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McGraw-Hill1988.

2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Werden z.B. in einer Automatendreherei aus Stangenmaterial Bolzen mit einem vorge­gebenen Durchmesser gedreht, so muß von der Konstruktionsabteilung eine Toleranz angegeben werden, da sich bei jedem Bolzen immer eine möglicherweise kleine, aber unvorhersehbare Abweichung vom Sollmaß ergibt. Diese Abweichung hat verschiede­ne, insbesondere zufällige Ursachen wie eine etwas andere Einspannung, ein geringrugig anderes Material usw. Es wird sich aber auch der Drehmeißel langsam und zufällig abnutzen, so daß sich der Durchmesser entsprechend vergrößert.

In Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt es sich bei dem Durchmesser um ein Zufallsereignis eines Zufallsexperimentes, wobei das Ereignis - im Prinzip - belie­bige Werte annehmen kann; selbstverständlich kann der Durchmesser nie größer sein als vor dem Abdrehen und nie kleiner als Null. Es handelt sich damit um eine kontinuierli­che bzw. stetige Zufallsgröße oder auch Zufallsvariable x.

Ein weiteres Beispiel ist das jedem vertraute Würfeln. Anders als beim Herstellen eines Bolzens ist hierbei die Zufälligkeit des Ergebnisses gewünscht. Handelt es sich um einen einigermaßen gleichmäßigen Würfel, so ist es nahezu unmöglich, durch eine bestimmte Wurfbewegung oder -höhe ein Ergebnis vorzugeben. Durch seine Kanten vollzieht der Würfel beim Hochspringen eine chaotische Bewegung und bleibt letztlich rein zufällig auf einer der sechs Flächen liegen. Auf diese Weise kann das Zufallsereignis nur die M diskreten Werte Xj = 1...6 annehmen (in diesem speziellen Fall ist der Index identisch mit dem Wert), weswegen man von einer diskreten ZufalisvariablenXspricht.

2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 413

Liegen N geWürfelte Augenzahlen und damit Zufallsereignisse vor, dann nennt man das Verhältnis der darin vorkommenden Einsen n(l) zur Gesamtzahl, also

h(l) = n~) , (Al)

die relative Häufigkeit von XI = 1. Für eine beliebige Augenzahl zwischen Eins und Sechs läßt sich somit formulieren:

(A2)

Bei einer großen Anzahl geWürfelter Augenzahlen sollte bei einem brauchbaren Würfel jeder Wert gleich häufig auftreten; dies bedeutet, daß dann die Häufigkeit

() 1· h( ) l' n(Xj) I . 6 P Xj = 1m Xj = 1m ---:v- = "6, } = 1,2, ... , N-oo N-oo

(A3)

erwartet wird. Hierbei ist nun P(Xj) die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl Xj = j; da sie in diesem Fall alle gleich sind, spricht man auch von einer Gleichverteilung. Mit o :s; n:S; N folgt rur die Wahrscheinlichkeit:

(A4)

Hierbei bedeutet P = 0, daß der Wert - im Prinzip - nie auftritt bzw. er unmöglich ist und P = 1, daß er immer auftritt bzw. sicher ist. Offensichtlich gilt rur alle möglichen diskre­ten Werte einer Zufallsvariablen, daß die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aufsum­miert das sichere Ereignis ergeben. So tritt beim Würfeln mit Sicherheit (P = 1) ein Wert zwischen Eins und Sechs auf; daraus folgt rur die Wahrscheinlichkeiten:

M ~ P(x) = 1.

j=! ) (A5)

Die Wahrscheinlichkeit, daß die geWürfelte Augenzahl X Eins oder Zwei beträgt, ist einfach die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

P(l oder 2) = P(l) + P(2). (A6)

Damit gilt allgemein rur die Wahrscheinlichkeit, daß die Augenzahl kleiner oder gleich einem Wert Xj ist:

(A7)

offensichtlich ist P(X:S; Xj) eine monoton steigende Funktion von xj, da die Wahrschein­lichkeiten nicht-negative Werte sind.

414 Anhang

Zwei zufällig gewürfelte Augenzahlen Xj und Yk sind statistisch voneinander völlig unabhängig, d.h. das erste Ergebnis beeinflußt das zweite nicht. Ob man nun die Zufallsereignisse zweier Würfel betrachtet oder zwei hintereinander gewürfelte Augen­zahlen desselben Würfels, ist hierbei gleichgültig. Bei statistisch unabhängigen Ereig­nissen werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert:

(A8)

hierbei ist P(Xj,yk) die Verbundwahrscheinlichkeit der beiden Zufallsereignisse. Be­trachtet man z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß nach einer Augenzahl Eins eine Zwei auftritt, so ist dies

P(1,2) =P(1) ·P(2) = t· t = 316' (A9)

Der Nenner entspricht natürlich gerade der Anzahl der Möglichkeiten, die sich durch die Kombination der Augenzahlen ergibt.

Sind die Zufallsereignisse nicht unabhängig voneinander, so ist die Situation etwas schwieriger. So gilt z.B., daß bestinunte Buchstaben in Wörtern nach einem anderen Buchstaben statistisch häufiger auftreten als andere. Ein einfaches Beispiel ist das q in der deutschen Sprache. Da ein q nie ohne ein direkt nachfolgendes u auftritt, gilt P(q,u) = 1. Allgemein gilt die Beziehung

(A10)

Hierbei ist P(Xj I Yk) die bedingte Wahrscheinlichkeit; sie ist die Wahrscheinlichkeit von Yk unter der Bedingung, daß Xj aufgetreten ist. Sind die Ereignisse doch voneinan­der statistisch unabhängig, so wird man feststellen, daß sie nur vom Auftreten des ersten Ereignisses abhängt. Dann gilt

(All)

aus GI. A10 wird dadurch wieder GI. A8.

Betrachtet man z.B. in der deutschen Sprache nicht nur einzelne Wörter, sondern Sätze und sogar ganze Texte und Bücher, dann wird bei einem gewissen Abstand der Buchsta­ben statistische Unabhängigkeit eintreten. So wird z.B. ein e fiinf Seiten vor einem h bei einem normalen Text keinen Einfluß mehr auf sein Vorkommen haben. Wenn man den Text mit Hilfe eines Computerprogranunes auf die relative Häufigkeit des gemeinsamen Auftretens der e und h über filnf Seiten hinweg untersucht, so wird man feststellen, daß das Ergebnis die Häufigkeit des e alleine ist.

