ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen...

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© 2005 Institut für Statistik und Ökonometrie, Johannes Gutenberg-Universität Mainz ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung für Finanzmarktzeitreihen - Frank Jacobi Arbeitspapier Nr. 31 (April 2005)

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ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Finanzmarktzeitreihen -

Frank Jacobi

Arbeitspapier Nr 31 (April 2005)

Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz Fachbereich Rechts- und Wirtschafts- wissenschaften Haus Recht und Wirtschaft II D 55099 Mainz Herausgeber Univ-Prof Dr PM Schulze copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Mainz ISSN Nr 1430 - 2136

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ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Finanzmarktzeitreihen -

Frank Jacobi

Gliederung

1 Einleitung 2

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen 3

3 Theoretische Grundlagen 5

31 ARCH-Modelle 5

32 Schaumltzmethodik 12

33 Spezifikations- und Diagnosetests 14

34 Prognosen durch ARCH-Modelle 15

4 Empirischer Teil 16

5 Zusammenfassung 26

Anhang I Dickey-Fuller-Tests I

Anhang II Ta bellen und Abbildungen III

Literatur VI

Zusammenfassung

Das in Finanzmarktdaten zu beobachtende volatility-clustering impliziert daszlig groszlige Ren-

diteschocks bei der Preisbildung die Wahrscheinlichkeit einer hohen zukuumlnftigen Volatili-

taumlt steigern Ausgehend von den von Engle (1982) vorgeschlagenen ARCH-Modellen hat

sich eine ganze Reihe von Modellvarianten zur Modellierung und Prognose bedingter Va-

rianzen entwickelt In dieser Analyse werden ARCH-Modelle und ausgewaumlhlte Erweite-

rungen hinsichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen im

DAX miteinander verglichen

Summary

The volatility clustering observed in financial market data implies that large net yield

shocks increase the probability of a higher future volatility during the price formation

Starting from the ARCH models which were suggested by Engle (1982) a range of models

for conditional variances have been developed In this analysis ARCH models and selected

extensions are compared with each other regarding their suitability for the modelling and

prognosis of conditional variances in the DAX-index

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1 Einleitung

Viele theoretische Ansaumltze der Kapitalmarkttheorie gehen davon aus daszlig die Varianz von

Renditen im Zeitablauf konstant ist Bei der Betrachtung von Preisaumlnderungsraten auf spe-

kulativen Maumlrkten kann aber typischerweise beobachtet werden daszlig sie zwar haumlufig um

einen konstanten Mittelwert fluktuieren ihre Variabilitaumlt jedoch im Zeitablauf nicht kon-

stanten Schwankungen unterliegt Es besteht dabei die Tendenz daszlig ruhige Phasen mit

geringer Varianz immer wieder durch turbulente Phasen abgeloumlst werden nach denen die

Varianz nur langsam wieder auf das Ausgangsniveau abklingt Dieses sog volatility clu-

stering fuumlhrt dazu daszlig die Varianz des Prognosefehlers nicht mehr konstant sondern be-

dingt heteroskedastisch ist und sich aus den vergangenen Kursrealisationen bestimmt Sie

ist somit zumindest teilweise prognostizierbar Klassische Methoden der linearen Regres-

sions- und Zeitreihenanalyse unterstellen hingegen eine im Zeitablauf konstante Varianz

der Zufallsfehler womit diesem Phaumlnomen in keiner Weise Rechnung getragen wird

Speziell Aktien- und Wechselkurse Zinssaumltze oder Wachstumsraten wie zB die Inflati-

on weisen derartige Verhaltensmuster auf die einen Bruch mit den klassischen linearen

Zeitreihenmodellen unumgaumlnglich machen und einen nichtlinearen Modellierungsansatz

erfordern Einen solchen liefert Engle (1982) mit seiner Arbeit zur Analyse von Inflations-

raten in der er die sog ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-

schlaumlgt1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen autoregressi-

ven Prozeszlig der verzoumlgerten quadrierten Residuen findet mittlerweile nicht nur bei der Ri-

sikomessung und -prognose zB fuumlr die Optionspreisbestimmung regelmaumlszligig seine

Anwendung sondern ermoumlglicht auch die Berechnung praumlziserer Prognoseintervalle die

korrekte Spezifikation von Regressionsresiduen und eine guumlltige statistische Inferenz im

Regressionsmodell

Dieser Beitrag vergleicht Engles ARCH-Prozesse mit ausgewaumlhlten Erweiterungen hin-

sichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen Nachdem in

Kapitel 2 empirische Merkmale von Finanzmarktdaten kurz diskutiert werden soll in Ka-

pitel 3 eine Uumlbersicht uumlber die Theorie univariater ARCH-Modelle erfolgen Kapitel 4 be-

inhaltet eine empirische Analyse taumlglicher Renditen des Deutschen Aktienindex (DAX)

1 Die Abkuumlrzung ARCH steht fuumlr autoregressive conditional heteroskedasticity Engle wurde 2003 fuumlr diese Arbeit mit dem Nobelpreis geehrt

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2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen

In der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten weisen die zu untersuchenden Daten

einige empirisch fundierte Eigenschaften auf die sie von anderen oumlkonomischen Zeitrei-

hen unterscheiden Im Folgenden sollen vier Eigenschaften kurz diskutiert werden

Merkmal 1 Stochastische Trends und Stationaritaumlt

Bei der Analyse von Finanzmarktdaten kann regelmaumlszligig beobachtet werden daszlig die Aus-

gangsdaten temporale Trends aufweisen2 Die Einfluumlsse dieser Trends koumlnnen in einer sta-

tistischen Analyse von Wirkungszusammenhaumlngen jedoch nicht nur evtl nicht vorhandene

Abhaumlngigkeiten vortaumluschen (spurious regression) sondern bei einem steigenden Progno-

sehorizont auch zu einer groumlszligeren Unsicherheit fuumlhren (Eckey Kosfeld Dreger 2001 S

200) Fuumlr sinnvolle statistische Analysen muszlig man daher davon ausgehen koumlnnen daszlig die

betrachtete Zeitreihe stationaumlr ist also langfristig ein stabiles Verhalten aufweist3 Im Fi-

nanzbereich werden daher haumlufig Renditen von Wertpapieren betrachtet Hier sind die sto-

chastischen Trends im wesentlichen eliminiert und das Instrumentarium der linearen Stati-

stik damit anwendbar

Merkmal 2 Volatilitaumltsclusterung

Das Phaumlnomen der Volatilitaumltsclusterung beschreibt die zeitliche Konzentration absolut

hoher und niedriger Renditen Dadurch treten in den Zeitreihen der absoluten und der qua-

drierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf welche dann die Grundlage

fuumlr die Prognostizierbarkeit der bedingten Varianz darstellen

Als Gruumlnde fuumlr die Volatilitaumltsschwankungen kommen zum einen Phasen mit unterschied-

licher Unsicherheit in Frage So koumlnnen vor allem das Auftreten von Geruumlchten wie zB

uumlber die Fusion groszliger Unternehmen politische Entscheidungen aber auch kriegerische

Auseinandersetzungen oder Terroranschlaumlge voruumlbergehend zu groszligen Unsicherheiten auf

den Finanzmaumlrkten fuumlhren Im Zuge von Erwartungsaumlnderungen koumlnnen die Investoren zu

umfangreichen Portfolioanpassungen veranlaszligt werden und dadurch ausgeloumlste Preis-

spruumlnge einen Anstieg der Volatilitaumlt ausloumlsen der dann nur langsam wieder abklingt

2 Ein Trend kann prinzipiell deterministischer oder stochastischer Natur sein Ein stochastischer Trend folgt einem differenzstationaumlren Prozeszlig die Stationarisierung erfolgt hier durch Differenzenbildung (Enders 1995 S 166ff) 3 Schwache Stationaritaumlt liegt vor wenn der Mittelwert die Varianz und die Kovarianzen endlich und zeitin-variant sind (Enders 1995 S 68f) Mit Hilfe sog Einheitswurzel-Tests kann gepruumlft werden ob eine Zeit-

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Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 2: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz Fachbereich Rechts- und Wirtschafts- wissenschaften Haus Recht und Wirtschaft II D 55099 Mainz Herausgeber Univ-Prof Dr PM Schulze copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Mainz ISSN Nr 1430 - 2136

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

1

ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Finanzmarktzeitreihen -

Frank Jacobi

Gliederung

1 Einleitung 2

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen 3

3 Theoretische Grundlagen 5

31 ARCH-Modelle 5

32 Schaumltzmethodik 12

33 Spezifikations- und Diagnosetests 14

34 Prognosen durch ARCH-Modelle 15

4 Empirischer Teil 16

5 Zusammenfassung 26

Anhang I Dickey-Fuller-Tests I

Anhang II Ta bellen und Abbildungen III

Literatur VI

Zusammenfassung

Das in Finanzmarktdaten zu beobachtende volatility-clustering impliziert daszlig groszlige Ren-

diteschocks bei der Preisbildung die Wahrscheinlichkeit einer hohen zukuumlnftigen Volatili-

taumlt steigern Ausgehend von den von Engle (1982) vorgeschlagenen ARCH-Modellen hat

sich eine ganze Reihe von Modellvarianten zur Modellierung und Prognose bedingter Va-

rianzen entwickelt In dieser Analyse werden ARCH-Modelle und ausgewaumlhlte Erweite-

rungen hinsichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen im

DAX miteinander verglichen

Summary

The volatility clustering observed in financial market data implies that large net yield

shocks increase the probability of a higher future volatility during the price formation

Starting from the ARCH models which were suggested by Engle (1982) a range of models

for conditional variances have been developed In this analysis ARCH models and selected

extensions are compared with each other regarding their suitability for the modelling and

prognosis of conditional variances in the DAX-index

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2

1 Einleitung

Viele theoretische Ansaumltze der Kapitalmarkttheorie gehen davon aus daszlig die Varianz von

Renditen im Zeitablauf konstant ist Bei der Betrachtung von Preisaumlnderungsraten auf spe-

kulativen Maumlrkten kann aber typischerweise beobachtet werden daszlig sie zwar haumlufig um

einen konstanten Mittelwert fluktuieren ihre Variabilitaumlt jedoch im Zeitablauf nicht kon-

stanten Schwankungen unterliegt Es besteht dabei die Tendenz daszlig ruhige Phasen mit

geringer Varianz immer wieder durch turbulente Phasen abgeloumlst werden nach denen die

Varianz nur langsam wieder auf das Ausgangsniveau abklingt Dieses sog volatility clu-

stering fuumlhrt dazu daszlig die Varianz des Prognosefehlers nicht mehr konstant sondern be-

dingt heteroskedastisch ist und sich aus den vergangenen Kursrealisationen bestimmt Sie

ist somit zumindest teilweise prognostizierbar Klassische Methoden der linearen Regres-

sions- und Zeitreihenanalyse unterstellen hingegen eine im Zeitablauf konstante Varianz

der Zufallsfehler womit diesem Phaumlnomen in keiner Weise Rechnung getragen wird

Speziell Aktien- und Wechselkurse Zinssaumltze oder Wachstumsraten wie zB die Inflati-

on weisen derartige Verhaltensmuster auf die einen Bruch mit den klassischen linearen

Zeitreihenmodellen unumgaumlnglich machen und einen nichtlinearen Modellierungsansatz

erfordern Einen solchen liefert Engle (1982) mit seiner Arbeit zur Analyse von Inflations-

raten in der er die sog ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-

schlaumlgt1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen autoregressi-

ven Prozeszlig der verzoumlgerten quadrierten Residuen findet mittlerweile nicht nur bei der Ri-

sikomessung und -prognose zB fuumlr die Optionspreisbestimmung regelmaumlszligig seine

Anwendung sondern ermoumlglicht auch die Berechnung praumlziserer Prognoseintervalle die

korrekte Spezifikation von Regressionsresiduen und eine guumlltige statistische Inferenz im

Regressionsmodell

Dieser Beitrag vergleicht Engles ARCH-Prozesse mit ausgewaumlhlten Erweiterungen hin-

sichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen Nachdem in

Kapitel 2 empirische Merkmale von Finanzmarktdaten kurz diskutiert werden soll in Ka-

pitel 3 eine Uumlbersicht uumlber die Theorie univariater ARCH-Modelle erfolgen Kapitel 4 be-

inhaltet eine empirische Analyse taumlglicher Renditen des Deutschen Aktienindex (DAX)

1 Die Abkuumlrzung ARCH steht fuumlr autoregressive conditional heteroskedasticity Engle wurde 2003 fuumlr diese Arbeit mit dem Nobelpreis geehrt

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3

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen

In der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten weisen die zu untersuchenden Daten

einige empirisch fundierte Eigenschaften auf die sie von anderen oumlkonomischen Zeitrei-

hen unterscheiden Im Folgenden sollen vier Eigenschaften kurz diskutiert werden

Merkmal 1 Stochastische Trends und Stationaritaumlt

Bei der Analyse von Finanzmarktdaten kann regelmaumlszligig beobachtet werden daszlig die Aus-

gangsdaten temporale Trends aufweisen2 Die Einfluumlsse dieser Trends koumlnnen in einer sta-

tistischen Analyse von Wirkungszusammenhaumlngen jedoch nicht nur evtl nicht vorhandene

Abhaumlngigkeiten vortaumluschen (spurious regression) sondern bei einem steigenden Progno-

sehorizont auch zu einer groumlszligeren Unsicherheit fuumlhren (Eckey Kosfeld Dreger 2001 S

