Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen.
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Annette Eicker APMG 1
1
11.04.23
Annette Eicker12. Januar 2012
Kreiselgleichungen
Annette Eicker APMG 1
2
11.04.23
Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation:
Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation:
Wiederholung: Transformation
Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const).
=> Inertialsysteme.
Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const).
=> Inertialsysteme.
z
Iy
Ix
I
z
Iy
Ix
I
z
By
Bx
B
z
Iy
Ix
I
V
V
V
tt
R
R
R
tx
tx
tx
tr
tr
tr
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0D
tt '
1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichförmig:
Annette Eicker APMG 1
3
11.04.23
Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem
x
x
B
ey
B
e
x
I
e
y
I
e
Bewegung im rotierenden System
Bewegung im rotierenden System
Rotation des Bezugssystems
Rotation des Bezugssystems
AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
dDt
D
dt
d
Bewegung im Inertialsystem
Bewegung im Inertialsystem
Rotationsvektor
(enthält die Winkelgeschwindigkeiten)
Rotationsvektor
(enthält die Winkelgeschwindigkeiten)
3
2
1
d
Bewegungsgleichung:Bewegungsgleichung:2 2
2 2
d dm m m
dt dt
x RK r
r
R
2x Anweden des Operators
Annette Eicker APMG 1
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Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem
Bewegungsgleichung:Bewegungsgleichung:2 2
2 2
d dm m m
dt dt
x RK r
2x Anweden des Operators
2 2
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D D dm mDt Dt dt
x x RK d x d d d x
Beschleunigung im bewegten System
AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
dDt
D
dt
d
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Bewegungsgleichung im bewegtem System
BewegtesSystem
BewegtesSystem
2
22
D Dm m m m mDt Dt
x x
K R d d x d x d
CorioliskraftCorioliskraftKreiselkraftKreiselkraftZentrifugalkraftZentrifugalkraft
Inertialsystem Inertialsystem K
r 2
2
dt
dm
x
x
B
ey
B
e
x
I
e
y
I
er
R
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KreiselgleichungenKreiselgleichungen
Annette Eicker APMG 1
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(Linearer) Impuls(Linearer) Impuls
Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment
Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment
Drehmoment:Drehmoment:
Impuls und Drehimpuls
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
Kr m Krrr m
Krpr
(Bahn)Drehimpuls:(Bahn)Drehimpuls: prL
rK
KrM
ML
rp m
Änderung des Impulses benötigt eine Kraft
Änderung des Impulses benötigt eine Kraft
Kp
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TeilchensystemTeilchensystem
Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehmoment:Gesamtdrehmoment:
i
ii KrM
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
i
ii prL
Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment
Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment
ML
Annahme: • starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich• keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation
=> Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B
Annahme: • starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich• keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation
=> Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B
Annette Eicker APMG 1
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Drehimpuls
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Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
i ii
L x p
ii i
i
dmdt
xL x
ii i i
i
Dm
Dt
xL x d x
i i ii
m L x d x
Änderung der Ortsvektorender Teilchen im rotierendenBezugssystem:
(Ortsvektoren drehen sich mit)
Änderung der Ortsvektorender Teilchen im rotierendenBezugssystem:
(Ortsvektoren drehen sich mit)
iD
Dt
x0
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Drehimpuls
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i i ii
m L x d x Graßman-Identität:Graßman-Identität:
cbabca
cba
)()(
)(
Zerlegung der Vektoren bzgl.Dreibein von B
Zerlegung der Vektoren bzgl.Dreibein von B
3( )
1
Bi
ji jj
x e
x
3
1
B
jjj
e
d
3
1
B
jjj
L e
L
TrägheitstensorTrägheitstensor
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
i i i i i i i i ii i i
i i i i i i i i ii i i
i i i i i i i i ii i i
y z m x y m x z m
x y m x z m y z m
x z m y z m x y m
T
L Td
nach ganz viel Umsortieren…
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Starres TeilchensystemStarres Teilchensystem
Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
i i i i i i i i ii i ix x
y i i i i i i i i i yi i i
z zi i i i i i i i i
i i i
y z m x y m x z mL
L x y m x z m y z m
Lx z m y z m x y m
TdL
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Starrer KörperStarrer Körper
Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
z
y
x
z
y
x
dmyxdmyzdmxz
dmyzdmzxdmxy
dmxzdmxydmzy
L
L
L
22
22
22
TdL
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RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung
rp mImpuls:
Träge Masse
Impulsänderung benötigt Kraft:
Kp
Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:
ML
Drehimpuls:
dTL
Trägheitstensor
Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit
Lineare Bewegung <-> Rotation
Trägheitstensor: • definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen• ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu
Trägheitstensor: • definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen• ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu
Annette Eicker APMG 1
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Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:
Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls
Trägheitstensor
z
y
x
z
y
x
C
B
A
L
L
L
00
00
00
z
x
y
dTL
Annette Eicker APMG 1
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Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:
Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls
Trägheitstensor
zz
y
x
C
B
A
L
L
L
0
0
00
00
00
z
x
y
dTL
Drehung um die z-Achse:Das Trägheitsmoment C ist groß
Drehung um die z-Achse:Das Trägheitsmoment C ist groß
Annette Eicker APMG 1
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Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:
Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix
Beispiel:DrehimpulsDrehimpuls
Trägheitstensor
0
0
00
00
00
y
z
y
x
C
B
A
L
L
L
z
x
y
dTL
Drehung um die y-Achse:Das Trägheitsmoment B klein
Drehung um die y-Achse:Das Trägheitsmoment B klein
Annette Eicker APMG 1
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Einschub: Trägheitsmomente
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Trägheitsmoment:Gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an.(äquivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung)
hängt ab von:• Form des Körpers• Massenverteilung des Körper • Drehachse
vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus
Trägheitstensor(als Verallgemeinerung des Trägheitsmoments)
Trägheitsmoment für jede beliebige Achse kann aus Trägheitstensor berechnet werden
Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trägheitsmoment das zugehörige Diagonalelement des Tensors
Annette Eicker APMG 1
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Starrer KörperStarrer Körper
Drehung des Koordinatensystems
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:TdL
Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt
Hauptachsensystem
Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt
Hauptachsensystem
C
B
A
00
00
00
T
dDDTDDL TT
dDDTDLD T
Neues Koordinatensystem:
mit den Transformationen
Neues Koordinatensystem:
mit den Transformationen
dTL
TDTDTDddDLL ,,
DrehmatrixDrehmatrixIDD T
0
0
1
0
0
1
AT
0
1
0
0
1
0
BT
1
0
0
1
0
0
CT
EigenvektorEigenvektor EigenwertEigenwert
=> Eigenwertzerlegung=> Eigenwertzerlegung
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RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung
rp mImpuls:
Träge Masse
Impulsänderung benötigt Kraft:
Kp
Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL):
Kr m
Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:
ML
Drehimpuls:
dTL
Trägheitstensor
Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit
Lineare Bewegung <-> Rotation
Dies führt auf dieEulerschen Kreiselgleichungen (DGL):
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!
Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!
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BilanzgleichungBilanzgleichung
Kreiselgleichungen
AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
dDt
D
dt
d
ML dt
d
DrehimpulsDrehimpuls
dTL
Drehimpuls im HauptachsensystemDrehimpuls im Hauptachsensystem
z
y
x
z
y
x
C
B
A
L
L
L
00
00
00
Im rotierenden SystemIm rotierenden System
D
Dt
Ld L M
MTddTd Dt
D )(
MTdddT
Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
Beschreiben die Rotation eines starrenKörpers im Hauptachsensystem
Annette Eicker APMG 1
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Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen
Trägheitsbewegung
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
Einfacher Fall:
- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)
- Rotationsellipsoid
Einfacher Fall:
- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)
- Rotationsellipsoid
CBA
0M
C
A
A
00
00
00
T
KreiselgleichungenKreiselgleichungen
0z
0
0
x y z
y x z
C A
AA C
A
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KreiselgleichungenKreiselgleichungen
Trägheitsbewegung
Abgeplattete ErdeAbgeplattete Erde
0
0
0
z
zxy
zyx
A
CAA
AC
Aus 3. Gleichung folgtAus 3. Gleichung folgt
constz
AbkürzungAbkürzung
: z
C Aconst
A
x y
y x
Allgemeine LösungAllgemeine Lösung
0
0
cos ( )
sin ( )x
y
z
k t t
k t t
c const
Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden.
Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden.
k ist eine beliebige Konstante!
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Trägheitsbewegung
DrehvektorDrehvektor
0
0
cos ( )
sin ( )
B
k t t
k t t
c
d
DrehimpulsDrehimpuls
0
0
cos ( )
sin ( )
B
Ak t t
Ak t t
Cc
L Td
BetragBetrag
2 2k c const d
2 2 2 2A k C c const L
SkalarprodukteSkalarprodukte
cos LdLd
constczz coseded
constCczz coseLeL
Alles im körperfesten System B:Alles im körperfesten System B:
SpatproduktSpatprodukt
0 zeLd=> Vektoren liegen in einer Ebene
=> Konstante Zwischenwinkel=> Konstante Zwischenwinkel
,,
2 2Ak Cc const
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11.04.23
Trägheitsbewegung
BilanzgleichungBilanzgleichung
0L dt
d
Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest
constL
Figurenachse Drehimpulsachse
Drehachse
Annette Eicker APMG 1
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11.04.23
Trägheitsbewegung
BilanzgleichungBilanzgleichung
0L dt
d
Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest
constL
Figurenachse Drehimpulsachse
Drehachse
Annette Eicker APMG 1
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Trägheitsbewegung
BilanzgleichungBilanzgleichung
0L dt
d
Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest
constL
Figurenachse Drehimpulsachse
Drehachse
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Trägheitsbewegung
Figurenachse Drehimpulsachse
Drehachse
körperfestes
Koordinatensystem B
Annette Eicker APMG 1
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Rotation der Erde
constA
ACz
:
DrehvektorDrehvektor
0
0
cos ( )
sin ( )
z B
k t t
k t t
d
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/sz
ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2
305Sterntagez
C A
A
Frequenz
Annette Eicker APMG 1
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11.04.23
Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
~305 Tage
Bewegung der Drehachse im erdfesten System
Annette Eicker APMG 1
30
11.04.23
Rotation der Erde
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
constA
ACz
:
DrehvektorDrehvektor
0
0
cos ( )
sin ( )
z B
k t t
k t t
d
z
Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage
ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2
305Sterntagez
C A
A
Wie kommt dieser Unterschied zustande?
Wie kommt dieser Unterschied zustande?