥ 0

−x, falls x < 0

3.1.1 Bemerkung:

Es ist x ≤ |x| −x ≤ |x||x| = max{x,−x}|x|2 = x2

|x| = | − x|

3.2 Die eigenschaften des Absolutbetrags

(i) |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0

(ii) |x · y| = |x| · |y|

(iii) |x+ y| ≤ |x|+ |y|

3.3 Bemerkung

Fur x, y ∈ R, y 6= 0 gilt |xy | =|x||y|

3.4 Definition: Abstand

Zu x, y ∈ R heißt |x− y| Abstand von x und y

19

3.5 Eigenschaften des Abstands

(i) |x− y| ≥ 0|x− y| = 0⇔ x = y

(ii) Symmetrie: |x− y| = |y − x|

(iii) Dreiecksungleichung: |x+ y| ≤ |x+ z|+ |z − y|

3.6 Satz

|x− y| ≥∣∣∣∣|x| − |y|∣∣∣∣ ∀x, y ∈ R

Part VI

Folgen und Konvergenz in Folgen

3.7 Definition: Zahlenfolge

Zahlenfolge (am)n∈N ist Abbildung N→ R, n ∈ N 7→ an ∈ R

3.8 Beispiele

...

3.9 Definition: Konvergenz einer Folge

(am)m∈N sei konvergent gegen a ∈ R , falls ∀ε > 0∃N ∈ N mit |an−a| < ε∀n ≥ NFalls (am)m∈N konvergent gegen a schreiben wir:

limn→∞

an = a

an −→ a (n→∞)

ann→∞−−−−−→a

3.10 Die ε−Umgebung

Sei ε > 0, a ∈ R(a− ε, a+ ε) = {x ∈ R : a− ε < x < a+ ε}

Dann bedeutet die Konvergenz von (an)n∈N gegen a, dass fur eine beliebigeε−Umgebung von a “fast alle” Folgeglieder in der ε−Umgebung liegen (alle bisauf endlich viele)

20

a3 a− ε

an : n ≥ N

a a+ ε a1 a2

Fur große n liegt an in der ε−Umgebung

3.11 Definition: Divergente Folge

Eine Folge die nicht konvergiert heißt divergent

3.12 Beispiele

(i) Die konstante Folge an = a∀n ∈ N ist konvergent gegen a

Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Dann |an − a| = 0 < ε∀n ∈ N , also N = 1 inder Definition von Konvergenz.

(ii) Die Folge (an)n∈N an := 1n ist fur n ∈ N konvergent gegen null (d.h.

(an)n∈N ist Nullfolge)

Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Nach dem Satz von Archimedes existiert N ∈ N ,sodass 1

N < ε . Dann gilt ∀n ≥ N , dass |an − 0| = an = 1n ≤ 1

N < ε. Da ε > 0beliebig, zeigt das die Konvergenz.

3.13 Definition: beschrankte Folgen

Eine Folge (an)n∈N heißt beschrankt, falls ein k > 0 existiert, sodass|an| ≤ k∀n ∈ N

(an)n∈N heißt nach oben beschrankt, falls ein k > 0 existiert, sodassan ≤ k∀n ∈ N

(an)n∈N heißt nach unten beschrankt, falls ein k > 0 existiert, sodassan ≥ −k∀n ∈ N

3.14 Satz: Konvergente Folgen sind beschrankt

Jede konvergente Folge ist beschrankt.

3.15 Bemerkung Fibonacci Folge

Die Fibonacci Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ) ist divergent.Beweis: mit Vollstandiger Induktion.

3.16 Grenzwert einer Folge

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.

21

3.17 Summe und Produkt konvergenter Folgen

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgenann→∞−−−−→ a und bnn→∞−−−−→ b

(i) Dann konvergiert (an + bn)n∈N und an + bnn→∞−−−−−→a+ b

(ii) Weiter konvergiert auch (an · bn)n∈N und an · bnn→∞−−−−−→a · b

3.18 Korollar

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgenλ, µ ∈ R . Dann konvergiert (λan + µbn)n∈N und es gilt:

limn→∞

(λan + µbn) = λ limn→∞

an + µ limn→∞

bn

3.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen

Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergent, an n→∞−−−−→ a, bn n→∞−−−−→ b und sei b 6= 0 ,dann ∃no ∈ N , sodass bn 6= 0∀n ≥ no.Weiter ist

(anbn

)n∈N,n≥no

und limn→∞

anbn

= ab

3.20 Satz: Großenvergleich konvergenter Folgen

Falls an → a (n → ∞) und bn → b (n → ∞) gelte weiter an ≤ bn∀n ∈ N.Dann folgt a ≤ b

3.21 Korollar

Sei (an)n∈N konvergent und sei A,B ∈ R, A ≤ BFalls dann A ≤ an ≤ B ∀n ∈ N , so folgt

A ≤ limn→∞

an ≤ B

3.22 Definition: Bestimmt divergent

Eine Folge (an)n∈N heißt bestimmt divergent gegen +∞ , falls zu jedem k > 0ein N ∈ N exisitert, sodass an ≥ k ∀n ≥ N(an) heißt bestimmt divergent gegen −∞ , falls (−an)n∈N bestimmt divergentgegen +∞ ist.Wir schreiben in diesen Fallen:

an → +∞ (n→∞) bzw. an → −∞ (n→∞)

22

3.23 Beispiele

(i) Die Fibonacci Folge (fn)n∈N ist bestimmt divergent gegen +∞ (bere-its gezeigt, dass fn ≥ n− 1)

(ii) an := −n2 ist bestimmt divergent gegen −∞

(iii) an := (−1)n ist divergent, aber nicht bestimmt divergent.

(iv) an := n · (−1)n

ist nicht bestimmt divergent, aber divergent undunbeschrankt.

3.24 Satz: Kehrwert bestimmter divergenter Folgen. Kehrw-ert von Nullfolgen

(i) (an)n∈N sei bestimmt divergent gegen +∞ bzw. gegen −∞Dann ∃no ∈ N,sodass an 6= 0∀n ≥ no und

(1an

)n∈N,n≥no

ist Null-

folge.

(ii) Sei (an)n∈N Nullfolge. Falls dann an ≥ 0 und an 6= 0∀n ∈ N , dann

ist

(1an

)n∈N

bestimmt divergent gegen +∞.

Part VII

Intervallschachtelung

3.25 Definition: Intervalle

Seien a, b ∈ R, a < b , dann definieren wir folgende Intervalle: [a, b]

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}(“geschlossen”)(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}(“offen”)[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}(“halboffen”)(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}(“halboffen”)

Sei I eines dieser Intervalle, dann definiere:

Intervalllange: | I | := b− aMitte des Intervalls: a+b

2

3.26 Definition: Intervallschachtelung

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In)n∈N von Intervallen der FormIn = [an, bn], an < bn mit der Eigenschaft

23

I1 ⊃ I2 ⊃ . . . und| I | = bn − an −→ 0 (n→∞)

3.27 Satz: Intervallschachtelungen erfassen genau einenPunkt

Sei (In)n∈N Intervallschachtelung , dann existiert genau ein x ∈ R, sodass

x ∈ In ∀n ∈ N

3.28 Bemerkung

Die Aussagen aus dem Supremumsaxiom und die Aussage, dass der Archimedis-che Satz und 2.18 gilt, sind aquivalent.

3.29 Bemerkung

Zu x ≥ 0 setzen wir INT (x) = bxc = max{n ∈ No : n ≤ x}

3.30 Darstellung reeller Zahlen bezuglich einer Basis

Sei B ∈ N, B ≥ 2Zu 0 ≤ x < 1 existiert (xi)i∈N mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1, sodass ∀n ∈ N gilt:

n∑i=1

xiB−i ≤ x ≤

n∑i=1

xiB−i +B−n

Beispiel:

B = 10, x = 0, 7654, dannx1 = INT (7, 654) = 7

x2 = INT

(100 · (0, 7654− 7 · 10−1)

)= INT (6, 54) = 6

usw...

3.31 Bemerkung

Die Folge (xi)i∈N ist eindeutig, wir schreiben dann, dass

x = 0, x1x2x3x4 . . .

Die Darstellung von x bezuglich der Basis B ist

B=2: DualdarstellungB=10: Dezimaldarstellung

24

3.32 Satz zur Intervallschachtelung

Sei (xi)i∈N Folge mit xi ∈ No, xi ≤ B − 1 und setze an :=n∑i=1

xiB−i und

bn :=n∑i=1

xiB−i +B−n. Dann definiert

In := [an, bn]

eine Intervallschachtelung

3.33 Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen

Jede reelle Zahl wird durch eine Intervallschachtelung mit rationalen Rand-punkten erfasst.Insbesondere: Jede reelle Zahl kann beliebig gut durch rationale Zahlenapproximiert werden.

”Q liegt dicht in R”

Part VIII

Teilfolgen und Haufungspunkte

3.34 Definition: Teilfolge

Eine Folge (a′k)k∈N heißt Teilfolge von (an)n∈N , falls eine Folge (nk)k∈N mitnk ∈ N , sodass

n1 < n2 < n3 < ... unda′k = ank

∀k ∈ N

3.35 Definition Haufungspunkt

a ∈ R heißt Haufungspunkt einer Folge (an)n∈N , falls eine Teilfolge (a′k)k∈Nexistiert mit

a′k −→ a (k →∞)

3.35.1 Bemerkung:

Betrachte an := (−1)n · (1− 1n ) . Haufungspunkte sind -1 und +1

25

3.36 Proposition: Charakterisierung von Haufungspunk-ten

a ist genau dann Haufungspunkt von (an)n∈R, falls gilt:

∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε

3.37 Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.

Part IX

Konvergenzsatze fur Folgen

3.38 Definition: (streng) Monoton wachsende, (streng)monoton fallende Folgen

(an)n∈N heißt monoton wachsend, falls a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . .(an)n∈N heißt streng monoton wachsend, falls a1 < a2 < a3 < . . .(an)n∈N heißt monoton fallend, falls a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . .(an)n∈N heißt streng monoton fallend, falls a1 > a2 > a3 > . . .

