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Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

Hier werden nur spezielle Rechenregeln des Erwartungswertes, der Varianz und der Kovarianz behandelt. Erganzend gelten die in Abschnitt 5.6 behandelten Eigenschaften. Dort sind teilweise auch die Beweise fiir die aufgelisteten Rechenregeln gefiihrt.

A.1 Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X) ist ein Durchschnittswert, den die Zufallsvariable X bei hiiufigem Durchfiihren eines Zufallsexperiments im Mittel annehmen wird (vgl. Abschnitt 5.5). Fiir ihn gelten folgende Regeln:

• Konstante

Eine Konstante ist eine feste GroBe, die nicht variiert wird. Ihr Erwartungswert ist deshalb die Konstante selbst:

(A.l) E(a)=a.

Beispiel A.I: Der Erwartungswert von a = 5 ist

E(a)=E(5)=5. • • Multiplikativer Faktor

Ahnlich wie beim Summenzeichen kann auch beim Erwartungswert ein multiplikativer Faktor vor den Erwartungswertoperator gezogen werden:

(A. 2) E(b.X)= b.E(X).

Beispiel A.2: Gehen wir von folgendem Gliicksspiel aus: Ein Los kostet 1 E (Einsatz). In einer Trommel sind 100 Lose, von denen 10 eine Auszahlung von 5 € (Hauptgewinn) und 40 eine Auszahlung von 1 E versprechen. Die iibrigen 100 -10 - 40 = 50 Lose sind Nieten, fiihren also zu einer Auszahlung von 0 E.

Vnter Beachtung der Definition, dass sich der Gewinn als Differenz zwischen Auszahlung und Einsatz ergibt, erhiilt man folgende Gewinne:

• Niete: Gewinn = Auszahlung - Einsatz = 0 -1 = -1 [€]

• Auszahlung von 1 E: Gewinn = Auszahlung - Einsatz = 1-1 = 0 [€]

280 Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

• Hauptgewinn: Gewinn = Auszahlung - Einsatz = 5 -I = 4 [€].

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion hat dann folgendes Aussehen:

50 I fUr x =-1 - --

100 2

40 2 fUrx=O - --

f(x)= 100 5

10 ftirx=4 - = -

100 10

0 sonst

Wie groB ist der Erwartungswert, wenn auf den Gewinn 10 % Abgaben zu zahlen sind, also nur 90 % ubrig bleiben?

Anwendung von E(b·X)= E(0,9·X)

• Erwartungswert des Gewinns ohne Abgaben:

3 9 E( 0,9 . X) = L 10 . x j . p j

J=!

=~.(-1) . .!.+~.0.~ 10 2 10 5

+~.4.~ 10 10

9 36 =--+0+-

20 100 45 36 9

=--+-=--100 100 100

= -0,09 [fl.

Beispiel A.3: Gegeben sei folgende Dichtefunktion:

Anwendung von b· E(X) = 0,9· E(X)

• Erwartungswert des Gewinns: 3

E(X)= LXj ·Pj j=!

=(-1) . .!.+0.~+4.~ 2 5 10

5 4 1 = -10+ 10 = -10 =-0,1 [€]

• Erwartungswert des Gewinns ohne Abgaben: 0,9· E(X) = 0,9· (- 0,1) = -0,09 [€].

{o fUr - 00 < x :s; 0

f(x)= 1/2x fUr 0<x:S;2

o fUr 2<x:S;+00

Multipliziert man X mit b = 5, so betriigt der entsprechende Erwartungswert:

•

Anhang A: Rechenregeln fUr Erwartungswert, Varianz und Kovarianz 281

2 2 1 2 S E(S.X)= fSx.f(x)dx= JSx.-xdx= f-X2 dx

o 0 2 0 2

=1~X312 =~.23 _~.03 = 40 -0 =6 667. 6 0 6 6 6 '

Das gleiche Ergebnis erhiilt man, wenn der einfache Erwartungswert, der in Beispiel S.12 ermittelt wurde:

2 4 IJ=E(X)= fx.f(x)dx="3'

o

mit b = S multipliziert wird.

E(X)·S =.±.S = 20 = 6 667. 3 3 ' •

• Lineartransformation

Die beiden Rechenregeln zum Erwartungswert einer Konstanten und zum Erwartungswert einer Zufallsvariablen lassen sich kompakt in der Formel fUr den Erwartungswert einer lineartransformierten Zufallsvariable darstellen (vgl. hierzu Abschnitt S.6):

(A.3) E(Y)=E(a+b.X)=a+b.E(X).

mit

(A.4) Y = a+ b·X .

• Summe

Der Erwartungswert von der Summe zweier Zufallsvariabler X und Y Hisst sich durch summandenweises Berechnen der zwei Erwartungswerte bestimmen:

(A.S) E(X±Y)=E(X)±E(Y).

Beispiel A.4: Die Rechenregel des summandenweisen Addierens sei nur am Beispiel fUr den stetigen Fall demonstriert. Gegeben sind folgende Dichtefunktionen:

{o fUr

f(x)= 1/2x fUr

o fUr

-oo<x$;O {O 0< x$;2 ,f{Y) = 0,04y + 0,06

2<x$;+oo 0

fUr -oo<y$;l

fUr 1<y$;6.

fUr 6<y$;oo


Unter Verwendung des Erwartungswertes von X,

2 4 E(X)= fx.f(x)dx=-=1,333 ,

o 3

undY,

erhiilt man:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1,333+3,917=5,25. • A.2 Varianz

Die Varianz Var(X),

als Streuungsparameter gibt die durchschnittlichen Abweichungen vom arithmetischen Mittel wieder (vgl. Abschnitt 5.5). Fur sie gelten folgende Regeln:

• Konstante

Eine Konstante als feste GroBe besitzt keine Streuung. Ihre Varianz ist deshalb null:

(A. 7) Var(a)= O.

Beispiel A.5: Die Varianz von a = 5 betragt

Var(a)= Var(5)= O. • • Multiplikativer Faktor

Die Varianz misst die quadrierten Abweichungen. Ein multiplikativer Faktor, der vor den Varianz-Operator gezogen wird, muss deshalb quadriert werden:

Anhang A: Rechemegeln flir Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

(A.8) Var{b.X}=b2 .Var{X}.

Beispiel A.6 (Fortsetzung von Beispiel A.2): Beim Losbeispiel betrligt die Wahrscheinlichkeitsfunktion fiir den Gewinn

{

0,5 fiir x =-1

f{x}= 0,4 fiir x = ° 0,1 fUr x = 4

° sonst

283

Wie groB ist die Varianz, wenn auf den Gewinn 10 % Abgaben zu zahlen sind, also nur 90 % ubrig bleiben? Vnter Verwendung der Varianz fiir den Gewinn,

Var(X) = ±(Xj - ~)2 'Pj = ±[ Xj -{-0,1}]2 'Pj = ±(Xj +0,1)2 'Pj j=l j=i j=l

= {-I + 0,1}2 ·0,5 +{O+ 0,1}2 ·0,4+ (4+0,1}2 ·0,1

= 0,405 + 0,004 + 1,681 = 2,090 [€2] ,

erhlilt man die Varianz des Gewinns ohne die Abgaben:

Var(b. X)= b2 . Var(X}= 0,92 .2,090 = 1,693 [£2].

• Lineartransformation

•

Fur die Varianz einer lineartransformierten Zufallsvariablen gilt die aus Abschnitt 5.6 bekannte Rechenregel:

(A.9) Var(Y) = Var(a + bX}= b2 . Var(X) .

• Summe

1m Gegensatz zum Erwartungswertoperator diirfen die Einzelvarianzen der Zufallsvariablen X und Y nicht einfach aufaddiert werden, urn die Varianz der Summe Var(X + Y} zu berechnen. Beriicksichtigt werden muss nlimlich noch die Kovarianz zwischen beiden Zufallsvariablen Cov(X, Y}:

(A.lO) Var(X± Y}= Var(X}+ Var(Y} ±2.Cov(X, Y}. t

X und Y sind nicht unabhlingig


Die Kovarianz ist null, wenn beide Variablen unabhangig voneinander sind. Unter dieser Voraussetzung gilt:

(A. I I ) Var(X ± Y)= Var(X)+ Var(Y). t

X und Y sind unabhangig

A.3 Kovarianz

Die Kovarianz misst den Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y. Ein positiver Wert zeigt einen positiven Zusammenhang an. Mit iiberdurchschnittlichen Werten der einen Zufallsvariablen gehen dann tendenziell iiberdurchschnittliche Werte der anderen Zufallsvariablen einher. Eine negative Kovarianz belegt einen negativen Zusammenhang, also dass mit iiberdurchschnittiichen Werten der einen Zufallsvariablen tendenziell unterdurchschnittliche Werte der anderen Zufallsvariablen korrespondieren. Eine Kovarianz von null zeigt an, dass zwischen zwei Zufallsvariablen kein (linearer) Zusammenhang besteht.

Da die Kovarianz im voriiegenden Lehrbuch nur im Abschnitt 8 vorkommt, seien die Rechenregeln ohne Beispiele kurz angegeben:

(A. 12)

(A. B)

(A. 14)

(A. IS)

(A. 16)

Cov(X, Y)= E[(X - ~J. (Y - ~J = E{[X - E(X)]. [Y - E(Y)]}

Cov(X, Y)= 0

t X und Y sind unabhangig

Cov(X, X) = Var(X)

50

Cov(a + b· X,c + d· Y)= b·d· Cov(X, Y)

Cov(X + Y,Z)= Cov(X,Y)+ Cov(X,Z).

