Sommerakademie La Villa 29.08.2004 - 11.09.2004

Graphen ohne kurze Kreise und großer Farbungszahl

Arbeitsgruppe 4: “Probabilistische Methoden”

Vortrag 9

gehalten von Sara (Elisabeth) Adams

Quellen:Stefanie Gerke: “Random Graphs”, Lecture Notes ETH Zurich, 2004M. Aigner, G. M. Ziegler: “Proofs from THE BOOK”, Springer, 2001

1

Begriffe

Sei G ein Graph mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Wir benotigendie folgenden Bezeichnungen:

• Clique: C ⊂ V (G) : a, b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ E(G) [clique]

• Cliquenzahl ω(G): maximale Große einer Clique von G [clique number]

• stabile Menge: S ⊂ V (G) : a, b ∈ S ⇒ (a, b) 6∈ E(G) [stable set]

• α(G): maximale Große einer stabilen Menge [stable set number]

• zulassige Farbung: je zwei Endpunkte einer Kante sind verschieden gefarbt

• Farbungszahl χ(G): kleinst mogliche Anzahl an verschiedenen Farben, um einenGraphen zulassig zu farben [chromatic number]

• Taillenweite γ(G): Große des kleinsten Kreises von G [girth]

2

Begriffe

Sei G ein Graph mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Wir benotigendie folgenden Bezeichnungen:

• Clique: C ⊂ V (G) : a, b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ E(G) [clique]

• Cliquenzahl ω(G): maximale Große einer Clique von G [clique number]

• stabile Menge: S ⊂ V (G) : a, b ∈ S ⇒ (a, b) 6∈ E(G) [stable set]

• α(G): maximale Große einer stabilen Menge [stable set number]

• zulassige Farbung: je zwei Endpunkte einer Kante sind verschieden gefarbt

• Farbungszahl χ(G): kleinst mogliche Anzahl an verschiedenen Farben, um einenGraphen zulassig zu farben [chromatic number]

• Taillenweite γ(G): Große des kleinsten Kreises von G [girth]

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Begriffe

Sei G ein Graph mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Wir benotigendie folgenden Bezeichnungen:

• Clique: C ⊂ V (G) : a, b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ E(G) [clique]

• Cliquenzahl ω(G): maximale Große einer Clique von G [clique number]

• stabile Menge: S ⊂ V (G) : a, b ∈ S ⇒ (a, b) 6∈ E(G) [stable set]

• α(G): maximale Große einer stabilen Menge [stable set number]

• zulassige Farbung: je zwei Endpunkte einer Kante sind verschieden gefarbt

• Farbungszahl χ(G): kleinst mogliche Anzahl an verschiedenen Farben, um einenGraphen zulassig zu farben [chromatic number]

• Taillenweite γ(G): Große des kleinsten Kreises von G [girth]

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Begriffe

Sei G ein Graph mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Wir benotigendie folgenden Bezeichnungen:

• Clique: C ⊂ V (G) : a, b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ E(G) [clique]

• Cliquenzahl ω(G): maximale Große einer Clique von G [clique number]

• stabile Menge: S ⊂ V (G) : a, b ∈ S ⇒ (a, b) 6∈ E(G) [stable set]

• α(G): maximale Große einer stabilen Menge [stable set number]

• zulassige Farbung: je zwei Endpunkte einer Kante sind verschieden gefarbt

• Farbungszahl χ(G): kleinst mogliche Anzahl an verschiedenen Farben, um einenGraphen zulassig zu farben [chromatic number]

• Taillenweite γ(G): Große des kleinsten Kreises von G [girth]

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Begriffe

Sei G ein Graph mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Wir benotigendie folgenden Bezeichnungen:

• Clique: C ⊂ V (G) : a, b ∈ C ⇒ (a, b) ∈ E(G) [clique]

• Cliquenzahl ω(G): maximale Große einer Clique von G [clique number]

• stabile Menge: S ⊂ V (G) : a, b ∈ S ⇒ (a, b) 6∈ E(G) [stable set]

• α(G): maximale Große einer stabilen Menge [stable set number]

• zulassige Farbung: je zwei Endpunkte einer Kante sind verschieden gefarbt

• Farbungszahl χ(G): kleinst mogliche Anzahl an verschiedenen Farben, um einenGraphen zulassig zu farben [chromatic number]

• Taillenweite γ(G): Große des kleinsten Kreises von G [girth]

6

Einfache Voruberlegungen

1. Jede Farbe induziert eine stabile Gruppe: ⇒ χ(G) ≥ |V (G)|α(G)

2. Jeder Knoten einer Clique muss anders gefarbt sein: ⇒ χ(G) ≥ ω(G)

Theorem

Fur jedes k, l existiert ein Graph, dessen Farbungszahl χ(G) ≥ k ist und dessenkleinster Kreis mindestens die Lange l hat, also γ(G) ≥ l.