3.39 Monotone Konvergenz

Sei (an)n∈N monoton steigend, dann konvergiert (an)n∈N genau dann, wenn(an)n∈N beschrankt ist.

Beweis: ”⇐ ” Sei (an)n∈N beschrankt. Setze M = {an : n ∈ N}a := supM <∞

Zeige, dass a wirklich der Grenzwert der Folge ist:Sei ε > 0 .Dann ∃aN , N ∈ N, sodass aN > a− ε.Dann gilt ∀n ≥ N : an ≥

da (an)n∈Nmonoton steigendaN > a− ε.

Damit |an − a| = a− an < ε∀n ≥ NBeweis der ”⇒ ” folgt aus 3.14

3.40 Definition: Cauchy-Folgen

(an)n∈N heißt Cauchy-Folge, falls:∀ε > 0∃N ∈ N, sodass |an − am| < ε∀n,m ≥ N

26

3.41 Satz: Eigenschaften von Cauchy-Folgen

Sei (an)n∈N Cauchy-Folge. Dann ist (an)n∈N beschrankt.

Beweis: ∃N ∈ N, sodass |an − am| < 1 ∀n,m ∈ N .Insbesondere |an − aN | < 1 ∀n ≥ N .Dann gilt:

|an| ≤ |an − aN |+ |aN | < |aN |+ 1 ∀n ≥ N

Damit |an| ≤ max{|a1|, |aN−1|, |aN |+ 1} ∀n ∈ N

3.42 Satz: Cauchy Konvergenz-kriterium

Eine Folge (an)n∈N konvergiert genau dann, wenn sie Cauchy-Folge ist.

Beweis: ”⇒ ”Es sei an −→ a (n→∞)Sei ε > 0 vorgegeben.

Dann ∃N ∈ N, sodass

|an − a| <ε

2∀n ≥ N

Dann gilt

|an − am| ≤ |an − a|+ |a− am| ∀n,m ≤ N

Dann |an − am| < ε2 + ε

2 = ε ∀n,m ≥ N

Beweis der ”⇐ ” :

Sei (an)n∈N Cauchy-Folge. Nach 3.41 ist (an)n∈N beschrankt.Aus 3.37⇒ (an)n∈N besitzt einen Haufungspunkt a ∈ R. Damit existiert eineTeilfolge (ank

)k∈N von (an)n∈N mit ank−→ a (k →∞)

Sei ε > 0 vorgegeben.

Dann existiert K ∈ N, sodass ∀k ≥ K

|ank− a| < ε

2

Weiter existiert N ∈ N, sodass ∀n,m ≥ N

|an − am| <ε

2

27

Wahle jetzt k ≥ N mit nk ≥ N . Dann gilt ∀n ≥ N

|an − a| = |an − ank+ ank

− a| ≤ |an − ank|+ |ank

− a| < ε

2+ε

2= ε

Damit an −→ a (n→∞)

3.43 Bemerkung

(i) Die Aussage aus dem Supremumsaxiom ist aquivalent dazu, dassCauchy Kovergenzkriterium und der Archimedische Satz gel-ten.

(ii) Das Cauchy Kovergenzkriterium druckt die Vollstandigkeit vonR aus und wird benutzt, um die Vollstandigkeit in allgemeinerenStrukturen zu definieren.

3.44 Korollar

Sei (an)n∈N beschrankt. Dann gilt: (an)n∈N hat genau einen Haufungspunkt⇔ (an)n∈N ist konvergent.

Beweis: ” ⇒ ” Sei a ∈ R der eindeutige Haufungspunkt. Dann existiertdie Teilfolge (a′k)k∈N mit a′k −→ a (k →∞).Falls (an)n∈N nicht gegen a konvergiert, so existiert ε > 0 , sodass ∀N ∈ N einn ≥ N existiert mit |an − a| ≥ εDann existiert Teilfolge (a′′j )j∈N von (an)n∈N , sodass |a′′j − a| ≥ ε ∀j ∈ N.Dann ist (a′′j )j∈N beschrankt. Aus 3.37 ⇒Es existiert ein Haufungspunkt b ∈ Rvon (a′′j )j∈N. Dann ist b Haufungspunkt von (an)n∈N damit b = a . Aber|a′′j − a| ≥ ε ∀j ∈ N im Widerspruch dazu dass b = n Haufungspunkt.

Beweis: “⇐ ” Argument wie im Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwerteseiner konvergenten Folge.

Part X

Unendliche Reihen

3.45 Definition: unendliche Reihen

Sei (an)n∈N Folge. Betrachte dann die Folge (sn)n∈N der Partialsummen

sn := a1 + ...+ an =n∑i=1

ai.

Wir nennen (sn)n∈N Reihe und wir schreiben dafur:∞∑i=1

ai .

28

3.46 Definition: Konvergenz von Reihen

Die Reihe∞∑i=1

ai heißt konvergent, falls (sn)n∈N konvergent. Falls dann s =

limn→∞

sn, so setzen wir∞∑i=1

ai = s (trotz der Doppeldeutigkeit)

3.47 Beispiel: Geometrische und harmonische Reihe

1)

Sei q ∈ R,|q| < 1 und setze ai := qi, i ∈ No. Dann heißt∞∑i=0

qi geometrische

Reihe (zu q).

sn =n∑i=0

ai = 1 + q + q2 + ...+ qn

q · sn = q + q2 + ...+ qn + qn+1

Damit (1− q) · sn = 1− qn+1, also sn = 1−qn+1

1−q −→ 11−q (n→∞).

Damit∞∑i=0

qi = 11−q

2)

Setze ai = 1i , i ∈ N. Dann heißt

∞∑i=1

1i harmonische Reihe.

(sn)n∈N ist divergent, denn ∀n ∈ N s2n − sn =1

n+ 1+

1

n+ 2+ ...+

1

2n︸︷︷︸nSummanden alle≤ 1

2n

Damit: s2n−sn ≥ n2n = 1

2 . Damit ist (sn)n∈N keine Cauchy-Folge. Mit CauchyKonvergenzkriterium 3.42 folgt (sn)n∈N divergent, sogar bestimmt diver-gent gegen +∞.

Wir sagen dann∞∑i=1

ai bestimmt divergent gegen +∞ und schreiben

∞∑i=1

ai = +∞

3.48 Satz: Linearkombination konvergenter Reihen

Sei∞∑i=1

ai und∞∑i=1

bi konvergent, und seien weiter λ, µ ∈ R. Dann ist die Reihe

∞∑i=1

(λai + µbi

)konvergent und

∞∑i=1

(λai + µbi

)= λ

∞∑i=1

ai + µ

∞∑i=1

bi

29

Beweis:Wenden sie 3.18 auf die entsprechenden Folgen der Partialsummen an.

3.49 Satz: Konvergenz einer majorisierten Reihe mit nicht-negativen Summanden

Gilt 0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ N und ist∞∑i=1

bn konvergent, so konvergiert auch∞∑i=1

ai

und es gilt

0 ≤∞∑i=1

ai ≤∞∑i=1

bi

Beweis:

Setze sn =n∑i=1

ai, tn =n∑i=1

bi . Dann ist tn →∞∑i=1

ai =: t . Weiter sind (tn), (sn)

monoton steigend mit 0 ≤ sn ≤ tn ≤ t ∀n ∈ N. Damit ist (sn) beschrankt undmonoton steigend.

Satz 3.39 ⇒ (sn)n∈N konvergent, d.h. sn −→∞∑i=1

ai

∞∑i=1

ai ≤∞∑i=1

bi folgt aus 3.20

3.50 Cauchy Konvergenzkriterium fur Reihen

Eine Reihe∞∑i=0

ai ist genau dann konvergent, wenn gilt:

~ Zu jedem ε > 0∃n ∈ N, sodass n,m ∈ N,m > n∣∣∣∣ m∑i=n+1

ai

∣∣∣∣ < ε

Beweis:

Es ist mit s1 =n∑i=1

aim∑

i=n+1

ai = sm − sn . Damit gilt ~ genau dann, wenn

(sn)n∈N Cauchy-Folge, also nach 3.42 genau dann, wenn (sn)n∈N konvergent.

3.51 Bemerkung

(i) Wir schreiben fur ~

limn→∞m>n

m∑i=n+1

= 0

30

(ii) Falls∞∑i=1

ai konvergent, so folgt insbesondere (an)n∈N Nullfolge.

Die Umkehrung gilt hier nicht! Siehe die harmonische Reihe∞∑i=1

1i ist

divergent.

3.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriterium fur alternieren-de Reihe

Ist (ai)i∈N monoton fallend mit ai → 0 (i −→ ∞), dann konvergiert die “alter-nierende Reihe”

a1 − a2 + a3 − a4 + ...− =

∞∑i=1

(−1)i+1ai

Beweis: Ubung.

3.53 Beispiele

Die alternierden harmonische Reihe 1− 12 + 1

3 − 14 + ...− ...

3.54 Definition: Absolut konvergente Reihen

Eine Reihe∞∑i=1

ai heißt absolut konvergent, falls die Reihe∞∑i=1

|ai| konvergiert.

Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent, aber nicht absolutkonvergent.

3.55 Satz

Eine absolut konvergente Reihe∞∑i=1

ai ist insbesondere konvergent und∣∣∣∣ ∞∑i=1

ai

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=1

|ai|

Beweis:

Fur m > n ist

∣∣∣∣ m∑i=n+1

ai

∣∣∣∣ ≤ m∑i=n+1

|ai|. Dann folgt die Behauptung aus 3.50.