2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 415

Im Gegensatz zu den gewürfelten Augenzahlen oder den Buchstaben war der Durchmes­ser der Bolzen eine kontinuierliche Zufallsvariable X Die Funktion

Fx(x) =P(X ~x) (A12)

heißt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung (kurz: Verteilungsfunktion) der Zufallsva­riablen. Entsprechend GI. A7 gibt sie an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß das Ergebnis eines Zufallsexperimentes einen Wert kleiner oder gleich einem gewählten Wert x ist (einen Index gibt es nicht mehr, da x ein kontinuierlicher Wert ist). Genauso wie im diskreten Fall ist die Verteilungsfunktion eine monoton steigende Funktion. Es muß damit gelten:

lim Fx(x) = 0, lim Fx(x) = 1. x...-oo x-+oo (A13)

Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ergebnis des Zufallsexperimentes im Intervall (a, b] liegt, berechnet sich offensichtlich zu

P(a <X ~ b) = P(X ~ b)-P(X ~ a) = Fx(b) -Fx(a). (A14)

Mit einem genügend kleinen Ax = b - a > ° läßt sich damit näherungsweise berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß die Zufallsvariable einen Wert um b annimmt. Schreibt man die obige Gleichung etwas um, d.h.

P(X~ b) = Fx(b)-Fx(a) = Fx(a+~Fx(a) • Ax, (A15)

dann wird deutlich, daß im Grenzfall die Ableitung

fx(x) = :!Fx(x) (A16)

eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung (kurz: Dichtefunktion) darstellt. Mit ihr läßt sich die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable einen Wert um x annimmt, näherungsweise durch

P(X ~ x) = fx{X) . Ax (A17)

berechnen. Damit gilt umgekehrt

x Fx(x) = J fx(v)dv.

-00 (A18)

Wegen der GIn. A13 muß fiir die Dichtefunktion gelten

lim fx(x) = 0, limfx(x) = 0, x-+-oo X-+OO (A19)

416 Anhang

sowie für ihr Gesamtintegral

00

S fx(v)dv = 1, -00

(A20)

da Fx(oo) = 1 (mit Fx(-oo) = 0) das sichere Ereignis darstellt, denn dann sind im konti­nuierlichen Fall alle möglichen Werte inbegriffen (genauso wie die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln Eins beträgt, daß das Ergebnis zwischen Eins und Sechs liegt).

Um die Verbindung zwischen diskreten und kontinuierlichen Zustandsvariablen herzu­stellen, wird von einer treppenjörmigen Verteilungs funktion ausgegangen, d.h. es werden auch Zwischenwerte betrachtet. So ist Z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß eine gewürfelte Augenzahl kleiner oder gleich 2,5 ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, daß sie 1 oder 2 beträgt, also P(X ~ 2, 5) = P(I) + P(2) = Fx(2, 5). Dieser Wert ist für 2 ~X < 3 konstant, da die nächste mögliche Augenzahl erst 3 ist. Die Dichtefunktion besteht damit aus Deltafunktionen an den M Stellen der möglichen diskreten Werte Xi, gewichtet mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:

(A21)

(A22)

Das folgende Bild Al zeigt beispielhaft die Dichte- und die Verteilungs funktion des Würfelns und einer stetigen bzw. kontinuierlichen Zufallsvariablen.

Der hier herausgearbeitete Zusammenhang zwischen diskreten und kontinuierlichen Variablen tritt in der Systemtheorie häufiger auf. Ein Beispiel ist die Darstellung des Linienspektrums eines periodischen Signals (Fourier-Analyse) als kontinuierliche Spektraldichte (Fourier-Transformation, siehe Unterkapitel 4.7.5); auch hierbei treten Deltafunktionen auf, die die ursprünglichen Linien des Spektrums repräsentieren. Ein weiteres Beispiel ist die Darstellung von Abtastfolgen als eine Summe von Deltafunktio­nen mit den Gewichten der Abtastwerte und einer immer noch kontinuierlichen Zeitachse (siehe Kapitel 6.1).

2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

t 'X(x) Summe der Gewichte: 1

(1/6)(1/6)( 1/6)( 1/6)(1/6)(1/6)

I • ~

1 234 5 6X~

t 'X(x)

Fläche: 1

Bild Al

1 6

1234 5 6x~

417

Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung und Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsva­riablen "gewürfelte Augenzahl" sowie diejenigen einer kontinuierlichen Zufallsgröße

Es ist wichtig ZU erkennen, daß eine gewürfelte Augenzahl oder das Auftreten eines Buchstabens oder Wortes in einem Text eine Zufallsgröße ist, obwohl seine Wahr­scheinlichkeit festliegt bzw. determiniert ist. In der Zuflilligkeit steckt also eine Gesetz­mäßigkeit, die sich durch determinierte Werte (und Funktionen) beschreiben läßt. Ein einfaches Beispiel ist der arithmetische Mittelwert. Jeder kennt die Berechnung der Durchschnittsnote einer Klausur. Mit der Häufigkeit hex}) der M möglichen Noten (z.B. die Anzahl des Ergebnisses x) = 2,0 geteilt durch die Anzahl der Klausurteilnehmer) berechnet sich der Mittelwert zu

_ M X = 'f. x· . hex).

}=! J J (A23)

Im Fall einer sehr großen Anzahl N von Klausurteilnehmem geht die Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über, so daß dann gilt:

_ M X = 'f. x· • P(x ).

j=! J J (A24)

418 Anhang

Dafiir läßt sich mit der Ausblendeigenschaft von Deltafunktionen sowie Gi. A22 auch schreiben:

00

= J x·fx(x)dx. -00

(A25)

Für dieses Integral ist der Ausdruck Erwartungswert E{X} gebräuchlich; er gibt an, welcher Wert fiir eine sehr große Anzahl von Zufallsexperimenten im Mittel erwartet wird. Für das Würfeln erhält man mit der äquivalenten Darstellung Gi. A24 sowie Xj = j und P(Xj) = t den Wert

(A26)

Zwar kann man diese Augenzahl nicht würfeln, aber dieser arithmetische Mittelwert wird sich bei einer hinreichend großen Anzahl N gewürfelter Augenzahlen einstellen. Es ist leicht einzusehen, daß es mathematisch schwierig oder vielleicht sogar unmöglich ist, aus der Beschaffenheit und dem Werfen eines Würfels mit der notwendigen mathemati­schen Strenge diese Konvergenz zu beweisen.

Entsprechend wird als quadratischer Mittwert der Erwartungswert

_ 00

E{X2} =X2 = J x 2 ·fx(x)dx -00

(A27)

defmiert. Mit der Bezeichnung Jlx =1' fiir den Mittelwert läßt sich die Streuung berechnen:

(A28)

00 00 -2 mit J XJlx ·fx(x)dx = Jlx J x ·fx(x)dx = Jl~ =X folgt die Darstellung:

-00 -00

(A29)

Ux ist die Standardabweichung, die ein Maß fiir die mittlere Abweichung einer Zufalls­größe von ihrem Mittelwert darstellt.

