Annette EickerAPMG 1 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 11.11.2011 Das Keplerproblem (Teil 2)

Annette Eicker APMG 1

1

111.04.23

Annette Eicker11.11.2011

Das Keplerproblem (Teil 2)


2

211.04.23

Wiederholung: Keplerproblem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

rr 3r

GM

const Crr

Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht auf C

=> Konstante Bahnebene



Bahndrehimpuls ist konstant


CL m

2. Keplersches Gesetz:

In gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.



r r C( )tr

( )t dtr df


3

311.04.23

Wiederholung: Keplerproblem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

rr 3r

GM

const Crr







CL m





Cr 2

Zusammenhang zwischen Abstand und Winkelgeschwindigkeit


4

411.04.23

Wiederholung: Transformation in das Bahnsystem

i

iK

K

0C3e

1e2e

Q P

U

v

0C

r

K

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0

Position

im Bahnsystem

Position

im Bahnsystem

BB

r

r

y

x

t

0

sin

cos

0

)(

r

QPr sincos)( rrt

Wahre Anomalie


5

511.04.23

GeschwindigkeitGeschwindigkeit

Wiederholung: Bestimmung des Abstands

PositionPosition

0

sin

cos

)(

r

r

tr

C

0

0

rr

0

cos

sin

eC

GM

r

)cos1(

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

erC

GMe

C

GMr

r

rr

gleichsetzen

umstellen

gleichsetzen

umstellen

CerC

GM )cos1(

2 /

1 cos

C GMr

e

EllipsengleichungEllipsengleichung

cos1 e

pr


6

611.04.23

Wiederholung: Ellipse

a

21 eab )1( 2eap

eaE

a große Halbachse

b kleine Halbachse

E exzentrische Anomalie

p Halbparameter


7

711.04.23

Was haben wir bis jetzt?

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

)1( 2eap

pGMC


PositionPositioncos

sin

0B

r

r

r

sin

cos

0B

GMe

C

rOrt des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie:

Ort des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie: )(t

AbstandAbstand

cos1 e

pr

Lage der Ellipse im Raum:

Inklination (Bahnneigung):

Rektaszension desaufsteigenden Bahnknotens:

Argument des Perigäums:





i

Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0


8

811.04.23

Keplerelemente

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität

Perigäumsdurchgangszeit

Lage:

i Inklination

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens

Argument des Perigäums

Perigäum

Knotenlinie


9

911.04.23


Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

)1( 2eap

pGMC


PositionPositioncos

sin

0B

r

r

r

sin

cos

0B

GMe

C

rOrt des Sat. auf der Ellipse

Wahre Anomalie:


Wahre Anomalie: )(t

AbstandAbstand

cos1 e

pr









i

Transformation in das InertialsystemTransformation in das Inertialsystem

z

y

x

i

e

e

e

DDD

C

Q

P

)()()( 313

0


10

1011.04.23


Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e

Bahnform: Ellipse

Große Halbachse: a

Exzentrizität: e


Wahre Anomalie:


Wahre Anomalie: )(t









i

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie

noch nicht!

Wir kennen den zeitlichen Verlauf der wahren Anomalie

noch nicht!


11

11

Zwischenfazit

11.04.23

1. Keplersches Gesetz Satellitenbahnen sind Ellipsen mit der Erde im Brennpunkt

2. Keplersches Gesetz


3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufs-zeiten der Satelliten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.

GM

aT

3

2

KeplerelementeDie Position des Satelliten kann durch 6 Parameter dargestellt werden

Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e

KeplerelementeKeplerelemente

a ei

Position, Geschwindigkeit


r r


12

1211.04.23

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve

Zeitlicher Verlauf des Satelliten in der Bahnkurve


13

1311.04.23

Herleitung der Keplergleichung

Cr 2

dt

d

dtCd

e

p

2

2

cos1

Abstand (Ellipsenglg.)Abstand (Ellipsenglg.)

cos1 e

pr

IntegrationIntegration

0

02

2

cos1ttCd

e

p

C

dt

d

e

p

2

2

cos1

- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung

- Integration schwierig- Liefert nur die Umkehrung

( )t t

Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)

Variablensubstitution-> Exzentrische Anomalie E(≠ lineare Exzentrizität E)


14

1411.04.23

Kreisbahn

a

E

0

sin

cos

)( Ea

Ea

tr


15

1511.04.23

Ellipse

a

E

0

sin

cos

)( Eb

Ea

tr


16

1611.04.23

Ellipse

r


17

1711.04.23

Ellipse

a

ae

r

E

aeEar coscos


18

1811.04.23

Exzentrische Anomalie

aeEar coscos

EllipsengleichungEllipsengleichung

cos1 e

pr

)1( 2eap

Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

Wahre Anomalie <=> Exzentrische Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2


19

1911.04.23


0

02

2

cos1ttCd

e

p

VariablensubstitutionVariablensubstitution

0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Ee

eE

cos1

coscos

Ee

Ee

cos1

sin1sin

2

dE

d

d

d

dE

d sinsin

dE

d

dE

d cos

sin

UmstellenUmstellen

dE

d

dE

d

sin

cos

1 Ee

e

dE

d

cos1

1 2

2

22

cos1

sinsin1cos1cos1sin

Ee

EeEeEeEe

dE

d

benötigt


20

2011.04.23


0

02

2

cos1ttCd

e

p


0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Eeea cos11 22

+ nach kurzer Umformung folgt...