k, l ∈ N ⇒ ∃ G : χ(G) ≥ k, γ(G) ≥ l

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Einfache Voruberlegungen

1. Jede Farbe induziert eine stabile Gruppe: ⇒ χ(G) ≥ |V (G)|α(G)

2. Jeder Knoten einer Clique muss anders gefarbt sein: ⇒ χ(G) ≥ ω(G)

Theorem

Fur jedes k, l existiert ein Graph, dessen Farbungszahl χ(G) ≥ k ist und dessenkleinster Kreis mindestens die Lange l hat, also γ(G) ≥ l.

k, l ∈ N ⇒ ∃ G : χ(G) ≥ k, γ(G) ≥ l

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Einfache Voruberlegungen

1. Jede Farbe induziert eine stabile Gruppe: ⇒ χ(G) ≥ |V (G)|α(G)

2. Jeder Knoten einer Clique muss anders gefarbt sein: ⇒ χ(G) ≥ ω(G)

Theorem

Fur jedes k, l existiert ein Graph, dessen Farbungszahl χ(G) ≥ k ist und dessenkleinster Kreis mindestens die Lange l hat, also γ(G) ≥ l.

k, l ∈ N ⇒ ∃ G : χ(G) ≥ k, γ(G) ≥ l

9

Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

10

Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

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Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

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Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

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Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Beweise Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

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Brainstorming

Betrachte Zufallsgraphen mit Kantenwahrscheinlichkeit p:

• Wahle p “klein” ⇒ wahrscheinlich keine kurzen Kreise

• Wahle p “groß” ⇒ wahrscheinlich nur kleine stabile Mengen

Problematik:

p kann i.A. nicht so gewahlt werden, dass beide Bedingungen erfullt sind.

Ausweg:

• Beweise Existenz eines Hilfsgraphen

• Modifiziere diesen Hilfsgraphen

15

Aufbau des Beweises

Teil I:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph mindestens n2 Kreise der Lange ≤ l besitzt

Teil II:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph eine stabile Menge S besitzt mit |S| ≥ a

Teil III:

Abschluss des Beweises

16

Aufbau des Beweises

Teil I:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph mindestens n2 Kreise der Lange ≤ l besitzt

Teil II:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph eine stabile Menge S besitzt mit |S| ≥ a

Teil III:

Abschluss des Beweises

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Aufbau des Beweises

Teil I:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph mindestens n2 Kreise der Lange ≤ l besitzt

Teil II:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph eine stabile Menge S besitzt mit |S| ≥ a

Teil III:

Abschluss des Beweises

18

I. Erwartungswert der Anzahl der Kreise mit Lange ≤ l

Sei n die Anzahl der Knoten und p := n− ll+1 die Wahrscheinlichkeit fur eine Kante.

Dann gilt:

E[X ] =∑l

i=3

(

ni

)

i! · pi =∑l

i=3n!

(n−i)!·ni ·n

il+1

2i ≤∑l

i=3n

il+1

2i ≤ lnl

l+1

(

ni

)

: Wahl der i Knoten

i! : Anordnen der i Knoten

pi : Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanten auftreten1i

: Mehrfachzahlung auf Grund der Startknoten12

: Mehrfachzahlung auf Grund der Orientierung

19

I. Erwartungswert der Anzahl der Kreise mit Lange ≤ l

Sei n die Anzahl der Knoten und p := n− ll+1 die Wahrscheinlichkeit fur eine Kante.

Dann gilt:

E[X ] =∑l

i=3

(

ni

)

i!2i · p

i =∑l

i=3n!

(n−i)!·ni ·n

il+1

2i ≤∑l

i=3n

il+1

2i ≤ lnl

l+1

(

ni

)

: Wahl der i Knoten

i! : Anordnen der i Knoten

pi : Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanten auftreten1i

: Mehrfachzahlung auf Grund der Startknoten12

: Mehrfachzahlung auf Grund der Orientierung

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I. Erwartungswert der Anzahl der Kreise mit Lange ≤ l

Sei n die Anzahl der Knoten und p := n− ll+1 die Wahrscheinlichkeit fur eine Kante.

Dann gilt:

E[X ] =∑l

i=3

(

ni

)

i!2i · p

i =∑l

i=3n!

