215

Anhang I. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2 •

1.1. Die wichtigsten Gesetze der Schaltalgebra, Aussagenalgebra, Booleschen Algebra B2

(Reihenfolge nach [Wh], Seite 9)

Gesetze rür die Konjunktion Kommutativ-Gesetze:

(KII) aAb=bAa

Assoziativ-Gesetze:

(A,,) aA(bA c)=(a"b)Ac

Distributiv-Gesetze:

aA (b v c) =(a" b) v(aAC)

Idempotenz-Gesetze:

(J,,) a/\a=a

Absorptions-Gesetze:

(Ab,,) aA (a vb) = a

Gesetze des Komplementes:

(C,,)

Gesetz des doppelten Komplementes:

(CC) -a=a

Gesetz von De Morgan:

(MII) all b = a v b

Gesetze für die Disjunktion

avb =b va

av(bvc)=(avb)vc

a v (b" c) =(a vb)/\(av c)

ava=a

(Ab y ) av(al\b)=a

ava=l

Das neutrale Element der Konjunktion bzw. der Disjunktion:

alll =a avO=a

Weitere Gesetze mit der 0 und der 1 (fund w):

(NÄ) a /\ 0 = 0 (N~) a v 1 = 1

Die Komplemente von 0 und 1 (fund w):

(CO) 0 = 1 (C 1) 1 = 0

In der zweielementigen Booleschen Algebra (B 2 ) und in der Aussagenalgebra sind die Verknüpfungszeichen gemäß folgender Tabelle zu ersetzen

Schaltalgebra 1\ y 0, 1

Aussagenalgebra 1\ y f,w

Booleschc Algebra n LI 0, 1 ~

1.2. Die 16 zweistelligen Funktionen der Schaltalgebra, Aussagenalgebra, 800leschen Algebra 8 2

'"

_ -+ __ ~_ +- _ 3 __ ~ __ _ Symbol Wertetafel Disjunktive der a 001 1 Normalform Funktion bOl 0 1 (DNF)

f2 o

f2 1

f2 2

f2 3

f' 4

f2 5

f2 6

0000 0

0001 a"b

0010

0011 (31', b) v (a"b)

0100

0101 (a"b)V(aAb)

0110 (a"b)v(a"b)

+-_ _4 ____ ~_1_5 __ _ I Konjunktive I Minimal-

-TI - ~~rtlla~rm (KN~ +~m_ (~~b):Vb),,(aVb~(aVb)1 DNF

(avb),,(avb),,(avb) DNF

(a vb) A (a vb) " (a vb) DNF

-1-------(avb)"(avb) i a = f: (a)

----+--- -------~----+-----(a vb) 1\ (a vb) A (a vb) DNF

----r~

(avb)l\(avb)

(a vb) A (a vb) DNF,KNF

-1--- -------- -~ ~

~'"' 1 ____ +-_ ..: _ f; 0111 (aA b)v(a"b)v(al\b)

--+------~I f! 10001 al\b

avb KNF

~t z --- -~--~ -----

(a v b) 1\ (a v b)A (a v b) DNF

f' 9 (a v b) 1\ (a vb) KNF, DNF

10 J 0 (a"b)v(a"b) I (avb)l\(avb)

-- -- -----~ ~---t. ---1 0 J 1 (a 1\ b) v (a " b) v (a 1\ b) (a v b)

~ ~--- --------t-

1100 (a /\ b) v (a" b) (a vb) 1\ (a v b) f a=f; (a)

~--- ------

KNF

Für die Aussagenalgebra sind die Zeichen 0 bzw. 1 durch fbzw. w zu ersetzen.

1) Die Bezelchnung in Klammern sind aus DIN 44300 ("Zweistellige boolesche Verknüpfungen").

2) Auch Subjunktion a -+ b. 3) Auch Subjunktion a -+ b.

1.2. Die zweisteIligen Funktionen 217

6 7 8 9 10

Aussagenalgebra Diagramme Boolesche Maschine der Minimalform Bezeichnung der gelesen Venn Karnaugh Verknüpfung 1 ) Symbol I Schaltnetz 4 )

Kontradiktion,

!@! 100

110

1

Formal - 0111 (a,b) -----0 ~

falsche Aussageform

Konjunktion a " b a und b

00 EE 9 ~~L-(UND-Verknüpfung) (a et b) (a and b)

Konjunktion a " b a und [@] EE ? -/~ nicht b

- a ~ BE ~

Konjunktion ä" b (nicht a)

~ tIE ~ ~L-(Inhibition) und b 5)

b ~ tIE ~L-.. -

Exklusives Oder entweder a ~ tIEj :P- -crtjJ-(Antivalenz) oderb

Disjunktion a v b 1) a oder b

~ trtB ~ ~ (a vel b), (ODER-Verknüpfung) (a or b)

Konj. ä A b = aYli" (nicht a) und m rn 9 ~ (NOR-Verknüpfung) (nicht b)5) = ~ (a nor b)

Bijunktion a genau m ~ :~ ~ (Äquivalenz) dann, wenn b ' ,

- nicht b ~ ffi <7 ~ Disjunktion a v b a oder ~ ~ ? ~ Subjunktion ä -+ b (nicht b)5)

- nicht a ~ tta 9 ~ (nicht a) m tHij ~ -6J-Subjunktion a -+ b oder b;

(Implikation) wenn a, dann b

Disj. ä v b = a 1\ b3 ) (nicht a)

~ tH9 ~ 7 ~ oder = (NAND-Verknüpfung) (nicht b)5)

Tautologie, Formal ~ ffiB ~ wahre Aussageform

-1 1

4) Aus räumlichen Gründen sind die Schaltnetze liegend gezeichnet. J"List ein Ruhekontakt. Schalter in Stellung O. Bewegung der Kontaktfeder nach unten = 1.

5) Die Klammern bedeuten, daß sich das NICHT nur auf die Variable in der Klammer bezieht.

1S Merkel

218 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra Bz

1.3. Die Anzahl der n-stelligen Funktionen der Schaltalgebra, Aussagen­algebra, Booleschen Algebra Bz

Es gibt 22n n-stellige Funktionen. In der folgenden Tabelle ist zusammengestellt, wie­viele n-stellige Funktionen für n = 1 bis n = 6 es gibt.

"Stelligkeit" Anzahl der möglichen Funktionen der Funktion

1 4 2 16 3 256 4 65 536 5 4 294 967 296 6 18 446 744 073 709 551 616

Für n = 7 ist die Anzahl bereits 36-stellig (3, 4 .... 1035 ).

Jeweils zwei Funktionen von den 22n sind konstante Funktionen:

fg und f~ mit r = 22 n - 1

Die Anzahl 22n der Funktionen erklärt sich wie folgt: Eine n-stellige Funktion hat 2n

Wertetupel. Dies ergibt sich aus der Kombinatorik: Es gibt 2n Variationen (mit Wieder­holung) für zwei Elemente (diese sind 0 und 1) zur noten Klasse (n ist die Stelligkeit der Funktion). Zu den 2n = p Wertetupein einer n-stelligen Funktion lassen sich 2P ver­schiedene Werte folgen bilden. Es sind wiederum Variationen m.W. für zwei Elemente (die Funktionswerte 0 und 1) zur p-ten Klasse (p Wertetupel, denen die Funktions­werte zugeordnet werden).

1.4. Methoden der Umformung von Termen der Schaltalgebra, Aussagen­algebra, Booleschen Algebra B2

Allgemeines:

a) Die Umformung eines Terms (Zuordnungsterm, Funktionsterm) dient - wie in der gewöhnlichen Algebra - im allgemeinen der Vereinfachung des Terms. Ein Term ist definitionsgemäß dann einfacher als ein anderer, wenn er aus weniger Zeichen (für Variable und Verknüpfungen) besteht. Eine Form mit der geringsten Anzahl von Zeichen nennt man eine "Minimalform" und den Vorgang, eine solche zu finden, "Minimierung". Es gibt unter Umständen mehr als eine Minimalform. Die Minimierung eines Funktionsterms hat den gleichen Zweck wie in der "gewöhnlichen" Algebra: Aus der Minimalform kann die Erj'üllungsmenge, d.h. die Menge der n-Tupel, denen der Wert 1 (in der Aussagenalgebra: der Wert w) zugeordnet ist, leichter gefunden werden.

1.4. Methoden der Umformung von Termen

Beispiel:

f(a,b,c)=aA«aAb) VC)A «aA iJ)v61A b)) wird minimiert zu:

f(a,b,c)=aflbAc

219

(1)

(2)

Aus dem minimierten Funktionsterm (2) erkennt man sofort die Erftillungsmenge: Sie besteht aus dem Wertetripel (0, 1, 1) bzw. (f, w, w).

b) Eine andere Aufgabe der Umformung besteht darin, die disjunktive Normalform eines Funktionsterms zu bestimmen. Diese Umformung kann auch eine Minimierung sein, nämlich wenn die disjunktive Normalform nur aus einem oder wenigen Mintermen besteht.

c) Schließlich kann eine spezielle Form gesucht sein, welche für irgendeinen Zweck günstig ist. Dieser Fall tritt insbesondere bei dem Bau von Booleschen Maschinen (Rechenautomaten ... ) auf; hierbei kann das Kriterium für einen vorteilhaften Term darin bestehen, daß eine oder mehrere Elementarmaschinen (z.B. NOR, exklusives Oder ... ) billig sind und daher vorzugsweise verwendet werden sollen. Beispiele sind u.a. in Kapitel 5 zu finden. Spezielle Terme werden auch benötigt, wenn ein Funk­tionenbündel (eine Menge von Funktionen mit gleichen Eingangsvariablen) vorliegt. Dann muß versucht werden, für den Bau der Booleschen Maschinen gleiche Teilterme in den verschiedenen Funktionen des Bündels zu finden.

Wege für die Umformung von Termen

a) Algebraischer Weg

Unter Anwendung der Axiome und Gesetze (Anhang 1.1.) kann ein Term in eine gewünschte Form (Minimalform, Normalformen, spezielle Formen) gebracht werden.

b) Termumformung mit Hilfe von Wertetafeln

Aus der Wertetafel einer Funktion kann die disjunktive Normalform abgelesen werden. Da für jedes Wertetupel eine Zeile aufzustellen ist, beschränkt sich die Anwendung auf maximal etwa fünf Eingangsvariable.

c) Termumformung mit Wertefolgen

Sind die Wertefolgen von Funktionen bekannt, so kann man ihre Disjunkte und Kon­junkte nach einfachen Algorithmen ermitteln.

d) Graphische Methode (mit Diagrammen, z.B. nach Karnaugh)

In einem Diagramm ist für jedes n-Tupel der Definitionsmenge ein Feld vorgesehen, entsprechend der Zeile in der Wertetafel. Es gilt daher die gleiche Einschränkung wie bei den Wertetafeln. Aus dem Diagramm kann - wie bei der Wertetafel - eine Normalform abgelesen werden.

Bei günstiger Anordnung der Felder kann ein Diagramm auch zur Vereinfachung von Termen verwendet werden.

220 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra Bz

e) Methode nach Quine

Es gibt einen Algorithmus zur Minimierung von Termen, der auch für Rechenauto­maten programmiert werden kann. Wir gehen an dieser Stelle nicht weiter auf diese Methode ein.

f) "Intuitive" Methode

Die bisher genannten Methoden versagen, wenn Maschinen für Funktionenbündel entworfen werden sollen und optimale Terme dadurch charakterisiert sind, daß sie gemeinsam Teilterme enthalten. Dann muß man intuitiv vorgehen. Die Schaltungen von 5.2. und 5.8. sind auf diese Weise optimiert worden.

Es soll nun an einigen einfachen Beispielen die Handhabung der verschiedenen Wege der Termumformung demonstriert werden. Die Aufgabe besteht darin, einen vorgege­benen Term in eine bestimmte Form (Minimalform, disjunktive Normalform ... ) umzu­wandeln.

Die Verknüpfungszeichen der Aussagenalgebra bzw. Schaltalgebra können ohne weiteres durch diejenigen der B2 ersetzt werden.

Algebraische Termumformung

a) Bestimmung einer Minimalform

Wichtige Gesetze für die Minimierung (vgl. Anhang 1.1.):

1. Die Distributivgesetze, insbesondere (DA). Der Term auf der linken Seite hat weniger Zeichen. Die Anwendung des Gesetzes entspricht in der gewöhnlichen Algebra dem "Ausklammern" gemeinsamer Faktoren.

2. Die Idempotenzgesetze (J). Der Term rechts vom Gleichheitszeichen hat weniger Zeichen.

3. Die Gesetze des Komplementes (C).Die Verknüpfung einer Variablen mit ihrem Komplement ergibt die Konstante 0 bzw. 1 (fbzw. w).

4. Die Verknüpfungen mit 0 und 1 (f und w): (N), (N*). Jeweils der Term auf der rechten Seite ist der einfachere.

Beispiel 1: Es ist die Minimalform von

(a/\ b) v (a/\ b) (1)

zu bestimmen (vgl. fi in Anhang 1.2.).

Anwendung von Gesetz:

(a" b) v(a/\ b)= a" (h vb)

=a1l1

=a

Ergebnis: (all h) v (all b) = a

1.4. Methoden der Umformung von Termen 221

Beispiel2: Es ist die Minimalform von

(aAb)v(al\b)v(al\b)

zu bestimmen (vgl. t1 in Anhang 1.2.).