200) Fuumlr sinnvolle statistische Analysen muszlig man daher davon ausgehen koumlnnen daszlig die

betrachtete Zeitreihe stationaumlr ist also langfristig ein stabiles Verhalten aufweist3 Im Fi-

nanzbereich werden daher haumlufig Renditen von Wertpapieren betrachtet Hier sind die sto-

chastischen Trends im wesentlichen eliminiert und das Instrumentarium der linearen Stati-

stik damit anwendbar

Merkmal 2 Volatilitaumltsclusterung

Das Phaumlnomen der Volatilitaumltsclusterung beschreibt die zeitliche Konzentration absolut

hoher und niedriger Renditen Dadurch treten in den Zeitreihen der absoluten und der qua-

drierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf welche dann die Grundlage

fuumlr die Prognostizierbarkeit der bedingten Varianz darstellen

Als Gruumlnde fuumlr die Volatilitaumltsschwankungen kommen zum einen Phasen mit unterschied-

licher Unsicherheit in Frage So koumlnnen vor allem das Auftreten von Geruumlchten wie zB

uumlber die Fusion groszliger Unternehmen politische Entscheidungen aber auch kriegerische

Auseinandersetzungen oder Terroranschlaumlge voruumlbergehend zu groszligen Unsicherheiten auf

den Finanzmaumlrkten fuumlhren Im Zuge von Erwartungsaumlnderungen koumlnnen die Investoren zu

umfangreichen Portfolioanpassungen veranlaszligt werden und dadurch ausgeloumlste Preis-

spruumlnge einen Anstieg der Volatilitaumlt ausloumlsen der dann nur langsam wieder abklingt

2 Ein Trend kann prinzipiell deterministischer oder stochastischer Natur sein Ein stochastischer Trend folgt einem differenzstationaumlren Prozeszlig die Stationarisierung erfolgt hier durch Differenzenbildung (Enders 1995 S 166ff) 3 Schwache Stationaritaumlt liegt vor wenn der Mittelwert die Varianz und die Kovarianzen endlich und zeitin-variant sind (Enders 1995 S 68f) Mit Hilfe sog Einheitswurzel-Tests kann gepruumlft werden ob eine Zeit-

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4

Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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5

3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 3: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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1

ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Finanzmarktzeitreihen -

Frank Jacobi

Gliederung

1 Einleitung 2

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen 3

3 Theoretische Grundlagen 5

31 ARCH-Modelle 5

32 Schaumltzmethodik 12

33 Spezifikations- und Diagnosetests 14

34 Prognosen durch ARCH-Modelle 15

4 Empirischer Teil 16

5 Zusammenfassung 26

Anhang I Dickey-Fuller-Tests I

Anhang II Ta bellen und Abbildungen III

Literatur VI

Zusammenfassung

Das in Finanzmarktdaten zu beobachtende volatility-clustering impliziert daszlig groszlige Ren-

diteschocks bei der Preisbildung die Wahrscheinlichkeit einer hohen zukuumlnftigen Volatili-

taumlt steigern Ausgehend von den von Engle (1982) vorgeschlagenen ARCH-Modellen hat

sich eine ganze Reihe von Modellvarianten zur Modellierung und Prognose bedingter Va-

rianzen entwickelt In dieser Analyse werden ARCH-Modelle und ausgewaumlhlte Erweite-

rungen hinsichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen im

DAX miteinander verglichen

Summary

The volatility clustering observed in financial market data implies that large net yield

shocks increase the probability of a higher future volatility during the price formation

Starting from the ARCH models which were suggested by Engle (1982) a range of models

for conditional variances have been developed In this analysis ARCH models and selected

extensions are compared with each other regarding their suitability for the modelling and

prognosis of conditional variances in the DAX-index

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2

1 Einleitung

Viele theoretische Ansaumltze der Kapitalmarkttheorie gehen davon aus daszlig die Varianz von

Renditen im Zeitablauf konstant ist Bei der Betrachtung von Preisaumlnderungsraten auf spe-

kulativen Maumlrkten kann aber typischerweise beobachtet werden daszlig sie zwar haumlufig um

einen konstanten Mittelwert fluktuieren ihre Variabilitaumlt jedoch im Zeitablauf nicht kon-

stanten Schwankungen unterliegt Es besteht dabei die Tendenz daszlig ruhige Phasen mit

geringer Varianz immer wieder durch turbulente Phasen abgeloumlst werden nach denen die

Varianz nur langsam wieder auf das Ausgangsniveau abklingt Dieses sog volatility clu-

stering fuumlhrt dazu daszlig die Varianz des Prognosefehlers nicht mehr konstant sondern be-

dingt heteroskedastisch ist und sich aus den vergangenen Kursrealisationen bestimmt Sie

ist somit zumindest teilweise prognostizierbar Klassische Methoden der linearen Regres-

sions- und Zeitreihenanalyse unterstellen hingegen eine im Zeitablauf konstante Varianz

der Zufallsfehler womit diesem Phaumlnomen in keiner Weise Rechnung getragen wird

Speziell Aktien- und Wechselkurse Zinssaumltze oder Wachstumsraten wie zB die Inflati-

on weisen derartige Verhaltensmuster auf die einen Bruch mit den klassischen linearen

Zeitreihenmodellen unumgaumlnglich machen und einen nichtlinearen Modellierungsansatz

erfordern Einen solchen liefert Engle (1982) mit seiner Arbeit zur Analyse von Inflations-

raten in der er die sog ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-

schlaumlgt1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen autoregressi-

ven Prozeszlig der verzoumlgerten quadrierten Residuen findet mittlerweile nicht nur bei der Ri-

sikomessung und -prognose zB fuumlr die Optionspreisbestimmung regelmaumlszligig seine

Anwendung sondern ermoumlglicht auch die Berechnung praumlziserer Prognoseintervalle die

korrekte Spezifikation von Regressionsresiduen und eine guumlltige statistische Inferenz im

Regressionsmodell

Dieser Beitrag vergleicht Engles ARCH-Prozesse mit ausgewaumlhlten Erweiterungen hin-

sichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen Nachdem in

Kapitel 2 empirische Merkmale von Finanzmarktdaten kurz diskutiert werden soll in Ka-

pitel 3 eine Uumlbersicht uumlber die Theorie univariater ARCH-Modelle erfolgen Kapitel 4 be-

inhaltet eine empirische Analyse taumlglicher Renditen des Deutschen Aktienindex (DAX)

1 Die Abkuumlrzung ARCH steht fuumlr autoregressive conditional heteroskedasticity Engle wurde 2003 fuumlr diese Arbeit mit dem Nobelpreis geehrt

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3

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen

In der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten weisen die zu untersuchenden Daten

einige empirisch fundierte Eigenschaften auf die sie von anderen oumlkonomischen Zeitrei-

hen unterscheiden Im Folgenden sollen vier Eigenschaften kurz diskutiert werden

Merkmal 1 Stochastische Trends und Stationaritaumlt

Bei der Analyse von Finanzmarktdaten kann regelmaumlszligig beobachtet werden daszlig die Aus-

gangsdaten temporale Trends aufweisen2 Die Einfluumlsse dieser Trends koumlnnen in einer sta-

tistischen Analyse von Wirkungszusammenhaumlngen jedoch nicht nur evtl nicht vorhandene

Abhaumlngigkeiten vortaumluschen (spurious regression) sondern bei einem steigenden Progno-

sehorizont auch zu einer groumlszligeren Unsicherheit fuumlhren (Eckey Kosfeld Dreger 2001 S

200) Fuumlr sinnvolle statistische Analysen muszlig man daher davon ausgehen koumlnnen daszlig die

betrachtete Zeitreihe stationaumlr ist also langfristig ein stabiles Verhalten aufweist3 Im Fi-

nanzbereich werden daher haumlufig Renditen von Wertpapieren betrachtet Hier sind die sto-

chastischen Trends im wesentlichen eliminiert und das Instrumentarium der linearen Stati-

stik damit anwendbar

Merkmal 2 Volatilitaumltsclusterung

Das Phaumlnomen der Volatilitaumltsclusterung beschreibt die zeitliche Konzentration absolut

hoher und niedriger Renditen Dadurch treten in den Zeitreihen der absoluten und der qua-

drierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf welche dann die Grundlage

fuumlr die Prognostizierbarkeit der bedingten Varianz darstellen

Als Gruumlnde fuumlr die Volatilitaumltsschwankungen kommen zum einen Phasen mit unterschied-

licher Unsicherheit in Frage So koumlnnen vor allem das Auftreten von Geruumlchten wie zB

uumlber die Fusion groszliger Unternehmen politische Entscheidungen aber auch kriegerische

Auseinandersetzungen oder Terroranschlaumlge voruumlbergehend zu groszligen Unsicherheiten auf

den Finanzmaumlrkten fuumlhren Im Zuge von Erwartungsaumlnderungen koumlnnen die Investoren zu

umfangreichen Portfolioanpassungen veranlaszligt werden und dadurch ausgeloumlste Preis-

spruumlnge einen Anstieg der Volatilitaumlt ausloumlsen der dann nur langsam wieder abklingt

2 Ein Trend kann prinzipiell deterministischer oder stochastischer Natur sein Ein stochastischer Trend folgt einem differenzstationaumlren Prozeszlig die Stationarisierung erfolgt hier durch Differenzenbildung (Enders 1995 S 166ff) 3 Schwache Stationaritaumlt liegt vor wenn der Mittelwert die Varianz und die Kovarianzen endlich und zeitin-variant sind (Enders 1995 S 68f) Mit Hilfe sog Einheitswurzel-Tests kann gepruumlft werden ob eine Zeit-

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4

Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 4: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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2

1 Einleitung

Viele theoretische Ansaumltze der Kapitalmarkttheorie gehen davon aus daszlig die Varianz von

Renditen im Zeitablauf konstant ist Bei der Betrachtung von Preisaumlnderungsraten auf spe-

kulativen Maumlrkten kann aber typischerweise beobachtet werden daszlig sie zwar haumlufig um

einen konstanten Mittelwert fluktuieren ihre Variabilitaumlt jedoch im Zeitablauf nicht kon-

stanten Schwankungen unterliegt Es besteht dabei die Tendenz daszlig ruhige Phasen mit

geringer Varianz immer wieder durch turbulente Phasen abgeloumlst werden nach denen die

Varianz nur langsam wieder auf das Ausgangsniveau abklingt Dieses sog volatility clu-

stering fuumlhrt dazu daszlig die Varianz des Prognosefehlers nicht mehr konstant sondern be-

dingt heteroskedastisch ist und sich aus den vergangenen Kursrealisationen bestimmt Sie

ist somit zumindest teilweise prognostizierbar Klassische Methoden der linearen Regres-

sions- und Zeitreihenanalyse unterstellen hingegen eine im Zeitablauf konstante Varianz

der Zufallsfehler womit diesem Phaumlnomen in keiner Weise Rechnung getragen wird

Speziell Aktien- und Wechselkurse Zinssaumltze oder Wachstumsraten wie zB die Inflati-

on weisen derartige Verhaltensmuster auf die einen Bruch mit den klassischen linearen

Zeitreihenmodellen unumgaumlnglich machen und einen nichtlinearen Modellierungsansatz

erfordern Einen solchen liefert Engle (1982) mit seiner Arbeit zur Analyse von Inflations-

raten in der er die sog ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-

schlaumlgt1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen autoregressi-

ven Prozeszlig der verzoumlgerten quadrierten Residuen findet mittlerweile nicht nur bei der Ri-

sikomessung und -prognose zB fuumlr die Optionspreisbestimmung regelmaumlszligig seine

Anwendung sondern ermoumlglicht auch die Berechnung praumlziserer Prognoseintervalle die

korrekte Spezifikation von Regressionsresiduen und eine guumlltige statistische Inferenz im

Regressionsmodell

Dieser Beitrag vergleicht Engles ARCH-Prozesse mit ausgewaumlhlten Erweiterungen hin-

sichtlich ihrer Eignung zur Modellierung und Prognose bedingter Varianzen Nachdem in

Kapitel 2 empirische Merkmale von Finanzmarktdaten kurz diskutiert werden soll in Ka-

pitel 3 eine Uumlbersicht uumlber die Theorie univariater ARCH-Modelle erfolgen Kapitel 4 be-

inhaltet eine empirische Analyse taumlglicher Renditen des Deutschen Aktienindex (DAX)

1 Die Abkuumlrzung ARCH steht fuumlr autoregressive conditional heteroskedasticity Engle wurde 2003 fuumlr diese Arbeit mit dem Nobelpreis geehrt

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3

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen

In der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten weisen die zu untersuchenden Daten

einige empirisch fundierte Eigenschaften auf die sie von anderen oumlkonomischen Zeitrei-

hen unterscheiden Im Folgenden sollen vier Eigenschaften kurz diskutiert werden

Merkmal 1 Stochastische Trends und Stationaritaumlt

Bei der Analyse von Finanzmarktdaten kann regelmaumlszligig beobachtet werden daszlig die Aus-

gangsdaten temporale Trends aufweisen2 Die Einfluumlsse dieser Trends koumlnnen in einer sta-

tistischen Analyse von Wirkungszusammenhaumlngen jedoch nicht nur evtl nicht vorhandene

Abhaumlngigkeiten vortaumluschen (spurious regression) sondern bei einem steigenden Progno-

sehorizont auch zu einer groumlszligeren Unsicherheit fuumlhren (Eckey Kosfeld Dreger 2001 S

200) Fuumlr sinnvolle statistische Analysen muszlig man daher davon ausgehen koumlnnen daszlig die

betrachtete Zeitreihe stationaumlr ist also langfristig ein stabiles Verhalten aufweist3 Im Fi-

nanzbereich werden daher haumlufig Renditen von Wertpapieren betrachtet Hier sind die sto-

chastischen Trends im wesentlichen eliminiert und das Instrumentarium der linearen Stati-

stik damit anwendbar

Merkmal 2 Volatilitaumltsclusterung

Das Phaumlnomen der Volatilitaumltsclusterung beschreibt die zeitliche Konzentration absolut

hoher und niedriger Renditen Dadurch treten in den Zeitreihen der absoluten und der qua-

drierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf welche dann die Grundlage

fuumlr die Prognostizierbarkeit der bedingten Varianz darstellen

Als Gruumlnde fuumlr die Volatilitaumltsschwankungen kommen zum einen Phasen mit unterschied-

licher Unsicherheit in Frage So koumlnnen vor allem das Auftreten von Geruumlchten wie zB

uumlber die Fusion groszliger Unternehmen politische Entscheidungen aber auch kriegerische