∞∑i=1

ai absolut konvergent ⇒∞∑i=1

|ai| konvergent

⇒m∑

i=n+1

|ai| → 0 (n→∞,m > n)

Damit wegen ~m∑

i=n+1

ai → 0 (n→∞,m > n)⇒∞∑i=1

ai konvergent

31

3.56 Satz: Majorantenkriterium fur die absolute Konver-genz einer Reihe

Sei∞∑i=1

ai eine Reihe und∞∑i=1

ci eine konvergente Reihe mit |ai| ≤ ci∀i > i0

Dann folgt, dass∞∑i=1

ai absolut konvergent ist.( ∞∑i=1

ci (konvergente) ”Majorante”

)Beweis: Folgt aus 3.49

3.57 Satz: Quotientenkriterium fur die absolute Konver-genz einer Reihe

Sei∞∑i=1

ai mit ai 6= 0∀i ∈ N . Es gebe i0 ∈ N und 0 < q < 1 , sodass∣∣∣∣ai+1

ai

∣∣∣∣ ≤ q ∀i ≥ i0. Dann ist∞∑i=1

ai absolut konvergent.

Beweis:Es folgt fur i ∈ N, i ≥ i0

|ai| ≤ q |ai−1| ≤ q2 |ai−2| ≤ ... ≤ qi−i0 |ai0 |

Mit C = q−i0 |ai0 | gilt ∀i ≥ i0|ai| ≤ C · qi

Damit ist∞∑i=1

Cqi Majorante, konvergent wegen 3.47 und Behauptung folgt aus

3.56.

3.58 Beispiele

1) Setze ai = i · qi, i ∈ N, 0 < q < 1.

Dann∞∑i=1

i · qi konvergente Reihe. Dazu ai+1

ai= (i+1)qi+1

iqi = (i+1)i · q

Es ist

(i+1i

)i∈N

monoton fallend und i+1i → 1 (i −→∞)

Damit existiert i0 ∈ N, sodass ∀i ≥ io, m > n

i+1i ≤

1+q2q = 1

2

(1 + 1

q

)damit also > 1

∀i ≥ i0 ist damit ai+1ai≤ 1+q

2q · q = 1+q2 = q∗

Es ist q∗ < 1 , also 3.57 erfullt.

2)Sei ai = 1

i

32

ai+1

ai= i

i+1 = 1− 1i+1 < 1∀i ∈ N

Es existiert kein 0 < q < 1 , sodass ai+1

ai≤ q ,

denn ai+1

ai→ 1 (i −→∞) . Quotientenkriterium ist also nicht erfullt.

Konsistent damit, dass∞∑i=1

1i divergent.

3)ai = 1

i2

Dann ai+1

ai= i2

(i+1)2 < 1

ai+1

ai→ 1, Quotientenkriterium ist nicht erfullt. Es gilt aber

∞∑i=1

1i2 ist konver-

gent.Quotientenkriterium ist hinreichende Bedingung aber keine notwen-dige fur die Konvergenz der Reihe.

3.59 Satz: Wurzelkriterium fur die absolute Konvergenzeiner Reihe

Sei∞∑i=1

ai Reihe. Es gebe i ∈ N und 0 < q < 1, sodass i√|ai| ≤ q ∀i ≥ i0 Dann

ist∞∑i=1


Beweis: Fur alle i ≥ i0 gilt |ai| ≤ q . Damit ist die geometrische Reihe∞∑i=1

qi

konvergente Majorante. Damit folgt die Behauptung aus 3.56.

Teil XI

Umordnung und Produkt vonReihen

3.60 Bemerkung

(i) Eine Reihe∞∑i=1

ai konvergiert genau dann absolut, wenn die Folge

(sn)n∈N : sn =n∑i=1

|ai| nach oben beschrankt ist.

(ii) Sei∞∑i=1


Dann existiert zu ε > 0 ein N ∈ N, sodass∞∑

i=N+1

|ai| < ε

Beweis:

33

(i) (sn)n∈N ist monotone Folge, dann benutze 3.39.

(ii) Nach 3.50 existiert zu ε > 0 ein N ∈ N , sodassm∑

i=n+1

|ai| <ε2 ∀m,n ≥ N, m > n.

Insbesondere sm =m∑

i=N+1

|ai| ist monoton steigend und nach oben

beschrankt sn < ε ∀m > N.

Damit∞∑

i=N+1

|ai| ≤ ε2 < ε

3.61 Satz: Umordnungen einer absolut konvergenten Rei-he sind absolut konvergent

Sei∞∑i=1

ai absolut konvergente Reihe und sei ϕ : N → N (d.h. zu jedem j ∈ N

existiert ein i = ϕ−1 ∈ N, sodass ϕ(i) = j )

Dann ist auch die ungeordnete Reihe∞∑i=1

aϕ(i) = aϕ(1) +aϕ(2)+...+ absolut kon-

vergent und∞∑i=1

aϕ(i) =∞∑i=1

ai.

Beweis:

Sei ε > 0 vorgegeben und sei N ∈ N sodass∞∑

i=N+1

|ai| < ε.

Setze dannK := max{ϕ−1(1), ϕ−1(2), ϕ−1(N)}

Dann ist ∀j ≥ K + 1 ϕ(j) ≥ N + 1. Damit ∀k, l ≥ K, l > k

l∑j=k+1

|aϕ(j)| ≤∞∑

i=N+1

|ai| < ε

Mit 3.50 konvergiert∞∑i=1

aϕ(j) absolut.

Beweis forts.∣∣∣∣ ∞∑i=1

ai−∞∑i=1

aϕ(i)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∞∑i=1

ai−∑K

i=1aϕ(i)

∣∣∣∣+∣∣∣∣ ∞∑i=K+1

aϕ(i)

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=K+1

|ai|︸︷︷︸<ε

+

∞∑i=K+1

|aϕ(i)|︸︷︷︸<ε

<

2εDa ε > 0 beliebig klein gewahlt werden kann muss

∞∑i=1

ai =

∞∑i=1

aϕ(i)

sein.

34

3.62 Bemerkung

Sei∞∑i=1

ai konvergent aber nicht absolut konvergent. Dann existiert eine Umord-

nung ϕ : N → N bijektiv, sodass∞∑i=1

aϕ(i) divergent ist! Weiter gilt: Zu jedem

x ∈ R existiert eine Umordnung, sodass die umgeordnete Reihe gegen x konver-giert.

3.63 Satz: Doppelreihensatz

Sei aij ∈ R, i, j ∈ N gegeben. Es gebe eine Aufzahlung (ci)i∈N aller Elemente

aij , sodass∞∑i=1

ci absolut konvergent ist. Dann gilt:

(i) Die Zeilensummen zi =∑j∈N

aij konvergiert absolut.

(ii) Die Spaltensummen sj =∑i∈N

aij konvergiert absolut.

(iii) Es gilt∞∑i=1

zi =∞∑j=1

sj =∞∑i=1

ci =∞∑

i,j=1

aij

Beweis:

(i) Zu jedem n ∈ N existiert ein N ∈ N , sodassn∑i=1

|aij | ≤N∑i=1

|ci| ≤∞∑i=1

|ci|.

Nun ist

(∑nj=1 |aij |

)n∈N

monoton wachsend und beschrankt nach

obiger Abschatzung.

⇒ 3.39 konvergent, d.h.∞∑j=1

aij absolut konvergent, insbesondere

konvergent.

(ii) Analog zu (i).

(iii) Sei (bi)i∈N Aufzahlung der aij entlang Quadraten. Dann ist nach

3.61∞∑i=1

bi ansolut konvergent mit∞∑i=1

ci =∞∑i=1

bi.

Damit

∣∣∣∣ k2∑i=1

bi−k∑i=1

zi

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ k∑i=1

∞∑j=k+1

aij

∣∣∣∣ ≤ k∑i=1

∞∑j=k+1

|aij | ≤∞∑

i=k+1

|bi| →

0 (k →∞) , da∞∑i=1

|bi| konvergent.

∞∑i=1

ci =∞∑i=1

bi = limk→∞

∞∑i=1

bi = limk→∞

k∑i=1

zi =∞∑i=1

zi

Analog fur die Spaltensummen∞∑j=1

sj =∞∑i=1

ci

35

3.64 Beispiel

Sei q ∈ R, 0 < q < 1 Setze ai = iqi . Dann ist

s :=∞∑i=1

ai = q + 2q2 + 3q3 + ...

absolut konvergent 3.58(i). Damit ist der limes gleichs = q + q2 + q3 + q4 + ....+ q2 + q3 + q4 + ...+3 +q4 + ...+ q4 + ...

”s” als Matrix angeordnet:

q+ q2+ q3+ q4+ ...+q2+ q3+ q4+ ...+

q3+ q4+ ...+q4+ ...+

...+

der unendlichen Summe uber die Eintrage der Matrix (aij)ij∈N aij = qj fur

j ≥ i. Dann ist sj == jqj und damit s =∞∑j=1

sj .

Nach 3.61 gilt dann auch s =∞∑i=1

zi zi = q2+qi+1+qi+2+... = qi(1+q+q2+...) =

qi ·∞∑j=0

qi = qi 11−q Damit

s =∞∑i=1

qi 11−q = q

1−q∞∑i=0

qi = q1−q · 1

1−q

3.65 Satz: Produkt absolut konvergenter Reihen

Seien∞∑i=1

bi ,∞∑j=1

cj absolut konvergent. Setze dann di :=i∑

j=1

bjci−j+1 Dann kon-

vergiert∞∑i=1

di absolut und es gilt S :=∞∑i=1

di =

( ∞∑i=1

bi

)·( ∞∑j=1

cj

)=

∞∑i,j=1

bicj

Beweis: ∀N ∈ N gilt

N∑i=1

|di| =N∑i=1

bici−j+1 ≤N∑i=1

i∑j=1

|bi||ci−j+1|

≤N∑i=1

N∑j=1

|bj ||ci| =(

N∑j=1

|bj |)·(

N∑i=1

|ci|)≤( ∞∑j=1

|bj |)·( ∞∑i=1

|ci|)

Damit nach 3.39∞∑i=1

|di| konvergent, also∞∑i=1

di absolut konvergent.

