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Approximation unabhangiger Mengen inGraphen mit dem Greedy Algorithmus

(Teil 2)

Matthias Baumgart

[email protected]

Chemnitz, 9. Dezember 2003

1

Gliederung

1. Der MIN-Greedy Algorithmus

1

Gliederung


2. Die Gute des MIN-Greedy

1

Gliederung



1.1. Obere Schranken

1

Gliederung




bezuglich des maximalen Knotengrades ∆

1

Gliederung




bezuglich des maximalen Knotengrades ∆bezuglich des durchschnittlichen Knotengrades d

1

Gliederung





1.2. Untere Schranken

1

Gliederung





1.2. Untere Schranken

3. Demonstration einer Implementierung des MIN-Greedy in Java

2

Der MIN-Greedy Algorithmus

MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅

2


MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅2 while V 6= ∅ do3 wahle v ∈ V mit d(v) = minw∈V {d(w)}

2


MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅2 while V 6= ∅ do3 wahle v ∈ V mit d(v) = minw∈V {d(w)}4 IGr ← IGr ∪ {v}

2


MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅2 while V 6= ∅ do3 wahle v ∈ V mit d(v) = minw∈V {d(w)}4 IGr ← IGr ∪ {v}5 V ← V \ ({v} ∪N(v))

2


MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅2 while V 6= ∅ do3 wahle v ∈ V mit d(v) = minw∈V {d(w)}4 IGr ← IGr ∪ {v}5 V ← V \ ({v} ∪N(v))6 E ← E \ {e : e ∈ E und e ∩ ({v} ∪N(v)) 6= ∅}

2


MIN-Greedy(G = (V,E))1 IGr ← ∅2 while V 6= ∅ do3 wahle v ∈ V mit d(v) = minw∈V {d(w)}4 IGr ← IGr ∪ {v}5 V ← V \ ({v} ∪N(v))6 E ← E \ {e : e ∈ E und e ∩ ({v} ∪N(v)) 6= ∅}7 return IGr

3

Obere Schranke der Gute bezuglich ∆

Satz 1 Sei ∆ der maximale Grad des Graphen G = (V,E). Danngilt fur die Gute des MIN-Greedy

RGr(G) ≤ ∆ + 23

.

3

Obere Schranke der Gute bezuglich ∆

Satz 1 Sei ∆ der maximale Grad des Graphen G = (V,E). Danngilt fur die Gute des MIN-Greedy

RGr(G) ≤ ∆ + 23

.

Beweis: Teil 1. 2

4

Obere Schranke der Gute bezuglich d

Satz 2 Sei d der Durchschnittsgrad eines Graphen G = (V,E).Dann gilt fur die Gute des MIN-Greedy

RGr(G) ≤ d + 22

.

4

Obere Schranke der Gute bezuglich d

Satz 2 Sei d der Durchschnittsgrad eines Graphen G = (V,E).Dann gilt fur die Gute des MIN-Greedy

RGr(G) ≤ d + 22

.

Beweis: In Teil 1 des Vortrages wurde bewiesen, dass

|IGr| ≥(1 + τ2) · nd + 1 + τ

gilt.

5

Eine maximale unabhangige Menge hat die Kardinalitat α = τ ·n.

5

Eine maximale unabhangige Menge hat die Kardinalitat α = τ ·n.Fur die Gute gilt also:

RGr(G) ≤ (τ · n) · (d + 1 + τ)(1 + τ2) · n

5


RGr(G) ≤ (τ · n) · (d + 1 + τ)(1 + τ2) · n

=d · τ + τ + τ2

1 + τ2

5


RGr(G) ≤ (τ · n) · (d + 1 + τ)(1 + τ2) · n

=d · τ + τ + τ2

1 + τ2

= f(τ) .

5


RGr(G) ≤ (τ · n) · (d + 1 + τ)(1 + τ2) · n

=d · τ + τ + τ2

1 + τ2

= f(τ) .

Die Funktion f(τ) ist im Intervall (0, 1] monoton steigend undnimmt ihr Maximum fur τ = 1 an.

5


RGr(G) ≤ (τ · n) · (d + 1 + τ)(1 + τ2) · n

=d · τ + τ + τ2

1 + τ2

= f(τ) .