50 Da mit der Kovarianz der lineare Zusammenhang zwischen X und Y gemessen wird, reicht fur die Giiltigkeit der Beziehung (A. 13) die Unkorreliertheit anstelle der stiirkeren Forderung der Unabhiingigkeit aus.

Anhang B: Tabellen

Tbll Bl a e e .. . 1 '1 lDomla vertel uog p=0,1 p=0,2 p=0,3 p=0,4 p=0,5

f(x) F(x) rex) F(xl _ f(xl F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) 0=1 x=O 0,9000 0,9000 0,8000 0,8000 0,7000 0,7000 0,6000 0,6000 0,5000 0,5000 x=1 0,1000 1,0000 0,2000 1,0000 0,3000 1,0000 0,4000 1,0000 0,5000 1,0000 0=2 x=O 0,8100 0,8100 0,6400 0,6400 0,4900 0,4900 0,3600 0,3600 0,2500 0,2500 x=1 0,1800 0,9900 0,3200 0,9600 0,4200 0,9100 0,4800 0,8400 0,5000 0,7500 x=2 0,0100 1,0000 0,0400 1,0000 0,0900 1,0000 0,1600 1,0000 0,2500 1,0000 0=3 x=O 0,7290 0,7290 0,5120 0,5120 0,3430 0,3430 0,2160 0,2160 0,1250 0,1250 x=1 0,2430 0,9720 0,3840 0,8960 0,4410 0,7840 0,4320 0,6480 0,3750 0,5000 x=2 0,0270 0,9990 0,0960 0,9920 0,1890 0,9730 0,2880 0,9360 0,3750 0,8750 x=3 0,0010 1,0000 0,0080 1,0000 0,0270 1,0000 0,0640 1,0000 0,1250 1,0000 0=4 x=O 0,6561 0,6561 0,4096 0,4096 0,2401 0,2401 0,1296 0,1296 0,0625 0,0625 x=1 0,2916 0,9477 0,4096 0,8192 0,4116 0,6517 0,3456 0,4752 0,2500 0,3125 x=2 0,0486 0,9963 0,1536 0,9728 0,2646 0,9163 0,3456 0,8208 0,3750 0,6875 x=3 0,0036 0,9999 0,0256 0,9984 0,0756 0,9919 0,1536 0,9744 0,2500 0,9375 x=4 0,0001 1,0000 0,0016 1,0000 0,0081 1,0000 0,0256 1,0000 0,0625 1,0000 0=5 x=O 0,5905 0,5905 0,3277 0,3277 0,1681 0,1681 0,0778 0,0778 0,0313 0,0313 x=1 0,3280 0,9185 0,4096 0,7373 0,3602 0,5282 0,2592 0,3370 0,1563 0,1875 x=2 0,0729 0,9914 0,2048 0,9421 0,3087 0,8369 0,3456 0,6826 0,3125 0,5000 x=3 0,0081 0,9995 0,0512 0,9933 0,1323 0,9692 0,2304 0,9130 0,3125 0,8125 x=4 0,0005 1,0000 0,0064 0,9997 0,0284 0,9976 0,0768 0,9898 0,1563 0,9688 x=5 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0024 1,0000 0,0102 1,0000 0,0313 1,0000 0=6 x=O 0,5314 0,5314 0,2621 0,2621 0,1176 0,1176 0,0467 0,0467 0,0156 0,0156 x=1 0,3543 0,8857 0,3932 0,6554 0,3025 0,4202 0,1866 0,2333 0,0938 0,1094 x=2 0,0984 0,9841 0,2458 0,9011 0,3241 0,7443 0,3110 0,5443 0,2344 0,3438 x=3 0,0146 0,9987 0,0819 0,9830 0,1852 0,9295 0,2765 0,8208 0,3125 0,6563 x=4 0,0012 0,9999 0,0154 0,9984 0,0595 0,9891 0,1382 0,9590 0,2344 0,8906 x=5 0,0001 1,0000 0,0015 0,9999 0,0102 0,9993 0,0369 0,9959 0,0938 0,9844 x=6 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0007 1,0000 0,0041 1,0000 0,0156 1,0000 0=7 x=O 0,4783 0,4783 0,2097 0,2097 0,0824 0,0824 0,0280 0,0280 0,0078 0,0078 x=1 0,3720 0,8503 0,3670 0,5767 0,2471 0,3294 0,1306 0,1586 0,0547 0,0625 x=2 0,1240 0,9743 0,2753 0,8520 0,3177 0,6471 0,2613 0,4199 0,1641 0,2266 x=3 0,0230 0,9973 0,1147 0,9667 0,2269 0,8740 0,2903 0,7102 0,2734 0,5000 x=4 0,0026 0,9998 0,0287 0,9953 0,0972 0,9712 0,1935 0,9037 0,2734 0,7734 x=5 0,0002 1,0000 0,0043 0,9996 0,0250 0,9962 0,0774 0,9812 0,1641 0,9375 x=6 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0036 0,9998 0,0172 0,9984 0,0547 0,9922 x=7 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0016 1,0000 0,0078 1,0000

286 Anhang B: Tabellen

F t t or se zung T b II B 1 BO o 1 t 01 a e e o 0 IDOmia ver el un2 p=O,1 p= 0,2 p=0,3 p=0,4 p=0,5 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x)

0=8 x=O 0,4305 0,4305 0,1678 0,1678 0,0576 0,0576 0,0168 0,0168 0,0039 0,0039 x=1 0,3826 0,8131 0,3355 0,5033 0,1977 0,2553 0,0896 0,1064 0,0313 0,0352 x=2 0,1488 0,9619 0,2936 0,7969 0,2965 0,5518 0,2090 0,3154 0,1094 0,1445 x=3 0,0331 0,9950 0,1468 0,9437 0,2541 0,8059 0,2787 0,5941 0,2188 0,3633 x=4 0,0046 0,9996 0,0459 0,9896 0,1361 0,9420 0,2322 0,8263 0,2734 0,6367 x=5 0,0004 1,0000 0,0092 0,9988 0,0467 0,9887 0,1239 0,9502 0,2188 0,8555 x=6 0,0000 1,0000 0,0011 0,9999 0,0100 0,9987 0,0413 0,9915 0,1094 0,9648 x=7 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0012 0,9999 0,0079 0,9993 0,0313 0,9961 x=8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0007 1,0000 0,0039 1,0000 0=9

x=O 0,3874 0,3874 0,1342 0,1342 0,0404 0,0404 0,0101 0,0101 0,0020 0,0020 x=1 0,3874 0,7748 0,3020 0,4362 0,1556 0,1960 0,0605 0,0705 0,0176 0,0195 x=2 0,1722 0,9470 0,3020 0,7382 0,2668 0,4628 0,1612 0,2318 0,0703 0,0898 x=3 0,0446 0,9917 0,1762 0,9144 0,2668 0,7297 0,2508 0,4826 0,1641 0,2539 x=4 0,0074 0,9991 0,0661 0,9804 0,1715 0,9012 0,2508 0,7334 0,2461 0,5000 x=5 0,0008 0,9999 0,0165 0,9969 0,0735 0,9747 0,1672 0,9006 0,2461 0,7461 x=6 0,0001 1,0000 0,0028 0,9997 0,0210 0,9957 0,0743 0,9750 0,1641 0,9102 x=7 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0039 0,9996 0,0212 0,9962 0,0703 0,9805 x=8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0004 1,0000 0,0035 0,9997 0,0176 0,9980 x=9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0020 1,0000 0= 10 x=O 0,3487 0,3487 0,1074 0,1074 0,0282 0,0282 0,0060 0,0060 0,0010 0,0010 x=1 0,3874 0,7361 0,2684 0,3758 0,1211 0,1493 0,0403 0,0464 0,0098 0,0107 x=2 0,1937 0,9298 0,3020 0,6778 0,2335 0,3828 0,1209 0,1673 0,0439 0,0547 x=3 0,0574 0,9872 0,2013 0,8791 0,2668 0,6496 0,2150 0,3823 0,1172 0,1719 x=4 0,0112 0,9984 0,0881 0,9672 0,2001 0,8497 0,2508 0,6331 0,2051 0,3770 x=5 0,0015 0,9999 0,0264 0,9936 0,1029 0,9527 0,2007 0,8338 0,2461 0,6230 x=6 0,0001 1,0000 0,0055 0,9991 0,0368 0,9894 0,1115 0,9452 0,2051 0,8281 x=7 0,0000 1,0000 0,0008 0,9999 0,0090 0,9984 0,0425 0,9877 0,1172 0,9453 x=8 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0014 0,9999 0,0106 0,9983 0,0439 0,9893 x=9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0016 0,9999 0,0098 0,9990 x= 10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0010 1,0000 0= 11 x=O 0,3138 0,3138 0,0859 0,0859 0,0198 0,0198 0,0036 0,0036 0,0005 0,0005 x=1 0,3835 0,6974 0,2362 0,3221 0,0932 0,1130 0,0266 0,0302 0,0054 0,0059 x=2 0,2131 0,9104 0,2953 0,6174 0,1998 0,3127 0,0887 0,1189 0,0269 0,0327 x=3 0,0710 0,9815 0,2215 0,8389 0,2568 0,5696 0,1774 0,2963 0,0806 0,1133 x=4 0,0158 0,9972 0,1107 0,9496 0,2201 0,7897 0,2365 0,5328 0,1611 0,2744 x=5 0,0025 0,9997 0,0388 0,9883 0,1321 0,9218 0,2207 0,7535 0,2256 0,5000 x=6 0,0003 1,0000 0,0097 0,9980 0,0566 0,9784 0,1471 0,9006 0,2256 0,7256 x=7 0,0000 1,0000 0,0017 0,9998 0,0173 0,9957 0,0701 0,9707 0,1611 0,8867 x=8 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0037 0,9994 0,0234 0,9941 0,0806 0,9673 x=9 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 1,0000 0,0052 0,9993 0,0269 0,9941 x= 10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0007 1,0000 0,0054 0,9995 x= 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 1,0000