(2)

Anwendung von Gesetz:

(a/\b)v(a/\b)v(aAb)=(a/\b)v(al\b)v(al\b)v(allb) (Jv)

=(al\b) v(allb)v(allb) v (allb)

= (all (b v b» v (bl\ (a va»

(Kv)

(D,,) und (K,,)

(Cv) = (al\ 1) v (b 11 1)

=avb

Ergebnis: (al\ b) v (a Ab) v (al\ b) = a vb

Beispiel 3: Es ist die Minimalform von

av(al\b) zu bestimmen.

a v (a/\ b) = (aA 1) v (aA b)

=(al\ (b vb») v(al\ b)

=(a/\ b) v(al\ b) v(aA b)

=(aAb)v(aAb)

=a

Ergebnis: a v (a 1\ b) = a

(NA)

(3)

Anwendung von Gesetz:

(NI.) I "Expandieren" (Cv)

(DI\)

(Jv), weiter nach Beispiel 1

Bei diesem Beispiel erkennen wir, daß die Gesetze im Anhang 1.1. nicht unabhängig voneinander sind. Denn wir konnten das Absorptionsgesetz aus anderen Gesetzen herleiten.

Es wurde der Term (3) zunächst in die disjunktive Normalform "expandiert", bevor die Schritte der eigentlichen Minimierung angewendet werden konnten.

Viele weitere Beispiele für Minimierungen sind im Text des Buches enthalten. Sie dienen hauptsächlich dazu, Boolesche Maschinen (Logikmaschinen) mit möglichst wenig Aufwand zu bauen.

b) Bestimmung der disjunktiven Normal/orm

Die disjunktive Normalform kann eine Minimalform sein, in diesem Falle würde zu­gleich die Minimalform bestimmt werden (Beispiele: Abschnitt 9.4.).

222 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2

Beispiel 4: Es ist die disjunktive Normalform des Terms

avb

(Subjunktion vgl. Anhang 1.2.: fi3) zu bestimmen.

Anwendung von Gesetz:

(NA) I "Expandieren" (Cv)

a v b = (a" 1) v (b" 1)

= (a A (b v b» v (b A (a va»

= (a A b) v (a 1\ b) v (a 1\ b)

Ergebnis: a v b = (a 1\ 6) v (a" b) v (a 1\ b)

Beispiel 5: Es ist die disjunktive Normalform von

(p V q)1\ q V I'

zu bestimmen (vgl. "modus tollens", Anhang I.8.)

(4)

(5)

(p V q)A q V I' = I' v q v q v I'

=(pl\q)vqvp

Anwendung von Gesetz:

(MA)

Ergebnis:

= (p" q) V (qA (p V 1'» v (pA (q V Ci)

=~A~V~A~V~A~V~"~V~A~

= (I''' 'I) v (I' 1\ q) v (p 1\ 'I) v (p 1\ q)

mo

(Mv)

(NA)' (Cv) Expandieren

(DA)

(Jv), (Kv)

Wie die Bezeichnungen mo ... m3 zeigen, enthält das Ergebnis alle Minterme. Die disjunktive Normalform von (5) ist also die vollständige disjunktive Normalform.

Wenn man diese minimiert, so erhält man:

Die Konstante 1 ist die Minimalform, die dem Term (p v q)" q v I' äquivalent ist.

Die Minimierung von (5) geht auf folgendem Wege:

(p v q)" q v I' = (I' v q) v (q vI')

=1

(MA), (Av), (CC)

(Cv), (Kv)

(5) ist der Wahrheitsterm einer formal wahren Aussageform (Tautologie).

1.4. Methoden der Umformung von Termen

Beispiel 6: Es ist die disjunktive Normalform von

zu bestimmen.

(a vb)", (a", 6) =(al\ aA 6) v(aAb A 6)

= (0 A 6) v (a 1\ 0)

=ovo Ergebnis: =0

Das Ergebnis ist die Konstante O.

c) Bestimmung der konjunktiven Normal/orm

Anwendung von Gesetz:

(DA)' (KA)

(C"')

(N~)

(Jv)

223

(6)

Die dem Term (6) entsprechende Aussageform (A v B) A (A A B) ist eine Kontradiktion oder formal falsche Aussageform.

Beispiel 7:

(7)

ist in die konjunktive Normalform umzuwandeln.

Anwendung von Gesetz:

(p",p)V(qAq) =((pAp)Vq)A((pl\p)vq) (Dv)

= (p v q) 1\ (p V q) A (p V q) 1\ (p V q) (Dv)

Wir haben die vollständige konjunktive Normal/orm erhalten. Bei der Minimierung ergibt sie die Konstante 0 (vgl. Gesetz des Widerspruches, Anhang 1.8.).

Bei der direkten Minimierung von (7) erhalten wir die Konstante 0 unmittelbar durch Anwendung von (C~ und (Jv).

Eine andere Methode zur Bestimmung der konjunktiven Normalform ist in 3.7. be­schrieben.

Termumformung mit Wertetafel

Durch Aufstellung der Wertetafel können die disjunktive und die konjunktive Normal­form gefunden werden. Bei einem Term mit n Variablen werden die 2n Wertebelegungen zeilenweise ausgeHihrt. Die Anwendung beschränkt sich auf maximal etwa fünf Variable, denn sonst wird das Aufschreiben der Wertetafel zu aufwendig (2n Zeilen für n Variable).

224 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2

Für den Logikautomaten ist jedoch eine hohe Anzahl der Variablen kein Hinderungs­grund, da eine Zeile in Mikrosekunden berechnet werden kann.

Daß es aber auch hier eine Grenze gibt, zeigt folgende überschlagsrechnung: Ein Term mit 75 Variablen hat etwa 1023 Minterme. Benötigt der Automat für die Berechnung einer Zeile der Wertetafel 10 -6 s, so braucht er 10 17 S für die Durchrechnung aller Minterme, das ist das geschätzte Alter der Erde.

Eine Minimalform kann mit der Wertetafel La. nicht gefunden werden.

Beispiel 8: Der Term

f(a, b, c) = (a v c)" «b " c) v (h" c))" «a" h) v c) (8)

ist mit Hilfe einer Wertetafel in die disjunktive Normalform umzuformen. Wir schreiben für jeden der drei Teilterme t l , t 2 , t 3 eine Spalte in der Wertetafel:

a, b, C tl t2 t3 f(a, b, c)

000 1 1 001 1 0 010 1 0 011 1 1 100 0 1 101 1 0 110 0 0 111 1 1

0 1 0 1 1 1 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

t 1 = ave

t2 = (b" c) v (b" c)

t 3 =(al\b)vc

f(a, b, c) erhält wegen der konjunktiven Verknüpfung von t l , t 2 , t 3 genau dann den Wert 1, wenn t 1 und t2 und t3 den Wert 1 haben.

Zu den Wertetripein, denen f(a, b, c) = 1 zugeordnet ist, gehören die Minterme (a" b " c) sowie (a 1\ b " c). Ihr Disjunkt ist die gesuchte disjunktive Normalform.

Ergebnis: (a v c)" «b A c) v (h 1\ c))" «a A h) v c) = (a Ab" c) v (a 1\ b "c)

Durch Minimieren erhalten wir den Term bA C.

Termumformungen mit Wertefolgen

Es kann von Funktionen, deren Wertefolgen bekannt sind, das Konjunkt oder Disjunkt der Funktionen auf folgende Weise bestimmt werden:

Wir übernehmen das Beispiel 8.

t l = 1 1 1 1 0 1 01

t 2 = 1 0 0 1 1 0 0 1

t 3 = 0 1 0 1 1 1 0 1

f(a, b, c)= 0 0 0 1 0001

f~4S (a, b, c) entspricht ti3 (a, c)

nS3(a, b, c) entspricht t§ (b, c)

f~3 (a, b, c)

f~7 (a, b, c) entspricht ti (b, c)

Weitere Beispiele sind in 3.7. beschrieben.

1.4. Methoden der Umformung von Termen

Graphische Termumformung mit dem Karnaugh-Diagramm

Die Karnaugh-Diagramme sind im Anhang L5. näher erläutert.

a) Bestimmung der disjunktiven Normalform

Beispiel 9: Der Term

225

(aVb)V(aAb) (9)

ist in die disjunktive Normalform umzuwandeln. a-+

bO

.J.. 1

o 1

BE avb allb

[ili] ~

- -(a vb) v(aAb)

Man markiert die Felder derjenigen Wertepaare (a, b), welche dem Funktionswert 1 zugeordnet sind, zunächst für die Teilterme a v b sowie a" b.

Da sie disjunktiv verknüpft sind, enthält der Term (a v b) v (aA b) alle bedeckten Felder. Ergebnis: der Term ist gleich der vollständigen disjunktiven Normalform: (aAb)v(a:"b)v(aAb)v(allb).

Beispiel 10: Der Term

(a v b)1\ ((a i\ b) v (a 1\ b)) (10)

ist in die disjunktive Normalform umzuwandeln.

a-+

o 1

bO t!E trtj t1j .J..l

avb (all b) v (al\ b) allb

Wegen der konjunktiven Verknüpfung der beiden Teilterme enthält der Gesamt­term nur die Felder, die von heiden Teiltermen bedeckt sind.

Ergebnis: (a v b) i\ ((aA b) v (a Ab)) = a Ab.

Die disjunktive Normalform besteht aus einem Minterm. Sie ist zugleich die Minimal­form.

b) Bestimmung der konjunktiven Normalform

Die Maxterme gehören zu den n-Tupeln, die den Nullen der Wertefolge zugeordnet sind. Man kann sie entsprechend wie bei den Mintermen aus der Belegung der Felder entnehmen. Das Konjunkt der Maxterme stellt dann die konjunktive Normalform dar.

226 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, AussagenaJgebra und Booleschen Algebra B2

c) Bestimmung der Minimalform

Beispiel: Von dem Term

y = (a /I b /I c) v (a /I b /I c) v (a/lbllc) v (a/lb/lc)

ms

ist die Minimalform zu bestimmen (vgl. Volladdierer 6.3.)

a, b"""*

00 01 11 10

cO

Die Minimierung mit dem Karnaugh-Diagramm erfordert einige Übung. Man muß wissen, daß zwei belegte benachbarte Felder (aber auch die Randfelder rechts und links) einem Term, welcher nur zwei Variable enthält, entsprechen. Denn es gilt bei­spielsweise:

(a/l b /I c) v (a /I b /\ c) = a /I c.

Aus dem Diagramm entnimmt man den gegenüber der disjunktiven Normalform ein­facheren Term:

(a/\ b) v (a /I c) v (b /\ c).

Es ist noch nicht eine Minimalform. Man erhält diese durch "Ausklammern" gemein­samer Variablen. Dies ist auf dreierlei Weise möglich. Die drei Minimalformen möge der Leser bestimmen; das Ergebnis ist in Kapitel 3.6.5. zu finden.

1.5. Das Karnaugh-Diagramm

Im Abschnitt 3.4. wurde gezeigt, daß man Boolesche Terme (Terme der Aussagen- und Schaltalgebra) durch Graphen veranschaulichen kann. Jedem der 2n n-Tupel einer n-stelligen Funktion wird ein Feld (oder "Punkt") des Graphen zugeordnet. Wenn der Aufwand angemessen bleiben soll, können nur Diagramme für Terme mit maximal sechs Eingangsvariablen aufgestellt werden; es gilt also die gleiche Einschränkung wie für Werte­tafeln. Bereits Marquand führte 1881 ein Diagramm zur Darstellung aussagenlogischer Terme ein (vgl. [Ga]). In Bild 1-1 sind Zahlen in die Felder dieses Diagrammes einge­tragen, welche den Indizes der zugehörigen Minterme entsprechen (z.B. A" B" C /I D= mio). Felder mit mn = 1 wurden angekreuzt, so daß aus dem Diagramm sofort die dis­junktive Normalform abzulesen war. Eine lineare Anordnung dieser Felder (Bild 1-2) ist das "Logische Spektrum" von McFarlane (1885).

1.5. Das Karnaugh-Diagramm 227 -

/A~ /A~ B B B /B~

D I"=-- / ""- /""-- c c c C c C c C

-A A

.-"-- .-"--

15 11 7 3

14 10 6 2 D /\ /\ /\ /\ /\ /\ 1\ /\ 13 9 5 1 D D D D D D D D D D D D D D D D D

- I ! I I I t I I I I I D 12 8 4 0

B B B B A"B"C"O A"B"C"O AIIB"C"D

Bild 1·1. Marquand-Diagramm (1881) Bild 1-2. Logisches Spektrum von McFarlane (1885)

Für die Zwecke der Schaltalgebra wird das Marquand-Diagramm meist Karnaugh-Dia­gramm [Ka] oder auch Veitch-Diagramm [Vt] genannt. Jedem Feld ist ein n-Tupel der Eingangsvariablen (a, b, c, ... ) zugeordnet, wie es Bild I-3a und I-4a fur drei- und vier­stellige Funktionen zeigt. Will man nun eine Funktion in dem Diagramm darstellen, so wird in die Felder derjenigen n-Tupel, die dem Funktionswert 1 zugeordnet sind, eine 1 geschrieben (oder eine andere Markierung). Das Diagramm ist also nichts anderes als eine Wertetafel in einer besonderen Darstellung. Damit wird verständlich, daß die dis­junktive Normalform unmittelbar aus dem Diagramm abgelesen werden kann, indem man die Minterme aufschreibt, die zu den Wertetupein gehören, die der 1 zugeordnet sind (z.B. in Bild I-4b: 0001 zu a" b "c" d; 0110 zu i" b" c "d).

a, b-+ a, b -+

00 01 11 10 00 01 11 10

cO

I I 1

I I Bild 1-3

cO

,).1 1 Karnaugh-Diagramm

,).1 flir dreistellige Funktionen

a) Zuordnung der Felder zu den Tripeln b) tl = (a 1\ b" c) v (a" b "c)

c, d 00 o 1 11 10 c, d 0 0 0 1 1 1 1 0

,).00

01

11

10

0000

0001

0011

0010

0100

0101

0111

0110

1100 1000

1101 1001

1111 1011

1110 1010

a) Zuordnung der Felder zu den 4-Tupeln

,).00

01

11

10

Bild 1-4. Karnaugh-Diagramm fUr vierstellige Funktionen

1

1

Andererseits kann auch das Diagramm sofort erstellt werden, wenn die disjunktive Nor­malform bekannt ist. Die Bilder I-3b und I-4b zeigen je ein Beispiel für einen drei- und einen vierstelligen Term.

