Arbeitsfassung Lambacher Schweizer 8€¦ · Bundesland Lambacher Schweizer 8 Lambacher Schweizer...

Bundesland

8Lambacher SchweizerMathematik fuumlr Gymnasien La

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Baden-Wuumlrttemberg

Loumlsungen

ArbeitsfassungStand September 2017

Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN 978-3-12-733383-1

DO01_3-12-733383_BW_8_LOES_Umschlagindd 1 15092017 142505

I Terme und Gleichungen L 1

Schuumllerbuchseiten xx ndash xx

I Terme mit mehreren Variablen

1 Terme mit mehreren Variablen

Seite 6

EinstiegsaufgabebdquoHundldquo 30 Flaumlchen sind sichtbarTerm 6 middot w Der Term beschreibt die Gesamtzahl der Flaumlchen von w Wuumlrfeln Pro Klebestelle werden zwei Flaumlchen unsichtbar also sind 6 middot w ndash 2 middot f Flaumlchen sichtbarbdquoGiraffeldquo 62 Flaumlchen sind sichtbarw = 15 f = 14bdquoFischldquo 82 Flaumlchen sind sichtbarw = 26 f = 37

Seite 7

1a) x + y = 3 + 5 = 8b) y ndash x = 5 ndash 3 = 2c) x middot y = 3 middot 5 = 15d) y ndash 2x = 5 ndash 2 middot 3 = 5 ndash 6 = ndash 1e) 2 middot (x + y) = 2 middot (3 + 5) = 2 middot 8 = 16f) 2y ndash 3 x = 2 middot 5 ndash 3 middot 3 = 10 ndash 9 = 1g) 3 middot (y ndash x) = 3 middot (5 ndash 3) = 3 middot 2 = 6h) 2 x y = 2 middot 3 middot 5 = 30

2a) 2 middot 2 ndash (2 ndash 4) 2 = 4 ndash (ndash 2) 2 = 4 ndash 4 = 0b) 2 middot 7 ndash (7 ndash 7) 2 = 14 ndash 0 2 = 14c) 2 middot (ndash 2) ndash (ndash 2 ndash 6) 2 = ndash 4 ndash (ndash 8) 2 = ndash 4 ndash 64 = ndash 68d) 2 middot 2 ndash (2 ndash (ndash 3) ) 2 = 4 ndash 5 2 = 4 ndash 25 = ndash 21

3a) 4 middot 1 _ 2 ndash 15 middot 1 _ 3 = 2 ndash 5 = ndash 3

b) 1 _ 7 middot 4 + 3 middot 1 _ 7 = 4 _ 7 + 3 _ 7 = 1

c) 5 middot 0 4 2 middot 5 = 25 middot 016 = 4d) 3 middot 02 + 7 middot 02 = 06 + 14 = 2

e) 1 _ 4 middot 1 2 middot 1 _ 2 + ( 1 _ 2 ) 2 = 1 _ 8 + 1 _ 4 = 3 _ 8

f) 2 middot 1 _ 3 ndash 5 middot (04) 2 = 2 _ 3 ndash 4 _ 5 = ndash 2 _ 15

4a) Term 6 + 4 middot c + 2 middot d + 4

Berechnung fuumlr c = 12 d = 27 6 + 4 middot 12 + 2 middot 27 + 4 = 112 Das Muster hat 112 Perlen

b) Term fuumlr den Flaumlcheninhalt A = 8 b + (a ndash b) middot (8 ndash (a ndash b) ) oder A = 8 a ndash (a ndash b) 2 Berechnung fuumlr a = 10 und b = 6 A = 64 Der Flaumlcheninhalt der farbigen Figur betraumlgt 64 FETerm fuumlr den UmfangU = 8 + b + (a ndash b) + (a ndash b) + (8 ndash (a ndash b) ) + aBerechnung fuumlr a = 10 und b = 6 U = 36 Der Umfang der farbigen Figur betraumlgt 36 LE

5Erste Zahl aZweite Zahl bTerm a 2 + 5 middot (a + b)

Seite 8

8Term x middot (y + 5) 2 ndash 3 y 2 + 4 xDer Term wurde mit folgenden Zahlen belegtA x = 5 y = 2B x = 4 y = 1C x = 1 _ 4 y = 3

9

x 1 _ 2 07 ndash 04 4

y 2 _ 3 ndash 12 ndash 3 _ 5 5 _ 6

2 ( x 2 ndash 3 y) ndash 7 _ 2 818 392 27

2 x ndash (6 y ndash 4 x) 2 ndash 3 ndash 986 ndash 48 ndash 113

10a) Volumen V = a middot b middot c

Kantenlaumlnge K = 4 a + 4 b + 4 c Oberflaumlcheninhalt O = 2 a b + 2 a c + 2 b c

b) Volumen V = a middot c 2 Kantenlaumlnge K = 4 a + 8 c Oberflaumlcheninhalt O = 4 a c + 2 c 2

c) Volumen V = a middot b middot c + a middot c 2 Oberflaumlcheninhalt O = 2 middot (a c + a b) + 2 b c + 2 middot (2 a c) oder O = 2 a b + 2 a c + 2 b c + 4 a c + 2 c 2 ndash 2 c 2 (Summe der Oberflaumlcheninhalte der beiden Quader minus nichtsichtbare Flaumlchen) oder O = 2ab + 6ac + bc + c 2 + (b ndash c) middot c

11p = 05

5 Jahre K = 100 middot (1 + 05

_ 100 ) 5 asymp 10253

10 Jahre K = 100 middot (1 + 05

_ 100 ) 10

asymp 10511

Bei einem Zinssatz von 05 hat man nach 5 Jahren 10253 euro nach 10 Jahren 10511 europ = 1

5 Jahre K = 100 middot (1 + 1 _ 100 ) 5 asymp 10510

10 Jahre K = 100 middot (1 + 1 _ 100 ) 10

asymp 11046

Bei einem Zinssatz von 1 hat man nach 5 Jahren 10510 euro nach 10 Jahren 11046 euro

13a) U = 3 n a ndash 2 m a b) U = 6 n a ndash 2 m a

L 2 I Terme und Gleichungen


14individuelle Loumlsung zum Beispiela) 1 + x 2 + y 2 oder 1 + (x + y) 2 oder 1 + (x y) 2 b) ndash x middot ( y 2 + 1)

15a) 100 a + 10 b + c

(0 le b c le 9 1 le a le 9)b) 1000 a + 100 b + 10 b + a

(0 le b le 9 1 le a le 9)c) 50 000 + 1000 b + 100 c + 10 b + 5 (0 le b c le 9)

2 Vereinfachen von Summen und Produkten

Seite 9

EinstiegsaufgabeZu den Maszligen des Geschenkpapiers gehoumlren die Laumlnge sowie die BreiteLaumlnge des Geschenkpapiers

2 b + 2 c + 1 _ 2 b = 25 b + 2 c

Breite des Geschenkpapiers a + 15 cLaumlnge der Schnur 4 a + 6 b + 6 c + 30

Seite 10

1a) x + y + x + x = 3 x + yb) 2 y ndash 3 x + 4 y = ndash 3 x + 6 yc) 2 w + 3 z ndash 9 z = 2 w ndash 6 zd) ndash 13 g ndash 2 h + 5 g = ndash 8 g ndash 2 he) 4 r ndash 12 s ndash 4 + s = 4 r ndash 11 s ndash 4f) 5 x + 7 ndash 4 z ndash 7 z = 5 x ndash 11 z + 7g) 7 c ndash 7 + 3 c ndash 3 d = 10 c ndash 3 d ndash 7h) 3 e ndash 4 + 5 e ndash 8 e = ndash 4

2a) 3 middot 4 x middot 2 = 24x b) 2 middot (ndash 4 x) = ndash 8xc) (ndash 3 x) middot (ndash 4 x) = 12 x 2 d) (ndash 32 x) middot 5 = ndash 160 xe) 6 x middot 2 x = 12 x 2 f) (ndash 7 x 2 ) middot 10 = ndash 70 x 2

g) (5 x middot 9 x) middot (ndash 3) = ndash 135 x 2 h) 9 x middot 4 x middot 1 _ 3 = 12 x 2

3a) a + a = 2 ab) a + 2 (kann nicht vereinfacht werden)c) a + a middot 2 = 3 ad) a + 2 b (kann nicht vereinfacht werden)e) a middot a middot 2 = 2 a 2 f) a + 2 a 2 (kann nicht vereinfacht werden)g) a 2 + 2 a 2 = 3 a 2 h) a 2 + a middot 3 middot a middot 4 = 13 a 2

4a) ja (4 x) middot (3 x) = 12 x 2 b) nein (ndash 6 x) middot 2 x = ndash 12 x 2 c) nein (x middot 4) middot (ndash 3) x = ndash 12 x 2 d) ja (ndash 3 x) middot (ndash 4 x) = 12 x 2 e) nein 9 x 2 + 3 x (kann nicht vereinfacht werden)f) ja 20 x 2 ndash 8 x 2 = 12 x 2 g) ja 2 middot (6 x 2 ) = 12 x 2 h) nein 12 x middot 2 = 24 x

Seite 11

5A 3 a B 2 a + 2C 2 a + 2 D 3 aE 3 a F 2 a + 2Die Terme A D E sind paarweise gleichwertig ebenso die Terme B C F

6Umfang der linken FigurU = 3 a + 5 a + (3 a ndash 2 a) + 35 a + 2 a + (5 a ndash 35 a) = 16 a Flaumlcheninhalt der linken FigurA = 3 a middot (5 a ndash 35 a) + 35 a middot (3 a ndash 2 a) = 8 a 2 Fuumlr a = 7 in der linken FigurU = 112 LE A = 392 FEUmfang der rechten FigurU = 6 a + 3 a + 3 a + a + 2 a + a + a + a = 18 a Flaumlcheninhalt der rechten FigurA = a middot 6 a + a middot 5 a + a middot 3 a = 14 a 2 Fuumlr a = 7 in der rechten FigurU = 126 LE A = 686 FE

7a) 7 a 2 ndash 3 a middot 2 a = a 2 b) 4 x 2 middot 2 ndash 5 x + 6 x 2 = 14 x 2 ndash 5 xc) (ndash 3 c) middot (ndash 2 c) + (3 c ) 2 = 15 c 2 d) 8 b middot (ndash 3) ndash 7 middot (ndash 4 b) = 4 be) 6 z 2 ndash (ndash 3 z) middot z + (2 z) 2 = 13 z 2 f) 5 middot (2 a) ndash a + 2 a 2 ndash 9 a = 2 a 2

8

a) (12 a 2 ) 3 = 4 a 2 b) (ndash 24 b 2 ) (ndash 8) = 3 b 2

c) 36 x 2 _ 4 = 9 x 2 d) ndash 35 c 2 _ 7 = ndash 5 c 2

e) 3 d 2 middot 6 _ 9 = 2 d 2 f) ndash (4 z ) 2 middot 12

__ 24 = ndash 8 z 2

11a) 4 _ 9 a 2 + 2 _ 7 b ndash 2 a middot 2 _ 9 a + 5 _ 7 b = b

b) (3x) 2 ndash 2 x middot 4 x = x

c) ndash 3 _ 5 y 2 + 5 x ndash 2 y middot 07 y = 5 x ndash 2 y 2

d) ( 3 _ 7 a) 2 middot 1 _ 9 ndash 3 a + 5 _ 7 a middot 4 _ 7 a = 3 _ 7 a 2 ndash 3 a

e) 42 r + 3 _ 4 s ndash 6 _ 5 r + 025 s = 3 r + s

f) 12 y middot 4

_ 8 + 4 x ndash 6 y = 4 x

g) 24 c middot 3c __ 36 + 2 d ndash (2 c) middot c = 2 d

h) 3 _ 5 z ndash 3 _ 7 z middot 14 + 8 middot w + 1 _ 5 middot 7 z = 8 w ndash 4 z

i) 083 a ndash 6 _ 9 b + 117 a ndash 1 _ 3 b = 2 a ndash b

12Die Ergebnisse fuumlr das Belegen der Variablen mit x = 3 und y = 2 sind hinter den vereinfachten Termen ange-gebena) 4 x middot 3 y = 12 x y 72b) (ndash 2 x) middot (ndash 4 y) = 8 x y 48

c) (9 x) middot ( 1 _ 3 y) = 3 x y 18

d) 3 x y ndash 2 y x = x y 6



e) (3 x) middot (3 y) ndash (2 x) middot (4 y) = x y 6f) 5 x y ndash 7 y x = ndash 2 x y ndash 12g) 3 x middot 5 y ndash 14 y x = x y 6h) (ndash 2 x) middot (ndash 2 y) + 3 y x = 7 x y 42

i) 4x middot 3y

_ 6 ndash x 2 ndash y x = x y ndash x 2 ndash 3

j) 2 y 2 ndash y middot x + y 2 = 3 y 2 ndash x y 6

k) x 2 ndash 2 _ 3 y middot 2 _ 3 x + 4 x y

_ 9 = x 2 9

l) x 2 + 3 x y ndash y x 2 9

13a) a 2 + 2 a + a middot 6 = 10 a

Fehler a 2 und 2 a wurden verwechseltb) a 2 + 2 a + a middot 6 = a 2 + 18 a

Fehler Punkt-vor-Strich-Regel wurde nicht beachtet Daher wurde zunaumlchst 2 a + a = 3 a gerechnet

c) a 2 + 2 a + a middot 6 = 2 a 2 + 6 a Fehler 2 a wurde in a 2 umgewandelt

14a) b middot 2 a 2 b ndash (b middot a) 2 = a 2 b 2 b) (2 x y) 2 + x y 2 ndash 4 y 2 x 2 = x y 2 c) 2 (a b) ndash a middot 2 b ndash (ndash 2 a) b = 2 a bd) (2 c) d ndash c 2 d + (ndash d) middot 2 c = ndash c 2 de) r 2 s 2 + (ndash r middot s) 2 = 2 r 2 s 2 f) 3 x 2 y ndash (ndash 2 x) middot y x = 5 x 2 y

Seite 12

15a) a = 1 b = 2 2 a + b = 4 a + 2 b = 5b) x = 2 x 2 + x = 6 2 x = 4c) x = 2 y = 1 x 2 y = 4 x y 2 = 2

16a) Anfangszahl x

Term fuumlr Endzahl ( (x middot 3 _ 5 ) middot 8 _ 3 ) 4 _ 5 = 2 x Pauls Endzahl ist immer das Doppelte der Anfangs-zahl

b) Erste Zahl x zweite Zahl y

Term fuumlr Endzahl (4 x middot 3 y) 6 _ 5 = 10 x y

Maja erhaumllt die Endzahl einfacher indem sie das Pro-dukt der beiden Zahlen mit 10 multipliziert

17a) Flaumlcheninhalt von bdquoFldquo

A = 5 x middot x + x 2 + 2 x middot x = 8 x 2 Umfang von bdquoFldquo U = 5 x + x + 2 x + x + x + x + x + 2 x + x + 3 x = 18 x Flaumlcheninhalt von bdquoHldquo A = 2 middot 5 x middot x + x 2 = 11 x 2 Umfang von bdquoHldquo U = 5 x + x + 2 x + x + 2 x + x + 5 x + x + 2 x + x + 2 x + x

= 24 xb) 5 x = 15 middot x = 3

Buchstabe bdquoFldquo A = 72 c m 2 U = 54 cmBuchstabe bdquoHldquo A = 99 c m 2 U = 72 cm

19a) U = 12 π + 3 middot 4 π = 24 π

A = 1 _ 2 middot π middot 144 ndash 3 middot 1 _ 2 middot π middot 16 = 48 π

b) U = 3 r middot π + 3 middot π r = 6 π r

A = 1 _ 2 middot π middot (3 r) 2 ndash 3 middot 1 _ 2 middot π middot r 2 = 3 π r 2

20a) Emilia nimmt sich 2 _ 3 n + 1 _ 2 m aus dem Sack es

bleiben 1 _ 3 n + 1 _ 2 m

Chris nimmt sich 1 _ 7 middot ( 1 _ 3 n + 1 _ 2 m) aus dem Sack es

bleiben 6 _ 7 middot ( 1 _ 3 n + 1 _ 2 m) = 2 _ 7 n + 3 _ 7 m

Zoe nimmt sich 03 middot ( 2 _ 7 n + 3 _ 7 m) aus dem Sack es

bleiben 07 middot ( 2 _ 7 n + 3 _ 7 m) = 02 n + 03 m

b) Zu Beginn sind es m = 280 ndash n Manda-rinen Hinterher gilt 02 n + 03 m = 63 also 02 n + 03 middot (280 ndash n) = 63Loumlsung dieser Gleichung ist n = 210 somit m = 70Zu Beginn waren 210 Nuumlsse und 70 Mandarinen im Sack

21Fuumlr n = 1 waumlhlt man x = 7 y = ndash 6 Dann ist 13 middot 7 + 15 middot (ndash 6) = 1Fuumlr ein beliebiges n waumlhlt man x = 7 n y = ndash 6 n Dann ist 13 middot (7 n) + 15 middot (ndash 6 n) = 91 n ndash 90 n = n

3 Multiplizieren von Summen

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Einstiegsaufgabe

x = 9 x = 10 x = 11

Fr Schweizer A = x 2 81 100 121

Hr Schmid A = (x ndash 5) middot (x + 10) 76 100 126

Herr Schmid hat nicht recht Fuumlr beispielsweise x = 9 ist sein Grundstuumlck kleiner als das von Frau Schweizer

x 10

5 5x

x(x ‒ 5) 10 (x ‒ 5)

