A1

Anhang A Einheiten und physikalische Konstanten

Jolitorax: Les Romains mesurent les distances en pas, nous en pieds.Obélix: En pieds?Jolitorax: Il faut six pieds pour faire un pas.Obélix: Ils sont fous, ces Bretons!

(Goscinny/Uderzo: Astérix chez les Bretons)

si-einheiten

Das international anerkannte Einheitensystem ist das ”SystemeInternational d’unites“ (SI), eine Erweiterung des Meter–Kilo-gramm–Sekunde-Systems. Im SI-System sind folgende Basis-Einheiten festgelegt:

Physikalische Große SI-Einheit Symbol

Lange Meter mMasse Kilogramm kgZeit Sekunde selektrische Stromstarke Ampere Aabsolute Temperatur Kelvin KLichtstarke Candela cdStoffmenge Mol mol

Abgeleitete SI-Einheiten mit besonderem Namen sind:

Physikalische Große Name Symbol Definition

Frequenz Hertz Hz = s−1

Kraft Newton N = kg m s−2 = J m−1

Druck Pascal Pa = kg m−1 s−2 = N m−2

Energie Joule J = kg m2 s−2 = N mLeistung Watt W = kg m2 s−3 = J s−1

elektrische Ladung Coulomb C = s A = J V−1

elektrische Spannung Volt V = kg m2 s−3 A−1 = J C−1

elektrischer Widerstand Ohm Ω = kg m2 s−3 A−2 = V A−1

elektrischer Leitwert Siemens S = kg−1 m−2 s3 A2 = Ω−1

elektrische Kapazitat Farad F = kg−1 m−2 s4 A2 = C V−1

magnetische Induktion Tesla T = kg s−2 A−1 = V s m−2

Hieraus ergibt sich folgende, praktisch wichtige Beziehung zurUmrechnung von Energie-Einheiten:

J = N m = W s = Pa m3 = C V .

A2 ANHANG A: EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE KONSTANTEN

dezimale vielfache von si-einheitenDezimale Vielfache von SI-Einheiten mit eigenem Namen (sieheoben) werden durch Vorsilben gekennzeichnet:

Vielfaches Vorsilbe Symbol

1024 Yotta Y1021 Zetta Z1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto h101 Deka da

Vielfaches Vorsilbe Symbol

10−1 Dezi d10−2 Zenti c10−3 Milli m10−6 Mikro µ10−9 Nano n10−12 Piko p10−15 Femto f10−18 Atto a10−21 Zepto z10−24 Yokto y

Haufig benutzt werden insbesondere folgende dezimale Vielfachevon SI-Einheiten:

Physikalische Große Name Symbol Definition

Lange Angstrom A = 10−10 mVolumen Liter L = dm3 = 10−3 m3

Masse Tonne t = 103 kgDruck Bar bar = 105 Pa = 106 dyn cm−2

Konzentration (Molaritat) Mol pro Liter M = mol L−1 = 103 molm−3

Kraft Dyn dyn = g cm s−2 = 10−5 NEnergie Erg erg = dyn cm = 10−7 J

Die Einheiten Dyn und Erg gehoren zu dem in der alteren Literatur beliebtenZentimeter–Gramm–Sekunde-System (cgs-System).

häufig benutzte si-fremde einheiten

Physikalische Große Name Symbol Definition

Masse atomare Masseneinheit u = g mol−1 N−1 ≈ 1,66054 ·10−27 kg

Zeit Minute min = 60 sStunde h = 3 600 sTag d = 86 400 sJahr a ≈ 31,56 ·106 s

Kraft Kilopond kp = 9,80665N

Druck Atmosphare atm = 101 325PaTorr (mm Quecksilber) Torr ≈ 1

760,00atm

Energie Kalorie cal = 4,184 JElektronenvolt eV = e·1V ≈ 1,6022 ·10−19 J

elektr. Dipolmoment Debye D = 10−18 cm5/2 g1/2 s−1 [cgs]≈ 3,3356 ·10−30 Cm ≈ e·0,2 A

ANHANG A: EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE KONSTANTEN A3

spektroskopische energieeinheiten

In der Spektroskopie werden Energien in cm−1 , den sogenanntenWellenzahlen ν , angegeben. Es handelt sich dabei, salopp gespro-chen, um die Anzahl pro Langeneinheit der Wellenberge oder -talereines Lichtquants der angegebenen Energie. Die Wellenzahl ν istoffensichtlich der Kehrwert der Wellenlange λ und damit propor-tional zur Frequenz ν :

ν :=1λ

=ν

c.