2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 419

Zum Abschluß dieser kurzen Einführung werden nun zwei besondere und wichtige Verteilungsfunktionen vorgestellt. So gilt für Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zu­fallsvariablen mit einer Gleichverteilung:

P(Xj} = const. fiir i = 1,2, ... ,M. (A30)

M Allerdings muß die Bedingung ~ P(Xj} = 1 eingehalten werden, da dies die Wahrschein­

j=!

lichkeit dafiir ist, daß irgend einer der möglichen Werte angenommen wird. Entspre­chend gilt bei Gleichverteilung einer kontinuierlichen Zufallsgröße:

fx(x} = const. fiir XE [Xu,Xo]. (A31)

Das Intervall [xu,xo] kann nicht unendlich groß sein, da sonst die Fläche unter der Dichtefunktion ebenfalls Unendlich wird; für die Gesamtfläche muß entsprechend der obigen Begründung fiir die Summe der Wahrscheinlichkeiten gelten, daß ihr Wert Eins beträgt (Fx(oo) = I}. Die Dichte- sowie Verteilungsfunktion bei Gleichverteilung zeigt das Bild Al.

Für praktische Anwendungen ist die Normalverteilung oder auch Gaußsche Verteilung besonders wichtig. Für sie gilt:

(x-pxi ! --­

fx(x) = --e ~ . ,f'Iit O'x

(A32)

Für die Verteilungsfunktion Fx(x) nach GI. AIS läßt sich kein geschlossener Ausdruck angeben; deshalb fmdet man die Funktion fiir die normierten Werte Ux = 1, P. x = 0 in mathematischen Tabellenwerken.

1 ----------.:;,;----.... --------

x-..

BildA2 Dichte- und Verteilungsfunktion rur die Normalverteilung bzw. Gaußsche Verteilung

420 Anhang

Auch wenn die Dichtefunktion für keinen endlichen Wert von x verschwindet, nimmt doch die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable innerhalb eines Bereiches j.1x ± L\x liegt, rasch zu. So gilt für Bereiche mit Vielfachen der Standardabweichung:

PVtx - ax <x :-S;j.1x + ax) = 0,6826, (A33)

PVtx -2ax <x :-S;j.1x +2ax) = 0,9544,

PVtx - 3ax < X :-S;j.1x + 3ax) = 0,9972,

PVtx - 4ax <X :-S;j.1x + 4ax) = 0,9999, ....

Deshalb wird bei Zufallsgrößen in der Praxis, Z.B. der Qualitätssicherung, häufig der 2-oder auch 3ax-Bereich betrachtet.

Gegenüber beliebig komplizierten Dichtefunktionen wird die Normalverteilung voll­ständig durch den Mittelwert und die Streuung festgelegt. Man kann weiterhin zeigen, daß die Summe zweier unabhängiger gaußscher Zufallsvariablen wieder eine gaußsche Zufallsvariable ergibt. Werden Zufallsgrößen mit beliebigen Dichtefunktionen überla­gert, dann strebt sogar die Dichtefunktion der Summe gegen die Normalverteilung, wenn die Anzahl der Summanden gegen unendlich geht, praktisch also genügend groß wird. Wegen dieser Besonderheiten spielt die Gaußsche bzw. Normalverteilung in der Praxis eine überragende Rolle.

Für eine weitere Vertiefung des Stoffes wird auf die Spezialliteratur verwiesen, siehe z.B. [5], [26], [44] und besonders grundlegend [55].

3 Einige Beziehungen für komplexe Zahlen

Die Gleichung

(A34)

mit den reellen Koeffizienten ao,! hat genau zwei Lösungen Xl,2. Mit ihnen läßt sich das Polynom auch in der sogenannten Produktform darstellen:

(A35)

3 Einige Beziehungen für komplexe Zahlen 421

wird hierbei eine der beiden Lösungen für x eingesetzt, dann wird ein Klannnerausdruck Null. Die Nullstellen (bzw. Wurzeln) des Polynoms lassen sich leicht berechnen:

al J(al)2 XI,2 =-T± T -ao · (A36)

Offensichtlich sind sie nicht immer reell, sondern nur, wenn die Koeffizienten die Bedingung

( al )2 T -ao;;::O,

(A37)

erftlllen. Für ao > (;1 ) 2 wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ; durch Ausklam­mert des Faktors H ist er wieder positiv:

(A38)

Für die Größe H, die sogenannte imaginäre Einheit, hat sich das Formelzeichen i in der Mathematik und Physik eingebürgert; in den Ingenieurwissenschaften findet man in der Regel das j:

j=H. (A39)

Eine Zahl

z=jb (A40)

heißt nun mit einem reellen b eine imaginäre Zahl (lat.: eingebildet), mit einem zusätzli­chen reellen aals

z=a+jb (A41)

eine komplexe Zahl (lat.: zusannnengesetzt). Diese können als Punkte in einer Ebene dargestellt werden, der sogenannten komplexen Ebene oder auch Gaußsehen Zahlenebe­ne. Geometrisch wird der Punkt durch seinen Ortsvektor beschrieben; da er nicht linien­flüchtig ist, hat sich hierfür der Ausdruck Zeiger eingebürgert:

422 Anhang

t jlm z

a Rez -.

Bild A3 Geometrische Interpretation einer komplexen Zahl als Zeiger (Ortsvektor) in der Gaußschen Zahlenebene

Die reelle Zahl a wird der Realteil der komplexen Zahl genannt, also

a= Rez, (A42)

die reelle Zahl b ist der Imaginärteil:

b = Imz. (A43)

Die Zahl

z* = a-jb (A44)

unterscheidet sich von derjenigen nach GI. A41 nur durch eine Negierung des Imaginär­teils; sie wird die zu ihr konjugiert komplexe Zahl genannt.

Wegen ihrer geometrischen Deutung wird die Darstellung GI. A41 die karthesische Form genannt; sie kann als die geometrische Addition der Zeiger nach a und b interpre­tiert werden. Der Zeiger z wird durch die polare Form bzw. die Polardarstellung be­schrieben:

z=r·e!'P (A45)

mit

(A46)

a· b cos rp = r, sm rp = r (A47)

bzw.

b b tan rp = a -+ rp = arctan a· (A48)

3 Einige Beziehungen rur komplexe Zahlen 423

Mit a = r cos qJ, b = r sin qJ folgt die bekannte Eulersehe Beziehung

Z = rcos qJ + jr sinqJ (A49)

bzw. mit GI. A45 sowie r = 1:

tI'P = cos qJ + j sin qJ. (A50)

Mit r = 1 und einem variablen qJ E [0,2n] wird offensichtlich gerade der Einheitskreis beschrieben. Besondere Schnittpunkte des Kreises mit den Achsen sind

tl° = 1, e#1t = -1, e#7Cl2 = Tj. (A51)

Wird eine komplexe Zahl mit tI'" multipliziert, so erfolgt eine reine Drehung des Zeigers um den Winkel rp:

(A52)

insbesondere bedeutet eine Multiplikation mit ±j eine Drehung des Zeigers um ±t. Die n Lösungen Zk, k = 0, 1, ... , n - 1 der Gleichung

(A53)

lassen sich am einfachsten über die Polardarstellung berechnen; mit Zj = rtl'P gilt:

. <p+k2. Zk= fFe'-n-, k=O,I, ... ,n-l; (A54)

sie liegen alle auf dem Kreis Izi = fF, demnach fi.ir r = 1 auf dem Einheitskreis.