50

x

1 Kaumlrtchen (x + 10) middot (x ndash 5) Die Laumlnge von Herrn Schmids Grundstuumlck ist x + 10 die Breite ist x ndash 5 also betraumlgt der Flaumlcheninhalt (x + 10) middot (x ndash 5) 2 Kaumlrtchen x middot (x ndash 5) + 10 middot (x ndash 5) Der linke Teil von Herrn Schmids Grundstuumlck (Rechteck links oben) hat einen Flaumlcheninhalt von x middot (x ndash 5) der rechte Teil (Recht-eck rechts oben) hat einen Flaumlcheninhalt von 10 middot (x ndash 5) 3 Kaumlrtchen x 2 ndash 5 middot x + 10 middot (x ndash 5) Von der Flaumlche mit dem Inhalt x 2 (Rechtecke links oben und unten) wird das linke untere Rechteck mit dem Inhalt 5 middot x subtrahiert



Dazu wird der Flaumlcheninhalt 10 middot (x ndash 5) des rechten obe-ren Teils von Herrn Schmids Grundstuumlck addiert4 Kaumlrtchen x middot (x + 10) ndash 5 middot (x + 10) Der Term x middot (x + 10) beschreibt den Flaumlcheninhalt eines Rechtecks das die Gesamtfigur umschlieszligt Davon wird der Flaumlcheninhalt 5 middot (x + 10) der unteren beiden Rechtecke subtrahiert 5 Kaumlrtchen x 2 + 10 middot x ndash 5 middot x ndash 50 Zum Quadrat x 2 (linke Rechtecke) wird der rechte Streifen (rechtes oberes und unteres Rechteck) mit dem Inhalt 10 middot x addiert Davon werden die Flaumlcheninhalte der beiden unteren Rechtecke subtrahiert Das linke Rechteck in diesem unteren Teil hat einen Flaumlcheninhalt von 5 middot x das rechte Rechteck hat einen Flaumlcheninhalt von 50

Seite 14

1a) 3 middot (x + 3) = 3 x + 9b) x middot (3 x ndash 4) = 3 x 2 ndash 4 xc) (3 + 5 r) middot 4 = 12 + 20 rd) (2 u ndash 5) middot u = 2 u 2 ndash 5 ue) (2 y + 5) middot 4 = 8 y + 20f) 2 x middot (3 ndash 4 x) = 6 x ndash 8 x 2 g) (9 y ndash 7) middot 3 y = 27 y 2 ndash 21 yh) 5 u middot (2 u ndash 3) = 10 u 2 ndash 15 u

2a) x middot (3 + y) = 3 x + x yb) 2 x middot (2 x + y) = 4 x 2 + 2 x yc) (2 x + 3 y) middot 3 y = 6 x y + 9 y 2 d) b middot (a + 3 b) = a b + 3 b 2 e) a middot (2 b + 3) = 2 a b + 3 af) (2 ndash b) middot 3 a = 6 a ndash 3 a bg) 4 x (6 x + 7 y) = 24 x 2 + 28 x y

h) 1 _ 3 x middot (15 x ndash 9 y) = 5 x 2 ndash 3 x y

3a) 6 a + 6 b = 6 middot (a + b) b) 7 x ndash 7 x 2 = 7 x middot (1 ndash x) c) 5 x + 5 y = 5 middot (x + y) d) 10 c + 15 d = 5 middot (2 c + 3 d) e) 8 u ndash 4 u 2 = 4 u middot (2 ndash u) f) 4 r ndash 5 r = r middot (4 ndash 5) = ndash r

g) 1 _ 2 x 2 + 1 _ 2 x = 1 _ 2 x middot (x + 1) h) 3 _ 5 z ndash 4 _ 5 z 2 = 1 _ 5 z middot (3 ndash 4 z)

4A 2 a middot (3 b ndash 4 a) = 6 a b ndash 8 a 2 B (3 b ndash 4 a) middot 2 b = 6 b 2 ndash 8 a bC 6 a b ndash 8 b 2 D 6 a b ndash 8 a 2 E 6 a b ndash 8 b 2 F 6 b 2 ndash 8 a bDie Kaumlrtchen A und D B und F sowie C und E sind gleich-wertig

5a) (a + 4) middot (b + 2) = a b + 2 a + 4 b + 8b) (c + 6) middot (d + 3) = c d + 3 c + 6 d + 18c) (x + 8) middot (y ndash 6) = x y ndash 6 x + 8 y ndash 48d) (a + 3) middot (b ndash 2) = a b ndash 2 a + 3 b ndash 6e) (x ndash 3) middot (2 y + 1) = 2 x y + x ndash 6 y ndash 3f) (2 x + 1) middot (3 y + 1) = 6 x y + 2 x + 3 y + 1g) (2 x + 5) middot (z + 3) = 2 x z + 6 x + 5 z + 15

h) (3 r ndash 4) middot (2 s ndash 1) = 6 r s ndash 3 r ndash 8 s + 4i) (5 a ndash 3) middot (2 b ndash 2) = 10 a b ndash 10 a ndash 6 b + 6

6a) Umfang des linken Rechtecks

1 Moumlglichkeit 14 x + 6 y 2 Moumlglichkeit 2 middot (7 x + 3 y) = 14 x + 6 y Flaumlcheninhalt des linken Rechtecks 1 Moumlglichkeit 7 x middot 3 y 2 Moumlglichkeit 5 x middot 3 y + 2 x middot 3 y = (5 x + 2 x) middot 3 y = 7 x middot 3 y Umfang des rechten Rechtecks 1 Moumlglichkeit 8 x + 3 y 2 Moumlglichkeit 2 middot (4 x + 15 y) = 8 x + 3 y Flaumlcheninhalt des rechten Rechtecks 1 Moumlglichkeit (2 x) 2 + 2 x middot 15 y = 4 x 2 + 3 x y 2 Moumlglichkeit 2 x middot (2 x + 15 y) = 4 x 2 + 3 x y

b) Belegen der Terme mit x = 4 cm und y = 5 cm Linkes Rechteck U = 86 cm A = 420 c m 2 Rechtes Rechteck U = 47 cm A = 124 c m 2

9a) (ndash 2 x) middot (5 x ndash 2) = ndash 10 x 2 + 4 xb) (ndash 2 x) middot (ndash 5 x + 2) = 10 x 2 ndash 4 xc) (ndash 2 x) middot (ndash 5 x ndash 2) = 10 x 2 + 4 x

Seite 15

10a) Fehler Vorzeichenfehler bei x 2

Richtig (ndash x + 1) middot (x + 2) = ndash x 2 ndash 2 x + x + 2 = ndash x 2 ndash x + 2 b) Fehler Das Produkt wurde wie eine Summe ausmul-

tipliziert dh der Faktor 2 wurde mit beiden Faktoren y + 2 und y ndash 3 multipliziert Richtig 2 middot (y + 2) middot (y ndash 3) = (2 y + 4) middot (y ndash 3)

= 2 y 2 ndash 2 y ndash 12c) Vorzeichenfehler beim Multiplizieren minus mal mi-

nus ergibt plus Richtig (3 a ndash 2) middot (a ndash 2) = 3 a 2 ndash 8 a + 4

11a) (a ndash 3) middot (a ndash 2) = a 2 ndash 5 a + 6b) (2 z ndash 1) middot (ndash z + 3) = ndash 2 z 2 + 7 z ndash 3

c) ( 1 _ 3 x ndash 2) middot (6 x + 12) = 2 x 2 ndash 8 x ndash 24

d) (ndash 3 a ndash 4 b) middot (5 a ndash 2 b) = ndash 15 a 2 ndash 14 a b + 8 b 2

e) ( 7 _ 4 x + 7 y) middot (8 x ndash 4 _ 7 y) = 14 x 2 + 55 x y ndash 4 y 2

f) ( 2 _ 9 x ndash 1) middot (27 x + 81) = 6 x 2 ndash 9 x ndash 81

12Die Ergebnisse fuumlr das Belegen der Variable x mit x = 5 sind hinter den vereinfachten Termen angegebena) 2 middot (3 x + 5) + 4 middot (6 x ndash 2) = 30 x + 2 152b) 3x middot (2 x ndash 7) ndash 6 x 2 = ndash 21 x ndash 105c) 5 middot (2 x ndash 5) middot (3 x ndash 6) = 30 x 2 ndash 135 x + 150 225

d) 2 x (3 x + 1 _ 4 ) ndash 1 _ 2 x (1 + 4 x) = 4 x 2 100

e) ( 1 _ 3 x ndash 2 _ 3 ) middot ( 2 _ 3 x ndash 1 _ 3 ) = 2 _ 9 x 2 ndash 5 _ 9 x + 2 _ 9 = 1 _ 9 middot (2 x 2 ndash 5 x + 2) 3

f) (015 x ndash 01) middot (7 x ndash 15) = 105 x 2 ndash 295 x + 15 13



13linke Abbildung1 Moumlglichkeit a b ndash 06 a ndash (b ndash 06) middot 062 Moumlglichkeit (a ndash 06) middot (b ndash 06) Beide Terme sind gleichwertig a b ndash 06 a ndash (b ndash 06) middot 06 = a b ndash 06 a ndash 06 b + 036 (a ndash 06) middot (b ndash 06) = a b ndash 06 a ndash 06 b + 036 rechte Abbildung1 Moumlglichkeit a b ndash 2 middot 06 a ndash 3 middot (b ndash 12) middot 062 Moumlglichkeit (a ndash 18) middot (b ndash 12) Beide Terme sind gleichwertig a b ndash 2 middot 06 a ndash 3 middot (b ndash 12) middot 06 = ab ndash 12 a ndash 18 b + 216 (a ndash 18) middot (b ndash 12) = a b ndash 12 a ndash 18 b + 216

14a) (A) a middot (2 a + 2 b)

(B) (a + 2 b) middot 2 a (C) (a + b) middot (2 a + b)

b) (A) a middot (2 a + 2 b) = 2 a 2 + 2 a b (B) (a + 2 b) middot 2 a = 2 a 2 + 4 a b (C) (a + b) middot (2 a + b) = 2 a 2 + 3 a b + b 2 Da b lt a ist b 2 lt a b und 3 a b + b 2 lt 4 a b Somit 2 a 2 + 2 a b lt 2 a 2 + 3 a b + b 2 lt 2 a 2 + 4 a b Die Flaumlche (B) ist am groumlszligten dann folgt (C) am kleinsten ist (A)

17Die vier Zahlen sind n n + 1 n + 2 n + 3Produkt der mittleren beiden Zahlen P 1 = (n + 1) middot (n + 2) = n 2 + 3 n + 2Produkt der groumlszligten und kleinsten Zahl P 2 = n middot (n + 3) = n 2 + 3 nSomit P 1 = P 2 + 2

18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)

= (a + 3) middot (b + 2) b) x y + 7 y ndash x ndash 7 = y middot (x + 7) ndash (x + 7) = (y ndash 1) middot (x + 7) c) ndash 12 p q + 15 p + 8 q ndash 10 = (ndash 3 p) middot (4 q ndash 5) + 2 middot (4 q ndash 5)

= (2 ndash 3 p) middot (4 q ndash 5)

4 Binomische Formeln

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Einstiegsaufgabe (x + 3) middot (x + 3) Der Term passt Die neue Decke hat die Laumlnge und die Breite x + 3 x 2 + 3 x Der Term passt nicht Der Term x 2 + 3 x = x middot (x + 3) beschreibt nur den Flaumlcheninhalt des linken Teils der neuen Decke

x 3

3

x

x middot (x + 3) + 3 middot (x + 3) Der Term passt x middot (x + 3) be-schreibt den Flaumlcheninhalt des linken Teils 3 middot (x + 3) den Flaumlcheninhalt des rechten Teils der neuen Decke x 2 + 9 Der Term passt nicht er beschreibt nur den Flauml-cheninhalt der markierten Flaumlche

x

x2

93x

3x

3

3

x

x 2 + 2 middot 3 middot x + 3 2 Der Term passt denn die beiden Recht-ecke mit dem Flaumlcheninhalt 3 x werden ebenfalls beruumlck-sichtigt (x + 3) 2 Der Term passt denn (x + 3) 2 = (x + 3) middot (x + 3) (s o) x 2 + 6 x + 9 Der Term passt denn x 2 + 6 x + 9 = x 2 + 2 middot 3 middot x + 3 2 (s o)

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1a) (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4 b) (y + 1) 2 = y 2 + 2 y + 1c) (z + 4) 2 = z 2 + 8 z + 16 d) (x + 3) 2 = x 2 + 6 x + 9e) (y + 10) 2 = y 2 + 20 y + 100 f) (z + 3) 2 = z 2 + 6 z + 9g) (a + 6) 2 = a 2 + 12 a + 36 h) (b + 5) 2 = b 2 + 10 b + 25

2a) (x ndash 3) 2 = x 2 ndash 6 x + 9 b) (u ndash 1) 2 = u 2 ndash 2 u + 1c) (z + 6) 2 = z 2 + 12 z + 36 d) (z ndash 6) 2 = z 2 ndash 12 z + 36e) (a ndash 2) 2 = a 2 ndash 4 a + 4 f) (a + 2) 2 = a 2 + 4 a + 4g) (q ndash 7) 2 = q 2 ndash 14 q + 49 h) (p + 8) 2 = p 2 + 16 p + 64

3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4

d) ( 1 _ 3 ndash d) 2 = 1 _ 9 ndash 2 _ 3 d + d 2 = d 2 ndash 2 _ 3 d + 1 _ 9

4a) (a + 2) middot (a ndash 2) = a 2 ndash 4 b) (a + 7) middot (a ndash 7) = a 2 ndash 49c) (a ndash 1) middot (a + 1) = a 2 ndash 1 d) (4 + a) middot (4 ndash a) = 16 ndash a 2

e) ( 1 _ 2 ndash a) middot ( 1 _ 2 + a) = 1 _ 4 ndash a 2 f) (6 ndash a) (6 + a) = 36 ndash a 2

g) (2 ndash a) (2 + a) = 4 ndash a 2 h) (a ndash 3 _ 2 ) middot (a + 3 _ 2 ) = a 2 ndash 9 _ 4

5a) (2 x ndash 5) 2 = 4 x 2 ndash 20 x + 25b) (3 y + 4) 2 = 9 y 2 + 24 y + 16c) (2 a + 5) 2 = 4 a 2 + 20 a + 25d) (3 z ndash 7) 2 = 9 z 2 ndash 42 z + 49e) (4 b ndash 2) 2 = 16 b 2 ndash 16 b + 4f) (8 d + 6) 2 = 64 d 2 + 96 d + 36g) (9 r ndash 11) 2 = 99 r 2 ndash 198 r + 121h) (10 c ndash 1) 2 = 100 c 2 ndash 20 c + 1



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6A Fehler Die 2 binomische Formel wurde nicht

beachtet richtig (1 ndash x) 2 = 1 ndash 2 x + x 2 = x 2 ndash 2 x + 1

B Fehler Die 2 binomische Formel wurde falsch angewandt Das Vorzeichen vor 16 ist falsch richtig (w ndash 4) 2 = w 2 ndash 8 w + 16

C Fehler Die 3 binomische Formel wurde falsch angewandt Die Reihenfolge wurde nicht beachtet richtig (1 ndash a) middot (1 + a) = 1 ndash a 2

D Fehler Die 2 binomische Formel wurde falsch ange-wandt Der Faktor 2 beim doppelten Produkt fehlt richtig (6 x ndash 2) 2 = 36 x 2 ndash 24 x + 4

E Fehler Die 2 binomische Formel wurde nicht beachtet richtig (3 a ndash 4) 2 = 9 a 2 ndash 24 a + 16

F Fehler Die 1 binomische Formel wurde falsch ange-wandt Das Quadrat von 3 b wurde falsch berechnet richtig (3 b + 1) 2 = 9 b 2 + 6 b + 1

7a) x 2 + 6 x + 9 = (x + 3) 2 b) y 2 ndash 8 y + 16 = (y ndash 4) 2 c) u 2 + 4 u + 4 = (u + 2) 2 d) x 2 ndash 2 x + 1 = (x ndash 1) 2 e) z 2 ndash 24 z + 144 = (z ndash 12) 2 f) r 2 + 10 r + 25 = (r + 5) 2

8a) a 2 ndash 9 = (a + 3) middot (a ndash 3) b) b 2 ndash 16 = (b + 4) middot (b ndash 4) c) 36 ndash c 2 = (6 + c) middot (6 ndash c)

d) d 2 ndash 9 _ 100 = (d + 3 _ 10 ) middot (d ndash 3 _ 10 ) e) e 2 ndash 004 = (e + 02) middot (e ndash 02) f) 025 ndash f 2 = (05 + f) middot (05 ndash f)

9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9

d) (01 ndash 5 b) 2 = 001 ndash b + 25 b 2 = 25 b 2 ndash b + 001

12a) x 2 + 12 x + 36 = (x + 6) 2 b) a 2 ndash 10 a + 25 = (a ndash 5) 2 c) b 2 + 14 b + 49 = (a + 7) 2

d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2

13A (3 b ndash 2 c) 2 = 9 b 2 ndash 12 b c + 4 c 2 B (6 b + 6 c) 2 = 36 b 2 + 72 b c + 36 c 2 C 4 b 2 + 12 b c + 9 c 2 D (3 b + 2 c) middot (3 b ndash 2 c) = 9 b 2 ndash 4 c 2 E 9 b 2 ndash 12 b c + 4 c 2 F 9 b 2 ndash 4 c 2 G (2 b + 3 c) 2 = 4 b 2 + 12 b c + 9 c 2 H 36 b 2 + 72 b c + 36 c 2 Die Terme A und E B und H C und G sowie D und F sind gleichwertig