Auseinandersetzungen oder Terroranschlaumlge voruumlbergehend zu groszligen Unsicherheiten auf

den Finanzmaumlrkten fuumlhren Im Zuge von Erwartungsaumlnderungen koumlnnen die Investoren zu

umfangreichen Portfolioanpassungen veranlaszligt werden und dadurch ausgeloumlste Preis-

spruumlnge einen Anstieg der Volatilitaumlt ausloumlsen der dann nur langsam wieder abklingt

2 Ein Trend kann prinzipiell deterministischer oder stochastischer Natur sein Ein stochastischer Trend folgt einem differenzstationaumlren Prozeszlig die Stationarisierung erfolgt hier durch Differenzenbildung (Enders 1995 S 166ff) 3 Schwache Stationaritaumlt liegt vor wenn der Mittelwert die Varianz und die Kovarianzen endlich und zeitin-variant sind (Enders 1995 S 68f) Mit Hilfe sog Einheitswurzel-Tests kann gepruumlft werden ob eine Zeit-

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4

Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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5

3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 5: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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3

2 Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen

In der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten weisen die zu untersuchenden Daten

einige empirisch fundierte Eigenschaften auf die sie von anderen oumlkonomischen Zeitrei-

hen unterscheiden Im Folgenden sollen vier Eigenschaften kurz diskutiert werden

Merkmal 1 Stochastische Trends und Stationaritaumlt

Bei der Analyse von Finanzmarktdaten kann regelmaumlszligig beobachtet werden daszlig die Aus-

gangsdaten temporale Trends aufweisen2 Die Einfluumlsse dieser Trends koumlnnen in einer sta-

tistischen Analyse von Wirkungszusammenhaumlngen jedoch nicht nur evtl nicht vorhandene

Abhaumlngigkeiten vortaumluschen (spurious regression) sondern bei einem steigenden Progno-

sehorizont auch zu einer groumlszligeren Unsicherheit fuumlhren (Eckey Kosfeld Dreger 2001 S

200) Fuumlr sinnvolle statistische Analysen muszlig man daher davon ausgehen koumlnnen daszlig die

betrachtete Zeitreihe stationaumlr ist also langfristig ein stabiles Verhalten aufweist3 Im Fi-

nanzbereich werden daher haumlufig Renditen von Wertpapieren betrachtet Hier sind die sto-

chastischen Trends im wesentlichen eliminiert und das Instrumentarium der linearen Stati-

stik damit anwendbar

Merkmal 2 Volatilitaumltsclusterung

Das Phaumlnomen der Volatilitaumltsclusterung beschreibt die zeitliche Konzentration absolut

hoher und niedriger Renditen Dadurch treten in den Zeitreihen der absoluten und der qua-

drierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf welche dann die Grundlage

fuumlr die Prognostizierbarkeit der bedingten Varianz darstellen

Als Gruumlnde fuumlr die Volatilitaumltsschwankungen kommen zum einen Phasen mit unterschied-

licher Unsicherheit in Frage So koumlnnen vor allem das Auftreten von Geruumlchten wie zB

uumlber die Fusion groszliger Unternehmen politische Entscheidungen aber auch kriegerische

Auseinandersetzungen oder Terroranschlaumlge voruumlbergehend zu groszligen Unsicherheiten auf

den Finanzmaumlrkten fuumlhren Im Zuge von Erwartungsaumlnderungen koumlnnen die Investoren zu

umfangreichen Portfolioanpassungen veranlaszligt werden und dadurch ausgeloumlste Preis-

spruumlnge einen Anstieg der Volatilitaumlt ausloumlsen der dann nur langsam wieder abklingt

2 Ein Trend kann prinzipiell deterministischer oder stochastischer Natur sein Ein stochastischer Trend folgt einem differenzstationaumlren Prozeszlig die Stationarisierung erfolgt hier durch Differenzenbildung (Enders 1995 S 166ff) 3 Schwache Stationaritaumlt liegt vor wenn der Mittelwert die Varianz und die Kovarianzen endlich und zeitin-variant sind (Enders 1995 S 68f) Mit Hilfe sog Einheitswurzel-Tests kann gepruumlft werden ob eine Zeit-

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4

Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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5

3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 6: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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4

Von Stock (1988 S 77) wurde die sog Time-Deformation-Hypothese diskutiert Hierbei

wird davon ausgegangen daszlig jede oumlkonomische Variable ihre eigene operationelle Zeit-

skala besitzt innerhalb welcher sich ihre dynamische Entwicklung vollzieht Empirisch

gemessen werden die Variablen jedoch in einer Kalender-Zeitskala Entwickelt sich nun

die betrachtete Variable relativ zur Kalenderzeit schneller oder langsamer so kann dies

zum volatility clustering fuumlhren

Als weitere Ursachen struktureller Veraumlnderungen der Preisvariabilitaumlt koumlnnen auch die

zunehmend engere internationale Kapitalverflechtung die Einfuumlhrung von Finanzinnova-

tionen sowie das Vordringen institutioneller Investoren diskutiert werden (Deutsche Bun-

desbank 1996 S 59ff)

Merkmal 3 Leptokurtische Verteilung

Auf Mandelbrot (1963 S 418) geht die Erkenntnis zuruumlck daszlig die unbedingte Dichte von

Renditen durch eine im Vergleich zur Normalverteilung deutlich erhoumlhte Woumllbung ge-

kennzeichnet ist Einerseits konzentriert sich die Mehrzahl der Renditerealisationen um

ihren Erwartungswert andererseits treten aber auch extreme Renditen mit einer houmlheren

Wahrscheinlichkeit auf als man unter Normalverteilung erwarten wuumlrde Eine Identifika-

tion dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis die fuumlr normalverteilte Daten den Wert 3 fuumlr

empirische Renditen aber meist deutlich houmlhere Werte annimmt

Merkmal 4 Leverage-Effekt

Black (1976) beschreibt die Eigenschaft daszlig die Volatilitaumlt auf Aktienmaumlrkten nach nega-

tiven Schocks idR staumlrker steigt als nach positiven Diese Eigenschaft der negativen Kor-

relation der bedingten Varianz mit vergangenen Renditen wird auch als bdquoLeverage-Effektldquo

bezeichnet Eine moumlgliche oumlkonomische Erklaumlrung hierfuumlr ist der durch schlechte Nach-

richten ausgeloumlste Kursverfall einer Aktie Dieser fuumlhrt zu einem houmlheren Verschuldungs-

grad der Unternehmung und steigert somit das Risiko und die zukuumlnftige Volatilitaumlt des

Eigenkapitals (Kraumlmer 2000 S 16)

reihe stationaumlr ist bzw wie sie in eine stationaumlre Zeitreihe transformiert werden kann (Enders 1995 Kapitel 4)

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5

3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 7: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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5

3 Theoretische Grundlagen

31 ARCH-Modelle

Zur Darstellung der ARCH-Modelle im Rahmen eines oumlkonometrischen Modells sei eine

univariate Renditezeitreihe yt (t = 1 2 hellip T) modelliert als

yt = microt + εt (31)

wobei microt = f(Ωt-1) den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t bezeichnet und durch

eine Funktion der am Periodenanfang zur Verfuumlgung stehenden Informationsmenge Ωt-1

modelliert werden kann εt bezeichnet die stochastische Restgroumlszlige welche gemaumlszlig den An-

nahmen linearer Modelle White-Noise-Charakter4 besitzen soll Aufgrund der fuumlr Finanz-

marktdaten typischen Volatilitaumltsclusterung und der daraus resultierenden Korrelations-

struktur in den quadrierten Residuen schlaumlgt Engle (1982 S 988) mit

ttt u2σε = (32)

einen multiplikativen Prozeszlig zur Modellierung der bedingten Varianz vor wobei der Vari-

anzprozeszlig σtsup2 durch eine lineare Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen 2itminusε mo-

delliert wird5

22110

2 ptptt minusminus +++= εαεαασ (33)

ut wird hierbei als unabhaumlngig und identisch verteilte Zufallsvariable mit E(ut) = 0 und

Var(ut) = 1 angenommen welche unabhaumlngig von den 22

21 minusminus tt εε ist Um eine positive

bedingte Varianz sicherzustellen muumlssen die aus den Daten zu schaumltzenden Parameter α

die Nichtnegativitaumltsbedingungen α0 gt 0 und αi gt 0 fuumlr i = 1 p erfuumlllen Der Lag-

Parameter p definiert dabei den Zeitraum uumlber den vergangene Schocks einen signifikan-

ten Einfluszlig auf den heutigen Wert der bedingten Varianz ausuumlben Durch den autoregres-

siven Charakter von Gleichung (33) wird nun insbesondere die Modellierung der Volatili-

taumltsclusterung ermoumlglicht Bei Guumlltigkeit der Nichtnegativitaumltsrestriktionen ist Gleichung

(33) eine monoton steigende Funktion der quadrierten verzoumlgerten Residuen Groszlige ver-

gangene Schocks vergroumlszligern somit die Varianz der naumlchsten Periode so daszlig weitere groszlige

Renditen wahrscheinlicher werden

4 Insbesondere sollen die Residuen εt linearer Modelle folgende Eigenschaften erfuumlllen (Huumlbler 1989 S 34-37) E(εt) = 0 Var(εt) =σsup2 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s Cov(Xtεt) = 0 und εt ~ N(0σsup2) 5 Daher auch die Bezeichnung AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Die bedingte Vari-anz ist heteroskedastisch und bestimmt sich aus der Vergangenheit des Prozesses

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 8: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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6

ARCH-Modelle setzen die Spezifikation einer Verteilung fuumlr die stochastischen Fehler ut

voraus die von der Informationsmenge Ωt-1 abhaumlngt In dieser Analyse wird fuumlr die ut Nor-

malverteilung angenommen und die εt somit als bedingt normalverteilt spezifiziert

εt | Ωt-1 ~ N(0σt2) (34)

Die Normalverteilungsannahme kann dabei jedoch ohne weiteres zugunsten einer anderen

bekannten Verteilung aufgegeben werden6

Auch wenn die bedingte Varianz annahmegemaumlszlig zeitabhaumlngig ist kann ein ARCH-Prozeszlig

in den unbedingten Momenten durchaus stationaumlr sein Engle (1982 S 993 und S 1004f)

fuumlhrt den Beweis daszlig unter der Bedingung

sum=lt

p

i i11α (35)

ein ARCH(p)-Prozeszlig kovarianzstationaumlr ist mit E(εt) = 0 Cov(εtεs) = 0 fuumlr t ne s und kon-

stanter unbedingter Varianz

sum=minus

== p

i i

E

1

0

1sup2sup2)(

α

ασε (36)

Aus der Guumlltigkeit der Stationaritaumltsbedingung kann nun gefolgert werden daszlig schwach

stationaumlre ARCH(p)-Prozesse der Klasse der White-Noise-Prozesse angehoumlren Speziell

fuumlr α1 = = αp = 0 beinhaltet ein ARCH(p)-Prozeszlig den Spezialfall von homoskedasti-

schem bdquoWeiszligen Rauschenldquo Ist Bedingung (36) nicht erfuumlllt verliert ein ARCH-Prozeszlig

offensichtlich seine White-Noise-Eigenschaften Der Einfluszlig vergangener Schocks verliert

dann im Zeitablauf nicht an Wirkung sondern bleibt in der bedingten Varianz persistent

Die unbedingte Varianz in (36) ist dann nicht mehr definiert bzw kann unendlich groszlig

werden

6 Aufgrund der in Kapitel 2 beschriebenen Leptokurtosis von Finanzmarktrenditen wird in der Praxis als bedingte Verteilung oft auf die standardisierte t-Verteilung zuruumlckgegriffen (Bollerslev 1987 S 542)

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 9: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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7

Formal erinnert die Spezifikation (33) zunaumlchst an einen Moving-Average Prozeszlig fuumlr die

bedingte Varianz7 Da jedoch die bedingte Varianz σtsup2 nicht beobachtbar ist definiert man 22ttt σεν minus= (Schmitt 2002 S 315) Gleichung (33) laumlszligt sich dann umschreiben zu

tptptt νεαεααε ++++= minusminus22

1102 (37)

wobei E(vt) = 0 und Cov(vtvs) = 0 fuumlr t ne s gilt Ein ARCH-Prozeszlig kann somit als autore-

gressiver Prozeszlig fuumlr die quadrierten Stoumlrterme εtsup2 interpretiert werden Fuumlr die Bestim-

mung der Anzahl relevanter Lags ist folglich im Prinzip dasselbe Instrumentarium einsetz-

bar daszlig auch fuumlr die Identifikation von gewoumlhnlichen ARMA-Prozessen eingesetzt wird

Der Parameter p kann aus dem spezifischen Verlauf der Autokorrelationsfunktion (AKF)

und der partiellen Autokorrelationsfunktion (PAKF) abgeleitet werden Waumlhrend der

ARCH(p)-Prozeszlig die Eigenschaften eines White-Noise-Prozesses aufweist und damit kei-

ne Ruumlckschluumlsse uumlber die Parameter der bedingten Varianz σtsup2 moumlglich sind enthaumllt die

AKF des quadrierten ARCH-Prozesses εtsup2 eine Struktur die mit der eines AR(p)-Prozesses

vergleichbar ist8

Fuumlr ARCH-Modelle existieren Momente houmlherer Ordnung nicht notwendigerweise (Engle

1982 S 992) Falls ein Moment ungerader Ordnung existiert so ist dieses aufgrund der

angenommenen Normalverteilung gleich Null Die Kurtosis ist allgemein bei ARCH-

Prozessen groumlszliger als die der Normalverteilung Die unbedingte Verteilung der εt unter-

scheidet sich von der Normalverteilung dadurch daszlig houmlhere Wahrscheinlichkeiten auf

extremen Ereignissen liegen Insgesamt betrachtet zeigt sich somit daszlig die ersten drei der

in Kapitel 2 beschriebenen Eigenschaften von Kapitalmarktrenditen (Konstanter Erwar-

tungswert Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) durch ARCH-Prozesse wiedergegeben

werden koumlnnen

Die Problematik der ARCH-Modellierung besteht nun vor allem in der oft relativ langen