Anhang B: Tabellen 287

F ortsetzung T b II BIB" " 1 "I a e e " " momla vertel u~ p = 0,1 p=0,2 p=0,3 P =0,4 P = 0,5

f(& I:l& f(x) F(x) f(x) F(x) f(~ F(x) fix) FJ& n= 12 x=O 0,2824 0,2824 0,0687 0,0687 0,0138 0,0138 0,0022 0,0022 0,0002 0,0002 x=1 0,3766 0,6590 0,2062 0,2749 0,0712 0,0850 0,0174 0,0196 0,0029 0,0032 x=2 0,2301 0,8891 0,2835 0,5583 0,1678 0,2528 0,0639 0,0834 0,0161 0,0193 x=3 0,0852 0,9744 0,2362 0,7946 0,2397 0,4925 0,1419 0,2253 0,0537 0,0730 x=4 0,0213 0,9957 0,1329 0,9274 0,2311 0,7237 0,2128 0,4382 0,1208 0,1938 x=5 0,0038 0,9995 0,0532 0,9806 0,1585 0,8822 0,2270 0,6652 0,1934 0,3872 x=6 0,0005 0,9999 0,0155 0,9961 0,0792 0,9614 0,1766 0,8418 0,2256 0,6128 x=7 0,0000 1,0000 0,0033 0,9994 0,0291 0,9905 0,1009 0,9427 0,1934 0,8062 x=8 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0078 0,9983 0,0420 0,9847 0,1208 0,9270 x=9 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0015 0,9998 0,0125 0,9972 0,0537 0,9807 x = 10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0025 0,9997 0,0161 0,9968 x = 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0029 0,9998 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 n = 13 x=O 0,2542 0,2542 0,0550 0,0550 0,0097 0,0097 0,0013 0,0013 0,0001 0,0001 x = 1 0,3672 0,6214 0,1787 0,2337 0,0540 0,0637 0,0113 0,0126 0,0016 0,0017 x=2 0,2448 0,8662 0,2680 0,5017 0,1338 0,2025 0,0453 0,0579 0,0095 0,0112 x=3 0,0997 0,9659 0,2457 0,7474 0,2181 0,4206 0,1107 0,1686 0,0349 0,0461 x=4 0,0277 0,9936 0,1535 0,9009 0,2337 0,6543 0,1845 0,3530 0,0873 0,1334 x=5 0,0055 0,9991 0,0691 0,9700 0,1803 0,8346 0,2214 0,5744 0,1571 0,2905 x=6 0,0008 0,9999 0,0230 0,9930 0,1030 0,9376 0,1968 0,7712 0,2095 0,5000 x=7 0,0001 1,0000 0,0058 0,9988 0,0442 0,9818 0,1312 0,9023 0,2095 0,7095 x=8 0,0000 1,0000 0,0011 0,9999 0,0142 0,9960 0,0656 0,9679 0,1571 0,8666 x=9 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0034 0,9994 0,0243 0,9922 0,0873 0,9539 x= 10 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0006 1,0000 0,0065 0,9987 0,0349 0,9888 x = 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0012 0,9999 0,0095 0,9983 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0016 0,9999 x = 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,3112 0,0001 1,0000 n= 14 x=O 0,2288 0,2288 0,0440 0,0440 0,0068 0,0068 0,0008 0,0008 0,0001 0,0001 x=1 0,3559 0,5846 0,1539 0,1979 0,0407 0,0475 0,0073 0,0081 0,0009 0,0009 x=2 0,2570 0,8416 0,2501 0,4481 0,1134 0,1608 0,0317 0,0398 0,0056 0,0065 x=3 0,1142 0,9559 0,2501 0,6982 0,1943 0,3552 0,0845 0,1243 0,0222 0,0287 x=4 0,0349 0,9908 0,1720 0,8702 0,2290 0,5842 0,1549 0,2793 0,0611 0,0898 x=5 0,0078 0,9985 0,0860 0,9561 0,1963 0,7805 0,2066 0,4859 0,1222 0,2120 x=6 0,0013 0,9998 0,0322 0,9884 0,1262 0,9067 0,2066 0,6925 0,1833 0,3953 x=7 0,0002 1,0000 0,0092 0,9976 0,0618 0,9685 0,1574 0,8499 0,2095 0,6047 x=8 0,0000 1,0000 0,0020 0,9996 0,0232 0,9917 0,0918 0,9417 0,1833 0,7880 x=9 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0066 0,9983 0,0408 0,9825 0,1222 0,9102 x = 10 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0014 0,9998 0,0136 0,9961 0,0611 0,9713 x= 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0033 0,9994 0,0222 0,9935 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0056 0,9991 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0009 0,9999 x = 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000


F rt t 0 se zuog T b II BIB" "I rt"1 a e e " " IDOmia ve el uog p=O,1 p=0,2 p=0,3 p=O,4 p=0,5 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f~) F(x)

n= 15 x=O 0,2059 0,2059 0,0352 0,0352 0,0047 0,0047 0,0005 0,0005 0,0000 0,0000 x=1 0,3432 0,5490 0,1319 0,1671 0,0305 0,0353 0,0047 0,0052 0,0005 0,0005 x=2 0,2669 0,8159 0,2309 0,3980 0,0916 0,1268 0,0219 0,0271 0,0032 0,0037 x=3 0,1285 0,9444 0,2501 0,6482 0,1700 0,2969 0,0634 0,0905 0,0139 0,0176 x=4 0,0428 0,9873 0,1876 0,8358 0,2186 0,5155 0,1268 0,2173 0,0417 0,0592 x=5 0,0105 0,9978 0,1032 0,9389 0,2061 0,7216 0,1859 0,4032 0,0916 0,1509 x=6 0,0019 0,9997 0,0430 0,9819 0,1472 0,8689 0,2066 0,6098 0,1527 0,3036 x=7 0,0003 1,0000 0,0138 0,9958 0,0811 0,9500 0,1771 0,7869 0,1964 0,5000 x=8 0,0000 1,0000 0,0035 0,9992 0,0348 0,9848 0,1181 0,9050 0,1964 0,6964 x=9 0,0000 1,0000 0,0007 0,9999 0,0116 0,9963 0,0612 0,9662 0,1527 0,8491 x= 10 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0030 0,9993 0,0245 0,9907 0,0916 0,9408 x= II 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0006 0,9999 0,0074 0,9981 0,0417 0,9824 x= 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0016 0,9997 0,0139 0,9963 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0032 0,9995 x= 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 1,0000 x= 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 n= 16 x=O 0,1853 0,1853 0,0281 0,0281 0,0033 0,0033 0,0003 0,0003 0,0000 0,0000 x=1 0,3294 0,5147 0,1126 0,1407 0,0228 0,0261 0,0030 0,0033 0,0002 0,0003 x=2 0,2745 0,7892 0,2111 0,3518 0,0732 0,0994 0,0150 0,0183 0,0018 0,0021 x=3 0,1423 0,9316 0,2463 0,5981 0,1465 0,2459 0,0468 0,0651 0,0085 0,0106 x=4 0,0514 0,9830 0,2001 0,7982 0,2040 0,4499 0,1014 0,1666 0,0278 0,0384 x=5 0,0137 0,9967 0,1201 0,9183 0,2099 0,6598 0,1623 0,3288 0,0667 0,1051 x=6 0,0028 0,9995 0,0550 0,9733 0,1649 0,8247 0,1983 0,5272 0,1222 0,2272 x=7 0,0004 0,9999 0,0197 0,9930 0,1010 0,9256 0,1889 0,7161 0,1746 0,4018 x=8 0,0001 1,0000 0,0055 0,9985 0,0487 0,9743 0,1417 0,8577 0,1964 0,5982 x=9 0,0000 1,0000 0,0012 0,9998 0,0185 0,9929 0,0840 0,9417 0,1746 0,7728 x= 10 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0056 0,9984 0,0392 0,9809 0,1222 0,8949 x= 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0013 0,9997 0,0142 0,9951 0,0667 0,9616 x= 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0040 0,9991 0,0278 0,9894 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0008 0,9999 0,0085 0,9979 x= 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0018 0,9997 x = 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 x= 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000


