Analysis2 - Julia's Blog | Uni, Nachhilfe und mehrVorlesung SS2010 Analysis2 Prof. Dr. LinusKramer...

Analysis 2

Prof. Dr. Linus Kramer ∗

SS 2010

∗geTEXt von Julia Wolters

Inhaltsverzeichnis

9. Metrische und normierte Räume 1

10.Stetigkeit 13

11.Offene Mengen und Kurven 23

12.Differentialgleichung in Vektorräumen 37

13.Lokale Extrema reeller Funktionen 43

14.Integration, Satz vom lokalen Inversen, Taylorentwicklung 47

Stichwortverzeichnis iii

i

Inhaltsverzeichnis

Impressum

Erstellt von Prof. Dr. Linus Kramer [email protected]

Vorlesungsseite:

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ag_kramer/index.php?name=analysis_II_10

Verfasst in TEXon Mac OS X von Julia Wolters

Korrigierte Fassung bis Kapitel 10, Stand: 13. Juli 2010

Korrekturen bitte per mail an [email protected]

ii geTEXt: Julia Wolters

[email protected]

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ag_kramer/index.php?name=analysis_II_10

[email protected]

9. Metrische und normierte Räume

Idee: Wir wollen „Abstände“ zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl≥ 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter . . .).

9.1. Definition

Sei X eine Menge. Eine Metrik auf X ist eine Abbildung d : X×X −→ R, (x, y) 7→d(x, y). Dabei soll gelten:

(M1) Für alle u, v ∈ X ist d(u, v) = d(v, u) ≥ 0 (symmetrisch und positiv)

(M2) Es gilt d(u, v) = 0, wenn u = v

(M3) Für u, v, w ∈ X gilt d(u,w) ≤ d(u, v) + d(v, w) (Dreiecksungleichung)

Man nennt (X, d) dann einen metrischen Raum.

9.2. Beispiel

a) X = R, d(u, v) = |u−v|. Dann gelten (M1), (M2) und (M3) ist die Dreiecksungleichungder Betragsfunktion (1.8). Also ist R mit d(u, v) = |u− v| ein metrischer Raum.

b) X eine beliebige Menge. Setzte d(u, v) ={1, falls u 6= v0, falls u = v

.

(M1) und (M2) gelten. Ist u = w d(u,w) = 0 ≤ d(u, v) + d(v, w) (X). Ist u 6=w d(u,w) = 1. Für alle v ∈ X gilt entweder v 6= u oder v 6= w, also folgt d(u, v) +d(v, w) ≥ 1 = d(u,w). Folglich gilt (M3) und d ist eine Metrik auf X. Man nennt ddie diskrete Metrik auf X.

c) X = R2. Für u = (u1, u2), v = (v1, v2). Setze d(u, v) = |u1 − v1|+ |u2 − v2| „l1-Metrikauf R2“ oder „Manhattan-Taxi-Metrik“. (M1) und (M2) gelten.

d(u,w) = |u1 − w1|+ |u2 − w2|= |u1 − v1 + v1 − w1|+ |u2 − v2 + v2 − w2|≤ |u1 − v1|+ |v1 − w1|+ |u2 − v2|+ |v2 − w2|= d(u, v) + d(v, w)

1

KAPITEL 9. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME

-

6

-

6

(u1, u2)

(v1, v2)

Abbildung 9.1.: Manhattan-Taxi-Matrik

⇒ (M3) gilt.Also ist d eine Metrik auf R2.

9.3. Beobachtung

Ist (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X, dann ist A mit der Metrik d ebenfalls einmetrischer Raum, ein Unterraum.

9.4. Definition

Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei r > 0 und x ∈ X. Dann heißt Br(x) ={v ∈ X | d(v, x) < r} der offene r-Ball um x.

In den drei Beispielen:

a) Br(x) = (x− r, x+ r) offenes Intervall( x ) X-

r� -

r�

b) Br(x) = {x}, falls r ≤ 1Br(x) = X, falls r > 1

c) Br(x) in der Taximetrik:-

6

��

@@@

@@@

��

xr rr

r

2 geTEXt: Julia Wolters

Vorlesung SS 2010 Analysis 2 Prof. Dr. Linus Kramer

9.5. Definition

Sei J ⊆ N eine unendliche Indexmenge, sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folgein X mit Indexmenge J ist eine Abbildung J → X, j 7→ xj (Folgenglied). Ist K ⊆ Jeine unendliche Teilmenge, dann heißt (xk)k∈K Teilfolge der Folge (xj)j∈J .Wir sagen, die Folge (xj)j∈J konvergiert gegen x ∈ X, wenn gilt:

Zu jedem ε > 0 gibt es n ∈ N, so dass

d(x, xj) ≤ ε ∀j ∈ J, j ≥ n

In Beispiel a X = R, d(u, v) = |u−v| liefert das genau den Konvergenzbegriff aus AnalysisI für reelle Folgen.

9.6. Lemma

Sei (X, d) metrischer Raum, (xj)j∈J eine Folge in X. Die Folge konvergiert gegen x ∈ Xgenau dann, wenn gilt:Für jedes r > 0 gibt es ein n ∈ N, so dass xj ∈ Br(x) für alle j > n.Ebenfalls äquivalent dazu:Für jedes r > 0 liegen fast alle Folgenglieder xj in Br(x).

9.7. Lemma (Eindeutigkeit des Grenzwertes)

Eine Folge (xj)j∈J in einem metrischen Raum (X, d) konvergiert höchstens gegen einx ∈ X.

Der eindeutige Grenzwert einer konvergenten Folge (xj)j∈J wird (wie in Analysis I) ge-schrieben: lim

j∈Jxj = x

Beispiel a):

X = R, d(u, v) = |u − v|. Das ist genau der Konvergenzbegriff aus Analysis I für reelleFolgen.

Beispiel b):

X mit diskreter Metrik. Konvergente Folgen sind genau die Folgen in X, die ab einemgewissen Index konstant sind.

geTEXt: Julia Wolters 3


9.8. Definition

(X, d) metrischer Raum (ai)i∈I Folge. Dies heißt Cauchy-Folge, falls

∀ε > 0∃N ∈ N∀i, j ∈ I mit i ≥ Nundj ≥ N : d(ai, aj) ≤ ε

9.9. Satz

(X, d) metrischer Raum. Dann ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge.

9.10. Definition

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konver-giert.

Beispiel:

a) X = R, d(x, y) = |x− y| ist vollständig, vgl. (3.2)

a’) X = Q, d(x, y) = |x − y| ist nicht vollständig, denn es gilt Folgen (ai) rationalerZahlen die (in R) gegen

√2 konvergieren.

b) Diskrete Räume sind vollständig. Falls (ai) Cauchy-Folge in X, gilt für ε > 12: ∃N ∈ N,

so dass ∀i, j ∈ I mit i ≥ N und j ≥ N : d(a, aj) ≤ ε2⇒ d(ai, aj) = 0, also ai = aj.

c) R2 mit Mannhattan Matrix ist vollständig.

Achtung: (X, d) vollständig.Y ⊆ X Unterraum nicht notwendig vollständig.

9.11. Definition

(X, d) metrischer Räume. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt abgeschlossen in X, falls fürjede Folge in A, die in X konvergiert, der Grenzwert in A liegt.

Beispiel

i) ∅, X sind immer abgeschlossen



ii) u, v ∈ R, u < v, A = [u, v] ist abgeschlossen.Dann (ai) in A ⇒ i ∈ I gilt u ≤ a ≤ v.Insbesondere gilt für x := lim a, u ≤ x ≤ v (vgl. Ana I) ⇒ x ∈ A.

iii) A = (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} nicht abgeschlsosen, dann setzte ai = 12, I = N.

Dann gilt lim a = 0 /∈ A.

9.12. Satz

(X, d) metrischer Raum

i) Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

ii) Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossene.

Bemerkung

Satz 9.12 falsch für beliebige Vereinigungen.

Beispiel

Für n ∈ N sei An :=[1n, 1− 1

n

], n ≥ 2. A2 =

{12

}, A3 =

[13, 23

], . . ..

A =⋃n≥2

An = (0, 1) nicht abgeschlossen.

9.13. Satz

Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum A ⊆ X ist abgeschlossen ⇔ A ist als Teilmengevollständig.1

Achtung

Beispiel: X = (0, 1) ⊆ R, d(u, v) = |u − v| A =(0, 1

2

]⊆ X. Die Teilmenge A ist

abgeschlossen in X (aber nicht in R!).Aber: A ist nicht vollständig. an = 1

2, n ≥ 1 ist Cauchy-Folge in A, hat aber keinen

Grenzwert in A.Das ist KEIN Widerspruch zu Satz 9.13! Denn X ist selber gar nicht vollständig.

Vollständigkeit

ist eine „innere“ Eigenschaft von metrischen Räumen.1 Umformulierung: Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X ist genau dannvollständig, wenn sie abgeschlossen ist in X.



Abgeschlossenheit

ist eine Eigenschaft von Teilmengen eines metrischen Raumes, man muss dazu sagen:„abgeschlossen in folgenden Raum“.

9.14. Definition

Sei V ein reeller Vektorraum (beliebiger, evt. unendlicher Dimension). Eine Normauf V ist eine Abbildung ‖ · ‖ : V → R, v 7→ ‖v‖. Dann soll folgendes gelten:

(N1) ‖v‖ ≥ 0 für alle v ∈ V .‖v‖ = 0 ⇔ v = 0 (Nullvektor).

(N2) Für alle v ∈ V , r ∈ R gilt ‖v · r‖ = ‖v‖ · |r|. Insbesondere gilt ‖v‖ = ‖ − v‖.

(N3) Für alle u, v ∈ V ist ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Dreiecksungleichung)

Das Paar (V, ‖ · ‖) heißt normierter (Vektor)Raum.

Beispiele

a) V = Rn, v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn, ‖v‖1 =n∑k=1

|vk|. Sogenannte l1-Norm auf Rn.

b) V = Rn, ‖v = ‖∞ = max {|v1|, . . . , |vn|} ebenfalls Norm. Sogenannte l∞-Norm oderSupremumsnorm.