Abschließend werden noch kurz einige Rechenregeln zusammengestellt; vorausgesetzt werden die zwei komplexen Zahlen Zj = al + jbl = r\ tI'PI und Z2 = a2 + jb2 = r2t1'P2.

ZI • Z2 = (a1a2 - blb2) + j(alb2 + a2bl),

= rlr2[cos(qJl + qJ2) + jsin(qJI + qJ2)] = rlr2eA'PI+'P2),

1 z' * 1 12 z="j;j2'Z·Z = Z .

(A55)

(A56)

(A57)

(A5S)

(A59)

(A60)

424

4 Korrespondenzen der Fourier-Transformation

j{t)

<5(t)

cos(wot)

sign(t)

a(t)

e-at • a(t)

e-at coS(Wot) . a(t)

e-at sin(Wot) . a(t)

rect(-f)

cos(n-f)' rect(-f)

F(jw) Voraussetzungen

2m5(w)

n[<5(w+ wo) +<5(w - wo)]

jn[<5(w + Wo) - <5(w - Wo)]

.1.... jw

n<5(w) + j~

_1_ a+jw

n! (a+jw)","t

a+jw

Wo

2a aZ+WZ

2 sin(wf) '71'( T) -w-= 1S1 wT

1!.. __ I_cos(wT) T (-fY-wz 2

Rea>O

Rea>O, n=O,1,2, ...

Rea>O

Rea>O

a>O

a>O

Anhang

5 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 425

5 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

fit) F(s) Voraussetzungen

o(t) 1

o(t-1) e-sT Treell

o(n)(t) sn n = 0,1,2, ...

a(t) 1 Res>O s

tn • a(t) n! Re s > 0; n = 0, 1,2, ... sn+1

e-at • a(t) 1 Res>-Re a T+Q

(I - e-Gt) • a(t) a Re s > max{O,-Re a} s(s+a)

(e-at - e-bt ) • a(t) b-a Re s >max{-Re a,-Re b},a=l= b (s+a)(s+b)

tn e-at • a(t) n! Re s > -Re a, n = 0,1,2, ... (s+a)n+1

1 e-Dwot • JI-D2 WO

sin( J 1 - D2 wot). a(t) 1 IDI < 1, Re s > -Dwo, Wo reell s2+2Dwos+ros

sin( wot) • a(t) Wo Re s > 0, Wo reell S2+w~

cos( wot) . a(t) s Re s > 0, Wo reell s2-tw3

tsin(wot)· a(t) 2wos Re s > 0, Wo reell

(s2+wil)2

tcos(wot)· a(t) s2-w~

Re s > 0, Wo reell (s2+wil)2

e-at cos(wot)· a(t) s+a Re s > - Re a, Wo reell (s+a)2+roS

e-at sin(wot) • o(t) Wo Re s > - Re a, Wo reell (s+a)2+roS

426 Anhang

6 Korrespondenzen der zeitdiskreten Fourier-Trans­formation (ZDFT)

j(k)

b(k)

ak • a(k)

a(k)

(k + 1 )ak • a(k)

x(k) = { 1 für 0 5: k5:N-l o sonst

sin(OGk) -n-k-

F(jQ)

()()

2n L b(Q + 2nn) n=-oo

=11I(~)

I l-ae-jO

Voraussetzungen

lai< 1

I ()() l-ae-jO + n n~oo b(Q + 2nn)

I I (0 = I-ae-jn + 2:11], z;)

sin( 'f ) -JO N-I

---:--( 0) e 2 sm T

lai< 1

X(jQ) = { 1 für Iwl 5: WG

o für WG < Iwi 5: n

00

2n L b(Q - 0.0 + 2nn) n;::::-oo

=11I(0;~0)

00 00

n L b(Q + 0.0 + 2nn) + 7l L b(Q - 0.0 + 2nn) n=-oo n=-oo

= 1.lI/I( 0+00 ) 1. Il/I( 0-00 ) 2 2n + 2 2n

00 ()()

jn n~oo b(Q + 0.0 + 2nn) - jn n~oo b(Q - 0.0 + 2nn)

7 Korrespondenzen der z-Transformation 427

7 Korrespondenzen der z-Transformation

f{k) F(z) Voraussetzungen

J(k)

a{k) z Izl > 1 ~

k· (j(k) z Izl > 1 (z-J)2

k2 • (j(k) z(z+J) Izi > 1 (z- 1)3

e-ak . (j(k) ----iL- Izl > e-a z-e-a

ke-ak . (j(k) ze~ Izl > e-a (z_e-a )2

k2e-ak . (j(k) ze-a(z+e~) Izl > e-a (z_e-a )3

ak . (j(k) z Izl > lai, a auch komplex z=ä

kak. (j(k) za Izl > lai, a auch komplex (z_a)2

k2ak . (j(k) za(z+a) Izi > lai, a auch komplex (z_a)3

k3 ak . (j(k) za(z2 +4az+a2 ) Izl > lai, a auch komplex (z_a)4

ak-l.(j(k-l) I Izi > lai, a auch komplex z=ä

[ k-l J _l_ i = 1,2, ... ; Izl > lai, a a. komplex i-I ak- i • (j(k- i) (z-a)'

cos(kmoT)· (j(k) z[z-coS(Wo T) 1 Izi > 1 zL2zcos(woT)+1

sin(kwoT) . (j(k) zsin(woT) Izi > 1 zL2zcos(woT)+1

11' a(k) 1- Izi >0 e z

428 Anhang

8 Formelzeichen

A Ampere, Einheit des Stromes fx Wahrscheinlichkeitsdichtevertei -A (komplexe) Amplitude lung Ai Koeffizient der Partialbruchzerle- G Übertragungsfunktion

gung g Impulsantwort a Parameter, Variable H SpektraldichtelBildfunktion der a logarithmierte Verhältnis größe Sprungfunktion ai Koeffizient Hi Hurwitzdeterminante ao Dämpfungsmaß h Sprungantwort av Verstärkungsmaß hx relative Häufigkeit B Amplitude der Reaktion I Imaginärteil einer Spektraldichte B Bandbreite I komplexe Amplitude eines Stromes b Parameter, Variable I SpektraldichtelBildfunktion eines b Phasenmaß Stromes bj Koeffizient Strom C Kapazität i a Ausgangsstrom C Parameter, Variable ie Ladestrom einer Kapazität C Konvergenzabszisse i e Eingangsstrom Ci Koeffizient iL Strom einer Induktivität D Lehrsches Dämpfungsmaß j imaginäre Einheit: R D Zeitdauer K freie Konstante dj Koeffizient k Takt de Zeitinkrement ko Differentiationsverstärkung E Erwartungswert kr Integrationsverstärkung e Basis des natürlichen Logarithmus: ko diskrete Periodendauer