F ortsetzung T b II BIB' , I a e e , , momla vertetlung p = 0,1 p= 0,2 P 0,3 p=0,4 p=0,5 [(x) F(x) [(x) F(x) [(x) F(x) [(x) F(x) [(x) F(x)

n = 17 x=O 0,1668 0,1668 0,0225 0,0225 0,0023 0,0023 0,0002 0,0002 0,0000 0,0000 x=1 0,3150 0,4818 0,0957 0,1182 0,0169 0,0193 0,0019 0,0021 0,0001 0,0001 x=2 0,2800 0,7618 0,1914 0,3096 0,0581 0,0774 0,0102 0,0123 0,0010 0,0012 x=3 0,1556 0,9174 0,2393 0,5489 0,1245 0,2019 0,0341 0,0464 0,0052 0,0064 x=4 0,0605 0,9779 0,2093 0,7582 0,1868 0,3887 0,0796 0,1260 0,0182 0,0245 x=5 0,0175 0,9953 0,1361 0,8943 0,2081 0,5968 0,1379 0,2639 0,0472 0,0717 x=6 0,0039 0,9992 0,0680 0,9623 0,1784 0,7752 0,1839 0,4478 0,0944 0,1662 x=7 0,0007 0,9999 0,0267 0,9891 0,1201 0,8954 0,1927 0,6405 0,1484 0,3145 x=8 0,0001 1,0000 0,0084 0,9974 0,0644 0,9597 0,1606 0,8011 0,1855 0,5000 x=9 0,0000 1,0000 0,0021 0,9995 0,0276 0,9873 0,1070 0,9081 0,1855 0,6855 x = 10 0,0000 1,0000 0,0004 0,9999 0,0095 0,9968 0,0571 0,9652 0,1484 0,8338 x= 11 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0026 0,9993 0,0242 0,9894 0,0944 0,9283 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0006 0,9999 0,0081 0,9975 0,0472 0,9755 x = 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0021 0,9995 0,0182 0,9936 x = 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0004 0,9999 0,0052 0,9988 x = 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0010 0,9999 x = 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 x = 17 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 n= 18 x=O 0,1501 0,1501 0,0180 0,0180 0,0016 0,0016 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 x=1 0,3002 0,4503 0,0811 0,0991 0,0126 0,0142 0,0012 0,0013 0,0001 0,0001 x=2 0,2835 0,7338 0,1723 0,2713 0,0458 0,0600 0,0069 0,0082 0,0006 0,0007 x=3 0,1680 0,9018 0,2297 0,5010 0,1046 0,1646 0,0246 0,0328 0,0031 0,0038 x=4 0,0700 0,9718 0,2153 0,7164 0,1681 0,3327 0,0614 0,0942 0,0117 0,0154 x=5 0,0218 0,9936 0,1507 0,8671 0,2017 0,5344 0,1146 0,2088 0,0327 0,0481 x=6 0,0052 0,9988 0,0816 0,9487 0,1873 0,7217 0,1655 0,3743 0,0708 0,1189 x=7 0,0010 0,9998 0,0350 0,9837 0,1376 0,8593 0,1892 0,5634 0,1214 0,2403 x=8 0,0002 1,0000 0,0120 0,9957 0,0811 0,9404 0,1734 0,7368 0,1669 0,4073 x=9 0,0000 1,0000 0,0033 0,9991 0,0386 0,9790 0,1234 0,8653 0,1855 0,5927 x= 10 0,0000 1,0000 0,0008 0,9998 0,0149 0,9939 0,0771 0,9424 0,1669 0,7597 x= 11 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0046 0,9986 0,0374 0,9797 0,1214 0,8811 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0012 0,9997 0,0145 0,9942 0,0708 0,9519 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0045 0,9987 0,0327 0,9846 x = 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0011 0,9998 0,0117 0,9962 x = 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0031 0,9993 x = 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0006 0,9999 x = 17 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 x= 18 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000


F ortsetzung T b 1 a eUe B. : Bmomialverteilung p=O,1 p=0,2 p=0,3 p=O,4 p=0,5

f(xl F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) 0= 19 x=O 0,1351 0,1351 0,0144 0,0144 0,0011 0,0011 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 x=1 0,2852 0,4203 0,0685 0,0829 0,0093 0,0104 0,0008 0,0008 0,0000 0,0000 x=2 0,2852 0,7054 0,1540 0,2369 0,0358 0,0462 0,0046 0,0055 0,0003 0,0004 x=3 0,1796 0,8850 0,2182 0,4551 0,0869 0,1332 0,0175 0,0230 0,0018 0,0022 x=4 0,0798 0,9648 0,2182 0,6733 0,1491 0,2822 0,0467 0,0696 0,0074 0,0096 x=5 0,0266 0,9914 0,1636 0,8369 0,1916 0,4739 0,0933 0,1629 0,0222 0,0318 x=6 0,0069 0,9983 0,0955 0,9324 0,1916 0,6655 0,1451 0,3081 0,0518 0,0835 x=7 0,0014 0,9997 0,0443 0,9767 0,1525 0,8180 0,1797 0,4878 0,0961 0,1796 x=8 0,0002 1,0000 0,0166 0,9933 0,0981 0,9161 0,1797 0,6675 0,1442 0,3238 x=9 0,0000 1,0000 0,0051 0,9984 0,0514 0,9674 0,1464 0,8139 0,1762 0,5000 x= 10 0,0000 1,0000 0,0013 0,9997 0,0220 0,9895 0,0976 0,9115 0,1762 0,6762 x= 11 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0077 0,9972 0,0532 0,9648 0,1442 0,8204 x = 12 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0022 0,9994 0,0237 0,9884 0,0961 0,9165 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0085 0,9969 0,0518 0,9682 x= 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0024 0,9994 0,0222 0,9904 x= 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0074 0,9978 x= 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0018 0,9996 x = 17 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 x= 18 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 x= 19 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0=20 x=O 0,1216 0,1216 0,0115 0,oJ 15 0,0008 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 x=1 0,2702 0,3917 0,0576 0,0692 0,0068 0,0076 0,0005 0,0005 0,0000 0,0000 x=2 0,2852 0,6769 0,1369 0,2061 0,0278 0,0355 0,0031 0,0036 0,0002 0,0002 x=3 0,1901 0,8670 0,2054 0,4114 0,0716 0,1071 0,0123 0,0160 0,0011 0,0013 x=4 0,0898 0,9568 0,2182 0,6296 0,1304 0,2375 0,0350 0,0510 0,0046 0,0059 x=5 0,0319 0,9887 0,1746 0,8042 0,1789 0,4164 0,0746 0,1256 0,0148 0,0207 x=6 0,0089 0,9976 0,1091 0,9133 0,1916 0,6080 0,1244 0,2500 0,0370 0,0577 x=7 0,0020 0,9996 0,0545 0,9679 0,1643 0,7723 0,1659 0,4159 0,0739 0,1316 x=8 0,0004 0,9999 0,0222 0,9900 0,1144 0,8867 0,1797 0,5956 0,1201 0,2517 x=9 0,0001 1,0000 0,0074 0,9974 0,0654 0,9520 0,1597 0,7553 0,1602 0,4119 x= 10 0,0000 1,0000 0,0020 0,9994 0,0308 0,9829 0,1171 0,8725 0,1762 0,5881 x= 11 0,0000 1,0000 0,0005 0,9999 0,0120 0,9949 0,0710 0,9435 0,1602 0,7483 x = 12 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0039 0,9987 0,0355 0,9790 0,1201 0,8684 x= 13 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0010 0,9997 0,0146 0,9935 0,0739 0,9423 x= 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0049 0,9984 0,0370 0,9793 x= 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0013 0,9997 0,0148 0,9941 x= 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 1,0000 0,0046 0,9987 x= 17 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0011 0,9998 x = 18 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 x= 19 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 x=20 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000

Ablesebeispiele fUr B(n = 20; P = 0,2):

• p(X = 2)= f(2) = 0,1369

• p(X ~ 2)= P(2) = f(O)+ f(I) + f(2) = 0,2061


Tabelle B.2: Poisson-Verteilun

A. = 0,1 A. = 0,2 A. = 0,3 A. = 0,4 A. = 0,5 fix Fx Fx Fx fix Fx fix Fx

x=O 0,9048 0,9048 0,8187 0,8187 0,7408 0,7408 0,6703 0,6703 0,6065 0,6065 x=1 0,0905 0,9953 0,1637 0,9825 0,2222 0,9631 0,2681 0,9384 0,3033 0,9098 x=2 0,0045 0,9998 0,0164 0,9989 0,0333 0,9964 0,0536 0,9921 0,0758 0,9856 x=3 0,0002 1,0000 0,0011 0,9999 0,0033 0,9997 0,0072 0,9992 0,0126 0,9982 x=4 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0003 1,0000 0,0007 0,9999 0,0016 0,9998 x=5 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0002 1,0000

A. = 0,6 A. = 0,7 A. = 0,8 fix fix Fx fix Fx

x=O 0,5488 0,4966 0,4966 0,4493 0,4493 x=1 0,3293 0,3476 0,8442 0,3595 0,8088 x=2 0,0988 0,1217 0,9659 0,1438 0,9526 x=3 0,0198 0,0284 0,9942 0,0383 0,9909 x=4 0,0030 0,0050 0,9992 0,0077 0,9986 x=5 0,0004 0,0007 0,9999 0,0012 0,9998 x=6 0,0000 0,0001 1,0000 0,0002 1,0000 x=7 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000