9.15. Satz

Sei (V, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum. Setze d(u, v) = ‖u− v‖. Das ist eine Metrik aufV .

Jeder normierte Vektorraum ist also ein metrischer Raum und wir können nun über Kon-vergenz, Abgeschlossen, Cauchy-Folgen usw. in normierten Räumen sprechen.

9.16. Definition

Ein normierter Vektorraum, der vollständig ist, heißt Banachraum2.



Beispiel

Rn mit der l1-Norm oder l∞-Norm ist ein Banachraum.Beweis: Sei (vj)j∈J eine Folge von Vektoren, die Cauchy-Folge ist. vk = (v1,j, v2,j, . . . , vn,j).Es gilt (für beide Normen)

|vk,l − vk,m| ≤ ‖vl − vm‖∞ ≤ ‖vl − vm‖1Folglich ist die reelle Folge (vk,j)j∈J eine Cauchy-Folge in R. Sei uk ∈ R ihr Grenzwert,sei u = (u1, . . . , un). Beh: Die Folge der (vj)j∈J konvergiert gegen u.Es sei ε > 0 gegeben. Wähle n0 ∈ N so, dass |vk,j − uk| ≤ ε

nfür alle k = 1, . . . , n und alle

j ≥ n0.Es folgt ‖vj − u‖1 ≤ ε

n+ ε

n+ . . .+ ε

n= ε für j ≥ n0, ‖vj − u‖ ≤ ‖vj − u‖1 ≤ ε für j ≥ n0.

Damit sind (Rn, ‖ · ‖1) und (Rn, ‖ · ‖∞) Banachräume.3

Beispiele

[a, b] ⊆ R

• B([a, b],R) = {f : [a, b]→ R | f beschränkt}.Setze ‖f‖∞ = sup {|f(x)| |x ∈ [a, b]} Supremumsnorm, vlg Analysis I. Das ist eineNorm und (B([a, b],R), ‖ · ‖∞) ist vollständig, vlg. Analysis I.

• R([a, b],R) = {f : [a, b]→ R | f Regelfunktion}. Nach Satz 5.11 ist (R([a, b],R), ‖ ·‖∞) vollständig.• C([a, b],R) = {f : [a, b]→ R | f stetig} ist ebenfalls vollständig, vlg Kapitel 4 →

Übungsaufgabe

Fazit: (B([a, b],R), ‖·‖∞), (R([a, b],R), ‖·‖∞) und (C([a, b],R), ‖·‖∞) sind Banachräume.

9.17. Definition

Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung h : V ×V → R, (u, v) 7→ h(u, v) heißtbilinear , falls für alle u, v, w ∈ V , r ∈ R gilt:

h(u+ v, w) = h(u,w) + h(v, w), h(u, v + w) = h(u, v) + h(u,w)

h(u · r, v) = h(u, v · r) = h(u, v) · r„h ist Bilinearform“.Falls h(u, v) = h(v, u) für alle u, v, so heißt h symmetrische Bilinearform.Falls weiter gilt: h(u, u) ≥ 0 für alle u ∈ V und h(u, u) = 0 ⇔ u = 0, dann heißt hinneres Produkt oder Skalarprodukt .

3 Später: Rn ist bzgl. jeder Norm vollständig.



Beispiel

V = Rn, A = (ai,j)ni,j≥1, n × n-Matrix, Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn

die Matrix A symmetrisch ist, aij = aji für alle i, j, d.h. wenn AT = A.

Beispiel

Die Einheitsmatrix E =

1 0. . .

0 1

= A

⇒n∑

i,j=1

uiaijvj =n∑i=1

uivi Standardskalarprodukt auf Rn

h(u, u) =n∑i=1

u2i ≥ 0,n∑i=1

u2i = 0 genau dann, wenn alle ui = 0. ⇒ Skalarprodukt.

9.18. Definition und Satz

Sei V ein reeller Vektorraum, sei h ein inneres Produkt / Skalarprodukt. Setze‖u‖ =

√h(u, u).

Behauptung

Das ist eine Norm auf V .Das Paar (V, h) heißt Prä-Hilbert-Raum4

Warum ist das eine Norm?

‖u‖ ≥ 0 und ‖u‖ = 0 genau dann, wenn u = 0. (X)‖u− r‖ =

√h(u− r, u− r) =

√h(u, u)r2 =

√h(u, u)|r| = ‖u‖ · |r|. (X)

Fehlt noch die Dreieckungleichung. Dazu benötige wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

9.19. Satz (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

Sei h ein inneres Produkt auf V . Dann gilt für alle u, v ∈ V

|h(u, v)| ≤√h(u, u) ·

√h(v, v)



Beweis, dass ‖u‖ =√h(u, u) die Dreiecksungleichung erfüllt

‖u+ v‖2 = h(u+ v, u+ v) = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2h(u, v)Cauchy−Schwarz−Ungleichung

≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖ ‖v‖ = (‖u‖+ ‖v‖)2

⇒ ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

9.20. Beispiel

Rn, h(u, v) =n∑i=1

uivi (Standard-Skalarprodukt)

Die zugehörige Norm ist eine l2-Norm, die euklidsche Norm

‖u‖2 =

√√√√ n∑i=1

u2i

Man nennt (Rn, ‖ · ‖2) einen (den) euklidschen Vektorraum.Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für den Rn besagt(

n∑i=1

uivi

)2

≤

(n∑i=1

u2i

)·

(n∑i=1

v2i

)

Klassische Formulierung: Es gilt im Rn

‖u‖1 ≥ ‖u‖2 ≥ ‖u‖∞ ≥1

n‖u‖1

Folgerung: Alle drei Normen liefern den selben Begriff von Konvergenz, Abgeschlossenheit,Cauchy-Folgen, etc.Insbesondere ist der Rn bzgl. aller drei Normen vollständig.

9.21. Definition

Ein Vektorraum mit innerem Produkt, der vollständig ist in der zugehörigen Normheißt Hilbert-Raum.

Beispiel

Rn ist Hilbert-Raum mit dem Standard-Skalarprodukt.Hilbert-Räume sind also spezielle Banach-Räume.



Beispiel

(Rn, ‖ · ‖1) Banach-Raum, aber kein Hilbert-Raum (es gibt keine Bilinearform zur ‖ · ‖1-Norm).

9.22. Beispiel (Der Hilbert-Raum l2(R))l2(R) ist die Menge aller reellen Folgen (an)n∈N, an ∈ R mit der Eigenschaft

n∑i=0

a2n <∞

Satz

l2(R) ist ein Hilbert-Raum mit innerem Produkt h(a, b) =∞∑i=1

aibi mit ai = (ai)i∈N, b =

(bi)i∈N.

Beispiel

l2(R), Folgen (an) ∈ R, h(a, b) =∞∑n=0

anbn. Wir hatten gezeigt, l2(R) ist ein Vektorraum.

Bleibt zu zeige l2(R) ist vollständig.Angenommen (aj)j∈J ist eine Cauchy-Folge in l2(R). Jedoch ist eine reelle Folge (ak,j)k∈N.Für jedes k ∈ N gilt

(ak,l − a2k,m ≤ ‖al − am‖22)

Folglich ist für jedes k ∈ N die Folge (ak,j)j∈J eine Cauchy-Folge.Sei also bk = lim

j∈Jak,j. Sei ε > 0 geben, sei n0 ∈ N, so dass

‖al − an‖22 ≤ ε2 ∀l,m ≥ n0

⇒n∑k=0

|ak,l − an,m|2 < ε ∀l,m ≥ n0

Grenzumgebung⇒n∑k=0

|bkan,m|2 ≤ ε ∀l,m ≥ n0

dabei ist n beliebig.Nun lassen wir n→∞ laufen. Es folgt

∞∑k=0

|bk − ak,m|2 ≤ ε ∀m ≥ n0

Insbesondere ist also b = (bk)k∈N ∈ l2(R) und die Folge (aj)j∈J konvergent gegen b.



9.23. Bemerkung

Nicht jede Norm kommt von einem inneren Produkt. Das kann man so sehen:‖u‖2 = h(u, u), so folgt:

h(u+ v, u+ v)︸︷︷︸‖u+v‖2

= h(u, u)︸︷︷︸‖u‖2

+h(v, v)︸︷︷︸‖v‖2

+2h(u, v)

=⇒ h(u, v) =1

2(‖u+ v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2)

d.h. aus der Norm kann man h gewinnen.Aber wenn man rechts zum Beispiel die l1-Norm auf R2 einsetzt, so ist die linke Seitekeine Bilinearform.


10. Stetigkeit

Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.

10.1. Definition (Stetigkeit)

Seien (X, dx), (Y, dy) metrische Räume, f : X → Y eine Abbildung.Wir sagen f ist stetig im Punkt x ∈ X genau dann, falls für jede Folge (xj)j∈J in Xmit Grenzwert limj∈Jxj = 0 gilt

limj∈Jf(xj) = f(x) = f(limj∈Jxj)

„f vertauscht mit Grenzwertbildung“Wenn f in jedem Punkt x ∈ X stetig ist, dann heißt f stetig. Wir setzen

C(X, Y ) = {f : X → Y | f ist stetig}

10.2. Beispiele

1. X ⊆ R, Y = R mit Standartmetrik auf R.f : X → Y ⇔ ist stetige Funktion Stetigkeit im Sinne von Analysis I.

2. Sei (V, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum.‖ · ‖ : V → R ist stetig.lim j ∈ Juj = u‖u‖ = ‖u− uj + uj‖ ≤ ‖u− uj‖+ ‖uj‖‖uj‖ = ‖uj − u+ u‖ ≤ ‖uj − u‖+ ‖u‖−‖uj‖ = −‖uj − u+ u‖ ≥ −‖uj − u‖ − ‖u‖| ‖u‖ − ‖uj‖ | ≤ ‖u− uj‖︸︷︷︸

→0 nach V orraussetzung

3. Sei (X, d) ein metrischer Raum, p ∈ X, f(x) = d(p, x), f : X → R ist stetig.

13

KAPITEL 10. STETIGKEIT

10.3. Definition (Lipschitz-Stetigkeit)

Seien (X, dx), (Y, dy) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt Lipschitz-Stetig wenn gilt:

∃L ≥ 0 : ∀u, v ∈ X : dx(f(u), f(u)) ≤ L · dx(u, v)

10.4. Satz

Seien X, Y, Z metrische Räume. Sei f : X → Y und g : Y → Z stetig. Dann ist g ◦ fstetig.