Wirksamkeit von Renditeschocks so daszlig fuumlr eine adaumlquate Modellierung ein autoregressi-

ver Prozeszlig hoher Ordnung noumltig ist Daraus resultieren Schaumltzprobleme und Probleme mit

der Einhaltung der Stationaritaumlts- und Nichtnegativitaumltsrestriktionen

7 Auch Engle hat daher zunaumlchst uumlberlegt statt ARCH die Bezeichnung MACH (Moving Average Conditio-nal Heteroskedasticity) zu waumlhlen (vgl Engle 2004 S xii) 8 Charakteristisch fuumlr autoregressive Prozesse ist eine nach dem p-ten Glied abbrechende partielle Autokor-relationsfunktion waumlhrend die Autokorrelationsfunktion gegen Null konvergiert (Enders 1995 S 85)

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 10: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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8

GARCH-Modelle

Aufgrund der genannten Probleme der ARCH-Modelle entwickelte Bollerslev (1986 S

309) das Generalized ARCH-Modell (GARCH) in dem die Varianzgleichung (33) zusaumltz-

lich um q zeitverzoumlgerte Werte der bedingten Varianz erweitert wird

sumsum=

minus=

minus ++=q

jjtj

p

iitit

1

2

1

20

2 σβεαασ (38)

Die Nichtnegativitaumltsrestriktionen α0 gt 0 αi gt 0 fuumlr i = 1 hellip p und βj gt 0 fuumlr j = 1 hellip q

garantieren wiederum daszlig die bedingte Varianz σt2 strikt positiv wird9 Rein intuitiv kann

bereits vermutet werden daszlig ein GARCH- im Vergleich zu einem ARCH-Modell die Vo-

latilitaumltsclusterung noch besser beschreiben kann da die vergangene bedingte Varianz als

zusaumltzliche Einfluszliggroumlszlige in das Modell eingeht

Gemaumlszlig dem Theorem 1 von Bollerslev (1986 S 310) ist ein GARCH-Prozeszlig genau dann

schwach stationaumlr wenn die Parameterrestriktion

sum sum= =lt+

p

i

q

j ji1 11βα (39)

gilt Der Prozeszlig ist dann frei von Autokorrelation mit Erwartungswert Null und konstanter

unbedingter Varianz

sumsum ==+minus

== q

j jp

i i

otE

11

22

1)(

βα

ασε (310)

Aus der Definition eines GARCH(pq)-Prozesses geht nun hervor daszlig er fuumlr β1 = hellip = βq =

0 sowohl einen ARCH(p)-Prozeszlig als auch fuumlr α1 = hellip = αp = β1 = hellip = βq = 0 den Spezial-

fall von homoskedastischem bdquoWeiszligen Rauschenldquo umfaszligt In empirischen Untersuchungen

insbesondere bei hochfrequenten Finanzmarktdaten hat sich aber in vielen Faumlllen gezeigt

daszlig die Stationaritaumltsbedingungen oft nur knapp oder gar nicht erfuumlllt waren10 Liegt die

Summe der Koeffizienten nahe bei Eins wird von einer hohen Persistenz der bedingten

Varianz gesprochen Zuvor eingetretene Schocks verlieren dann im Zeitablauf offenbar nur

langsam ihren Einfluszlig auf die bedingte Varianz Ist hingegen die Summe groumlszliger oder

gleich Eins hat das autoregressive Polynom der Gleichung (38) eine Einheitswurzel so

daszlig alle vergangenen Schocks einen Einfluszlig auf die bedingten Varianzen ausuumlben (Bol-

9 Nelson und Cao (1992 S 230) geben speziell fuumlr GARCH(1q)- und GARCH(2q)-Prozesse schwaumlchere Bedingungen an so daszlig diese Bedingungen lediglich hinreichend nicht aber notwendig sind 10 Siehe zB Lamoureux und Lastrapes (1990 S 228)

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 11: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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9

lerslev Engle Nelson 1994 S 2968) In diesem Fall koumlnnen auf der Stationaritaumltsbedin-

gung beruhende Signifikanztests zu falschen Entscheidungen fuumlhren und zudem keine

brauchbaren Prognosen zukuumlnftiger Varianzen mehr erwartet werden Weiterhin ist die

bedingte Varianz gemaumlszlig (310) nicht mehr definiert

Fuumlr die Identifikation von GARCH-Prozessen ist nun wiederum entscheidend daszlig ein

GARCH(pq)-Prozeszlig eine aumlquivalente ARMA(pq)-Darstellung besitzt (Bera Higgins

1993 S 317) Der Verlauf der AKF und der PAKF von εtsup2 aumlhnelt somit dem eines her-

koumlmmlichen ARMA(pq)-Prozesses so daszlig entsprechend beide Funktionen zur Spezifika-

tion des Prozesses herangezogen werden koumlnnen11

Unter der Voraussetzung schwacher Stationaritaumlt laumlszligt sich dann aumlhnlich der MA(infin)-

Darstellung eines ARMA(pq)-Prozesses durch sukzessives Einsetzen von 2jtminusσ in (38)

ein GARCH(pq)-Prozeszlig als ein ARCH(infin)-Prozeszlig mit geometrisch abnehmenden Gewich-

ten darstellen (Schmitt 2002 S 320) Dieses macht deutlich daszlig der GARCH-Ansatz die

Modellierung einer evtl langen und flexiblen Lag-Struktur mit wenigen Parametern er-

moumlglicht12

Bollerslev (1986 S 311ff) hat nun auch die Eigenschaften von GARCH-Prozessen analy-

siert und dabei gezeigt daszlig diese weitgehend denen von ARCH(p)-Prozessen entsprechen

Die Existenz houmlherer Momente ist wiederum mit einer weiteren Einschraumlnkung des zulaumls-

sigen Parameterbereichs verbunden Ebenso ist die unbedingte Verteilung der εt durch eine

houmlhere Spitze sowie breitere Raumlnder als bei der Normalverteilung gekennzeichnet Somit

sind ARCH- wie auch GARCH-Prozesse in der Lage zumindest einen Teil der Leptokur-

tosis von Kapitalmarktrenditen zu modellieren

Obwohl ein GARCH(pq)-Modell bereits eine recht flexible Moumlglichkeit der Modellierung

von Volatilitaumltsschwankungen und der Leptokurtosis darstellt sind dennoch einige Phauml-

nomene empirischer Finanzmarktzeitreihen noch nicht abbildbar So haben positive wie

auch negative Schocks gleicher Groumlszlige durch die quadratische Struktur der Varianzglei-

chung denselben Effekt auf die bedingte Varianz Daszlig diese Annahme insbesondere fuumlr

11 Stationaumlre GARCH(pq)-Prozesse zeichnen sich durch ein exponentielles Abklingen der AKF wie auch der PAKF aus so daszlig eine Spezifikation sich als schwierig gestaltet (Enders 1995 S 85) Man wird daher zusaumltzlich auch auf die Hilfe von Modellselektionskriterien wie zB dem von Akaike zuruumlckgreifen (vgl Enders 1995 S 88) 12 Hansen und Lunde (2001) wie auch Bera und Higgins (1993 S 317) berichten daszlig oft ein GARCH(11)-Prozeszlig bereits zu einer guten Anpassung an empirische Zeitreihen in der Lage ist

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 12: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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10

Aktienrenditen nicht plausibel ist wurde bereits in Kapitel 2 mit dem Leverage-Effekt

begruumlndet

Asymmetrische GARCH-Modelle

Insbesondere die Beobachtung daszlig die bedingte Varianz nach negativen Nachrichten staumlr-

ker steigt als nach positiven wirft die Frage nach Erweiterungen der Standardmodelle auf

welche asymmetrisch auf das Vorzeichen von Schocks reagieren koumlnnen Engle und Ng

(1993 S 1775) schlagen das Nonlinear Asymmetric GARCH (NGARCH) vor in dem die

Varianzgleichung eines GARCH(11)-Modells um einen Leverage-Parameter c erweitert

wird

211

21110

2 )( minusminusminus +++= tttt c σβσεαασ (311)

Die uumlblichen Nichtnegativitaumltsrestriktionen lauten dann α0 gt 0 α1 gt 0 und β1 gt 0 Die Sta-

tionaritaumlt des Prozesses ist dann gewaumlhrleistet wenn α1(1+csup2) + β1 lt 1 gilt (Schmitt 2002

S 330)

Aus oumlkonomischer Sicht wird fuumlr den Koeffizient c ein negatives Vorzeichen erwartet Ein

negativer Schock 1minustε erhoumlht dann die bedingte Varianz staumlrker als ein positiver so daszlig

dem Leverage-Effekt Rechnung getragen werden kann Speziell fuumlr c = 0 reduziert sich das

NGARCH- zu einem symmetrischen GARCH-Modell Positive wie auch negative Schocks

uumlben dann wieder denselben Einfluszlig auf die bedingte Varianz aus

Eine alternative asymmetrische Spezifikation stellt das GJR-Modell von Glosten Jagan-

nathan und Runkle (1993 S 1787) dar Es ermoumlglicht die Abbildung des Leverage-

Effekts indem die Varianzgleichung um eine Dummy-Variable +minus1tI erweitert wird die als

Indikatorfunktion den Wert 1 fuumlr positive εt-1 annimmt und sonst gleich 0 ist Die Varianz-

gleichung laumlszligt sich dann schreiben als

211

2112

2110

2minusminus

+minusminus +++= ttttt I σβεαεαασ (312)

wobei die Nichtnegativitaumlt durch die Bedingung α0 gt 0 α1 + α2 gt 0 und β1 gt 0 gewaumlhrlei-

stet wird Liegt eine Asymmetrie in den Daten vor wird α2 lt 0 erwartet Fuumlr α2 = 0 redu-

ziert sich das GJR-Modell zu einem symmetrischen GARCH-Modell

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 13: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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11

ARCH-in-Mean-Modelle

Neben den asymmetrischen ARCH-Erweiterungen sind im Finanzbereich vor allem die

ARCH-in-Mean-Modelle (ARCH-M) relevant In der Kapitalmarkttheorie wird davon aus-

gegangen daszlig der Preis eines Wertpapiers als Funktion seines Risikos (gemessen durch

die Varianz) angesehen werden kann Explizit wird dabei angenommen daszlig fuumlr das Halten

von riskanteren Wertpapieren auch eine im Mittel houmlhere Rendite erwartet wird Die bishe-

rige Definition der Mittelwertgleichung (31) ging aber davon aus daszlig die bedingte Vari-

anz keinen unmittelbaren Einfluszlig auf die erwartete Rendite ausuumlbt Engle Lilien und Ro-

bins (1987 S 394) erweitern daher den ARCH-Ansatz indem sie die bedingte Standard-

abweichung σt als exogenen Einfluszligfaktor in das Modell der Zeitreihe yt hinzufuumlgen Der

Unterschied zwischen einem ARCH- und einem ARCH-M-Modell liegt somit nur in der

Mittelwertgleichung so daszlig die Modellierung der bedingten Varianz gegenuumlber dem ent-

sprechenden ARCH-Modell unveraumlndert bleibt Die modifizierte Mittelwertgleichung laumlszligt

sich dann schreiben als

tttt fy εσλμ +sdot+= )( 2 (313)

wobei εt wieder eine bedingt heteroskedastische Stoumlrgroumlszlige darstellt f() bezeichnet eine

bekannte Funktion von σtsup2 wobei in den meisten empirischen Analysen wie auch hier

eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt angenommen wird13 λ kann hierbei als ein

uumlber alle Marktteilnehmer hinweg aggregiertes Maszlig der individuellen Risikoaversion ver-

standen werden Sein Wert steht somit fuumlr den Preis einer Einheit des Marktrisikos so daszlig

fuumlr λ ein positives Vorzeichen erwartet werden kann Je groumlszliger sein Wert geschaumltzt wird

desto houmlher ist die Risikoaversion und damit auch die Risikopraumlmie die von einem Inve-

stor als Ausgleich fuumlr das Halten einer risikobehafteten Investition verlangt wird

Wird ein Einfluszlig der bedingten Varianz auf die Mittelwertgleichung nicht zugelassen so

schlaumlgt sich dieser Einfluszlig in den Residuen nieder Bei der Interpretation ist daher zu be-

achten daszlig eine zeitabhaumlngige Risikopraumlmie (fuumlr λ ne 0) nun insbesondere auch eine Auto-

korrelationsstruktur in den Renditen impliziert die bei der Modellierung des Erwartungs-

werts beruumlcksichtigt werden sollte (Bera Higgins 1993 S 348)

13 Alternativ kann in (313) auch die bedingte Varianz 2

tσ oder eine andere Funktion der bedingten Varianz als erklaumlrende Variable auftreten (Bera Higgins 1993 S 348)

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 14: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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12

32 Schaumltzmethodik

Nach der Modellspezifikation stellt sich zunaumlchst die Frage nach den Schaumltzmoumlglichkeiten

von ARCH-Modellen Die Spezifikation des Renditeprozesses auf Basis von zwei Glei-

chungen fuumlr Erwartungswert und Varianz legt nahe daszlig auch eine simultane Schaumltzung

beider Gleichungen erforderlich ist Dies leistet der in dieser Arbeit angewandte Maxi-

mum-Likelihood-Ansatz Da Realisationen eines ARCH-Prozesses uumlber das zweite Mo-

ment miteinander verbunden sind erfolgt die Konstruktion der Likelihoodfunktion im

Rahmen von ARCH-Schaumltzungen als Produkt der bedingten Dichtefunktionen (Franke

Haumlrdle Hafner 2001 S 212ff) Fuumlr eine gegebene Stichprobe mit T Beobachtungen und

gegebenen Anfangswerten erhaumllt man als Likelihoodfunktion

)|()( 11

11 θθ xxxfxxLT

tttT prod

=minus= (314)

wobei f(xt | xt-1 hellip x1 θ) die bedingte Dichtefunktion der t-ten Beobachtung bezeichnet