14a) (2 a ndash 1 _ 2 b) 2 = 4 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 4 b 2

b) (2 r ndash 025 s) 2 = 4 r 2 ndash r s + 00625 s 2 c) (4 s + 2 t) (4 s ndash 2 t) = 16 s 2 ndash 4 t 2

d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2

e) (3 p ndash 1 _ 3 q) ( 1 _ 3 q + 3 p) = (3 p ndash 1 _ 3 q) (3 p + 1 _ 3 q)

= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2

f) ( 1 _ 8 a ndash 4 b) 2 = 1 _ 64 a 2 ndash a b + 16 b 2

15a) 31 2 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961b) 29 2 = (30 ndash 1) 2 = 900 ndash 60 + 1 = 841c) 28 2 = (30 ndash 2) 2 = 900 ndash 120 + 4 = 784d) 52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 200 + 4 = 2704e) 99 2 = (100 ndash 1) 2 = 10 000 ndash 200 + 1 = 9801f) 105 2 = (100 + 5) 2 = 10 000 + 1000 + 25 = 11 025

16a) 31 middot 29 = 30 2 ndash 1 = 899b) 32 middot 28 = 30 2 ndash 4 = 896c) 99 middot 101 = 100 2 ndash 1 = 9999d) 46 middot 54 = 50 2 ndash 16 = 2484e) 14 middot 16 = 15 2 ndash 1 = 224f) 29 middot 21 = 25 2 ndash 16 = 609

17a) Fehler Es ist 4 a 2 = (2 a) 2 nicht (4 a) 2 richtig 4 a 2 ndash 16 a + 16 = (2 a ndash 4) 2 b) Fehler Es wurde die 2 binomische Formel y 2 ndash 2 y + 1 benutzt obwohl (y ndash 1) middot (1 ndash y) und (y ndash 1) 2 nicht iden-tisch sind da 1 ndash y ne y ndash 1richtig (y ndash 1) middot (1 ndash y) = y ndash y 2 ndash 1 + y = ndash y 2 + 2 y ndash 1c) Fehler Die binomischen Formeln wurden nicht ange-wandt es ist (a ndash b) 2 ne a 2 ndash b 2 richtig 9 c 2 ndash 4 = (3 c + 2) middot (3 c ndash 2)

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18a) 9 a 2 ndash 24 a + 16 = (3 a ndash 4) 2 b) 4 x 2 + 36 x + 81 = (2 x + 9) 2

c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2

d) 1 _ 36 v 2 ndash 25 _ 36 = ( 1 _ 6 v + 5 _ 6 ) middot ( 1 _ 6 v ndash 5 _ 6 ) e) 16 r 2 ndash 28 r s + 49 s 2

(Binomische Formel nicht anwendbar da 2 middot 4 r middot 7 s = 56 r s ne 28 r s)

f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2

(Binomische Formel nicht anwendbar da 1 _ 3 b 2 kein Quadrat ist)

i) 36 a 2 ndash 4 a c + 1 _ 9 c 2 = (6 a ndash 1 _ 3 c) 2



19a) (x + 4) 2 ndash (x ndash 4) 2 = x 2 + 8 x + 16 ndash ( x 2 ndash 8 x + 16 ) = 16 xb) (2 r ndash s) 2 + (2 r ndash s) (2 r + s) + 4 r s

= 4 r 2 ndash 4 r s + s 2 + 4 r 2 ndash s 2 + 4 r s = 8 r 2 c) (a ndash b) (a + b) + (a ndash b) 2 + (a + b) 2 ndash b 2

= a 2 ndash b 2 + a 2 ndash 2 a b + b 2 + a 2 + 2 a b + b 2 ndash b 2 = 3 a 2 d) 6 x 3 + 6 (x ndash y) 2 + 6 x (4 y ndash x 2 )

= 6 x 3 + 6 x 2 ndash 12 x y + 6 y 2 + 24 x y ndash 6 x 3 = 6 (x + y) 2

20a) (a + 3) 2 ndash a 2 = 6 a + 9b) (a + 3) middot (a ndash 3) ndash a 2 = ndash 9Der Flaumlcheninhalt nimmt um 9 ab

21a) (x ndash 11) 2 = x 2 ndash 22 x + 121b) (3 x ndash 4) 2 = 9 x 2 ndash 24 x + 16c) (01 ndash 3 a) (01 + 3 a) = 001 ndash 9 a 2 d) (10 + 2) middot (10 ndash 2) = 96 oder (25 + 23) middot (25 ndash 23) = 96

oder (14 + 10) middot (14 ndash 10) = 96 oder (11 + 5) middot (11 ndash 5) = 96

24Seitenlaumlnge alter Pool x2 middot x 2 = 98 hArr x = 7 2 middot (7 ndash y) middot (7 + y) = 80 hArr 2 middot (49 ndash y 2 ) = 80 hArr y = 3Die neuen Maszlige des Pools sind 10 m times 4 m times 2 m (Laumlnge times Breite times Tiefe)

25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b

(a + b) middot (a ndash b) = a 2 ndash b 2

26a) q = n 2 q ndash 1 = n 2 ndash 1 = (n + 1) middot (n ndash 1)

Da n ungerade ist sind n ndash 1 und n + 1 gerade Eine der beiden Zahlen ist durch 4 teilbar da es zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen sind Somit ist (n + 1) middot (n ndash 1) durch 8 teilbar

b) q = n 2 q ndash 4 = n 2 ndash 4 = (n + 2) middot (n ndash 2) = p p ist eine Primzahl so ist n ndash 2 = 1 und n + 2 = p Somit ist n = 3 und q = 9

c) p 2 ndash 1 = (p + 1) middot (p ndash 1) Da p ungerade ist ist (p + 1) middot (p ndash 1) durch 8 teil-bar (s Teilaufgabe a)) Da p gt 3 ist p nicht durch 3 teilbar Von den drei aufeinanderfolgenden Zahlen p ndash 1 p p + 1 ist aber eine durch 3 teilbar also ist entweder p ndash 1 oder p + 1 durch 3 teilbar Insbeson-dere ist (p + 1) middot (p ndash 1) durch 3 teilbar und somit durch 3 middot 8 = 24 teilbar

5 Formeln nach Variablen aufloumlsen

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Einstiegsaufgabe

Raupe Schnecke Schildkroumlte

Geschwinshydigkeit v

v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s

Strecke s in einer Sekunde

s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s

Die Schnecke ist am langsamsten

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1a) v = s _ t hArr s = v middot t = 250 km _ h middot 125h = 3125 km

b) v = s _ t hArr s = v middot t hArr t = s _ v = 8160 m _ 340 m _ s

= 24 s

c) v = s _ t hArr s = v middot t

hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s

2A = a middot b hArr b = A _ a U = 2 middot (a + b) hArr b = U ndash 2 a _ 2 = U _ 2 ndash a

linke Figur b = A _ a = 185 c m 2 __ 25 cm = 74 cm

rechte Figur b = U ndash 2 a _ 2 = 21 cm ndash 96 cm

__ 2 = 57 cm

4a) ή = m _ V hArr m = ή middot V = 893

g _ c m 3 middot (15 middot 15 middot 15) cm 3

asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3

Es passt da 9506 c m 3  le 1000 c m   3 = 1 oslash c) Ein 1-kg-Goldbarren hat ein Volumen von

V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3

V = a middot b middot h hArr h = V _ a middot b = 176 c m 3 ___ 51 cm middot 117 cm   asymp 087 cm 

5a) A = 1 _ 2 middot (a + c) middot h hArr a + c = 2 A _ h hArr c = 2 A _ h ndash a

b) c = 2 A _ h ndash a = 272 c m 2 __ 8 cm ndash 21 cm = 13 cm

7Die Datenmenge ist D = 1 GB = 1 000 000 000 Byte = 8 000 000 000 bit

die Uumlbertragungsrate ist r = 450 Mbit _ s = 450 000 000 bit _ s

Also r = D _ t xt = D _ r = 8 000 000 000 bit ___ 450 000 000 bit _ s

= 17 _ 7  s asymp 18 s

Dominic benoumltigt 18 Sekunden um ein Spiel mit 60 GB herunterzuladen



GFS-Thema Differenzen mit Quadraten

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1

12

12

11

Es ist 143 = 144 ndash 1 = 12 2 ndash 1 = 11 middot 13

299 = 100 ndash 1 = 10 2 ndash 1 2 = (10 + 1) middot (10 ndash 1) = 11 middot 9 120 = 121 ndash 1 = 11 2 ndash 1 2 = (11 + 1) middot (11 ndash 1) = 12 middot 10 323 = 324 ndash 1 = 18 2 ndash 1 2 = (18 + 1) middot (18 ndash 1) = 19 middot 17 2499 = 2500 ndash 1 = 50 2 ndash 1 2 = (50 + 1) middot (50 ndash 1) = 51 middot 49 3599 = 3600 ndash 1 = 60 2 ndash 1 2 = (60 + 1) middot (60 ndash 1) = 61 middot 59

3a ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen mit der Differenz 2 a = b middot c mit c ndash b = 2 also c = b + 2 Somit a = b middot (b + 2) a = b middot (b + 2) = b 2 + 2 b = ( b 2 + 2 b + 1) ndash 1 = (b + 1) 2 ndash 1 2 Somit ist a der Vorgaumlnger der Quadratzahl (b + 1) 2 Alternative a = (x + 1) middot (x ndash 1) = x 2 ndash 1

415 = 2 middot 8 ndash 1 = 8 2 ndash 7 2 = 64 ndash 49 17 = 2 middot 9 ndash 1 = 9 2 ndash 8 2 = 81 ndash 64 21 = 2 middot 11 ndash 1 = 11 2 ndash 10 2 = 121 ndash 100 65 = 2 middot 33 ndash 1 = 33 2 ndash 32 2 = 1089 ndash 1024 91 = 2 middot 46 ndash 1 = 46 2 ndash 45 2 = 2116 ndash 2025

5Eine durch vier teilbare Zahl v hat die Form 4 n fuumlr eine natuumlrliche Zahl n Es ist (n + 1) 2 ndash (n ndash 1) 2 = n 2 + 2 n + 1 ndash ( n 2 ndash 2 n + 1) = 4 n = v

615 = 8 2 ndash 7 2 = (8 + 7) middot (8 ndash 7) = 15 middot 1 15 = 4 2 ndash 1 2 = (4 + 1) middot (4 ndash 1) = 5 middot 321 = 11 2 ndash 10 2 = (11 + 10) middot (11 ndash 10) = 21 middot 1 21 = 5 2 ndash 2 2 = (5 + 2) middot (5 ndash 2) = 7 middot 3 65 = 33 2 ndash 32 2 = (33 + 32) middot (33 ndash 32) = 65 middot 1 65 = 9 2 ndash 4 2 = (9 + 4) middot (9 ndash 4) = 13 middot 591 = 46 2 ndash 45 2 = (46 + 45) middot (46 ndash 45) = 91 middot 1 91 = 10 2 ndash 3 2 = (10 + 3) middot (10 ndash 3) = 13 middot 7

7Die Quadratzahlen sind 0 1 4 9 hellip Der Abstand auf-einanderfolgender Quadratzahlen steigt an Bereits zwischen 4 und 1 ist der Abstand groumlszliger als 2 Da 1 2 ndash 0 2 = 1 ne 2 kann 2 nicht als Differenz von zwei Quadratzahlen vorkommen



II Zufall und Wahrscheinlichkeit

1 Zufallsexperimente - Wahrscheinlichkeiten

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EinstiegsaufgabeJonathans Aussage ist zwar richtig trotzdem sollte er nicht das Gluumlcksrad waumlhlen Denn darauf sind 6 von 16 Feldern mit bdquo6ldquo beschriftet d h die Wahrscheinlich-

keit fuumlr eine bdquo6ldquo betraumlgt 6 _ 16 = 3 _ 8 = 375 In der Urne

sind 5 von 9 Kugeln mit bdquo6ldquo beschriftet also betraumlgt hier die Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bdquo6ldquo uumlber 50 (naumlm-

lich 5 _ 9 asymp 556 ) Beim Wuumlrfel betraumlgt die Wahrscheinlich-

keit fuumlr eine bdquo6ldquo dagegen nur 1 _ 6 asymp 167

Seite 31

1Zu Urne 1 gehoumlren die Kaumlrtchen C und G Zu Urne 2 gehoumlren die Kaumlrtchen B und HZu Urne 3 gehoumlren die Kaumlrtchen A und EZu Urne 4 gehoumlren die Kaumlrtchen D und F

Seite 32

2a)

Ergebnis rot gruumln gelb blau

Wahrscheinlichkeit 1 _ 4 1 _ 4 1 _ 4 1 _ 4

b)

Ergebnis blau gelb rot

Wahrscheinlichkeit 1 _ 2 1 _ 4 1 _ 4

c)

Ergebnis rot gelb blau


3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12

b) Bei (1) kann sie etwa 80-mal die bdquo5ldquo erwarten bei (2) etwa 30-mal und bei (3) etwa 20-mal

4a) S = rot gelb gruumln

P (rot) = 1 _ 3 P (gelb) = 4 _ 9 P (gruumln) = 2 _ 9

b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3

5a) Beim Wuumlrfel haben nur zwei Seiten eine Zahl unter 3

Das heiszligt Lilly gewinnt bei zwei Ergebnissen und ver-liert bei vier Ergebnissen die alle gleich wahrschein-lich sind

b) Julius wuumlrde bei etwa 300 1 _ 3 = 100 Spielen und Lilly

bei etwa 200 Spielen zahlenc) individuelle Loumlsung zum Beispiel

Wenn er beim Wuumlrfeln houmlchstens eine bdquo3ldquo wuumlrfelt zahlt er ihr ein Eis ansonsten zahlt Lilly ihm ein Eis

7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50

c) P (durch 4 teilbar) = 1 _ 4 = 25

d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33

8a) Ergebnis blau gruumln rot

Mittelpunktswinkel 90deg 90deg 180deg

rot180deg

gruumln90deg

blau90deg

b) Ergebnis gelb blau weiszlig


blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg

c) Es gibt kein solches Gluumlcksrad da 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 3 = 13 _ 12 gt 1 ist

d) Ergebnis weiszlig blau gruumln rot

Mittelpunktswinkel 72deg 144deg 72deg 72deg

rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg

9a) Es muumlssen fuumlnf Kugeln weiszlig sein denn 5 + 6 = 11b) Sechs Kugeln sind schwarz dies entspricht 40 der

Kugeln Also entsprechen 3 Kugeln 20 und 15 Ku-geln 100 Es sind 9 weiszlige Kugeln in der Urne



c) P (schwarz) = 30 d h 30 der Kugeln sind schwarz dies sind 6 Also entsprechen 2 Kugeln 10 und 20 Kugeln 100 Es sind 14 weiszlige Kugeln in der Urne

10individuelle Loumlsung zum BeispielDodekaeder

Bei einer hellip 1 2 3 oder 4 5 6 7 oder 8 9 10 11 oder 12

hellip gehen sie hellip Eis essen ins Kino ins Freibad

Wuumlrfel

Bei einer hellip 1 oder 2 3 oder 4 5 oder 6


12a) Diese Interpretation ist falsch man kann nur er-

warten dass man ungefaumlhr 100-mal eine bdquoSechsldquo bekommt (Die Wahrscheinlichkeit bei 600 Wuumlrfen ge-nau 100-mal eine bdquoSechsldquo zu erhalten ist sehr gering naumlmlich ca 44 )

b) Diese Interpretation ist falsch die Folge der ge-worfenen Zahlen ist rein zufaumlllig

c) Diese Interpretation ist richtigd) Diese Interpretation ist falsch Man kann bereits beim

ersten Wurf eine bdquoSechsldquo werfen (die Wahrscheinlich-

keit betraumlgt 1 _ 6 )

13a) Es gibt 14 Felder auf denen er Schach bietet Die

Wahrscheinlichkeit ist also 14 _ 63 = 2 _ 9 asymp 222

b) Es gibt 21 Felder auf denen sie Schach bietet Die


c) Dame Die Wahrscheinlichkeit ist bei den vier Feldern in der Mitte des Schachbretts am groumlszligten sie betraumlgt

dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429

Turm Die Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Feld gleich

groszlig naumlmlich 14 _ 63 = 2 _ 9

2 Versuchsreichen ergeben Wahrscheinlich-keiten

Seite 34

EinstiegsaufgabeSie koumlnnen den Loumlffel sehr oft werfen z B 100-mal Wenn er etwa gleich haumlufig auf jeder der beiden Seiten landet ist Emils Vorschlag fair ansonsten nichtDamit die Seite auf der der Loumlffel landet zufaumlllig ist muss man ihn aus groumlszligerer Houmlhe und am besten senk-recht zur Flaumlche auf der er auftreffen soll loslassenDie Wahrscheinlichkeit haumlngt natuumlrlich vom konkreten Loumlffel ab Bei Versuchen mit einem Suppenloumlffel landete dieser etwa doppelt so oft bdquorichtig herumldquo d h so wie er beim Tischdecken gelegt wird als anders herum

Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl

relative Haumlufigkeit 236 _ 400 = 0 59 164 _ 400 = 0 41

Es ist 059 + 041 = 1 Wahrscheinlichkeiten P (Kopf) = 59 und P (Zahl) = 41

2a) Insgesamt hat Marius den Wuumlrfel 300-mal geworfen

Ergebnisrelative

Wahrscheinlichkeitfestgelegte

Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026

Denn es ist 009 + 015 + 017 + 017 + 016 + 026 = 1b) 500 middot 026 = 130

Bei 500 Wuumlrfen erwartet man etwa 130-mal die bdquo6ldquo

3a)

Ergebnis relative Haumlufigkeitrelative Haumlufigkeit

(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021

Da 042 + 038 + 021 gt 1 ist muss man einmal ab-runden

Ergebnisfestgelegte

Wahrscheinlichkeit (1 Option)

festgelegte Wahrscheinlichkeit

(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020

b)Ergebnis relative Haumlufigkeit

relative Haumlufigkeit (gerundet)

rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027

Da 039 + 033 + 027 lt 1 ist muss man einmal auf-runden

Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36

5a) Der Holzzylinder wurde 100-mal geworfen

Ergebnis 1 2 3

relative Haumlufigkeit 014 076 010

Beruumlcksichtigung der Form

Ergebnis 1 2 3


012 076 012

b) 500 middot 012 = 60 Bei 500 Wuumlrfen erwartet man ca 60-mal die bdquo1ldquo

6a) Vermutlich gehoumlrt Schaumltzung 1 zum Lego-Vierer

Schaumltzung 2 zum Lego-Sechser und Schaumltzung 3 zum Lego-Achter Denn in dieser Reihenfolge wird die Wahrscheinlichkeit dass der Stein auf den Seiten 1 2 5 und 6 landet immer unwahrscheinlicher

b) Ergebnisse 1 und 6 2 und 5

Mittelwert 119 05

Paul koumlnnte die Werte fuumlr bdquo1ldquo und bdquo6ldquo etwas erhoumlhen sowie den fuumlr bdquo3ldquo etwas und den fuumlr bdquo4ldquo staumlrker verrin-gernMoumlgliche Festlegung

Ergebnis 1 2 3 4 5 6

festgelegteWahrscheinlichkeit

12 05 46 29 05 12

c) individuelle Loumlsung zum Beispiel Das Ergebnis eines moumlglichen durchgefuumlhrten Ver-suchs koumlnnte sein


absolute Haumlufigkeit 4 2 20 14 2 8

7a) individuelle Loumlsung zum Beispiel

Man erkennt dass sich die relativen Haumlufigkeiten bei 100-maligem Wuumlrfeln noch deutlich von 1 _ 6 unterschei-den koumlnnen

b) individuelle Loumlsung zum BeispielBei den Simulationen zeigt sich dass Lukas deutlich

haumlufiger gewinnt als Felix (Die Wahrscheinlichkeit

dass Lukas gewinnt betraumlgt 24 _ 36 = 2 _ 3 )

9a) Bedeutung Von den in Deutschland lebenden Per-

sonen haben ca 37 die Blutgruppe A Die Wahr-scheinlichkeit dass eine zufaumlllig ausgewaumlhlte Person Blutgruppe A hat betraumlgt als 37 Man weiszlig dies weil bei sehr vielen Personen die Blut-gruppe bestimmt wird und wurde

b) Bedeutung Von allen produzierten Bauteilen dieses Typs funktionieren 95 nach drei Jahren nochMan weiszlig dies aus der Erfahrung wie lange die bislang produzierten Bauteile dieses Typs gehalten haben

c) Bedeutung Es regnet an 60 der Tage an denen die Wetterlage gleich der von heute ist mindestens ein-mal Die Wetterlage wird dabei durch eine Reihe von Merkmalen beschrieben darunter Temperatur Luft-druck Wind Bewoumllkung LuftfeuchtigkeitMan weiszlig dies aus der Erfahrung aus vergleichbaren Wetterlagen aus der Vergangenheit

3 Mehrstufige Zufallsexperimente ndash Produktregel

Seite 37

EinstiegsaufgabeDie Behauptung ist falsch Angenommen die beiden Ampeln funktionieren unabhaumlngig voneinander dann wuumlrde Herr Peetz bei 1000 Fahrten zur Arbeit erwarten dass er etwa 500-mal an der ersten Ampel rot hat Von diesen wuumlrde er bei der Haumllfte der Fahrten also 250-mal erwarten dass auch die zweite Ampel rot zeigt Insge-samt wuumlrde er also in einem Viertel der Faumllle bei beiden Ampeln rot erwartenWenn die beiden Ampeln nicht unabhaumlngig voneinan-der arbeiten kann man ohne weitere Informationen die Wahrscheinlichkeit nicht bestimmen

Seite 38

1

bg

b

w

s

ErgebnisStutzenShortsTrikot

(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3

b) Ergebnis (b b) (b g) (g b) (g g)


3

KK

K

Z

Z

Ergebnis3 Wurf2 Wurf1 Wurf

(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

Ergebnismenge S = (K K K) (K K Z) (K Z K) (K Z Z) (Z K K) (Z K Z) (Z Z K) (Z Z Z)Die Wahrscheinlichkeit fuumlr jedes Ergebnis betraumlgt 1 _ 8

Seite 39

4

r

r

g

b

b

g

Ergebnis1 Drehung 2 Drehung

(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3

a) P (g r) = 1 _ 2 middot 1 _ 6 = 1 _ 12 b) P (b g) = 1 _ 3 middot 1 _ 2 = 1 _ 6

c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9

6P (A) = 6 _ 10 middot 5 _ 9 middot 4 _ 8 = 1 _ 6 P (B) = 4 _ 10 middot 6 _ 9 middot 5 _ 8 = 1 _ 6

P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30

7a) P (r r g) = 3 _ 4 middot 3 _ 4 middot 1 _ 4 = 9 _ 64 asymp 14 1

b) P (g g g) = 1 _ 4 middot 1 _ 4 middot 1 _ 4 = 1 _ 64 asymp 1 6

c) P (r r r) = 3 _ 4 middot 3 _ 4 middot 3 _ 4 = 27 _ 64 asymp 42 2

d) Dies ist das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe c)

also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2

8a) Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9

b) individuelle Loumlsung zum BeispielIn einer Urne befinden sich 4 rote und 6 blaue Kugeln Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zuruumlckle-gen gezogen Berechne die Wahrscheinlichkeit dass beide Kugeln rot sind

r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9

10Lars hat nicht Recht1 Begruumlndung BaumdiagrammDie hier wichtigen Pfade des sehr groszligen Baumdia-gramms sind

K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

Auch nach viermal Z steht an den beiden Teilstuumlcken fuumlr K und Z jeweils die Wahrscheinlichkeit 1 _ 2 Das heiszligt dass K und Z gleich wahrscheinlich sind



2 Begruumlndung Die Muumlnze hat kein Gedaumlchtnis Die Muumln-ze weiszlig nicht was bisher geworfen wurde Bei jedem Wurf ist jede der beiden Seiten gleich wahrscheinlich unabhaumlngig davon was bisher gefallen ist

11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S

Ergebnis Wahrschein-lichkeit

(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01

Die Wahrscheinlichkeit dass ein zufaumlllig ausgewaumlhlter Schuumller aktiv Sport treibt ist 03 + 06 x Aus der Aufgabe ergibt sich dass dies 07 sind

Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3

Also ist die Wahrscheinlichkeit dass ein zufaumlllig ausge-waumlhlter Schuumller weder ein Instrument spielt noch aktiv

Sport treibt 06 middot (1 ndash 2 _ 3 ) = 02 = 20

4 Ereignisse ndash Summenregel

Seite 40

EinstiegsaufgabeBeim Werfen zweier Muumlnzen gibt es vier moumlgliche Ergeb-nisse S = (Z Z) (Z W) (W Z) (W W) Bei einer idealen Muumlnze haben alle vier dieselbe Wahrscheinlichkeit Bei zweien der vier Ergebnisse faumlllt ein Pasch Damit betraumlgt die Wahrscheinlichkeit fuumlr einen Pasch 1 _ 2 Also stimmt Simons Ergebnis aber nicht seine Begruumlndung ndash zumin-dest wenn man das uumlbliche Modell zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit nimmt

Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)

F = (r b) (g b) (b r) (b g) (b b)G = (r r) (r g) (r b) (g r) (g g) (g b) (b r) (b g)H = (b b)

b) E bdquoEs wird zweimal dieselbe Farbe gezogenldquoF bdquoBeim ersten Zug zieht man sbquogruumlnlsquoldquoG bdquoMan zieht einmal eine rote und einmal eine gruumlne Kugelldquo

2T Treffer F Fehlschussa) P (T T F) = 08 middot 08 middot 02 = 0128b) E = (T T F) (T F T) (F T T)

P (E) = 3 middot 08 middot 08 middot 02 = 0384c) F = (T F F) (F T F) (F F T)

P (F) = 3 middot 08 middot 02 middot 02 = 0096

3a)

_ E bdquoEs erscheint immer blauldquo

_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _

E bdquoEs erscheint immer gelbldquo

_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _

E bdquoEs erscheint dreimal gelbldquo _

E = (g g g) (wie in Teilaufgabe b))

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42

5Gewinnwahrscheinlichkeit bei

Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25

Klasse 8 c 1 ndash ( 7 _ 8 ) 3 = 169 _ 512 asymp 330

Denn das Gegenereignis ist bdquoDreimal nicht rotldquo und die Wahrscheinlichkeit bei einer Drehung nicht rot zu erhal-ten betraumlgt 7 _ 8 Man sollte bei Klasse 8 c spielen

6w Medikament wirkt n Medikament wirkt nichta) E = (w n n) (n w n) (n n w)

P (E) = 3 middot 09 middot 0 1 2 = 0027 = 27 b) F = (w w n) (w n w) (n w w)

P (F) = 3 middot 0 9 2 middot 01 = 0243 = 243 c) Gegenereignis

_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01

7F Schuumller kommt mit dem Fahrrad N Schuumller kommt nicht mit dem Fahrrada) E = (F F N) (F N F) (N F F)

P (E) = 3 16 _ 28 middot 15 _ 27 middot 12 _ 26 asymp 440

b) Gegenereignis _

G = (N N N

P(G) = 1 ndash 12 _ 28 middot 11 _ 27 middot 10 _ 26 asymp 933

c) Gegenereignis _

H = (F F F)

P (H) = 1 ndash 16 _ 28 middot 15 _ 27 middot 14 _ 26 asymp 829

8a) Team Alexander und Finn

Anzahl der Treffer 0 1 2

Wahrscheinlichkeit09 middot 01 = 009

01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009

Team Annika und Elif


Wahrscheinlichkeit 0 5 2 = 025 2 middot 0 5 2 = 05 0 5 2 = 025



b) Team Alexander und Finn


Wahrscheinlichkeit 1 middot 0 = 0 0 middot 0 + 1 middot 1 = 1 0 middot 1 = 0

10

B

J

Gewinner3 Runde1 Runde 2 Runde

B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

5 Der richtige Blick aufs Baumdiagramm

Seite 43

EinstiegsaufgabeLara muumlsste 66 = 46 656 Zweige zeichnen Sie kann ge-schickter vorgehen wenn sie bei jeder Stufe die beiden Ergebnisse bdquoSechsldquo und bdquokeine Sechsldquo unterscheidet Dann muumlsste sie 26 = 64 Zweige zeichnen Noch ge-schickter ist es nur den einen Zweig zu zeichnen der zum Ereignis bdquoKeine Sechs bei sechs Wuumlrfenldquo gehoumlrt Dies ist das Gegenereignis des gesuchten Ereignisses

und es hat nach der Pfadregel die Wahrscheinlich-

keit ( 5 _ 6 ) 6 Damit betraumlgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit

1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422

c) P (genau eine 4) = 3 middot 1 _ 4 middot ( 3 _ 4 ) 2 = 27 _ 64 asymp 0422

d) P (genau zweimal eine 4) = 3 middot ( 1 _ 4 ) 2 middot 3 _ 4 = 9 _ 64 asymp 0141

2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (genau einmal gruumln) = 3 1 _ 4 middot ( 3 _ 4 ) 2 = 27 _ 64 asymp 0422

b) P (genau zweimal gruumln) = 3 middot ( 1 _ 4 ) 2 middot 3 _ 4 = 9 _ 64 asymp 0141c) P (mindestens einmal gruumln)

= 1 ndash P (nie gruumln) = 1 ndash ( 3 _ 4 ) 3 = 37 _ 64 asymp 0 578

d) P (houmlchstens einmal gruumln) = P (nie gruumln) + P (genau einmal gruumln)

= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844

I Terme und Gleichungen K 15

Schuumllerbuchseiten 48 ndash 49

3

SS

S

4 Wurf3 Wurf2 Wurf1 Wurf

06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K

a) P (SSSS) = 064 = 01296b) P (mindestens einmal Kopf) = 1 ndash P(SSSS) = 08704c) P (KKKK) = 044 = 00256d) P (mindestens einmal auf der Seite) = 09744

Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr

Ergebnis3 Drehung2 Drehung1 Drehung

(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g

P (dreimal dieselbe Farbe) = ( 1 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 2 ) 3 = 5 _ 32 asymp 0156

b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g

P (dreimal dieselbe Farbe)

= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426

K 16 I Terme und Gleichungen


d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g

P (dreimal dieselbe Farbe) = 3 middot ( 1 _ 3 ) 3 = 1 _ 9 asymp 0111

8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026

b) P (A) = 3 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 2 asymp 0347

P (B) = 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0386

P (C) = 10 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 9 asymp 0323

P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104

10a) P (kein Schwarzfahrer) = 0987 asymp 0868b) Es ist mindestens ein Schwarzfahrer dabeic) Es gibt 7 Pfade die zum Ereignis bdquogenau ein Schwarz-

fahrerldquo gehoumlren Daher muss Niko rechnen 0987 + 7 middot 0986 middot 002 asymp 0992

Seite 46

11a) P (houmlchstens einen Fehlschuss) = 0920 + 20 middot 01 middot 0919

asymp 0392b) P (genau einen Fehlschuss) = 20 middot 01 middot 0919 asymp 0270c) P (mindestens einen Fehlschuss)

= 1 ndash P (keinen Fehlschuss) = 1 ndash 0920 asymp 0878

12a) Es ist egal ob man als Erstes als Zweites

als Drittes oder als Viertes drankommt Denn die zugehoumlrigen Wahrscheinlichkeiten betra-

gen 1 _ 4 = 3 _ 4 middot 1 _ 3 = 3 _ 4 middot 2 _ 3 middot 1 _ 2 = 3 _ 4 middot 2 _ 3 middot 1 _ 2 middot 1 (Teilbaum)

b) Wahrscheinlichkeit an einem Tag nicht dranzukom-

men 3 _ 4

Wahrscheinlichkeit an sieben Tagen nicht dranzu-

kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133

15a) Zum Ereignis bdquogenau zweimal eine 6 bei 4 Wuumlrfenldquo

gehoumlren 6 Pfade

P (genau zweimal eine 6) = 6 middot ( 1 _ 6 ) 2 middot ( 5 _ 6 ) 2 = 25 _ 216 asymp 0116

b) P (houmlchstens zweimal eine 6) = P (keine 6) + P (genau einmal eine 6) + P (genau zweimal eine 6)

= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984

c) Zum Ereignis bdquogenau dreimal eine 6 bei 5 Wuumlrfenldquo gehoumlren 10 Pfade

P (genau dreimal eine 6) = 10 middot ( 1 _ 6 ) 3 middot ( 5 _ 6 ) 2 asymp 0032

16Wahrscheinlichkeiten fuumlr die verschiedenen Ergebnisse

Ergebnis HH PP RR Sonstige

Wahrscheinlichkeit 1 _ 36 1 _ 9 1 _ 4 1 ndash 1 _ 36 ndash 1 _ 9 ndash 1 _ 4 = 11 _ 18

a) Man spielt dreimal also betraumlgt der Einsatz 030 euro Damit der Gewinn 270 euro betraumlgt muss die Auszah-lung 300 euro betragen Dies ist bei dreimal HH der Fall

die Wahrscheinlichkeit betraumlgt ( 1 _ 36 ) 3 asymp 000002

b) Man spielt dreimal also betraumlgt der Einsatz 030 euro Damit der Gewinn ndash 010 euro betraumlgt muss die Auszah-lung 020 euro betragen Dies ist der Fall bei einmal PP und zweimal bdquoSonstigeldquo sowie bei zweimal RR und einmal bdquoSonstigeldquo Die Wahrscheinlichkeit betraumlgt

3 middot 1 _ 9 middot ( 11 _ 18 ) 2 = 121 _ 972 asymp 0124

c) Man spielt dreimal also betraumlgt der Einsatz 030 euro Damit der Gewinn 010 euro betraumlgt muss die Auszah-lung 040 euro betragen Dies ist der Fall bei zweimal PP und einmal bdquoSonstigeldquo sowie bei einmal PP und zwei-mal RR Die Wahrscheinlichkeit betraumlgt