10.5. Beobachtung

Ist X metrischer Raum, so bildet C(X,R) = {f : X → R | f stetig} einen reellen Vektor-raum und einen Ring (eine reelle Algebra, vgl Beobachtung 4.3)

f, g ∈ C(X,R), v ∈ Rf + g : x 7→ f(x) + g(x)f · r : x 7→ f(x) · r

f · g : x 7→ f(x) · g(x)

sind stetig (10.1)

10.6. Satz (ε− δ-Kriterium der Stetigkeit)

Seien X, Y metrische Räume und f : X → Y eine Abbildung. Dann ist f stetig im Punktx ∈ X, wenn gilt

forallε > 0∃δ > 0, so dassdX(x, u) ≤ δ ⇒ dY (f(x), f(u)) ≤ ε

10.7. Beispiele

X = Y = R, f(x) = x2 ist stetig, aber nicht L-Stetig für ein L ≥ 0

|(x+ 1)2 − x2| = |2x+ 1| ≤ L(x+ 1− x) = L

1. X = Rn mit l1-, l2- oder l∞-Norm. Sei (t1, . . . , tn) ∈ Rn, sei f(v) =n∑k=1

fkvk, (f :



10.8. Satz

Es seien (V, ‖ · ‖V ) und (W, ‖ · ‖W ) normierte Vektorräume. Sei f : V → W linear. Dannsind äquivalent:

i) f ist stetig.

ii) f ist L-Lipschitzstetig für ein L ≥ 0

iii) Es gibt L ≥ 0, so dass für alle v ∈ V gilt ‖f(v)‖W ≤ L · ‖v‖V

10.9. Satz und Definition

Sei f : V → W stetige lineare Abbildung zwischen zwei normierten Vektorräumen.Definiere ‖f‖ := sup{‖f(v)‖W | v ∈ V, ‖v‖ ≤ 1} (Nach Satz (10.8) wohldefiniert,denn falls ‖v‖ ≤ 1⇒ ‖f(v)‖ ≤ L ‖v‖ ≤ L) heißt Operatornorm.Dann gilt ∀v ∈ V : ‖f(v)‖W ≤ ‖f‖ · ‖v‖V .

L(V,W ) = {f : V → W | f : V → W linear und stetig}Operatornorm ‖f‖ = sup {‖f(w)‖W | v ∈ V, ‖v‖V 6= 1}

Beispiel

V = Rn, W = R, f(v) =n∑i=1

tivi

L(Rn,R) ∼= Rn.Wie sieht die Operatornorm aus?

(Rn, ‖ · ‖1), ‖f‖ = sup

{∣∣∣∣ n∑i=1

tivi

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ‖v1‖+ . . .+ ‖vn‖ ≤ n

}= ‖t‖∞, dann

∣∣∣∣ n∑i=1

tivi

∣∣∣∣ ≤n∑i=1

|tivi| ≤ ‖t‖∞ · ‖vi‖1 ⇒ ‖f‖ ≤ ‖t‖∞.

Andere Abschätzung: Sei |t1| = ‖t‖∞, v = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) |f(v)| = |t1| = ‖t‖∞ und ‖V ‖1 = 1 ⇒ ‖f‖ ≥ ‖f‖∞, also ‖f‖ = ‖t‖∞.(Rn, ‖ · ‖∞) Operatornorm von f ist ‖f‖ = ‖t‖1.(Rn, ‖ · ‖1) Operatornorm von f ist ‖f‖ = ‖t‖2.

10.10. Satz

Seien (V, ‖ · ‖V ) und (W, ‖ · ‖W ) normierte Räume. Wenn W vollständig ist, dann istL(V,W ) vollständig bzgl. der Operatornorm.



10.11. Korollar (Spezialfall W = R)

Der Raum L(V,R) der stetigen Linearformen auf V (stetiger Dualraum von V ) ist immervollständig, wenn V ein normierter Vektorraum ist.

10.12. Beispiel

Eine unvollständige lineare Abbildung, V = {f : [0, 1]→ R | f ist Polynomfunktion} mit‖ · ‖∞-Norm. Betrachte D : V → D, f 7→ f ′. Diese Abbildung ist linear und unstetig.Betrachte fn(x) = xn ‖f‖∞ = 1. D(f) = f ′ = n · xn−1n · fn−1.‖D(fn)‖∞ = n. Also kann es kein L ≥ 0 geben mit ‖D(fn)‖∞ ≤ L ‖fn‖∞ = L → D istunstetig bzgl. ‖ · ‖∞-Norm.

10.13. Drei Lammata

Lemma A

Sei (V, ‖ · ‖V ) normierter Vektorraum, sei f : Rn → C linear. Dann ist f stetig bzgl. der‖ · ‖1-Norm auf Rn.

Lemma B

Sei ‖ · ‖ eine beliebige Norm auf Rn. Dann gibt es r > 0, so dass gilt: für alle v ∈ Rn mit‖v‖1 = 1 gilt ‖v‖ ≥ r.

Lemma C

Sei ‖ · ‖ eine beliebige Norm auf Rn. Dann ist (Rn, ‖ · ‖) id−→ (Rn, ‖ · ‖1) stetig.

10.14. Theorem („Hauptsatz über endlichdimensionalenormierte Räume“)

Seien (V, ‖ · ‖V ) und (W, ‖ · ‖W ) zwei normierte Vektorräume. Sei f : V → W linear. FallsV endliche Dimension hat, dann ist f automatisch stetig.Insbesondere sind alle linearen Abbildungen zwischen endlich dimensionalen normiertenVektorräumen stetig.




Sei V ein Vektorraummit zwei Normen ‖·‖a und ‖·‖b. Die Normen heißen äquivalent ,wenn es Konstruktoren r, s > 0 gibt, so dass für alle v ∈ V gilt

‖v‖a ≤ ‖v‖b · r und ‖v‖b ≤ ‖v‖a · s

Beispiel

Wir haben im BSP (9.20) in Rn gezeigt,

‖u‖1 ≥ ‖u‖2 ≥ ‖u‖∞ ≥1

n‖u‖1

Diese drei Normen auf Rn sind paarweise äquivalent.

Satz

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen auf V äquivalent.

Folgerung

Alle Normen auf Rn liefern den gleichen Konvergenzbegriff, die gleichen Cauchy-Folgenetc. Insbesondere ist jeder endlicher dimensionaler Vektorraum vollständig, d.h. ein Ba-nachraum ist.

10.16. Definition

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolgehat, so heißt X konvergent (oder: X hat die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft).

Beispiel

• Sei X = [a, b] ⊆ R, d(u, v) = |u− v|. Nach 2.21 ist also [a, b] kompakt.

• X = [0, 1] ∩ Q, d(u, v) = |u − v|. Ist nicht kompakt. Z.B. giibt es eine Folge in X,

die gegen1√2konvergiert und

1√2/∈ X

• X = R, d(u, v) = |u − v| ist nicht kompakt. Z.B. (xn)n∈N, xn = n. Jede Teilfolge(xj)j∈J ist unbeschränkt, denn jede unendliche Teilmenge J ⊆ N ist unbeschränkt.Also kann keine Teilfolge dieser Folgen konvergieren.



10.17. Satz

Sei (X, d) metrischer Raum, sei A ⊆ X Teilmenge. Wenn (A, d) kompakt ist, dann istA abgeschlossen in X und vollständig. Insbesondere ist jeder kompakt metrische Raumvollständig.

10.18. Satz

SeienX, Y metrische Räume, sei f : X → Y stetig. Wenn A ⊆ X eine kompakte Teilmengtist, dann ist f(A) komapakt

„Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt“

10.19. Satz (Bolzano-Weierstraß in mehrerenVariablen)

Sei V ein endlich dimensionaler normierter Vektorraum. Dann ist A ⊆ V kompakt, genaudann wenn A abgeschlossen in V ist und beschränkt (A ist beschränkt, falls es R > 0 gibt,mit BR(0) ⊇ A).1

10.20. Korollar

Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊆ X sei kompakt, f : X → R sei stetig. Dann nimmt fauf A ein Minimum und ein Maximum an, dh. es gibt a, b ∈ A, so dass für alle c ∈ A giltf(a) ≤ f(c) ≤ f(b).

Beispiele für kompakte Mengen in Rn

Die (n− 1)-Späre

$n−1 = {x ∈ Rn | ‖x‖2 = 1}$0 = {±1} ⊆ R$1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1}$2 = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 1}

Die Sphären $n sind alle kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt im Rm+1.

1 Umformulierung: Sei V eindlich dimensionaler Vektorraum. Dann ist A ⊆ V genau dann kompakt,wenn A abgeschlossen und beschränkt.



Dn = {x ∈ Rn | ‖x‖2 ≤ 1} n-dimensionale „Vollkugel“ (n-Ball oder n-Scheibe)allgemeiner: v ∈ Rn, r > 0.

Br(v) = {w ∈ Rn | ‖v − w‖2 ≤ r}

Vollkugel vom Radius r mit Mittelpunkt v.

Sind das ebenfalls kompakte Mengen?Der n-Würfel In = {x ∈ Rn | 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . . , n} ist ebenfalls kompakt.Nicht kompakt in Rn: z.B. ist jeder Untervektorraum V ⊆ Rn mit v 6= {0} nicht kompakt.Denn: wähle v ∈ V , v 6= 0, die Menge {v, 2v, 3v, . . .} ist unbeschränkt.

Fazit:

• lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen normierten Vektorräumen sindimmer stetig.• stetige lineare Abbildungen sind sogar Lipschitz-stetig.• Auf Rn sind alle Normen äquivalent, alle liefern den gleichen Konvergenzbegriff.• abschlossen und beschränkte Mengen im Rn haben die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft.