2,718 kp Proportionalverstärkung F Fläche kR Rechnerkonstante F Spektraldichte, Bildfunktion L Induktivität Fa Spektraldichte einer Abtastfolge M Konstante Fx Wahrscheinlichkeitsverteilung m Grad eines Zählerpolynoms f allgemeine Funktion m Modulationsgrad f Frequenz N Konstante fa Abtastfrequenz N Nennerpolynom fe Exponentialfolge N Spektraldichte eines Rauschsignals fg gerader Anteil einer Funktion n Grad eines Nennerpolynoms /G Grenzfrequenz n Rauschsignal

fo Grundfrequenz n Zählindex einer Spektrallinie fo obere Frequenzgrenze P Leistung

fu ungerader Anteil einer Funktion P Wahrscheinlichkeit fu untere Frequenzgrenze Q Güte

8 Fonnelzeichen 429

R Realteil einer Spektraldichte X komplexe Amplitude der Erregung R Widerstand X SpektraldichtelBildfunktion r Betrag von Z der Erregung r Rampenfunktion X stochastischer Prozeß rfg Impulsautokorrelationsfunktion x Erregung, Eingangssignal rxx Autokorrelationsfunktion iX Realisierung, Musterfunktion rXY Kreuzkorrelationsfunktion Y komplexe Amplitude der Reaktion reet Rechteckfunktion Y SpektraldichtelBildfunktion S Spektraldichte eines Signals der Reaktion Sxx spektrale Leistungsdichte Y Reaktion, Ausgangssignal SXY Kreuzleistungsspektrum Yh homogene Lösung 8 Laplace-Variable YP partikuläre Lösung 8 allgemeines Signal Z komplexer Widerstand 8 0 Nullstelle in der s-Ebene Z Zählerpolynom 8 00 Pol in der s-Ebene Z komplexe Zahl T Periodendauer einer Sinusfunktion Z Variable der z-Transformation T Abtastperiode Zo Nullstelle in der z-Ebene T System, Transformation Zoo Pol in der z-Ebene T Zeitdauer L'. Differenz TD Differentiationszeitkonstante L'. Näherung der Deltafunktion h Einschwingzeit <5 Deltafunktion TG Gruppenlaufzeit e kleine, positive reelle Größe TI Integrationszeitkonstante rp Winkel, Phase h Laufzeit if; Winkel Tp Phasenlaufzeit A Dreiecksfunktion Tt Totzeit A. Eigenwert Tw Wandelzeit f.1x Mittelwert TI Zeitkonstante v Reaktion auf die Rampenfunktion t Zeit IIf unendliche Deltafolge t o Periodendauer (J Dämpfungsparameter t o Zeitverschiebung (J Sprungfunktion tl beliebiger, ausgewählter Zeitpunkt (Jx Standardabweichung U kompl. Amplitude einer Spannung S Temperatur U SpektraldichtelBildfunktion einer 0. Ohm, Einheit des Widerstandes

Spannung 0. normierte Frequenz U Spannung W Winkelgeschwindigkeit Ua Ausgangsspannung W Kreisfrequenz Uc Spannung einer Kapazität WE Eckfrequenz Ue Eingangsspannung WG Grenzfrequenz UL Spannung einer Induktivität Wo Resonanzfrequenz V Verstärkung Wo Grundkreisfrequenz V Volt, Einheit der Spannung Wo obere Frequenzgrenze W Energie Wu untere Frequenzgrenze

Sachverzeichnis

A/D-Wandler 263 Ableitung, Kurzschreibweise 25 -, verallgemeinerte 31 f., 33 ff., 63 Abtastfolge, Spektrum 265 ff. Abtastfrequenz 263 ff. -, obere Begrenzung 272 f. Abtast-Halteglied 263 Abtastperiode 262 f. Abtastrate 263 ff. Abtasttheorem 267 ff. -, Shannonsches 268 f. Abtastung 263 ff. -, frequenzmäßige 299 Additivität 45 Ähnlichkeitssatz 223 aliasing 268 Allpaß 256 ff. -, diskreter 337 f. -, schwingungsfähiger 257 ff. allpaßhaltig 259 Amplitude 111 Amplitudengang 116 Amplitudenmodulation 207 ff. Amplitudenstabilität 50 f., 106 ff., 287 f. Amplitudenüberhöhung 137 f. Amplitudenverzerrungen, lineare 198 Anfangswertsatz 225 Anfangszeitpunkt 8, 211 Anti-Aliasing-Filter 271 Äquivalenzumformungen 248 Asymptoten 131 f. Ausblendeigenschaft 30,280 f. Ausblendfilter 339 Autokorrelationsfunktion 359 f., 362, 389

Bandbreite 167, 191 ff. -, unendliche 192 Bandpaß, idealer 204 f. Bandsperre, ideale 206 f. Bauelemente, ideale 54 ff. Bel 119 Beschreibung, zeitlich geschlossene 18 ff.,

21 -, zeitlich stückweise 16 BIBO-Stabilität 50 f., 106 ff., 287 f. Bildbereich 211 ff. Bildfunktionen 219 ff. -, rationale 315 ff., 319 ff., 225 ff. -, Rücktransformation 233 ff. Blockschaltbilda1gebra 248 ff. Bode-Diagramm 116 ff. -, zusammengeschaltete Systeme 144 ff. Bode-Normalform 142 Butterworth-TP 201

Cauer-TP 201 eR-System, Entladekurve 247 f. -, Struktur 104

DIA-Wandler 263 Dämpfung 120, 137 Dämpfungsfaktor 212 f. Dämpfungsmaß 195 -, Lehrsches 88 Dämpfungssatz 222, 229 Dehnung, zeitliche 19 f. Deltafolge 279 Deltafunktion 26 ff. -, Ableitung von 83 f.