3 ( 1 _ 9 ) 2 middot 11 _ 18 + 3 middot 1 _ 9 middot ( 1 _ 4 ) 2 asymp 0043

d) Man spielt dreimal also betraumlgt der Einsatz 030 euro Damit der Gewinn 070 euro betraumlgt muss die Auszah-lung 100 euro betragen Dies ist der Fall bei einmal HH und zweimal bdquoSonstigeldquo Die Wahrscheinlichkeit be-

traumlgt 3 middot 1 _ 36 middot ( 11 _ 18 ) 2 asymp 0031

6 Wahrscheinlichkeit bei Laplace- Experimenten

Seite 47

EinstiegsaufgabeDie Groumlszlige der Zahlen auf den Chips haumlngt von der Wahr-scheinlichkeit ab dass diese Zahlen als Augensumme beim Werfen zweier Wuumlrfel auftreten Je wahrscheinlicher die Augensumme ist desto groumlszliger ist die Zahl gedruckt Beispiel Die 11 (2 Moumlglichkeiten) ist unwahrscheinlicher als die 6 (5 Moumlglichkeiten)



Seite 48

1a) Ja jede Zahl ist gleich wahrscheinlichb) Nein der Legostein landet nicht mit der gleichen

Wahrscheinlichkeit auf jeder Seitec) Nein die Wahrscheinlichkeiten fuumlr Seite und Kopf sind

unterschiedlichd) Ja jede Seite ist gleich wahrscheinlich

2moumlgliche Ergebnisse 32a) guumlnstige Ergebnisse 4 also Wahrscheinlichkeit

4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5

b) guumlnstige Ergebnisse 8 also Wahrscheinlichkeit

8 _ 32 = 1 _ 4 = 25

c) guumlnstige Ergebnisse 1 also Wahrscheinlichkeit

1 _ 32 asymp 3 1

d) guumlnstige Ergebnisse 7 also Wahrscheinlichkeit

7 _ 32 asymp 21 9

e) guumlnstige Ergebnisse 8 also Wahrscheinlichkeit

21 _ 32 asymp 65 6

f) guumlnstige Ergebnisse 11 also Wahrscheinlichkeit

11 _ 32 asymp 34 4

g) guumlnstige Ergebnisse 3 also Wahrscheinlichkeit

3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50

4moumlgliche Ergebnisse 100a) guumlnstige Ergebnisse 50 also

Wahrscheinlichkeit 50 _ 100 = 1 _ 2 = 50

b) guumlnstige Ergebnisse 10 also


c) guumlnstige Ergebnisse 10 + 9 naumlmlich die 10 aus Tei-laufgabe b) sowie die Zahlen zwischen 50 und 59 wobei die 55 nicht doppelt gezaumlhlt werden darf

Wahrscheinlichkeit 19 _ 100 = 19

d) guumlnstige Ergebnisse 20Jede fuumlnfte Zahl ist durch 5 teilbar


6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

b) moumlgliche Ergebnisse 9 guumlnstige Ergebnisse 2

P (5) = 2 _ 9 asymp 222 c) Die Summe 4 ist am wahrscheinlichsten Hier gibt es

drei guumlnstige Ergebnisse

Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

b) moumlgliche Ergebnisse 9guumlnstige Ergebnisse 2 also Wahrscheinlichkeit

P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56

guumlnstige Ergebnisse 6 also Wahrscheinlichkeit

P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)

8Ereignis Wahrscheinlichkeit

(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 

(3) Carreacute 4 _ 37    asymp 108 

(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 

9a) Die Argumentation ist richtig wenn man annimmt

dass alle Wochentage als Tag der Geburt gleich wahr-scheinlich sind In Wirklichkeit werden am Samstag und am Sonntag weniger Kinder geboren als an den anderen Tagen



b) Die Argumentation ist falsch Der 1 Advent ist immer ein Sonntag

c) Die Argumentation ist falsch Die Buchstaben kom-men nicht alle gleich haumlufig vor In der deutschen Sprache ist der haumlufigste Buchstabe das bdquoeldquo mit einer relativen Haumlufigkeit von ca 174 Das bdquoaldquo hat eine

Wahrscheinlichkeit von ca 65 ( 1 _ 26 asymp 38 )

11Leibniz unterscheidet die beiden Wuumlrfel nicht In diesem Fall sind nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich Wenn man die beiden Wuumlrfel gedanklich unterscheidet (also einen 1 und einen 2 Wuumlrfel oder einen roten und einen blauen betrachtet) so erkennt man dass es fuumlr die Augensumme 11 zwei moumlgliche Ergebnisse naumlmlich (5 6) und (6 5) gibt waumlhrend es fuumlr die Augensumme 12 nur ein moumlgliches Ergebnis (6 6) gibt (vgl Aufgabe 7) Also ist 11 doppelt so wahrscheinlich wie 12

12moumlgliche Ergebnisse 63 = 216a) guumlnstige Ergebnisse 27 naumlmlich

gewuumlrfelte Zahlen Anzahl der Kombinationen

1 4 6 3 middot 2 middot 1 = 6

1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3

Wahrscheinlichkeit P (11) = 27 _ 216 = 125

b) guumlnstige Ergebnisse 25 naumlmlich




2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1

Wahrscheinlichkeit P (11) = 25 _ 216 asymp 116

7 Kombinatorische Hilfsmittel

Seite 50

EinstiegsaufgabeBuchstaben 2 middot 29 = 58 (26 sowie Umlaute jeweils groszlig und klein) Zahlen 10 Moumlglichkeiten bei 5 Stellen 585 = 656 356 768Auf der Tastatur sind 48 Tasten pro Taste gibt es zwei Symbole also gibt es 96 Symbole Moumlglichkeiten bei 5 Stellen 965 = 8 153 726 97696 Symbole Moumlglichkeiten bei 5 Stellen ohne Wieder-holung 96 middot 95 middot 94 middot 93 middot 92 = 7 334 887 680

Seite 51

1a) Es gibt 105 = 100 000 Kombinationenb) 5 middot 105 s = 500 000 s asymp 1389 h

Es dauert maximal ca 139 Stunden das sind 5 Tage und 19 Stunden

2Es gibt 27 = 128 moumlgliche Codierungen

3In Jans Telefonnummer kommen 5 Ziffern vor und sie ist sechsstellig Also gibt es 56 = 15 625 Moumlglichkeiten Die Wahrscheinlichkeit die richtige Nummer zu erraten be-

traumlgt somit 1 _ 15 625 asymp 00064

4a) Es gibt 8 middot 7 middot 6 = 336 moumlgliche Reihenfolgen fuumlr die

ersten drei Plaumltzeb) Die Wahrscheinlichkeit dass Julia alle drei Plaumltze rich-

tig erraten hat betraumlgt 1 _ 336 asymp 03

5Herr Schick hat 2 middot 5 middot 3 = 30 moumlgliche Outfits Das sind genuumlgend Outfits fuumlr je eines pro Arbeitstag

6a) Es gibt 6 middot 5 middot 4 = 120 verschiedene Trikoloren Dabei zaumlhlt eine Flagge nur als Trikolore wenn sie drei ver-schiedenfarbige Streifen hat d h z B die Flagge Nigerias (gruumln ndash weiszlig ndash gruumln) zaumlhlt nicht als Trikolore

b) Die Wahrscheinlichkeit betraumlgt 1 _ 120 asymp 08 Wenn

auch die Reihenfolge rot ndash weiszlig ndash blau als franzoumlsische

Flagge zaumlhlt ist die Wahrscheinlichkeit 1 _ 60 asymp 17

Seite 52

9a) moumlgliche Ergebnisse 313 = 1 594 323 guumlnstige

Ergebnisse 1Die Wahrscheinlichkeit dass jemand zufaumlllig alle

Spiele richtig tippt betraumlgt 1 _ 3 13 asymp 0000 06

b) moumlgliche Ergebnisse 313 = 1 594 323 guumlnstige Ergebnisse 213 = 8192Die Wahrscheinlichkeit dass jemand zufaumlllig kein

Spiel richtig tippt betraumlgt 2 13 _ 3 13 asymp 05

10moumlgliche Ergebnisse 65 = 7776a) guumlnstige Ergebnisse 6 middot 5 middot 4 middot 3 middot 2 = 720

Wahrscheinlichkeit 720 _ 7776 asymp 93

b) guumlnstige Ergebnisse 6 middot 1 middot 1 middot 1 middot 1


c) guumlnstige Ergebnisse (1 2 3 4 5) und (2 3 4 5 6) von jedem gibt es 5 middot 4 middot 3 middot 2 = 120 Reihenfolgen




11moumlgliche Ergebnisse 8 middot 7 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 20 160 (Die erste Person hat 8 moumlgliche Stuumlhle zur Auswahl die zweite 7 usw)guumlnstige Ergebnisse 6 middot 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 720 (Die erste Person hat 6 moumlgliche Stuumlhle zur Auswahl naumlmlich alle Stuumlhle ohne die beiden am Rand die zweite 5 usw)

Wahrscheinlichkeit 6 middot 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 __ 8 middot 7 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 1 _ 87 = 1 _ 56 asymp 18

12moumlgliche Ergebnisse 3 middot 2 middot 1 = 6 (Fuumlr den ersten Brief hat er 3 Umschlaumlge zur Auswahl fuumlr den zweiten 2 und fuumlr den dritten 1)a) guumlnstige Ergebnisse 1

(Alle Briefe wurden den richtigen Umschlaumlgen zuge-ordnet)


b) guumlnstige Ergebnisse 2 middot 1 = 2 (Fuumlr den ersten Brief hat er 2 falsche Umschlaumlge zur Auswahl fuumlr den zweiten und dritten jeweils noch 1)

Wahrscheinlichkeit 2 _ 6 = 1 _ 3 asymp 333

14Die Wahrscheinlichkeit dass alle vier an verschiedenen

Wochentagen Geburtstag haben betraumlgt 7 _ 7 middot 6 _ 7 middot 5 _ 7 middot 4 _ 7

Denn fuumlr die erste Person stehen 7 Wochentage zur Ver-fuumlgung Fuumlr die zweite stehen noch 6 Wochentage zur Verfuumlgung (da sie an einem anderen Tag als die erste Geburtstag haben soll) fuumlr die dritte noch 5 (da sie an einem anderem Tagen als die ersten beiden Geburtstag haben soll) und fuumlr die vierte noch 4 (da sie an einem anderen Tag als die anderen drei Geburtstag haben soll)Das Gegenereignis ist dass mindestens zwei der vier am gleichen Wochentag Geburtstag haben Seine Wahr-

scheinlichkeit betraumlgt 1 ndash 7 _ 7 middot 6 _ 7 middot 5 _ 7 middot 4 _ 7 = 223 _ 343 asymp 650

Die Chancen von Theas Vater die Wette zu gewinnen stehen also ziemlich gut

15Der Fehler in der Argumentation des Groszligherzogs ist dass er nur die Arten abzaumlhlt wie die 10 bzw die 9 als Augensumme auftreten koumlnnen Diese Arten sind jedoch nicht alle gleich wahrscheinlich Dies erkennt man wenn man die drei Wuumlrfel gedanklich unterscheidet z B in einen ersten einen zweiten und einen dritten Wuumlrfel oder in einen roten einen weiszligen und einen schwarzen Wuumlrfel Dann gibt es zu den Arten wie 1 + 3 + 6 bei denen drei verschiedene Zahlen geworfen werden 6 moumlgliche Ergebnisse Zu den Arten wie 2 + 2 + 6 bei denen zwei verschiedene Zahlen auftreten gibt es 3 moumlgliche Ergebnisse Und zu den Arten wie 3 + 3 + 3 bei denen dreimal die gleiche Zahl geworfen wird gibt es nur 1 Ergebnis Damit gibt es fuumlr die Augensumme 10 an Ergebnissen 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 3 = 27Fuumlr die Augensumme 9 gibt es an Ergebnissen 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 also zwei weniger

Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216

GFS-Thema Efron-Wuumlrfel

Seite 52

Loumlsung der Erarbeitung

Schritt 2Rot gegen Weiszlig

1

5

0

4

0

4

Gewinner WahrscheinlichkeitWeiszligRot

Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1

Gewinner WahrscheinlichkeitGruumlnRot

Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6

Gewinner WahrscheinlichkeitBlauRot

Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2

Weiszlig gegen Gruumln

0

4

3

31

1

Gewinner WahrscheinlichkeitGruumlnWeiszlig

Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1

Gewinner WahrscheinlichkeitGruumlnBlau

Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2

Rot Weiszlig Gruumln Blau

Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3

Weiszlig 1 _ 3 ndash 2 _ 3 4 _ 9

Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash


Schritt 3Strategie Der zweite Spieler waumlhlt abhaumlngig von der Wahl des ersten Spielers gemaumlszlig obiger Tabelle immer den Wuumlrfel der eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2 _ 3 hatAlso Rot yen Weiszlig yen Gruumln yen Blau yen Rot

1

11

1

2

2

Gewinner3 Runde2 Runde1 Runde

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3

Die Gewinnwahrscheinlichkeit fuumlr Spieler 2 ist

1 _ 3 middot 2 _ 3 middot 2 _ 3 + 2 _ 3 middot 1 _ 3 middot 2 _ 3 + 2 _ 3 middot 2 _ 3 middot 1 _ 3 + ( 2 _ 3 ) 3 = 3 middot 1 _ 3 middot ( 2 _ 3 )

2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741


1 Wuumlrfel 5 Seiten mit bdquo3ldquo und 1 Seite mit bdquo1ldquo 2 Wuumlrfel 6 Seiten mit bdquo2ldquo

31

3

3

33 22

2

2

22

b) individuelle Loumlsung zum Beispiel1 Wuumlrfel 4 Seiten mit bdquo4ldquo und 2 Seiten mit bdquo1ldquo 2 Wuumlrfel 6 Seiten mit bdquo3ldquooder roter und gruumlner Efron-Wuumlrfel

44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2

Wuumlrfel Gewinnwahrscheinlichkeit

Rot 1 _ 2 middot 1 _ 3 middot 2 _ 3 + 1 _ 2 middot 2 _ 3 middot 2 _ 3 = 1 _ 3

Weiszlig 1 _ 2 middot 2 _ 3 middot 2 _ 3 = 2 _ 9

Gruumln 1 _ 2 middot 1 _ 3 middot 2 _ 3 = 1 _ 9

Blau 1 _ 2 middot 1 _ 3 middot 1 _ 3 + 1 _ 2 middot 2 _ 3 middot 1 _ 3 + 1 _ 2 middot 1 _ 3 middot 1 _ 3 + 1 _ 2 middot 2 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 3



12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip

Endziffer 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 hellip

Die Endziffern wiederholen sich regelmaumlszligig nach zehn Zahlen Es tauchen nur die Endziffern 0 1 4 5 6 und 9 auf(Weitere Beobachtung In einem Zehnerblock (d h von 0 bis 10 bzw von 10 bis 20 hellip) tauchen die Endshyziffern bdquosymmetrischldquo zur Endziffer 5 auf)

b) Aufgrund der Endziffer koumlnnen folgende Zahlen keine Quadratzahlen sein 602 257 3773 und 3572Folgende Zahlen sind bekanntlich ebenfalls keine Quadratzahlen 29 und 44Dann muumlssen die fuumlnf verbliebenen die Quadratshyzahlen sein also 1024 81 10404 529 und 9025

13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18

c) 2 5 und 5 also 9 0000000000 225 = 15 oder 5 6 und 6 also 9 0000000000 256 = 16 oder 89 und 7 also 9 0000000000 289 = 17 (Ergaumlnzt man als Bedingung dass die Symbole vershyschiedene Ziffern symbolisieren sind 8 9 und 7 die einzigen Loumlsungen)

d) 0 0 und 3 also 9 000000000000 0 09 = 03 oder 4 0 und 7 also

9 000000000000 0 49 = 07(Ergaumlnzt man als Bedingung dass die Symbole vershyschiedene Ziffern symbolisieren sind 4 0 und 7 die einzigen Loumlsungen)

14 9 0000000000 165 asymp 13 Umfang des Feldes 52 m Abzuumlglich des Zugangs 50 mPlus 5 525

Da 9 0000000000 165 lt 13 ist koumlnnten auch 52 m Zaun genuumlgen (was auch so ist exakt berechnet sind es 5185 m Zaun) Uumlberschlaumlgig gerechnet sind auch 53 m korrekt

15a) Die Aussage ist falsch

Gegenbeispiel 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 die Wurzel aus der Zahl ist

groumlszliger als die Zahl selbstb) Die Aussage ist falsch

Gegenbeispiel Quadriert man (ndash 1) erhaumllt man 1 aber 9 0000 1 = 1 und nicht ndash 1

17Gemeinsam haben sie 61 Kaumlrtchen da 61 keine Quadratshyzahl ist lassen sich die 61 Kaumlrtchen nicht als Quadrat auslegenFunktionieren wuumlrde dies z B bei 9 und 16 (Summe 25) oder 36 und 64 (Summe 100)

III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60

EinstiegsaufgabeDie groumlszligte Quadratzahl kleiner als 150 ist 144 Anna kann also ein Quadrat mit einer Seitenlaumlnge bestehend aus 12 Kaumlrtchen legen

Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm

9a) 35 b) 29 c) ndash 17 d) 23e) ndash 101 f) ndash 31 g) 12 h) ndash 18

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10a) ndash 7 und 7 b) ndash 11 und 11

c) ndash 03 und 03 d) ndash 9 _ 12 = ndash 3 _ 4 und 9 _ 12 = 3 _ 4

11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11



31 Schritt 5 lt 9 0000000 31 lt 6 da 5 2 = 25 und 6 2 = 362 Schritt 55 lt 9 0000000 31 lt 56 da 5 5 2 = 3025 und 5 6 2 = 31363 Schritt 556 lt 9 0000000 31 lt 557 da 55 6 2 = 309136 und 5 57 2 = 3102494 Schritt 5567 lt 9 0000000 31 lt 5568 da 5 567 2 = 30991489 und 5 568 2 = 31002624Ein auf zwei Nachkommastellen gerundeter Wert fuumlr 9 0000000 31 ist also 557