A. = 1,1 A. = 1,2 A. = 1,3 A. = 1,5 fix Fx fix Fx fix fix Fx

x=O 0,3329 0,3329 0,3012 0,3012 0,2725 0,2231 0,2231 x=1 0,3662 0,6990 0,3614 0,6626 0,3543 0,3347 0,5578 x=2 0,2014 0,9004 0,2169 0,8795 0,2303 0,2510 0,8088 x=3 0,0738 0,9743 0,0867 0,9662 0,0998 0,1255 0,9344 x=4 0,0203 0,9946 0,0260 0,9923 0,0324 0,0471 0,9814 x=5 0,0045 0,9990 0,0062 0,9985 0,0084 0,0141 0,9955 x=6 0,0008 0,9999 0,0012 0,9997 0,0018 0,0035 0,9991 x=7 0,0001 1,0000 0,0002 1,0000 0,0003 0,0008 0,9998 x=8 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 0,0001 1,0000

A. = 1,6 A. = 1,7 A. = 1,8 A. = 1,9 A. = 2,0 fix Fx Fx Fx fix Fx Fx

x=O 0,2019 0,2019 0,1827 0,1827 0,1653 0,1653 0,1496 0,1496 0,1353 0,1353 x=1 0,3230 0,5249 0,3106 0,4932 0,2975 0,4628 0,2842 0,4337 0,2707 0,4060 x=2 0,2584 0,7834 0,2640 0,7572 0,2678 0,7306 0,2700 0,7037 0,2707 0,6767 x=3 0,1378 0,9212 0,1496 0,9068 0,1607 0,8913 0,1710 0,8747 0,1804 0,8571 x=4 0,0551 0,9763 0,0636 0,9704 0,0723 0,9636 0,0812 0,9559 0,0902 0,9473 x=5 0,0176 0,9940 0,0216 0,9920 0,0260 0,9896 0,0309 0,9868 0,0361 0,9834 x=6 0,0047 0,9987 0,0061 0,9981 0,0078 0,9974 0,0098 0,9966 0,0120 0,9955 x=7 0,0011 0,9997 0,0015 0,9996 0,0020 0,9994 0,0027 0,9992 0,0034 0,9989 x=8 0,0002 1,0000 0,0003 0,9999 0,0005 0,9999 0,0006 0,9998 0,0009 0,9998 x=9 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0001 1,0000 0,0001 1,0000 0,0002 1,0000


F t t Tb1lB2p· or se ZUDg a e e .. OISS0Dve rt .• el UDg

A. = 2,1 A. = 2,2 A. = 2,3 A. = 2,4 A. = 2,5 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x)

x=O 0,1225 0,1225 0,1108 0,1108 0,1003 0,1003 0,0907 0,0907 0,0821 0,0821 x=1 0,2572 0,3796 0,2438 0,3546 0,2306 0,3309 0,2177 0,3084 0,2052 0,2873 x=2 0,2700 0,6496 0,2681 0,6227 0,2652 0,5960 0,2613 0,5697 0,2565 0,5438 x=3 0,1890 0,8386 0,1966 0,8194 0,2033 0,7993 0,2090 0,7787 0,2138 0,7576 x=4 0,0992 0,9379 0,1082 0,9275 0,1169 0,9162 0,1254 0,9041 0,1336 0,8912 x=5 0,0417 0,9796 0,0476 0,9751 0,0538 0,9700 0,0602 0,9643 0,0668 0,9580 x=6 0,0146 0,9941 0,0174 0,9925 0,0206 0,9906 0,0241 0,9884 0,0278 0,9858 x=7 0,0044 0,9985 0,0055 0,9980 0,0068 0,9974 0,0083 0,9967 0,0099 0,9958 x=8 0,0011 0,9997 0,0015 0,9995 0,0019 0,9994 0,0025 0,9991 0,0031 0,9989 x=9 0,0003 0,9999 0,0004 0,9999 0,0005 0,9999 0,0007 0,9998 0,0009 0,9997 x= 10 0,0001 1,0000 0,0001 1,0000 0,0001 1,0000 0,0002 1,0000 0,0002 0,9999 x= 11 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000

A. = 3,0 A. = 3,5 A. = 4,0 A. = 5,0 A. = 6,0 f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x) f(~ F(x)

x=O 0,0498 0,0498 0,0302 0,0302 0,0183 0,0183 0,0067 0,0067 0,0025 0,0025 x=1 0,1494 0,1991 0,1057 0,1359 0,0733 0,0916 0,0337 0,0404 0,0149 0,0174 x=2 0,2240 0,4232 0,1850 0,3208 0,1465 0,2381 0,0842 0,1247 0,0446 0,0620 x=3 0,2240 0,6472 0,2158 0,5366 0,1954 0,4335 0,1404 0,2650 0,0892 0,1512 x=4 0,1680 0,8153 0,1888 0,7254 0,1954 0,6288 0,1755 0,4405 0,1339 0,2851 x=5 0,1008 0,9161 0,1322 0,8576 0,1563 0,7851 0,1755 0,6160 0,1606 0,4457 x=6 0,0504 0,9665 0,0771 0,9347 0,1042 0,8893 0,1462 0,7622 0,1606 0,6063 x=7 0,0216 0,9881 0,0385 0,9733 0,0595 0,9489 0,1044 0,8666 0,1377 0,7440 x=8 0,0081 0,9962 0,0169 0,9901 0,0298 0,9786 0,0653 0,9319 0,1033 0,8472 x=9 0,0027 0,9989 0,0066 0,9967 0,0132 0,9919 0,0363 0,9682 0,0688 0,9161 x= 10 0,0008 0,9997 0,0023 0,9990 0,0053 0,9972 0,0181 0,9863 0,0413 0,9574 x= 11 0,0002 0,9999 0,0007 0,9997 0,0019 0,9991 0,0082 0,9945 0,0225 0,9799 x= 12 0,0001 1,0000 0,0002 0,9999 0,0006 0,9997 0,0034 0,9980 0,0113 0,9912 x = 13 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0002 0,9999 0,0013 0,9993 0,0052 0,9964 x= 14 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0001 1,0000 0,0005 0,9998 0,0022 0,9986 x = 15 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000 0,0009 0,9995 x= 16 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0003 0,9998 x= 17 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0002 1,0000

Ablesebeispiele fUr A. = 2:

• p(X = 1)= f(I)= 0,2707

• p(X ~ 1)= F(l) = f(O)+f(I)= 0,4060


a e e .. T b II B3 er el ungs un Ion er tan ar norma ve el ung V t 'I fkf dS dd 1 rt'l z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9 131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

Ablesebeispiele:

• Fz (I,96) = 0,975

• Fz(-1,96)=I-[Fz (1,96)]

= 1- 0,975 = 0,025


a e e , , T b II B4 uan leer an ar norma ver el un2 Q fI d St d d t 'I

a I-a zl-a ZI-aj2

0,9000 0,1000 -1,282 0,126 0,8000 0,2000 -0,842 0,253 0,7000 0,3000 -0,524 0,385 0,6000 0,4000 -0,253 0,524 0,5000 0,5000 0,000 0,674 0,4000 0,6000 0,253 0,842 0,3173 0,6827 0,475 1,000 0,3000 0,7000 0,524 1,036 0,2000 0,8000 0,842 1,282 0,1336 0,8664 1,109 1,500 0,1000 0,9000 1,282 1,645 0,0750 0,9250 1,440 1,780 0,0500 0,9500 1,645 1,960 0,0455 0,9545 1,690 2,000 0,0250 0,9750 1,960 2,242 0,0200 0,9800 2,054 2,326 0,0100 0,9900 2,326 2,576 0,0050 0,9950 2,576 2,807 0,0027 0,9973 2,782 3,000 0,0010 0,9990 3,090 3,291

Ablesebeispiele:

• zO,975 = 1,96

• zO,025 = -zO,975 = -1,96

~----------~--------~z

o Z1-a


TbllBS a e e , , Q , de' Q uantde er hl- uadrat-Vertedung b' F 'h' d el v rei eltsgra en

I~ 0,005 0,010

1 0,000 0,000 2 0,010 0,020 3 0,072 0,115 4 0,207 0,297 5 0,412 0,554 6 0,676 0,872 7 0,989 1,239 8 1,344 1,647 9 1,735 2,088 10 2, 156 2,558

11 2,603 3,053 12 3,074 3,571 13 3,565 4,107 14 4,075 4,660 15 4,601 5,229 16 5,142 5,812 17 5,697 6,408 18 6,265 7,015 19 6,844 7,633 20 7,434 8,260

21 8,034 8,897 22 8,643 9,542 23 9,260 10,196 24 9,886 10,856 25 10,520 11,524 26 11,160 12,198 27 11 ,808 12,878 28 12,461 13,565 29 13,121 14,256 30 13 ,787 14,953

40 20,707 22,164 50 27,991 29,707

Abiesebeispiei: 2

XO,975;2 = 7,378

0,Q25 0,050

0,001 0,004 0,051 0,103 0,216 0,352 0,484 0,711 0,831 1,145 1,237 1,635 1,690 2,167 2,180 2,733 2,700 3,325 3,247 3,940