Im unendlich Dimensionalen gilt dies nicht.


Sei X eine Menge, f : X → X. Ein Punkt x ∈ X heißt Fixpunkt von f , wenn giltf(x) = x.

Viele Gleichungen lassen sich als Fixpunktgleichungen umschreiben. Man interessiert sichdann für die Existenz, Eindeutigkeit und die Berechnung von Fixpunkten.

Beispiel (Brouwers-Fixpunktsatz)

Ist f : Dm → Dm stetig, dann hat f mindestens einen Fixpunkt.Spezialfall m = 1: f : [−1, 1] → [−1, 1]. Zwischenwertsatz liefert einen Punkt x ∈ [−1, 1]mit f(x)x.

Beispiel

X = R

• f(x) = x2, zwei Fixpunkte: 0,1• g(x) = x+ 1 hat keinen Fixpunkt



Satz (Banachs Fixpunktsatz)

Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum, sei f : X → X Lipschitz-Stetig mit L < 1 (dh.für alle u, v ∈ X gilt d(f(u), f(v)) ≤ L · d(u, v)). Dann hat f genau einen Fixpunkt.

Bemerkung

Der Beweis liefert einen Algorithmus, den Fixpunkt näherungsweise zu berechnen, mitKontrolle über den Fehler. Wähle x0 ∈ X, iteriere f(xn) = xn+1. Diese Folge konvergiertgegen den Fixpunkt x und es gilt d(xn, x) ≤ Ln ·R 1

1−L . Dabei ist L die Lipschitz-Konstanteund R = d(x0, f(x0)).

(Gegen-)Beispiele:

X = R

• f(x) = x2 ist nicht Lipschitz-stetig.• g(x) = x+ 1 ist 1-Lipschitz-stetig

|g(u)− g(v)| = |(u+ 1)− (v + 1)| = |u− v|,

aber nicht L-Lipschitz-stetig für ein L < 1


11. Offene Mengen und Kurven

Ein offenes Intervall (a, b) ⊆ R hat folgende Eigenschaft: für jedes x ∈ (a, b) gibt es einε > 0, so dass (x− ε, x+ ε) ⊆ (a, b).

11.1. Definition

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Menge U ⊆ X heißt offen in X, wenn folgendes gilt:

∀x ∈ U∃ε > 0 : Bε(x) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} ⊆ U

Bemerkung

• Die leere Menge ist offen (in X)!• X ist offen in X.• Es gibt die Menge, die in X sowohl offen, als auch abgeschlossen sind (so genannte

„abgeschloffene Mengen“)• Es gibt Mengen in X, die weder offen noch abgeschlossen sind! z.B. Q ⊆ R ist nicht

offen oder abgeschlossen.

11.2. Satz über offene und abgeschlossene Mengen

Sei X metrischer Raum, sei U ⊆ X Teilmenge. Dann sind äquivalent

(i) U ⊆ X ist offen in X

(ii) X \ U = {x ∈ X | x /∈ U} ist abgeschlossen in X.

11.3. Beispiel

• Q ⊆ R ist weder abgeschlossen noch offen.• (X, d) metrischer Raum. Dann sind die Teilmengen ∅, X offen in X.• Br(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r} ist stets offen in X.• X = [0, 1] ∪ [2, 3]. X ist abgeschlossen in R.A = [0, 1] ⊆ X und U = x \ A = [2, 3] sind abgeschlossen in R und in X.Folgerung: In X sind A und U abgeschloffen.Vorsicht: [2, 3] ist offen in X = [0, 1] ∪ [2, 3], aber nicht in R.

23

KAPITEL 11. OFFENE MENGEN UND KURVEN

11.4. Satz

Sei (X, d) metrischer Raum. Dann sind beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnit-te von offenen Mengen in X wieder offen in X.

11.5. Satz

Seien (X, dX) und (Y, dY ) metrische Räume und sei f : X → Y eine Abbildung. Dannsind äquivalent:

i) f ist stetig.

ii) Für jede abgeschlossene Menge A ⊆ Y ist f−1(A) ⊆ X abgeschlossen.

iii) Für jede offene Menge U ⊆ Y ist f−1(U) ⊆ X offen.


Sei (X, d) ein metrischer Raum, sei Z ⊆ X beliebige Teilmenge. Der Abschluss vonZ in X ist

Z =⋂{A ⊆ X | A abgeschlossen in X und A ⊇ Z}

Diese Menge Z enthält Z, Z ⊇ Z und ist nach (9.12) abgeschlossen in X.Ist A ⊆ X abgeschlossene Menge und gilt Z ⊆ A, so folgt Z ⊆ A, dh. Z ist die kleinsteabgeschlossene Menge in X, die Z enthält.

Beispiele

• ∅ = ∅, X = X, allgemein: wenn A ⊆ X abgeschlossen ist, dann gilt A = A.• X = R, Z = Q Z = Q = R (weil jede reelle Zahl Grenzwert einer Folge in Q

ist).

• X = R, Z = (0, 1)ÜA Z = [0, 1].

Satz

Der Abschluss von Z in X besteht genau aus allen Grenzwerten von Folgen in Z, die (inX) konvergieren.



11.7. Satz

Seien (X, dX) und (Y, dY ) metrische Räume, f : X → Y eine Abbildung. Dann sindäquivalent:

(i) f ist stetig.

(ii) Für jede Teilmenge S ⊆ X gilt f(S) ⊆ f(S)

11.8. Definition

Eine Teilmente I ⊆ R heißt offenes Intervall , wenn sie von der Form

I = (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}I = (a,∞) = {x ∈ R | a < x}I = (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}I = (−∞,∞) = R

ist. In den letzten beiden Fällen spricht man manchmal von „unendlihen Intervallen“.Wenn I von der Form

I = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}I = [a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}I = (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}I = (−∞,∞) = R

ist, heißt I abgeschlossenes IntervallOffene / abgeschlossene Intervalle sind offen / abgeschlossen in R im Sinn der Defini-tion aus Kapitel 9 und 11.

Sei X ein metrischer Raum. Eine (stetige) Kurve in X ist eine stetige Abbildungc : I → X, wobei I ⊆ R ein offenes oder abgeschlossenes Intervall ist.

Beispiel

a) I = R, c : I → R stetige reelle Funktion.

b) X = V normierter Vektorraum, z.B. X = R2 mit ‖ · ‖2-Norm. Seien u, v ∈ V . c(t) =v · t+ u(1− t), t ∈ I = R, c(0) = u, c(1) = v.c(t) liegt auf der affinen Geraden durch u und v.



v

u

c(t)

-

6@@@@@@

Abbildung 11.1.: Beispiel

c) f : I → R stetige Abbildung, c(t) = (t, f(t)) ∈ R2 = X.Anschauliche Vorstellung: ein Punkt wandert - abhängig von der Zeit t - duch denRaum X zum Zeitpunkt t befindet der Punkt sich bei c(t) ∈ X.Was ist die „normierte Geschwindigkeit“ von c?Idee: t0 ∈ I fester Zeitpunkt. Vergeleicht c(t0+h)mit c(t0) für h klein. Wir interessierenuns für

1

h(c(t0 + h)− c(t0))

betrachte Übergang h→ 0. Damit diese Formel sinnvoll wird, nehmen wir an, dass Xein normierter Vektorraum ist.

11.9. Definition

Sei V ein normierter Vektorraum, sei I ⊆ R offenes Intervall, sei c : I → V eineKurve. Sei t0 ∈ I. Wir sagen c ist differenzierbar in t = t0 wenn gilt: es gibt einestetige Funktion p : (−ε, ε)→ V mit

p(h) =1

h(c(t0 + h)− c(t0)) ∀h 6= 0

Dabei ist ε > 0 so gewällt, dass (t0 − ε, t0 + ε) ⊆ I.Die Ableitung oder Geschwindigkeitsvektor in t0 ist dann

p(0) = „ limh→0

1

h(c(t0 + h) − c(t0))“. Diese Schreibweise bedeutet: für jede Nullfolge

(hj)j∈J , hj 6= 0, gilt limj∈J

1hj

(c(t0 + hj)− c(t0)) = p(0). Man sieht dann ◦c(t0) = p(0) =

limh→0

1h(c(t0 + h)− c(t0)). Das ist wieder ein Vektor, ◦c(t0) ∈ V , der Geschwindigkeits-

vektor oder Tangentialvektor der Kurve c zum Zeitpunkt t0.Wenn c in jedem t0 ∈ I differentierbar ist, heißt c differenzierbare Kurve. Wenn dieKurve ◦c : t 7→ ◦

c(t) stetig ist, heißt c stetig differenzierbare Kurve oder C1-Kurve.



Beispiel

Wie vorher u, v ∈ V , c(t) = v · t+ u · (1− t). c(t0 + h)− c(t0) = v · (��t0 + h−��t0) + u(�1−��t0 − h− �1 +��t0) = (v − u) · h p(h) = v − u = const ist stetig in h = 0. Diese Kurve istC1-Kurve, ◦c(t0) = v − u für alle t0 ∈ I. Die Geschwindkeit ist konstant.

11.10. Satz

Ist V = Rn (mit beliebiger Norm), c : I → Rn Kurve, c(t) = (c1(t, c2(t), . . . , cn(t)), dannist c differenzierbar1 in t0 genau dann, wenn die n reellen Funktionen c1, . . . , cn es sind.Für die Geschwindkeit gilt dann

◦c(t0) = (c′1(t0), . . . , c

′n(t0))

Beispiel

V = R3, I = R, c(t) = (cos(t), sin(t), t). Geschwindigkeit

Geschwindigkeit :◦c(t) = (− sin(t), cos(t), 1)

ZweiteAbleitung :◦◦c = (− cos(t),− sin(t), 0)

Die zweite Ableitung einer (zweimal differenzierbaren) Kurve ist die Beschleunigung (mo-mentane Änderung der Geschwindigkeit).2

11.11. Rechenregeln für Kurven und ihre Ableitungen

(i) Sind c, d : I → V differenzierbare Kurven, so ist c+d : t 7→ c(t)+d(t) differenzierbar

mit◦

c+ d =◦c+

◦d.

(ii) Sind c : I → V differenzierbare Kurve, f : I → R differenzierbare Funktion, so ist

c · f : t 7→ c(t) · f(t) differenzierbar und◦

c · f =◦cf + cf ′

(iii) Sind I1, I2 offene Intervalle, f : I1 → I2 differenzierbare Funktion, c : I → V

differenzierbare Kurve, so ist c◦f : t 7→ c(f(t)) differenzierbar und◦

c ◦ f = (◦c◦f)+f ′.

Beachte den Unterschied zwischen (ii) und (iii).

(iv) Ist c : I → V differenzierbare Kurve, f : V → W linear und stetig, so ist f ◦ c :

t 7→ f(c(t)) differenzierbar mit◦

c ◦ f = f ◦ ◦c.1 oft auch nur diff’bar2 Die Größe von

◦◦c ist ein Maß der Krümmung der Kurve. Genauer der Anteil von

◦◦c senkrecht zu

◦c ist

die Krümmung.



11.12. Definition

Ist c : [a, b] → C stetige Kurve und sei c auf (a, b) differenzierbar. Wir sagen, c istauf [a, b] differenzierbar, wenn es ε > 0 gibt und wenn sich c auf das offene Intervall(a− ε, b+ ε) differenzierbar fortsetzen lässt.

11.13. Definition

Sei c : [a, b]→ V stetig differenzierbar. Die Länge der Kurve c ist

L(c) =

b∫a

∥∥∥◦c(t)∥∥∥ dt

„Physikalische Interpretation“

Wir integrieren die Geschwindigkeit über dem Zeitraum der Bewegung auf und erhaltenso die zurückgelegte Strecke.

Beispiel

u, v ∈ V fest gewählt, c(t) = v(1− t) + u(t), ◦c(t) = u− v1∫

0

∥∥∥◦c(t)∥∥∥ dt = 1∫0

‖u− v‖ dt = ‖u− v‖

Das ist genau der Abstand von u und v.

Satz (Umprarametrisierung von Kurven)

Sei c : [a, b] → V stetig differenzierbare Kurve. Sei f : [a, b] → [a, b] bijektiv, monotonsteigend und stetig differenzierbar.

L(c) = L(c ◦ f)

Erinnerung an die Analysis 1

f : (a, b)→ R differenzierbar in t ∈ (a, b).Bedeutet: es gibt eine stetige Funktion p : (−ε, ε)→ R mit

p(h) = (f(t+ h)− f(t)) 1h

(11.1)



Für h = 0 und p(0) liefert genau die Ableitung f ′(t) = p(0) = limh→0

(f(t+ h)− f(t)) 1h.

Wir schreiben (11.1) um: p(h) · h = f(t+ h)− f(t)

(p(h)− p(0)) · h+ f ′(t)h = f(t+ h)− f(t)λ(h) · |h|+ f ′(t)h = f(t+ h)− f(t)

λ(h) =

{p(h)− p(0) falls h ≥ 0 λ(0) = 0 und−(p(h)− p(0)) falls h < 0 λ ist stetig auf (−ε, ε)

11.14. Definition

Sei (V, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum und sei U ⊆ V offen. Sei f : U → R stetig.Sei u ∈ U . Wähle ε > 0 so, dass Bε ⊆ U . Wir sagen, f ist differenzierbar in u, wenngilt:

f(t+ h)− f(t) = λ(h) · ‖h‖+ g(h)

Dabei soll g : V → R linear und stetig sein, λ : Bε(0)→ R sei stetig und λ(0) = 0.

Interpretation der Gleichung

g ist lineare Approximation für die Differenz f(t+ h)− f(t).

Lemma

Die Bedingungen liegen die lineare Abbildung g eindeutig fest.Wir schreiben

g = df(u) : V → R

und nennen df(u) die Ableitung oder das Differential von f im Punkt u.

Erinnerung

L(V,R) = {g : V → R | g linear und stetig } ist der Dualraum von V , L(V,R) = V ∗.Also ist df(u) ein Element von V ∗.Wenn f in jedem Punkt u ∈ U differenzierbar ist, heißt f differenzierbar auf U . Dannist u 7→ df(u) eine Abbildung U → V ∗. Falls diese Abbildung stetig ist, heißt f stetigdifferenzierbar auf U .

Erinnerung

Die Norm auf V ∗ ist die Operatornorm ‖df(u)‖ = sup {|df(u)(v)| | v ∈ V, ‖v‖ ≤ 1}. Esgilt |df(u)(v)| ≤ ‖df(u)‖ · ‖v‖.



Beispiel

V = R, U = (a, b) offenes Intervall, f : (a, b) → R, t ∈ (a, b) Ableitung f ′(t) ist relleZahl. Die zugehörige lineare Abbildung ist

df(t)(v) = f ′(t) · v, v ∈ R

d.h. df(t) = [v 7→ f ′(t)v].

11.15. Satz

Sei V normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, sei f : U → R (stetig) differenzierbar. Seic : (a, b)→ U ⊆ V eine (stetig) differenzierbare Kurve. Dann ist f ◦ c : (a, b)→ R (stetig)differenzierbar und (f ◦ c)′(t) = df(c(t))(

◦c(t)).

11.16. Wichtige Spezialfälle dieser Rechnung

c(t) = u+ v · t, u ∈ U ⊆ V , v ∈ V , ◦c(0) = vIst f : U → R (stetig) differenzierbar, ergibt sich

(f ◦ c)′(0) = df(u)(v) = Dvf(u) Richtungsableitung

von f in Richtung v (am Punkt u ∈ U).

Dvf(u) = limt→∞

f(u+ vt)− f(u)t

Noch spezieller: V = Rn mit Standard-Basis e1, . . . , en, ek = (0, . . . , 0, 1k−te Stelle

, 0, . . . 0)

df(u)(ek) = Dekf(u) =∂f

∂xk(u) k−te partielle Ableitung von f = lim

t→0

f(u+ ekt)− f(u)t

11.17. Beispiel

V = U = R3, u = (u1, u2, u3), f(u) = u21 − u1u2 + u23

f(u+ h)− f(u) = (u1 + h1)2 − u21 − (u1 + h1)(u2 + h2) + u1u2 + (u3 + h3)

2 − u23= 2u1h1 + h21 − u2h1 − u1h2 − h1h2 + 2u3 + h23= 2u1h1 − u2h1 − u1h2 + 2u3h1︸︷︷︸

df(u)(h)

+ h21 − h1h2 + h23︸︷︷︸λ(h)·‖h‖



Problem mit dem hinteren Term!Wenn das richtig ist, erhalten wir

∂f

∂x1(u) = 2u1 − u2

∂f

∂x2(u) = −u1

∂f

∂x3(u) = 2u3

11.18. Satz

Sei V ein normierter Vektorraum, sei U ⊆ V offen. Sei

C1(U,R) = {f : U → R | f ist stetig differenzierbar }

Dann ist C1(U,R) ein Vektorraum und Ring.Dabei gilt für f, g ∈ C1(U,R) und r ∈ R

d(f + g)(u) = df(u) + dg(u)

d(r · f)(u) = r · df(u)d(f · g)(u) = f(u) · dg(u) + g(u) · df(u)

11.19. Definition und Lemma

Ist V ein normierter Vektorraum, α : V → R linear un dstetig. Dann ist α stetigdifferenzierbar mit

dα(u)(v) = α(v) ∀u, v ∈ V

Im Rn = V stetze xk(u) = uk, u = (u1, . . . , un) ∈ Rn für k = 1, . . . , n. Damit istxk : Rn → R linear. Man nennt die xk „Koordinatenfunktion“. Ihre Differentiale sindalso die Ableitungen

dxk(u)(v) = vk v = (v1, . . . , vn)

Lemma

Ist U ⊆ Rn offen, f ∈ C1(U,R), so gilt

df(u) =∂f

∂x1(u)dx1 +

∂f

∂x2(u)dx2 + · · ·+

∂f

∂xn(u)dxn



Beispiel

Jetzt rechnen wir Beispiel (11.17) nochmal. f : Rn → R; f(u) = f(u1, u2, u3) = u21 −u1u2 + u23

f(u) = x1(u)2 − x1(u)x2(u) + x3(u)

2

=⇒ df(u) = 2x1(u)dx1 − x1(u)dx2 − x2(u)dx2 + 2x3(u)dx3

= 2u1dx1 − u1dx2 − u2dx1 + 2u3dx3

Weiter folgt aus dem Lemma:

∂f

∂x1(u) = 2u1 − u2

∂f

∂x2(u) = −u1

∂f

∂xn(u) = 2u3

11.20. Definition (Gradient einer reellen Funktion)

Ist U ⊆ Rn offen und f : U → R (stetig) differenzierbar, so heißt der Vektor

∇f(u) = (∂f

∂x1)(u), . . . ,

∂f

∂xn(u))

der Gradient von f in U .

Zum Beispiel f(u) = u21 − u1u2 + u23

∇f(n) = (2u1 − u2,−u1, 2u3)

Erinnerung

Auf Rn ist 〈u, v〉 = u1v1 + . . . unvn, u, v ∈ Rn das Standardskalarprodukt .Damit gilt:

df(u)(v) = < ∇f, v >

df(u)(v) =∂f

∂x1(u) dx1(v)︸︷︷︸

=v1

+ · · ·+ ∂f

∂xn(u) dxn(v)︸︷︷︸

vn

= 〈∇f(u), v〉



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

Abbildung 11.2.: Die Niveaulinen

Beispiel

V = U = R2 f(u1, u2) = cos(u21 + u22) Die Kettenregel gilt (nächstes Kapitel). U ⊆ Voffen, f : U → R differenzierbar.Ist nun g : R→ R auch differenzierbar, so gilt

d(g ◦ f)(u) = g′f((u))df(u)

Für f(u1, u2) = cos(u21, u22) erhalten wir

df(u1, u2) = − sin(u21 + u22)(2u1dx1 + 2u2dx2

11.21. Theorem

Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R stetig. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

(i) f ist stetig differenzierbar.