Aus rechentechnischen Gruumlnden maximiert man nicht L(θ) selbst sondern ihren Logarith-

mus14 Die resultierende Log-Likelihoodfunktion lautet

sum=

minus=T

tttT xxxfxxL

1111 )|(ln)(ln θθ (315)

Da in (34) die ut als identisch und unabhaumlngig standardnormalverteilt angenommen wur-

den ist die bedingte Verteilung eine Normalverteilung mit Mittelwert microt und Varianz σtsup2

Die bedingte Dichte der t-ten Beobachtung kann daher geschrieben werden als

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus=minus 2

2

11 2exp

21)|(

t

t

ttt xxxf

σε

σπθ (316)

wobei ttt y με minus= gilt und σtsup2 durch die Varianzgleichung des zu schaumltzenden ARCH-

Modells bestimmt wird Der Mittelwert microt kann dabei von einem Satz unbekannter Regres-

sionsparameter abhaumlngen die zusammen mit den ARCH-Parametern durch die Maximie-

rung der Likelihoodfunktion geschaumltzt werden Die Log-Likelihoodfunktion lnL(xt hellip x1

θ) bedingt auf die Startwerte x1 xs ist dann unter Vernachlaumlssigung konstanter Terme

gegeben durch

14 Da dieser eine streng monotone Transformation ist nimmt die Funktion ln L(θ) an der gleichen Stelle ihr Maximum an wie die Funktion L(θ)

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 15: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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13

sumsum==

minusminus=T

st t

tT

sttT xxL 2

22

1 21log

21)(ln

σεσθ (317)

wobei s eine ganze Zahl groumlszliger als p ist15

Fuumlr diese Funktion sind die partiellen Ableitungen nach θ zu bilden und gleich Null zu

setzen Da die dann zu loumlsenden Gleichungen hochgradig nichtlinear sind muumlssen numeri-

sche Optimierungsverfahren zur Maximierung von (317) angewendet werden wobei in

dieser Arbeit auf den BHHH-Algorithmus16 zuruumlckgegriffen wird17

Nicht immer entspricht die bedingte Verteilung der Normalverteilung Wichtig ist daher

die Unterscheidung zwischen der wahren bedingten Verteilung des Prozesses und der vom

Anwender fuumlr die Durchfuumlhrung der ML-Schaumltzung unterstellten Verteilung Wie Bera und

Higgins (1993 S 349) berichten ist der ML-Schaumltzer auch bei nicht normalverteilten Zu-

fallsschocks ut durchaus sinnvoll und wird als Quasi-Maximum-Likelihood-Schaumltzer

(QML) bezeichnet So kann gezeigt werden daszlig trotz fehlender bedingter Normalvertei-

lung der Ausgangsdaten - bei Guumlltigkeit einiger Regularitaumltsbedingungen und korrekter

Spezifikation der bedingten ersten und zweiten Momente - der QML-Schaumltzer zu konsi-

stenten Schaumltzergebnissen fuumlhrt18 Franses und van Dijk (2000 S 173) berichten daszlig der

QML-Schaumltzer zu brauchbaren Schaumltzergebnissen fuumlhrt solange die bdquowahreldquo Verteilung

zumindest symmetrisch ist Vor allem fuumlr asymmetrische Verteilungen ist jedoch ein star-

ker Effizienzverlust hinzunehmen

15 Fuumlr ein ARCH(p)-Modell waumlhlt man zB s = p + 1 16 Siehe Berndt Hall Hall und Hausmann (1974 S 656ff) 17 Wie gezeigt werden kann sind die durch Maximierung von (317) gewonnenen Schaumltzer unter Regulari-taumltsbedingungen konsistent asymptotisch effizient und asymptotisch normalverteilt (Franke Haumlrdle Hafner 2001 S 224f) Fuumlr die Klasse der ARCH-Prozesse ist die Guumlltigkeit dieser Regularitaumltsbedingungen jedoch zT nur schwer nachweisbar So bemerken Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2980) in diesem Zusam-menhang kritisch bdquoThe common practice in empirical studies has been to proceed under the assumption that the necessary regularity conditions are satisfiedldquo 18 Dabei muumlssen jedoch die Standardfehler aufgrund fehlender Normalverteilung modifiziert werden (vgl Bollerslev und Wooldridge (1992 S 145)

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 16: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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14

33 Spezifikations- und Diagnosetests

Eine einfache Moumlglichkeit zur Spezifikation liefert Engle (1982 S 999f) mit dem von

ihm vorgeschlagenen Lagrange-Multiplikator-Test (LM-Test) Dazu wird fuumlr die geschaumltz-

ten quadrierten Residuen 2ˆtε eines linearen Modells ein autoregressives Modell

tptpttt νεαεαεααε +++++= minusminusminus22

222

1102 )))) (318)

spezifiziert und mittels der KQ-Methode geschaumltzt Die Nullhypothese daszlig keine

ARCH(p)-Effekte vorliegen ist dann aumlquivalent zu der Nullhypothese H0 α1 = = αp =

019 Bei einer Zeitreihe mit T Beobachtungen ergibt sich dann die Teststatistik als LM(p) =

TsdotRsup2 wobei Rsup2 das Bestimmtheitsmaszlig der Regression (318) bezeichnet Ist H0 guumlltig kon-

vergiert die Teststatistik gegen eine χsup2-Verteilung mit p Freiheitsgraden so daszlig H0 bei

einem Signifikanzniveau α abgelehnt werden kann wenn 21)( αχ minus

andgt ppLM gilt

Wenn ein ARCH-Modell spezifiziert und aus den Daten geschaumltzt wurde ist in einem

naumlchsten Schritt die empirische Haltbarkeit des Modells anhand der geschaumltzten Residuen

zu uumlberpruumlfen Falls das geschaumltzte ARCH-Modell korrekt spezifiziert ist und der zugrun-

deliegende datengenerierende Prozeszlig tatsaumlchlich bedingt normalverteilte ARCH-

Stoumlrungen aufweist ist zu erwarten daszlig die mit der geschaumltzten bedingten Standardabwei-

chungen tσ standardisierten Residuen

t

tt σ

εωˆˆˆ = (319)

ebenfalls approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert Null und Varianz Eins Fuumlr eine

Uumlberpruumlfung wird in dieser Arbeit auf den Jarque-Bera-Test (JB-Test) zuruumlckgegriffen

welcher die Abweichung von Schiefe und Kurtosis von denen einer Normalverteilung miszligt

(von Auer 1999 S 308)

Daruumlber hinaus wird gefordert daszlig die verbleibenden standardisierten Residuen tω keine

brauchbaren Informationen mehr enthalten sich also als Realisation eines White-Noise-

Prozesses auffassen lassen (Bollerslev Engle Nelson 1994 S 2988) Eine zentrale Be-

deutung kommt hier der Analyse der AKF der PAKF wie auch dem Ljung-Box-Test zu

19 Wie Bera und Higgins (1993 S 354) zeigen ist der Test auf ARCH-Effekte identisch mit einem Test auf GARCH-Effekte

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15

Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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16

litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 17: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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Die Pruumlfgroumlszlige

sum= minus

+=p

i

i

iTTTpQ

1

2ˆ)2()( ρ (320)

summiert die quadrierten Autokorrelationskoeffizienten 2ˆ iρ bis zu einem vorher bestimm-

ten Lag p und erfaszligt somit Abweichungen von der Nullhypothese bdquokeine Autokorrelation

auf allen p Lagsldquo Unter H0 ist Q approximativ χsup2-verteilt mit p Freiheitsgraden (Enders

1995 S 87f)20

Der LB-Test betrachtet jedoch nur lineare Zusammenhaumlnge und ist folglich nicht in der

Lage auch auf Unabhaumlngigkeit zu testen McLeod und Li (1983) haben hierfuumlr einen

Nichtlinearitaumltstest vorgeschlagen welcher ebenfalls auf der Ljung-Box-Teststatistik ba-

siert Damit soll die Nullhypothese daszlig die ersten p Autokorrelationskoeffizienten der

quadrierten standardisierten Residuen 2ˆ tω bis zum Lag p gemeinsam Null betragen gete-

stet werden Unter der Nullhypothese der White-Noise-Eigenschaft der 2ˆ tω kann H0 abge-

lehnt werden wenn 21

ˆαχ minusgt pQ gilt Dies ist dann ein Hinweis darauf daszlig das betrachtete

Modell die in den Daten vorhandenen ARCH-Effekte nicht vollstaumlndig erklaumlren kann21

34 Prognosen durch ARCH-Modelle

In der Prognosephase gilt es alternative Modelle in ihrer Prognoseeignung gegeneinander

abzuwaumlgen Die Beurteilung der Prognoseleistung ist jedoch problematisch da die bdquowah-

reldquo Varianz nicht direkt beobachtet werden kann und somit ein Benchmark fehlt auf des-

sen Grundlage Aussagen uumlber die Prognosequalitaumlt getroffen werden koumlnnen Da aber die

bedingte Varianz als eine Ein-Schrittprognose des quadrierten Residuums der nachfolgen-

den Periode interpretiert werden kann werden ARCH-Prognosen in der Praxis oft mit den

quadrierten Residuen verglichen Dabei kann zwar gezeigt werden daszlig die quadrierten

Residuen einen unverzerrten Schaumltzer fuumlr die latenten Varianzen darstellen Andersen und

Bollerslev (1998 S 886) machen jedoch darauf aufmerksam daszlig der quadrierte Residual-

prozeszlig 2ˆtε aufgrund des White-Noise-Charakters im Vergleich zu 2ˆ tσ viel houmlhere Variabi-

20 Angewandt auf einen Residualprozeszlig eines ARMA-Modells muszlig die Anzahl der Freiheitsgrade um die Anzahl der geschaumltzten Parameter reduziert werden

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litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 18: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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litaumlt aufweist und somit keinen optimalen Benchmark darstellt Sie schlagen deshalb vor

fuumlr eine Beurteilung von ARCH-Prognosen die Varianz von Tagesrenditen aus Intra-

Tagesdaten ndash also aus hochfrequenten Daten ndash zu schaumltzen

Gegeben die Information bis zum Zeitpunkt T kann nun basierend auf der AR(p)-

Darstellung (37) des ARCH-Prozesses die τ-Schritt-Prognosegleichung fuumlr τ = 1 2 hellip

geschrieben werden als

sum=

minus++ +=p

iTiTiTT

1

2 | 0

2| ˆˆˆ ττ σααε (321)

wobei 22ˆ iTiT minus+minus+ = ττ εσ fuumlr τ ndash i lt 0 und E(vT+1) = hellip = E(vT+τ) = 0 gilt

Auf Basis des Prognosefehlers )ˆˆ( 22tt εσ minus koumlnnen dann die bekannten Prognosefehlermaszlige

Mean Square Error (MSE) und Mean Absolute Error (MAE) berechnet werden

sum=

minus=T

tttT

MSE1

222 )ˆˆ(1 εσ und sum=

minus=T

tttT

MAE1

22 ˆˆ1 εσ (322)

Bei der Interpretation dieser Maszlige ist zu beruumlcksichtigen daszlig alternative Fehlermaszlige evtl

zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren koumlnnen So werden durch das MSE aufgrund der

Quadrierung groszlige Abweichungen staumlrker gewichtet als bei absoluten Fehlermaszligen

4 Empirischer Teil

Das Datenmaterial

Basis der nachfolgenden Untersuchungen bilden die Schluszligkurse des Deutschen Aktienin-

dex (DAX) an 2469 Handelstagen im Zeitraum vom 1 Februar 1991 bis zum 29 Dezem-

ber 2000 Der DAX wird auf Basis der Kurse der 30 umsatzstaumlrksten deutschen Unterneh-

men berechnet wobei er um Dividendenzahlungen und Kapitalveraumlnderungen bereinigt

wird Auszahlungen einer Aktie werden in den entsprechenden Titel reinvestiert so daszlig

ein kontinuierliches Portefeuille entsteht welches die Wertentwicklung deutscher Stan-

dardwerte widerspiegelt

21 Fuumlr weitere Diagnosemoumlglichkeiten siehe zB den Uumlbersichtsartikel von Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 2984ff)

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Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 19: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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17

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nicht die Ausgangs-Kurszeitreihe sondern die Log-

Renditen rt

rt = ln (kt kt-1) (41)

untersucht wobei kt den DAX-Kurs zum Zeitpunkt t bezeichnet

Mit Hilfe eines Dickey-Fuller-Tests werden zunaumlchst die Zeitreihen auf Stationaritaumlt hin

gepruumlft Dabei kann die Random-Walk-Hypothese fuumlr die logarithmierte Kurszeitreihe

aufgrund der Ergebnisse in Tabelle 5 (Anhang I S II) auf dem 5-Signifikanzniveau

nicht abgelehnt werden Angewandt auf den Renditeprozeszlig entscheidet der Test bei einem

Signifikanzniveau von 5 eindeutig so daszlig von schwacher Stationaritaumlt der Renditen aus-

gegangen werden kann

Einen ersten Eindruck uumlber die Verteilungseigenschaften der Daten vermitteln die in Ta-

belle 6 (Anhang II S III) aufgelisteten empirischen Kennzahlen der Renditen Aufgefuumlhrt

sind Minimum Maximum arithmetisches Mittel Schiefe Kurtosis ausgewaumlhlte Quantile

sowie die Jarque-Bera-Statistik (JB) Insbesondere zeigt sich daszlig die Renditen nicht nur

eine signifikante Linksschiefe aufweisen auch die Kurtosis ist mit k = 483 deutlich houmlher

als man unter Normalverteilung (k = 3) erwarten wuumlrde Zusammen mit den betragsmaumlszligig

kleinen Werten fuumlr das 25- und das 75-Quantil deuten diese Ergebnisse auf eine

bdquoKlumpungldquo der Renditen im Zentrum sowie an den Enden der Haumlufigkeitsverteilung hin

Insgesamt kann daher von einer leptokurtischen Verteilung der betrachteten Daten ausge-

gangen werden Formal bestaumltigt wird dies durch die JB-Statistik zur Pruumlfung auf Normal-

verteilung Der p-value also die Wahrscheinlichkeit fuumlr die Richtigkeit der Nullhypothese