Setze aij = bjcj .

Dann ist (di)i∈N Aufzahlung aller aij und∞∑i=1

di absolut konvergent.

Dann folgt mit dem Doppelreihensatz 3.63 fursj =∞∑i=1

aij =∞∑i=1

bicj = cj∞∑i=1

bi

36

s =∞∑j=1

sj =∞∑j=1

cj

( ∞∑i=1

bi

)=

( ∞∑i=1

bi

)·( ∞∑j=1

cj

)Bemerkung: Seien

∞∑i=0

bi,∞∑j=0

cj absolut konvergent dj =i∑

j=1

bjci−j

Dann gilt∞∑i=0

di =

( ∞∑i=0

bi

)( ∞∑j=0

cj

)=

∞∑i,j=0

bicj

Teil XII

Die Exponentialreihe

3.66 Satz:Die Exponentialreihe zu x ist fur alle x ∈ R ab-solut konvergent.

Fur jedes x ∈ R konvergiert die Exponentialreihe

exp(x) :=

∞∑i=0

1

i!xi

Beweis:

Setze ai = 1i!x

i

Dann ist

∣∣∣∣ai+1

ai

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1(i+1)x

i+1(i!) 1xi

∣∣∣∣ = 1i+1 · |x| < 1

2∀i ≥ j0

:= INT(2 · |x|) + 1

Nach 3.57 folgt die absolute Konvergenz.

3.67 Definition: Zahl e

Wir definieren die Eulersche Zahle := exp(1) = 1 + 1 + 1

2 + 16 + ...

Bemerkung:Man erhalt e = limn→∞

(1 + 1

n

)n3.68 Satz: Additionstheorem der Exponentialfunktion

∀x, y ∈ R giltexp(x+ y) = exp(x) · exp(y)

Bemerkung:

Es ist nach 3.66 exp(x) =∞∑i=0

1i!x

i , exp(x) =∞∑j=0

1j!x

j absolut konvergent. Nach

3.65 gilt dann

37

exp(x)·exp(y) =

( ∞∑i=0

1i!x

i

)( ∞∑j=0

1j!y

j

)=∞∑n=0

∞∑k=0

(1k!x

k)

1(n−k)!y

n−k =∞∑n=0

∞∑k=0

1k!(n−k)!x

kyn−k =

∞∑n=0

1n!

∞∑k=0

(nk

)· xkyn−k = (x+ y)n =

∞∑n=0

1n! (x+ y)n = exp(x+ y)

Bemerkung: Die Identitat in 3.68 heißt auch Additionstheorem der Exponen-tialfunkion

3.69 Korollar

Es ist ∀x ∈ R

(i) exp(x) > 0

(ii) exp(−x) = 1exp(x)

Beweis:

(ii) Es gilt exp(x) · exp(−x)3.68= exp(x+ (−x)) = exp(0) = 1

Daraus folgt (ii) und (i)Zuerst gilt fur x > 0 nach Definition, dass exp(x) > 0 .

Dann folgt fur x < 0 , dass exp(x) = 1exp(−x︸︷︷︸

>0

)> 0

3.70 Satz: exp(q · x) = exp(x)q fur rationale q

∀x ∈ R und ∀y ∈ Q gilt exp(qx) = exp(x)q

Insbesondere exp(q) = eq (setze x = 1)

Beweis:

(i) Fur n ∈ N gilt exp(n · x) = exp(x+ x+ ..+ x︸︷︷︸n Summanden

)

= exp(x) · exp( x+ ...+ x︸︷︷︸(n−1) Summanden

) = exp(x)n

(ii) Jetzt q = mn mit m,n ∈ N

exp(mn · x)n(i)= exp(mn · x · n) = exp(m · x)

(i)= exp(x)m

damit exp(mn · x) = exp(x)mn

(iii) q = −mn Dann exp(−mn · x

) 3.69= 1

exp(mn ·x)

(ii)= 1

(exp(x))mn

= (exp(x))−m

n

38

Teil XIII

Dezimaldarstellung reeller Zahlen

3.71 Dezimaldarstellung durch unendliche ReihePeriodische Dezimalzahlen

In 3.30:Zu 0 ≤ x < 1 , existieren (xi)i∈N , xi ∈ {0, ..., 9} , so dass

∀n ∈ N∞∑i=1

xi · 10−i ≤ x <n∑i=1

10−i + 10−n

Insbesondere:∞∑i=1

xi10−i = x

Wir schreibenx = 0, x1, x2, x3,...

Periodische DezimalzahlenBeispiel: 0, 67 = 0, 67676767...also:

0,67

= 67100 + 67

10000 + 67 · 10−6 + ..

= 67100 (1 + 10−2 + 10−4 + 10−6 + ..)

= 67100 · 1

1−10−2 = 6799

Allgemein:

0, x1x2x3.. =

(N∑i=1

Pi10−i)(

1 + 10−N + 10−2N + 10−3N + ..)

=

(N∑i=1

Pi10−i)

10N

10N−1

Insbesondere: 0, 9 = 910 · 109 = 1 , also ist die Dezimaldarstellung in der From

x =∞∑I=1

xi10−i mit xi ∈ {0, ..., 9}

nicht eindeutig.

3.72 Proposition: Charakterisierung der Uneindeutigkeitder Dezimaldarstellung einer rellen Zahl als unend-liche Reihe

Seien 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 mit Dezimaldarsellungen

39

x = x0 +∞∑i=1

xi10−i und y = y0 +∞∑i=1

yi10−i

mit x0, y0 ∈ {0, 1}, xiyi ∈ {0, ..., 9}.

Seien (xi)i∈N0und (yi)i∈N0

unterschiedlich mit i0 = min{i ∈ N0, xi 6= yi} undxi0 < yi0Dann x = y genau dann, wenn xi0 = yi0 + 1

xi =0 ∀i ≥ i0 + 1yi =9 ∀i ≥ io + 1

Beweis: Ubung.

4 Funktionen und Stetigkeit

4.1 Definition: Abbildung, Definitionsbereich, Wertebe-reich

Seien M,N Mengen und eine Abbildung f : M → N ordnet jedem Element vonM ein Element aus N zu. x ∈M → f(x) ∈ Nf hat Definitionsbereich M und Wertebereich N.

4.2 Definition: Injektive, surjektive, bijektive Abbildung;Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung

(i) f heißt injektiv, falls zu jedem y ∈ N hochstens ein Element existiert,so dass f(x) = y

(ii) f heißt surjektiv, falls zu jedem y ∈ M ein x ∈ M existiert, so dassf(x) = y

(iii) f heißt bijektiv, falls zu jedem y ∈ M genau ein x ∈ M existiert, sodass f(x) = y.In diesem Fall definieren wir die Umkehrfunktion(Inverse) von f

f−1 : N →M f−1(y) = x

4.3 Definition: Komposition von Abbildungen

Seien M,N,L Mengen und f : M → N , g : N → LDann definieren wir die Komposition g ◦ f :M → L

(g ◦ f)(x) := g(f(x))

40

Teil XIV

Abzahlbarkeit

4.4 Definition:Gleichmachtigkeit von Mengenendliche, abzahlbar (unendliche), hochstens abzahlba-re, uberabzahlbare Mengen

Seien M,N zwei Mengen

(i) M und N heißen gleichmachtig, falls eine bijektive Abbildung f :M → N existiert.

(ii) M heißt endlich mit Kardinalitat n ∈ N, falls M gleichmachtig istzur Menge 1, 2, .., nDie leere Menge definieren wir als endlich mit Kardinalitat 0.M heißt unendlich, falls M nicht endlich ist.

(iii) M heißt abzahlbar (unendlich) , falls M gleichmachtig mit N ist.Dann ist (ai)i∈N mit ai = f(i) ∈ M Aufzahlung der Elemente vonM.

(iv) M heißt hochstens abzahlbar, falls M endlich oder abzahlbar ist.

(v) M heißt uberabzahlbar, falls M weder endlich noch abzuahlbar ist.

Beispiele:

a) {1, 2, 3} endlich mit Kardinalitat 3

b) N ist abzahlbar {5, 6, 7, 8...} ist gleichmachtig zu N,denn etwa f(n) :=n+ 4 Bijektiv f : N→ {5, 6, 7, ...}

c) 1, 3, 5, 7, 9, ... ist abzahlbar, etwa f(n) = 2n− 1

4.5 Satz:Teilmengen hochstens abzahlbarer Mengen sind hochs-tens abzahlbar.Die Vereinigung hochstens abzahlbar vieler hochstensabzahlbarer Mengen ist hochsten abzahlbar.

(1) Jede Teilmenge einer hochstens abzahlbaren Menge ist hochstensabzahlbar.

(2) Die Vereinigung hochstens abzahlbarer vieler hochstens abzahlbarerMengen ist hochstens abzahlbar.M1M2, ..,Mi jeweils hochstens abzahlbar. Dann M2 ∪M3 ∪ ...

41

Beweis

1) Sei M hochstens abzahlbar und a1, a2, a3, ... eine (eventuell endliche)Aufzahlung der Elemente.Sei N ⊂M . Dann definiert

i(1) := min{i ∈ N : ai ∈ N}i(2) := min {i ∈ N : i > i(1), ai ∈ N} usw...

Dann istai(1), ai(2), ai(3)...eine (eventuell endliche) Aufzahlung der Elemente von N. Also Nhochstens abzahlbar.

2) Seien N1, N2, N3, .. hochstens abzahlbar viele Mengen, jedes Ni, i ∈N hochstens abzahlbar.Dann existiert Aufzahlung der jeweiligen Elemente.

N1 : a11, a12, a13, ..N2 : a21a22, a23, ..N3 : a31a32, a33, ..N4 : a41a42, a43, ..

Aufzahlung entlang der Diagonalen liefert eine Aufzahlung aller Ele-mente der Vereinigung.⋃i∈N

N4

Damit⋃i∈N

Ni hochstens abzahlbar.