3,816 4,575 4,404 5,226 5,009 5,892 5,629 6,571 6,262 7,261 6,908 7,962 7,564 8,672 8,231 9,390 8,907 10,117 9,591 10,851

10,283 11 ,591 10,982 12,338 11 ,689 13,091 12,401 13,848 13,120 14,611 13,844 15,379 14,573 16,151 15,308 16,928 16,047 17,708 16,791 18,493

24,433 26,509 32,357 34,764

0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 1,064 7,779 9,488 11 ,143 13,277 14,860 1,610 9,236 11 ,070 12,832 15,086 16,750 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 4, 168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188

5,578 17,275 19,675 21 ,920 24,725 26,757 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 7,790 21 ,064 23,685 26,119 29,141 31 ,319 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 10,865 25 ,989 28,869 31,526 34,805 37,156 11 ,651 27,204 30,144 32,852 36, 191 38,582 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997

13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 14,848 32,007 35,172 38,076 41 ,638 44,181 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672

29,051 51 ,805 55,758 59,342 63,691 66,766 37,689 63 ,167 67,505 71,420 76,154 79,490

I-a

~--------~2--------_X2 o Xl- cx.;v


TbllB6 a e e : Q fI d uan Ie er t-V t"1 er el un2 el v rei el s2ra en b' F "h"t d

I~ 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9995

I 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

II 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 1,330 1,734 2, 101 2,552 2,878 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

00 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291

Ablesebeispiele: f(t)

• t o,975;2 = 4,303

• to,025;2 = -to,975;2 = -4,303

~---------L----------t o t 1- a: v ,


Tabelle B.7: Quantile der F-Verteilung bei v Ziihler- und w Nennerfrei-h't d el S2ra en

~ 1 2 3 4 5 6 7 8 I-a

1 0,950 161 200 216 225 230 234 237 239 0,990 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981

2 0,950 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 0,990 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4

3 0,950 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 0,990 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5

4 0,950 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 0,990 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8

5 0,950 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 0,990 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3

6 0,950 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 0,990 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10

7 0,950 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 0,990 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84

8 0,950 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 0,990 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03

9 0,950 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 0,990 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47

10 0,950 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 0,990 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06

12 0,950 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 0,990 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50

15 0,950 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 0,990 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00

20 0,950 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 0,990 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56

30 0,950 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 0,990 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17

60 0,950 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 0,990 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82

120 0,950 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 0,990 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66

00 0,950 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 0,990 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51


Fortsetzung Tabelle B.7: Quantile der F-Verteilung bei v Zihler- und w N ti'h't d enner rei el sgra en

~ 9 10 12 15 20 30 60 120 00

I-a 1 0,950 241 242 244 246 248 250 252 253 254

0,990 6023 6056 6106 6157 6209 6261 6313 6340 6366

2 0,950 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 0,990 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5

3 0,950 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,62 8,57 8,55 8,53 0,990 27,3 27,2 27,1 26,9 26,7 26,5 26,3 26,2 26,1

4 0,950 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,75 5,69 5,66 5,63 0,990 14,7 14,5 14,4 14,2 14,0 13,8 13,7 13,6 13,5

5 0,950 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,50 4,43 4,40 4,37 0,990 10,2 10,1 9,89 9,72 9,55 9,38 9,20 9,11 9,02

6 0,950 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,81 3,74 3,70 3,67 0,990 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,23 7,06 6,97 6,88

7 0,950 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,38 3,30 3,27 3,23 0,990 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 5,99 5,82 5,74 5,65

8 0,950 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,08 3,01 2,97 2,93 0,990 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,20 5,03 4,95 4,86

9 0,950 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,86 2,79 2,75 2,71 0,990 5,35 5,26 5,11 4,96 4,81 4,65 4,48 4,40 4,31

10 0,950 3,02 2,98 2,91 2,84 2,77 2,70 2,62 2,58 2,54 0,990 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,25 4,08 4,00 3,91

12 0,950 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,47 2,38 2,34 2,30 0,990 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,70 3,54 3,45 3,36

15 0,950 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,25 2,16 2,11 2,07 0,990 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,21 3,05 2,96 2,87

20 0,950 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,04 1,95 1,90 1,84 0,990 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,78 2,61 2,52 2,42

30 0,950 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,84 1,74 1,68 1,62 0,990 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,39 2,21 2,11 2,01

60 0,950 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,65 1,53 1,47 1,39 0,990 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,03 1,84 1,73 1,60

120 0,950 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,55 1,43 1,35 1,25 0,990 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,86 1,66 1,53 1,38

00 0,950 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,46 1,32 1,22 1,00 0,990 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,70 1,47 1,32 1,00


Ablesebeispiel:

FO,95;2;5 = 5,79 f(F)

F


TbllB8 a e e .. S· ffA Kntlsche Werte beim Kolmo2orov- mlrno - npassungstest

n kO,90;n ko 95·n , ,

1 0,900 0,950 2 0,684 0,776 3 0,565 0,636 4 0,493 0,565 5 0,447 0,509 6 0,410 0,468 7 0,381 0,436 8 0,358 0,410 9 0,339 0,387 10 0,323 0,369 11 0,308 0,352 12 0,296 0,338 13 0,285 0,325 14 0,275 0,314 15 0,266 0,304 16 0,258 0,295 17 0,250 0,286 18 0,244 0,279 19 0,237 0,271

20 0,232 0,265

Ablesebeispiele:

• ko 95·5 = 0,509 , ,

• kO,90;38 = 0,170

• ko 95·60 = 1,22/ J60 = 0,158 , ,

51 Approximative Berechnung. 52 Approximative Berechnung.

n kO,90;n ko 95·n , ,

21 0,226 0,259 22 0,221 0,253 23 0,216 0,247 24 0,212 0,242 25 0,208 0,238 26 0,204 0,233 27 0,200 0,229 28 0,197 0,229 29 0,193 0,221 30 0,190 0,218 31 0,187 0,214 32 0,184 0,211 33 0,182 0,208 34 0,179 0,205 35 0,177 0,202 36 0,174 0,199 37 0,172 0,196 38 0,170 0,194 39 0,168 0,191

n~40 1,07/ -.In 51 1,22/-.Jn 52

Literaturverzeichnis

• Zitierte Literatur

Bortz, Jiirgen 1999: Statistik fiir Human- und Sozialwissenschaftler, 5., vollst. iiberarb. und aktualisierte Aufl., Berlin u. a.

Bortz, JiirgeniGustav A. LienertlKlaus Boehnke 1990: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik, Berlin u. a.

ClauB, Giinter/Falk-Riidiger FinzelLothar Partzsch 2004: Statistik fiir Soziologen, Piidagogen, Psychologen und Mediziner, 5., korrigierte Aufl., Frankfurt am Main.

Cohen, Jacob 1988: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2. Aufl., Hilsdale.

Eckey, Hans-FriedrichIReinhold KosfeldIMatthias Tiirck 2005: Deskriptive Statistik. Grundlagen - Methoden - Beispiele, 4., neu bearb. Aufl., Wiesbaden.

Feller, William 1968: An Introduction to Probability Theory and Its Applications I, 3. Aufl., New York.

Feller, William 1971: An Introduction to Probability Theory and Its Applications II, 2. Aufl., New York.

Fisz, Marek 1989: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, 11. Aufl., Berlin.

Schwarze, Jochen 2001: Grundlagen der Statistik II, Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive, 7. Aufl., Heme/Berlin.

• Ausgewahlte LehrbOcher zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktiven Statistik

Assenmacher, Walter 2000: Induktive Statistik, Berlin u. a.

Bleymiiller, Josef/Giinter Gehlert, Herbert Giilicher 2004: Statistik fiir Wirtschaftswissenschaftlicher, 14., iiberarb. Aufl., Miinchen.

Bohley, Peter 2000: Statistik. Einfiihrendes Lehrbuch fiir Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, 7., griindlich iiberarb. und aktualisierte Aufl., MiinchenIWien.

Bol, Georg 2003: Induktive Statistik. Lehr- und Arbeitsbuch, 3., bearb. Aufl., MiinchenIWien.

Bortz, Jiirgen 2005: Statistik fiir Human- und Sozialwissenschaftler, 6., vollst. iiberarb. und aktualisierte Aufl., Berlin u. a.

Bosch, Karl 2000: Gliicksspiele : Chancen und Risiken, MiinchenIWien.

302 Literaturverzeichnis

Bourier, Giinther 2005: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlieBende Statistik. Praxisorientierte Einfiihrung, 4., iiberarb. Aufl., Wiesbaden.

Fahrmeir, Ludwig/Rita Kiinstler/Iris Pigeot 2004: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse, 5., verb. Aufl., Berlin u. a.

Hartung, Joachim/Barbel ElpeltiKarl-Heinz Klosener 2002: Statistik : Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, 13., unwesentlich verand. Aufl., MiinchenlWien.

Mosler, KarllFriedrich Schmid 2003: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlieBende Statistik, Berlin

Nachtigall, Christof/Markus Wirtz: Statistische Methoden fiir Psychologen. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Inferenzstatistik, 3. Aufl., Weinheim.