Natürlich können auch die konjunktiven Normalformen aus den Diagrammen abgelesen werden, wenn man jedem unbelegten (d.h. mit Null belegten) Feld einen Maxterm zu­ordnet.

I

228 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2

Wie nun die Beispiele von Bild 1-5 zeigen, ist bei besonderen Anordnungen der I-Werte eine Minimierung mit Hilfe des Karnaugh-Diagrammes möglich.

a, b~ a, b~ a,b~

00 01 11 10 00 01 1 1 10 00 01 1 1 10 cO

\u \ EH cO I~ I I I I :~F 1 I 19 .J,1 1) H

a) t3 = (a" b" c) v (a /\ b "c) b) t4= (a" bA c) v(all b/\ c)

t3 = all c t4 = a /\ b

a,b~ a,b~

00 01 11 10 00 01 11 10

:~I Il~ I ~JI I :~IBI I 18 d) t 6 = (all bll c) v (a/\ b 11 c)

v (all b IIC) v (all b 11 c)

t 6 = b

e) t 7 = (a/\ b/\ c) v (a/\ b/\ c) - --- -

v (all bllc) v(aA b IIC)

t 7 = b

Aus Bild 1-5 können wir folgendes entnehmen:

Wenn der Funktionsterm

ein Konjunkt mit drei Variablen ist, so ist ein Feld belegt,

c) t s = (all bll c) v (all b /\ c)

t s = b /\ C

Bild 1-5

Beispiele dreistelliger Funk­tionen, Minimierung mit Karnaugh-Diagramm

ein Konjunkt mit zwei Variablen ist, so sind zwei benachbarte Felder belegt, eine Variable ist, so sind vier benachbarte Felder belegt.

Verknüpfungen von Termen

Die Karnaugh-Diagramme können auch benützt werden, um konjunktive oder disjunk­tive Verknüpfungen von Termen auszuführen. Bei der konjunktiven Verknüpfung von Termen enthält das Ergebnis nur diejenigen I-Werte, die allen verknüpften Termen ge­meinsam sind. Bild 1-6 gibt ein Beispiel hierfür.

a,b~

00 01 11 10

:~ I ~ 1 1 ~ I ~ I

tl! = a v b

tl1 = tl! /\t9 /\tlO

t ll =allbllc

t lO = (all b /\c) v (all b /\c)

Bild 1-6. Konjunktive Verknüpfung von Termen mit Karnaugh-Diagramm

Entsprechend erhält man das Disjunkt von Termen.

1.6. Isomorphiebeziehungen 229

1.6. Isomorphiebeziehungen : Boolesche Algebra B2 , Aussagenalgebra, Schaltalgebra

Boolesche Algebra B2 Schaltalgebra Aussagenalgebra

(Elementare) Schaltnetze: (Elementare) Aussageformen -Schalter mit dem Namen A, B, ... mit dem Namen A, B, ...

Elemente 0, 1. Schaltwerte 0, 1 Wahrheitswerte f. w

Variable a, b, ... Schaltvariable a eines Arbeits- Wahr heitsvariab le a einer Sie können mit 0 kontaktes von Schalter A. Sie (elementaren) Aussageform A. oder 1 belegt werden. kann die Werte 0 oder 1 an- Sie kann die Werte f oder w

nehmen. annehmen.

Einstellige Verknüpfung: Negation, Komplement

a: Komplement von a a: Schaltterm eines Ruhekon- - Wahrheitsterm des Negates a: taktes von Schalter A der Aussageform A

Zweistellige Verknüpfungen: Konjunktion, Disjunktion

Sereinschaltung der Schalter Aussageform "A und B" A undB ~~L-

A B ------------ -------- - -- - ----------- --an b: Konjunkt von a A b: Schaltterm der Serien- all b: Wahrheitsterm der a und b schaltung der Schalter A und B Aussageform ,,A und B"

Parallelschaltung CA Aussageform "A oder B"

----Schalter A und B !r

-------- -~------ --- - - - - - -- - - - --a n b: Disjunkt von a vb: Schaltterm der Parallel- a v b: Wahrheitsterm der a und b schaltung der Schalter A und B Aussageform "A oder B"

Funktionen f~ Schaltfunktionen f~ Wahrheitsfunktionen f~ (Wertetafel, Wertefolge) (Wertetafel, Wertefolge) (Wahrheitstafel, Wertefolge)

Klassen äquivalenter Klassen äquivalenter Schaltnetze A ussagef Olmen

Zwischen den Schalttermen Zwischen den Wahrheits-äquivalenter Schaltnetze termen äquivalenter Aussage-besteht die Gleichheits- formen besteht die Gleich-beziehung heitsbeziehung

--- - -- - -z.B. aA b = a vb z.B. a vb = a A b

Boolesche Terme sind Schaltterme sind gleich, Wahrheitsterme sind gleich, gleich, wenn sie Funk- wenn sie Funktionsterme wenn sie Funktionsterme von tionsterme von genau einer von genau einer Schalt- genau einer Wahrheitsfunktion Funktion fk sind funktion fk sind fk sind

Die Gesetze (Axiome): (K), (A), (D), (J), ... (vgl. Anhang I.1.) gelten in allen drei Bereichen.

Terme mit n Variablen, die Schaltterme mit n Schalt- Wahrheitsterme mit n Wahr-für alle 2n Belegungen den variablen, die ftir alle 2n heitsvariablen, die ftir alle Wert 1 (bzw. 0) annehmen, Belegungen den Schaltwert 2n Belegungen den Wahrheits-sind Funktionsterme der 1 (bzw. 0) annehmen, sind wert 1 (bzw. 0) annehmen, Funktion f~ Funktionsterme der Funk- sind Funktionsterme deI Funk-(bzw. f~mit r = 22n - 1) tion f~ tion f~

(bzw. f~mit I = 22n - 1) n n

(bzw. fr mit I = 22 - 1)

230 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2

1.7. Implikation. Äquivalenz, Antivalenz

In der Aussagenlogik bedeuten

Subjunktion und Implikation, Bijunktion und Äquivalenz, Exklusives Oder und Antivalenz

nicht dasselbe (im Gegensatz zu manchen Darstellungen in der Literatur). Die links stehenden Begriffe sind Verknüpfungen, die rechts stehenden sind Rewtionen.

Subjunktion und Implikation

Implikation R => S

Definition: Ist das Subjunkt R ~ S (R und/oder S sind Verknüpfungen der elementaren Aussageformen A, B, C, ... ) formal wahr, d.h. bei allen möglichen Wahrheitswertbe-legungen für A, B, C, ... wahr, dann sagt man:

R impliziert S (in Zeichen: R => S)

Die so entstandene Relation zwischen Rund S heißt Implikation. Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden:

0 1 2 3

Behauptung: A/\ (A ~ B) => B

Beweis: Wir stellen das zu (1) gehörige Subjunkt auf:

A/\ (A ~ B) ~ B

und untersuchen die Wahrheitstafel des Wahrheitsterms von (1a):

a/\(a~b)~b

= aA ca vb) vb

1 2

I Ca, b) avb

( f,f) w ( f,w) w (w,f) f (w,w) w

3 4 5

a/\ Ca vb) = r r r~b

r vb

f w w f w w f w w w f w

(1)

(Ia)

Ob)

Die Spalte 5 enthält nur den Wahrheitswert w, d.h. r ~ b ist der Wahrheitsterm der formal wahren Aussageform R ~ B. Damit ist der Beweis erbracht, daß (I) eine Im­plikation ist. Daß der Term r ~ b bei allen Wertebelegungen (von a und b!) nur den

I. 7. Implikation, Äquivalenz, Antivalenz 231

Wert w annimmt (im Gegensatz zur Subjunktion a ~ b, Spalte 2), liegt an der beson­deren Struktur der Aussageform (la). Für die Wertepaare (r, b) (Spalte 3 und 1) tritt nämlich das Paar (w, 1) nicht auf, dafür jedoch das Paar (f, 1) zweimal: Zeile 0 und 2. Man erkennt, daß R => S nur dann eine Implikation sein kann, wenn mindestens eine der Aussageformen R oder S keine elementare Aussageform ist. Viele weitere Beispiele von Implikationen sind im Anhang 1.8. aufgeführt.

Bijunktion und Äquivalenz

ifquivalenz R <==> S

Definition: Ist das Bijunkt R ~ S (R und/oder S sind Verknüpfungen der elementaren Aussageformen A, B, ... ) formal wahr, d.h. bei allen möglichen Wertebelegungen von A, B, ... wahr, dann sagt man:

R ist äquivalent S (in Zeichen R <==> S).

Beispiel. Behfluptung:

(2)

Beweis: Zunächst wird die Relation (2) in das Bijunkt (2a) (eine Verknüpfung) überführt:

Dann untersuchen wir die Wahrheitstafel für den Wahrheitsterm von (2a)

r ~ s, wobei a ~ b = rund a 1\ b = s gesetzt sind.

(2a)

(2b)

(2b')

Das Bijunkt (2b') schreiben wir in der Form (2c), um die Wahrheitstafel aufstellen zu können:

(2c)

1 2 3 4

(a, b) a~b =r al\b=s (r 1\ s) v (r A s)

0 (f, f) f f w 1 ( f,w) f f w 2 (w.!) w w w 3 (w,w) f f w

Es ist also R ~ S eine formal wahre Aussageform und daher R ~ S eine ,,Äquivalenz". Der Term (2c) erhält bei allen Wahrheitswertbelegungen von a und b den Wert w, weil bei den Paaren (r, s) nicht die Wertepaare (f, w) und (w,1) auftreten. Dies ist nur mög­lich, wenn Rund/oder S keine elementaren Aussageformen sind.

232 AI. Tabellen und Erläuterungen zur Schaltalgebra, Aussagenalgebra und Booleschen Algebra B2

Exklusives Oder und Antivalenz

Sind zwei Aussagefonnen Rund S (welche Verknüpfungen der elementaren Aussage­formen A, B, ... sind) so beschaffen, daß die Aussageform

(R A S) v (RA S)

formal wahr ist, so heißen Rund Santivalent (in Zeichen R>==::Q)

Beispiel:

Behauptung:

Beweis:

Wir untersuchen die Aussageform

(A ~ B)>---«A AB)

mit dem Wahrheitsterm

(a ~ b )>---«a /\ b)

r >--<s

mit r = a ~ bund s = a /\ b

1 2 3 4

(a, b) a~b =r aAb=s I (rAS) v (r AS)

0 f,f w f w 1 f,w w f w 2 w,f f w w 3 W,w w f w

(3)

(3a)

(3b)

(3b')

Wie Spalte 4 ausweist, ist (RA S) V (R/\ S) eine formal wahre Aussageform, d.h. Rund S sind antivalent.

Auch hier erkennt man, daß mindestens eine der Aussageformen R oder S keine ele­mentare Aussageform sein darf.

1.8. Eine Auswahl von Schlußregeln und formal wahren Aussageformen 233

1.8. Eine Auswahl von Schlußregeln und formal wahren Aussageformen

Die folgende Zusammenstellung ist nicht vollständig. Sie kann Aufgabenbeispiele zu dem Abschnitt 9.5. liefern. Alle diese Schlußregeln und Aussageformen lassen sich nämlich in den "Typ 11" der Logikaufgaben einordnen und die Tautologie ist mit dem dort beschriebenen Logikmaschinentyp nachweisbar. Man beachte, daß die Schlußregeln und Aussageformen nur dann exakt geschrieben werden können, wenn die Subjunktion (Zeichen --*) von der Implikation (Zeichen =» unterschieden wird, das gleiche gilt für die Bijunktion (~) und die Äquivalenz (~) (vgl. Anhang 1.7.).

Einige Schlußregeln und formal wahre Aussageformen

(T 1) PVP-Wl)

(T 2) PAP-W

(T 3) P--*Q -PAQ

(T 4) P--*Q-Q--*P

(T 5) P--*Q-(PAQ)--*P

(T 6) P--*Q-(PI\Q)--*Q

(T 7) P--*Q-(PAQ)--*(R/\R)

(T 8) P/\ (p --* Q) - Q (T 9) (p--*Q)" Q=>P

(T 10) (P --* Q)" (Q --* R) => (P --* R)

(T 11) P=>PvQ } (T 12) Q=>PvQ

(T 13) (p +-+ Q) - (p --* Q)" (Q --* P)

(T 14) P+-+Q-Q+-+P

(T 15) (p /\ Q) V (p /\ Q) +7 P

(T 16) P => (Q --* P) } (T 17) P => (p --* Q)

(T 18) P--*Q-PvQ

(T 19) P--*Q-PvQ

(T 20) P--*Q-PvQ

(T 21) P--*Q-PvQ

1) W heißt: Formal wahre Aussageform

16 Merkel

Satz vom ausgeschlossenen Dritten, vgl. (Cv).

Satz vom Widerspruch, vgl. (C,,) von Anhang 1.1.