4.6 Korollar: Z und Q sind abzahlbar

Z und Q sind abzahlbar

Beweis: Es gilt Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N}

Nach 4.5 ist dann Z hochstens abzahlbar, da Z nicht endlich, also Z abzahl-bar.Q ist nicht endlich und Q = {mn : m ∈ Z0, n ∈ N}

jede der Mengen {mn : m ∈ Z} , n ∈ N fest, ist gleichmachtig zu Z, m 7→ mn ist

Bijektion, damit ∀n ∈ N {mn : m ∈ Z} abzahlbar.

Dann aber Q =⋃n∈N{mn : m ∈ Z} und Q nach 4.5 hochstens abzahlbar.

42

4.7 Satz: Die Menge der Folgen in {0,1} ist uberabzahlbar

Die Menge der Folgen (ai)i∈N mit ai ∈ {0, 1}∀i ∈ N ist uberabzahlbar..

Beweis: Sei F die Menge dieser Folgen.

Angenommen F ist abzahlbar, dann existiert Aufzahlung F1, F2, F3, ..Fi ∈ F. Schreibe:

Fi =(a(i)j

)j∈N

Definiere Folge (gi)i∈N

gi :=

{0 falls a

(i)i = 1

1 falls a(i)i = 0

Dann g ∈ F . Es gilt ∀i ∈ N : g 6= FiDenn nach Konstruktion

gi 6= a(i)i

Also g ∈ F aber nicht Element der Aufzahlung, ein Widerspruch.

4.8 Satz: R ist uberabzahlbar

Beweis:

Wir konstruieren injektive Abbildung F → R , wobei F die Menge der Fol-gen in {0, 1} aus 4.7. Dazu ordne die Folge (ai)i∈N ∈ F , also ai ∈ {0, 1} ∀i ∈ Nder Zahl φ((ai)i∈N) zu, die als Dezimalzahl dargestellt ist, also

0, a1, a2, a3, .. =∑i∈N

ai · 10−6fur ein i0 ∈ N. Aber ai, bi 6= 9∀i ∈ N. Damit

ist φ bijektive Abbildung. φ : F → φ(F ) , damit φ(F ) ⊂ R gleichmachtig zu F,damit uberabzahlbar. Dann nach 4.5 R uberabzahlbar.Dazu definiere nach 3.71 reelle Zahl.

Behauptung: φ injektiv.

Falls (ai)i∈N,(bi)i∈N ∈ F verschieden sind, so gilt:0, a1, a2, ... = 0, b1, b2, ...

nach 3.72 nur dann, wenn ai = 9 ∀i ≥ i0 oder bi = 9 ∀i > i0 fur ein i0 ∈ N.Aber ai, bi 6= 9 ∀i ∈ N. Damit ist φ bijektive Abbildung. φ : F → φ(F ) ,damit φ(F ) ⊂ R gleichmachtig zu F, damit uberabzahlbar. Dann nach 4.5 Ruberabzahlbar.

43

Teil XV

Reellwertige Funktionen

4.9 Definition: Reellwertige FunktionGraph einer Funktion.

Sei D ⊂ R. Unter einer reellwertigen (reellen) Funktion f auf D verstehenwir eine Abbildung.

f : D → R

Der Graph von f ist die Menge

graph(f) := {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}

4.10 Definition

Seien M,N Mengen. DannM\N := {x : x ∈M,x /∈ N}M ×N := {(m,n) : m ∈M, n ∈ N}Dann graph(f) ⊂ D ×R

4.11 Beispiele

1) Konstante Funktion zu c ∈ R , f(x) := c∀x ∈ D gibt die konstanteFunktion f : D → R , x 7→ c

2) Die identische Abbildung idD : D → R, x 7→ x

3) Die Quadratwurzelfunktion q : [0,∞) → R , x 7→ q(x) :=√x.

Darstellung der Funktion q

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3

f (x) =√x

4) Die Exponentialfunktion exp : R→ Rx 7→ exp(x)exp(x) ≥ 1 + x∀x > 0

44

−3 −2 −1 0 1 2 3

2

3

−1

1

2

3

−1

1

−3 −2 −1 0 1 2 3

f (x) = exp (x)

4.12 Definition: Verknupfungen von Funktionen: Summe,Vielfaches, Produkt, Quotient

Seien f, g : D → R, D ⊂ R, λ ∈ R Dann definieren wir

(f + g) (x) := f(x) + g(x)

(f · g) (x) := f(x) · g(x)

(λf) (x) := λf(x)

f + g, f · g, λf jeweils Funktionen auf D. Setze D := {x ∈ D : g(x) 6= 0}Dann definiere f

g : D → R ,(fg

)(x) := f(x)

g(x)

Teil XVI

Grenzwerte

4.13 Definition: Haufungspunkt einer Menge D ⊂ RSei D ⊂ R . x0 ∈ R heißt Haufungspunkt von D, falls eine Folge (xk)k∈N in D(d.h. x ∈ D ∀k ∈ N) existiert, so dass

xk → x0 (k →∞)

Bemerkung:Es kann x0 ∈ R\D Haufungspunkt, z.B.{x ∈ R : x < 1}

Dann ist 1 Haufungspunkt von D, etwa xk = 1 − 1k ,xk ∈ D ,xk → 1 , aber

x0 = 1 /∈ D

jedes x ∈ D ist Haufungspunkt von D, betrachte etwa xk := x∀k ∈ N.

45

4.14 Definition: Konvergenz einer Funktion an einem Punkt

Sei D ⊂ R, f : D → R und sei x0 ∈ R Haufungspunkt in D. Dann zeigen wir

f(x) konvergiert gegen n ∈ R , falls x “ gegen x0 in D “falls: Fur jede Folge (xk)k∈N in D gilt.f(xk)→ a (k →∞)

Wir schreiben dannf(x)→ a (x→ x0, x ∈ D)

oderlimx→x0x∈D

f(x) := a

4.15 Satz: Aquivalente Charakterisierung mit ’ε− δ Krite-rium’.

Sei D ⊂ R, x0 Haufungspunkt von D. Dann sind

1) f(x)→ a (x→ x0)

2) ”ε-δ” - KriteriumZu jedem ε > 0 existiert δ > 0 , so dass ∀x ∈ D mit |x− x0| < δgilt, das |f(x)− a| < ε

Beweis: (1) ⇒(2)

Angenommen 2) gilt nicht. Dann existiert ein ε > 0 , so dass ∀k ∈ N, δ = 1k ,

existiert ein xk mit xk ∈ D und |x− x0| < δ , so dass |f(xk)− a| ≥ ε~Dann (xk)k∈N Folge in D und nach 1) und 4.14 folgt f(xk) → a (k → ∞),andererseits ~∀k ∈ N , ein Widerspruch.

Beweis (2) ⇒ (1)

Sei also (xk)k∈N Folge wie in (1).Sei ε > 0 vorgegeben.Sei dazu δ > 0 wie in (2).

Wegen xk → x0 (k →∞) existiert N ∈ N , sodass

|xk − x0| < δ ∀k ≥ NNach (2) folgt fur alle k ≥ N , dass

|f(xk)− a| < ε

Damit f(xk)→ a (k →∞)⇒ (1)

46

4.16 Beispiele

1) limx→0

exp(x) = 1

Beweis:

Mit ε− δ KriteriumFur x ∈ R mit |x| < δ gilt:

|exp(x)− 1| =

∣∣∣∣ ∞∑i=0

1i!x

i − 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∞∑i=1

1i!x

i

∣∣∣∣≤ ∞∑i=1

1i! |x|i ≤

∞∑i=1

δiδ<1= 1

1−δ − 1 =

δ1−δ≤ δ

12

= 2δ

Fur δ ≤ 12 .

Sei ε > 0 vorgegeben. Setze dann δ := min{ 12 ; ε3}

Mit obiger Rechnung folgt

|exp(x)− 1| ≤ 2δ ≤ 2

3x < ε∀ |x| < δ.

Das zeigt die Behauptung.

2) Sei f : [0,∞) → R und setze f(x) = INT (x) = max{n ∈ N0 : n ≤x}

Wahle x0 = 2

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y

[

[

[

Behauptung: limx→x0x∈D

f(x) existiert nicht ! Betrachte etwa xk := 2 + 1k

47

dann xk → 2 (k →∞), f(xk)→ 2 (k →∞)

Allerdings fur xk = 2− 1k gilt xk → 2 (k →∞), f(xk)→ 1 (k →∞)

Damit kann kein Grenzwert limx→x0

f(x) existieren.

4.17 Definition: Rechts- und linksseitiger Grenzwert

Sei x0 ∈ R Haufungspunkt von D ∈ R und f : D → R Dann ist

(i) fur f(x) = c

x ↘ x0 bedeutet, dass fur alle Folgen (xk)k∈N mit xk ∈ D undxk > x0 ∀k ∈ N folgt

f(xk)→ c (k →∞)

limx↘x0

f(x) heißt rechtsseitiger Limes

(ii) limx↗x0

= c bedeutet, dass ∀(xk)k∈N mit xk ∈ D, xk < x0∀k ∈ N , folgt

f(xk)→ c (k →∞)

Dieser Limes heißt linksseitiger Limes.

4.18 Bemerkung

In 4.16 (2)

limx↘x0

f(x) = 2, limx↗x0

f(x) = 1

Falls limx→x0

f(x) = c , so folgt

limx↘x0

f(x) = limx↗x0

f(x)

Teil XVII

Stetigkeit

4.19 Definition: Stetigkeit

Sei f : D → R, x0 ∈ D .Dann heißt f stetig an x0 , falls lim

x→x0x∈D

f(x) = f(x0) . f ist stetig in D, falls f stetig

48

an x0∀x0 ∈ D.