41 Schritt 3 lt 9 0000000 10 lt 4 da 3 2 = 9 und 4 2 = 162 Schritt 31 lt 9 0000000 10 lt 32 da 3 1 2 = 961 und 3 2 2 = 10243 Schritt 316 lt 9 0000000 10 lt 317 da 31 6 2 = 99856 und 3 17 2 = 1004894 Schritt 3162 lt 9 0000000 10 lt 3163 da 316 2 2 = 9998244 und 3 163 2 = 10004 569Die Seitenlaumlnge des Feldes betraumlgt 316 m Die Laumlnge des Zauns betraumlgt 1264 m (ohne vorherige Abrundung 1265 m)

7a) 538 und 539b) 8485 und 8486c) 6707 und 6709 oder 6708 und 6710

8a) 0 1 2 3 b) 7 8 9c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 d) 8 9 e) alle Ziffern moumlglich f) 2 3 4 5 6

9a) Quadriert man 592 muss die letzte Ziffer 2 2 = 4 ershy

geben Die letzte Ziffer von 35 ist nicht 4 daher kann 592 nicht die Wurzel aus 35 sein

b) Da 6 2 = 36 ist kann 9 000000000000000000000 39 0625 nicht kleiner als 6 sein

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10a) Naumlher bei 8 liegen 9 0000000 65 9 0000000 66 9 0000000 69 9 000000 71

Naumlher bei 9 liegen 9 0000000 75 9 0000000 79 9 0000000 80 b) Nein dies gilt nicht Die Zahl 724 ist kleiner als der

Mittelwert von 8 2 und 9 2 aber 9 000000000000 72 4 asymp 8509 also groumlszliger als der Mittelwert von 8 und 9

11a) 7 b) 20 c) 68

14a) Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot ( 17 _ 6 + 48 _ 17 ) = 577 _ 204   asymp 2828 43  

b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42

18a) Eine gerade Quadratzahl ist das Quadrat einer gerashy

den Zahl a Weil a gerade ist enthaumllt a den Faktor 2 Also enthaumllt a 2 =a middot a den Faktor 2 middot 2 = 4 somit ist die Quadratzahl durch 4 teilbar

b) Eine ungerade Quadratzahl b 2 ist das Quadrat einer ungeraden Zahl b Eine ungerade Zahl b kann man schreiben als a + 1 wobei a die naumlchstkleinere gerade Zahl ist Es ist b 2 = (a + 1 ) 2 = a 2 + 2 a + 1 Da a gerade ist sind sowohl a 2 (vgl Teilaufgabe a)) als auch 2 a durch 4 teilbar also bleibt beim Teilen von b 2 durch 4 der Rest 1Alternative graphische Veranschaulichung Legt man ein Quadrat mit b 2 Kaumlrtchen hat es die Seitenlaumlnge b bzw a + 1 Man kann dieses Quadrat in ein Quadrat mit asup2 Kaumlrtchen zwei Streifen mit je a Kaumlrtchen und ein einzelnes Kaumlrtchen aufteilen

a

a a

a

Es ist also b 2 = a 2 + 2 middot a + 1 Da a gerade ist ist a 2 durch 4 teilbar (vgl Teilaufgabe a)) und 2 middot a ebenfalls Teilt man b 2 durch 4 bleibt also der Rest 1

2 Naumlherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln

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Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64

1a) naumlherungsweise b) genau c) naumlherungsweise d) naumlherungsweisee) genau f) genaug) naumlherungsweise h) genaui) naumlherungsweise j) naumlherungsweisek) naumlherungsweise l) genau

2Die Quadratwurzel liegt zwischena) 3 und 4 b) 10 und 11 c) 7 und 8d) 17 und 18 e) 19 und 20 f) 8 und 9g) 6 und 7 h) 5 und 6 i) 10 und 11j) 15 und 16 k) 9 und 10 l) 7 und 8



4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

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7individuelle Loumlsung zum Beispiela) rational 1323 232 323 232hellip

irrational 1323 323 332hellipb) rational 4575 757 57hellip

irrational 4575 575 557hellipc) rational 51251 222 222 2hellip

irrational 51251 221 222 122 22hellipd) rational 35727 727 727 727 727 7hellip

irrational 35727 727 772 777 727 777 72hellip

8ndash 2301 ndash 9 0000 5 ndash 2

_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12

9individuelle Loumlsung zum Beispiela) 2 4 6

b) ndash 9 0000 2 ndash 9 0000 5 ndash 1 121 121 112 hellip

c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip

10Das Quadrat hat den Flaumlcheninhalt 25 die Diagonale ist die Seite eines Quadrats mit dem doppelten Flaumlcheninshyhalt also mit dem Flaumlcheninhalt 50 Deshalb ist die Zahl 9 0000000 50 sie ist irrational weil 50 keine Quadratzahl ist

13a) Sei 9 0000 5 = a _ b also rational

Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2

Nun wird untersucht wie oft der Faktor 5 auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung vorshykommt Links kommt er in ungerader Anzahl vor weil er in b 2 in gerader Anzahl vorkommt Rechts kommt er in gerader Anzahl vor weil er in a 2 in gerader Anzahl vorkommt

b) Erster Schritt a = 3 b = 5 Zweiter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot ( 31 _ 8 + 120 _ 31 ) = 1921 _ 496   asymp 38729  

b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298

Die dritte Nachkommastelle aumlndert sich nun nicht mehr ein Naumlherungswert fuumlr 9 0000000 15 ist 3872

c) Es ist a neu = 1 _ 2 middot ( a alt + b alt ) und b alt = A _ a alt Setzt man

dies in die vorige Gleichung ein erhaumllt man

a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

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EinstiegsaufgabeDie Bruumlche naumlhern 9 0000 2 an aber kein Bruch entspricht 9 0000 2

denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

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1a) rational weil 4 eine Quadratzahl istb) irrational weil 18 keine Quadratzahl istc) irrational weil 27 keine Quadratzahl istd) rational weil 169 eine Quadratzahl iste) irrational weil 200 keine Quadratzahl istf) rational weil 625 eine Quadratzahl ist

2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204

Irrational 13133 133 31hellip 9 0000 8

3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip

natuumlrlich nein nein nein nein nein nein ja ja nein

negativ ja nein nein nein nein ja nein nein nein

ganz ja nein nein nein nein ja ja ja nein

rational ja ja ja nein ja ja ja ja nein

Irrational nein nein nein ja nein nein nein nein ja

reell Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja



Der Faktor 5 kann nicht auf den beiden Seiten der Gleichung in unterschiedlicher Anzahl vorkommen Also war die Voraussetzung falsch man kann 9 0000 5 nicht als Bruch schreiben

b) Sei 9 0000 4 = a _ b also rational

Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2

Da 4 = 2 2 ist wird untersucht wie oft der Faktor 2 auf der linken und auf der rechten Seite der Gleishychung vorkommt Auf beiden Seiten kommt er in geshyrader Anzahl vor Es gibt hier also keinen Widerspruch Im Gegenteil es lassen sich Werte fuumlr a und b finden so dass die Gleichung 4 b 2 = a 2 richtig ist etwa a = 6 und b = 3 9 0000 4 laumlsst sich also als Bruch schreishy

ben etwa als 6 _ 3 = 2

4 Rechenregeln fuumlr Quadratwurzeln

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Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2

3individuelle Loumlsung zum Beispiel

9 0000000000 120 9 0000 2 9 0000 5 middot 9 0000000 12 9 0000 2 middot 9 0000 3 middot 9 0000000 10 9 0000000 15 middot 9 0000000 48 9 0000000 12 hellip

4a) 8 middot 9 0000 5 b) 11 middot 9 000000 11 c) ndash 9 0000 2

d) 5 middot 9 000000 11 e) 9 middot 9 0000000 20 f) 4 middot 9 0000 6

g) ndash 9 0000000 15 h) 5 _ 4 middot 9 0000 5 i) ndash 3 _ 2 middot 9 0000 7

5a) 5 + 20 = 25 b) 6 + 12 = 18 c) 6 ndash 12 = ndash 6d) 10 ndash 5 = 5 e) 4 + 12 = 16 f) 3 + 3 = 6

8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11

10a) B 1 b) T 5 c) R 8 d) N 2e) E 3 f) I 9 g) E 3 h) A 6Loumlsungswort ARBEITEN

Seite 71

11a) 66 + 16 middot 9 0000 2 b) 20 ndash 10 middot 9 0000 5 c) 49 ndash 13 = 36d) 27 d) 5 d) ndash 22g) 32 h) 50 i) 47

12a) Die Wurzel der Zahl wird verdoppelt wenn die Zahl

vervierfacht wirdb) Eine Zahl muss verhundertfacht werden damit sich

ihre Wurzel verzehnfachtc) Wird eine Zahl mit dem Faktor 1 _ 4 multipliziert halbiert

sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x

14 individuelle Loumlsung zum Beispiel

a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3

b) 9 0000000 12 middot 9 0000 3 ndash 2 middot 3 = 0

c) 9 0000000 12 middot 9 0000 3 ndash 2 ndash 3 = 1

16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3

17a) Der Bruch wurde erweitert mit (4 ndash 9 0000 2 )

b) 60 + 12 middot 9 0000 3 __ 22 ndash 9 0000 5 ndash 9 0000000 30 __ 5 =

9 0000000 30 ndash 9 0000 5 __ 5 22 ndash 8 middot 9 0000 6 __ 10 5 ndash 5 middot 9 000 x __ 1 ndash x

18Man fasst im Radikanden die beiden Faktoren a und b zu einer Zahl zusammen und wendet dann zuerst die Reshychenregel auf (a middot b) und c dann noch auf a middot b an

9 00000000000000 a middot b middot c = 9 0000000000000000 (a middot b) middot c = 9 00000000 a middot b middot 9 000 c = 9 000 a middot 9 000 b middot 9 000 c



5 Teilweises Wurzelziehen

Seite 72

EinstiegsaufgabeDas Quadrat hat den Flaumlcheninhalt 45 und die Seitenshylaumlnge 9 0000000 45 Es besteht aus neun gleich groszligen kleineren Quadraten mit dem Flaumlcheninhalt 45 9 = 5 Die Seitenshylaumlnge eines solchen kleinen Quadrats ist 9 0000 5 Eine Seite des groszligen Quadrats besteht aus drei Seiten der kleinen Quadrate also ist 9 0000000 45 = 3 middot 99 000 5 Weitere moumlgliche Entdeckungen (beispielhaft) 9 0000000 45 middot 9 0000 5 = 15 Dazu betrachtet man drei senkrecht aufshyeinanderliegende Quadrate Sie ergeben ein Rechteck mit dem Inhalt 45 3 = 15 und den Seitenlaumlngen 9 0000000 45 und 9 0000 5 Daraus ergibt sich 9 0000000 45 middot 9 0000 5 = 15 9 0000000 20 = 2 middot 9 0000 5 Dazu betrachtet man vier der kleinen Quadrate die zusammen ein Quadrat mit dem Inhalt 4 middot 5 = 20 bilden Dessen Seitenlaumlnge ist 9 0000000 20 oder zwei mal die Seitenlaumlnge des kleineren Quadrats also 2 middot 9 0000 5

Seite 73

1a) 2 middot 4 b) 3 middot 16 c) 2 middot 100 d) 2 middot 9e) 3 middot 25 f) 5 middot 9 g) 10 middot 100 h) 2 middot 16i) 10 middot 81 j) 5 middot 16 k) 73 middot 100 l) 2 middot 144

2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15

3a) 2 middot 9 0000 3 b) 3 middot 9 0000 2 c) 3 middot 9 0000 5 d) 2 middot 9 0000 5

e) 5 middot 9 0000 2 f) 3 middot 9 000000 11 g) 3 middot 9 0000 7 h) 2 middot 9 0000 6

i) 3 middot 9 0000 3 j) 2 middot 9 0000 2 k) 10 middot 9 0000 2 l) 5 middot 9 0000 3




5a) 2 middot 9 0000 2   asymp 2 8  b) 5 middot 9 0000 3   asymp 85  c) 3 middot 9 0000000 10   asymp 96

d) 10 middot 9 0000 2   asymp 14  e) 20 middot 9 0000 3   asymp 34  f) 8 middot 9 0000000 10   asymp 256

g) 10 middot 9 0000000 10   asymp 32  h) 7 middot 9 0000 3   asymp 119

8a) 4 middot 9 0000 2 b) 10 middot 9 0000000 10 c) 9 0000 6 d) 0 e) ndash 9 0000 5 f) 0

9a) 2 middot 9 0000 3 b) ndash 9 c) 4 middot 9 0000 7 d) 20 middot 9 0000 2 e) ndash 14 middot 9 0000 2 f) 4 middot 9 0000 3

10Richtig K L A R Loumlsungswort KLARFalsch S O N CH T I Loumlsungswort SO NICHTMoumlgliche Korrekturen

S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5

T 9 0000 5 middot 9 0000000000000000 5 + 20 = 9 0000 5 middot 9 0000000 25 = 5 middot 9 0000 5 I 9 0000000 16 + 9 0000 9 = 4 + 3 = 7

11Oberflaumlche O = 2 s 2 + 4 middot 2 s middot s = 10 s 2 also 10 s 2 = 800

somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74

12a) Fehler in Zeile 3 9 000000000000000 16 + 2   ne 4 middot  9 0000 2

Korrektur 3 middot 9 0000 2 + 9 0000000 18 = 3 middot 9 0000 2 + 3 middot 9 0000 2 = 6 middot 9 0000 2

b) Fehler in Zeile 2 5 middot 9 0000000 12 ne 5 middot 3 middot 9 0000 2

Korrektur 2 middot 9 0000000 98 ndash 5 middot 9 0000000 12 = 2 middot 7 middot 9 0000 2 ndash 5 middot 2 middot 9 0000 3 = 14 middot 9 0000 2 ndash 10 middot 9 0000 3

c) Fehler in Zeile 2 9 0000000 12 _ 2 ne 4 middot 9 0000 3 _ 2

Korrektur 9 0000000 12 _ 2 ndash 9 0000000 27 = 2 middot 9 0000 3 _ 2 ndash 3 middot 9 0000 3 = ndash 2 middot 9 0000 3

13a) 2 x middot 9 0000 2 b) 4 middot 9 000 x c) ndash 9 000 x d) 3 z middot 9 0000 2

e) z _ 3 f) 1 _ 3 middot 9 000 y g) 3 middot 9 000000 2 x h) 2 x middot 9 0000 3

14Seitenlaumlnge groszliger Wuumlrfel s = 9 0000000 40 dm = 2 middot 9 0000000 10 dmZuruumlckgelegter Weg Senkrechter Weg insgesamt s

Waagrechter Weg insgesamt s + s _ 2 + s _ 4 = 7 _ 4 s

Zuruumlckgelegter Weg s + 7 _ 4 s = 11 _ 4 s = 22 _ 4 middot 9 0000000 10 dm

= 5 5 middot 9 0000000 10 dm

17a) Das groszlige Quadrat hat den Flaumlcheninhalt 27 es ist in

3 middot 3 = 9 gleich groszlige kleinere Quadrate mit dem Flaumlshycheninhalt 27 9 = 3 aufgeteilt

(i) Drei dieser kleinen Rechtecke bilden ein Rechteck mit den Seitenlaumlngen 9 0000000 27 und 9 0000 3 dieses Rechteck hat den Flaumlcheninhalt 27 3 = 9 also ist 9 0000000 27 middot 9 0000 3 = 9

(ii) Die Seitenlaumlnge des groszligen Quadrats ist 9 0000000 27 und sie setzt sich aus drei Seitenlaumlngen der kleineren Quashy

drate zusammen also ist 9 0000000 27 = 3 middot 9 0000 3 bzw 9 0000000 27 9 0000 3 = 3

(iii) Das gruumlne Viereck ist ein Quadrat es hat den doppelten Flaumlcheninhalt des kleineren (roten) Quashydrats also 6 D h seine Seitenlaumlnge ist 9 0000 6 Diese Seishytenlaumlnge entspricht aber genau der Diagonalen des Quadrats mit der Flaumlche 3



b)

980

95

80

5

Die grau schraffierte Flaumlche hat den Inhalt 80 4 = 20 sie ist ein Rechteck mit den Seitenlaumlngen 9 0000000 80 und 9 0000 5 also ist 9 0000000 80 middot 9 0000 5 = 20

18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75

EinstiegsaufgabeDa fuumlr die Volumenbestimmung eines Wuumlrfels die Seitenshylaumlnge dreimal mit sich selbst multipliziert werden muss muss die Seitenlaumlnge um eine Zahl vervielfacht werden die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 2 ershy

gibt also mit 3 9 0000 2

Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3

11Die Kubikwurzel liegt zwischen a) 3 und 4 b) 4 und 5 c) 5 und 6 d) 10 und 11 e) 2 und 3 f) 6 und 7

12Uumlberschlaumlgt man mit 30 ergibt sich 30 3 = 27 000 Also kommen 25 000 oder 29 000 in FrageDa 29 kleiner 30 ist und die Abweichungen mit groumlszliger werdenden Zahl auch groumlszliger werden liegt die dritte Wurshyzel von 25 000 der Zahl 29 am naumlchsten (exakter Wert 29 3 = 24 389)