(T 3) ... (T 13): Gesetze der Subjunktion und Implikation

Kontrapositionsgesetz

"modus ponens" "modus tollens"

"modus barbara" (Transitivität der Subjunktion)

Gesetze zum Adjunktionsschluß

Expansionsgesetz (zum Expandieren eines Termes in die disjunktive Normalform)

Paradoxa der Subjunktion

Subjunktion und Disjunktion

234

Anhang 11. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

11.1. Die Arbeitsweise mechanischer Tischrechenmaschinen

In der Literatur wird i.a. der Tatsache, daß "logische Schaltungen" mathematische Ma­schinen (speziell: Boolesche Maschinen) sind, nicht genügend Beachtung geschenkt. Um dies besser einzusehen, ist der Vergleich einer bekannten mathematischen Maschine mit den Booleschen Maschinen angebracht. Wir wählen eine mechanische Tischrechenma­schine, speziell eine ,,sprossenradmaschine" , und beschränken uns auf einen kleinen Wertevorrat und auf die Addition als Operation.

a + 0 1 2 3 4 ...

b 0 o 1 234 1 1 2 345 2 2 345 6 3 34567 4 4 5 678 Bild lI-la

Verknüpfungstafel für Addition

b

/\

0 1

a 0

0 1

1

1 1

Bild 11-1 b. Verknüpfungs­tafel der Disjunktion

Die Verknüpfungstafel von Bild lI-la soll aussagen, daß den Wertepaaren (a, b) ein Funk­tionswert a + b zuzuordnen ist. Genauer: Die Wertetafel ordnet einen Wert aus 0, 1, 2, ... 8 einem geordneten Paar aus (0,0), (0, 1), ... (4,4) zu. Entsprechend werden bei Booleschen Funktionen die Funktionswerte 0 oder 1 den 2n n-Tupeln, die sich aus o und 1 bilden lassen, zugeordnet. Als Beispiel zeigt Bild II-lb die Disjunktion (~). Den vier Paaren: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) werden die Funktionswerte -0 bzw.1wgeordnet. Diese Zuordnung übernehmen Maschinen, d.h. man stellt die Paare bzw. n-Tupel ein und der zuzuordnende Funktionswert wird von der Maschine angezeigt.

b

c d

Bild 11-2

Sprossenradmaschine • Vorgänge bei der

L-____________ '--___________ --' Addition

II.1. Die Arbeitsweise mechanischer Tischrechenmaschinen 235

Arbeitsweise der "Sprossenrad" -Maschine

Bild II-2a zeigt die wesentlichen Teile der Sprossenradmaschine. Die Walze W kann durch eine Kurbel K gedreht werden. Der Hebel H wird auf das Zeichen der zu verknüpfenden Zahl gestellt. Dabei treten Zähne Zi aus der Walze W. Die Ergebniswalze EW trägt Zähne, in welche die Zähne Zi eingreifen können. Zahlzeichen auf EW bezeichnen das Ergebnis.

Folgende wesentlichen vier Phasen laufen bei einer Addition ab.

Beispiel: 3 + 2:

a) Wir bewegen den Hebel H, der sich an der Walze W befindet, bis er neben dem Zahlen­symbol ,,3" (erster Summand) steht. Gleichzeitig mit der Betätigung von H treten aus der Walze W (Sprossenrad) drei Zähne (ZI, Z2, Z3) heraus.

b) Durch eine Kurbel K wird die Walze W um 3600 nach rechts (= Addition) gedreht. Die Zähne Zl ... Z3 greifen dabei in die Zähne der Ergebniswalze EW und drehen diese um drei Zähne weiter. Dabei erscheint das Zahlensymbol ,,3" in dem Fenster der EW.

c) Nun wird der Hebel H so eingestellt, daß er neben dem Zahlensymbol des zweiten Summanden, also ,,2", steht. Dabei sind aus der Walze W zwei Zähne herausgetreten.

d) Der eigentliche Additionsvorgang besteht in einer weiteren Kurbeldrehung nach rechts, wobei die zwei Zähne ZI und Z2 von W die Ergebniswalze EW um zwei Einheiten weiterdrehen. Dabei erscheint eine ,,5" als Ergebnis.

Man kann die Phase b auch schon als eine Addition auffassen, und zwar wird zu der Null in der EW der erste Summand (hier eine 3) addiert.

Bei der Subtraktion wird in der Phase d lediglich die Kurbel K nach links gedreht, dabei dreht sich die Ergebniswalze zurück und zeigt die Differenz an.

Kinderrechenmaschine, Abakus und Soroban

Wenn wir an das Finge"echnen denken oder an die Kinde"echenmaschine, so liegen dort schon die gleichen Grundelemente vor: Die Finger oder die Kugeln sind die Modelle der Ziffern wie die Zähne Zi des Sprossenrades. Das Zusammenlegen der Finger oder das Schieben der Kugeln stellen den Additionsvorgang dar wie das Drehen der Kurbel. Der im Altertum verwendete Abakus und der japanische Soroban arbeiten ähnlich wie die Kinderrechenmaschine nach Bild II-3. Die oben beschriebene Tischrechenmaschine ist nur eine technisch perfektere Realisierung des gleichen Prinzips.

a) b)

000 bCO - -c) d)

bCO 00 KXXXJO Bild 11-3

Kinderrechenmaschine - -

236 11. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

Aus den Betrachtungen an den einfachsten arithmetischen Maschinen können wir einige Erkenntnisse gewinnen, die dann - mutatis mutandis - auf die Booleschen Maschinen übertragbar sind. Zu diesem Zweck seien die wesentlichen Elemente der beschriebenen Maschinen und die Vorgänge beim Ablauf einer Operation zusammengefaßt:

1. Bei der Eingabe eines Summanden in die Maschine (phasen a und c) wird ein reales Modell der Ziffer erzeugt - im Beispiel von Bild 11-2a drei Zähne, die der Zahl 3 entsprechen -. Dieses Modell ist in der Lage, die gewünschte arithmetische Operation nach (2) auszulösen (im Beispiel: Weiterdrehen der Ergebniswalze).

2. Der Rechenvorgang (Phasen bund d) wird durch eine "mechanische" Tätigkeit - hier Kurbeldrehung rechts oder links - ausgeführt. Bei weiterer Automatisie­rung des Vorganges läßt man die Kurbeldrehung durch einen Motor ausführen, der bei Druck auf den Knopf [±) sich einmal nach rechts dreht, bei Druck auf El einmal nach links.

3. ~s ist zweckmäßig, neben dem Summandenhebel H und den Zähnen der Er­gebniswalze noch die üblichen Schriftsymbole der Ziffern anzubringen, da-mit die verknüpften Werte und das Ergebnis bequem abgelesen werden können.

4a. Die primitiven arithmetischen Maschinen (wie die Kinderrechenmaschine ) sind ein Hilfsmittel für den Lernenden, denn sie veranschaulichen die Grundrechenarten, die an sich abstrakter Natur sind, in konkreten Modellen. (Wahrscheinlich be­nutzen die meisten Menschen, wenn sie "im KopP' rechnen, unbewußt ein solches Bild.)

b. Bei technischer Vervollkommnung (Tischrechenmaschine) wer4en diese Maschinen zu Werkzeugen, die uns Zeit sparen und von Routinearbeit befreien.

11.2. Logikmaschinen mit "bivariablen" Relais

In Kapitel 4.2 ist ausführlich beschrieben, daß Schaltnetze (d.h. Anordnungen mecha· nischer Schalter) als Boolesche Maschinen dienen können. Die dort angegebenen Schal­tungen können teilweise erheblich vereinfacht werden, d.h. es können Schalt elemente eingespart werden, wenn man die "bivariable" Schaltung verwendet. Auf die Technik mit mechanischen Schaltern ist dieses Verfahren nicht anwendbar. Anhand der zwei­stelligen Funktionen sei die Arbeitsweise mit bivariablem Relais vorgestellt. Bild 11-4 zeigt eine Anordnung fUr ~ (a, b) = (a /I b) v (a Ab).

12V

Bild 11-4. Maschine für G mit bivariablem Relais

12V o

Q

Bild 11-5. Maschine für die UND-Verknüpfung

Man beachte: Wenn das Relais erregt ist, wird die Schaltfeder nach rechts gedrückt.

11.3. Vergleichstafel: Relais, Röhre, Transistor als Schalter 237

Sie zeichnet sich dadurch aus, daß die Signale für beide Werte, mit denen die beiden Variablen belegt werden sollen, an eine Relaisspule geführt werden. In dem Falle von Bild 11-4 ist das Relais nur dann erregt, wenn die Werte für a und b verschieden sind. Die im Schalt stromkreis liegende Lampe zeigt an: (all b) v (a 1\ b). Wird der Schalter S als Ruhekontakt (S) gewählt, zeigt die Lampe die Funktionswerte für ca /\ b) v (a 1\ b) an.

Auch die anderen zweistelligen Funktionen können mit einem Relais realisiert werden. So zeigt Bild 11-5 die Maschine für t1 (a, b) = a 1\ b. Man erkennt, daß die Lampe nur bei a = 1 und b = 1 leuchtet und damit a /\ b = 1 anzeigt [Zk].

L- 12V

Eine Realisierung der ODER-Verknüpfung zeigt Bild o o

11-6. Mit den gezeigten Grundschaltungen sind auch alle anderen zweistelligen Funktionen realisierbar.

Die Technik mit bivariablen Relais hat fur Computer, die mit elektromechanischen Relais arbeiten, Be­deutung gehabt. Sie ist auf die Transistortechnik nicht ohne weiteres übertragbar.

Bild II~. Maschine für f~ (Disjunktion)

11.3. Vergleichstafel: Relais, Röhre, Transistor als Schalter

a) Relais b) Röhre c) Transistor (z.B. Be 108)

gesteuert durch Strom Spannung Strom oder Spannung

erforderlich im Steuer-SOmA IV <0,5 mA

kreis

zulässiger Schaltstrom 1A SOmA SOmA

Steuerleistung (Watt) O,SW I/.LW 0,1 mW

Restspannung (Spannungs-OV 0,2 V

abfall über Schaltstrecke)

Widerstand der Schalt-strecke (in n.) a) offener Schalter 00 >109 >10 9

b) geschlossener Schalter 10-3 100 10

Schaltstrecken in einem bis bis 2 1 Bauelement etwa 10

steuer::p--HJ_-E , ,

, ,

al Schaltkreise E

E 0---........ -----'

bl

E

E 00----+------'

cl

Bild 11-7. Daten für a) Relais, b) Röhre und c) Transistor bei Verwendung als Schalter. Das Symbol ® steht für einen Verbraucher.

238 11. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

In der Tabelle sind Daten aufgenommen, wie sie zu Typen gehören, die wir zum Selbst­bau von Modellen verwenden können. Für die in diesem Buch angegebenen Schaltungen können wir z.B. den Typ Be 108 verwenden. Der npn-Transistor hat den Vorteil, daß als I-Signal (Wahrheitswert w) eine positive Spannung dient (z.B. + 12 V).

11.4. Maschinen für Disjunktion und Konjunktion nach dem Ventilprinzip mit Luft als strömendem Medium

Man kann sich die Funktionsweise der elektronischen Maschinen für die Logikfunktionen (vgl. Kapitel 4.3.) an einem mechanischen Modell veranschaulichen. Dabei entsprechen sich folgende Bauelemente und Größen:

Luftstrom - Elektronenstrom Luftdruck - elektrische Spannung Ventil - Diode

Manometer - Voltmeter Zweiwegehahn - Umschalter Kapillare - Widerstand

r;::::======;--;::::=== P-latü r;::::======;--;::::===P·latü

rr====l /----- p=Qatü r;::::===l'-,---- p.()atü

Va

Bild 11-8. Maschine für ODER Bild 11-9. Maschine für UND

Bild H-8 zeigt eine Maschine für die Disjunktion (mit zwei Eingangsvariablen), welche mit Luft als strömendem Medium arbeitet. Die Werte der Eingangsvariablen a und b werden mit den Hähnen Ha und Hb eingestellt.

Jeweils ein Hahn simuliert eine Eingangsvariable x. Senkrechte Stellung des Hahnes läßt Luft unter dem Druck von 1 atü eintreten: x = 1. Waagerechte Stellung des Hahnes verbindet die Maschine mit der Atmosphäre (0 atü), mit der Bedeutung x = o. Bild H-8 stellt den Zustand a = 1 und b = 0 dar. Die Manometer Ma und Mb zeigen zu­sätzlich die für a und b eingestellten Werte an.

Durch die Ventile Va und Vb stellt sich im unteren Teil der "Maschine" ein Druck ein, angezeigt durch das Manometer Me, der dem Verknüpfungsergebnis a v b entspricht. In

11.5. Terminologie Boolesche Maschine-Boolescher Automat 239

gezeichnetem Falle ist a vb = 1. Die Anordnung nach Bild 11-8 ist das mechanische Analogon der Parallelschaltung (Bild 4-6 von Kapitel 4). Die Ventile sind erforderlich für die Fälle a = 1, b = 0 und a = 0, b = 1.

In dem Zustand von Bild 11-8 (a = 1, b = 0) würde sich ohne das Ventil Vb im unteren Teil der Maschine kein Luftdruck p = 1 atü ausbilden können, da die Luft über Hb ent­weichen kann (im elektrischen Stromkreis: ein Kurzschluß).

Man erkennt, daß die Wahrheitstafel für die ODER-Verknüpfung erftillt ist.

Entsprechend arbeitet die Maschine für die UND-Verknüpfung nach Bild 11-9. An dem unteren Ende der Kapillare K liegt ein konstanter Luftdruck von 1 atü. Nur in dem einen Falle der vier möglichen Wertebelegungen: a = 1 und b = 1 kann sich im unteren Teil der Maschine ein Druck von 1 atü ausbilden: a 1\ b = 1.