4.20 Charakterisierung der Stetigkeit mit ε− δ Kriterium

f : D → R ist stetig an x0 ∈ D genau dann, wenn gilt:

Fur alle ε > 0 existiert δ > 0 , sodass ∀x ∈ D, |x− x0| < δ folgt, dass

|f(x)− f(x0)| < ε

4.21 Bemerkung

Sei f : D → R stetig an x0 und f(x0) < c fur ein c ∈ R. So existiert ein δ>0 ,sodass f(x) < c∀x ∈ D mit |x− x0| < δ

c

x

y

y = f(x)

x0

Wahle in 4.20 ε:= c−f(x)2 . Dann fur |x− x0| < δ

|f(x0)− f(x)| < ε

Wegen |f(x0)− f(x)| ≥ f(x)− f(x0) daher

f(x) < f(x0) +c− f(x0)

2=c− f(x0)

2<c+ c

2= c

4.22 Beispiel

Die Funktion exp : R→ R ist stetig. Sei x0 ∈ R . Dann

49

|exp(x0)− exp(x)| = |exp(x0)| ·∣∣∣∣1− exp(x)

exp(x0)

∣∣∣∣ = exp(x0) · |1− exp(x− x0)|

Nach 4.16 (1) gilt exp(x− x0)→ 1 fur x→ x0Damit |1− exp(x− x0)| → 0 (x→ x0) also |exp(x0)− exp(x)| → 0 fur x→ x0,also exp stetig in x0.

4.23 Satz: Summe, skalares Vielfaches und Produkt steti-ger Funktionen gibt wieder eine stetige Funktion.Der Quotient stetiger Funktionen ist stetig auf sei-nem Definitionsbereich

Seien f, g : D → R stetig und sei λ ∈ R , dann sind auch die Funktionenf + g, f · g, λ · f : D → R stetig.

Fur D’:= {x ∈ D : g(x) 6= 0} gilt fg : D′ → R ist stetig.

Beweis: Folgt aus Rechenregeln fur Folgen. Etwa Behauptung fur f · gSei x0 ∈ D , (xk)k∈N mit xk → x0 (k →∞) Dann

limk→∞

(f · g)(xk) =

(limk→∞

f(xk)

)·(

limk→∞

g(xk)

)= f(x0) · g(x0) = (f · g) (x0)

Das zeigt Stetigkeit von f · g

4.24 Definition: Polynome und rationale Funktionen

(1) Ein Polynom auf R ist eine FunktionP : R → R der Form p(x) :=anx

n+an−1xn−1+a1x+a0 mit Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R , n ∈ N0

Falls a 6= 0, so heißt P Polynom vom Grad n.

(2) Eine rationale Funktion r : D → R ist in der Gestalt r(x) :=P (x)q(x) ∀x ∈ D , wobei P,q Polynome und q(x) 6= 0∀x ∈ D

4.25 Korollar: Rationale Funktionen sind stetig

Polynome und rationale Funktionen sind stetig

Beweis: Zeige, dass die konstante Funktion f(x) = c∀x ∈ R eine stetige Funk-tion definiert, genauso dass idR:R → R x 7→ x stetig ist. Dann lasst sich jedesPolynom und jede rationale Funktion erzeugen durch Addition, Multiplikation,Skalarmultiplikation und Division. Die Stetigkeit folgt dann aus 4.23.

50

4.26 Stetigkeit ist lokale Eigenschaft

Seien f, g : D → R und x0 ∈ D. Falls fur ein ε > 0 gilt: f(x) = g(x) ∀x ∈ Dmit |x− x0| < δ (“f und g stimmen lokal uberein”) , so ist f genau dann stetigan x0, falls g stetig an x0ist (“Stetigkeit ist lokale Eigenschaft”).

x

y

f

g

[

[

fc

x0

4.27 Satz: Komposition stetiger Funktionen ist stetig

Sei f : D → R stetig in D ⊂ R . Sei g : E → R stetig, E ⊂ R, geltef(D) := {f(x) : x ∈ D} ⊂ E . Dann ist

g · f : D → R stetig.

Beweis: Sei (xk)k∈N. Folge in D mit xk → x0 (k →∞)Da f stetig in x0 folgt, dass

f(xk)→ f(x0) (k →∞)

Dann (yk)k∈N ,yk = f(xk) Folge in E

yk → y := f(x0)

Dagegen g stetig in y folgt, dass

g(yk)→ g(y) (k →∞)

d.h. g (f(xk))→ g (f(x0))d.h. (g ◦ f)(xk)→ (g ◦ f)(x0) , also (g ◦ f) stetig in x0

51

Teil XVIII

Eigenschaften stetiger Funktionen

4.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz)

Sei f : [a, b]→ R stetig, a < b , und geltef(a) < 0 und f(b) > 0

Dann existiert x0 ∈ (a, b) , sodass f(x0) = 0

a bX Achis

Y A

xis

a bx0

Beweis:Sei M := {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ 0}Dann ist M nicht leer, denn a ∈M . Weiter ist M beschrankt. Damit existiert

x0 := supM

Zu zeigen: f(x0) = 0Zuerst: x0 > a , denn es existiert wegen Stetigkeit von f ein δ > 0 , sodass

f(x) < 0 ∀x ∈ (a, a+ δ)

(1) Zeige f(x0) ≤ 0

Da x0 kleinste obere Schranke, existiert (xk)k∈N mit xk ∈ M ∀k ∈ N undxk → x0Dann wegen Stetigkeit

f(xk) = limk→∞

f(xk)︸︷︷︸≤0

≤ 0

(2) Zeige f(x0) ≥ 0.

Angenommen f(x0) < 0Dann existiert, da f stetig, ein δ > 0 , sodass

f(x) < 0 ∀x ∈ [a, b]

52

mit |x− x0| < δ (vgl. 4.19)Wegen (1) ist x0 < b , damit existiert x1 > x0, x1 ∈ [a, b] , sodass

f(x1) < 0, x1 ∈M

Widerspruch, denn x0 obere Schranke von M, aber x1 > x0 , x1 ∈MDamit f(x0) ≥ 0(1)+(2) → f(x0) = 0

4.29 Korollar: Zwischenwertsatz (allgemeine Version)

Sei f : [a, b]→ R stetig und f(a) 6= f(b).Dann existiert zu jedem c ∈ R echt zwischen f(x) und f(b) ein x ∈ [a, b], sodassf(x0) = 0

Beweis:Im Fall f(a) < f(b)

setze g(x) := f(x)− cDann ist g : [a, b]→ R stetig und

f(x1) < 0, x1 ∈M

g(a) < 0, g(b) > 0

denn f(a) < c < f(b)4.28⇒∃x0 ∈ (a, b) mit g(x0) = 0. Damit f(x0) = c

Im Fall f(a) > f(b)

definiere g(x) = c− f(x)

4.30 Beispiel: Polynome ungeraden Grades besitzen min-destens eine Nullstelle

Sei p : R→R Polynom vom Grad n, n = 2k − 1 fur ein k ∈ N . Dann besitzt pmindestens eine Nullstelle

Beweis:Sei p(x) = anx

n + · · ·+ a0Sei weiter an > 0Dann gilt:

limx→−∞

p(x) = −∞

limx→+∞

p(x) = +∞

53

Denn

p(x) = xn

an +an−1x

+ · · ·+ a0xn︸︷︷︸

→0 (x→−∞)→0 (x→+∞)

damit

p(x) ≥ an2· xn ∀x > K

mit K groß genug, damit p(x)→ +∞ (x→∞)damit existiert a ∈ R mit p(a) < 0 und ein b > 0 mit p(b) > 0Da p stetig

4.28⇒ es existiert x0 ∈ (a, b) mit p(x0) = 0

4.31 Definition: Uneigentliche Intervalle

Wir definieren die uneigentlichen Intervalle

[a,∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

(a,∞) := {x ∈ R : x > a}(−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}(−∞, a) := {x ∈ R : x < a}

(−∞,+∞) := R

4.32 Proposition: Stetige Abbildungen bilden Intervalle(evtl. uneigentlich) auf Intervalle (evtl. uneigentlich)ab

Sei I ⊂ R Intervall (evtl. uneigentlich).Sei f : I → R stetig.Dann ist f(I) ein Intervall (evtl. uneigentlich)

Bemerkung: Klassisches Intervall (“eigentliches Intervall”) kann auf uneigent-liches Intervall abgebildet werden.

f(x) :=1

x, I = (0, 1]

dann f stetig, f(I) = [1,∞)

Beweis:Setze A := inf f(I) , B := sup f(I) evtl. A =-∞, B = +∞

54

Behauptung 1: (A,B) ⊂ f(I)Dazu sei A < y < BNach Definition von Supremum und Infimum existieren x1, x2 ∈ I , sodass

f(x1) < y < f(x2)

Dann existiert nach 4.29 ein x0 ∈ I mit f(x0) = y

Behauptung 2:Falls y > B , so gilt y /∈ f(I)genauso: Falls y < a , dann y /∈ f(I)

Aus Beh.1 und Beh.2 folgt, dass f(I) ein Intervall ist.

4.33 Definition: Beschrankte Funktionen

Eine Funktion f : D → R heißt beschrankt (nach unten beschrankt, bzw nachoben beschrankt) , falls f(D) eine beschrankte (nach unten beschrankte, bzwnach oben beschrankte) Menge ist.