Sachverzeichnis

-, Bildfunktion 221 -, Gewicht 28 -, Näherungen 67 -, Spektrum 180 f. -, Umnonnierung der Zeitachse 28 -, zeitliche Verschiebung 29 Deltaimpulsfolge, unendliche 34 f. Deltamodulator 264 f Demodulation 208 ff. DFT297ff. Differentialgleichung 40 ff. -, inhomogene 61 f. -, Ordnung 56 Differentiator 84 Differenzengleichung 295 f, 325 ff. Differenzierer 84 Differenzzeiger 255 ff. Diracstoßfolge, Spektrum 187 ff. Distribution 27 Distributivgesetz 79 Dreiecksimpuls 25 f. -, Spektrum 184 f. D-System, ideales 95 ff. Dn-System 93 ff. Durchlaßbereich 200

Eckfrequenz 131 f. e-Funktion 36 ff. Eigenfunktionen 40, 60 f., 113 f. Eigenwerte 40, 42 ff., 233, 241 -, Darstellung 43 -, Stabilitätstest mit 107 f Eingangssignale, Entwurf auf vorgegebene

344 ff. Einheitsimpuls 278 Einheitskreis, gespiegelt am 334 f. Einheitssprung 16 ff. Einschaltfolge 286 Einschaltfunktionen 211 f. Einschaltsignall0,22 Einschwingvorgang 61,85 Einselement der Faltung 78 Elementarsignale 16 ff. EMV150

Endwertsatz 225 Energie 13 EnergiesignalB, 377 Ensemblemittelwert 357 Entkopplung 90 Ergodenhypothese 364 Erregung 3 - mit Zufallssignalen 375 ff. -, nicht-periodische 162 ff., 193 ff. -, periodische 148 ff., 161 ff. -, sinusfönnige 111 ff. -, zusammengesetzte 68 ff.

431

Erwartungswert 357 ff., 418 Exponentialfolge 281 ff. Exponentialfunktion 36 ff. Exponentialschwingung, Bildfunktion 220 -, komplexe 36 ff.

Fall, energiefreier 62 -, schwingungsfähiger 137 f. -, ungedämpfter 88 f. Faltung 70 ff. -, Arbeitsprogramm 77 Faltungsalgebra 78 ff. Faltungsprodukt 78 Faltungssumme 287 ff. FFT 309 f. FIR-Systeme 331 ff. Folge, kausale 286 Form, erste kanonische 327 f -, zweite kanonische 328 Formel, Parsevalsche 178 f. Formelzeichen 428 ff. Formen, kanonische 327 ff. Fourier-Analyse 148 ff. Fourier-Integral, Existenz 169 f. Fourier-Reihe 149 ff. Fourier-Rücktransformation 165 Fourier-Transformation 162 ff. -, Ähnlichkeit 176 -, Darstellung 168 ff. -, diskrete 297 ff. -, Eigenschaften 170 ff. -, Existenz 168 ff.

432

-, inverse diskrete 300 -, inverse zeitdiskrete 292 -, Modulation 177 -, Rechenregeln 175 ff. -, schnelle 309 f. -, Theoreme 175 ff. -, zeitdiskrete 292 ff. -, Zeitverschiebung 176 -, Zusammenhänge verschiedener 301 Fourier-Zerlegung 149 ff. Frequenz 111 Frequenzbereich 111 ff. Frequenzfunktion 165 Frequenzgang 113 ff. -, Messung 115 Frequenzgänge 128 ff. Frequenzgemisch 162 Funktionen, gebrochen rationale 114 -, gerade 20 -, ungerade 20 -, unstetige 16 f. -, verallgemeinerte 27 Funktionensystem 150

Gaußimpuls, Spektrum 189 f. Gegenkopplung 243 ff. Gewichtsfolge 288 Gewichtsfunktion 72 Gibbssches Phänomen 154 f. Gleichanteil149 Gleichung, charakteristische 39 f., 240 Gleichverteilung 413,419 Grenzfall, aperiodischer 88 f. Grenzfrequenz 131 f. Grundfrequenz 149 Gruppenlaufzeit 196 f. -, konstante 332 f.

Halteglied 263 Hanning-Fenster 308 Häufigkeit, relative 413 Hilbert -Transformation 254 Hochpaß 134 f. -, idealer 202 f.

Sachverzeichnis

Homogenität 45 Hüllkurve des Spektrums 163 ff. Hurwitz-Kriterium 108 ff.

10FT 300 UR-Systeme 340 ff. Impuls 10 f., 287 Impulsantwort 60 ff., 63 f., 287 ff. -, antisymmetrische 332 f. -, diskrete 287 ff. -, gespiegelte 73 ff. -, Integrierbarkeit 106 f. -, Messung 393 ff. -, symmetrische 332 f. Impulsautokorrelationsfunktion 377,402 Impulsdauer 201 Impulsumsetzer, digitaler 341 f. Induktivität 55 f. Integralsinusfunktion 201 Integraltransformation, lineare 165 Interpolation 270 I -System 90 ff. h,-System 92 IZDFT 292

Kapazität 55 Kausalität 49 f. Kennkreisfrequenz 88 Kerb-Filter 339 Kettenschaltung 122 Klangfarbe 163 Klemmenverhalten 56 Kommutativgesetz 78, 80 Kompensationsglied 241 ff. Komplementärstreifen 312 Kondensator, Anfangszustand 58 -, Laden und Entladen 58 f. Konvergenz 150 -, punktuelle 155 Konvergenzabszisse 215 ff. Konvergenzbereich 215 ff., 228 Konvergenzgebiet 319 f. Konvergenzhalbebene 215 ff. Konvergenzprobleme 253

Sachverzeichnis

Koordinatentransformation 17 Korrelationsfilter 401 Korrelationsfunktionen periodischer Si-

gnale 373 ff. -, Eigenschaften 368 ff. -, Messung 371 f. Korrelator 394, 371 f., 397 Korrespondenz 168 Korrespondenztabellen 424 ff. Korrespondenzsymbol 168 Kosinusfolge, Spektrum 305 ff. Kosinusfunktion, Bildfunktion 220 f. -, Spektrum 182 f. Kreisfrequenz, normierte 282 Kreuzkorrelationsfunktionen 359 f., 362,

368 ff., 389 Kreuzleistungsspektrum 380 Kronecker-Delta 278 Kurzzeit-Integrierer 82 f.

Laplace-Transformation 213 ff. -, Definition 213 f. -, Eigenschaften 222 ff. -, Rücktransformation 217 f. Laufzeitsysteme 100 ff. Leck-Effekt 305 ff. Leistung 13 -, mittlere 364 Leistungsdichte, Eigneschaften 382 ff. -, spektrale 378 ff. -, spektrale, Eigenschaften 382 ff. Leistungsdichtespektren von Ausgangs-

signalen 385 ff. Leistungssignal14 Leistungsverstärker 54 f. linearphasig 141 Linienspektrum 151 ff. Lösung, zeitlich stückweise 73 LR-System 66,86 LSI-System 287 L TI -System 47 f. -, allgemeines 102 ff. -, diskretes 287 -, energiefreies 62

-, Klassifizierung 84 ff. -, Strukturen diskreter 325 ff.