(ii) ∀u ∈ U∃ ∂f∂xk

(u) := lim t→ 0f(u+ek·t)−f(u)t

k = 1, . . . , n und diese n Funktionen∂f

∂xksind stetig auf U .

Wenn (i) oder (ii) gilt, ist df(u) =n∑k=1

∂f

∂xk(u)dxk

11.22. Definition



Sei X ein metrischer Raum, f : X → R eine reelle Funktion. Wir sagen, f hat einMaximum (bzw. Minimum), im Punkt x ∈ X, falls f(y) ≤ f(x) (bzw f(y) ≥ f(x))∀y ∈ X gilt.Ist f(y) < f(x) (bzw f(y) > f(x)) ∀y 6= x, so hatf in x ein striktes Maximum (bzw.Minimum).Wenn f in x ein Maximum (bzw. Minimum) auf Bε(x) hat, für ε > 0, so spricht manvon einem lokalen Maximum (bzw. Minimum).

11.23. Satz

Sei V ein normierter Vektorraum, U ⊆ V offen und f : U → R stetig differenzierbar.Wenn f in u ein (lokales) Extremum hat, dann gilt df(u) = 0.

11.24. Beispiele

a) U = V = R2, f(u1, u2) = u21 + u22Partielle Ableitungen:

∂f

∂x1(u) = 2u1

∂f

∂x2(u) = 2u2

df(u) = 2u1dx12u2dx2

df(u) = 0 ⇔ u1 = u2

f ∈ C1

b) U = V = R2, f(u1, u2) = cos(u21 + u22) (Abbildungen 11.2)



∂f

∂x1(u) = − sin(u21 + u22)2u1

∂f

∂x2(u) = − sin(u21 + u22)2u2

df(u) = −2 · sin(u21 + u22)(u1dx1 + u2dx2)

df(u) = 0 ⇔ u21 + u22 = k · π, k ∈ Z

Diese Punkte bilden konzentrische Kreise um (0, 0) mit Radius r =√kπ, k ∈ N

Ein Punkt u ∈ U heißt kritischer Punkt der differenzierbaren Funktion f , falls giltdf(u) = 0.

c) U = V = R2, f(u1, u2) = u21 − u22

df(u) = 2u1dx1 − 2u2dx2

kritischer Punkt in (0, 0)

f(0, 0) = 0

f(ε, 0) = ε2 > 0

f(0, ε) = −ε2 < 0

f hat in (0, 0) kein lokales Extremum.

Fazit

Kritische Punkte sind Kandidaten für lokale Extrema.Aus df(u) = 0 folgt noch nicht, dass ein Extremum vorliegt.



Erinnerung an Analysis I

f′(t) = 0 ∧ f ′′

(t) < 0⇒ lokales Maximum liegt vor.Wenn wir das verallgemeinern wollen auf Funktionen f : U → R müssen wir vektorwertigeFunktionen ableiten können, wie zum Beispiel

df : U → L(V,R)

Was bedeutet dann aber „f ′′ > 0“ oder „f ′′ < 0“?


12. Differentialgleichung inVektorräumen

12.1. Definition

Seien V,W normierte Vektorräume, U ⊆ V offen, f : U → W stetig. Sei u ∈ U .f heißt differenzierbar in U , falls ex ε > 0 gibt mit Bε(u) = U und eine stetigeAbbildung λ : Bε(0) → w mit λ(0) = 0 und stetige lineare Abbildung g : V → Wgibt, so dass für alle h ∈ Bε ⊆ V gilt:

f(u+ h)− f(u) = g(h)︸︷︷︸linear Approx.

+ λ(h) ‖h‖︸︷︷︸„Fehler“

g ist hierdurch eindeutig bestimmt. g = Df(u). Falls f in jedem u ∈ U differenzierbaristm so heißt f differenzierbar. Das liefert die Abbildung

Df : U → L(V,W )

L(V,W ) ist normiert (Operatornorm). Falls Df stetig ist, so heißt f stetig differen-zierbar .

12.2. Einordnung

1. f : (a, b)→ R differenzierbart ∈ (a, b)⇒ f ′(t) ∈ R; Df : (a, b)→ L(R,R) = RDf(t)(x) = f ′(t) · x

2. c : (a, b)→ W Kurvet ∈ (a, b), ◦c(t) ∈ W , W = RDc : (a, b)→ L(R,W ) = W

Dc(t) : R→ W , x 7→ x · ◦c(t)

3. U ⊆ V offen, f : U → R = WDifferential df(u) : V → R linearDf(u) = df(u)

37

KAPITEL 12. DIFFERENTIALGLEICHUNG IN VEKTORRÄUMEN

12.3. Beispiel

Sei f : V → W linear und stetig. ⇒ für alle u ∈ V ist Df(u) = f .

12.4. Beispiel

V = W = C([0, 1],R) mit ‖ · ‖∞(u ∈ V, ‖u‖∞ = sup{|u(t)| : t ∈ [0, 1]}), f : V → V ,f(u) = u2, f(u)(t) = u(t) · u(t), ∀t ∈ [0, 1]stetig, denn ‖u2‖∞ = ‖u‖2∞f(u+ h)− f(u) = (u+ h)2 − u2 = 2uh+ h2.

Sezte λ(h) ={h2 · 1

‖h‖∞, h 6= 0

0, sonststetig.

ZZ : λ(h)→ 0 für h→ 0.

‖λ(h)‖∞ =

∥∥∥∥ h2

‖h‖∞

∥∥∥∥∞

= ‖h‖∞ X

Daher f(u+ h)− f(u) = 2uh+ h2 = 2uhg(h) linear

+ λ(h) ‖h‖∞⇒ Df(u) = V → V ; h 7→ 2u.

12.5. Satz

Seien V,W normierte Vektorräume. U ⊆ V offen. Falls f, g : U → W differenzierbar inu ∈ U und r ∈ R, so sind auch (f + g) und (rf) differenzierbar mit

D(f + g)(u) = Df(u) +Dg(u)

D(rf)(u) = rDf(u)

Daher ist C1(U,W ) = {f : U → W | f stetig differenzierbar} ein Vektorraum,

12.6. Satz

Ist U ⊆ Rn offen, f : U → Rm stetig. Schreibe f(u1, . . . , un) = (f1(u1, . . . , un), . . . , fn(u1, . . . , un)).Die Funktion f ist stetig dfiferenzierbar genaz dann, wenn alle Funktionen fk : U → R essind.

12.7. Korollar

Ist U ⊆ Rn offen, f : U → Rm stetig, so ist f genau dann stetig differenzierbar, wenn dieAbleitungen

∂fk∂xl

(u) = limt→0

fk(u+ elt)− fk(u)t



existieren und stetige Funktionen∂fk∂xl

bilden, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n.

12.8. Kettenregel

Seien X, Y, Z normierte Vektorräume. Sei U ⊆ X offen, V ⊆ Y offen und seien f : U → Vund g : V → Z (stetig) differenzierbar. Dann ist g ◦ f : U → Z (stetig) differenzierbarund es gilt D(g ◦ f)(u) = (Dg)(f(u)) ◦Df(u).

12.9. Höhere Ableitungen

Ist U ⊆ V offen, V,W normierte Vektorräume, f : U → W eine stetige differenzierbareAbbildung. Df : U → L(V,W ); u 7→ Df(u).Ist diese Abbildung ihrerseits wieder differenzierbar, so erhalten wir in u ∈ U D(Df)(u) ∈L(V,L(V,W )). Für v, v′ ∈ V erhalten wir einen Vektor w ∈ W

D(Df)(u)(v)(v′) = w

Man schreibt D(Df) =: D2f , D(D(Df)) =: D3f , . . .Das sind Abbildungen von U nach L(V,L(V,W )), L(L(V,L(V,W ))) usw.Die k-mal stetig differenzierbare Funktionenen von U nach W bilden einen VektorraumCk(U,W ). Der Durchschnitt

⋂k=1

Ck(U,W ) = C∞(U,W ) heißt Raum der glatten Funktio-nen.

Wir betrachten die 2. Ableitunge D2f(u) genauer: Wir können D2f(u) als AbbildungV × V → W betrachten, (v, v′) 7→ D2f(u)(v)(v′) = w. Diese Abbildung ist linear in v′

und in v. D2f(u) ist eine bilineare Abbildung V × V → W .

12.10. Beispiel

V = W = R, U = (a, b) ⊆ R, f : U → R C2-Funktion, 1. Ableitung f ′(t) ∈ R,f ′′(t) ∈ R.Für v, v′ ∈ V = R ist Df(t) = [v 7→ f ′(t) · v] ∈ L(R,R) und D2f(t) : R × R → R[(v, v′) 7→ f ′′(t) · v · v′]︸︷︷︸

bilineare Abbildung

∈ L(R,L(R,R))

12.11. Die Hesse-Matrix

Sei U ⊆ Rn, f : U → R, C2-Funktion.

∇f(u) =(∂f

∂xn(u), . . . ,

∂f

∂xn(u)

)= (g1, . . . , gn)



Df(u)(v) =n∑k=1

∂f

∂xk(u)vk

D2f(u)(v, w) =n∑

k,l=1

∂

∂xl

∂f

∂xk(u)vkwl

=n∑

k,l=1

∂2f

∂xl∂xk(u)vk, wl

v = (v1, . . . , vn)

w = (w1, . . . , wn)

Die Hesse-Matrix von f ist die n× n-Matrix

Hf(u) =

∂2f

∂x1∂x1(u) · · · ∂2f

∂x1∂xn(u)

......

∂2f

∂xn∂x1(u) · · · ∂2f

∂xn∂xn(u)

Dann gilt D2f(u)(v, w) = (w1, . . . , wn) ·Hf(u) ·

v1...vn

∈ R.

12.12. Beispiel

a) f(u1, u2) = u21 + u22

∇f(u) = (2u1, 2u2),∂f

∂x1(u) = 2u1,

∂f

∂x2(u) = 2u2

Hf(u) =

(2 00 2

)b) f(u1, u2) = u21 − u22∇f(u) = (2u1,−2u2),

∂f

∂x1(u) = 2u1,

∂f

∂x2(u) = −2u2

Hf(u) =

(2 00 −2

)c) f(u1, u2) = u21 + u1u2 − u22∇f(u) = (2u1 + u2,−2u2 + u1)

Hf(u) =

(2 11 −2

)



12.13. Lemma

Sei r > 0, U := {(u1, u2) ∈ R2 : |u1| < r und |u2| < r} ⊆ R2, f : U → R C2-Funktion.Dann gilt

∂2f

∂x1∂x2(0, 0) =

∂2f

∂x2∂x1(0, 0)

12.14. Theorem (Satz von Schwarz)

Sei V normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, f : U → R ∈ C2. Dann gilt für alle u ∈ U ,v1, v2 ∈ V : D2f(u)(v1, v2) = D2f(u)(v2, v1).

Korollar

U ⊆ Rn offen, f : U → R ∈ C2 ⇒ ∀u ∈ U ist Hf(u) symmetrisch.

12.15. Anwendung (Potentiale)

Falls U ⊆ Rn offen, f : U → R ∈ C2, dann ∇f : U → Rn ∈ C1 „Vektorfeld“.Umgekehrt: Gegeben g : U → Rn ∈ C1. Gibt es dann „Umkehrfunktion“ f : U → R mit∇f = g.

Beispiel

g(u1, u2) = (u1, 2u1u2)

h(u1, u2) = (u21, 2u1u2)

Falls ein f existiert, so gilt

∂f

∂x1∂x2(u) =

∂2f

∂x2∂x1(u)⇒ ∂gi

∂xj(u) =

∂gj∂xi

(u)

Im Beispiel∂g1∂x2

(u) = 0,∂g2∂x1

(u) = 2u2,∂h1∂x2

= 2u2,∂h2∂x1

(u) = 2u2 X

Hier kann es eine Stammfunktion geben

f(u1, u2) = u1u22

Satz

Sei U ⊆ Rn offen, g : U → Rn ∈ C1. Ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer

Stammfunktion f : U → R (d.h. ∇f = g) ist das∂gi∂xj

(u) =∂gjxi

(u) für alle u ∈ U und

i 6= j, i, j ≤ n.



Bemerkung

Ob die Bedingung hinreichend ist hängend von der Gestalt von U ab. Für U = Br(u0).Zum Beispiel ist die Bedingung hinreichend.

Bemerkung

In R3 definiere für C1-Funktion g : R3 → R3 die Rotation

rot(g) =

∂g3∂x2− ∂g2∂x3

∂g1∂x3− ∂g3∂x1

∂g2∂x1− ∂g1∂x2

(„rot(g) = ∇xg“)

Die notwendige Bedingung lautet dann:

g = ∇f ⇒ rot(g) = 0

Das führt in der sogenannten klassischen Vektoranalysis. Der moderne Blickwinkel ist es,sogenannte Differentialformen zu Betrachten → Analysis IV.


13. Lokale Extrema reellerFunktionen

13.1. Lemma

Sei r > 0, ϕ : (−r, r)→ R ∈ C2. Dann

ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ′(0)t+

t∫0

ϕ′′(s)(t− s)ds

Korollar

Falls ϕ′(0) = 0 und ϕ′′(0) < 0, so hat ϕ in t = 0 ein lokales Maximum

Korollar

Falls ϕ in t = 0 ein Maximum hat, so folgt ϕ′(0) = 0 und ϕ(0) ≤ 0. (Denn, falls ϕ′′(0) >läge ein Minimum vor.)

13.2. Satz

Sei V normierter Vektorraum. U ⊆ V offen, f : U → R C2-Funktion, die im Punkt u ∈ Uein lokales Maximum (bzw. Minimum) hat. Dann gilt df(u) = 0 und für alle v ∈ VD2f(u)(v, v) ≤ 0 (bzw ≥ 0).

13.3. Beispiel

f : R2 → R2, f(u1, u2) = u21 − u22. Hf(u) =(2 00 −2

), ∀u ∈ R2.

u = (0, 0) ist der einzige kritische Punkt. Nach Satz 13.2 kein Extrempunkt, dennHf(0)(e1, e2) = 2 > 0 und Hf(0)(e2, e2) = −2 < 0.

43

KAPITEL 13. LOKALE EXTREMA REELLER FUNKTIONEN

13.4. Satz

V normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, f : U → R C2-Funktion, u ∈ U kritischer Punkt,d.h. df(u) = 0. Wenn es ein δ > 0 gibt, so dass D2f(u)(v, v) ≤ −δ, ∀v ∈ V mit ‖v‖ = 1,dann hat f in u ein lokales Maximum.

13.5. Lemma

Ist V endlich dimensionaler normierter Vektorraum f : U → R ∈ C2 (U ⊆ V offen) undgilt für ein u ∈ U D2f(u)(v, v) < 0 ∀v ∈ V mit v 6= 0, dann gibt es δ > 0, so dassD2f(u)(v, v) ≤ −δ ∀v ∈ V mit ‖v‖ = 1.

13.6. Satz

Sei V endlich dimensional normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, f : U → R C2-Funktion,u ∈ U kritischer Punkt. Wenn für alle v ∈ V mit v 6= 0 gilt D2f(u)(v, v) < 0, so hat f inu ein striktes lokales Maximum.

13.7. Definition

Sei V ein (endlicher) R-Vektorraum. Eine symmtrische Bilinearform h : V ×V → Rheißt positiv definit , wenn h(v, v) > 0 ∀v ∈ V mit v 6= 0. Positiv semidefinit heißth(v, v) ≥ 0 ∀v ∈ V .Entsprechend negativ definit , bzw. negativ semidefinit

Zusammenfassung

Sei u kritischer Punkt. Dann ist „D2f(u) negativ definit“ hinreiches Kriterium für lokalesMaximum. „D2f(u) negativ semidefinit“ notwendiges Kriterium.Entsprechend für „positiv . . . “ und Minimum.

Beispiel

U = R2, f(u1, u2) = cosh(u1) + sin(u2)1

1 cosh(t) = 12 (e

t + e−t), sinh(t) = 12 (e

t − e−t)



13.8. Satz

Sei h eine symmetrische Bilinearform auf Rn, sei 〈·, ·〉 das Standardskalarprodukt, 〈v, w〉 =n∑k=1

vkwk. Dann gibt es eine Orthonormalbasis b1, . . . , bn des Rn (d.h. 〈bk, bl〉 ={1 k = l0 k 6= l

)

und Zahlen d1, . . . , dn, so dass h(bk, bl) ={dk k = l0 k 6= l

. Man sagt: h, 〈·, ·〉 sind gleichzeitig

diagonalisierbar. Offensichtlich ist h genau dann positiv definit (semidefinit), wenn alledi > 0 (di ≥ 0) sind.


14. Integration, Satz vom lokalenInversen, Taylorentwicklung

14.1. Definition

Sei V ein Banachraum. Eine Abbildung c : [a, b] → V heißt beschränkt , wennc([a, b]) ⊆ V beschränkt ist, dh. wenn es r > 0 mit ‖c(t)‖ ≤ r für alle t ∈ [a, b] gibt.Sei B([a, b], V ) = {c : [a, b]→ V | c beschränkt }. Das ist ein reeller Vektorraum undnormiert durch

‖c‖∞ := sup{‖c(t)‖ | t ∈ [a, b]}

14.2. Satz

B([a, b], V ) ist vollständig bzgl. ‖ · ‖∞ und C([a, b], V ) = {c : [a, b]→ V | c stetig } ist einabgeschlossener (und deswegen vollständiger) Unterraum.

14.3. Definition

Sei V ein Banachraum. Eine Funktion c : [a, b] → V heißt Stufenfunktion, wennes eine Zerlegung Z = {a = a0 < . . . < ak = b} gibt, so dass c auf den Teilstücken(aj, aj+1) konstant ist.Klar: die Stufenfunktionen bilden einen Untervektorraum Step([a, b], V ). vonB([a, b], V ).Eine Regelfunktion ist eine beschränkte Funktion c : [a, b] → V , die ein Grenzwerteiner Folge von Stufenfunktionen ist (bzw. ‖ · ‖∞). Mit anderen Worten: Die Regel-funktionen sind der Abschluss von Step([a, b], V ) in B([a, b], V ). Schreibe

R([a, b], V ) = {c : [a, b]→ V | c Regelfunktion } = Step([a, b], V )

47

KAPITEL 14. INTEGRATION, SATZ VOM LOKALEN INVERSEN,TAYLORENTWICKLUNG

14.4. Satz

Es gilt C([a, b], V ) ⊆ R([a, b], V ), jede stetige Funktion ist eine Regelfunktion.

14.5. Definition

Sei Z = {a = a0 < . . . < an = b} und sei c eine Stufenfunktion zu Z, c(t) = cj fallsaj < t < aj+1. Setze

b∫a

c(t)dt :=n−1∑j=0

cj · (aj+1 − aj)

Kurze Überlegung

Wenn man die Zerlegung Z verfeinert (metrische Stützstellen) ändert sich am Ergebnisder Summe nichts. Also hängt das Ergebnis gar nicht von der Zerlegung ab.

Weiter ist Step([a, b], V )→ V , c 7→b∫a

c(t)dt offensichtlich linear und Lipschitz-stetig.∥∥∥∥∥∥b∫

a

c(t)dt

∥∥∥∥∥∥ ≤n−1∑j=0

‖cj‖︸︷︷︸≤‖c‖∞

(aj+1 − aj) ≤ ‖c‖∞ (b− a)

Ist c ∈ R([a, b], V ) und (cn)n∈J eine Folge von Stufenfunktionen mit limn∈J‖c− cn‖∞ = 0,

so ist (cn)n∈J eine Cauchy-Folge, also istb∫a

cn(t)dt eine Cauchyfolge in V .

Wir definierenb∫a

c(t)dt = limn∈J

b∫a

cn(t)dt

Das geht, weil V ein Banachraum ist.Die linke Seite hängt nicht von der gewählten Funktion cn ab: Ist c̃ ∈ Step([a, b], V ) mit‖c̃− c‖∞ ≤ ε, so ist ‖cn − c̃‖ ≤ 2 · ε für alle hinreichend großen n ∈ J .

Es folgt∥∥∫ c̃(t)dt− ∫ cn(t)dt∥∥ ≤ 2 · ε(b − a), also

∥∥∥∥ b∫a

c̃(t)dt−b∫a

c(t)dt

∥∥∥∥ ≤ 2ε(b − a). Das

zeigt, dass das Integral nur von c abhängt und nicht von der gewählten Funktion (cn)n∈J .

Fazit

Die Abbildung c 7→b∫a

c(t)dt ist eine Lipschitz-stetige lineare Abbildung R([a, b], V )→ V ,∥∥∥∥ b∫a

c(t)dt

∥∥∥∥ ≤ b∫a

‖c(t)‖ dt ≤ ‖c‖∞ (b− a).



14.6. Lemma

Seien V,W Banachräume, F : V → W linear und stetig, c : [a, b]→ V eine Regelfunktion.

Dann ist F ◦ c : [a, b]→ W Regelfunktion undb∫a

F (c(t))dt = F

(b∫a

c(t)dt

).

14.7. Satz

Ist c : [a, b]→ V stetig, t0 ∈ [a, b], so ist f(t) :=t∫t0

c(s)ds eine C1-Kurve und◦f(t) = c(t).

Folgerung

Ist c : [a, b]→ V eine C1-Funktion, so gilt c(v)− c(u) =v∫u

◦c(s)ds für alle u, v ∈ [a, b].

14.8. Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung inVektorräumen)

Seien V,W Banachräume. U ⊆ V offen, sei f : U → W eine C1-Funktion. Sei u ∈ U undv ∈ V so, dass u+ v · s ∈ U für alle s ∈ [0, 1]. Dann gilt

f(u+ v)− f(u) =1∫

0

Df(u+ v · s)(v)ds =

1∫0

Df(u+ v · s)ds

(v).

14.9. Satz

Sei V normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, f : U → R eine Ck-Funktion. Dann gilt füralle {1, . . . , k} = {l1, . . . , lk} und alle v1, . . . , vk ∈ V .

Dkf(u)(v1, . . . , vk) = Dkf(u)(vi1 , . . . , vik).

14.10. Satz (Taylors Formel / Taylorentwicklung)

Sei V normierter Vektorraum, U ⊆ V offen, f : U → R eine Ck+1-Funktion. Sei u ∈ U ,v ∈ V so, dass {u+ vt | 0 ≤ t ≤ 1} gilt. Dann gilt

f(u+v) = f(u)+Df(u)(v)+1

2D2f(u)(v, v)+

1

6D3f(u)(v, v, v)+. . .+

1

k!Dkf(u)(v, . . . , v)︸︷︷︸

k−mal

+Rk+1(u)(v)



und das Restglied ist

Rk+1(u, v) =

1∫0

(1− t)k

k!Dk+1f(u+ vt)(v, . . . , v)dt

„Taylorentwicklung von f im Punkt u bis zum k-ten Grad“

Addendum

• Für Rl+1(u, v) gibt es metrische Formeln

• |Rl+1(u, v)| ≤1

k!sup

{∥∥Dk+1f(u+ vt)∥∥ | 0 ≤ t ≤ 1

}·‖v‖k+1, denn

∥∥Dk+1f(u+ vt)(v, . . . , v)∥∥ ≤∥∥Dk+1f(u+ vt)

∥∥ · ‖v‖k+1

• Andere Form des Restgliedes Rk+1(u, v) =1

(k + 1)!Dk+1f(u)(v, . . . , v)+λ(v) ‖v‖k+1.

Dabei ist λ stetig auf ε-Kugel Bε(0) und λ(0) = 0.

14.11. Satz (Die von Neumannsche Reihe)

Sei V ein Banachraum, f : V → V linear und stetig mit ‖f‖ < 1. Dann konvergiert dieNeumannsche Reihe ∑

k≥0

fk (fk = f ◦ . . . ◦ f k −mal f 0 = idV )

gegen eine stetige lineare Abbildung g und

g(idV − f) = (idV − f)g = idV

d.h.∞∑k=0

fk = (idV − f)−1 (vgl. geometrische Reihe)

14.12. Satz

Sei V ein Banachraum, sei

GL(V ) = {f : V → V | f linear und stetig und f hat stetiges Inverses }

Dann ist GL(V ) ⊆ L(V, V ) offen, GL(V ) ist eine Gruppe, das Multiplizieren und Inver-tieren ist stetig.1

1 Solche Gruppen werden auch Topologische Gruppen genannt.



14.13. Satz („Spezieller Satz vom lokalen Inversen“)

Sei V ein Banachraum (z.B. Rn), U ⊆ V offen mit 0 ∈ U , f : U → V stetig differenzierbar,f(0) = 0 und Df(0) = idV . Dann gibt es R > 0, ein C1-Funktion g : BR(0) → V mitg ◦ f = id auf einer offenen Kugel BR̃(0). „In einer kleinen Umgebung von 0 hat f eineInverse, die ebenfalls C1 ist: DIe Gleichung f(x) = y hat Lösungen, wenn g nahe genugbei 0 liegt.“

14.14. Theorem (Satz vom lokalen Inversen)

Seien V,W Banachräume, sei U ⊆ V offen und f : U → W eine stetig differenzierbareAbbildung. Sei u ∈ U ein Punkt, an dem Df(u) : V → W ein stetiger Isomorphismus(mit stetigen Inversen) ist. Dann gibt es R̃; R > 0; eine stetig differenzierbare Funktiong : BR(f(u)) → V so, dass g ◦ f(v) = v für alle v ∈ BR̃(u) gilt: „f hat nahe u einC1-Inverse“.

Bemerkung

Man kann zeigen: f Ck-Funktion ⇒ g Ck-Funktion.(zeige: Invertieren in GL(u) ist C∞.Funktion).

14.15. Satz über impliziete Funktion

Seien V1, V2,W Banachräume, V = V1⊕V2. Sei U ⊆ V offen, f : U → W eine C1-Funktion,u = (u1, uw) ∈ U . Betrachte A : V2 → W , v2 7→ Df(u)(0, vw). Wenn A ein Isomorphismusmit stetigen Inversen ist, so gibt es U1 ⊆ V1 offen, u1 ∈ U1 und g : U1 → V2 C

1-Funktionmit

(i) g(u1) = u2

(ii) f(x, g(x)) = f(u) = const

(iii) nahe u sind alle (x, y) ∈ U von der Form (x, y) = (x, g(x)).

Man sagt: y = y(x) ist (nahe u) impliziet durch f(x, y) = f(u) = const definiert.

14.16. Beispiel

V Hilbertraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 (z.B. V = Rn, 〈v〉w =n∑k=1

vjwk), U ⊆ V offen,

f : U → R eine C1-Funktion, u ∈ U Punkt mit df(u) 6= 0 (also insb. kein lokalesExtremum).



V1 := ker(df(u)) = {v ∈ V | df(u)(v) = 0}z ∈ V ein Vektor mit df(u)(z) 6= 0.V2 = zR 1-dimensional, V = V1 ⊕ V2. Nach Satz 14.15 gibt es also U1 ⊆ V1 offen,g : U1 → V2 parametisiert die Niveaumenge fc = {x ∈ V | f(x) = c}, f(u) = c


Stichwortverzeichnis

ε− δ-Kriterium, 14Äquivalenz

Normen, 18

Abgeschlossenheit, 6Ableitung, 26, 29

k-te partielle , 30Ableitungen

höhere, 39Abschluss, 24

Banachraum, 6Banachs-Fixpunktsatz, 21Beschleunigung, 27beschränkt, 47bilinear, 7Bilinearform, 7

symmetrisch, 7Bolzano-Weierstraß

Eigenschaft, 18in mehreren Variablen, 19

Browers-Fixpunktsatz, 20

definitnegativ, 44positiv, 44seminegativ, 44positiv, 44

Differential, 29Differentialformen, 42differenzierbar, 26, 37

stetig, 29, 37Dualraum, 29

Extremum, 33

Fixpunkt, 20Fixpunktsatz

Banachs, 21Browers, 20

Funktionstetige, 13

Geschwindigkeitsvektor, 26Gradient, 32Gruppen

Topologisch, 50

Höhere Ableitungen, 39Hesse-Matrix, 39Hilbert-Raum, 9

Intervallabgeschlossen, 25offen, 25unendlich, 25

Kettenregel, 39Koordinatenfunktion, 31Kurve, 25

C1, 26differenzierbar, 26stetig, 26

Länge, 28

Maximum, 34lokales, 34, 43strikt, 44

iii

Stichwortverzeichnis

striktes, 34Mengen

abgeschloffene, 23offen, 23

Metrik, 1Raum, 1

Minimum, 34lokales, 34striktes, 34

MittelwertsatzIntegralrechnungVektorräume, 49

negativ definit, 44negativ semidefinit, 44Neumannsche Reihe, 50Niveaulinen, 33Niveaumenge, 52Norm, 6

Äquivalenz, 18euklidsche ∼, 9Operator∼, 16

Operatornorm, 16

positiv definit, 44Positiv semidefinit, 44Produkt

inneres, 7Skalarprodukt, 7

Punktkritischer, 35

RaumBanachraum, 6glatte Funktionen, 39Hilbert, 9metrischer, 1

Regelfunktion, 47Richtungsableitung, 30

Satz über impliziete Funktionen, 51Satz vom lokalen Inversen, 51

Spezieller Satz, 51

Satz von Schwarz, 41Skalarprodukt, 7

Standard∼, 32Standardskalarprodukt, 32stetige Funktion, 13Stetigkeit

Lipschitz, 14Stufenfunktion, 47

Tangentialvektor, 26Taylor Formel, 49Taylorentwicklung, 49Topologische Gruppen, 50

Umparametsierung von Kurven, 28

Vektorraumeuklidscher ∼, 9

Vollkugel, 20Vollständigkeit, 5

iv geTEXt: Julia Wolters

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