Zwischen der Frequenz ν und der Energie E gilt die bekannteBeziehung

E = hν ;

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet. Darausfolgt

ν =E

hc,

woraus ersichtlich ist, daß die Wellenzahl ν proportional zur Ener-gie E ist. Wellenzahlen konnen leicht in andere Energieeinheitenumgerechnet werden; z. B. gilt:

1 cm−1 = 1,9865 ·10−23 J .

In der Molekulstatistik muß man oft Ausdrucke der Forme−E/kT berechnen, wobei E eine Energie, T die absolute Tempe-ratur und k die sogenannte Boltzmann-Konstante d. h. die durchdie Avogadro-Konstante dividierte Gaskonstante bezeichnet. Diesist besonders einfach, wenn man statt E die Große E/k angibt.Da E/k die Dimension einer Temperatur hat, sagt man – etwassalopp –, daß man die Energie E in Kelvin angibt. Praktisch istdie Beziehung

1 cm−1 = 1,4388 K .

A4 ANHANG A: EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE KONSTANTEN

atomare einheiten

Die Theorie und numerische Rechnungen sind oftmals genauer alsunsere empirische Kenntnis der Naturkonstanten; daher ist es sinn-voll, die dimensionsbehafteten Naturkonstanten aus der Theoriezu eliminieren. Da SI-Einheiten auf den vier Basiseinheiten m, kg,s, A beruhen, kann man vier Naturkonstanten als Referenzgroßenwahlen. Somit definieren wir

me = 1 atomare Einheit der Massee = 1 atomare Einheit der Ladung = 1 atomare Einheit der Wirkung

1/4πε0 = 1 atomare Einheit der Dielektrizitat.

Beispiel. Fur die Coulomb-Wechselwirkung V zwischen zwei Kernen mit denOrtsvektoren r1 , r2 und den Ladungen Z1e und Z2e gilt

V =Z1Z2e

2

4πε0|r1 − r2|(in Joule),

=Z1Z2

|r2 − r2|(in atomaren Einheiten).

Im Gegensatz zu der sonst ublichen Gepflogenheit betrachtetman beim Rechnen mit atomaren Einheiten alle Großen als di-mensionslos. Die Bequemlichkeit der einfacher aussehenden For-meln wird dadurch erkauft, daß keine Moglichkeit mehr besteht,Rechenfehler durch einfache Dimensionsbetrachtungen ausfindigzu machen.

Aus den gleich eins gesetzten Naturkonstanten leiten sich danndie ubrigen Einheiten ab:

Physikalische Große Atomare Einheit Wert in SI-Einheiten

Masse me = 9,1094 ·10−31 kgWirkung, Drehimpuls = 1,0546 ·10−34 J sElektrische Ladung e = 1,6022 ·10−19 CLange a0 := 4πε0

2/mee2 = 5,2918 ·10−11 m

Energie Eh := 2/a2

0me = 4,3597 ·10−18 JZeit /Eh = 2,4189 ·10−17 sGeschwindigkeit v0 := a0Eh/ = 2,1877 ·106 m s−1

Impuls mev0 = 1,9929 ·10−24 kg m s−1

Kraft Eh/a0 = 8,2387 ·10−8 NElektrisches Potential Eh/e = 27,211 V

ANHANG A: EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE KONSTANTEN A5

Bei den atomaren Einheiten der Lange a0 (1 Bohr) und derGeschwindigkeit v0 handelt es sich um den Radius bzw. die Ge-schwindigkeit der innersten Elektronenbahn des H-Atoms in deralten Bohrschen Quantentheorie. Die atomare Einheit der Ener-gie Eh (1 Hartree) ist gleich der doppelten Grundzustandsenergiedes Wasserstoffatoms (in der einfachsten Naherung mit unendli-cher Kernmasse).

Man beachte, daß aus ε0µ0 = 1/c2 und aus der Definition derdimensionslosen Feinstrukturkonstanten α := µ0e

2c/4π = 1137,04

folgt, daß die Lichtgeschwindigkeit in atomaren Einheiten gegebenist durch c = 1/α = 137,04.

umrechnungstabellen für energie- und druckeinheiten

In der zweiten der drei Tabellen beziehen sich Einheiten ohne denZusatz ”mol−1“ auf ein einziges Atom oder eine einzige Molekel.

