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20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation Elektrische Schaltungen I • Diese Vorlesung diskutiert die mathematische Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen. • Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebro- differentialgleichungen zurückgeführt werden kann. • Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden.

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Elektrische Schaltungen I• Diese Vorlesung diskutiert die mathematische

Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen.

• Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebro- differentialgleichungen zurückgeführt werden kann.

• Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden.

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Inhaltsverzeichnis

• Die Komponenten und ihre Modelle

• Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen

• Ein Beispiel

• Horizontales Sortieren

• Vertikales Sortieren

• Zustandsraumdarstellung

• Umformung in die Zustandsraumdarstellung

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Lineare Netzwerkkomponenten I

• Widerstände

• Kapazitäten

• Induktivitäten

Riva vb

u

Civa vb

u

Liva vb

u

u = va – vb

u = R·i

u = va – vb

i = C· dudt

u = va – vb

u = L· didt

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Lineare Netzwerkkomponenten II

• Spannungsquellen

• Stromquellen

• Erde

U0 = vb – va

U0 = f(t)

I 0I

va vb

u

0 u = vb – va

I0 = f(t)

V0

V0 V0

-V0 = 0

U 0

iva vb

U0

|

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Schaltungstopologie

• Knoten

• Maschen

va = vb = vc

ia + ib + ic = 0va vb

ia ib

ic

vc

va vb

vc

uab

ubcucauab + ubc + uca = 0

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Ein Beispiel I

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Regeln für Gleichungssysteme I

• Die Komponenten- und Topologiegleichungen enthalten eine gewisse Redundanz.

• So können z.B. sämtliche Potentialvariablen (vi) ohne weiteres eliminiert werden.

• Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist redundant und wird nicht benötigt.

• Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind die Maschengleichungen redundant.

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Regeln für Gleichungssysteme II

• Falls die Potentialvariablen eliminiert werden, definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen: den Strom (i) durch das Element und die Spannung (u) über dem Element.

• Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese Variablen zu ermitteln.

• Eine der Gleichungen ist die konstituierende Gleichung des Elements selbst, die andere stammt von der Topologie.

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Ein Beispiel IIKomponentengleichungen:

U0 = f(t) iC = C· duC/dt

u1 = R1· i1uL = L· diL/dt

u2 = R2· i2

Knotengleichungen:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

Maschengleichungen:

U0 = u1 + uC uL = u1 + u2

uC = u2

Das Netzwerk enthält 5 Komponenten

Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten

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Regeln für horizontales Sortieren I• Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden.

• Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

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Regeln für horizontales Sortieren II

• Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen nach dieser aufgelöst werden.

• Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

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Regeln für horizontales Sortieren III

• Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus dieser ermittelt werden.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

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Regeln für horizontales Sortieren IV

• Alle Regeln können rekursiv angewandt werden.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

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U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis jede Gleichung genau eine Variable definiert, die daraus ermittelt wird.

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Regeln für horizontales Sortieren V

• Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer Formelmanipulation durchgeführt werden.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2

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Regeln für vertikales Sortieren

• Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet wird, bevor sie definiert wurde.

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

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Regeln für Gleichungssysteme III

• Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit den Potentialvariablen gearbeitet werden.

• In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden.

• Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant und können ignoriert werden.

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Ein Beispiel III

v1

v2

v0

Das Netzwerk enthält 5 Komponenten und 3 Knoten.

Wir benötigen 13 Gleichungen in 13 Unbekannten.

Komponentengleichungen:

U0 = f(t) U0 = v1 – v0

u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2

u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0

iC = C· duC/dt uC = v2 – v0

uL = L· diL/dt uL = v1 – v0

v0 = 0

Knotengleichungen:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

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Sortieren• Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen

Algorithmus.• Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch

abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen Schaltkreis zu tun.

• Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teil-aufgaben zerlegt werden:

1. Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differential- algebraisches Gleichungssystem.

2. Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare Programmstruktur.

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Zustandsraumdarstellung

• Lineare Systeme:

• Nichtlineare Systeme:

dxdt = A · x + B · u

y = C · x + D · u

x(t0) = x0;

dxdt = f(x,u,t)

y = g(x,u,t)

; x(t0) = x0

x n

u m

y p

x = Zustandsvektor

u = Eingangsgrössenvektor

y = Ausgangsgrössenvektor

n = Anzahl Zustandsvariabeln

m = Anzahl Eingangsgrössen

p = Anzahl Ausgangsgrössen

A n n

B n m

C p n

D p m

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Umwandlung in Zustandsform IU0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

duC/dt = iC /C

= (i1 - i2 ) /C

= i1 /C - i2 /C

= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)

= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)

diL/dt = uL /L

= (u1 + u2) /L

= u1 /L + u2 /L

= (U0 - uC) /L + uC /L

= U0 /L

Für jede Gleichung, welche eine Zustandsableitung definiert, sub- stituieren wir die Variabeln auf der rechten Seite ihrer Definitions- gleichungen, bis die Zustands- ableitungen nur noch von Zustands- variabeln und Eingangsgrössen abhängig sind.

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Umwandlung in Zustandsform IIx1 = uC

x2 = iL

u = U0

y = uC

Wir setzen:

x1 = -

R1 · C

R2 · C

[ ] x1 R1 · C u

x2 = 1

Lu

y = x1

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Ein Beispiel IV

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Referenzen

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.

• Cellier, F.E. (2001), Matlab code of circuit example.