Seite 77

13Volumen 129 533 6788 cm 3 Kantenlaumlnge des Wuumlrfels 505973 261 2 cm asymp 50597 cm  (gerundet auf zwei Nachshykommastellen)

14a) 576 b) 754

16Volumen 8 312 500 mm 3 Kantenlaumlnge  2025 709 755 mm asymp 20257 mm = 20257 cm

17Volumen der Figur 73 a 3    Kantenlaumlnge a asymp 24 dm


3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2

b) 3 9 0000000 a middot b ist die Zahl die dreimal mit sich selbst multishy

pliziert a middot b ergibt

Multipliziert man 3 9 000 a middot

3 9 000 b dreimal mit sich selbst erhaumllt

man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b

Also gilt die Gleichung 3 9 0000000 a middot b =

3 9 000 a middot

3 9 000 b



GFS-Thema Bruch- und Dezimalschreibweise

Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35

2a) Bruch ist gekuumlrzt Nenner 125 = 5 3

abbrechende Dezimalzahlb) Bruch ist gekuumlrzt Nenner ist 13

periodische Dezimalzahlc) Bruch ist gekuumlrzt Nenner 8 = 2 3

abbrechende Dezimalzahl

d) Gekuumlrzter Bruch 2 _ 3 Nenner 3 periodische Dezimalzahl

e) Gekuumlrzter Bruch 3 _ 50 Nenner 50 = 2 middot 5 2

abbrechende Dezimalzahlf) Gekuumlrzter Bruch 4 _

25 Nenner 25 = 5 2


g) Gekuumlrzter Bruch 1 _ 2 Nenner 2 abbrechende

Dezimalzahlh) Bruch ist gekuumlrzt Nenner 29 periodische Dezimalzahl

32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99

5Robin hat recht denn die Zahl 84 15 oline 115 = 84151 151 151 1

51 15hellip laumlsst sich auch als 84 oline 151 schreiben Diese ist als

Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer

Das Loumlsungsheft enthaumllt die Loumlsungen zu allen Aufgaben die nicht im Schuuml-lerbuch geloumlst werden Es unterstuumltzt Sie im Unterricht und ermoumlglicht Ihren Schuumllerinnen und Schuumllern sich zu Hause zu kontrollieren und ihr Wissen zu festigen




I Terme mit mehreren Variablen

1 Terme mit mehreren Variablen

Seite 6

EinstiegsaufgabebdquoHundldquo 30 Flaumlchen sind sichtbarTerm 6 middot w Der Term beschreibt die Gesamtzahl der Flaumlchen von w Wuumlrfeln Pro Klebestelle werden zwei Flaumlchen unsichtbar also sind 6 middot w ndash 2 middot f Flaumlchen sichtbarbdquoGiraffeldquo 62 Flaumlchen sind sichtbarw = 15 f = 14bdquoFischldquo 82 Flaumlchen sind sichtbarw = 26 f = 37

Seite 7

1a) x + y = 3 + 5 = 8b) y ndash x = 5 ndash 3 = 2c) x middot y = 3 middot 5 = 15d) y ndash 2x = 5 ndash 2 middot 3 = 5 ndash 6 = ndash 1e) 2 middot (x + y) = 2 middot (3 + 5) = 2 middot 8 = 16f) 2y ndash 3 x = 2 middot 5 ndash 3 middot 3 = 10 ndash 9 = 1g) 3 middot (y ndash x) = 3 middot (5 ndash 3) = 3 middot 2 = 6h) 2 x y = 2 middot 3 middot 5 = 30

2a) 2 middot 2 ndash (2 ndash 4) 2 = 4 ndash (ndash 2) 2 = 4 ndash 4 = 0b) 2 middot 7 ndash (7 ndash 7) 2 = 14 ndash 0 2 = 14c) 2 middot (ndash 2) ndash (ndash 2 ndash 6) 2 = ndash 4 ndash (ndash 8) 2 = ndash 4 ndash 64 = ndash 68d) 2 middot 2 ndash (2 ndash (ndash 3) ) 2 = 4 ndash 5 2 = 4 ndash 25 = ndash 21

3a) 4 middot 1 _ 2 ndash 15 middot 1 _ 3 = 2 ndash 5 = ndash 3

b) 1 _ 7 middot 4 + 3 middot 1 _ 7 = 4 _ 7 + 3 _ 7 = 1

c) 5 middot 0 4 2 middot 5 = 25 middot 016 = 4d) 3 middot 02 + 7 middot 02 = 06 + 14 = 2

e) 1 _ 4 middot 1 2 middot 1 _ 2 + ( 1 _ 2 ) 2 = 1 _ 8 + 1 _ 4 = 3 _ 8

f) 2 middot 1 _ 3 ndash 5 middot (04) 2 = 2 _ 3 ndash 4 _ 5 = ndash 2 _ 15

4a) Term 6 + 4 middot c + 2 middot d + 4

Berechnung fuumlr c = 12 d = 27 6 + 4 middot 12 + 2 middot 27 + 4 = 112 Das Muster hat 112 Perlen

b) Term fuumlr den Flaumlcheninhalt A = 8 b + (a ndash b) middot (8 ndash (a ndash b) ) oder A = 8 a ndash (a ndash b) 2 Berechnung fuumlr a = 10 und b = 6 A = 64 Der Flaumlcheninhalt der farbigen Figur betraumlgt 64 FETerm fuumlr den UmfangU = 8 + b + (a ndash b) + (a ndash b) + (8 ndash (a ndash b) ) + aBerechnung fuumlr a = 10 und b = 6 U = 36 Der Umfang der farbigen Figur betraumlgt 36 LE

5Erste Zahl aZweite Zahl bTerm a 2 + 5 middot (a + b)

Seite 8

8Term x middot (y + 5) 2 ndash 3 y 2 + 4 xDer Term wurde mit folgenden Zahlen belegtA x = 5 y = 2B x = 4 y = 1C x = 1 _ 4 y = 3

9

x 1 _ 2 07 ndash 04 4

y 2 _ 3 ndash 12 ndash 3 _ 5 5 _ 6

2 ( x 2 ndash 3 y) ndash 7 _ 2 818 392 27

2 x ndash (6 y ndash 4 x) 2 ndash 3 ndash 986 ndash 48 ndash 113

10a) Volumen V = a middot b middot c

Kantenlaumlnge K = 4 a + 4 b + 4 c Oberflaumlcheninhalt O = 2 a b + 2 a c + 2 b c

b) Volumen V = a middot c 2 Kantenlaumlnge K = 4 a + 8 c Oberflaumlcheninhalt O = 4 a c + 2 c 2

c) Volumen V = a middot b middot c + a middot c 2 Oberflaumlcheninhalt O = 2 middot (a c + a b) + 2 b c + 2 middot (2 a c) oder O = 2 a b + 2 a c + 2 b c + 4 a c + 2 c 2 ndash 2 c 2 (Summe der Oberflaumlcheninhalte der beiden Quader minus nichtsichtbare Flaumlchen) oder O = 2ab + 6ac + bc + c 2 + (b ndash c) middot c

11p = 05

5 Jahre K = 100 middot (1 + 05

_ 100 ) 5 asymp 10253

10 Jahre K = 100 middot (1 + 05

_ 100 ) 10

asymp 10511

Bei einem Zinssatz von 05 hat man nach 5 Jahren 10253 euro nach 10 Jahren 10511 europ = 1

5 Jahre K = 100 middot (1 + 1 _ 100 ) 5 asymp 10510

10 Jahre K = 100 middot (1 + 1 _ 100 ) 10

asymp 11046

Bei einem Zinssatz von 1 hat man nach 5 Jahren 10510 euro nach 10 Jahren 11046 euro

13a) U = 3 n a ndash 2 m a b) U = 6 n a ndash 2 m a




15a) 100 a + 10 b + c




Seite 9


2 b + 2 c + 1 _ 2 b = 25 b + 2 c


Seite 10






Seite 11




8




__ 24 = ndash 8 z 2





e) 42 r + 3 _ 4 s ndash 6 _ 5 r + 025 s = 3 r + s

f) 12 y middot 4

_ 8 + 4 x ndash 6 y = 4 x





c) (9 x) middot ( 1 _ 3 y) = 3 x y 18





i) 4x middot 3y




_ 9 = x 2 9

l) x 2 + 3 x y ndash y x 2 9

13a) a 2 + 2 a + a middot 6 = 10 a





Seite 12


16a) Anfangszahl x







= 24 xb) 5 x = 15 middot x = 3


19a) U = 12 π + 3 middot 4 π = 24 π





bleiben 1 _ 3 n + 1 _ 2 m








Seite 13

Einstiegsaufgabe

x = 9 x = 10 x = 11




x 10

5 5x

x(x ‒ 5) 10 (x ‒ 5)

50

x





Seite 14













Seite 15












d) 2 x (3 x + 1 _ 4 ) ndash 1 _ 2 x (1 + 4 x) = 4 x 2 100






14a) (A) a middot (2 a + 2 b)




18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)




Seite 16


x 3

3

x


x

x2

93x

3x

3

3

x


Seite 17



3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4








Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






15a) 100 a + 10 b + c




Seite 9


2 b + 2 c + 1 _ 2 b = 25 b + 2 c


Seite 10






Seite 11




8




__ 24 = ndash 8 z 2





e) 42 r + 3 _ 4 s ndash 6 _ 5 r + 025 s = 3 r + s

f) 12 y middot 4

_ 8 + 4 x ndash 6 y = 4 x





c) (9 x) middot ( 1 _ 3 y) = 3 x y 18





i) 4x middot 3y




_ 9 = x 2 9

l) x 2 + 3 x y ndash y x 2 9

13a) a 2 + 2 a + a middot 6 = 10 a





Seite 12


16a) Anfangszahl x







= 24 xb) 5 x = 15 middot x = 3


19a) U = 12 π + 3 middot 4 π = 24 π





bleiben 1 _ 3 n + 1 _ 2 m








Seite 13

Einstiegsaufgabe

x = 9 x = 10 x = 11




x 10

5 5x

x(x ‒ 5) 10 (x ‒ 5)

50

x





Seite 14













Seite 15












d) 2 x (3 x + 1 _ 4 ) ndash 1 _ 2 x (1 + 4 x) = 4 x 2 100






14a) (A) a middot (2 a + 2 b)




18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)




Seite 16


x 3

3

x


x

x2

93x

3x

3

3

x


Seite 17



3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4








Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






i) 4x middot 3y




_ 9 = x 2 9

l) x 2 + 3 x y ndash y x 2 9

13a) a 2 + 2 a + a middot 6 = 10 a





Seite 12


16a) Anfangszahl x







= 24 xb) 5 x = 15 middot x = 3


19a) U = 12 π + 3 middot 4 π = 24 π





bleiben 1 _ 3 n + 1 _ 2 m








Seite 13

Einstiegsaufgabe

x = 9 x = 10 x = 11




x 10

5 5x

x(x ‒ 5) 10 (x ‒ 5)

50

x





Seite 14













Seite 15












d) 2 x (3 x + 1 _ 4 ) ndash 1 _ 2 x (1 + 4 x) = 4 x 2 100






14a) (A) a middot (2 a + 2 b)




18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)




Seite 16


x 3

3

x


x

x2

93x

3x

3

3

x


Seite 17



3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4








Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






Seite 14













Seite 15












d) 2 x (3 x + 1 _ 4 ) ndash 1 _ 2 x (1 + 4 x) = 4 x 2 100






14a) (A) a middot (2 a + 2 b)




18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)




Seite 16


x 3

3

x


x

x2

93x

3x

3

3

x


Seite 17



3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4








Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






14a) (A) a middot (2 a + 2 b)




18a) a b + 2 a + 3 b + 6 = a middot (b + 2) + 3 (b + 2)




Seite 16


x 3

3

x


x

x2

93x

3x

3

3

x


Seite 17



3a) (a ndash 1 _ 2 ) 2 = a 2 ndash a + 1 _ 4

b) ( 1 _ 2 + b) 2 = 1 _ 4 + b + b 2 = b 2 + b + 1 _ 4

c) (c ndash 3 _ 2 ) 2 = c 2 ndash 3 c + 9 _ 4








Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





Seite 18











9a) (5 ndash 2 s) 2 = 25 ndash 20 s + 4 s 2

b) (2 a + 1 _ 4 ) 2 = 4 a 2 + a + 1 _ 16

c) (3 t ndash 1 _ 3 ) (3 t + 1 _ 3 ) = 9 t 2 ndash 1 _ 9



d) y 2 + 2 _ 3 y + 1 _ 9 = (y + 1 _ 3 ) 2 e) z 2 + 04 z + 004 = (z + 02) 2 f) b 2 + 1 _ 4 b + 1 _ 64 = (b + 1 _ 8 ) 2




d) ( 1 _ 6 x + 3 y) 2 = 1 _ 36 x 2 + x y + 9 y 2


= 9 p 2 ndash 1 _ 9 q 2





Seite 19


c) 4 b + 1 _ 9 + 36 b 2 = (6 b + 1 _ 3 ) 2



f) 1 _ 4 ndash y + y 2 = ( 1 _ 2 ndash y) 2

g) 49 x 2 + 2 x z + 1 _ 49 z 2 = (7 x + 1 _ 7 z) 2

h) 9 a 2 ndash 2 a b + 1 _ 3 b 2













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer













25a b

a

a

bb

b a

=a ‒ b







Seite 20

Einstiegsaufgabe



v = 12 m

_ 10 min

= 02 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 00036 km _ h

= 01 cm _ s

v = 5 cm _ s


s = 02 cm s = 01 cm s = 5 cm

Zeit t fuumlr 10 m

t = 1000 _ 02 s

= 5000 s = 1 h 23 min 20 s

t = 1000 _ 01 s

= 10 000 s = 2 h 46 min 40 s

t = 1000 _ 5 s = 200 s = 3 min 20 s


Seite 21



= 24 s


hArr t = s _ v = 400 m _ 93 km _ h

= 04 km

_ 93 km _ h

   asymp 00043 h = 1548 s asymp 15 s




__ 2 = 57 cm



asymp 3014 g

b) V = m _ ή = 750 g

__ 0789

g _ c m 3    asymp 9506 c m   3


V = m _ ή = 1000 g

__ 1932

g _ c m 3    asymp 5176 c m   3







= 17 _ 7  s asymp 18 s





Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






Seite 23

1

12

12

11












Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer







Seite 30






Seite 31


Seite 32

2a)



b)



c)



3a) (1) P (5) = 1 _ 6 (2) P (5) = 1 _ 8 (3) P (5) = 1 _ 12




b) S = 1 3 4 5

P (1) = 1 _ 9 P (3) = 1 _ 3 P (4) = 2 _ 9 P (5) = 1 _ 3






7a) P (kleiner 9) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

b) P (ungerade) = 1 _ 2 = 50


d) P (Primzahl) = 8 _ 20 = 2 _ 5 = 40

Seite 33



rot180deg

gruumln90deg

blau90deg



blau60deg

weiszlig60deg

gelb240deg




rot72deg

blau144deg

weiszlig72deg

gruumln72deg









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer









Wuumlrfel














dort 27 _ 63 = 3 _ 7 asymp 429




Seite 34


Seite 35

1Ergebnis Kopf Zahl




Ergebnisrelative


Wahrscheinlichkeit

1 009 _

3 009

2 015 _

3 015

3 017 _

3 017

4 01 _

6 017

5 015 _

6 016

6 025 _

6 026



3a)


(gerundet)

rot 0416 042

blau 0378 038

gelb 0206 021


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 041 042

blau 037 037

gelb 021 020



rot 0394 039

blau 0334 033

gelb 0272 027


Ergebnisfestgelegte



(2 Option)

rot 040 039

blau 033 034

gelb 027 027



Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





Seite 36


Ergebnis 1 2 3



Ergebnis 1 2 3


012 076 012





Mittelwert 119 05




12 05 46 29 05 12














Seite 37


Seite 38

1

bg

b

w

s


(b g s)

(b g b)

(b w b)

(b w s)

(w g b)

(w g s)

(w w b)

(w w s)

(s g b)

(s g s)

(s w b)

(s w s)

b

s

bg

w

s

w

s

b

s

bg

w

s

b

s



2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





2a)

b

b

g

g

b

g

Ergebnis1 Los 2 Los

(b b)

(b g)

(g b)

(g g)

1_3

1_3

2_3

2_3

1_3

2_3



3

KK

K

Z

Z


(K K Z)

(K K K)

(K Z K)

(K Z Z)

(Z K K)

(Z K Z)

(Z Z K)

(K Z Z)

K

Z

KK

Z

Z

Z

K

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2


Seite 39

4

r

r

g

b

b

g


(r r)

(r g)

(r b)

(g r)

(g g)

(g b)

(b r)

(b g)

(b b)

1_2

1_6

1_31_

6

1_3

1_2

r

b

g1_2

1_6

1_3

r

b

g1_2

1_6

1_3


c) P (b b) = 1 _ 3 middot 1 _ 3 = 1 _ 9


P (C) = 4 _ 10 middot 3 _ 9 middot 2 _ 8 = 1 _ 30





also P (r r r) = 27 _ 64 asymp 42 2


12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


r

r

b

b

r

b

Wahrscheinlichkeit

12__90

24__90

24__906__

10

4__10

30__90

5_9

4_9

6_9

3_9


K

ZZZZ

Z

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2





11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






11

075

02504

05 x

1 ‒ x

kein I

I

S

kein S

S

kein S


(I S)

(kein I S)

(kein I kein S)

(I kein S)

03

06x

06(1 ‒ x)

01


Aus 03 + 06 x = 07 folgt x = 2 _ 3




Seite 40


Seite 41

1a) E = (r r) (g r) (b r)






3a)


_

E = (b b b)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 2 _ 3 ) 3 = 19 _ 27 asymp 0 704

b) _


_

E = (g g g)

P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0 963

c) _



P (E) = 1 ndash P ( _

E ) = 1 ndash ( 1 _ 3 ) 3 = 26 _ 27 asymp 0963

Seite 42


Klasse 8 a 1 _ 4 = 25

Klasse 8 b 1 _ 2 middot 1 _ 2 = 1 _ 4 = 25






_ G = (w w w)

P(G)= 1 ndash 0 9 3 = 0271 = 271 d) H = (n n n) P (H) = 0 1 3 = 0001 = 01



b) Gegenereignis _

G = (N N N


c) Gegenereignis _

H = (F F F)





01 middot 01 + 09 + 09 = 082

01 middot 09 = 009









10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer








10

B

J


B

B

B

B

J

J

J

J

J

1_2

1_2

B

B

B

J

J

J

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

J

J

1_2

1_2

B

B

J

1_2

1_2

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2

B

J

1_2

1_2


Seite 43




1 ndash ( 5 _ 6 ) 6 asymp 665

Seite 44

1

4

4


(4 4 4)

4

4

44

4

4

4

4

4

4

4

4

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

(4 4 4)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4

a) P (4 4 4) = ( 1 _ 4 ) 3 = 1 _ 64 asymp 0016

b) P ( _

4 _

4 _

4 ) = ( 3 _ 4 ) 3 = 27 _ 64 asymp 0422



2

g

gg

g


(g g g)

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

(g g g)

1_4

1_4

1_4

3_41_4

3_41_4

3_41_4

3_4

3_4

1_4

3_4

3_4





= ( 3 _ 4 ) 3 + 27 _ 64 = 27 _ 32 asymp 0 844



3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





3

SS

S


06

04

04

04

04

06

06

06

S

KK

K

K

K


Seite 45

4a) E = (4 5) (5 4)

54

5

2 Zug1 Zug

4

1_4

1_4

1_5

1_5

P (E) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

b) F = (2 5) (3 4) (4 3) (5 2)

2

3

2

5

4

2 Zug1 Zug

3

4

5

1_4

1_4

1_4

1_4

1_5

1_5

1_5

1_5

P (F) = 4 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 5

c) G = (1 2) (2 1)

12

1

2 Zug1 Zug

2

1_4

1_4

1_5

1_5

P (G) = 2 middot 1 _ 5 middot 1 _ 4 = 1 _ 10

5a)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_4

1_2

1_2

1_2

g g


b)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_2

1_8

1_8

1_8

1_2

1_2

3_8

3_8

3_8

g g


= ( 1 _ 2 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 8 ) 3 = 23 _ 128 asymp 0180

c)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_8

3_4

3_4

3_4

1_8

1_8

1_8

1_8

1_8

g g


= ( 1 _ 8 ) 3 + ( 3 _ 4 ) 3 + ( 1 _ 8 ) 3 = 109 _ 256 asymp 0426



d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





d)

r

g

b

bb

rr


(r r r)

(ggg)

(bbb)

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

1_3

g g


8E = (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)

P (E) = 4 middot 1 _ 4 middot ( 1 _ 2 ) 3 = 1 _ 8 = 0125

9

a) P (A) = ( 5 _ 6 ) 3 asymp 0579 P (B) = ( 5 _ 6 )

4 asymp 0482

P (C) = ( 5 _ 6 ) 10

asymp 00162 P (D) = ( 5 _ 6 ) 20

asymp 00026




P (D) = 20 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 ) 19

asymp 0104



Seite 46








men 3 _ 4


kommen ( 3 _ 4 ) 7 asymp 0133


gehoumlren 6 Pfade



= ( 5 _ 6 ) 4 + 4 middot 1 _ 6 middot ( 5 _ 6 )

3 + 6 middot ( 1 _ 6 )

2 middot ( 5 _ 6 )

2 asymp 0984















Seite 47




Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





Seite 48





4 _ 32 = 1 _ 8 = 12 5


8 _ 32 = 1 _ 4 = 25


1 _ 32 asymp 3 1


7 _ 32 asymp 21 9


21 _ 32 asymp 65 6


11 _ 32 asymp 34 4


3 _ 32 asymp 9 4


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50


8 _ 12 = 2 _ 3 = 66 7


5 _ 12 asymp 41 2


6 _ 12 = 1 _ 2 = 50









6a) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6




Seite 49

7a) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


P (3) = 2 _ 36 = 1 _ 18 asymp 56


P (7) = 6 _ 36 = 1 _ 6 asymp 167 c)

Histogramm

002

004

006

008

01

012

014

016

018

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Augen-summe k

P(X = x)


(1) Pleine 1 _ 37    asymp 27 

(2) Cheval 2 _ 37    asymp 54 


(4) Impair 18 _ 37    asymp 486 

(5) Rouge 18 _ 37    asymp 486 












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer












1 5 5 3 middot 1 = 3



3 3 5 3 middot 1 = 3

3 4 4 3 middot 1 = 3

6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3






2 5 5 3 middot 1 = 3

3 3 6 3 middot 1 = 3


4 4 4 1

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1



Seite 50


Seite 51














Seite 52



























Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer


















Somit ist P (10) = 27 _ 216 und P (9) = 25 _ 216


Seite 52



1

5

0

4

0

4


Rot

Rot

Weiszlig

Rot1_2

1_3 1_

6

2_6

1_6

2_6

2_31_3

2_3

1_2

Rot gegen Gruumln

1

5

3

31

1


Rot

Gruumln1_2

1_2

1_2

1_2

Rot gegen Blau

1

5

2

6

2

6


Blau

Rot

Blau

Blau1_2

2_3 2_

6

1_6

2_6

1_6

1_32_3

1_3

1_2


0

4

3

31

1


Weiszlig

Gruumln1_3

1_3

2_3

2_3

Blau gegen Gruumln

2

6

3

31

1


Blau

Gruumln2_3

2_3

1_3

1_3



Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





Spieler 1Spieler 2


Rot ndash 2 _ 3 1 _ 2 1 _ 3


Gruumln 1 _ 2 1 _ 3 ndash 2 _ 3

Blau 2 _ 3 5 _ 9 1 _ 3 ndash



1

11

1

2

2


1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

2

2

1

2

1_3

1_3

1_3

2_31_3

2_31_3

2_31_3

2_3

1_3

2_3

2_3

2_3



2 + ( 2 _ 3 )

3

asymp 0 741 = 741



31

3

3

33 22

2

2

22


44

1

1

44 33

3

3

33

3

230

4

1

3

6

GewinnerBlau2 Runde

1

1

1

1

1 Runde

Rot

Blau

Rot

Blau

Weiszlig

Blau

Rot

Blau

2

6

1_2

2_3

2_3

1_3

1_3

2_3

1_3

2_3

1_3

230

4

5

3

6

2

6

2_3

1_3

2_3

1_3

1_2








12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





12a) a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hellip

asup2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 hellip




13a) 2 und 1 also 9 000000000 121 = 11

b) 3 und 8 also 9 0000000000 324 = 18











III Reelle Zahlen

1 Quadratwurzeln

Seite 60


Seite 61

1a) 3 b) 9 c) 8 d) 6e) 5 f) 11 g) 7 h) 20i) 15 j) 14 k) 13 l) 17

2a) 30 b) 100 c) 40 d) 90e) 200 f) 50 g) 700 h) 3000i) 180 j) 800 k) 190 l) 600

3

a) 1 _ 2 b) 1 _ 5 c) 1 _ 20 d) 1 _ 18

e) 10 _ 11 f) 5 _ 3 g) 2 _ 9 h) 7 _ 8

i) 18 _ 9 = 2 j) 14 _ 5 k) 12 _ 19 l) 13 _ 6

4A 1 01 001 B 12 120 1200 C 20 2 02D 6 06 006 E 13 13 013

5a) 09 b) 11 c) 05 d) 14e) 17 f) 003 g) 008 h) 015i) 005 j) 019 k) 12 l) 16

6a) 11 cm b) 02 m c) 30 mmd) 15 dm e) 70 cm


Seite 62



11 9 000000000000 225 = 15 9 000000000000000 3240 = 18

9 000000000000000000000000 0000400 = 002 9 000000000000000000000 10 0000 = 100

9 000000000000000000000000 1600000 = 40 9 00000000000000 1210 = 11










Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer












Seite 65




11a) 7 b) 20 c) 68


a neu = 1 _ 2 middot (3 + 8 _ 3 ) = 17 _ 6 b neu = 8 _ 17 _ 6

= 48 _ 17

Vierter Schritt


b neu = 8 _ 577 _ 204

= 1632 _ 577    asymp 2828 42




a

a a

a



Seite 63

Einstiegsaufgabe

741 742

Seite 64





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

Seite 68







_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





4

R Q

ZN

97 964

(‒2)2‒3

352017

123

7151551555

49__7

8__15

1__16

25__9

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_ 1 4 _ 5 105 11 _ 10 1170 170 017hellip 5 _ 4 9 0000 2 173

21 _

12



c) 9 0000 4 9 0000 9 9 0000000 16

d) 9 0000 5 ndash 9 0000 6 0700 700 07hellip

e) 1 _

5 2 _

67 3 _

08 f) 1020 020 002 000 02hellip 3533 553 335 553 333 555 5hellip

ndash 0363 363 336 333 36hellip



Dann ist 5 = a 2 _ b 2 bzw 5 b 2 = a 2



a neu = 1 _ 2 middot (3 + 5) = 4 b neu = 15 _ 4

Dritter Schritt

a neu = 1 _ 2 middot (4 + 15 _ 4 ) = 31 _ 8 = 3875 b neu = 15 _ 31 _ 8

= 120 _ 31   asymp 38710

Vierter Schritt


b neu = 15 _ 1921 _ 496

   asymp 387298




a neu = 1 _ 2 ( a alt + A _ a alt )

3 Reelle Zahlen

Seite 66


denn es ist ( 53 _ 37 ) 2 asymp 2052 ( 143 _ 101 )

2  asymp 2  0046  

( 41 _ 29 ) 2 asymp 19988

Seite 67


2Rational 0

_ 19 00072 9 0000000000 361 0

_ 2 9 0000 1 _ 9 00

_ 5 40 161204


3

ndash 3 5 _ 2 16 _ 3 9 0000 7 20 _

3 ndash 30 _ 6 9 0000000 25 (ndash 7) 2 101001

hellip











Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


Seite 71





sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









Seite 72


Seite 73


2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

Seite 74












= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

Seite 75



Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



Seite 77


14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer







Dann ist 4 = a 2 _ b 2 bzw 4 b 2 = a 2




Seite 69

Einstiegsaufgabe

3 = 9 000000 36 _ 4 = 9 0000000 36 _ 9 0000 4

5 = 9 000000000000000 16 + 9

6 = 9 00000000000 4 middot 9 = 9 0000 4 middot 9 0000 9

7 = 9 0000000 16 + 9 0000 9

Seite 70

1a) 9 0000000 16 = 4 b) 9 0000000 36 = 6 c) 9 0000000 36 = 6

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000000 64 = 8

g) 9 0000000000 100 = 10 h) 9 0000000000 225 = 15 i) 9 0000000000 256 = 16

j) 9 0000000000 324 = 18 k) 9 0000000 25 = 5 l) 9 0000000000 100 = 10

2a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000000 25 = 5 c) 9 0000000 25 = 5

d) 9 0000000000 100 = 10 e) 9 0000000000 144 = 12 f) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2

g) 9 0000 1 _ 4 = 1 _ 2 h) 9 0000 9 = 3 i) 9 000000 27 _ 12 = 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2







8a) 9 0000000 36 = 6 b) 9 0000 9 _ 4 = 3 _ 2 c) 9 0000000 49 = 7

d) 9 000000 1 _ 16 = 1 _ 4 e) 9 000000000000 064 = 08 f) 9 000000 81 _ 4 = 9 _ 2

g) 9 00000000 36 _ 100 = 6 _ 10 h) 9 000000000000000000 00324 = 018

9

a) 9 00000000 100 _ 49 = 10 _ 7 b) 9 000000 4 _ 25 = 2 _ 5

c) 9 000000000000 081 = 09 d) 9 00000000 4 _ 121 = 2 _ 11


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sich ihre Wurzel

13a) 9 0000 3 b) 5 x c) 3 middot 9 000 x d) 7 x

e) 3 f) 3 x g) 9 000 x h) 9 000000 2 x


a) 9 0000000 12 9 0000 3 ndash 2 + 3 = 3



16

a) 9 0000 5 _ 5 b)

9 0000 6 _ 6 c) 12 middot 9 0000 2 _ 2

d) 24 middot 9 0000 3 _ 3 e) 20 _ 2 = 10 f) 9 0000 6 _ 3









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2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

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= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

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1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



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14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




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1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






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2a) 2 b) 2 c) 10 d) 7e) 2 f) 3 g) 5 h) 15













S 9 0000 2 _ 9 0000000 10

= 9 000000 2 _ 10 O 9 0000000 10 _ 9 0000 2

= 9 0000 5 N 9 0000 7 _ 9 0000 3

= 9 0000 7 _ 3

CH 9 000000000000000000 3 2 ndash 2 2 = 9 00000000000 9 ndash 4 = 9 0000 5



somit s = 9 0000000 80 = 4 middot 9 0000 5

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= 5 5 middot 9 0000000 10 dm









b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

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1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



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14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




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1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer





b)

980

95

80

5


18A gehoumlrt zu 2

4 (7 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ndash 3 9 0000 7 )

___ 9 0000 2 ( 9 0000 8 ndash 9 0000 2 )

= 4 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 )

__ 2 = 2 (4 9 0000 7 + 2 9 0000 5 ) = 8 9 0000 7 + 4 9 0000 5

B gehoumlrt zu 3

9 0000 7 _

2 9 0000 5 + 7 9 0000 5 _

9 0000 7 =

9 0000 7 2 + 2 middot 7 middot 9 0000 5

2 ___

2 9 0000 5 middot 9 0000 7 = 77 _

2 9 0000000 35 = 77 middot 9 0000000 35 __ 70 = 1 1 middot 9 0000000 35

C gehoumlrt zu 1

9 0000000000 800 _ 9 0000 2

middot 9 0000 7 + 9 0000 2 __

9 0000 5 =

9 0000000000 800 middot ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) ___

9 0000000 10 = 9 0000000 80 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 )

= 4 9 0000 5 ( 9 0000 7 + 9 0000 2 ) = 4 ( 9 0000000 35 + 9 0000000 10 )

19a) 9 0000 8 b) 9 0000000000 125 c) 9 0000000000 162 d) 9 0000000 72

6 Kubikwurzel

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Seite 76

1a) 4 b) 100 c) 5d) 3 e) 1 f) 0

2 3 9 0000000000 125 = 5

3 9 0000 0 = 0

3 9 0000000 27 = 3

3 9 000000000000000 0 008 = 02

3 9 000000000000000 0 125 = 05

3 9 0000 1 = 1

3 9 0000000 64 = 4

3a) 1 _ 3 b) 2 _ 5 c) 4 _ 10

d) 10 _ 3 e) 6 _ 10 f) 5 _ 4

4a) 04 b) 01 c) 02d) 05 e) 06 f) 03

5a) 3 mm b) 05 m c) 02 dm d) 1 cm

6a) 383 b) 418 c) 172d) 133 e) 630 f) 070

9a) x = 3 cm b) x = 464 mm c) x = 126 m

10a) 4 b) 1 c) 7 d) 3



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14a) 576 b) 754




3 9 0000000000000 1 + 1 =

3 9 0000 2 aber

3 9 0000 1 +

3 9 0000 1 = 1 + 1 = 2





man

( 3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b ) middot (

3 9 000 a middot

3 9 000 b )

= ( 3 9 000 a middot

3 9 000 a middot

3 9 000 a ) middot (

3 9 000 b middot

3 9 000 b middot

3 9 000 b ) = a middot b


3 9 000 a middot

3 9 000 b




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1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer






Seite 79

1a) 04 b) 015 c) 0 oline 285714 d) 025e) 006 f) 225 _ 1000 = 0 225 g) 825 h) 35








25 Nenner 25 = 5 2




32 9 = 0

_ 2 5 999 = 0 oline 005

4

a) 35 _ 99 b) 43 _ 999 c) 7 _ 99 d) 7 _ 90

e) 8 _ 900 f) 122 _ 99 g) 93 _ 90 = 31 _ 30

h) 10 + 10 _ 999 = 10000 _ 999

i) 23 _ 90

j) 636 _ 90 = 106 _ 15

k) 11 _ 100 + 3 _ 9900 = 1092 _ 9900 = 91 _ 825

l) 29 _ 99



Bruch 84 + 151 _ 999 = 83 916 + 151 __ 999 = 84 067 _ 999

6 x = 0

_ 9 | middot 10

10 x = 9 _

9 | ndash x (x = 0 _

9 ) 9 x = 9 | 9 x = 1

Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer



Lam

bac

her

Sch

wei

zer

Loumlsu

nge

n

8

Lambacher Schweizer



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