4.34 Satz: Eine stetige Funktion auf einem abgeschlosse-nem Intervall nimmt ihr Maximum und ihr Minimuman

Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f sein Maximum und Minimum an, d.h.es existieren

x+, x− ∈ [a, b]

sodassf(x+) = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}f(x−) = inf{f(x) : x ∈ [a, b]}

Beweis:Wir zeigen Existenz von x

+

Fall1:sup f([a, b]) = +∞Dann existiert (xk)k∈N mit xk ∈ [a, b]

f(xk)→ +∞ (k →∞)

Fall2:

55

M := sup f ([a, b]) <∞Dann existiert (xk)k∈N , xk ∈ [a, b] mit

f(xk)→M (k →∞)

Da (xk)k∈N beschrankt, existiert nach Satz von Bolzano-Weierstraß eine kon-vergente Teilfolge (x′j)j∈N von (xk)k∈N , also

x′j → x0 ∈ R (j →∞)

Dann x0 ∈ [a, b] , denn a ≤ x′j ≤ b ∀j ∈ NDa f stetig folgt

f(x′j)→ f(x0) (j →∞)

Damit Fall1 ausgeschlossen und

M = f(x0)

Damit x+ = x0 gefunden.Fur Existenz des Minimums und x− ∈ [a, b] betrachte f(x) = −f(x) und wendeExistenz des Maximums an auf f .Der entsprechende Punkt nimmt Minimum von f an.

4.35 Definition: Gleichmaßig stetige Funktionen

Eine Funktion f : D → R ist gleichmaßig stetig in D, falls:Zu jedem ε > 0∃δ > 0 , sodass fur alle Punkte im Definitionbereich x, y ∈ D

mit |x− y| < δ folgt dass |f(x)− f(y)| < ε

Bemerkung: f stetig in D.∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃δ > 0 : |f(x)− f(x0)| < ε∀|x− x0| < δf gleichmaßig stetig

∀ε > 0∃δ > 0∀x0∀xmit |x− x0| < δ

|f(x)− f(x0)| < ε

56

4.36 Satz: Stetige Funktionen auf einem abgeschlossenemIntervall sind gleichmaßig stetig

Sei f : [a, b]→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.Beweis: Angenommen f ist nicht gleichmaßig stetig.Dann∃ε > 0 ∀δ = 1

k , k ∈ N , existieren xk und yk ∈ [a, b] mit |xk − yk| < 1k ,

sodass|f(xk)− f(yk)| ≥ ε

Dann sind (xk)k∈N und (yk)k∈N beschrankte Folgen in [a, b].Nach Bolzano-Weierstraß existiert eine Teilfogle

(xk(j)

)j∈N und ein x ∈ R, so-

dassxk(j) → x (j →∞)

Da a ≤ xk(j) ≤ b∀j ∈ N folgt x ∈ [a, b] Damit auch

yk(j) → x (j →∞)

denn∣∣xk(j) − yk(j)∣∣ < 1

k(j) → 0 (j →∞)

Da f stetig folgt weiter

0 = f(x)− f(x) = limj→∞

∣∣(f (xk(j))− f (yk(j)))∣∣︸︷︷︸≥ε

≥ ε

Widerspruch zu ε > 0

4.37 Bemerkung

Ersetzen wir in 4.36 das abgeschlossene Intervall [a, b] durch ein Intervall voneinem anderen Typ, so ist die Aussage in 4.36 im Allgemeinen falsch.

4.38 Definition: (Streng) monoton wachsende, (streng) mo-noton fallende Funktionen

f : D → R heißt monoton wachsend, falls gilt:

x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≤ f(y)

f : D → R heißt streng monoton wachsend, falls gilt:

x < y, x, y ∈ D ⇒ f(x) < f(y)

f : D → R heißt monoton fallend, falls gilt:

x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) ≥ f(y)

f : D → R heißt streng monoton fallend, falls gilt:

x > y, x, y ∈ D ⇒ f(x) > f(y)

58

4.39 Satz: Eine stetige, streng monoton wachsende Funk-tion auf einem reellen Intervall ist bijektiv auf ihrBild. Die Umkehrfunktion ist stetig und streng mo-noton wachsend

Sei f : I → R , I (evtl. uneingeschrankt) Intervall.Sei f stetig und streng monoton wachsend.Dann ist auch I ′ = f(I) Intervall (evtl. uneigentlich) und f : I → I ′ ist bijektiv.Weiter ist f−1 : I ′ → I stetig und außerdem streng monoton wachsend.

Beweis: Nach 4.32 ist I’ Intervall. Da f streng monoton, ist f injektiv, damitf : I → I ′ bijektiv. Dann ist f−1I ′ → I streng monton wachsend.

Zeige: f−1 ist stetig.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

y = f−1(x)

y = f(x)

Beispielfunktion f (x) =√x

graph(f)= {(x, y) : x ∈ I, y = f(x)}graph(f−1) = {(y, x) : y ∈ I ′, x = f−1(y)} = [(y, x) : x ∈ I, y = f(x)}

Sei y0 ∈ I ′, y0 = f(x0), mit x0 ∈ IBetrachte Iε := [x0 − ε, x0 + ε] ∩ I

Fall1:Inf I < x0 < sup I (“x0 innerer Punkt von I ′”)Dann gilt: ∃ε0 > 0 , sodass

Iε = [x0 − ε, x0 + ε]∀ε > ε0

Setze c := f (x0 − ε) , d := f (x0 + ε). Da f streng monoton ist

f : Iε → [c, d]

59

bijektiv. Wahle dann δ := min {y0 − c, d− y0}Dann gilt ∀y ∈ I ′ mit

|y0 − y| < δ

dass y ∈ (c, d) , damit f−1(y) ∈ IεInsbesondere ∣∣f−1(y)− x0

∣∣ < ε

Da ε > 0 beliebig war, folgt nach ε− δ Kriterium, dass f−1 stetig in y0 .Fall2:x0 = inf I = min IDann ist

Iε = [x0, x0 + ε]∀ε > 0 klein genug

argumentiere dann wie oben, wahle

δ := f (x0 + ε)− f(x0)

Fall3:x0 = sup I = max I dann entsprechende Argumentation

δ := f(x0)− f(x0 − ε)

Teil XIX

Logarithmus und allgemeinePotenzen

4.40 Satz/Definition: log := exp−1 : (0,∞) → R ist stetig,streng monoton wachsend und erfullt ∀x, y ∈ R dieFunktionsgleichung log (xy) = log x+ log y

exp : R→ (0,∞)

ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.Die Umkehrfunktion

log = exp−1

log : (0,∞)→ R ist stetig, streng monoton steigend, bijektiv und es gilt

log (xy) = log x+ log y ∀x, y > 0

60

Wir nenen log die Logarithmusfunktion .Beweis:Aus der Definition von exp folgt

exp(x) > 1 + x

Damitlimx→∞

exp(x) = +∞

Weiter

limx→−∞

exp(x) = limx→∞

exp(−x) = limx→∞

1

exp(x)= 0

Schließlich fur ξ > 0 exp(x+ ξ) = exp(x) exp(ξ) > exp(x) · 1Damit ist exp stetig monoton. Es folgt exp : R → (0,∞) bijektiv, Stetigkeitbereits gezeigt.Mit 4.39 folgt also

log : (0,∞)→ R

streng monoton und stetig. Weiter:

exp (log x+ log y) = exp (log x) · exp (log y) = x · y

d.h.log x+ log y = log xy

4.41 Definition: Exponentialfunktion zur Basis a > 0.

Sei a > 0Die Funktion expa(x) := exp (x log a) heißt Exponentialfunktion zur Basisa.

4.42 Satz: Eigenschaft der Exponentialfunktion zu einerallgemeinen Basis

expa : R→ (0,∞) ist stetig und es gilt:

(i) expa (x+ y) = expa(x) · expa(y)

(ii) expa(q) = aq fur alle q ∈ Q

Beweis:

(i) folgt aus Funktionsgleichung von exp

(ii) expa(q) = exp(q · log a) = (exp (log a))q

= aq

61

4.43 Definition: Allgemeine Potenz ax fur a > 0, x ∈ R∀a > 0, x ∈ R definiere:

ax := expa(x) = exp (xloga)

Damit insbesondere

ex = expe(x) = exp (x log e) = exp(x)∀x ∈ R

4.44 Proposition: Rechenregeln fur allgemeine Potenzen

∀a, b > 0 , x, y ∈ R gilt:

(i) axay = ax+y

(ii) (ax)y

= axy

(iii) axbx = (ab)x

(iv)(1a

)x= a−x

Beweis: Nachrechnen, etwa

(ii) (ax)y

= (exp (x log a))y

= exp (y log (exp (x log a))) = exp (y · x log a) =axy

5 Die trigonometrischen Funktionen

Teil XX

Die komplexen Zahlen

5.1 Definition: Der Korper der komplexen Zahlen CDer Korper C der komplexen Zahlen ist definiert als die Menge

C := {(x, y) : x, y ∈ R} = R× R

mit den Verknupfungen+, · : C× C→ C

die fur z = (x, y) , w = (u, v) mit x, y, u, v ∈ R definiert sind als

x+ w := (x+ u, y + v)

62

z · w := (xu− yv, xv + yu)

Addition + C× C→ C (x,w) 7→ (x+ u, y + v)Multiplikation · C× C→ C (z, w) 7→ (xu− yv, xv + yu)

5.2 Bemerkung: Identifizierung von R als Teilmenge vonC; imaginare Einheit i ∈ C; Realteil und Imaginarteilvon z ∈ C

(1) Wir identifizieren x ∈ R mit (x, 0) ∈ CIn dieser Weise vestehen wir R als Teilmenge von CDann fur x, u ∈ R mit der Multiplikation in C.

x · u = (x, 0) · (u, 0) = (xu, 0) = xu

(2) Die imaginare Einheit ist

i := (0, 1)

Dann gilt fur z ∈ C , z = (x, y)

iz = (0, 1) · (x, y) = (−y, x)

Darstellung in der x,y-Ebene:

X Axis

Y A

xis

i(x, y)

(x,y)

x

y x

y

Also Mutiplikation mit i entspricht einer Drehung in der x,y-Ebene um 90° (ge-gen den Uhrzeigersinn).