(H0 Normalverteilung) ist Null

Das erste Entscheidungsproblem bei der ARCH-Modellierung besteht nun in der Spezifi-

kation des bedingten Erwartungswertes in (31) Bei der Analyse von Finanzmarktdaten

wird hierfuumlr haumlufig auf die Klasse der ARMA-Prozesse zuruumlckgegriffen (vgl Enders

1995 Kapitel 2) Das fuumlr die Identifikation des Prozesses herangezogene Korrelogramm

(Abb 1 S V) laumlszligt vermuten daszlig sich der Renditeprozeszlig kaum von einem Zufallsprozeszlig

unterscheidet Lediglich 3 Autokorrelationskoeffizienten liegen nennenswert auszligerhalb der

95-Signifikanzgrenzen ]961[ Tplusmn ndash dies entspricht in etwa dem Wert der bei einem α-

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Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 20: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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18

Fehler von 5 erwartet werden kann22 Die AKF zeigt folglich keinerlei Abhaumlngigkeits-

struktur an die sich sinnvoll mit ARMA-Prozessen modellieren laumlszligt Wie Kraumlmer und

Runde (1994 S 3) zudem zeigen unterschaumltzt der angenommene Standardfehler T1

bei bedingter Heteroskedastie den bdquowahrenldquo Standardfehler und das bdquowahreldquo Konfidenzin-

tervall ist weiter als das berechnete Das dargestellte Konfidenzintervall wird folglich eher

zu einer ungerechtfertigten Ablehnung von White-Noise fuumlhren

Da das Korrelogramm insbesondere keine Hinweise auf einen AR(1)- bzw MA(1)-Prozeszlig

liefert soll im folgenden kein ARMA-Modell an die Renditen angepaszligt sondern von ei-

nem White-Noise-Prozeszlig ausgegangen werden Die Analyse vereinfacht sich dadurch der-

art daszlig im folgenden der um seinen unbedingten Mittelwert bereinigte Renditeprozeszlig un-

tersucht werden kann23

Ein aumlhnliches Ergebnis liefert der Ljung-Box-Test Zieht man die bestehenden Korrelatio-

nen in ihrer Gesamtheit in Betracht dann zeigen die in Tabelle 7 (Anhang II S III) darge-

stellten Ergebnisse daszlig die Hypothese bdquokeine Autokorrelation der Ordnung pldquo bis zu ei-

nem Lag von 10 nicht verworfen werden kann Ab dem Lag 11 sinkt der berechnete p-

value jedoch deutlich und liegt ab Lag 15 zumeist deutlich unter einem vorgegebenen α-

Fehler von 5 Dies deutet zunaumlchst darauf hin daszlig die DAX-Renditen zumindest eine

schwache Autokorrelation aufweisen24

Auch wenn in den ersten Momenten keinerlei Abhaumlngigkeitsstruktur auszumachen ist

zeigen die Ergebnisse des ARCH-Tests (Tabelle 7 S III) daszlig die Renditen dennoch nicht

unabhaumlngig voneinander sind Dazu wird der Nullhypothese einer konstanten bedingten

Varianz die Alternativhypothese eines ARCH-Prozesses der Ordnung p = 1 p = 5 sowie p

= 10 gegenuumlbergestellt In allen Faumlllen kann die Nullhypothese eindeutig verworfen wer-

den Die ebenfalls fuumlr die quadrierten Renditen untersuchten Werte der Ljung-Box Q-

Statistik (Tabelle 7 S III) liegen erwartungsgemaumlszlig alle im Ablehnungsbereich der Null-

hypothese so daszlig von einer starken zeitlichen Abhaumlngigkeit in den bedingten Varianzen

ausgegangen werden kann

22 Bei einem α-Fehler von 5 und Beruumlcksichtigung der ersten 40 Autokorrelationen koumlnnen 00540 = 2 Autokorrelationen auszligerhalb der Signifikanzgrenzen erwartet werden 23 Dieses Ergebnis steht im Einklang mit der Effizienzmarkthypothese Diese besagt daszlig Renditen in der Zeit kaum korrelieren so daszlig Renditeprognosen auf effizienten Maumlrkten nahezu aussichtslos sind (vgl Campbell Lo McKinlay 1997 S 20ff) 24 Ferner muszlig bei bedingter Heteroskedastie auch die Berechnung der Ljung-Box-Statistik modifiziert wer-den so daszlig die hier berechneten Pruumlfgroumlszligen mit Vorsicht zu interpretieren sind (Gourieacuteroux 1997 S 87)

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 21: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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19

Bestaumltigt wird dies durch die Darstellung der AKF der quadrierten Renditen (Abb 2 S

V) In dem Autokorrelogramm zeigt sich das typische monoton abklingende Verhalten

eines ARCH(p)-Prozesses mit positiven Parametern α Die ersten 40 Autokorrelationskoef-

fizienten der quadrierten Renditen liegen deutlich auszligerhalb der 95-Signifikanzgrenzen

]961[ Tplusmn Weiter ist ersichtlich daszlig die ebenfalls in Abbildung 2 dargestellten partiel-

len

Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 8 signifikant von Null verschieden sind Dies

ist ein deutlicher Hinweise darauf daszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig zur Modellierung der beding-

ten Varianz angemessen ist

Schaumltzung von ARCH-Modellen

Aufbauend auf den vorangegangenen Ergebnissen soll nun die Ordnung des ARCH-

Prozesses festgelegt werden Dazu wird zunaumlchst ein ARCH(1)-Modell geschaumltzt und da-

nach die Ordnung sukzessive bis zum 10 Grad erhoumlht Erweisen sich einzelne Lags als

insignifikant dann entfaumlllt zunaumlchst ihre Beruumlcksichtigung bei der Steigerung der Lag-

Ordnung Vor dem Hintergrund daszlig mit komplexeren Modellen aufgrund der besseren

Datenanpassung haumlufig eine schlechtere Prognoseperformance einhergeht werden in die-

ser Arbeit die geschaumltzten Modelle zudem anhand des Schwarz-Bayes-

Informationskriteriums (SBC) verglichen Dadurch soll ein Kompromiszlig zwischen Daten-

anpassung und der Anzahl der benutzten Parameter gesucht werden (Enders 1995 S

88)25 Gemaumlszlig den Ergebnissen des SBC in Tabelle 8 (Anhang II S IV) stellt sich erwar-

tungsgemaumlszlig ein ARCH(8)-Prozeszlig als die zu praumlferierende Spezifikation heraus Die Vari-

anzgleichung des geschaumltzten Modells lautet

+++++sdot= minusminusminusminusminus 2

42

32

22

15 12000910076004901034ˆ ttttt εεεεσ

(1331) (275) (351) (379) (487)

28

27

26

25 1160088006801470 minusminusminusminus +++ tttt εεεε

(610) (334) (431) (498)

Unter den Parameterschaumltzern ist jeweils der t-Wert angegeben26

25 Unter den konkurrierenden Modellen wird dasjenige ausgewaumlhlt welches den geringsten SBC-Wert auf-weist Bollerslev Engle und Nelson (1994 S 3011) beurteilen die Informationskriterien jedoch mit Skepsis wenn sie anmerken bdquoStandard model selection criteria [hellip] have been widely used in the ARCH literature though their statistical properties in the ARCH context are unknown This is particularly true when the valid-ity of the distributional assumptions underlying the likelihood is in doubtldquo 26 Ausgehend von einem 5-Signifikanzniveau soll ein Koeffizient als signifikant angesehen werden wenn der Betrag des entsprechenden t-Wertes groumlszliger als 2 ist

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 22: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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20

Hinsichtlich der Volatilitaumltsdynamik zeigen sich teils hoch signifikante Parameter worin

sich die typische Persistenz in der bedingten Varianz widerspiegelt Da die Koeffizienten

des ARCH-Modells alle positiv sind und die Summe der Koeffizienten mit 0755 bedeu-

tend kleiner als eins ist sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren ARCH-Prozeszlig

erfuumlllt

Geht man von der plausiblen Annahme aus daszlig der Einfluszlig der Schocks εtsup2 auf die beding-

te Varianz im Zeitablauf abnimmt zeigen die hier geschaumltzten Koeffizienten jedoch ihre

groumlszligte Auspraumlgung am Lag 4 5 und 8 Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl zu schaumlt-

zender Parameter und damit einhergehender Schaumltzprobleme kann davon ausgegangen

werden daszlig ARCH-Modelle wenig fuumlr Prognosen der bedingten Varianz geeignet sein

duumlrften

Schaumltzung von GARCH-Modellen

Da die Identifikation der Lag-Struktur eines GARCH-Prozesses anhand der AKF und der

PAKF kaum moumlglich ist werden nun fuumlr alle Kombinationen (pq) = (11) (21) (12) und

(22) GARCH-Prozesse mit und ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt und

die SBC-Werte fuumlr einen Vergleich dieser Modelle berechnet Im Rahmen des ARCH-in-

Mean-Ansatzes wurde eine lineare Beziehung der Form f(σt2) = σt gewaumlhlt Die Resultate

des SBC sind in Tabelle 8 (Anhang II S IV) zusammengefaszligt

Es zeigt sich daszlig ein GARCH(12)-Prozeszlig von dem SBC-Kriterium zwar als die angemes-

sene Spezifikation bestimmt wird aufgrund eines signifikant negativen Schaumltzwerts fuumlr β2

ist dieses Modell jedoch abzulehnen Da sich in vielen empirischen Studien ein sparsames

GARCH(11)-Modell bewaumlhrt hat sollen daher auch die weiteren Untersuchungen auf

diese Spezifikation zuruumlckgreifen Betrachtet man die Klasse der GARCH-M-Modelle

entscheidet sich das SBC klar fuumlr einen GARCH(11)-M-Prozeszlig als die angemessene Spe-

zifikation Die geschaumltzten Varianzgleichungen lauten dann

GARCH(11) 21

21

62 8830084010834 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ

(679) (864) (6476)

GARCH(11)-M 21

21

62 8810086010814 minusminusminus ++sdot= ttt σεσ mit λ = 00637

(675) (85) (6583) (314)

Da die GARCH-Koeffizienten alle positiv geschaumltzt wurden ndash und die Summe von α1 und

β1 mit 096 jeweils knapp unter 1 liegt ndash sind alle Voraussetzungen fuumlr einen stationaumlren

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Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 23: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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21

Prozeszlig erfuumlllt Es besteht aber wie erwartet eine hohe Persistenz vergangener Schocks in

der bedingten Varianz Anhand der Schaumltzergebnisse ist nun auch erkennbar daszlig der Pa-

rameter β1 bedeutend groumlszliger als α1 ist α1 ist dabei fuumlr das Ausmaszlig der unmittelbaren Reak-

tion auf neue Nachrichten εt verantwortlich waumlhrend β1 die Dauer des Abklingens der

Wirkung beschreibt Wenn der Parameter β1 deutlich groumlszliger als α1 ist schwingt σtsup2 nach

groszligen Schocks εt typischerweise langsam auf das Ausgangsniveau ab Wenn α1 groumlszliger als

β1 ist erfolgt die Ruumlckkehr zum Ausgangsniveau sehr schnell und das Ausmaszlig an volatility

clustering ist dann eher gering

Weiter ist ersichtlich daszlig die Aufnahme des ARCH-in-Mean-Terms keine groszligen Aus-

wirkungen auf die Parameterschaumltzungen der Varianzgleichung ausuumlbt Bemerkenswert ist

jedoch daszlig in der Mittelwertgleichung des GARCH-M-Modells der Marktpreis des Risi-

kos mit λ = 00637 bei einem t-Wert von 314 hoch signifikant geschaumltzt wurde so daszlig in

hoch volatilen Phasen auch eine houmlhere Rendite erwartet werden kann27

Gemaumlszlig den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) kann weiterhin festgehalten wer-

den daszlig bei allen GARCH-Spezifikationen saumlmtliche SBC-Werte unter denen des

ARCH(9)-Modells liegen Daszlig die Klasse der GARCH-Modelle zu einer besseren Daten-

anpassung in der Lage ist konnte auch so erwartet werden da ein GARCH(11)- als ein

ARCH(infin)-Prozeszlig darstellbar ist

Asymmetrische GARCH-Schaumltzung

Um dem in den DAX-Renditen vermutetem Leverage-Effekt gerecht zu werden wurde

auszligerdem ein GJR-GARCH(11)-Modell und ein NGARCH(11)-Modell jeweils mit und

ohne ARCH-in-Mean-Term an die Daten angepaszligt Das SBC entscheidet sich dabei gemaumlszlig

den Ergebnissen in Tabelle 8 (Anhang II S IV) eindeutig fuumlr die Klasse der NGARCH-

Modelle wobei das NGARCH(11)-Modell als die geringfuumlgig bessere Spezifikation ange-

sehen werden kann Die geschaumltzte Gleichung des NGARCH(11)-Modells lautet

21

211

62 8610)49780(093010017ˆ minusminusminusminus +minus+sdot= tttt σσεσ

(908) (1256) (ndash 795) (8735)

Es zeigt sich wieder daszlig saumlmtliche Parameter signifikant sind und die Stationaritaumltsbedin-

gung mit α1(1 + csup2) + β1 = 0967 lt 1 erfuumlllt ist Weiterhin sind α1 und β1 positiv so daszlig alle

Bedingungen fuumlr einen stationaumlren Prozeszlig erfuumlllt sind Das NGARCH-Modell bescheinigt

27 Haumlrdle und Hafner (1997 S12) erhalten mit λ = 00691 eine in der gleichen Groumlszligenordnung liegende Schaumltzung