(n−i)!·ni ·n

il+1

2i ≤∑l

i=3n

il+1

2i ≤ lnl

l+1

(

ni

)

: Wahl der i Knoten

i! : Anordnen der i Knoten

pi : Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanten auftreten1i

: Mehrfachzahlung auf Grund der Startknoten12

: Mehrfachzahlung auf Grund der Orientierung

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I. Erwartungswert der Anzahl der Kreise mit Lange ≤ l

Sei n die Anzahl der Knoten und p := n− ll+1 die Wahrscheinlichkeit fur eine Kante.

Dann gilt:

E[X ] =∑l

i=3

(

ni

)

i!2i · p

i =∑l

i=3n!

(n−i)!·ni ·n

il+1

2i ≤∑l

i=3n

il+1

2i ≤ lnl

l+1

(

ni

)

: Wahl der i Knoten

i! : Anordnen der i Knoten

pi : Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanten auftreten1i

: Mehrfachzahlung auf Grund der Startknoten12

: Mehrfachzahlung auf Grund der Orientierung

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I. Erwartungswert der Anzahl der Kreise mit Lange ≤ l

Sei n die Anzahl der Knoten und p := n− ll+1 die Wahrscheinlichkeit fur eine Kante.

Dann gilt:

E[X ] =∑l

i=3

(

ni

)

i!2i · p

i =∑l

i=3n!

(n−i)!·ni ·n

il+1

2i ≤∑l

i=3n

il+1

2i ≤ lnl

l+1

(

ni

)

: Wahl der i Knoten

i! : Anordnen der i Knoten

pi : Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanten auftreten1i

: Mehrfachzahlung auf Grund der Startknoten12

: Mehrfachzahlung auf Grund der Orientierung

23

I. Eine Abschatzung

Mit Markovs Ungleichung

P[|X| ≥ τ ] ≤E[|X|m]

τm

fur τ = n2 und m = 1 folgt

P[X ≥n

2] ≤ 2ln

ll+1−1 = 2ln− 1

l+1

Insbesondere gilt fur ausreichend großes n

P[X ≥n

2] <

1

2

24

I. Eine Abschatzung

Mit Markovs Ungleichung

P[|X| ≥ τ ] ≤E[|X|m]

τm

fur τ = n2 und m = 1 folgt

P[X ≥n

2] ≤ 2ln

ll+1−1 = 2ln− 1

l+1

Insbesondere gilt fur ausreichend großes n

P[X ≥n

2] <

1

2

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I. Eine Abschatzung

Mit Markovs Ungleichung

P[|X| ≥ τ ] ≤E[|X|m]

τm

fur τ = n2 und m = 1 folgt

P[X ≥n

2] ≤ 2ln

ll+1−1 = 2ln− 1

l+1

Insbesondere gilt fur ausreichend großes n

P[X ≥n

2] <

1

2

26

II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

27

II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

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II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

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II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

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II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

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II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

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II. Stabile Mengen

• a := d3pln ne + 1

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Menge mit a Knoten stabil ist: (1 − p)(a2)

Zwei Voruberlegungen:

1 + x ≤ ex ⇒(

na

)

· (1 − p)(a2) ≤ na · (e−p)

a(a−1)2

p(a − 1) ≥ p · 3pln(n) = 3 ln(n) ⇒ n3 = e3 ln(n) ≤ ep(a−1) ⇒ ne−pa−1

2 ≤ n−12

Somit:

P[α(Gn,p) ≥ a] ≤(

na

)

(1 − p)(a2) ≤ (ne−pa−1

2 )a ≤ n−a2 ,

Es gilt also fur ausreichend großes n:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2

33

III. Folgerung

Fur ausreichend großes n gilt also:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2, P[X ≥

n

2] <

1

2

⇒ ∃ Graph mit n Knoten:

• α(G) ≤ 3nl

l+1 ln n + 1

• enthalt weniger als n2

Kreise der Lange ≤ l

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III. Folgerung

Fur ausreichend großes n gilt also:

P[α(Gn,p) ≥ a] <1

2, P[X ≥

n

2] <

1

2

⇒ ∃ Graph mit n Knoten:

• α(G) ≤ 3nl

l+1 ln n + 1

• enthalt weniger als n2

Kreise der Lange ≤ l

35

III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

36

III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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III. Abschluss des Beweises

Sei G′ Graph, der dadurch entsteht, dass man von jedem Kreis von G einen Knoten-punkt entfernt.

• |V (G′)| ≥ n2

• α(G′) ≤ α(G)

Aus den Voruberlegungen: χ(G′) ≥ |V (G′)|α(G)

χ(G′) ≥n2

3nl

l+1 ln n + 1=

n1

l+1

6 ln n + 2

nl

l+1

>n

1l+1

6 ln n + 2

n ausreichend groß ⇒ n1

l+1

6 lnn+2 > k �

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