Markoff-Prozeß 380 f., 386 f. matched filter 399 ff. minimalphasig 259 Mitkopplung 244 ff. Mittelwert 357 ff., 417 f. -, quadratischer 358,418 Modelle, diskrete 343 ff. Modulation 208 ff. Modulationsgrad 210 Momentanleistung 14 Musterfunktionen 356

Nennerpolynom 114 Neper 119 Netzwerke 123 ff. nicht-minimalphasig 259 Normalverteilung 419 f. Normierung 6 ff. Notch-Filter 339 Nullstellen 229 f., 231 Nutzfrequenzbereich 198 Nyqmstrate 267

Oberschwingung 149 Orthogonalität 150 Ortskurve 116 ff.

Parallelschaltung 133 f. Partialbruchzerlegung 322 ff., 329 ff. PDTl-System 99 Periode 148 Periodendauerl1,37,396 -, diskrete 283 Phase, lineare 332 ff. Phasengang 116 Phasenlaufzeit 196 Phasenmaß 195 Phasenverzerrungen, lineare 198 Phasenwinkel 111 PIDTl-System 100 PI-System 97 f.

433

434

PhI-System 98 f. Pole 227 ff., 231 -, mehrfache 235 Pol-Nu11stellen-Diagramm 231 ff., 320 Polynome n-ten Grades 39 f. -, Bildfunktionen 219 f. Primärstreifen 312 Produktform 231 Prozeß, ergodischer 363 ff. -, stationärer 362 ff. -, stochastischer 356 ff. PTl-System 66 f., 85 f. PT2-System 86 ff. PTn-System 86 f.

Quantisierung 12

Raised-Cosinus-Window 308 Rampenfunktion 21 ff. -, Reaktion auf 64 f. Rauschanteil 270 f. Rauschen, bandbegrenztes weißes 383 ff. -, weißes 384 ff. RC-System, energiefreies 60 ff. -, Entladekurve 40 ff. -, Frequenzgang 115 -, nicht-energiefreies 60 ff. -, Struktur 103 f. Reaktion 3 -, eingeschwungene 161 Realisierungen 356 Rechteckfenster 305 ff. Rechteckimpuls 19 f. -, Spektrum 166 f. Rechtecknäherung 349 ff. Rechteckschwingung, Spektrum 152 ff. Reihe, geometrische 286 f. Reihenschaltung 134, 136 Rekonstruktionsfilter 268 -, Halteglied 273 f. -, kompensierendes 274 Resonanz 231 Resonanzfrequenz 137 ff. Resonanzverhalten 137

Sachverzeichnis

Reziprozität 193 RLC-System 87 ff. Rückkopplung 122 f., 243 ff. Rückwärts-Differenzenquotienten 325 f. mckwirkungsfrei 126 f.

Sampie & Hold 263 Scharmittelwert 357 Schwingung, komplexe harmonische 37 selbstreziprok 189 Siebeigenschaft, diskrete 280 f. si-Folge 286 si-Funktion 200 Signal 2 -, determiniertes 12 -, digitales 12 -, kausales 10 -, komplexes 9 f. -, periodisches 11 -, -, Erkennung im Rauschen 395 ff. -, -, Spektrum 182 f. -, stochastisches 12 f., 355 ff. -, wertdiskretes 9 f. -, wertkontinuierliches 9 f. -, zeitbegrenztes 10 f. -, zeitdiskretes 11 f., 262 ff. -, zeitkontinuierliches 9 f. Signal-/Rauschverhältnis 166,400 Signale, Beschreibung stochastischer

356 ff. -, Korrelationsfunktionen periodischer

372f. -, wesentliche Merkmale 8 ff. Signalerkennung 395 Signalfolgen, elementare 278 ff. Signalschätzung 395 Signalumsetzer, digitaler 342 Signalverarbeitung, digitale 262 ff. -, Verarbeitungskette digitaler 276 Sinus-Burst, Spektrum 186 f. Sinusfolge 281 ff. Sinusfunktion, Bildfunktion 220 f. -, Spektrum 182 f. si-Verzerrungen 275

Sachverzeichnis

Speicher, diskreter 294 f. Spektral-Analyse 149 ff. Spektral dichte 165 -, periodisch fortgesetzte 266 ff. Spektren 180 ff. Spektrum 151 ff. -, diskretes 151 -, komplexes 155 ff. -, kontinuierliches 164 Sperrbereich 200 Spiegelung, am Einheitskreis 334 f. -, zeitliche 17 f. Sprungantwort 60 ff., 62 f. -, diskrete 287 ff. Sprungfolge 278 f. Sprungfunktion 16 ff. -, Spektrum 183 f. Stabilität 50 ff. Stabilitätsbetrachtungen 106 ff. Standardabweichung 358,418 Stauchung, zeitliche 19 f. Streuung 358,418 Struktur, direkte 326 f. Strukturen diskreter Systeme 325 ff. Suchfilter, Impulsantwort 401 -, optimale 399 ff. Summenorthogonalität 300 Superposition 7 f. Symmetrie zwischen Zeit- und Frequenz-

bereich 174 f. System 2 f. - n-ter Ordnung, Strukturen 104 ff. -, akausales 201 -, differenzierendes 93 ff. -, dynamisches 52 ff. -, energiefreies 238 ff. -, gedämpftes 137 f. -, integrales 90 ff. -, kombiniertes 97 ff. -, linear zeitinvariantes 44 ff. -, nicht-energiefreies 246 ff. -, nichtlineares 45 -, phasenschiebendes 257 -, proportionales 85 ff.

435

-, rein rekursives 340 -, rekursives 338 ff. -, signalumformendes 341 f. -, statisches 52 ff. -, ungedämpftes 137 f. -, verzerrungsfreies 80 f.,l00 ff., 140 ff.,

197 ff. -, zeitdiskretes 262 ff. Systeme, Zusammenschaltung 121 ff.,

142 ff.

Takte 278 Testsignale 16 ff. Tiefpaß 131 f. -, Einschwingzeit 202, 268 f. -, idealer 199 ff. Tonhöhe 163 Totzeitsysteme 100 ff. Träger 208 Transformation, bilineare 351 ff. -, impulsinvariante 345 ff. Transversalfilter 331 ff. Trapeznäherung 349 ff. Treppenfunktion 70 Tschebyscheff-TP 201 Tutsin-Forme1351

Überabtastung 267,275 f. Überlagerung 7 f., 44 Überlappungen 268 Überschwingen 154 Übertragungsfunktion 113 ff., 238 ff.,

254, 294, 325 ff., 392 f., Übertragungssysteme, ideale 195 ff. Umnormierung, zeitliche 20 Unschärferelation 192 Unstetigkeitsstelle 10 Unterabtastung 268

Varianz 358 Verarbeitungsreihenfolge, Vertauschbar­

keit der 48 f., 79 Verbundwahrscheinlichkeit 414 Verhalten, aperiodisches 88 f.