Die Funktion f(τ) ist im Intervall (0, 1] monoton steigend undnimmt ihr Maximum fur τ = 1 an.

Damit gilt

RGr(G) ≤ d + 22

.2

6

Untere Schranken der Gute

Die vorgestellten oberen Schranken der Gute des MIN-Greedy

Algorithmus konnen nicht wesentlich verbessert werden.

6




Satz 3 Es gibt Graphen G = (V,E) mit maximalem Knotengrad∆ ≥ 3, so dass fur die Gute des MIN-Greedy Algorithmus

RGr(G) ≥ ∆ + 23−O(∆2/n)

gilt.

6




Satz 3 Es gibt Graphen G = (V,E) mit maximalem Knotengrad∆ ≥ 3, so dass fur die Gute des MIN-Greedy Algorithmus

RGr(G) ≥ ∆ + 23−O(∆2/n)

gilt.

Beweis: Wir konstruieren in Abhangigkeit von ∆ mod 3 Graphen,so dass keine bessere Gute erreichen kann.

7

Fall 1: Es sei ∆ ≡ 1 mod 3.

7


Konstruiere fur einen Parameter j ≥ 2 einen Graphen, der auseiner Kette von Teilgraphen der Form

Kj — Kj

besteht.

7



Kj — Kj

besteht.

Jede Clique ist vollstandig mit der nachsten unabhangigen Mengeverbunden.

7



Kj — Kj

besteht.


Die Knoten der unabhangigen Menge eines Teilgraphen werden –bis auf ein perfektes Matching – vollstandig mit der Clique desnachsten Teilgraphen verbunden.

8

Den Abschluss bildet eine Clique Kj, die vollstandig mit der letztenunabhangigen Menge verbunden ist.

8

Den Abschluss bildet eine Clique Kj, die vollstandig mit der letztenunabhangigen Menge verbunden ist.

Ein vollstandiger Graph aus 2 Teilgraphen fur den Parameter j = 3hat folgende Gestalt:

9

Tabelle der Knotengrade:

9


KnotengradKnoten der ersten Clique 2j − 1Knoten der abschließenden Clique 2j − 1Knoten aller anderen Cliquen 3j − 2Knoten der letzten unabhangigen Menge 2j

Knoten aller anderen unabhangigen Mengen 2j − 1

10

|IGr| =n− j

2j+ 1

10

|IGr| =n− j

2j+ 1

|Imax| =n− j

2

11

Fur die Gute gilt also

RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

11


RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

= j − 2j2

n + j.

11


RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

= j − 2j2

n + j.

Der Maximalgrad ist ∆ = 3j − 2.

11


RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

= j − 2j2

n + j.

Der Maximalgrad ist ∆ = 3j − 2. Also gilt

RGr(G) ≥ j − 2j2

n + j

11


RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

= j − 2j2

n + j.


RGr(G) ≥ j − 2j2

n + j

=∆ + 2

3− 2 · ((∆ + 2)/3)2

n + (∆ + 2)/3

11


RGr(G) ≥ (n− j)/2(n− j)/(2j) + 1

= j − 2j2

n + j.


RGr(G) ≥ j − 2j2

n + j

=∆ + 2

3− 2 · ((∆ + 2)/3)2

n + (∆ + 2)/3

=∆ + 2

3−O(∆2/n) .

12


12



Kj−1 — Kj — Kj−1 — Kj — Kj — Kj−1

besteht.

12



Kj−1 — Kj — Kj−1 — Kj — Kj — Kj−1

besteht.


Die Verbindung einer unabhangigen Menge mit der nachsten Cli-que ist – bis auf ein einzelnes maximales Matching – vollstandig.

12



Kj−1 — Kj — Kj−1 — Kj — Kj — Kj−1

besteht.


Die Verbindung einer unabhangigen Menge mit der nachsten Cli-que ist – bis auf ein einzelnes maximales Matching – vollstandig.

In dieser Weise erfolgt auch die Verbindung zweier Teilgraphen.

13

Die Kette wird mit einer Clique Kj−1 abgeschlossen.