. . . J . . . erg . . . cal . . . L atm . . . kW h

1 J = . . . 1 107 0,23901 9,8692·10−3 2,7778·10−7

1 erg = . . . 10−7 1 2,3901·10−8 9,8692·10−10 2,7778·10−14

1 cal = . . . 4,1840 4,1840 ·107 1 4,1293·10−2 1,1622·10−6

1L atm = . . . 101,325 1,01325·109 24,217 1 2,8146·10−5

1 kW h = . . . 3,6000·106 3,6000 ·1013 8,6042·105 3,5529·104 1

. . . Jmol−1 . . . J . . . eV . . . cm−1 . . . Eh . . . K

1Jmol−1 = . . . 1 1,6605·10−24 1,0364·10−5 8,3593·10−2 3,8088·10−7 0,120271 J = . . . 6,0221·1023 1 6,2415·1018 5,0341·1022 2,2937·1017 7,2429·1022

1 eV = . . . 9,6485·104 1,6022·10−19 1 8,0655·103 3,6749·10−2 1,1604·104

1 cm−1 = . . . 11,963 1,9865·10−23 1,2398·10−4 1 4,5563·10−6 1,4388Eh = . . . 2,6255·106 4,3597·10−18 27,211 2,1947·105 1 3,1577·105

1K = . . . 8,3145 1,3807·10−23 8,6174·10−5 0,69504 3,1668·10−6 1

. . . Pa . . . bar . . . atm . . . Torr

1Pa = . . . 1 10−5 9,8692·10−6 7,5006·10−3

1 bar = . . . 105 1 0,98692 750,061 atm = . . . 1,01325·105 1,01325 1 760,001Torr = . . . 133,32 1,3332·10−3 1,3158·10−3 1

A6 ANHANG A: EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE KONSTANTEN

wichtige physikalische konstanten

Die Werte von µ0 und c sind wegen entsprechender Definition derEinheiten exakt. Bei allen anderen Konstanten ist die Standardab-weichung um eine Großenordnung kleiner als die letzte angegebeneStelle.

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = 2,99792458 ·108 m s−1

Vakuum-Dielektrizitatskonstante ε0 = 8,854187 . . . ·10−12 F m−1

1/4πε0 = 8,987552 . . . ·109 F−1 m

Vakuum-Permeabilitat µ0 = 4π ·10−7 N A−2

Elementarladung e = 1,6021765 ·10−19 C

Planck-Konstante h = 6,626069 ·10−34 J s = h/2π = 1,0545716 ·10−34 J s

Feinstrukturkonstante α = µ0e2c/2h = 1/137,036000

Masse des Elektrons me = 9,109382 ·10−31 kgMasse des Protons mp = 1,672622 ·10−27 kgMasse des Neutrons mn = 1,674927 ·10−27 kg

Massenverhaltnis Proton–Elektron mp/me = 1836,15267

Rydberg-Konstante R∞ = mee4/8ε2

0h3c = 109 737,315685 cm−1

(unendl. Kernmasse bzw. H-Atom) RH = R∞/(1 + memp

) = 109 677,583406 cm−1

Hartree-Energie Eh = 2R∞hc = 4,359744 ·10−18 J

Bohrscher Radius a0 = 4πε02/mee

2 = 0,52917721 A

Bohrsches Magneton µB = e/2me = 9,274009 ·10−24 J T−1

Kernmagneton µN = e/2mp = 5,050783 ·10−27 J T−1

g-Faktor des Elektrons ge = 2,00231930437

Avogadro- oder Loschmidt-Konstante N = 6,022142 ·1023 mol−1

Faraday-Konstante F = N e = 96 485,34 C mol−1

Gaskonstante R = 8,3145 J K−1 mol−1

= 0,082058 L atm K−1 mol−1

Boltzmann-Konstante k = R/N = 1,38065 ·10−23 J K−1

Stefan–Boltzmann-Konstante σ = 215π5k4/h3c2 = 5,6704 ·10−8 W m−2 K−4

Wiensche Konstante λmaxT = 2,89777 ·10−3 K m

Gravitationskonstante G = 6,67 ·10−11 m3 kg−1 s−2