Ist einer der Hähne offen (d.h. a = 0 oder b = 0), so entweicht die Luft über eines der Ventile und es wird angezeigt: a 1\ b = O. über die Kapillare kann der Luftdruck von 1 atü abfallen.

Man beachte die umgekehrte Stellung der Ventile bei den beiden Maschinen entsprechend den Dioden der elektronischen Maschinen (vgl. Bild 4-8).

11.5. Terminologie Boolesche Maschine - Boolescher Automat

Die in der Literatur anzutreffenden verschiedenen Bezeichnungen für (statische) Boolesche Maschinen und Boolesche Automaten sind im folgenden zusammengestellt:

Boolesche Maschinen:

Schaltnetz (combinatorial circuit) (DIN 44 300) Verknüpfungsglied (logic element) (DIN 44 300) Schaltkreis [Wa] Statische Schaltkreise [We] Statische logische Schaltungen [We] Logische Schaltungen [We] Logische Maschinen (logic machines) [Ga] Zuordner (translater, interpreter) [Wa] , [AG] Kombinatorisches Netzwerk [Su] Kontaktnetzwerk [AG] (Technische) Realisierungen logischer Funktionen [AG]

Boolesche Automaten:

Schaltwerk (sequential circuit) (DIN 44300), [Wal (spezielle Schaltwerke: Rechenwerk, Leitwerk) Sequentielle Netzwerke [Su] Sequentielle Maschinen [AG] Automaten [Sn], [AG] Dynamische logische Schaltungen [We]

240 II. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

Die Kapitell, 4 und 5 dieses Buches beschreiben (statische) Boolesche Maschinen. Ihr Charakteristikum ist, daß sie zu jedem n-Tupel, eingesetzt für die Eingangsvariablen, den zugehörigen Funktionswert anzeigen (daher auch "Zuordner"). Die Maschinen können auch "Funktionenbündel ", d .h. zwei oder mehr Funktionen, die von den gleichen Ein­gangsvariablen abhängen, gleichzeitig verarbeiten.

Boolesche Automaten werden ab Kapitel 6 in diesem Buch behandelt. Typisch für einen Booleschen Automaten ist, daß der Automat eine Folge von Zeittakten (mit dem Takt­geber) herstellt und bei jedem Zeittakt ist ein Zuordner in Funktion. Zwischenergebnisse werden gespeichert, um zu einem späteren Zeittakt für eine Verarbeitung zur Verftigung zu stehen.

11.6. RS-Flipflop in Relaistechnik

Man kann Speicher mit einem einzigen Relais nach Bild 11-14 oder 11-15 bauen. Hier sei eine aufwendige Schaltung mit zwei Relais erläutert, um das Verständnis der Wirkungs­weise des elektronischen Flipflops zu erleichtern.

Arbeitsweise: Wenn an die Buchse B eine Spannung angelegt wird, so erhält jede Relais­spule über den Ruhekontakt des anderen Relais Strom. Eines der Relais spricht etwas rascher an und unterbricht seinen Ruhekontakt zuerst. Wenn dies das Relais Rl ist, dann schneidet es dem Relais R2 die Stromversorgung ab. Der "Inhalt" des Speichers ist 0: Glühlampe G leuchtet nicht, vgl. Bild II-lOa.

12V

a) b)

Bild 11-10. RS-Flipflop mit zwei Relais

a) Löschen (Rücksetzen).Ausgangslage (Speicher inhalt = 0) b) Schreiben (Setzen) (Speicherinhalt = 1)

12V O--r-----T""---,G

" / / "­

Q=1

Stromdurchfluß durch eine Relaisspule ist durch die Punktierung angedeutet.

Wenn über Buchse S ein kurzzeitiges elektrisches Signal (12 Volt) kommt, so wird die Relaisspule R2 mit Strom versorgt, der Ruhekontakt RK2 unterbricht die Stromver­sorgung von Rl, so daß sich RK 1 von Rl schließt. Über RK 1 wird nun R2 mit Strom versorgt, und von diesem Moment an darf das S-Signal beendet werden. Der Zustand des Speichers ist Q = 1, angezeigt durch Leuchten des Glühlämpchens G (Bild Ir-lOb).

11.7. Master-Slave-Flipflop 241

Soll der Speicherinhalt wieder 0 werden, so muß ein kurzzeitiges 12 V-Signal bei R er­scheinen. Die Versorgung des R2 über den Ruhekontakt RK1 wird unterbrochen und es stellt sich jetzt der andere stabile Zustand der Schaltung ein: Der Speicherinhalt wird "gelöscht" (Bild 1I-10a).

(Für die Demonstration der Arbeitsweise des RS-Flipflops ist es zweckmäßig, auch den Zustand des Relais RI und damit das Komplement des Speicherinhaltes durch ein Glüh­lämpchen anzuzeigen).

11.7. Master-Slave-Flipflop

In Kapitel 6.4. wurde das JK-Flipflop und das D-Flipflop beschrieben. Diese Flipflops sind Speicherglieder fUr 1 bit, welche eine "Information" (d.h. ein O-Signal bzw. ein I-Signal), die an einem oder zwei Vorbereitungseingängen anliegt, übernehmen und speichern, und zwar auf ein bestimmtes Zeitsignal (Taktsignal). Zu diesem Zweck be­nötigt das Flipflop "Vorspeicher", welche bei den in Kapitel 6.4. erläuterten Flipflops Kondensatoren waren. Man kann aber auch als Vorspeicher ein zusätzliches Flipflop ver­wenden. Ein solches Speicherglied nennt man "Master-Slave-Flipflop". Der dabei be­nötigte höhere Aufwand an Transistoren fällt bei Integri.erten Schaltkreisen nicht ins Gewicht. Für den Computerbau hat daher heute das Master-Slave-Flipflop eine große Bedeutung. Im folgenden soll angegeben werden, wie man mit den Speicher- und Ver­knüpfungsgliedern des Lehrgerätes SIMULOG ein Master-Slave-Flipflop aufbauen und dessen Funktionsweise demonstrieren kann.

_ Master --+:_ Slave _

S' 01 :

T

1----+-7<--0(2

Bild 11-11. Master-Slave mit RS-Flipflops Bild 11-12. Master-Slave-Flipflop mit Logikgliedern

Mit zwei RS-Flipflops, vier UND-Gliedern und einem Negator kann man sich nach Bild 11-11 ein Master-Slave-Flipflop aufbauen. Vom Speicher A soll die Information über­nommen werden. Bei Erscheinen des Taktsignals werden die UND-Glieder K1 und K2

"geöffnet" und dabei der Inhalt von Speicher A in den Speicher M (Master) übernommen. Bei Verschwinden des Taktsignals (fallende Flanke) wird die Information von M auf S (Slave) übertragen, weil dann die UND-Glieder K3 und ~ geöffnet sind. ~er Speicher S ist der eigentliche Speicher, dessen Inhalt von seinen Ausgängen Q und Q zur Ver­fUgung steht.

242 11. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

Sehr instruktiv ist die Schaltung nach Bild 11-12, aus welcher zu ersehen ist, daß auch das "dynamische" Flipflop (vgl. 6.4.) allein mit Logikgliedern aufgebaut werden kann. In Bild 11-12 sind die beiden RS-Flipflops Mund S von Bild H-ll durch jeweils zwei NOR-Glieder ersetzt, im übrigen ist die Funktionsweise die gleiche. Die Schaltung von Bild 11-12 liegt den Integrierten Schaltkreisen zugrunde.

11.8. Taktgeber, Dualzähler und Schieberegister in Relaistechnik

Man kann sequentielle Maschinen (Automaten) in Relaistechnik aufbauen. Die ersten funktionierenden Computer arbeiteten mit Relais [Zu]. Die Elektronenröhre hat als Schaltelement eine zu geringe Lebensdauer und erst die Erfindung des Transistors (etwa 1948) führte zu einem zuverlässigen elektronischen Schalter, der viele Vorteile gegenüber dem Relais hat. Wir wollen im folgenden einige Schaltungen besprechen, bei denen die "bistabile" Natur des Relais ausgenutzt wird. Darunter verstehen wir die Eigenschaft, daß ein Relais bei einer bestimmten Spannung, die an den Enden der Spule anliegt, so­wohl ein- als auch ausgeschaltet sein kann.

Für die im folgenden beschriebenen Experimente kann man z.B. Siemens-Kammrelais verwenden (V 23 154 D 0715 B 110).

Die "bistabile" Eigenschaft des Relais

30 er: .i:C9~Ch"It" ausgeschaltet

o ... b) 0 1 t2 3 4t 5 UR(V)

Ua Ue

Bild 1I-13. Die bistabile Natur des Relais

a) Schaltung zur Ermittlung der Kennlinie des Relais b) Kennlinie Relais, Schalt strom Is in Abhängigkeit von der Spannung UR an der Relaisspule.

Wenn man nach Bild 1I-l3a eine langsam ansteigende Spannung (von dem Potentiometer P abgegriffen) an eine Relaisspule gibt, so beobachtet man bei einer bestimmten Span­nung Ue (z.B. 4 V), daß das Relais anzieht (Kontaktbewegung nach rechts). Geht man dann mit der Spannung wieder zurück, so fällt das Relais bei Ua (z.B. 2 V) wieder ab. Das bedeutet, daß bei allen Spannungen zwischen Ua und Ue das Relais entweder ein­oder ausgeschaltet sein kann (vgl. Bild 1I-l3b), je nach der Vorgeschichte. Ist man von o V an diesen Spannungsbereich gekommen, so ist das Relais ausgeschaltet. Hat man, von 12 V ausgehend, die Spannung verringert, so ist es eingeschaltet.

11.8. Taktgeber , Dualzähler und Schieberegister in Relaistechnik 243

RS-Flipflop mit einem Relais

Aufgrund der "bistabilen" Natur können wir ein einfaches RS-Flipflop aufbauen. Mit einem Vorwiderstand R stellen wir die Spannung am Punkt Y so ein, daß sie etwa 3 V beträgt (Ry bei dem obengenannten Relaistyp etwa 700 n). Wenn wir an Y ein Kabel anschließen mit einem Bananenstecker B und diesen kurz­zeitig an 12 V bringen ("Setz-Signal"), so zieht das Relais an (Speicherinhalt Q = 1). Wird jedoch der Punkt Y kurzzeitig auf 0 V gebracht ("Rücksetz-Signal"), so fällt das Relais ab (Speicherinhalt Q = 0).

Bild 11-14. RS-Flipflop Bild 11-15. RS-Flipflop mit Kondensator

Eine leichte Abwandlung der Schaltung von Bild 11-14 fUhrt zu einem Prinzip, welches wir für die Dualzähler- und Schieberegistereinheit verwenden können.

Das Relais-Flipflop kann auch in seine beiden stabilen Zustände gebracht werden, in­dem durch den Kondensator C ein kurzer Stromstoß geliefert bzw. von ihm aufge­nommen wird (Bild 11-15). Ein Umschalter mit den Kontakten S1/S2 sorgt für die Auf­bzw. Entladung von C. Der Umschalter T 3/T 4 führt bei Betätigung (Schließen von T 3) die Ladung von C an das Relais und läßt dieses anziehen (Setzen). Das Rücksetzen kann erfolgen, nachdem C über S2 -T 4 entladen wurde. Schließt man darauf T 3, so fällt das Relais ab (Q = 0), weil die Spannung am Punkt Y kurzzeitig durch den Ladestromstoß zusammenbricht.

Taktgeber (astabile Kippschaltung) mit Relais

Der Taktgeber nach Bild 11-16 arbeitet wie folgt: Nehmen wir an, das Taktgeberrelais TG sei abgefallen. Dann ist T 1 geschlossen. Der Kondensator C lädt sich über Ry auf, bis die Spannung am Punkt Y die Erregung der Relaisspule verursacht (bei etwa 4 V). Dabei öffnet sich T 1 und C entlädt sich über die Relaisspule TG. Wenn die Spannung über dem Relais auf 2 V (vgl. Bild 1I-13b) gefallen ist, fällt das Relais TG ab und T 1 schließt sich. Der gleiche Vorgang beginnt von neuern. Die Taktfrequenz wird durch Ry

und C bestimmt. Eine Glühbirne G, zwischen 12 V und T 2 geschaltet, zeigt den Zustand des Relais an.

Bild 11-16

Taktgeber in Relaistechnik

C 5000 ,uF

244 11. Erläuterungen zu den Booleschen Maschinen

Bei etwa 30 n und etwa 5000 J.1F ergibt sich bei obengenanntem Relais eine Frequenz von etwa 1 Hz. Diesen Taktgeber können wir für den nun zu beschreibenden Dualzähler und für das Schieberegister einsetzen.

Dualzählereinheit mit Relais

In dem in Bild II-17a gezeichneten Zustand (Speicherinhalt Q = 0) ist das Relais Rn ab­gefallen. C wird über T4 und SI aufgeladen. Schließt der Kontakt T 3 (Abfallen des Takt­geberrelais TG), so bekommt das Relais Rn einen Stromstoß und zieht an (Speicherin­halt Q = 1). Dabei schließt S2. Wird nun der Kontakt T 4 geschlossen, so entlädt sich C über T 4-S2. Beim nächsten Schließen von T 3 fließt in den Kondensator ein Lade­strom, der das Relais Rn abfallen läßt (Speicherinhalt Q = 0). Dabei schließt SI. Wenn dann T 4 wieder schließt, ist der Anfangszustand erreicht. In dem beschriebenen Zeit­ablauf hatte sich der Umschalter T 3 IT 4 zweimal hin- und herbewegt, dagegen S1/S2 nur einmal (daher auch: "Untersetzer 2: 1). Der Umschalter T 3/T 4 kann zum Taktgeber­relais von Bild 11-16 gehören oder zu demjenigen Relais, welches für die Dualziffer 2n- 1

steht, wenn das gezeichnete Relais Rn die Dualziffer 2n repräsentiert. Der Umschalter T 5 IT 6 von Relais Rn sorgt fur die Betätigung des Relais Rn + l' Um einen n-stelligen Dualzähler zu bauen, brauchen wir also n Relais (außer dem Taktgeberrelais), und bei jedem Relais werden zwei Umschalter benötigt. Soll eine Glühbirne G den Zustand des Relais anzeigen, so kann man G zweckmäßig nach Bild II-17b schalten. Dabei wird der Ladestrom für C nicht über SI , sondern über G zugeführt.

G

Bild II-17a. Dualzählereinheit Bild II-l7b. Versorgung der Glühlampe G

Will man einen Logikautomaten bauen, bei dem die 2n Wertebelegungen automatisch eingelesen werden sollen, so stehen die übrigen zwei Umschalter des obengenannten Relais noch für die Verdrahtung des "Logiknetzes" zur Verfligung (Kapitel 9).

Schieberegister mit Relais

Nach dem gleichen Prinzip kann man erreichen, daß ein Relais Rn auf ein Taktsignal die Information (den Speicherinhalt) von dem Relais Rn- 1 übernimmt. Im gezeichneten Zustand (Bild II-I8a) lädt sich Cn_ 1 über SrT 3 auf. Wenn T 4 (zum Taktgeberrelais ge­hörig) schließt, bekommt Relais Rn einen Einschalt-Stromstoß, d.h. es übernimmt die I von Rn -1'

1I.8. Taktgeber , Dualzähler und Schieberegister in Relaistechnik

TG [Z}----

T3

Bild 1I·18a. Schieberegister

Jl/ / "-Rn-l :-: ... .':.:. ____ 7_

12V

R I_D n~UV

Bild 1I·18b. Anzeige des Relaiszustandes

245

In gleicher Weise ist ein Umschalter S3/S4 von Rn über einen weiteren Umschalter von TG (Taktgeberrelais) T 5 IT 6 mit einem Kondensator Cn verbunden, der für die Betäti­gung des Relais Rn+ 1 sorgt usw. Bild II-18b zeigt, wie eine Glühbirne geschaltet werden kann, wenn sie den Zustand eines Relais anzeigen soll.

246 III. Einführung in das Rechnen im Dualsystem

Anhang 111. Einführung in das Rechnen im Dualsystem

Mit besonderer Berücksichtigung der in Rechenautomaten angewendeten Verfahren.

111. 1. ZahlendarsteIlung im Dezimal- und im Dualsystem

Digitale 1) Rechenautomaten arbeiten im Dualsystem oder in einer binären 2) Zahlendar­stellung. Beispiel für eine binäre Schreibweise: Jede Dezimalziffer wird dual geschrieben (BCD-Code 3)).

725

Dezimal

7

OLLL

2

OOLO

BCD-Code

5

OLOL

Wenn man die Arbeitsweise der Rechenwerke digitaler Automaten verstehen will, muß man die Rechenregeln für das Rechnen im Dualsystem kennen. Das allgemein gebräuch­liche Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem, bei dem die einzelnen Ziffern angeben, wie oft die Zehnerpotenzen in der Zahl enthalten sind. So bedeutet z.B.

4023 = 4 . 103 + 0 . 102 + 2 . 101 + 3 . 10°

Die Zahl 4023 ist also die Summe der durch die Ziffern bestimmten Vielfachen der Zehnerpotenzen. Zehn wird die "Basis" des Dezimalsystems genannt. Man kann jede beliebige ganze Zahl ;;;" 2 als Basis für ein Stellenwertsystem nehmen. In der Tat waren auch andere Zahlen als Zehn für Stellenwertsysteme gebräuchlich 4). Jedes Stellenwert­system benötigt soviele Ziffern, wie der Wert der Basis ist. Das Dezimalsystem benötigt wegen der Basis 10 also zehn Ziffern (0 ... 9), das Dualsystem braucht wegen der Basis 2 nur zwei Ziffern.

Die Dualzahlen

Ganze Zahlen

Die kleinste Zahl, welche man als Basis wählen kann, ist 2, was bereits von Leibniz er­kannt wurde. Die Stellenwerte sind, von hinten begonnen: 2°, 21 , 22 , 23 usf. Die letzte Stelle gibt also die Einer, die vorletzte die Zweier an, dann folgen die Vierer, Achter usw.

21 2°

L o L o L L

Zahlenbeispiel

1) Von digit (englisch) = Ziffer, Zeichen. Im Gegensatz zu analogen Rechenautomaten.

2) Die Begriffe "dual und binär" sollten säuberlich unterschieden werden. Das Dualzahlensystem ist das Stellenwertsystem zur Basis 2. "Binär" ist jede Darstellung von Zahlen, Buchstaben usw., wenn daftir genau zwei verschiedene Zeichen (z.B. 0, 1) verwendet werden. Die Dualzahldar­stellung ist also ein Sonderfall einer binären Schreibweise.

3) BCD = Binary Coded Decimal (eng!.), vg!. hierzu Kapitel 5.2.

4) Beispiel: Zwölfersystem der Babyionier.

IlI.2. Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen und umgekehrt. 247

Die Zahl LOL OLL besteht aus der Summe von einem Einer, einem Zweier, einem Achter und einem Zweiunddreißiger. Es ist also die Zahl 1 + 2 + 8 + 32 = 43.

Dual Dezimal

0 0 L 1

LO 2 LL 3

LOO 4 LOL 5 LLO 6 LLL 7

LOOO 8

Gebrochene Zahlen

Die ersten acht natürlichen Zahlen sind nebenstehend in der Dual- und der Dezimaldarstellung angegeben.

Um Verwechslungen zu vermeiden, verwendet man flir die Eins des Dualsystems meist das Zeichen L.

Wir lesen die Dualzahlen durch Aneinanderreihen der Ziffern von links nach rechts. Z.B. wird LOL gelesen: "Eins-Null-Eins". Wie im Dezimalsystem haben Nullen, vor denen keine Eins mehr steht, keine Bedeutung. Es ist also dasselbe, ob wir z.B. schreiben LL oder OOLL.

Im Dezimalsystem werden nach dem Komma die Stellenwerte der Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten geschrieben. Die erste Stelle nach dem Komma sind die Zehntel, d.h. 10-1 = 1/10, es folgen die Hundertstel (10 -2 = 1/100) usf.

l' 102 + 3' 10 1 + 2· 100 + 7' 10-1 + 5' 10-2

132,75 Beispiel für das Dezimalsystem

Entsprechendes gilt für das Dualsystem. Die erste Stelle nach dem Komma sind die Halben (rl = 1/2), es folgen die Viertel (r2 = 1/4), Achtel (r 3 = 1/8). Die Zahl O,LLO hat also den Wert 0 . 2° + 1 . r l + 1 . r 2 + 0 . r 3 , im Dezimalsystem: 0,75

Die Anzahl von Stellen im Dezimal- und Dualsystem

Die Darstellung einer Zahl im Dualsystem benötigt im Durchschnitt etwa die 3,3-fache Anzahl von Stellen wie im Dezimalsystem I).

Rechenautomaten schreiben Zahlen i.a. bis zu 11 Dezimalstellen aus, das sind etwa 36 Dualstellen ("Wortlänge" großer Rechenautomaten). Noch größere Zahlen müssen als Vielfache von Zehnerpotenzen angegeben werden.

111. 2. Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen und umgekehrt

Bei der Zahleneingabe und -ausgabe in Rechenautomaten müssen die Zahlen "umgesetzt" oder "konvertiert" werden vom Dezimalsystem ins Dualsystem und umgekehrt. Das ge­schieht automatisch entweder in statischen Booleschen Maschinen (Umsetzer, Konver-

log 10 1 I) -- "'='- "'='3,3

log 2 0,3

248 III. Einführung in das Rechnen im Dualsystem

tierer oder Zuordner) oder in sequentiellen Maschinen, d.h. nach einem Programm (fest verdrahtete "Miniprogramme"). Hi~rfür können Kalkille dienen, wie sie in Band II be­sprochen werden.

Umsetzung von Dualzahlen in Dezimalzahlen über das Oktalsystem

Wenn man eine Dualzahl rasch in die zugehörige Dezimalzahl übersetzen will, so kann man sich einer vorteilhaften Methode bedienen, welche zunächst die Dualzahl in eine Oktalzahl übersetzt.

Je drei Dualstellen ergeben nämlich eine Oktalstelle, d.h. Oktalziffer. Beispiel: Die neun­stellige Dualzahl LOL LLO OLO ist in 3 Dreiergruppen geschrieben. Die Oktalzahlen dieser 3 Gruppen sind: 5 - 6 - 2.

Begründung:

LOLLLO OLO = = (I . 28 + 0 . 27 + 1 . 26 ) + (I . 25 + 1 . 24 + 0 . 23 ) + (0' 22 + 1 . 21 + 0 . 2°)

= (I . 22 + 0 . 21 + 1 . 2°) . 26 + (1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 2°)' 23 + (0' 22 + 1 . 21 + 0 . 2°)

= 5 . 82 + 6' 81 + 2 . 8° = (562)8

(562)s ist die Oktalzahl der obengenannten Dualzahli). Sie besteht also aus 2 Einern, 6 Achtern, 5 Vierundsechzigern. Die entsprechende Dezimalzahl ist: 5 ·64 + 6 . 8 + 2 . 1 = 320 + 48 + 2 = 370.

Noch einige Beispiele:

OLL LOL = = 3 Achter + 5 Einer = 3 . 8 + 5 . 1 = (35)8 = (29)10

LOOL LOO, OLL = = 4 Achter + 2 Einer + 1 Achtel = 4·8 + 2·1 + 1 . 1/8 = (42,1)8 = (34,125)10

LOO OLO, OOL = = 1 Vierundsechziger + 1 Achter + 4 Einer + 3 Achtel = (114,3)s = (76,375)10

Wir fassen also je 3 Stellen, von dem Komma beginnend nach links und rechts, zu­sammen. Diese Dualzahlgruppen geben den Wert der Einer (8°), Achter (8 1 ), Vierund­sechziger (82 ) .... Nach rechts ergibt die erste Dreiergruppe die Achtel (8 -I ), die zweite ergibt die Vierundsechzigstel (8 -2) usw.

In einigen Rechenautomaten wird diese Zwischenumsetzung bei der Dual-Dezimal-Kon­vertierung ausgenutzt.

Wenn man nach dieser Methode rasch im Kopf Dualzahlen bis zu 9 Stellen in Dezimal­zahlen umwandeln will, braucht man nur die Oktaläquivalente (= Dezimaläquivalente) der Dualzahlen von 000 bis LLL auswendig zu kennen, im übrigen das Einmaleins mit der 8 und der 64.

1) Es bedeutet der Index (. .. h, daß es sich um eine Oktalzahl, der Index ( ... ho, daß es sich um eine Dezimalzahl handelt.

1II.3. Addition von Dualzahlen 249

Umwandlung Dezimal-Dual und Dual-Dezimal durch Zerlegung in Potenzen von 2

Beispiele: Dezimal-+ Dual Dual -+ Dezimal

9,75 L· 23 8 LOLO,OL L· 23 8 + 0.22 0 + 0.22 0

+ o . 21 0 + L·2 1 2

+ L· 2° 1 + O' 2° 0 + L·r l 0,5 + 0 ·r1 0 + L· 2-2 0,25 + L·r2 0,25

9,75 10,25 9,75 = LOOL,LL LOLO,OL 10,25 ..

Die Faktoren der Zweierpotenzen ergeben also die Dualziffern. Dieses Verfahren ist um­ständlich zu automatisieren.

111. 3. Addition von Dualzahlen

Die Addition von Dualzahlen kann nach dem gleichen Schema, wie es für Dezimalzahlen bekannt ist, durchgeführt werden, d.h. man addiert, beginnend bei der niedersten Dual­stelle (bei ganzen Zahlen also 2°), jede Dualstelle. Wird bei der Addition der Wert der Dualstelle überschritten, so erfolgt ein "übertrag" c in die nächsthöhere Dualstelle.

1. Zahlenbeispiel

26 25 24 23 22 21 2°

+L 0 L L 0 L L

+ 0 L L L 0

c 0 L L L L 0

s L L 0 L 0 0 L

2. Zahlenbeispiel mit gebrochenen Zahlen

L L, L L 0 0 L + L 0, L L L 0 L

L L L,L 0 o L

L L 0, L 0 L L 0

17 Merke!

Dezimal:

91

14

10

105

3. Zahlenbeispiel

LLLLOL

L 0 L 0 L

+ L L L L L

L

cLOLOLL

sLLLOOOL

250 111. Einftiluung in das Rechnen im Dualsystem

In der Dualstelle 22 stehen 4 Vierer, das sind 2 Achter. Der übertrag lautet also: LO, d.h. zwei Achter oder (ein Sechzehner und kein Achter). Bei den Sechzehnern erscheint außerdem von den Achtern noch ein übertrag.

Bei den Rechenautomaten wird diese Schwierigkeit umgangen: Es werden immer nur zwei Zahlen addiert. Bei mehr als 2 Summanden werden also immer Zwischensummen weiterverarbeitet.