+ nach kurzer Umformung folgt...

Ee

e

dE

d

cos1

1 2

Ee

e

e

p

cos1

1

cos1

2

2

2

)1( 2eap

Ee

e

e

ea

cos1

1

cos1

)1( 2

2

222

Ee

eE

cos1

coscos


21

2111.04.23



0

02

2

cos1ttCd

e

p

0

02

2

cos1ttCdE

dE

d

e

pE

Eeea cos11 22

00

22 cos11 ttCdEEeeaE

022 sin1 ttCEeEea

pGMC )1( 2eap

KeplergleichungKeplergleichung

03sin tta

GMEeE


22

2211.04.23


Umlaufzeit

Ein Umlauf:Ein Umlauf:

)(2 03 tta

GM

20E

UmlaufszeitUmlaufszeitGM

aT

3

2

03sin tta

GMEeE

ar

E


23

2311.04.23


Umlaufzeit


)(2 03 tta

GM

20E


aT

3

2

03sin tta

GMEeE

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab

Die Umlaufszeit hängt nur von der großen Halbachse ab


24

2411.04.23


Umlaufzeit


)(2 03 tta

GM

20E


aT

3

2

03sin tta

GMEeE

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie)(: 0ttnM

03 tta

GMM

UmrechnungUmrechnung

MEeE sin

Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)

Mittlere Bewegung(mittlere Winkelgeschwindigkeit)

3

2:

a

GM

Tn

Umlaufszeitenzweier Planeten

Umlaufszeitenzweier Planeten

2 31 12 3

2 2

T a

T a


Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.


Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen.


25

2511.04.23

Anomalien

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

03 tta

GMM

Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie

MEeE sin

Wahre AnomalieWahre Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

ar

E

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit:

Die letzte der 6 gesuchten Integrationskonstanten:Entweder - mittlere Anomalie M zum Zeitpunkt toder - Perigäumsdurchgangszeit: 0t


26

26

Zwischenfazit

11.04.23





GM

aT

3

2


Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e


a ei



r r


27

2711.04.23

Anwendung:Kommunikationssatellit

Anwendung:Kommunikationssatellit


28

2811.04.23

Fernsehsatellit

ASTRASatEarth-1G-1H-2A-2CASTRASatEarth-1G-1H-2A-2C

www.ses-astra.com


29

2911.04.23

Geostationärer Satellit

http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.htmlhttp://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf5-1.html


30

3011.04.23

Keplerelemente

Zeit:

Form:

ae

Grosse Halbachse

Exzentrizität

Perigäumsdurchgangszeit

Lage:

i Inklination

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens

Argument des Perigäums

Perigäum

Knotenlinie


31

3111.04.23



aT

3

2

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag:

Konstante Erdrotation mit einem Sterntag: 23h56m4sT

Erde heute

Erde nach 23h 56min

Sternenlicht aus dem Unendlichen


32

3211.04.23





aT

3

2

23h56m4sTExzentrizitätExzentrizität

0e

Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel

Kein Wechsel auf die Nord- und Südhalbkugel

Grosse HalbachseGrosse Halbachse

42.164 kma

InklinationInklination0i

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert

Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotensnicht definiert

Kreisbahn

Kein Perigäum

Kreisbahn

Kein Perigäum

Argument des Perigäumsnicht definiert

Argument des Perigäumsnicht definiert

Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert

Perigäumsdurchgangszeitnicht definiert


33

3311.04.23

http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.htmlhttp://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html

Satellitenbahnen


34

3411.04.23

Anwendung:Erderkundungssatellit

Anwendung:Erderkundungssatellit


35

3511.04.23

GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment )

JPL

Anforderungen an die Bahn:Anforderungen an die Bahn:

Globale Überdeckung

=> Polbahn => i≈90°

Gleichmäßige Überdeckung:

=> Verhältnis von Erddrehung und Umlaufzeit sollte nicht ganzzahlig sein => große Halbachse passend wählen

Niedrige Flughöhe


36

3611.04.23

Bodenspuren


37

3711.04.23

Bodenspuren

30 Tage30 Tage

15 Tage15 Tage1 Tag1 Tag


38

3811.04.23

GOCE - Orbit


39

3911.04.23

Anwendung:Repeat Orbits

Anwendung:Repeat Orbits


40

4011.04.23

Prinzip Altimetrie

W. Bosch


41

4111.04.23

TOPEX/Poseidon

Repeat Orbitnach 9,916 Tagen

(127 Umläufe)

Repeat Orbitnach 9,916 Tagen

(127 Umläufe)


42

4211.04.23

GRACE

Juli 2003

Juli 2004


43

43

Zwischenfazit

11.04.23





GM

aT

3

2


Zeit

Form (d. Ellipse)

Lage (d. Ellipse)

i

a e


a ei



r r

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