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den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 24: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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22

den Daten ndash wie erwartet ndash die Existenz des Leverage-Effekts Der entsprechende Parame-

ter c = ndash 04978 ist signifikant und hat das erwartet negative Vorzeichen

Der ARCH-in-Mean-Term des NGARCH(11)-M-Modells wurde mit λ = 0045 und einem

t-Wert von 251 zwar ebenfalls signifikant jedoch bedeutend geringer als bei den

GARCH-Modellen geschaumltzt

Die Schaumltzergebnisse des GJR-GARCH(11)-Modell bestaumltigen die Befunde der

NGARCH-Modelle weitgehend Die geschaumltzte Varianzgleichung des GJR-GARCH(11)-

Modells lautet

21

211

21

62 83401210049010127ˆ minusminus+minusminus

minus +minus+sdot= ttttt I σεεσ (896) (479) (ndash 1123) (6784)

Der Leverage-Parameter konnte mit α2 = ndash 0121 signifikant negativ geschaumltzt werden Es

kann daher davon ausgegangen werden daszlig negative Schocks die bedingte Varianz staumlrker

steigern als positive dh daszlig es somit eine negative Korrelation der bedingten Varianz

mit vergangenen Renditen gibt Der ARCH-in-Mean-Term wurde hier mit λ = 0051 und

einem t-Wert von 297 ebenfalls signifikant geschaumltzt Er befindet sich dabei in der Grouml-

szligenordnung wie er auch bei dem NGARCH-M-Modell geschaumltzt wurde Es kann nun fest-

gehalten werden daszlig die bedingte Standardabweichung einen signifikanten Einfluszlig auf die

erwartete Rendite ausuumlbt und somit von einer zeitvariablen Risikopraumlmie auszugehen ist

Insgesamt zeigen diese Ergebnisse daszlig gemaumlszlig den Ergebnissen von Schoffer (2000)

asymmetrische GARCH-Modelle bei der Modellierung von Aktienrenditen einen klaren

Erklaumlrungsvorteil mit sich bringen und der Asymmetrie in den Daten besser gerecht wer-

den koumlnnen Das NGARCH(11)-Modell kann dabei die Strukturen (Volatilitaumltsclusterung

Leptokurtosis Leverage-Effekt) in den DAX-Renditen am besten erfassen Es weist den

geringsten SBC-Wert aller untersuchten Modelle auf

Abschlieszligend kann festgestellt werden daszlig die Schaumltzungen der Parameter α0 α1 β1 c

und des ARCH-in-Mean-Terms sich in den Groumlszligenordnungen bewegen die uumlblicherweise

bei Schaumltzung von taumlglichen Renditen des DAX gefunden werden28

28 Siehe zB Schmitt (2002 S 322-329) Haumlrdle und Hafner (1997 S 12) erhalten ebenfalls aumlhnliche Er-gebnisse

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 25: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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23

Modellbeurteilung

Die Guumlte der Modellanpassung der betrachteten (G)ARCH-Modelle soll nun anhand der

Ljung-Box-Statistik der standardisierten Renditen tω wie auch der quadrierten standardi-

sierten Renditen 2ˆ tω uumlberpruumlft werden Fuumlr den Fall daszlig eine gute Anpassung der ge-

schaumltzten Modelle gegeben ist sollten keine signifikanten Autokorrelationen ermittelt wer-

den koumlnnen

Einen Uumlberblick uumlber die Ergebnisse gibt Tabelle 1 Dabei zeigt sich daszlig die LB-

Statistiken in fast allen Faumlllen bei den standardisierten Residuen tω eine schwach signifi-

kante Autokorrelation 1 Ordnung anzeigen Werden allerdings p Autokorrelationen in

ihrer Gesamtheit betrachtet zeigt sich daszlig die Nullhypothese bdquokeine Autokorrelationen

auf allen p Lagsldquo fuumlr p = 10 20 und 40 bei einem Signifikanzniveau von 5 durchgehend

nicht abgelehnt werden kann Da der Autokorrelationskoeffizient am Lag 1 mit etwa 003

aumluszligerst gering ndash und somit oumlkonomisch kaum relevant ist ndash kann nicht zwingend von einer

Fehlspezifikation der Mittelwertgleichung ausgegangen werden

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 538 1546 2146 4516 GARCH(11) 422 1342 1991 4123 GARCH(11)-M 432 1338 2005 4080 NGARCH(11) 355 1356 2001 4115 NGARCH(11)-M 348 1351 2005 4123 GJR-GARCH(11) 378 1368 2000 4118 GJR-GARCH(11)-M 385 1372 2009 4133

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 1 Ergebnisse der LB-Teststatistik der standardisierten Residuen mit α = 5 bei

p = 1 10 20 und 40

Ein eindeutigeres Ergebnis zeigt sich bei einer Betrachtung der Ljung-Box-Statistiken fuumlr

die quadrierten standardisierten Renditen (Tabelle 2) Es ist keinerlei Autokorrelation in

den 2ˆ tω zu erkennen was eindeutig fuumlr die Eignung aller betrachteten Spezifikationen hin-

sichtlich der Modellierung bedingter Varianzen spricht Die Nullhypothese bdquokeine Auto-

korrelation auf allen p Lagsldquo kann bei keinem gaumlngigen Signifikanzniveau abgelehnt wer-

den Die standardisierten Renditen der Modellschaumltzung genuumlgen somit einem reinen Zu-

fallsprozeszlig Sie weisen keine erkennbaren systematischen Zusammenhaumlnge mehr auf

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 26: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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24

LB1 LB10 LB20 LB40 ARCH(8) 014 257 417 1138 GARCH(11) 007 220 342 811 GARCH(11)-M 007 216 338 814 NGARCH(11) 004 201 293 749 NGARCH(11)-M 004 207 296 745 GJR-GARCH(11) 005 212 310 767 GJR-GARCH(11)-M 004 211 308 769

Kritische Werte 384 1830 3141 5575 Tabelle 2 Ergebnisse der LB-Teststatistik der quadrierten standardisierten Renditen mit α = 5 bei p = 1 10 20 und 40 Falls das GARCH-Modell korrekt spezifiziert ist sollten die standardisierten Renditen

einen Mittelwert von 0 und eine Varianz von 1 besitzen was auch wie in Tabelle 3 er-

sichtlich bei allen Modellen annaumlhernd der Fall ist

Varianz Kurtosis Schiefe JB-Test29

ARCH(8) 0998 451 -061 653434 GARCH(11) 1004 425 -056 644083 GARCH(11)-M 1005 421 -057 643623 NGARCH(11) 1002 296 -034 144149 NGARCH(11)-M 0995 297 -037 145163 GJR-GARCH(11) 0994 282 -038 146842 GJR-GARCH(11)-M 0998 283 -039 147262

Tabelle 3 Beschreibende Maszligzahlen der standardisierten Renditen

Dennoch sind die normierten Renditen bei weitem nicht normalverteilt so daszlig neben der

Normalverteilung die Betrachtung weiterer bedingter Dichtefunktionen angebracht er-

scheint Die Jarque-Bera-Test-Statistik der standardisierten Renditen nimmt in allen Faumlllen

weiterhin sehr groszlige Werte an so daszlig die Nullhypothese (H0 Normalverteilung) weiterhin

eindeutig abzulehnen ist

29 Die JB-Statistik ist bei Normalverteilung χsup2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden

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25

Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 27: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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Ex-post-Prognosen der bedingten Varianz

Um eine Aussage uumlber die Prognosequalitaumlt der ARCH-Modelle treffen zu koumlnnen wurde

der Stuumltzzeitraum um 5 Boumlrsentage gekuumlrzt und von jeder Modellkategorie die Spezifika-

tion mit dem niedrigsten SBC-Wert bis zum Beginn des Prognosezeitraums geschaumltzt

Als Guumltekriterien werden dann der Mean Square Error (MSE) und der Mean Absolute

Error (MAE) fuumlr die Prognosen der bedingten Varianz der folgenden fuumlnf Boumlrsentage er-

mittelt Die Prognosen wurden dabei fuumlr den gewaumlhlten Zeitraum konstruiert ohne die

Parameter durch eine erneute Modellschaumltzung zu aktualisieren

Bei der Interpretation der Prognoseleistung ist zu beruumlcksichtigen daszlig der Prognosezeit-

raum auf die letzte Dezemberwoche faumlllt einem Zeitraum der traditionell durch einen eher

ruhigen Boumlrsenverlauf gekennzeichnet ist und somit eher kleine Prognosefehler zu erwar-

ten sind Die in Tabelle 4 dokumentierten Ergebnisse zeigen daszlig gemessen am MAE wie

auch am MSE das NGARCH(11)-Modell die exaktesten Ex-post-Prognosen liefert Dies

war auch zu erwarten da das Modell nach der Beurteilung des SBC auch zu der besten

Datenanpassung in der Lage ist Insgesamt betrachtet fuumlhren beide Fehlermaszlige nahezu

zum selben Ergebnis

MSE MAE ARCH(8) 85710-8 (7) 28510-4 (7) GARCH(11) 84310-8 (5) 26910-4 (6) GARCH(11)-M 84710-8 (6) 26810-4 (5) NGARCH(11) 76510-8 (1) 24910-4 (1) NGARCH(11)-M 76710-8 (2) 25210-4 (2) GJR-GARCH(11) 77210-8 (3) 25810-4 (3) GJR-GARCH(11)-M 77410-8 (4) 26010-4 (4)

Tabelle 4 MSE und MAE einer 5-Tages-Prognose

Weiterhin ist zu erkennen daszlig die Prognosefehler des ARCH-Modells um etwa 10 grouml-

szliger ausfallen als die des NGARCH-Modells Hier kommt das Prinzip der Sparsamkeit (vgl

Enders 1995 S 95f) zum Tragen So kann bei empirischen Arbeiten regelmaumlszligig beobach-

tet werden daszlig parameteraumlrmere Modelle zu einer besseren Prognoseleistung in der Lage

sind

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26

5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 28: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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5 Zusammenfassung

Ziel dieser Analyse war es mit Hilfe verschiedener ARCH-Spezifikationen die bedingte

Varianz zu modellieren und die geschaumltzten Modelle in ihrer Prognoseeignung gegenein-

ander abzuwaumlgen Dabei hat sich gezeigt daszlig die hier untersuchte Renditereihe des DAX

stationaumlr und unkorreliert ist sowie auch die typischen Merkmale von Finanzmarktdaten

(Volatilitaumltsclusterung Leptokurtosis) aufweist

Faszligt man die Resultate des empirischen Teils zusammen dann ist festzustellen daszlig die

Klasse der GARCH-Modelle dem klassischen ARCH-Ansatz aufgrund der sparsamen Pa-

rametrisierung eindeutig uumlberlegen ist Durch Anpassung von ARCH-in-Mean-Termen

konnte zudem ein signifikanter Einfluszlig der bedingten Standardabweichung auf die Mittel-

wertgleichung festgestellt werden Bei dem Versuch den Leverage-Effekt abzubilden hat

sich gezeigt daszlig das NGARCH(11)-Modell im Vergleich zu den symmetrischen

GARCH-Modellen den kleinsten Wert fuumlr das Schwarz-Bayes-Informationskriterium so-

wie den kleinsten Prognosefehler aufweist Es stellt sich somit als die uumlberlegene Spezifi-

kation dar

Dabei sind aber offenbar alle Modelle zu einer adaumlquaten Modellierung der bedingten He-

teroskedastie in der Lage In den quadrierten standardisierten Residuen war in allen Faumlllen

keine Restautokorrelation mehr auszumachen so daszlig die ARCH-Effekte durch die be-

trachteten Modelle fast vollstaumlndig erfaszligt werden konnten

Abschlieszligend sei erwaumlhnt daszlig ARCH-Modelle sich prinzipiell zur Analyse multivariater

Zeitreihen verallgemeinern lassen Dies ist vor allem von oumlkonomischer Bedeutung da

viele oumlkonomische Zeitreihen in einer engen Beziehung zueinander stehen Vor allem auf-

grund der oft hohen Anzahl zu schaumltzender Parameter bleiben hier allerdings viele schaumltz-

theoretische Fragen offen welche Gegenstand der aktuellen Forschung sind Weitere For-

schungsansaumltze beschaumlftigen sich mit der Entwicklung von Optionspreismodellen und der

Analyse von Intra-Tagesdaten30

30 Engle (2002) gibt einen Uumlberblick uumlber die aktuellen Forschungsgebiete

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 29: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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IAnhang I Dickey-Fuller-Tests

Mit Hilfe des Dickey-Fuller-Tests (DF-Test) soll gepruumlft werden ob die logarithmierten DAX-Kurse

yt eine Einheitswurzel besitzen und somit einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen (Enders 1995 S

212ff) Dazu werden fuumlr die ersten Differenzen der Renditen die folgenden drei Gleichungen ge-

schaumltzt (Enders 1995 S 222) 31

ttt yty εγαμ +sdot+sdot+=Δ minus1 (51)

ttt yy εγμ +sdot+=Δ minus1 (52)

ttt yy εγ +sdot=Δ minus1 (53)

Gleichung (51) beschreibt das unrestringierte Modell in dem neben den um eine Periode verzoumlgerten

logarithmierten DAX-Kursen auch eine Konstante micro und ein deterministischer Trend t aufgenommen

werden Entsprechend dem Ablaufschema des DF-Tests gilt es alle moumlglichen Kombinationen zu pruuml-

fen die auf γ = 0 testen (Enders 1995 S 223) Dazu wurden die folgenden Teststatistiken verwendet

γγτ )

)

s=sdot)( (54)

)()(

mTSSErSSESSE

u

uri minus

minus=φ (55)

T steht hierbei fuumlr die Anzahl der Beobachtungen m bezeichnet die Anzahl geschaumltzter Parameter der

unrestringierten Gleichung und r die Anzahl der zu testenden Restriktionen Ist γ = 0 so liegt eine Ein-

heitswurzel vor und die Zeitreihe ist differenzstationaumlr Fuumlr den Fall γ lt 0 kann von einem stationaumlren

Prozeszlig ausgegangen werden

Die drei geschaumltzten Gleichungen lauten (mit τ Werten in Klammern)

ttt yty ε+sdotsdotminussdotsdot+=Δ minusminusminus

136 10412103510170 SSE = 0531168

(204) (188) (ndash 198)

ttt Yy ε+sdotminus=Δ minus1000200020 SSE = 053175 (079) (ndash 061)

ttt yy ε+sdot=Δ minus1000070 SSE = 053185 (258)