111. 4. Subtraktion von Dualzahlen

Allgemeines

Die beim Dezimalsystem angewendeten Verfahren können auf das Dualsystem übertragen werden. Man "borgt" (entlehnt) von der nächsthöheren Stelle, wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist. Für das maschinelle Rechnen in elektronischen Rechenauto­maten sind noch andere Subtraktionsverfahren interessant, so das Subtrahieren durch Addition des Komplementes und das hiermit verwandte Rechnen mit "konegativen Zahlen".

Subtraktion mit "Entlehnung" e

Beispiel:

LOL LOL - LO LLL = ?

m LOLLOL

- s L 0 L L L

e L 0 L L 0

d L 0 L L 0

andere Schreibweise:

L.OL.L.OL

L 0 L L L

L 0 L L 0

Erläuterung: Wenn von 0 eine L abgezogen werden soll, so muß von der nächsthöheren Dualstelle entlehnt werden.

Subtraktion durch Addition des Komplementes

Zum Vergleich im Dezimalsystem:

a) B-Komplement (Zehnerkomplement)

Diese Methode sei zunächst an einem Beispiel besprochen:

Aufgabe: 728 - 216.

Wir berechnen vom Subtrahenden die Differenz (das "Komplement,,) zur nächst­höheren Zehnerpotenz, hier also zu Tausend: 1 000 - 216 = 784.

Dieses Komplement (784) wird zu dem Minuenden addiert: 728 + 784

1512

1II.4. Subtraktion von Dualzahlen 251

Da aber die Gesamtrechnung bis jetzt lautet:

728 + (1000 - 216),

müssen wir die 1000 wieder subtrahieren, um das Endergebnis der Subtraktion, näm­lich 512, zu erhalten.

Insgesamt rechnen wir also: 728 + (1000 - 216) - 1000 = 512.

Man kann fragen, was diese Methode denn für Vorteile haben könne, da ja zwei Operationen mehr durchzuführen sind. Nun ist aber die Bildung des Komplementes eine sehr leichte Operation, vor allem bei den Dualzahlen. Schreiben wir das obige Beispiel in allgemeinen Zahlen an, so erhalten wir:

m + (B ß - s) - Bß = d m Minuend s Subtrahend (höchste Dezimalstelle (n - 1» B Basis (10) d Differenz m - s

b) (B -1 )-Komplement (Neunerkomplement)

Statt das Komplement zu Bß zu bilden, kann man auch das Komplement zu Bß - 1 verwenden. In obigem Beispiel (728 - 216):

Bß -1 = 999 999 - 216 = 783

783 ist das Komplement von 216 zu Bß - 1. Dieses Komplement ist "mechanischer" zu bilden: Jede Ziffer ist zu 9 zu ergänzen. In der Tat macht die Bestimmung des (B - 1)-Komplementes in der Maschine weniger Schwierigkeiten, vor allem im Dual­system. Um allerdings das Ergebnis d zu erhalten, muß jetzt 999 oder einfacher: (1000 - 1) abgezogen werden, d.h. 1000 wird subtrahiert und dann 1 addiert. Die gesamte Aufgabe sieht jetzt so aus:

728 + (999 - 216) - (1000 -1) = 512

oder in allgemeinen Zahlen

m + (B ß - 1 - s) - (B ß -1) = d

728

+ 783

1511 + ~l

512

Wir schreiben die Aufgabe des Beispiels nochmal in einer vereinfachten Form. Es sieht so aus, als ob wir die "Überlauf-Eins" entfernen und zum Zwischenergebnis addieren, um das Ergebnis d zu erhalten.

252 III. Einführung in das Rechnen im Dualsystem

Subtraktion durch Addition des Komplementes im Dualsystem

a) (B - l)-Komplement oder "Einerkomplement"

Im Dualsystem besteht das (B - l)-Komplement wie im Dezimalsystem aus dem Kom­plement jeder einzelnen Ziffer. Das Komplement von 0 ist L und von L ist es O.

1. Beispiel: L OLL LLO - LLO LOL:

Von der Dualzahl LLO LOL ist das Komplement OOL OLO. (Die zugehörigen Dezi­malzahlen sind 53 und 10, es ist also die Ergänzung zu 63 = 26 - 1).

L 0 L L L L 0 Zum Vergleich: Dezimal 94-53

0 o L 0 L 0 94

+ + 46 c L L L L 0 --

I z L L 0 L 0 o 0

+ • L 140 + LI

d L 0 L 0 o L --

41

Der Rechenweise nach dem Beispiel haftet noch ein Mangel an, der sich bei der "Mechanisierung" (Übertragung auf maschinelle Durchflihrung) auswirkt: Wir haben die Komplementbildung zur nächsthöheren DualsteIle der höchsten im Subtrahenden vorkommenden Zweierpotenz vorgenommen. Diese Einschränkung ist in der Tat nicht nötig.

Das Komplement kann zu einer beliebig hohen Potenz gebildet werden. Das ist wichtig für die Mechanisierung des Verfahrens. Für obiges Beispiel sind alle Ziffern bis zur 9. DualsteIle geschrieben, das Ergebnis bis zur zehnten:

OOL OLL LLO

+ __ .1.LL 00L_,,91:Q

c L LLO LLL LO

z L 000 LOL 000 I

d LOL OOL

Die "Überlauf-Eins" erscheint jetzt im Zwischenergebnis z bei der höchsten Dual­stelle und wir folgen obiger Vorschrift, sie verschwinden zu lassen und zu dem ver­bleibenden Zwischenergebnis zu addieren.

Die Methode der Subtraktion durch Addition des Komplements wird bei elektro­nischen Rechenautomaten angewendet, es ist eine "maschinengerechte" Methode, welche allerdings erst im Dualsystem ihre großen Vorteile hat.

Angewendet wird auch das jetzt zu beschreibende "Zweierkomplement".

IIl.4. Subtraktion von Dualzahlen 253

b) B-Komplement oder "Zweierkomplement"

Wir bilden das Komplement zur nächsthöheren Dualstelle. Beispiel: Von L OLO muß das Komplement zu 24 gebildet werden, es ist LLO. Es gibt eine "mechanische" Methode der Komplementierung. Von der letzten Dualstelle begonnen, werden so lange die Ziffern der zu komplementierenden Zahl unverändert gelassen, bis die erste L erschienen war. Das sei an drei Beispielen verdeutlicht:

j LOLOLO

I LOOL 000

OLO LLO 0 LLL 000

I LOLOOL

OLO LLL Komplement

Dieses Verfahren ist leicht mechanisierbar , zumindest in Serienaddierwerken, bei denen die einzelnen Ziffern - von der letzten Stelle beginnend - einzeln abge­rufen werden.

Die Subtraktion mit dem Zweierkomplement ist einfacher, da lediglich die "über­lauf-Eins" vernachlässigt wird.

Beispiel: LLO LOL OLO - OOL OLL LOL

Subtrahend als Komplement: LLO LOO OLL

LLO LOL OLO

+ LLO LOO OLL

c L LOL 000 LO

(L) LOL OOL LOL

Ergebnis: LOL OOLLOL

Als übung möge der Leser alle Zahlen über Oktalzahlen in Dezimalzahlen verwandeln.

Rechnen mit konegativen Zahlen

Vielleicht ist es dem Leser aufgefallen, daß wir bisher für das Rechnen mit Dualzahlen einige Algorithmen (Rechenvorschriften) entwickelten, welche eine Operation mit mehr­stelligen Zahlen in sehr einfache Rechenschritte für die einzelnen Dualstellen auflösten. Diese werden bei einiger übung "mechanisch" (ohne zu "denken") ausgeführt. Es gibt nun auch Verfahren, bei dem das Vorzeichen der Zahlen mit in die Operation einbezogen und wie ein Zahlzeichen behandelt wird. Dieser Algorithmus, das "Rechnen mit konega­tiven Zahlen" für die Addition positiver und negativer Zahlen, wird im Band 11 bespro­chen. Für Rechenautomaten hat dieses Verfahren eine große Bedeutung.

254 III.5. Multiplikation von Dualzahlen

111. 5. Multiplikation von Dualzahlen

Das "Kleine Einmaleins" des Dualsystems lautet: 0 . 0 = 0

o· L= 0

L·O =0

L· L=L

Wenn wir die 0 als f (falsch) und die LaIs w (wahr) deuten, so erkennen wir in oben­stehender Tabelle die UND-Funktion (Konjunktion) der Logik wieder, weswegen das Konjunkt auch "Logisches Produkt" genannt wird. Ferner erklärt sich so die Verwen­dung des Verknüpfungszeichens ,;" für die Konjunktion bzw. auch die völlige Weglas­sung des Zeichens wie bei dem Produkt: a . b = ab.

Multiplikation

a) Mehrstellige Dualzahlen

Beispiel: 22 . 5 = 110

L 0 L L 0 L 0 L

PI L 0 L L 0

+ P2 0 o 0 0 0

+ P3 L 0 L L 0

c L 0 000

P L L 0 L L L 0

Wie im Dezimalsystem bilden wir die Zwischenprodukte PI, P2, ... und addieren sie stellenrichtig. Diese Methode wird bei Rechenautomaten angewendet. Bei der Addition wird jedoch, wie wir oben gesehen haben, zunächst die Zwischensumme PI + P2 gebildet, zu dieser dann P3 addiert usw.

b) Multiplikation mit der Basis (Zwei) und Vielfachen der Basis

hn DeZimalsystem bedeutet eine Multiplikation mit der Basis (also Zehn) eine Komma­verschiebung nach rechts, beim Dualsystem ist es die Multiplikation mit Zwei.

Beispiel: LL OLO . LO = LLO LOO. Eine Multiplikation mit 8 bedeutet Kommaverschiebung um 3 Stellen nach rechts:

Beispiel: LOL· L 000 = LOL 000

III.6. Division von Dualzahlen 255

111. 6. Division von Dualzahlen

a) Division durch die Basis (Zwei) und durch Vielfache der Basis

Wie im Dezimalsystem kann man sie als Kommaverschiebung nach links schreiben.

Beispiel: LLO OLL: LO = LL OOL,L

LOL LOO : LOO = L OLL,OO

b) Ist der Divisor eine beliebige Zahl, so kann man wie im Dezimalsystem dividieren:

Beispiel 1:

_ ~~OLL • L~OOL

- 00 00

-00 OL

- 00 -- ~

LL - LL

00

Beispiel 2:

LLOOLO,OOOOOO : LL = LOOOO,LOLOLO LL

OOOLOO -LL

LOO - LL

LOO - LL

LO

Die Dualperiode bei Beispiel 2 ist also LO und der Dualbruch hat den Wert

~ + 2_ + __ ~_ + 4 16 64

Wir können auch den "Rest" LO durch LL dividieren und als Dualbruch ~~ = ~ schreiben.

Das Ergebnis lautet dann: LLOOLO : LL = LOOOO t~

c) Soll die Division von Rechenautomaten ausgeführt werden, so wird man Verfahren suchen, welche sich leichter "mechanisieren" lassen. Zwei solcher Verfahren - Di­vision mit und ohne "Restrückstellung" - werden in Band 11 besprochen, ferner ein Verfahren zum Wurzelziehen von Dualzahlen.

256

Literaturverzeich nis

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257

258

Sachwortverzeichnis

Absorptionsgesetz 16, 39, 47,79

Addier-Subtrahierwerk 140 Addition von Dualzahlen 106,

249 Maschine für - 118,133, 138

adjunktive Normalform ~ disjunktive Normalform

Akkumulator 134,147 Antivalenz 232

-schaltung 68 Äquivalenz 231

prüfen 165 -schaltung 68

arithmetische Folgen 144 Arbeitskontakt ~ Schalter Assoziativgesetz 16, 38, 47,

78 astabile Kippschaltung ~

Ta ktgeb er Aussage 31 Aussageformen 31, 34,45,

66, Äquivalenz von - 35,46, 229 Grundmenge der - 31 Formal falsche - 42,46, 229 Formal wahre - 42,46, 229 Komplementäre - 41 Verknüpfung von - 34, 66

Aussagenalgebra 31,44,63, 229

Aussagenlogik 31 Aussagenvariable 38, 45 Axiomensystem 48

B2 ~ Boolesche Algebra, zweielementige

bedingter Befehl 139, 147 bedingter Reflex 190 Befehlsablaufplan 146, 149,

151 Befehlswerk 135, 138 Bijunktion 36,68,231 Binärzähler ~ Dualzähler bistabile Kippschaltung

~Flipflop

bivariables Relais 69, 236 B-Komplement 253 (B-l)-Komplement 139,251 Boolesche Algebra 27, 223

zweielementige - 28,44, 47,50, 62 Elemente der - 63

Boolesche Funktion 52 Koordinatendarstellung der - 54

Boolesche Maschine 24, 66, 118,155,240

Boolescher Automat 118, 155,240

Boolescher Raum 54

Code 195 Binär - 96 BCD - 96, 246

Code-Umsetzer 95, 96, 99 codieren 95,100,105,196 Computer ~ Rechenautomat

Datenflußtafel 135, 143 decodieren 95,100,101 Decodierer 98, 199

für Dualzahlen 21, 96 Decodiertafel98, 102 Definitionsmenge 48 De Morgan-Gesetze 19,39,81,

165 digitale Prüfverfahren 210 digitale Zähl- und Meßverfahren

202, 207 Digitaltechnik 201 Digitaluhr 205 Digitalzähler ~ Dualzähler Dioden-Transistor-Technik 71 Disjunkt 51 Disjunktion 35, 45, 51,63 disjunktive Normalform 26,

30,35,43,46,56,59,64, 67 vollständige - 57, 167

Distributivgesetz 17,48,78 Division von Dualzahlen 255 Doppelte Verneinung 39 Doppeltes Komplement 18, 80 Dualitätsprinzip 48 Dualzahlen 246

Umsetzen von - 247 Dualzähler 147,201,244

Einselement 48 Elektronische Uhr ~ Digital-

uhr Erfüllungsmenge 218 Erkennungsbaum 89, 98,102 exklusives ODER 36, 68,232 expandieren 62,160,170,221,

233

Fährproblem 87, 175 Fernsehproblem 156,163 Flipflop (~Speicherglied)

D-Flipflop 125 J K-Flipflop 124 Master-Slave-Flipflop 241 RS-Flipflop 119,241,243

Flußdiagramm 137, 146, 149 Funktion

einstellige - 52, 55 zweistellige - 52, 55, 216 mehrsteIlige - 52, 217 identische - 55 konstante - 55, 57 Verknüpfung von - 60

Funktionsgleichung 10,29,40, 53

Funktionssymbol 11,29,40, 45, 53, S5

Funktionsterm 10,40,55,63, 229

Genetischer Code 195 Gesetze

der Aussagenalgebra 38, 215 der Booleschen Algebra 47,48,215 der Schaltalgebra 16, 21 S der Existenz und Eindeutig­keit 47 des Komplementes 18, 39, 79 mit den Konstanten 0 und 18

Halbaddierer 91,108 Hasse-Diagramm 49, 62 Hechtaufgabe 173 Hexadezimalsystem ~Sedezi-

malsystem Huntington 48

Idempotenzgesetz 17, 39, 79 Implikation 169,230, 233 Isomorphiebeziehungen 229

Karnaugh-Diagramm 27, 54, 225

Kettenschluß 157, 169 Klasse

von Schaltnetzen 12, 229 von Aussageformen 66, 229

Knobelspiel Faust-Hand 22, 66,83

Kombiglied 76 Kommutativgesetz 16, 38,

47,78 Komplement 48, SI komponierender Automat 188 Konjunkt 34, 51

von Funktionen 61

Sachwortverzeichnis

Konjunktion 34, 43, 45, 51, 63

konjunktive Normalform 26, 30,46,57,59,64,69

Kontradiktion 42, 45, 223 Kontrapositionsgesetz 233 Krawattenproblem 157, 176 kybernetische Modelle 189,

192

Labyrinthmodell 200 lernende Maschinen 190, 200 Lernmatrix 200 Lichtschranke 202, 204 logical if 139, 147 Logikautomat ISS, 161, 169,

171 Logikaufgaben

Bedingungen erfüllen von - 159 auf Rechenautomaten 175 Typen von - 156

Logikmaschine 240 als .. Gedankenleser" 88 als Computerelemente 90 mit bivariablem Relais 69, 236 Entwurf von - 93 Schalt netz als - 66, 83, 86, il4, 155

Logikplan 162, 169, 172 Logische Schaltung 240 -+

Logikmaschine Logisches Netz 114 Logisches Spektrum von

Mc Farlane 227

Marquand-Diagramm 227 Maschine

für ODER-Verknüpfung 239, -+ ODER-Glied für UND-Verknüpfung 239, -+ UND-Glied für NICHT-Verknüpfung -+ NICHT -Glied für exklusives ODER 77 für Bijunktion 76 Symbol für - 76

Maxterm 26, 29, 42, 56, 64 Minimalform 25, 26, 30,58,

64, 161 Minimierung 24 Miniprogramm 143 Minischach 181 Minterm 25, 29, 42,55, 64,

66, 161 modus barbara 157, 169,

233 modus ponens 233 modus tollens 166, 222,

233 Multiplikation von Dualzahlen

254 Multiplizierwerk 142 musizierende Automaten 184

NANO-Maschine 74, 76 Negat 32, 51

einer Funktion 60 Negation 32, 51 Neuro nen-Modelle 189 Neutrale Elemente 39, 48 NICHT-Glied 72 Nichtnumerische Datenver-

arbeitung 155 NIM-Spiel 176, 180

Automat für - 177 NOR-Maschine 74, 76 Nullelement 48

ODER-Verknüpfung -+ Dis­junktion

ODER-Glied 71, 76, 101 Oktalzahlen 248

Parallelschaltung 6, 28, 66 Parallelrechenwerk 133, 139 Paritätsb it 111 Paritätsprüfung 110 Peirce-Pfeil 63 Periodenlänge einer Ziffern-

folge 148 Pfeildiagramm 51 Potenzmenge 49 Programmablaufplan 137, 146 Programmschleife 137, 147,

151 Pseudodezimale (= Pseudo­

tetraden) 115 Produkt von Dualziffern 254

Maschine für - 20, 90

Quersumme einer Dualzahl 110, 113

Ratespiele 88 Rechenautomat

in Relaistechnik 70 in elektron_ Technik 70

redundanter Code 195 Relais 3, 238, 242 Ringschieberegister 127, 143 Röhre 70, 238 Ruhekontakt -+ Schalter

Satz vom ausgeschlossenen Dritten 233 vom Widerspruch 233

Schaltalgebra 28, 44, 63, 229 Schalter

mit Arbeitskontakt 1, 66 mit Ruhekontakt 2, 66 mit gekoppelten Kontakten 3 -stellung 2, 5, 8 Leitverhalten des - 2

259

Schaltfunktion 10,14,27,29, 44, 229 Symbol der - 11, 29

Schaltnetze 6, 9, 27, 44, 46 äquivalente - 11, 29 komplementäre - 14, 29 gekoppelte - 15, 27 Entwurf von - 20, 24

Schaltterm 9, 27, 63 Schaltvariable 5, 9, 27, 44, 63 Schalt wert 8, 44, 66 Schaltwerttafel (Wertetafel) 5,

8, 10

SChieberegister 126, 245 Sedezimalzahlen 79, 96 Sequentielle Maschinen 240,

-+ Boolescher Automat Serienaddierwerk 118, 134,

138 Serienschaltung 6, 7, 28, 66 Seriensubtrahierwerk 139 Sieben-Segment-Code 101 SIMULOG 4,76,92, 100,

105,123,136,164,179, 183,199,209

Sheffer-Strich 63 Speicher, Speicherglied 74,

119 Spielbaum 177, 181 spielender Automat 178,

182 Sprungzähler -+ Zähler Statische Maschine 240, -+

Zuordner, Logikmaschine Subjunktion 37, 169, 230,

233 Subtraktion von Dualzahlen

109, 250 Ma schine für - 21, 91, 132, 133

Tautologie 42, 45 prüfen 157, 164

Taktgeber 122,244 Teilermenge 49 Termumformungen 24, 30,

43,59, 160,218 Tischrechenmaschine

mechanische - 234 elektronische - 143

Transistor 70, 120,238

Umschalter 3, 6 Umsetzer

modulo m 116 Code - 95, 99

UND-Glied 72, 76, 101 UND-Verknüpfung -+ Kon­

junktion

260

Variablenglied -r Speicher­glied

Verband 47, 62, 63 komplementärer, distri­butiver - 47

Verknüpfung disjunktive --r Disjunktion konjunktive --r Konjunktion zweistellige - 63, 215

Verknüpfungsglied -r UND-, ODER-, NICHT -Glied

Verknüpfungstafel 50

Verknüpfungszeichen der Schaltalgebra 9, 63 der Booleschen Algebra 47,63 der Aussagenalgebra 34, 63 Volladdierer 24, 106, 118

Vollsubtrahierer 109 Vorzeichen 92

Wahrheitsfunktion 39, 44, 45, 67

Wahrheitstafel 33, 224 Wahrheitsterm 45, 63, 229 Wahrheitsvariable 32, 44,45,

63

Sachwortverzeichnis

Wahrheitswerte 31, 44, 63, 66 Wertefolge 11,44,53,60 Wertemenge 53 Wertetafel 10, 29, 33, 39, 44,

52 -r Wahrheitstafel

Zähler modulo - 129, 201, 205

Zählrechenwerk 132 Zeichen

erkennen 101 schreiben 105

Zuordner 95,113,118,154 Zuordnungsaufgaben 158, 175

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Wie arbeitet ein Computer?

Band 1: Logikschaltungen

Von Helmut Dahncke, Gerd Harbeck, Karl-Heinz Jäschke, Jürgen Küster, Bernd Reimers und Gert Starke. Mit 151 Abbildungen und 106 Tabellen. - Braunschweig: Vieweg 1971. XI, 200 Seiten. DIN C 5. Paperback 19,80 DM ISBN 978-3-663-05283-8

Inhalt: Grundbegriffe der Aussagenlogik - Computer mit elektrischen Schaltern - Computer mit elektronischen Gat­tern - Logische Folgerungen und ihre experimentelle Ober­prüfung - Lösung praktischer Probleme mit logischen Schal­tungen.

Band 2: Rechenwerke

Von Helmut Dahncke, Gerd Harbeck, Karl-Heinz Jäschke, Jürgen Küster, Bernd Reimers und Gert Starke. Mit 151 Abbildungen und 106 Tabellen. - Braunschweig: Vieweg 1972. XI, ca. 200 S. DIN C 5. Kartoniert ca. 19,80 DM ISBN 978-3-663-05283-8

Inhalt: Dualzahlen - Zahlenspeicher und Zählwerk­Paralleladdierwerk - Serienaddierwerk - MultiDlizier­werk - Programmsteuerung

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Logik und Grundlagen der Mathematik Herausgegeben von Dieter Rödding

Eine Buchreihe für Wissenschaftler, Studenten und interes­sierte Laien.

Der thematische Rahmen umfaßt: Beiträge zur Begründung der Mathematik im weitesten Sinne, Veröffentlichungen zu Grundlagenproblemen der Mathematik unter dem Gesichts­punkt der mathematischen Logik und Einzeldarstellungen aus dem Gebiet der mathematischen Logik.

Neben Werken deutscher Autoren erscheinen Übersetzungen ausländischer insbesondere angelsächsischer, französischer und osteuropäischer Fachliteratur, die damit erstmals dem deutschsprachigen Leser zugänglich gemacht wird.

Band 1: Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung

Band 2: Sinowjew, Über mehrwertige Logik

Band 3: Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen

Band 4: Choquet, Neue Elementargeometrie

Band 5: Monjallon, Einführung in die moderne Mathematik

Band 6: Jablonski u.a., Boolesche Funktionen und P05tsche Klassen

Band 7: Sinowjew, Komplexe Logik

Band 8: Dieudonne, Grundzüge der modernen Analysis

Band 9: Gastinei, Lineare numerische Analysis

Band 11: Serre, Lineare Darstellung endlicher Gruppen

Band 12: Schafarewitsch, Grundzüge der algebraischen Geometrie

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Einführung in die Programmiersprache PL/1

von Hilmar Pudlatz und Hermann Kamp, Braunschweig: Vieweg 1973. IV, 232 Seiten. DIN C 5 (uni-text7Skriptum.) Paperback ISBN 978-3-663-05283-8

Inhalt: Grundbegriffe der Programmierung - Elementares PL/1 -Block- und Programmstrukturen - Datenorganisation - Fortgeschritte­ne PL/1 Techniken - Programmbeispiele.

Einführung in ALGOL 60

von Harry Feldmann, Braunschweig: Vieweg 1972. VIII, 112 Seiten. DIN C 5 (uni-text/Skriptum.) Pb. ISBN 978-3-663-05283-8

Inhalt: ALGOL-60-Auszug - Ausdrücke - Felder - Blockstruktur -Prozeduren - Standard-E/A/Format-Prozeduranweisungen INPUT/ OUTPUT - Obungsaufgaben.

Einführung in die Programmiersprache FORTRAN IV

von Günther Lamprecht, Eine Anleitung zum Selbststudium. 2., be­richtigte Auflage. - Braunschweig: Vieweg 1972. IV, 194 Seiten. DIN C 5 (uni-text/Skriptum.) Pb. ISBN 978-3-663-05283-8

Aus dem Inhalt: Die Darstellung von Zahlen in der Rechenanlage -Das Ablochen von FORTRAN-Programmen - Der Sprungbefehl und der Einlesebefehl- Das logische IF-Statement - Variablen felder (,Ar­rays"); Vektoren, Matrizen - Die DO-Schleife - Genauere Beschrei­bung der Ein- und Ausgabe u. a .

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kolleg-texte • Eingangsniveau : Abschluß der Sekundarstufe I • Themen und Stoffe eines Grund- oder Leistungskurses • Differenzierung durch Parallelbände mit Grundkurs- und Leistungs­

kursniveau • Folgebände bei mehrsemestrigen Kursen • Umfang: Lehrstoff eines Halbjahres

Bisher sind erschienen:

Informatik: Whh8sitt/S1umpf Einführung in die 800Inche AI .. "'. Mit 45 Abbildungen. - Bramschweig : Vieweg 1972. 96 Seiten. DIN C 5 . Paperback I ßN97 -3·663·052 3-

lIimprechtlLührtlMülltr Progremmitren mit FORTRAN IV Einführung mit Obungen. Mit 10 Abbildungen. - Braunschweig : Vieweg 1972. IV, 144 Seiten. DIN C 5. Paperback ISB 978-3-663-05283-8

Mathematik: Herbec:k Einflihtung in die formale Logik Mit 44 Abbildungen. 4., unveränderte Auflage. - Braunschweig: Vieweg 1970. VI, 114 Seiten. DIN C 5. Kartoniert

Physik: ..... r

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Philolophilche Gru ......... n zur Struktur der Physik Mit 7 Abbildungen. 2. , durchgesehene Auflage. - BrMlnschweig: Vieweg 1972. 111,96 Seiten. DIN C 5. Kartoniert I B 97 -3-663-05283-8

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