Schira, Josef 2005: Statistische Methoden der VWL und BWL. Theorie und Praxis, 2. Aufl., Miinchen u. a.

Schwarze, Jochen 2001: Grundlagen der Statistik II, Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive, 7. Aufl., Heme/Berlin.

Tiede, Manfred/Werner VoB 2000: SchlieBen mit Statistik - Verstehen, MiinchenIWien.

Toutenburg, Helge 2005: Induktive Statistik, Berlin u. a.

• Ausgewahlte Aufgabensammlungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktiven Statistik

Bourier, Giinther 2003: Statistik-Obungen. Beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, schlieBende Statistik, Heme.

Eckstein, Peter P. 2002: Klausurtraining Statistik, 3., iiberarb. und erw. Aufl., Wiesbaden.

Lippe, Peter von der 2004: Induktive Statistik. Forme1n, Aufgaben, Klausurtraining, 6., iiberarb. Aufl., Miinchen.

Schwarze, Jochen 2002: Aufgabensammlung zur Statistik, 4. Aufl., Heme/Berlin.

Vogel, Friedrich 2001: Beschreibende und schlieBende Statistik, Aufgaben und Beispiele, 9., kOIT. u. erw. Aufl., MiinchenIWien.

Index

Abhangigkeit 43 ff., 189, 250, 261,

268

Additionssatz fUr zwei Ereignisse

32 fo

Annahmebereich 224 ff.

Anordnungsproblem 17 ff

Anteilswert 164,189,196 f., 213 ff.,

223 fo, 239, 243, 258

Anteilswertdifferenzentest 258

Anteilswerttest 243

Approximation 98,156,167,171 ff.,

209,213,216,220,223,243,247,

254,256 ffo

arithmetisches Mittel ~ 73, 104, 119,

120,176,196,203,217,239,265

Auswahl

~ aufs Geradewohl (wilkiihrliche

Auswahl) 183

~ einfache Zufalls- 2, 183 ff.

~ geschichtete Zufalls- 184 f.

~ Klumpen- 185 fo

~ -satz- 184 ffo

Bayes 37,40,41,42

Bemoulli-Prozess 91 ff., 105

Bias 190,194

Binomialkoeffizient 21

Chi-Quadrat-Anpassungstest 262 ff.

Chi -Quadrat -U nabhiingigkeitstest

261,269 ff

Chi-Quadrat-Verteilung 131 ff., 140,

176,215 f, 220, 262 ff, 271 fo

Dichtefunktion 57 ffo, 67 ff., 86 f.,

112 ff., 126 fo, 132 ff, 140 fo,

147 ffo, 156, 161, 172, 190, 193,

199,205,231 ffo, 265, 280 f.

~ gemeinsame 142, 147 fo

~ Rand- 150

~ Zulassigkeit der 58

disjunkt 10, 11,28,29,32,37

Doppelter GauB-Test 251, 262

Doppelter t-Test 253,262

Effizienz 192

Endlichkeitskorrektur 104

Entscheidungsbaum 36, 39

Entstandardisierung 180, 204, 218,

247

Ereignis 3 ff., 28 ff., 51, 91, 94 ffo,

105 ff., 115, 164 f., 169, 173 ff.

~ disjunktes 34

~ Elementar- 7, 16,32,45,56

~ Komplementar- 9 f., 29 f., 91, 158,

168

~ Teil- 8, 30 f

~ unmogliches 7 fo

Ergebnis 1 ffo, 16 fo

- -menge 4 ffo, 16,33,34,47 ff.

- - endliche 16

- - unendliche 5

304

Erhebung 180 ff.

~ Teil- 180 ff.

~ Vol1- 1, 180 ff.

Erwartungstreue 190 ff.

~ asymptotische 194 f., 199

Erwartungswert 73 ff., 81 ff., 89 ff.,

103 ff., 110, 114, 121, 128 f., 134,

137, 141, 151 f., 157 ff., 166 ff.,

188 ff., 198, 208, 222, 228, 240,

241 ff., 250 ff., 276, 279 ff.

~ Eigenschaften yom 77 ff.

~ Rechenregeln flir den 279 ff.

Exponentialverteilung 114 ff.

Fehler 1. Art 227,230 ff.

Fehler 2. Art 230 ff., 261 ff.

Fehlermarge 222 f.

Freiheitsgrade 132 ff., 176, 179,

208, 215, 220, 243, 246, 253,

256 f., 260 ff., 271 f.

~ Nenner- 140

~ Ziihler- 140

F-Test 253 ff., 260 ff.

Gammafunktion 133

GauB-Test 228 f., 240 f., 250 ff., 262

Gesetz

~ Assoziativ- 12

~ Distributiv- 12

~ Kommutativ- 12

~ Gesetz der groBen Zahlen 156,

160 ff.

~ ~ von Bernoulli 164 f.

Index

~ ~ von Tschebyscheff 161 f.

Gleichverteilung 89 f., 112 ff., 263 f.

~ diskrete 89 ff.

~ stetige 112 ff.

Grenzwertsiitze 156, 164 ff.

Grundgesamtheit 1 f., 156, 161, 166,

180 ff., 187, 189 ff.

Giitekriterien flir Punktschiitzer

188 ff.

Hiiufigkeit 14 f., 37, 45, 56, 164 f.,

175, 262 ff., 267 ff.

~ absolute 13, 164, 175,270

~ beobachtete 262 ff.

~ erwartete 262 ff.

~ Rand- 270 ff.

~ zweidimensionale 270

Hypothese

~ Alternativ- 221 ff., 228 f., 233 f.,

262

~ Nul1- 221 ff., 227 ff.

~ Parameter- 221

~ Punkt- 222,229,233

~ Unabhiingigkeits- 221

~ Verteilungs- 221

Interval1schiitzung 201 ff.

Irrtumswahrscheinlichkeit 231 ff.

Kennzahlen 85

Kleinst-Quadrate-Schiitzer 199 f.

Kleinst-Quadrate-Schiitzung 199 f.

Klumpenauswahl 185 f.

Index

Ko1mogorov-Smimoff-

Anpassungstest 267 ff.

Kombinationen 19 ff.

Kombinatorik 17 ff.

Konfidenzaussage 211 f.

Konfidenzintervall 201 ff.

~ fUr den Antei1swert 212 ff.

~ fUr den Erwartungswert 204,

208 ff.

~ fUr die Varianz 217 ff.

~ -Liinge 211,221 ff.

Konfidenzniveau 201 f., 206,

207 ff., 210 ff., 221 ff., 233

Konsistenz 194 f.

Konstante 79,81, 149,279,282

Korre1ationskoeffizient 153 f.

Kovarianz 151 ff., 279, 283 f.

kritischer Wert 222 ff.

KSA-Test 261,267 ff.

Lageparameter 86

Likelihood-Funktion 199

Lineartransformation 79 f., 175,

281,283

Macht eines Tests 231

Machtigkeit 16

MaBzahl 73,117,134

Maximum-Likelihood-Methode

198 f.

Momente 85, 86, 188, 198

~ gewohn1iche 85,198

~ -nmethode 198, 199,201

~ zentra1e 85, 86, 87

Multip1ikationssatz 44, 45, 46

305

~ fUr n unabhangige Ereignisse 46

~ fUr zwei unabhangige Ereignisse

44

Multiplikativer Faktor 279,282

MutmaBlichkeit 199

Nichtparametrische Tests 239,261

notwendiger Stichprobenumfang

217 ff.

Parametrische Tests 221 ff.

Permutation 17, 18, 19, 23, 25, 26,

95,98,102

~ mit Wiederho1ung 18, 23

PriifgroBe 224, 225, 227, 228, 229,

230,235,237,238,240,241,242,

243,244,245,246,247,248,251,

252,253,255,256,257,258,260,

262,263,265,268,269,271,272,

273,275,276

Punktschatzer 188 ff.

p-Wert 235,236,237,238

Quantile 70, 126 ff., 134 f., 138 f.,

179,209,218,225

~ der Chi-Quadrat-Vertei1ung 134

~ der F-Vertei1ung 141

~ der Standardnorma1vertei1ung 126,

128

~ der t-Vertei1ung l38,209

Randwahrscheinlichkeit 144

Rang 261,273,275 f.

306

~ -platziiberschreitungen 273

~ verbundener 273

Regressionskoeffizient 154 f.

Satz von Bayes 41 ff.

Satz von der total en Wahrscheinlich-

keit 37 ff.

Saulendiagramm 55

Schatzer 190 ff., 201 ff.

~ effizienter 192 f., 196, 198, 207

~ erwartungstreuer 190 ff., 195 f.,

198 f., 207

~ Intervall- 201 ff.

~ Kleinst-Quadrate- 199 f.

~ konsistenter 195, 196, 198, 207

~ Maximum-Likelihood- 198 f.

~ Momenten- 198 ff.

~ Punkt- 189 f., 196 ff., 210

Schiefekoeffizient 86 ff.

Schluss

~ indirekter 1 f., 180 ff.

~ induktiver 1 f., 180 ff.

Schnittmenge 9 ff., 28 ff.

signifikant 222, 228, 249, 253, 258,

260,275

Stabdiagramm 55 ff., 109

Stabilitatseigenschaft 14

Stammfunktion 60 f.