14


14


KnotengradKnoten der ersten Clique 2j − 2Knoten der abschließenden Clique 2j − 2Knoten aller anderen Cliquen 3j − 3Knoten der letzten unabhangigen Menge 2j − 1Knoten aller anderen unabhangigen Mengen 2j − 2

15

|IGr| = 3 · n− j + 16j − 3

+ 1

15

|IGr| = 3 · n− j + 16j − 3

+ 1

|Imax| = (3j − 1) · n− j + 16j − 3

16

Damit erhalten wir fur die Gute

RGr(G) ≥ (3j − 1) · (n− j + 1)/(6j − 3)3(n− j + 1)/(6j − 3) + 1

16


RGr(G) ≥ (3j − 1) · (n− j + 1)/(6j − 3)3(n− j + 1)/(6j − 3) + 1

=3j − 1

3− 6j2 − 5j + 1

3n + 3j.

16


RGr(G) ≥ (3j − 1) · (n− j + 1)/(6j − 3)3(n− j + 1)/(6j − 3) + 1

=3j − 1

3− 6j2 − 5j + 1

3n + 3j.


Also gilt

RGr(G) ≥ ∆ + 23− 2∆2/3 + 8∆/3− 3

3n + ∆ + 3

16


RGr(G) ≥ (3j − 1) · (n− j + 1)/(6j − 3)3(n− j + 1)/(6j − 3) + 1

=3j − 1

3− 6j2 − 5j + 1

3n + 3j.


Also gilt

RGr(G) ≥ ∆ + 23− 2∆2/3 + 8∆/3− 3

3n + ∆ + 3

=∆ + 2

3−O(∆2/n) .

17


17



Kj−1 — Kj+1 — Kj — Kj — Kj — Kj .

besteht.

17



Kj−1 — Kj+1 — Kj — Kj — Kj — Kj .

besteht.

Jede Clique wird vollstandig mit der nachsten unabhangigen Men-ge verbunden.

17



Kj−1 — Kj+1 — Kj — Kj — Kj — Kj .

besteht.

Jede Clique wird vollstandig mit der nachsten unabhangigen Men-ge verbunden.

Die unabhangigen Mengen sind – bis auf ein einzelnes maximalesMatching – vollstandig mit der nachsten Clique verbunden.

18

Zwei Teilgraphen werden verbunden, indem die letzte unabhangigeMenge eines Teilgraphen vollstandig mit der ersten Clique desnachsten Teilgraphens verbunden wird.

18


Die Kette wird mit einer Clique Kj abgeschlossen.

18




19


19


KnotengradKnoten der ersten Clique 2j − 1Knoten der abschließenden Clique 2j − 1Knoten aller anderen Cliquen 3j − 1Knoten der letzten unabhangigen Menge 2j

Knoten aller anderen unabhangigen Mengen 2j − 1

20

|IGr| = 3 · n− j

6j+ 1

20

|IGr| = 3 · n− j

6j+ 1

|Imax| = (3j + 1) · n− j

6j

21


RGr(G) ≥ (3j + 1) · (n− j)/(6j)3(n− j)/(6j) + 1

21


RGr(G) ≥ (3j + 1) · (n− j)/(6j)3(n− j)/(6j) + 1

=3j + 1

3− 6j2 + 2j

3n + 3j.

21


RGr(G) ≥ (3j + 1) · (n− j)/(6j)3(n− j)/(6j) + 1

=3j + 1

3− 6j2 + 2j

3n + 3j.


Also gilt

RGr(G) ≥ ∆ + 23− 2∆2/3 + 2∆ + 4/3

3n + ∆ + 1

21


RGr(G) ≥ (3j + 1) · (n− j)/(6j)3(n− j)/(6j) + 1

=3j + 1

3− 6j2 + 2j

3n + 3j.


Also gilt

RGr(G) ≥ ∆ + 23− 2∆2/3 + 2∆ + 4/3

3n + ∆ + 1

=∆ + 2

3−O(∆2/n) . 2

22

Satz 4 Es gibt Graphen G = (V,E) mit durchschnittlichem Kno-tengrad d, so dass fur die Gute des MIN-Greedy Algorithmus

RGr(G) ≥ d + 22−O(1/d)

gilt.

22


RGr(G) ≥ d + 22−O(1/d)

gilt.

Beweis: Konstruiere fur einen Parameter j ≥ 2 einen Graphen,der aus einer Kette von Teilgraphen der Form

K1 — Kj

besteht.

22


RGr(G) ≥ d + 22−O(1/d)

gilt.

