Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen.

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11.04.23

Annette Eicker12. Januar 2012

Kreiselgleichungen

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Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation:

Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation:

Wiederholung: Transformation

Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const).

=> Inertialsysteme.

Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const).

=> Inertialsysteme.

z

Iy

Ix

I

z

Iy

Ix

I

z

By

Bx

B

z

Iy

Ix

I

V

V

V

tt

R

R

R

tx

tx

tx

tr

tr

tr

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

0D

tt '

1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichförmig:

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Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem

x

x

B

ey

B

e

x

I

e

y

I

e

Bewegung im rotierenden System

Bewegung im rotierenden System

Rotation des Bezugssystems

Rotation des Bezugssystems

AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

dDt

D

dt

d

Bewegung im Inertialsystem

Bewegung im Inertialsystem

Rotationsvektor

(enthält die Winkelgeschwindigkeiten)

Rotationsvektor

(enthält die Winkelgeschwindigkeiten)

3

2

1

d

Bewegungsgleichung:Bewegungsgleichung:2 2

2 2

d dm m m

dt dt

x RK r

r

R

2x Anweden des Operators

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Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem

Bewegungsgleichung:Bewegungsgleichung:2 2

2 2

d dm m m

dt dt

x RK r

2x Anweden des Operators

2 2

22

D D dm mDt Dt dt

x x RK d x d d d x

Beschleunigung im bewegten System

AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

dDt

D

dt

d

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Bewegungsgleichung im bewegtem System

BewegtesSystem

BewegtesSystem

2

22

D Dm m m m mDt Dt

x x

K R d d x d x d

CorioliskraftCorioliskraftKreiselkraftKreiselkraftZentrifugalkraftZentrifugalkraft

Inertialsystem Inertialsystem K

r 2

2

dt

dm

x

x

B

ey

B

e

x

I

e

y

I

er

R

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KreiselgleichungenKreiselgleichungen

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(Linearer) Impuls(Linearer) Impuls

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

Drehmoment:Drehmoment:

Impuls und Drehimpuls

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m Krrr m

Krpr

(Bahn)Drehimpuls:(Bahn)Drehimpuls: prL

rK

KrM

ML

rp m

Änderung des Impulses benötigt eine Kraft

Änderung des Impulses benötigt eine Kraft

Kp

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TeilchensystemTeilchensystem

Drehimpulsbilanz

Gesamtdrehmoment:Gesamtdrehmoment:

i

ii KrM

Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:

i

ii prL

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment

ML

Annahme: • starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich• keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation

=> Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B

Annahme: • starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich• keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation

=> Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B

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Drehimpuls

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Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:

i ii

L x p

ii i

i

dmdt

xL x

ii i i

i

Dm

Dt

xL x d x

i i ii

m L x d x

Änderung der Ortsvektorender Teilchen im rotierendenBezugssystem:

(Ortsvektoren drehen sich mit)

Änderung der Ortsvektorender Teilchen im rotierendenBezugssystem:

(Ortsvektoren drehen sich mit)

iD

Dt

x0

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Drehimpuls

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i i ii

m L x d x Graßman-Identität:Graßman-Identität:

cbabca

cba

)()(

)(

Zerlegung der Vektoren bzgl.Dreibein von B

Zerlegung der Vektoren bzgl.Dreibein von B

3( )

1

Bi

ji jj

x e

x

3

1

B

jjj

e

d

3

1

B

jjj

L e

L

TrägheitstensorTrägheitstensor

2 2

2 2

2 2

( )

( )

( )

i i i i i i i i ii i i

i i i i i i i i ii i i

i i i i i i i i ii i i

y z m x y m x z m

x y m x z m y z m

x z m y z m x y m

T

L Td

nach ganz viel Umsortieren…

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Starres TeilchensystemStarres Teilchensystem

Drehimpulsbilanz

Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:

Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:

2 2

2 2

2 2

( )

( )

( )

i i i i i i i i ii i ix x

y i i i i i i i i i yi i i

z zi i i i i i i i i

i i i

y z m x y m x z mL

L x y m x z m y z m

Lx z m y z m x y m

TdL

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Starrer KörperStarrer Körper

Drehimpulsbilanz

Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:

Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:

z

y

x

z

y

x

dmyxdmyzdmxz

dmyzdmzxdmxy

dmxzdmxydmzy

L

L

L

22

22

22

TdL

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RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung

rp mImpuls:

Träge Masse

Impulsänderung benötigt Kraft:

Kp

Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:

ML

Drehimpuls:

dTL

Trägheitstensor

Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit

Lineare Bewegung <-> Rotation

Trägheitstensor: • definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen• ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu

Trägheitstensor: • definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen• ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu

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Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:

Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls

Trägheitstensor

z

y

x

z

y

x

C

B

A

L

L

L

00

00

00

z

x

y

dTL

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11.04.23

Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:

Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls

Trägheitstensor

zz

y

x

C

B

A

L

L

L

0

0

00

00

00

z

x

y

dTL

Drehung um die z-Achse:Das Trägheitsmoment C ist groß

Drehung um die z-Achse:Das Trägheitsmoment C ist groß

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Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:

Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix

Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls

Trägheitstensor

0

0

00

00

00

y

z

y

x

C

B

A

L

L

L

z

x

y

dTL

Drehung um die y-Achse:Das Trägheitsmoment B klein

Drehung um die y-Achse:Das Trägheitsmoment B klein

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Einschub: Trägheitsmomente

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Trägheitsmoment:Gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an.(äquivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung)

hängt ab von:• Form des Körpers• Massenverteilung des Körper • Drehachse

vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus

Trägheitstensor(als Verallgemeinerung des Trägheitsmoments)

Trägheitsmoment für jede beliebige Achse kann aus Trägheitstensor berechnet werden

Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trägheitsmoment das zugehörige Diagonalelement des Tensors

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Starrer KörperStarrer Körper

Drehung des Koordinatensystems

Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:TdL

Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt

Hauptachsensystem

Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt

Hauptachsensystem

C

B

A

00

00

00

T

dDDTDDL TT

dDDTDLD T

Neues Koordinatensystem:

mit den Transformationen

Neues Koordinatensystem:

mit den Transformationen

dTL

TDTDTDddDLL ,,

DrehmatrixDrehmatrixIDD T

0

0

1

0

0

1

AT

0

1

0

0

1

0

BT

1

0

0

1

0

0

CT

EigenvektorEigenvektor EigenwertEigenwert

=> Eigenwertzerlegung=> Eigenwertzerlegung

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RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung

rp mImpuls:

Träge Masse

Impulsänderung benötigt Kraft:

Kp

Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL):

Kr m

Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:

ML

Drehimpuls:

dTL

Trägheitstensor

Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit

Lineare Bewegung <-> Rotation

Dies führt auf dieEulerschen Kreiselgleichungen (DGL):

zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(

Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!

Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!

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BilanzgleichungBilanzgleichung

Kreiselgleichungen

AbleitungsoperatorAbleitungsoperator

dDt

D

dt

d

ML dt

d

DrehimpulsDrehimpuls

dTL

Drehimpuls im HauptachsensystemDrehimpuls im Hauptachsensystem

z

y

x

z

y

x

C

B

A

L

L

L

00

00

00

Im rotierenden SystemIm rotierenden System

D

Dt

Ld L M

MTddTd Dt

D )(

MTdddT

Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen

zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(

Beschreiben die Rotation eines starrenKörpers im Hauptachsensystem

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Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen

Trägheitsbewegung

zyxz

yzxy

xzyx

MABC

MCAB

MBCA

)(

)(

)(

Einfacher Fall:

- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)

- Rotationsellipsoid

Einfacher Fall:

- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)

- Rotationsellipsoid

CBA

0M

C

A

A

00

00

00

T

KreiselgleichungenKreiselgleichungen

0z

0

0

x y z

y x z

C A

AA C

A

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KreiselgleichungenKreiselgleichungen

Trägheitsbewegung

Abgeplattete ErdeAbgeplattete Erde

0

0

0

z

zxy

zyx

A

CAA

AC

Aus 3. Gleichung folgtAus 3. Gleichung folgt

constz

AbkürzungAbkürzung

: z

C Aconst

A

x y

y x

Allgemeine LösungAllgemeine Lösung

0

0

cos ( )

sin ( )x

y

z

k t t

k t t

c const

Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden.

Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden.

k ist eine beliebige Konstante!

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11.04.23

Trägheitsbewegung

DrehvektorDrehvektor

0

0

cos ( )

sin ( )

B

k t t

k t t

c

d

DrehimpulsDrehimpuls

0

0

cos ( )

sin ( )

B

Ak t t

Ak t t

Cc

L Td

BetragBetrag

2 2k c const d

2 2 2 2A k C c const L

SkalarprodukteSkalarprodukte

cos LdLd

constczz coseded

constCczz coseLeL

Alles im körperfesten System B:Alles im körperfesten System B:

SpatproduktSpatprodukt

0 zeLd=> Vektoren liegen in einer Ebene

=> Konstante Zwischenwinkel=> Konstante Zwischenwinkel

,,

2 2Ak Cc const

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11.04.23

Trägheitsbewegung

BilanzgleichungBilanzgleichung

0L dt

d

Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest

constL

Figurenachse Drehimpulsachse

Drehachse

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11.04.23

Trägheitsbewegung

BilanzgleichungBilanzgleichung

0L dt

d

Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest

constL

Figurenachse Drehimpulsachse

Drehachse

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11.04.23

Trägheitsbewegung

BilanzgleichungBilanzgleichung

0L dt

d

Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest

constL

Figurenachse Drehimpulsachse

Drehachse

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11.04.23

Trägheitsbewegung

Figurenachse Drehimpulsachse

Drehachse

körperfestes

Koordinatensystem B

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11.04.23

Rotation der Erde

constA

ACz

:

DrehvektorDrehvektor

0

0

cos ( )

sin ( )

z B

k t t

k t t

d

Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2

• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2

• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2

• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s

Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2

• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2

• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2

• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/sz

ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2

305Sterntagez

C A

A

Frequenz

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Rotation der Erde

Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse

~305 Tage

Bewegung der Drehachse im erdfesten System

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11.04.23

Rotation der Erde

Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2

• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2

• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2

• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s

Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2

• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2

• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2

• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s

constA

ACz

:

DrehvektorDrehvektor

0

0

cos ( )

sin ( )

z B

k t t

k t t

d

z

Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage

ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2

305Sterntagez

C A

A

Wie kommt dieser Unterschied zustande?

Wie kommt dieser Unterschied zustande?