Standardabweichung 75 ff., 83 ff.,

124, 130, 158 ff., 168, 203 ff.,

211 ff., 217, 219, 222, 224, 241,

244 f., 257, 265, 275 ff.

Index

Standardisierung 83, 120, 124, 129,

170,224

SteigungsmaB 154,155

Stetigkeitskorrektur 171 ff.

Stichprobe 180 ff.

Stichproben

~ -anteilswert 195, 213 ff., 223 f.,

239,243,258 f.

~ -fehler 181,183,201

~ -funktion 189,201,224

~ -mittelwert 195

~ -umfang 104, 156, 179, 194 f.,

211 f., 221 ff., 232, 239, 241, 252,

267 f.

~ -variable 187 ff., 201, 224

~-varianz 195,240,252,260

~ -wert 199,276

Streuungsparameter 76,86,282

Teilerhebung 181

Test

~ Anteilswert- 241 ff.

~ Anteilswertdifferenzen- 256 ff.

~ Chi-Quadrat-Anpassungs- 262 ff.

~ Chi-Quadrat-Unabhangigkeits-

261,269,270,272

~ doppelter GauB- 248 ff.

~ doppelter t- 251 ff.

~ einseitiger 222 ff., 240 f.

~ Einstichproben- 237 ff.

~ F- 258 ff.

~ GauB- 227 ff., 238 ff.

Index

- (KSA-) Kolmogorov-Smimoff-An-

passungs- 267 ff.

- nichtparametrischer 261 ff.

- parametrischer 237 ff.

- rechtsseitiger 233

- t- 239

- U- 253,261,273 ff.

- Varianz- 244 ff.

- von Welch 251,254 ff.

- zweiseitiger 222 ff.

- Zweistichproben- 247 ff.

Treppenform 64

Tschebyscheffsche Ungleichung

156 ff.

t-Test 239 ff.

- flir unabhiingige Stichproben

251 ff.

- doppelter 251 ff.

Uberschreitungswahrscheinlichkeit

233 ff.

Unabhiingigkeit

- stochastische 43, 146, 162 ff., 270

- Uberpriifung von 43 ff., 144 ff.

U-Test 253,261,273 ff.

307

Varianz 73 ff., 103 ff., 110, 114 ff.,

119 ff., 129, 134, 137, 141, 153,

157, 161 ff., 176, 188 ff., 203,

208, 215 ff., 228, 239, 240 ff.,

250 ff., 257, 260 ff., 269, 279,

282 f.

- Eigenschaften der 77 ff.

- -heterogenitiit 256

- Rechenregeln flir die 279 ff.

- Varianztest 244 ff.

- -verschiebungssatz 78 ff., 85

- verschwindende 194 f.

Variationen 19 ff.

Venn-Diagramm 6 ff., 28 ff., 94

Vereinigungsmenge 9 f., 28, 33

Verteilung

- Binomial- 95 ff., 102, 104, 105,

109 ff., 170 ff., 175 ff., 199,

213 ff., 243, 258

- Chi-Quadrat- 131 ff., 140, 176,

215 ff., 220, 262 ff., 271 f.

- Exponentia1- 112, 114 ff.

- F- 112, 139 ff., 260, 262

- geometrische 106

- hypergeometrische 101 ff.

- linksschiefe 87

- Norma1- 112, 117 ff., 166 f., 170,

172 ff., 203, 208, 213 ff., 228 f.,

240, 243 ff., 251 ff., 258, 264,

267,269,275

- rechtsschiefe 87, 105, 110, 172

308

- Schiefe der 86

- Standardnonnal- 120 ffo, 136, 137,

138,167,168,170,171,172,174,

179,203,204,208,209,210,212,

218,224,228,240,241,244,247,

252,256,258,262,273

- stetige Gleich- 112

- t- 136 f., 176, 208 ffo, 220, 240,

243, 256 f., 262

Verteilungsfunktion 63 ff., 101 ff.,

116 f., 120 ffo, 133, 137, 141,

165 ffo, 170 ff., 188

- empirische 268

- Funktionsvorschrift der 64

- grafischeDarstellung der 65

- Rechenregeln fur die 65,68

- tabellarische Darstellung der 64

Vollerhebung 1, 180 fo

vollstandiges System 37 f., 40

Wahrscheinlichkeit

- aposteriori 15

- apriori- 15

- bedingte 34 ff., 40 ffo

- Hochst- 157 ff.

- Intervall- 58,67,172

- Komplementar- 59,68,93, 169

- kumulierte 63 ffo

- Laplacesche 15

- Mindest- 158 ff.

- Rand- 144 ffo

- statistische 13 ffo

Index

- -stheorie 3, 29

- subjektive 13

- -sverteilungen 51, 53 ff., 89 ffo,

112 ffo

- totale 38

Wahrscheinlichkeitsbegriff 12 f.

Wahrscheinlichkeitsfunktion 53 ff.,

89 ffo

- gemeinsame 142 fo

- Grafische Darstellung der 55

- Tabellarische Darstellung der 54

Wahrscheinlichkeitsrechnung 2, 3,

4, 13,28,55, 156, 183

- Additionssatz der 32,33

- Axiome der 28, 32, 58, 64

- Multiplikationssatz der 44, 45, 46

Wert

- empirischer 224

- kritischer 222 ffo

Zentraler Grenzwertsatz 118, 156,

164 ff., 208, 228, 251, 258, 268

- von de Lindeberg und Feller 175

- von de Lindeberg und Levy 165 ff.

- von Ljapunoff 175

- von de Moivre und Laplace

169 ffo, 258

zentrales Schwankungsintervall

128 f., 139, 179

Ziehen mit ZUrUcklegen 19,23, 106

Ziehen ohne ZUrUcklegen 19, 104

Index

Zufallsauswah1 2, 161, 181 ff., 196,

201

- einfache 182 f.

- geschichtete 183

- uneingeschrankte 186

Zufallsexperiment 3 f., 13, 51, 61,

70,95 f. 102, 122, 176

Zufallsvariab1e

- Begriff 49 ff.

- diskrete 52 ff., 57, 64 f., 68, 73,

89,151,267

309

- identisch vertei1te 161 ff., 176

- standardisierte 83 ff., 128, 170,

173,175

- stetige 51 ff., 57, 59, 63, 67, 73,

75,112,151

- zweidimeniona1e 142 ff.

Zufallsvorgang 3 ff., 13, 15 f., 50,

91, 161, 164, 169

Gunther Bourier Beschreibende Statistik Praxisorientierte EinfOhrung Mit Aufgaben und Liisungen 5., uberarb. Auflage 2003. X, 269 S. mit 108 Abb. Br. EUR 26,90 ISBN 3-409-52215-8

Gunther Bourier Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlieBende Statistik Praxisorientierte EinfOhrung Mit Aufgaben und Liisungen 3., uberarb. Aufl. 2002. XII, 382 S. mit 110 Abb. u. 16 Tab. Br. EUR 29,90 ISBN 3-409-31463-6

Hans-F. Eckey/ Reinhold Kosfeld/Christian Dreger Okonometrie Grundlagen - Methoden - Beispiele 3., uberarb. u. erw. Autl. 2004. XXIV,423 S. mit 21 Abb. u. 7 Tab. Br. EUR41,90 ISBN 3-409-33732-6

Hans Friedrich Eckey/Reinhold Kosfeld/ Matthias Turck Deskriptive Statistik Grundlagen - Methoden - Beispiele 4., neu bearb. Aufl. 2005. XXV, 277 S. mit 84 Abb. u. 15 Tab. Br. EUR 24,90 ISBN 3-409-42701-5

Hans-F. Eckey / Reinhold Kosfeld/Martina Rengers Multivariate Statistik Grundlagen - Methoden - Beispiele 2002. XXXIV, 442 S. mit 93 Abb. u. 120 Tab. Br. EUR 34,90 ISBN 3-409-11969-8

Anderungen vorbehalten. Stand: Juli 2005.

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Peter P. Eckstein Repetitorium Statistik Deskriptive Statistik - Stochastik - Induktive Statistik. Mit Klausuraufgaben und Liisungen 5., vollst. uberarb. u. elW. Autl. 2003. X. 388 S. Br. EUR 29,90 ISBN 3-409-52099-6

Ullrich Guckelsberger/Fritz Unger Statistik in der Betriebswirtschaftslehre Mit Fallbeispielen und Liisungen 1998. XII, 349 S. Br. EUR 24,90 ISBN 3-409-12230-3

Agnes Reichardt Obungsprogramm zur statistischen Methodenlehre 7., durchges. Aufl. 2002. 197 S. mit 20 Abb. Br. EUR 27,90 ISBN 3-409-73826-6

Helmut Reichardt! Agnes Reichardt Statistische Methodenlehre fiir Wirtschaftswissenschaftler 11., durchges. Aufl. 2002. 262 S. mit 50 Abb. Br. EUR 36,90 ISBN 3-409-23761-5

Kurt Scharnbacher Statistik im Betrieb Lehrbuch mit praktischen Beispielen 14., akt. Aufl. 2004. 328 S. Br. EUR 36,90 ISBN 3-409-47027-1

Gabler Verlag· Abraham-lincoln-Str. 46 . 65189 Wiesbaden . www.gabler.de

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