Beweis: Konstruiere fur einen Parameter j ≥ 2 einen Graphen,der aus einer Kette von Teilgraphen der Form

K1 — Kj

besteht.

Die Anzahl h der Teilgraphen soll dabei wesentlich großer als derParameter j sein.

23


23


Die Verbindung der einzelnen Teilgraphen geschieht nun so:

23



1. Fur die ersten h− j + 1 Teilgraphen gilt:

23




Jeder Knoten der j-elementigen unabhangigen Menge eines Teil-graphens wird mit den einzelnen (Cliquen)-Knoten der j−1 nach-folgenden Teilgraphen verbunden.

23





2. Fur die letzten j − 1 Teilgraphen gilt:

23






Verbinde so weit wie moglich analog zu Punkt 1.

23






Verbinde so weit wie moglich analog zu Punkt 1.

Verbinde die j unabhangigen Knoten des i’ten letzten Teilgraphensdurch j − i paarweise verschiedene Matchings mit den j Knotender letzten Clique.

24


25


25


KnotengradKnoten der ersten Clique K1 j

Knoten aller unabhangigen Mengen Kj j

Knoten der abschließenden Clique Kj (j − 1) +∑j−1

i=1 i

Knoten der i’ten Clique K1 fur i = 2, . . . , j − 1 i · jKnoten aller anderen Cliquen K1 j2

26

|IGr| = h + 1

26

|IGr| = h + 1

|Imax| = j · h

27

Die Gute ist also

RGr(G) ≥ h · jh + 1

= j − o(1) .

27

Die Gute ist also

RGr(G) ≥ h · jh + 1

= j − o(1) .

Berechnung des Durchschnittsknotengrades d:

d · n = j · j · h + j ·

((j − 1) +

j−1∑i=1

i

)+

j−1∑i=1

i · j + (h− j + 1) · j2

27

Die Gute ist also

RGr(G) ≥ h · jh + 1

= j − o(1) .


d · n = j · j · h + j ·

((j − 1) +

j−1∑i=1

i

)+

j−1∑i=1

i · j + (h− j + 1) · j2

= h · j2 + j · (j − 1) + j · j · (j − 1) + j2 · (h− j + 1)

27

Die Gute ist also

RGr(G) ≥ h · jh + 1

= j − o(1) .


d · n = j · j · h + j ·

((j − 1) +

j−1∑i=1

i

)+

j−1∑i=1

i · j + (h− j + 1) · j2

= h · j2 + j · (j − 1) + j · j · (j − 1) + j2 · (h− j + 1)

⇐⇒ d =2h · j2 + j2 − j

h · (j + 1) + j

27

Die Gute ist also

RGr(G) ≥ h · jh + 1

= j − o(1) .


d · n = j · j · h + j ·

((j − 1) +

j−1∑i=1

i

)+

j−1∑i=1

i · j + (h− j + 1) · j2

= h · j2 + j · (j − 1) + j · j · (j − 1) + j2 · (h− j + 1)

⇐⇒ d =2h · j2 + j2 − j

h · (j + 1) + j

= 2j − 2 +2

j + 1− o(1) .

28

Nach j umstellen:

28

Nach j umstellen:

j ≥ d + 22− 1

j + 1

28

Nach j umstellen:

j ≥ d + 22− 1

j + 1

≥ d + 22− 2

d + 2

28

Nach j umstellen:

j ≥ d + 22− 1

j + 1

≥ d + 22− 2

d + 2

=d + 2

2−O(1/d) .

28

Nach j umstellen:

j ≥ d + 22− 1

j + 1

≥ d + 22− 2

d + 2

=d + 2

2−O(1/d) .

Damit gilt

RGr(G) ≥ d + 22−O(1/d) .

2

29

Literatur

[1] M. M. Halldorsson und J. Radhakrishnan, Greed is Good: Appro-

ximating Independent Sets in Sparse and Bounded-degree Graphs,

Proc. Twenty-Sixth Annual ACM Symp. on the Theory of Com-

puting, Canada, 439-448, 1994.

[2] M. M. Halldorsson und J. Radhakrishnan, Greed is Good: Appro-

ximating Independent Sets in Sparse and Bounded-degree Graphs,

Algorithmica, Springer Verlag, New York, 145-163, 1997.

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