63

(3) Fur z = (x, y) ∈ C setzen wir

Re z:=x

Im z:=y

(4) Mit diesen Schreibweisen gilt fur z = (x, y) ∈ C, dass z = x+ iy.Dann:

x+ iy = (x, 0) + i · (y, 0) = (x, y) = z

5.3 Satz: i2 = −1Es gilt

i2 = i · i = −1 = (−i)2Beweis:i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1

5.4 Satz: C ist Korper

C mit (+, ·) wie in 5.1 ist Korper

Beweis:Die meisten Korperaxiome prufen Sie leicht nach.Neutrale Element bzgl. + : (0, 0) = 0Inverse Element bzgl. + zu z = (x, y) ∈ C ist −z := (−x− y) = (−1) · (x, y)Neutrale Element bzgl. · ist (1, 0) = 1

Inverse Element bzgl. · zu z = (x, y) ∈ C ist 1z :=

(x

x2+y2 ,−y

x2+y2

)In der Tat:

(x, y) ·(

xx2+y2 ,

−yx2+y2

)=(

x2

x2+y2 + y2

x2+y2 ,−xyx2+y2 + xy

x2+y2

)= (1, 0)

5.5 Bemerkung

(1) Mit dem Distributivgesetz und i2 = −1 erhalten wir

(x+ iy) · (u+ iv) = xu+ xiv+ iyu+

−yv︷︸︸︷iyiv = (xu− yv) + i (xv + yu)

(2) Es gibt keine Relation “<” auf C , so dass Anordnungs- und Korpe-raxiome erfullt sind.

5.6 Definition: Komplex Konjugierte und Betrag von z ∈C

Sei z ∈ C mit z = (x, y) = x+ iy

(1) z := x− iy heißt komplex konjugiert zu z.

(2) |z| :=√x2 + y2

|·| : C→ R+0 heißt Betrag oder Norm von z.

64

5.7 Lemma: Eigenschaft der komplexen Konjugation

Seien z, w ∈ C

(1) (z) = z

(2) 2 · Re z = z + z2 · Im z = −i (z − z)

(3) z = z ⇔ z ist reell, also Im z = 0Beweis: Nachrechnen

5.8 Lemma: Eigenschaft des Betrags, insbesondere Drei-ecksungleichung

Fur z, w ∈ C gilt:

(1) |z|2 = zz, |z| = |z|(2) |z| = 0⇔ z = 0

(3) |zw| = |z| |w|(4) |Re z| ≤ |z|

|Im z| ≤ |z|(z + w) = z + w

(5) |z + w| ≤ |z|+ |w| (DGL)(zw) = zw

(6) |z| ≤ |Im z|+ |Re z|Beweis: Nachrechnen, etwa (5):

|z + w|2 (1)= (z + w)·(z + w) = (z + w)·(z + w) = zw+zw+wz+ww = |z|2 zw+(wz)+|w|2 ≤ |z|2+2 |z| |w|+|w|2 = (|z|+ |w|)2

5.9 Bemerkung

Fur z = x+ iy , x, y ∈ R.

1

z=

z

|z|2=

(x

|z|2,−y|z|2

)

Teil XXI

Folgen und Reihen in C5.10 Definition: Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen

Eine Folge (Cn)n∈N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c ∈ C , falls :Zu jedem ε > 0∃N ∈ N : |cn − c| < ε∀n ≥ N

65

5.11 Satz: Charakterisierung der Konvergenz in C.Aquivalenz mit Konvergenz der beiden Folge der Re-alteile und Imaginarteile

Sei (cn)n∈N Folge in C ,

cn = xn + iyn, xn, yn ∈ R

Dann konvergiert (cn)n∈N in C genau dann, wenn beide Folgen (xn)n∈N , (yn)n∈Nin R konvergieren.Falls (cn)n∈N konvergiert, so ist

limx→∞

cn = limn→∞

xn + i limn→∞

yn

Beweis: ”⇒ ”Es gelte

cn → c (n→∞) ,c = x+ iy, x, y ∈ R

Sei ε > 0 vorgegeben.Dann existiert N ∈ N , sodass

|cn − c| < ε∀n ≥ N

Dann ∀n ≥ N|xn − x| = |Re (cn − c)| ≤ |cn − c| < ε

|yn − y| = |Im (cn − c)| ≤ |cn − c| < ε

Damit xn → x (n→∞) und yn → y (n→∞)Beweis: ”⇐ ” Gelte xn → x, yn → y fur n→∞Dann existiert zu ε > 0 N1 ∈ N, N2 ∈ N :

|xn − x| < ε∀n ≥ N1

|yn − y| < ε∀n ≥ N2

Setze N := max {N1, N2}, dann gilt ∀n ≥ N mit c = x+ iy

|cn − c| ≤ |Re (cn − c)|+ |Im (cn − c)| = |xn − x|+ |yn − y| < ε+ ε = 2ε

Damit cn − c (n→∞)

66

5.12 Korollar: Konvergenz einer Folge und der Folge derkomplex Konjugierten Folgeglieder

Sei (cn)n∈N Folge in C . Dann gilt(cn)n∈N konvergent ⇔ (cn)n∈N konvergent.

Im Falle der Konvergenz:limn→∞

cn = limn→∞

cn

67

Index

Uberabzahlbar, 43Uberabzahlbar (Menge), 41

Abbildung, 20, 40Abbildung (stetig), 54Absolut konvergente Reihe, 31Absolut konvergente Reihen, 31Absolutbetrag, 19Abstand, 19Abzahlbar, 42Abzahlbar (Menge), 41Additionstheorem der Exponentialfun-

kion, 38Alternierde harmonische Reihe, 31Alternierende Reihe, 31Anordnungen, 11, 18Anordnungsaxiome, 11Archimedischer Korper, 16Aufzahlung, 35Axiome, 9Axiome (Algebr./Korper.), 9Axiome (Anordnung), 9Axiome (Vollstandigkeit), 9, 12

Basis, 24Beschranktheit, 12Beschranktheit (Folge), 21Bijektiv, 40Binomialkoeffizienten, 18Bolzano-Weierstraß (Folge), 26

Cauchy Konvergenzkriterium, 27, 30Cauchy-Folgen, 26

Definitionsbereich (Menge), 40Dezimaldarstellung, 39Dichtheit (rat. Zahlen), 25Dichtheitseigenschaft von Q, 16Divergent-Bestimmt (Folge), 22Divergenz (Folge), 21Doppelreihensatz, 35Durchschnitt (Menge), 14

Epsilon-Delta-Kriterium, 46

Epsilon-Umgebung, 20Eulerische Zahl, 37Exponentialfunktion, 37Exponentialfunktion zur Basis, 61Exponentialreihe, 37

Fakultat (abk.), 15Fibonacci Folge, 21Folgen, 19Funktion (abg. Intervall), 58Funktion (beschrankt), 55Funktion (gleichmaßig stetig), 56Funktion (Komposition), 51Funktion (konstante), 50Funktion (Maximum), 55Funktion (Minimum), 55Funktion (Monotonie), 58Funktion (Produkt), 50Funktion (Skalar), 50Funktion (Summe), 50

Ganze Zahlen, 14Ganzzahlwert, 24Geometrische Reihe, 29Gleichmachtig, 42Gleichmachtig (Menge), 41Großenvergleich (konv. Folge), 22Graph einer Funktion, 44Grenzwert (Folge), 21

Haufungspunkt, 25, 48Haufungspunkt (Menge), 45Hochstens abzahlbar (Menge), 41Harmonische Reihe, 29

Induktiv (Menge), 13Induktive Teilmenge, 13Infimum, 12Injektiv, 40Intervalle, 23Intervalle (uneigentlich), 54Intervallschachtelung, 23Inverse, 40Irrationalitat, 17

68

Korper, 9Korperaxiome, 9Kardinalitat (Menge), 41Kehrwert (Folge), 23Kombinatorik, 18Komplexe Zahlen, 62Komposition (Abbildung), 40Konvergenz (Folge), 20Konvergenz (Funktion), 46Konvergenz (Reihe), 29Konvergenz majorisierter Reihen, 30Konvergenz-Absolut (Reihe), 32Konvergenzkriterium (Cauchy), 30Konvergenzkriterium (Leibnitz), 31Konvergenzkriterium (Reihe), 30, 32,

33

Leibnitz Konvergenzkriterium, 31Limes (linksseitig), 48Limes (rechtsseitig), 48Linearkombination (konv. Reihe), 29Logarithmus, 60

Majorante, 32Majorantenkriterium (Reihe), 32Maximum, 13Maximum (Funktion), 55Mengen, 13Minimum, 13Minimum (Funktion), 55Monotonie (Folge), 26Monotonie (Funktionen), 58

Naturliche Zahlen, 14Nullstelle (Polynom), 53Nullstellensatz, 52

Partialsummen (Folge/Reihe), 28Pascalsches Dreieck, 19Periodische Dezimalzahlen, 39Polynom, 50Potenzen, 60Potenzen (mit rat. Exp.) (RR), 17Potenzen (RR), 16Produkt (abk.), 15Produkt (Absolut konv. Reihe), 36

Produkt (konv. Folge), 22Produkte (endliche) (RR), 16

Quotient (konv. Folge), 22Quotientenkriterium, 32

Rationale Zahlen, 16Reellwertige Funktion, 44Reihen, 19, 28Relation, 11

Schranke, 12Stetig (Funktion), 49Stetigkeit, 40Summe (abk.), 15Summe (konv. Folge), 22Summen (endliche) (RR), 16Supremumsaxiom, 12surjektiv, 40

Teilfolge, 25Teilmenge, 12Teilmengen, 18Teilmengenverhaltnis, 14

Umkehrfunktion, 40, 59Umordnung und Produkt, 33Uneindeutigkeit (Dezimaldarstellung),

39Unendliche Reihe (Dezimaldarstellung),

39Ungeordnete Reihe, 34

Verknupfungen von Funktionen, 45Vollstandige Induktion, 14Vollstandigkeit, 28

Wertebereich (Menge), 40Wurzelkriterium, 33Wurzeln, 17

Zwischenwertsatz, 52

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Analysis I Script / Mitschrift Dortmund 16-12-2010

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