436

-, schwingendes 88 f. Verhältnis größe, logarithmierte 117 ff. -, -, zur Basis 10 119 -, -, zur Basis e 119 Verluste, ohmsche 53 Verschiebeinvarianz 287 Verschiebeoperator, diskreter 296 Verschmierungseffekt 305 ff. Verstärkung, statische 67, 376 Verstärkungsprinzip 45 Verträglichkeit, elektromagnetische 150 Verzerrungen, nichtlineare 198 Verzögerungsglied, diskretes 296,314 f.

Wahrscheinlichkeit 413 -, bedingte 414 Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung 357,

415 Wahrscheinlichkeitsverteilung 357, 415 Wechselanteil158 f. Wechselstromrechnung 123 ff. Widerstände, ohmsche 54 Wiener-Chintschin-Theorem 379 f. Wirkungskreis, geschlossener 103 Wurzelortskurve 245 ff.

Zahlen, komplexe 420 ff. Zahlenfolgen 277 ff. -, zeitbegrenzte 298 Zählerpolynom 114 ZDFT 292 ff. Zeitbereich 52 ff.

Sachverzeichnis

Zeitdauer 191 ff. --Bandbreite-Produkt 191 ff. Zeitinvarianz 47 Zeitkonstante 40 Zeitmittelwerte 363 zero paddding 304 z-Transformation 311 ff. -, Eigenschaften 316 ff. z-Übertragungsfunktion, exakte 348 f. Zufallsereignis 412 Zufallsexperiment 412 Zufallssignal 356 ff. -, Erregung mit 375 ff. -, wertdiskretes 358 f. -, zeitdiskretes 388 ff. Zufallsvariable 356 ff., 412 Zusammenhang Fourier-/Laplace-Trans-

formation 252 ff. Zustand, eingeschwungener 112

Leitfaden der Elektrotechnik

Begründet von Prof. Dr.-Ing. Franz Moeller

Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. H. Fricke, Braunschweig, Prof. Dr.-Ing. H. Frohne, Hannover, Prof. Dr.-Ing. K.-H. Löcherer, Hannover, Prof. Dr.-Ing. J. Meins, Braunschweig, und Prof. Dr.-Ing. R. Scheithauer, Furtwangen

Grundlagen der Elektrotechnik Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. H. Frohne, Hannover, Prof. Dr.-Ing. K.-H, Löcherer, Hannover, und Prof. Dr.-Ing. H. Müller, Aachen 18., neubearbeitete und erweiterte Auflage. XVIII, 660 Seiten mit 383 teils mehrfarbigen Bildern, 36 Tafeln und 172 Beispielen. ISBN 3-519-46400-4

Elektrische Netzwerke Von Prof. Dr.-Ing. H. Fricke, Braunschweig, und Prof. Dr.-Ing. p, Vaske 17., neubearbeitete und erweiterte Auflage. XVIII, 733 Seiten mit 567 teils mehrfarbigen Bildern, 34 Tafeln und 553 Beispielen. ISBN 3-519-06403-0

Elektrische und magnetische Felder Von Prof. Dr.-Ing. H. Frohne, Hannover XII, 482 Seiten mit 247 Bildern, 5 Tafeln und 140 Beispielen. ISBN 3-519-06404-9

Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie Von Prof. Dr. phil. nato W. von Münch, Stuttgart X, 276 Seiten mit 210 Bildern, 44 Tafeln und 40 Beispielen. ISBN 3-5 I 9-06409-X

Signale und Systeme Von Prof. Dr.-Ing. R. Scheithauer, Furtwangen X, 436 Seiten mit 317 Bildern, 12 Tabellen und 56 Beispielen. ISBN 3-519-06425-1

Halbleiterbauelemente Von Prof. Dr.-Ing. K.-H, Löcherer, Hannover X, 426 Seiten mit 330 Bildern, II Tafeln und 36 Beispielen. ISBN 3-519-06423-5

Grundlagen der elektrischen Meßtechnik Von Prof. Dr.-Ing. H. Frohne, Hannover, und Prof. Dr.-Ing. E. Ueckert, Hannover XII, 548 Seiten mit 271 Bildern, 48 Tafeln und III Beispielen. ISBN 3-519-06406-5

B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig

Leitfaden der Elektrotechnik

Grundlagen der Regelungstechnik Von Prof. Dr.-Ing. F. Dörrscheidt, Paderborn. und Prof. Dr.-Ing. W. Latzei, Paderborn 2 .. durchgesehene Auflage, XII. 466 Seiten mit 401 Bildern. 30 Tafeln und 134 Beispielen. ISBN 3-519-16421-3

Elektrische Energietechnik Von Prof. Dr.-Ing. D. Nelles, Kaiserslautern, und Dr.-Ing. habil. eh. Tuttas, Kaiserslautern XIII. 471 Seiten mit 249 Bildern. 17 Tafeln und 48 Beispielen. ISBN 3-519-06427-8

Elektrische Energieverteilung Von Prof. Dr.-Ing. R. Flosdorff, Aachen, und Prof. Dr.-Ing. G. Hilgarth, Braunschweig/Wolfenbüttel 6., überarbeitete Auflage. XIII. 352 Seiten mit 274 Bildern. 47 Tafeln und 71 Beispielen. ISBN 3-519-06424-3

Hochspannungstechnik Von Prof. Dr.-Ing. G. Hilgarth, Braunschweig/Wolfenbüttel 3 .• durchgesehene Auflage. XII. 230 Seiten mit 172 Bildern, 16 Tafeln und 46 Beispielen. ISBN 3-519-26422-6

Digitaltechnik Von Prof. Dipl.-Ing. L. Borucki, Krefeld 4 .• neubearbeitete und erweiterte Auflage. XIV. 389 Seiten mit 356 Bildern. 133 Tafeln und 64 Beispielen. ISBN 3-519-36415-8

Grundlagen der elektrischen Nachrichtenübertragung Von Prof. Dr.-Ing. H. Fricke, Braunschweig, Prof. Dr.-Ing. habil. K. Lamberts, Clausthal. und Prof. Dipl.-Ing. E. Patzelt, Braunschweig/Wolfenbüttel XV. 375 Seiten mit 302 Bildern. 15 Tafeln und 39 Beispielen. ISBN 3-519-06416-2

Grundlagen der Impulstechnik Von Prof. Dr.-Ing. G.-H. Schildt, Wien XII. 439 Seiten mit 364 Bildern, 9 Tafeln und 34 Beispielen. ISBN 3-519-06412-X

B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig