Anpassung eines CIR-1-Modells zur Simulation der ZinsstrukturkurveTom Fischer* (Darmstadt), Angelika May t (Bonn) und Brigitte Walther (Darmstadt)1. E i n l e i t u n g Das CIR-Modell ist ein stochastisches Modell zur Beschreibung der Zinsstruktur. In dieser Arbeit wird die Dynamik des Modells von einem Faktor getrieben. Ein Ziel ist es, die Simulation zuktinftiger Bondpreise far aktuarielle Anwendungen und Prognosen zu beschreiben. Der Artikel fi~hrt kurz in die Theorie der Bondpreise ein. In Abschnitt 2 werden alle wichtigen Grundlagen zusammengefasst. Wichtig fox korrekte Prognosewerte ist (im Gegensatz zur Bepreisung von Zinsprodukten) die klare Unterscheidung zwischen der Modellierung unter dem hypothetischen Marginalmal3 und dem ,,physikalischen MaB" in der realen Welt. In Abschnitt 3 werden Veffahren fox Sch~itzung und Kalibrierung der Modellparameter angegeben. FUr das CIR-Modell werden explizite Formeln hergeleitet. Als Datenquelle fur den deutschen Rentenmarkt dient der Zeitreihen-Service der Deutschen Bundesbank. Abschnitt 5 stellt Methoden zur Modell0berprOfung von Zinsmodellen zur Verfiigung. Konkret werden die GtRe der Sch~itzer, die Korrektheit der Modellannahmen und die Anpassungsgt~te der Zinsstrukturkurve untersucht. In Abschnitt 6 wird eine empirische Untersuchung an Hand echter Daten vorgenommen. Das CIR-Modell mit nur einem treibenden Faktor liefert danach keine hinreichende Beschreibung des deutschen Rentenmarktes. Die Fortsetzung [6] dieser Arbeit, die im nachsten Heft dieser Zeitschrift erscheinen wird, behandelt CIR-Modelle und ihre Kalibrierung mit mehreren Faktoren.

2. M o d e l l r a h m e n

2.1 Grundlegende BegriffeEine Nullkuponanleihe mit Laufzeit ~ _> 0 (englisch: zero coupon bond) ist ein Vertrag, der dem Halter des Vertrages die Auszahlung einer W/~hrungseinheit zum Zeitpunkt ~ vom aktuellen Zeitpunkt aus gerechnet garantiert. Den Preis eines solchen Bonds zum Zeitpunkt t bezeichnen wir mit p(t, r). Man nennt T = t + r den F~illigkeitszeitpunkt und spricht von einem T-Bond. Die sogenannte Spot Interest Rate R(t,/7), kurz als Spot Rate bezeichnet, fOx das Zeitintervall It, t + r] ist definiert als R(t,r) logp(t,r)17

(2.1)

Die Short Rate r(t) zum Zeitpunkt t ist definiert als r(t) = lim logp(t,r) (2.2)

* Der Autor wird unter Projektnummer 03LEM6DA durch das Bundesministerium ffir Bildung und Forschung (BMBF) gef0rdert. + Die Autorin wird unter Projektnummer 03MAM6CA durch das BMBF gef6rdert. E-mail: may@caesar.de 193

Die Zinsstl~turkurve (englisch: yield curve) zum Zeitpunkt t ist die Abbildung r ~ R(t, r). Spot Rates, Short Rate und Zinsstrukturkurve nehmen wir for den aktuellen Zeitpunkt t = 0 als deterministisch und ftir t > 0 als zufallig an. Eine Umformung von (2.1) ergibte R(t'~l~ = 1 (2.3)

p(t, ~)" Man sieht, dass R(t, r) als ein (in t) garantierter konstanter Zinssatz fiber das Zeitintervall [t, t + r] angesehen werden kann. Kauft man for eine Wahrungseinheit T-Bonds zum Zeitpunkt t (t _< T), so erh~ilt man in T eine fixe Rendite e R(t'T-t).(r-t) fur dieses Investment. Die Short Rate r ist das Analogon bezogen auf eine unmittelbar f~illig werdende Anleihe (kurzfristiger Zins). Offensichtlich gilt p(t, 0) = 1 for alle t, da dies der faire Preis der unmittelbar erfolgenden Auszahlung mit dem Weft 1 ist. Um die mathematische Konsistenz bzw. Existenz der oben stehenden Begriffe zu garantieren, sind gewisse zus~itzliche mathematische Annahmen notwendig. Wir wollen in diesem Papier jedoch bewusst die rnathematischen Modellvoraussetzungen in den Hintergrund rticken und verweisen auf die existierende Literatur zum Thema Zinsmodellierung (etwa Bj6rk (1996) oder Brigo, Mercurio (2001)). Der stochastische Rahmen wird in 2.3 konkretisiert werden.

2.2 Maflwechsel bei Short-Rate-Modellen Obwohl im vorausgegangenen Abschnitt die Short Rate r durch die Bondpreise p definiert wurde, ist die Vorgehensweise sogenannter Short-Rate-Modelle for Zinsstrukturen (wie etwa CIR) genau umgekehrt. Ausgehend von einem gegebenen stochastischen Prozess ftir die Short Rate werden Bondpreise in Abhfingigkeit von diesem berechnet. Die Dynamik der Short Rate ist normalerweise durch eine stochastische Differentialgleichung unter einem sogenannten ~iquivalenten Martingalmag Q gegeben. Der Zweck der Martingalmaf3e in der Finanzmathematik ist der, dass mit Hilfe eines solchen Maf3es Q durch die bedingten Erwartungen von beliebigen diskontierten (zuf~iUigen) Auszahlungen beztiglich Q ein arbitragefreies Preissystem for diese Auszahlungen geschaffen wird. Im Falle von Short-Rate-Modellen steht dieses Mal3 jedoch zun~ichst nicht eindeutig fest. Tats~ichlich k6nnte es bis auf die Nullmengen, die identisch zu den Nullmengen des realen (physikalischen) Wahrscheinlichkeitsmal3es P sein mtissen, absolut beliebig sein. Allerdings ist klar, dass bei der Modellierung bzw. Simulation eines Marktes zumindest die tats/~chlichen und theoretischen Preise bzw. Zinsen zum aktuellen Zeitpunkt 0 identisch sein sollten. Wir werden bei der sp~iter erl~iuterten Parametersch~itzung hierauf zurtickgreifen. Die M6glichkeiten for Q werden dadurch eingeschr~inkt. Aus der Forderung nach Arbitragefreiheit des Marktes ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der P- und der Q-Dynamik von r. Der Beweis des Lemmas erfordert gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften fOr die Bondpreise (Bj6rk (1996)).Lemma

2.L Folgt die P-Dynamik yon r der Gleichung dr =/i(t, r)dt + 8(t, r)d', (2.4)

wobei 17 ein Standard-Wienerprozess unter P ist, dann ist die Q-Dynamik yon r gegeben durch dr = ~(t, r) - 2(t, r)O(t, r)}dt + O(t, r)dW, wobei W ein Standard-Wienerprozess unter Q ist. 194

(2.5)

In arbitrageffeien Rentenmarkten ist der Prozess 2(t, r) der sogenannte market price o f risk (siehe Bj6rk (1996)). In eehten M/irkten kann 2(t, r) beobachtet werden. Wir haben gesehen, dass der Wechsel v o n d e r Q- zur P-Dynamik in gewisser Hinsicht beliebig ist. D a wir uns mit dem CIR-Modell besch~iftigen wollen, werden wir diesen Wechsel jedoch durchft~hren wie urspriinglich von Cox, Ingersoll und Ross vorgeschlagen. Die genaue Vorgehensweise wird im n/ichsten Abschnitt erl/iutert.

2.3 Das CIR-Modell Die Popularit/~t des Cox-Ingersoll-Ross-Modells ftir aktuarielle Anwendungen erkRirt sich daraus, dass ftir bestimmte Parameterwahlen eine positive Short Rate r garantiert werden kann (Cox, Ingersoll, Ross (1985)). Wie bei allen g/ingigen Short-Rate-Modellen ist auch die Q-Dynamik eines CIR-Modells durch eine stochastische Differentialgleichung des folgenden Typs gegeben: dr = #(t, r)dt + a(t, r)dW. (2.6)

Annahrae 2.2. (Cox, Ingersoll, Ross (1985)) Unter dem Martingalmafl Q ist die Dynamik der Short Rate r durch die stochastische Differentialgleichung dr = (b - a. r)dt + ax/~dW (2.7)

mit a, b > 0 konstant gegeben. Fiir 2b > a 2 folgt r > O. Dutch geeigneten Maflwechsel kann fiir den market price o f risk 2(t, r) = 40" fir, (2.8) mit 40 C ~ erreicht werden. Die Wahl (2.8) hat keine 6konomische Begrtindung, sondern erf/ihrt ihre Rechtfertigung dutch die gleiehe Form der Short Rate Prozesse unter beiden Mal3en (Brigo, Mereurio (2001)). Durch Vergleich von (2.5) mit (2,6) erhalten wir a(t, r) = 6(t, r) = aft? und (2.9) (2.10)

kt(t, r) = b - a. r = fi(t, r) - 2(t, r)a(t, r).

FUr die P-Dynamik von r erhalten wit durch Einsetzen von (2,9) und (2.8) in (2.10) zun/ichst fi(t, r) = b - (a - 20a)' r und damit dr = (b - (a - 2oo).r)dt + o v ' r d W = (b - ~.r)dt + a v ~ d W (2.11)

mit ~ = a - 20a. Durch den MaBwechsel hat sich somit nut der Drift-Parameter gegeniaber der Dynamik in (2.7) ge/andert. Durch Umschreiben erhalten wit aus (2.11) die P-Dynamik dr = ~(b/a - r)dt + ax/~d'~. (2.12)

Prozesse mit einer Dynamik wie in (2.12) sind mean reverting, haben also das Bestreben langfristig zu einem mittleren Level zurtickzukehren. Dieses liegt hier bei b/~; der Prozess hat positive Drift flit b/h < r und negative Drift fiir b/~ > r. Dabei gibt ~ die St~irke der Mean Reversion an. Nehmen wir 2o > 0 an, so ist ~ < a und b/a > b/a. Unter P ist also das mittlere Level h6her und die Anziehungsst~irke kleiner als unter Q. Dies muss beachtet werden, falls vereinfachend P = Q angenommen wird. Aus der affinen Form von/~(t, r) und aZ(t, r) in r folgt, dass die Bondpreise die folgende Darstellung besitzen (vgl. z.B. BjOrk (1996) oder Brigo, Mercurio (2001)): p(t, ~, r(t)) = A(r)e B(r)r(t). (2.13) 195

Dabei sind die Funktionen A(r) und B(r) wie folgt gegeben (Brigo, Mercurio (2001)) 2 A(r) = 2he(a+h)r/2 h + (a + h)(e *h -

1)-J

]2b/2 '

B ( r ) = [2h

2(e ~h-1) q- ~ ~ - h ) ~ h -- 1)]

(2.14)

mit h = v ~ + 2 a 2. Aus (2.13) folgt R(t, ~) = _.lg p(t, ~) _T

logA(r)

B(r)r(t) F- T

(2.15)

Deshalb z/ihlt das CIR-Modell auch zu den affinen Zinsstr~tmanodellen. Bei der Verwendung des CIR-Modells fiir langfristige Zinss/itze ist aber Vorsicht geboten. Ftir feste a, b, a und t folgern wirr~oc

lim R(t, r) = b(h02 a)

(2.16)

3. S c h / i t z e n u n d K a l i b r i e r e n

3.1 VorgehensweiseViele Praktiker benutzen das CIR-Modell mit Konstanten, die auf Expertenwissen beruhen, statt die vorkommenden Parameter zu sch/itzen oder zumindest zu kalibrieren. Wir pr/isentieren verschiedene Sch/itzmethoden unter Beriicksichtigung der verschiedenen MaBe. (Da Q ein theoretisches Maf~ ist, ist die Q-Dynamik nicht beobachtbar.) Folgende Schritte werden vorgestellt: 1. In 3.2 werden die fiir die Sch/itzung erforderlichen Daten mit Quellenangaben fur den deutschen Rentenmarkt eingefiihrt. 2. Mit den empirischen Daten werden in 33 die Parameter b, ~ und a gesch/itzt, die die (reale) P-Dynamik beschreiben. Wir stellen einfache und Martingal-Sch/itzfunktionen vor und geben die Sch/itzer b, ~ und 6 explizit an. 3. Sind r(0) aus 1. und die Sch/itzer far b und a aus 2. bekannt, so 1/isst sich der DriftParameter a in der Q-Welt berechnen, indem die theoretischen Bondpreise p(0, r, r(0)) aus (2.13) in t = 0 an die gegenw~irtigen Marktpreise pM(0, r) angepasst werden (siehe 3.4). 4. Der Parameter 20 kann gem/iB 2.3 durch )~0 -= (a - ~)/6 gesch/itzt werden.

3.2 DatenDas Hauptproblem bei der Beschaffung von Marktwerten for Nullkuponanleihen oder Spot Interest Rates ist, dass die meisten Formen von ,,Staatsanleihen" sogenannte Kuponzahlungen enthalten, d.h. schon vor dem eigentlichen F/illigkeitszeitpunkt werden Zahlungen an den Besitzer get/itigt. Deshalb werden Nullkuponanleihen im Folgenden als ,,hypothetische" Wertpapiere bezeichnet. Da die Zinsstrukturkurve also nicht unmittelbar am Markt abgelesen werden kann, verwendet die Deutsche Bundesbank das sogenannte SvenssonVerfahren (vgl. Svensson (1994) und Schich (1997)), um die (gegl/ittete) Zinsstrukturkurve am deutschen Rentenmarkt zu bestimmen. Entgegen der g/ingigen Literatur rechnet die Bundesbank nicht mit stetiger (wie in Gleichung (2.3)), sondern mit diskreter Verzinsung. 196

Alle v o n d e r Bundesbank bezogenen (d.h. diskreten) Zinss~tze R' sind daher gem~il3 R = ln(1 + R') in stetige Zinssatze R umzurechnen. Die Deutsche Bundesbank bietet auf ihrer Internet-Homepage (www.bundesbank.de) monatliche (diskrete) Zinsdaten for die Laufzeiten von 1 bis 10 Jahren zum Herunterladen an. Die Raten stammen jeweils vom Monatsende. Von der Bundesbank werden nur Anleihen mit Mindestlaufzeit 3 Monate berticksichtigt. Aus diesem Grunde werden als approximative Zinss~tze fiir die diskrete Short Rate die Monatsdurchschnitte des Geldmarktsatzes for Tagesgeld am Frankfurter Bankplatz verwendet. Auch diese Daten befinden sich auf der Bundesbank Homepage.

3.3 Schtitzung der P-DynamikWir verweisen fiir diesen Abschnitt auch auf S0rensen (1997). Sei r(t) die L6sung einer eindimensionalen stochastischen Differentialgleichung dr(t) = fi(r(t); 0)dt + a(r(t); 0)d'~Zt, r(t0) = r0, (3.1)

wobei 9 ein Standard-Wienerprozess ist. Wir stellen uns etwa die P-Dynamik der Short Rate wie in (2.11) darunter vor. Die Drift fi und der Diffusionskoeffizient a seien be kannt, h~ingen aber von einem unbekannten Parameter 0 c O C Ra ab. Im Fall des CIR-Modells ist 0 = (~, b, a) 3-dimensional. Wir nehmen an, dass unsere empirischen Daten aus n + 1 diskreten Beobachtungen zu den Zeiten to < tl < ... < tn _< 0 bestehen, namlich r(t0), r(h) ..... r(tn). Wir setzen ri = r(ti) (i = 0, .... n) und schreiben Ai = ti - ti 1 (i _> 1) fiir die Zeitintervalle.

3.3.1 Einfache SchtitzfunktionenUnter Verwendung der r i (i = 0, ..., n) erhalten wir die Likelihood-Funktion

n Ln(O) = I-[P(Ai, ri 1, ri; 0), i-1

(3.2)

wobei s ~ p(d, r, s;0) die Dichte yon r(t0 + A) bei gegebenem r(t0) = r bezeichnet. Ist Ln(0) nur schwer analytisch handhabbar (wie im Fall der P-Dynamik in (2.11)), so muss (3.2) approximiert werden. Ein Ansatz besteht darin, die Obergangsdichte p durch die Dichte einer Normalverteilung mit Mittelwert ri_l +fi(ri 1;0)Ai und Varianz a2(ri_l;0)Ai zu ersetzen. Durch Differentiation von log(Ln(0)) nach 0 ergibt sich die Bedingung 0 = Hn(0) = ~ f00fi(ri_l; 0 ) [ r i - ri_ 1 -/~(r i 1; 0)] (3.3)

i=l ~ V( ri 1; 0)

00v(ri_l; 0) q-2v2(ri_l;O)Ai[(ri-ri-l-fi(ri l;0))2--v(ri-1;

0)di] } ,

wobei v(r; 0) = a2(r; 0). Da 0aa ein Vektor ist (der partiellen Ableitungen nach 0 ~ R ~ , ftihrt (3.3) zu einem d-dimensionalen Gleichungssystem, das als L6sungen die Schatzer ~, b, 62 liefert. Hn(0) wird auch einfaehe Sehiitzfunktion genannt und ist wegen der Approximation von Mittelwert und Varianz in p nicht unverzerrt. Ftir hinreichend kleines A ist die Verwendung in der Praxis dennoch zu rechffertigen. FOr das CIR-Modell ergibt sich bei konstantem A ~fAi (ffir i = 1..... n) aus (3.3) die L6sung ~ R3 mit 197

a

l ( r ~ - r ) ~ - ~ = 1 ~ 1 - ~'~-1 r I i + n

=

ri-1

ril

(3.4)

~; =

n(rn

--

ro)

(~---~ni=1

ri_l

)-1 --

~ - ~ r~_~

ri n -t-

n A In (~-~t=lri-1)

2

-1 1n -- ~'~i=1 F~_ll_

(3.5)

=

I

r~ =~1 ri_l[ riI

1 @"~ 1 l"

--ri-1

(1~

_

ar i 1)/I] 2

(3.6)

3.3.2 Martingal-Schi~tzfunktionenUnverzerrte Sch~itzer 0 erhalten wir, wenn statt (3.3) die Gleichung 0 = Gn(0) = ~ g(Ai, r~_l, ri; 0) (3.7)

i=lgel6st wird, wobei ffir die Funktion g gilt fg(A, r, s; 0)p(A, r, s; 0)ds = 0, (3.8) for alle A, r und 0. Die Obergangsdichte p ist definiert wie in 3.3.1. Die Namensgebung rtihrt claher, dass Gn(0) ein Martingal ist, falls 0 der wahre Parameter ist. Die resultierenden Sch~itzer bleiben unverzerrt, wenn statt g eine gewichtete Summe von N Funktionen hj (j = 1..... N) verwendet wird, die ihrerseits (3.8) erf011en, d.h.

Ng(A, r, s; 0) = ~

aj(A, r; 0)hi(A, r, s; 0)

(3.9)

j-1mit beliebigen Funktionen %(A, r; 0) (j = 1..... N). Nach Scrensen (1997) k6nnen unter Regularit~itsannahmen die Funktionen aj optimal im Hinblick auf asymptotische Eigenschaften der Sch~itzer gew~ihlt werden, und d i e L6sung yon Gn(0)= 0 liefert einen konsistenten und asymptotisch normalen Sch~itzer 0~. Als eine m6gliche Wahl ftir die Funktionen hj in (3.9) skizzieren wir einen quadratischen Ansatz mit N = 2, d.h.

nGn(0) = ~

i-1

{a(Ai, ri_l; 0)[ri - F(Ai, rl 1; 0)] (3.10)

+ fl(Ai, ri_l; 0)[(ri - Z(Ai, ri 1; 0)) 2 - q~(Ai, r, 1; 0)ll.Wir schreiben abktirzend F(A, r; 0) = Eo(r(A) I r(to) = r) und

~(A, r; 0) = Varo(r(A) I r(to ) = r). Die im obigen Sinne ,,optimalen" Koeffizientenfunktionen a*(Ai, ri l; 0) und fl*(Ai, ri_6 0) in (3.10) k6nnen explizit, die entsprechenden Sch~itzer nur numerisch bestimmt werden. SCrensen verwendet daher eine Approximation der Koeffizientenfunktionen und arbeitet mit 198

n

G(0/=

~ 0o~(ri-1; 0) rr - F( ,,ri 1; 0)] i=l [ v(ri-1; O)Altl 00v(ri 1; 0) q 2v2(ri 1; 0) [(r i - F(Ai, r i

1;O))2-c~(Ai, ri_l;O)] },

(3.11)

wobei v(r: 0) = d ( r ; 0), Die Funktion Gn(0) ahnelt Hn(0) in (3.3); insbesondere bleiben die Schatzer unverzerrt. Wir setzen (~n(0) = 0 und erhalten ffir konstantes A die folgenden expliziten Sch~tzer ffir das CIR-Modell: a=lln/

2 n n 1 w - (~-~i=1 ri 1) ( ~ i = ' r ~ l )

(3.12)

| n S -'" r ~

~, Z-..~i=l ri 1 \l....~i=l ] ~l....~i=l ri 1,]

(~---~n ri~ (~---~n Z~_V "

a(ne1~ =

ri'~(3.13)

z..~i=l ri 1)

(ed2 =

ri 1(3.14)

~ - ~ 1 1-~ ( ri - F(A' ri-1; a'l~))2 ril

~ S _ 1 ~ 1 (~(A,rl 1;a, ~) ri_ 1 \mit F(A, r; fi, b) = [b - (b - ar)e-~]/a und

~b(A, r; fi, b) = ~ [(b - 2gr)e -2~ - 2(b - fir)e - ~ + b]. za

3.4 Anpassung der Preisefar NullkuponanleihenZum Zeitpunkt t = 0 seien Marktpreise p ~ p M ( 0 , rj) von Anleihen j = 1, ..., m mit Laufzeit rj gegeben. Ffir ein realitatsnahes Arbeiten sollte die Anzahl m m6glichst grog gewahlt werden. Bei j~ihrlicher Betrachtung (rj = j ) und unter Einbeziehung von 10 verschiedenen Laufzeiten (m = 10) ergibt sich aus (2.1) die Formel pM = e JRM(0'J), j = 1, ..., 10. (3.15)

Die Spot Rates R Mwerden wie in 3.2 dargestellt der Homepage der Deutschen Bundesbank entnommen. Wit efinnern an die Problematik, dass die Q-Dynamik von r in (2.7) nicht beobachtbar ist und daher keine weitere Information fiber a liefert. Desgleichen ist es nicht m6glich, einen Schatzer fiir a direkt aus den beobachteten P-Daten zu gewinnen. Aus diesen Grimden versagen Standardmethoden (Bj6rk (1996)); wir werden hier die theoretischen Preise p an die Marktpreise pM anpassen und so den Drift-Parameter a in der Q-Dynamik von r bestimmen. Die theoretischen Bondpreise sind beim CIR-Modell gem/iB (2.13) gegeben: Pi = p(0, vj, r(0)) = A(ri)e-B(Q r(). (3.16) 199

Die Sch~tzer for b und a gewinnen wir aus (3.13) und (3.14). Als Sch~itzwert fur die sofort f~illige Short Rate r(0) im Zeitpunkt 0 kann n/iherungsweise der Eintages-Zinssatz verwendet werden (siehe auch 3.2). Eine vollsthndige Anpassung der theoretischen an die beobachtete Zinsstruktur ist mit nur einem Parameter unmtiglich. Brigo, Mercurio (2001) geben Hinweise auf mOgliche Modellerweiterungen, wir stellen bier eine Methode der Kleinsten Quadrate vor, um a zu bestimmen. Danach ist ein Sch~itzwert for a gegeben durchm

= a r g m i n a ~ (Pi - p~)Li=l

(3.17)

(3.17) kann mit mathematischen Programmpaketen gelOst werden. Berechnet man nun noch)~0 wie in Schritt 4. in 3.1, so sind alle Parameter gesch~tzt. 4. S i m u l a t i o n der Zinsstrukturkurve

4.1 Stochastisches Euler-SchemaAufgrund der affinen Struktur (2.15) des CIR-Modells h~ngt die Simulation der zuk0nfligen Spot Rates von der Simulation der zuk0nftigen Short Rate r ab. Die einfachste und bekannteste Methode, eine zeitdiskrete N~iherungslOsung for die stochastische Differentialgleichung (2.11) mit Startwert r(0) zu erhalten, ist das sogenannte stochastische Euler-Schema (siehe Kloeden, Platen (1992)). Unter der Voraussetzung N ~iquidistanter Zeitintervalle A = T/N sind dann die Werte Yn der approximativen LOsung Y zu den Zeitpunkten t n = nA for (2.11) durch die Iteration Y, = Yn-1 -}- (b - bY, 1)'A + ox/Y~n-1 " V / ~ ' W n (4.18)

gegeben. Dabei sind die W . for n = 1, ..., N unabh~ingig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Es versteht sich von selbst, dass im Folgenden immer nur Schatzwerte der Variablen g, b u n d o vorliegen werden. Als Anfangswert der Iteration (4.18) setzt man Y0 = r(0).

4.2 Verwendung yon PseudozufallszahlenBei der Verwendung von Pseudozufallszahlen als ,,Realisierungen" der Zufallsvariablen W , in (4.18) muss beachtet werden, dass auch weit verbreitete Tabellenkalkulationsprogramme nur relativ kleine unveranderliche (!) Listen solcher Zahlen zur Verfiigung stellen. Dies ist bei Simulationen gr013eren Umfangs denkbar unvorteilhaft. Zur Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen verwenden wir einen sogenannten inversen kongruenten Pseudozufallszahlen-Generator (Eichenauer, Lehn (1986)). Diese A r t von Generatoren stellt im Vergleich zu g~ingigen anderen (etwa linearen Kongruenzgeneratoren) eine gute Wahl dar (siehe Hellekalek (1995)). Standardnormalverteilte Zufallsvariablen kOnnen aus gleichverteilten Zufallsvariablen mit Hilfe der Box-Muller-Methode oder der Polarmethode nach Marsaglia (z.B. Devroye (1986)) erzeugt werden.

5. M o d e l l t i b e r p r t i f u n g Dieser Abschnitt stellt Methoden vor, wie die G/~te der Sch~itzer, des Modells und der Modellannahmen getestet werden kann. Dabei wird die aus (3.17) bekannte Kalibrierung verallgemeinert. 200

5.1 Backtest fiir die SchiitzerIn 3.3.1 und 3.3.2 wurden zwei Methoden vorgestellt, die Sch~tzer far das CIR-Modell aus gegebenen Zeitreihen zu bestimmen; die Ergebnisse der Sch/itzungen sollen im Folgenden miteinander verglichen werden. Wir arbeiten hierzu mit wie in 4.1 simulierten Daten zu bekannten Parameterwerten und vergleichen diese mit den zugeh6rigen gesch~itzten Werten. Durch Wiederholung der Simulation k6nnen zudem Aussagen fiber das empirische Mittel und die Standardabweichung getroffen werden.

5.2 Test auf Normalitiit beim CIR-ModellSeien Schatzer fur a, fi, b und o gem~il3 3.3.1 und 3.3.2 gegeben. Wie in 3.3 gehen wir von n diskreten Beobachtungen r(t0), r(tl), ..., r(tn) fiir die Short Rate zu/iquidistanten Zeitpunkten to < h < ... < tn _< 0 aUS. Wir setzen r(ti) = r~ (i = 0 ..... n) und A = Ai = ti - ti_l (i _> 1). Die diskretisierte Form yon (2.11) lautet dann ri ~ ri_l + (13- ari 1)- A + o ~ . oder in/iquivalenter Form r i - - r i 1 -- (19 -- ari_m) .A AW~, i = 1 .... ,n (5.2) (l~/tl- Wt~ ~), i = 1,...,n, (5.1)

mit A~~ = VCti - Wt, ,- Falls nun die beobachtete Zeitreihe einem CIR-Modell folgt, sollte die linke Seite wegen AVi ~ N(0, A) modellgemag n/iherungsweise normalverteilt sein. Dies kann mit Standard-Verteilungstests tiberpr[ift werden, z.B. dem Kolmogorov-Smirnov-Test.

5.3 Historischer Test und KalibrierungZiel ist ein Anpassungstest ftir die gesamte historische Zinsstrukturkurve. Dazu wird die beobachtete Kurve der Bondpreise zwischen den Zeitpunkten to und tn mit den hypothetischen Werten verglichen, die sich aus dem angepassten affinen Zinsstrukturmodell (2.13) ergeben. Als MaB bilden wir den Wert MSE ~f 1 (~qTfi ~ m (p(ti, z-j,ri) -- pM (ti, Z'j))2, x-~ (5.3)

wobei p den gem/iB (2.13) modellierten Bondpreis bezeichnet, der auf den Werten r i der historischen Short Rate beruht (ti _< 0), und pra(t, r) den Marktpreis einer Nullkuponanleihe zur Zeit t mit Laufzeit r. Die unterschiedlichen Laufzeiten seien mit rl, ..., rm bezeichnet. Dabei kann r > 0 vorausgesetzt werden, da sich anderenfalls in beiden F/illen der Preis 1 ergibt. Ergibt sich ein hoher Wert in (5.3), so ist das ein Zeichen fur eine schlechte Parameterwahl, da das CIR-Modell mit diesen Parametern nicht in der Lage ist, die historischen Bondpreise ausreichend gut zu beschreiben. Wir erinnern an die Methode aus (3.17), bei der a ausschlieBlich durch die gegenw~irtigen Preise yon Nullkuponanleihen kalibriert wird. U m die gesamte Historie der Bondpreise st~irker zu ber0cksichtigen, kann durch fi = argmina MSE(a) eine historische Kalibrierung ftir a angegeben werden. Die Kalibrierung (3.17) ist ein Spezialfall der hier vorgestellten, wobei die Historie mit n = 0 und to = 0 so kurz wie nur m6glich gew~ihlt wurde. 201

Es ist auch denkbar, die Kalibrierung mit Zinsen (Spot Rates) statt mit Bondpreisen durchzuftihren, wodurch sich ein abweichender Wert for a ergeben kann. Eine fox die praktisehe Anwendung wiehtige Festlegung wird durch die Auswahl der Laufzeiten getroffen. W~ihlt man etwa j~ihrliche Laufzeiten, so bedeutet dies, dass Monatszinss~tze im Portfolio nur eine untergeordnete Rolle spielen.

6. E m p i r i s c h e

Untersuchungen

Wir benutzen die vorgestellte Theorie, um zu empirischen Aussagen fiber das CIR-Modell zu kommen. Die zuktinftige Zinsstrukturkurve wird mit den vorgestellten Sch~itzern und den kalibrierten Parameterwerten des CIR-Modells simuliert. Die Modelliiberprtifungen aus Abschnitt 5 werden eingesetzt, zus~itzlich wird ein Vergleich der beiden in 3.3 vorgestellten Schatzverfahren vorgenommen. Wie in 3.2. angegeben werden Zeitreihen der Deutschen Bundesbank benutzt. Die verwendeten Monatsdaten entstammen dem Zeitraum September 1972 bis Dezember 2001; damit liegen 352 historische Werte der Short Rate vor. Aus Konsistenzgr0nden wurde das gleiche Zeitintervall (mit d = 1/12) auch fox die Simulation verwendet (vgl. (4.18)). U m Fehlschltisse zu vermeiden, die mit dem gew~ihlten Zeitfenster zusammenh/ingen, betrachten wir neben der kompletten Historie (1972-2001) auch den Zeitraum ab 1975 (nach der Olkrise), sowie ab 1985 (10 Jahre sp~ter) und ab 1991 (Zehnjahreszeitraum bis 2001). Jedes Szenario wird mit beiden Sch~itzmethoden untersucht, so dass insgesamt 8 Falle betrachtet werden.

6.1 Simulation der Zinsstrukturkurve Wir fiahren die Datenanalyse zunachst exemplarisch f0x den vollen Zeitraum 1972 bis 2001 und einfache Sch~itzfunktionen vor. Gem~il3 3.3.1 erhalten wir die Sch~itzer ~ ~ 0.97351, 13 0.05638 und 6 ~ 0.15415. Aus diesen Schatzern ergibt sich ein Level fox die Mean Reversion der Prozesse yon 1~/~ ~ 0.05792, d.h. das langfristige Mittel ftir die Short Rate liegt bei 5.792%. Tabelle 1 gibt die im Dezember 2001 am Markt angebotenen Zinsen RM(0, i) (wie in (3.15)) wieder.

Tabelle 1: Marktzinss~itze RM(0, i), Dezember 2001 1 Jahr 0.0332 2 Jahre 0.0370 3 Jahre 0.0403 4 Jahre 0.0430 5 Jahre 0.0452 6 Jahre 0.0469 7 Jahre 8 Jahre 9 Jahre I Jahre 10 0.0483 0.0494 0.0504 I 0.0512

Der Schatzer ~ wird gem/~13 (3.17) durch Anpassen der Preiskurve fiir Nullkuponanleihen bestimmt. Statt MSE(a) minimieren wir /iquivalent dazu ~ und erhalten ~ 1.10054. Abbildung I zeigt die historische Zinsstrukturkurve im Zeitraum September 1972 bis Dezember 2001 und ihre Fortsetzung durch einen simulierten Pfad fox die Short Rate von Januar 2002 bis Dezember 2011. Dieser Pfad wurde durch das stochastische Euler-Schema (aus 4.1) unter Benutzung der oben genannten Parameter erhalten. Verwendete Laufzeiten waren 0 bis 10 Jahre in Jahresschritten. Die Kurve bei der Laufzeit 0 zeigt den Short Rate Prozess. Aus (2.15) folgt, dass durch das Verhalten der Short Rate die gesamte Zinsfl/iche beim CIR-Modell vollst/indig festgelegt ist. Die simulierten Daten zeigen ein anderes 202

0.18 0.16 0.14 0.12Rate

0.I 0.08 0.06i 0.04 0.02 o2 100 200 300 400 0 2 Maturity

Countof MonthssinceSeptember1972 Abbildung 1. Historische Zinsstrukturkurve/-oberfl~iche (bis Monat 352) mit nachfolgender Stimulation (120 Monate zus~itzlicla).

Verhalten als die historischen Daten, vielleicht als Konsequenz der sehr hohen Volatilit~it zu Beginn der Beobachtung. FUr lange Laufzeiten ist die Zinsstrukturkurve fast konstant und zu flach ft~r Prognosen (vgl. (2.16)).

6.2 Vergleich der SchiitzmethodenWir benutzen den in 5.1 eingeftihrten Backtest, um die beiden Schatzmethoden aus 3.3 in ihrer Giite zu vergleichen. Dazu geben wir als ,,reale Werte" for das CIR-Modell a = 1.0, b = 0.05, o = 0.15 und den Anfangswert r0 = 0.05 vor. Wir simulieren 500 Pfade mit je 350Monaten Lange auf Tagesbasis (d.h. L~inge 350 x 30 mit A = 1/360), wobei die Berechnung der Sch~itzer auf den 350 Monatsschlusskursen basiert. Beide Sch~itzverfahren liefern far a, b u n d c r ein Ergebnis, das sehr nab am tatsachlichen Wert liegt. Beim langfristigen Mittel 1~/~ unterscheiden sich die beiden Sch~itzverfahren erst in der 6. Dezimalstelle. Im Gegensatz zur Literatur sind bei dieser Studie die dutch die einfachen Sch~tzfunktionen gewonnenen Sch~itzer geringftigig besser. Die Ergebnisse fttr die realen Bonddaten sind for die unterschiedlichen Zeitfenster in Tabelle 2 zusammengestellt. In der 1. Zeile sind noch einmal die Daten aus 6.1 angegeben. Dabei steht ,,E" fiir einfache, ,,M" for Martingal-Sch~itzfunktionen.Auch hier bemerken wir, wie nah die Ergebnisse beider Methoden beieinander liegen. Bei allen Parametern liegen die dutch die einfachen Sch~itzfunktionen gewonnenen Schatzer unterhalb der Werte, die dutch die Martingal-Sch~itzfunktionengewonnen wurden. Beim Zeitfenster 1985-2001 sieht man deutlich einen m6glichen Effekt, wenn mit flachen Zeitreihen gearbeitet wird: fi liefert negative Werte, was im CIR-Modell nicht zugelassen ist. Bei kleiner werdendem Datenumfang nimmt zudem die Differenz zwischen dem theoretischen Mittel (Mean Reversion Level geschatzt durch 1~/~) und dem arithmetischen Mittel der monatlichen Zeitreihen (in der letzten Spalte) deutlich zu.

6.3 Test auf NormalverteilungIm Kontext von 5.2 fiihren wir einen Kolmogorov-Smirnov-Test durch, um die Nullhypothese H o :AVei ~ N(0, 1/12) zu verifizieren. Dabei ist m~/i, i = 1.... , n gegeben wie in (5.2). 203

Tabelle2: Sch~itzer und kalibrierte Werte ftir verschiedene Zeitintervalle; E(M) steht fur die Sch~itzmethode: einfache (Martingal-)Sch~itzfunktionen Data 1972-2001E 1972-2001M 1975-2001E 1975-2001M 1985-2001E 1985-2001M 1991-2001E 1991-2001M ~ 0.97351 1.01527 0.37499 0.38098 0.07587 0.07611 0.17642 0.17773 6 0.05638 0.05880 0.01926 0.01957 0.00266 0.00267 0.00434 0.00438 d 0.15415 0.16010 0.06953 0.07059 0.03430 0.03442 0.02799 0.02824 5 1.10054 1.15061 0.32725 0.33374 - 0.03248 - 0.0323 0.00687 0.00773 6/~ 0.05792 0.05792 0.05137 0.05137 0.03512 0.03512 0.02462 0.02462 mean 0.05838 0.05838 0.05565 0.05565 0.05217 0.05217 0.05153 0.05153

Wir ftihren den Test wieder far die verschiedenen Zeitfenster durch und v e r w e n d e n dabei P a r a m e t e r aus beiden Sch~itzmethoden (vgl. 3.3). W i e d e r u m liegen die Ergebnisse der beiden Sch~itzmethoden nah beieinander. Trotz an sich guter Anpassung von Mittelwert und Varianz wird die Nullhypothese for alle Szenarien auBer dem bei 1991 beginnenden Zeitfenster abgelehnt. In 6.2 wurde allerdings ausgeftihrt, dass sich bei diesem Zeitintervall wegen des geringen Datenumfangs keine guten Sch/atzwerte ergeben.

6.4 Historischer Test und KalibrierungWir wenden die in 5.3 eingeftihrten historischen Tests und Kalibrierungen auf die M o d e l l p a r a m e t e r an, die wegen der geringen Unterschiede hier nur mit Hilfe der einfachen Schatzfunktionen gesch/itzt wurden. Die Ergebnisse sind in Tabelle 3 zusammengefasst.

Tabelle 3: Vergleich urspriinglicher und historischer Kalibrierung mit Sch~itzwerten ~t, I~ und 6

Data 1972-2001E 1975-2001E 1985-2001E 1991-200lE

~ 0.97351 0.37499 0.07587 0.17642

t=0 1.10054 0.32725 - 0.03248 0.00687

hist. 0.74579 0.22914 - 0.00563 0.03577

t =0 0.08884 0.06013 0.05443 0.05234

hist. 0.04752 0.03839 0.04929 0.04727

In der 5. Spalte sieht m a n die Wurzel aus d e m mittleren quadratischen Fehler wie in (5.3) definiert, for Laufzeiten von 1 bis 10 Jahren. D e r P a r a m e t e r a wurde durch die ursprtingliche Kalibrierung (im Zeitpunkt t = 0) aus (3.17) bestimmt. Vergleichen wit die Werte ftir Mv/MSE mit d e m Verlauf der historischen Kurve in Abbildung 1, so stellen wir fest, dass eine hohe Volatilit~it auch einen h6heren Fehler bewirkt. E i n e Einsch~itzung der Werte wird erleichtert, wenn wir uns klar machen, dass sich etwa ftir eine Laufzeit von 1 Jahr eine Differenz von 0.05 oder 0.08 in den Bondpreisen ziemlich direkt in eine gleich groBe Differenz in den Spot Rates 204

tibertr~igt. Auch wenn dieser Effekt ftir andere Laufzeiten anders aussieht, macht das Beispiel klar, dass die durch das CIR-Modell induzierten Zinsstrukturkurven nicht realit~itsnah sind. Bei den Kalibrierungsmethoden erhalten wir for die Zeitintervalle von 1972 und 1975 bis 2001 einen fast doppelt so hohen Fehler bei Anwendung der ursprtinglichen Methode aus (3.17). Definitionsgem~iB liefert die historische Kalibrierung den besten Fit, auch wenn die Werte von ~ diese Tatsache hier nicht sehr stark unterstreichen. Die Tabelle zeigt aul3erdem geringe Abweichungen zwischen den Ergebnissen fur Mv/-MSEin den Zeitintervallen 1985-2001 und 1991-2001. Dies kann auf die geringe Volatilit~it der Short Rate in diesen Zeitintervallen zurt~ckgeftihrt werden. Wir weisen darauf hin, dass die verschiedenen Werte ~, die man mit den unterschiedlichen Kalibrierungsmethoden gewinnt, zu recht unterschiedlichen Zinsstrukturkurven ft~hren k6nnen, da der Parameter a aus der Martingaldynamik in die affine Struktur des CIRModells direkt eingeht.

7. Z u s a m m e n f a s s u n g Das Cox-Ingersoll-Ross Modell ist ein unter Aktuaren beliebtes Modell fiir stochastische Zinsen, weil es positive Zinss~itze garantiert. Es bildet den deutschen Rentenmarkt jedoch nicht zutreffend ab. Die modellierten Zinsen (2.15) am langen Ende konvergieren zu schnell. Generell ist die durch CIR gegebene Zinsoberfl~iehe zu flach. Als Short Rate-Modell muss das CIR-Modell eine gute Beschreibung der Dynamik sofort f~illiger Bonds liefern. Weder der Kolmogorov-Smirnov-Test noch die Abbildung 1 vermitteln den Eindruck einer mit der Realit~it tibereinstimmenden Dynamik. Die erw~ihnten Unzul~inglichkeiten sind unabhangig von der verwendeten Sch~itzmethode. Die besten Ergebnisse im historischen Test werden per Definition mit der verallgemeinerten (historischen) Kalibrierung erzielt, jedoeh sind auch diese nicht gut. Wenn fiir aktuarielle Zwecke mit dem CIR-Modell fur den deutschen Rentenmarkt gearbeitet werden soll, so muss die Dynamik yon mindestens zwei Faktoren getrieben werden. Mit nut einem Faktor kSnnen keine realistischen zuktinftigen Szenarien erzeugt werden.

LITERATUR [1] T. BjOrk (1996): Interest Rate Theory. Springer Lecture Notes in Mathematics No. 1656, 53-122. [2] D. Brigo und F. Mercurio (2001): Interest Rate Models - Theory and Practice. Springer. [3] J. Cox, J. Ingersoll und S. Ross (1985): A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica 53, 385- 407. [4] Deutsche Bundesbank (1997): Sch~itzungvon Zinsstrukturkurven. Monatsbericht Oktober, 61-66. [5] J. Eichenauer und J. Lehn (1986): A Non-linear Congruential Pseudo Random Number Generator. Statistical Papers 27, 315-326. [6] T. Fischer, A. May und B. Walther (2004): Anpassung eines CIR-k-Modells zur Simulation der Zinsstrukturkurve. Erscheint in: Bl~itter der DGVFM. [7] P. Hellekalek (1995): Inversive Pseudorandom Number Generators: Concepts, Results and Links, Proceedings of the 1995 Winter Simulation Conference, 255- 262. [8] P. E. Kloeden und E. Platen (1992): Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer. 205

[9] P. Protter (1995): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer. [10] M. Scrensen (1997): Estimating Functions for Discretely Observed Diffusions: A Review. Basawa, I. V., Godambe, V. E and Taylor, R. L. (ed~): Selected Proceedings of the Symposium on Estimating Functions. IMS Lecture Notes - Monograph Series, Vol. 32, 305-325. [11] L. E. O. Svensson (1994): Estimating and Interpreting forward Interest Rates. Sweden 19921994, IWF Working Paper 114, September.

Zusammenfassung Anpassung eines CIR-1-Modells zur Simulation der Zinsstrukturkurve Die Arbeit beschreibt die Simulation zukanftiger Bondpreise durch ein Cox-Ingersoll-Ross-Modell (CIR-Modell) far Zinsen, das von einem treibenden Faktor abh~ngt. Die Methoden zur Parametersch~itzung und Kalibrierung werden mit expliziten Formeln dargestellt. Als Datenquelle dient der Zeitreihen-Service der Deutschen Bundesbank. Wit geben verschiedene Modellaberprafungen an und wenden sic auf das CIR-Modell an. Im Ergebnis muss das Modell mit nut einem Faktor fur den deutschen Rentenmarkt abgelehnt werden

Summary Simulation of the yield curve: checking a CIR-l-model We give a complete description of a simulation of future bond prices by a one-factor Cox-IngersollRoss (CIR) interest rate model. Explicit methods and formulas are provided, the time series service of the German Federal Reserve is used as data source. Several model checks are developed and applied to the CIR model. As a result, the model has to be rejected for the German debt securities market.

206