31 Erweiterungen des DF-Test zum Augmented DF-Test erwiesen sich als nicht signifikant

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 30: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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II

Gleichung H0 Pruumlfgr krit Wert ber Wert H0 abgelehnt

51 γ = 0 ττ -341 -198 Nein

51 und 52 α = γ = 0 Φ3 625 178 Nein

51 und 53 micro = α = γ = 0 Φ2 468 134 Nein

52 γ = 0 τmicro -286 -061 Nein

52 und 53 micro = γ = 0 Φ1 459 031 Nein

53 γ = 0 τ -195 258 Nein

Tabelle 5 DF-Test auf Integration der DAX-Kurse mit α = 5

Bei allen Tests kann H0 nicht abgelehnt werden Es muszlig daher davon ausgegangen werden daszlig die

logarithmierten DAX-Kurse einem differenzstationaumlren Prozeszlig folgen In einem zweiten Schritt sind

nun die 1 Differenzen der logarithmierten Kurse auf Stationaritaumlt hin zu pruumlfen

Die geschaumltzte Gleichung (53) fuumlr die Log-Renditen rt (τ-Werte in Klammern) lauten

ttt rtr ε+sdotminussdot+sdot=Δ minus

minusminus1

852 989601054101 (ndash 0207) (0191) (ndash 56662)

Die H0-Hypothese ist eindeutig abzulehnen Es kann daher davon ausgegangen werden daszlig die Log-

Renditen keine Einheitswurzel besitzen und somit stationaumlr sind

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 31: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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IIIAnhang II Tabellen und Abbildungen

Maszligzahl p-value Mittelwert 000058 0008 Varianz 000016 Minimum -009706 Maximum 006153 Schiefe -057162 0000 Woumllbung 482987 0000 Jarque-Bera 245198110 0000 25-Quantil -000555 75-Quantil 000769

auf dem 1-Niveau signifikant Tabelle 6 Beschreibende Maszligzahlen fuumlr taumlgliche Renditeaumlnderungen des DAX

Autokorrelation im Mittelwert Pruumlfgroumlszlige p-Wert Ljung-Box-Test (1) 04824 05527 Ljung-Box-Test (10) 134564 01419 Ljung-Box-Test (20) 317456 00531 Ljung-Box-Test (40) 642423 00065 Autokorrelation der quadrierten Zeitreihe Ljung-Box-Test (1) 882423 00000 Ljung-Box-Test (10) 2585744 00000 Ljung-Box-Test (20) 3333453 00000 Ljung-Box-Test (40) 4303244 00000 ARCH LM-Test ARCH LM (1) 954535 00000 ARCH LM (5) 1393536 00000 ARCH LM (10) 1636345 00000

auf dem 1-Niveau auf dem 5-Niveau signifikant Tabelle 7 Diagnosestatistiken fuumlr die Renditen und die quadrierten Renditen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 32: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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IV Modell SBC ARCH(1) - 1479898 ARCH(2) - 1490167 ARCH(3) - 1494919 ARCH(4) - 1497302 ARCH(5) - 1501119 ARCH(6) - 1501774 ARCH(7) - 1502821 ARCH(8) - 1507352 ARCH(9) - 1503424 GARCH(11) - 1511475 GARCH(12) - 1511656 GARCH(21) - 1511247 GARCH(22) - 1511025 GARCH(11)-M - 1511428 GARCH(12)-M - 1511235 GARCH(21)-M - 1511193 GARCH(22)-M - 1510956 NGARCH(11) - 1511983 NGARCH(11)-M - 1511923 GJR-GARCH(11) - 1511833 GJR-GARCH(11)-M - 1511884

Tabelle 8 Schwarz-Bayes-Informationskriterium markiert die gemaumlszlig dem SBC beste Spezifika-

tion Fett markierte Spezifikationen weisen den geringsten SBC-Wert der jeweiligen Mo- dellklasse auf

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

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VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

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Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 33: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

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V

-01-008-006-004-002

000200400600801

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

Abbildung 1 Geschaumltzte Autokorrelationsfunktion der Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

-01

-005

0

005

01

015

02

025

1 6 11 16 21 26 31 36

Lag

AKF

und

PAK

Abbildung 2 Geschaumltzte AKF () und PAKF () der quadrierten Renditen - die gestrichelte Linie beschreibt das 95-Konfidenzintervall fuumlr iid-normalverteilte Daten

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

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VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 34: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VI Literatur

[1] Andersen T G Bollerslev T (1998) Answering the Critics Yes ARCH Models do Provide Good Volatility Forecasts International Economic Review 39 S 885-905

[2] Auer L v (1999) Oumlkonometrie ndash Eine Einfuumlhrung Springer Berlin

[3] Bera A K Higgins M L (1993) ARCH models properties estimation and testing Journal of Economic Surveys 7 S 305-366

[4] Berndt E K Hall B H Hall R E Hausmann J (1974) Estimation and Inference in Nonlin-ear Structural Models Annals of Economic and Social Measurement 3 S 653-665

[5] Bollerslev T (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Journal of Econometrics 31 S 307-327

[6] Bollerslev T (1987) A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return Review of Economics and Statistics 69 S 542-547

[7] Bollerslev T Wooldridge J M (1992) Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in dynamic Models with time-varying Covariances in Econometric Reviews 11 S 143-172

[8] Bollerslev T Engle R F Nelson D (1994) ARCH Models in Handbook of Econometrics (hrsg v) Engle R McFadden D North Holland Press Amsterdam S 2959-3038

[9] Campbell J Y Lo A W MacKinlay A C (1997) The Econometrics of Financial Markets Princeton University Press Princeton

[10] Deutsche Bundesbank (1996) Finanzmarktvolatilitaumlt und ihre Auswirkungen auf die Geldpolitik Monatsbericht 48 Heft 4 S 53-70

[11] Eckey H F Kosfeld R Dreger Ch (2001) Oumlkonometrie Grundlagen - Methoden - Beispie-le 2 Aufl Gabler Verlag Wiesbaden

[12] Enders W (1995) Applied Econometric Time Series John Wiley amp Sons New York

[13] Engle R F (1982) Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates on the Vari-ance of United Kingdom Inflation Econometrica 50 S 987-1007

[14] Engle R F (2002) New Frontiers for ARCH Models Journal of Applied Econometrics 17 S 425-446

[15] Engle R F (2004) ARCH ndash Selected Readings Oxford University Press Oxford

[16] Engle R F Bollerslev T (1986) Modeling the Persistence of Conditional Variances Econo-metric Reviews 5 S 1-50 und S 81-87

[17] Engle R F Lilien D M Robins R P (1987) Estimating Time-Varying Risk Premia in the Term Structure the ARCH-M Model Econometrica 55 S 391-407

[18] Engle R F Ng V K (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility Journal of Finance 48 S 1749-1778

[19] Franke J Haumlrdle W Hafner C (2001) Einfuumlhrung in die Statistik der Finanzmaumlrkte Sprin-ger Berlin

[20] Franses P H van Dijk D (2000) Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance Cam-bridge University Press Cambridge

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

Page 35: ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen · ARCH-Prozesse zur Modellierung der Varianz von Zeitreihen vor-schlägt.1 Diese nichtlineare Spezifikation der bedingten Varianz durch einen

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

VII[21] Glosten L R Jagannathan R Runkle D E (1993) On the relationship between the ex-pected value and the volatility of the nominal excess return on stocks Journal of Finance 48 S 1779-1801

[22] Gourieacuteroux C (1997) ARCH Models and Financial Applications Springer Berlin

[23] Hansen P R Lunde A (2001) A Forecast Comparison of Volatility Models Does Anything Beat a GARCH(11) httpssrncompaper=264571 Stand 22032004

[24] Haumlrdle W Hafner C (1997) Discrete Time Option Pricing with Flexible Volatility Estimation httpciteseeristpsueduhardle97discretehtml Stand Juni 1997

[25] Huumlbler O (1989) Oumlkonometrie Fischer Stuttgart

[26] Kraumlmer W (2000) Statistische Besonderheiten von Finanzmarktdaten httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr58-00ps

[27] Kraumlmer W Runde R (1994) Some pitfalls in using empirical autocorrelations to test for zero correlation among common stock returns in KaehlerKugler (Hrsg) Econometric Analysis of finan-cial markets Heidelberg Physig S 1-10

[28] Lamourex C G Lastrapes W D (1990) Persistence in Variance Structural Change and the GARCH-Model Journal of Business and Economic Statistics 8 S 225-234

[29] Mandelbrot B (1963) The valuation of certain speculative prices Journal of Business 36 S 394-419

[30] McLeod A I Li W K (1983) Diagnostic checking ARMA time series models using squared-residual autocorrelations Journal of Time Series Analysis 4 S 269-73

[31] Nelson D B Cao C Q (1992) Inequality constraints in the univariate GARCH model Journal of Business and Economic Statistics 10 S 229-35

[32] Schmitt Chr (2002) Stochastische Volatilitaumlt in Schroumlder M (Hrsg) Finanzmarkt-Oumlkonometrie Basistechniken Fortgeschrittenen Verfahren Prognosemodelle Schaumlffer-Poeschel Stuttgart

[33] Schoffer O (2000) Ist die Hebelwirkung der Grund fuumlr Asymmetrie in ARCH- und GARCH-Modellen httpwwwsfb475uni-dortmunddeberichtetr51-00ps Stand September 2000

[34] Stock J H (1988) Estimating continuous-time processes subject to time deformation Journal of the American Statistical Association 83 S 77-85 Autor Dipl-Kfm Frank Jacobi Projektbearbeiter

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

Im Internet unter httpwwwstatoekvwluni-mainzde verfuumlgbar

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copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

Bisher erschienene Arbeitspapiere 1 Peter M Schulze Prognoseverfahren wissenschaftlicher Institute in der Bundesrepublik

Deutschland Uumlberblick uumlber eine Umfrage (Dezember 1993) 2 Martina Nold Peter M Schulze Moumlglichkeiten und Grenzen der Quantifizierung der

Schattenwirtschaft (April 1994) 3 Armin Seher Einfluszlig der Integrationsordnung bei Zeitreihen auf die Spezifikation von

Fehlerkorrekturmodellen (Juni 1994) 4 Lars Berg Armin Gemuumlnden Frank Hubert Ralf Leonhardt Michael Leroudier Die Situation

der Studentenschaft in den Wirtschaftswissenschaften an der Universitaumlt Mainz im Fruumlhjahr 1994 Ergebnisse einer Umfrage (August 1994)

5 Christoph Balz Ein Fehlerkorrekturmodell zur Entwicklung des Kapitelmarktzinses in der

Bundesrepublik Deutschland (Oktober 1994) 6 Reinhard Elkmann Nora Lauterbach Stephan Wind Tertiaumlrisierung regionaler

Wirtschaftsstrukturen Eine empirische Analyse kreisfreier Staumldte und Landkreise in Hessen Rheinland-Pfalz und dem Saarland (Dezember 1994)

7 Peter M Schulze Uwe Spieker Deutsche Aktienindizes Statistische Konzepte und Beispiele

(Dezember 1994) 8 Armin Seher Peter M Schulze Fehlerkorrekturmodelle und die Bewertung von

Aktienkursindizes Empirische Analyse zur Eignung des Konzepts (Januar 1995) 9 Reinhard Elkmann Annette Klostermann Kerstin Lieder Zur intertemporalen Konstanz der

Struktur regionaler Lohn- und Gehaltsniveaus in der Bundesrepublik Deutschland (Mai 1995) 10 Christoph Fischer Ein Fehlerkorrekturmodell zur Kaufkraftparitaumltentheorie

(Maumlrz 1996) 11 Ralf Becker Claudia Muumlller Zur Schaumltzung regionaler Konsumfunktionen (Oktober 1996) 12 Frank Hubert Klassifizierung der Arbeitsmaumlrkte in den OECD-Laumlndern mittels Cluster-

und Diskriminanzanalyse (April 1997) 13 Frank Hubert Das Okunrsquosche Gesetz Eine empirische Uumlberpruumlfung fuumlr ausgewaumlhlte

OECD-Laumlnder unter besonderer Beruumlcksichtigung der nationalen Arbeitsmarktordnungen (September 1997)

14 Christoph Balz Peter M Schulze Die Rolle nationaler regionaler und sektoraler Faktoren fuumlr die

Variation von Output Beschaumlftigung und Produktivitaumlt in der Bundesrepublik Deutschland (Dezember 1997)

15 Peter M Schulze Steigende Skalenertraumlge und regionales Wachstum Eine quantitative Analyse

mit kleinraumlumigen Daten (Maumlrz 1998)

copy 2005 Institut fuumlr Statistik und Oumlkonometrie Johannes Gutenberg-Universitaumlt Mainz

16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

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16 Ralf Becker Die Verallgemeinerte Momentenmethode (Generalized Method of Moments -

GMM) Darstellung und Anwendung (Juni 1998) 17 Peter M Schulze Regionales Wachstum Sind die Dienstleistungen der Motor

(August 1998) 18 Ke Ma Absatzanalyse fuumlr den chinesischen Pkw-Markt (Oktober 1998) 19 Christoph Balz Peter M Schulze Die sektorale Dimension der Konvergenz Eine empirische

Untersuchung fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (Januar 1999) 20 Robert Skarupke Quantifizierung des Heimvorteils im deutschen Profifuszligball Eine empirische Untersuchung fuumlr die 1 Fuszligball-Bundesliga (August 2000) 21 Peter M Schulze Regionalwirtschaftlicher Datenkatalog fuumlr die Bundesrepublik Deutschland (September 2000) 22 Yvonne Lange Ein logistisches Regressionsmodell zur Analyse der Verkehrsmittelwahl im Raum

Mainz (Oktober 2000) 23 Verena Dexheimer Zaumlhldatenmodelle (Count Data Models) Ansaumltze und Anwendungen

(Mai 2002) 24 Andreas Handel Die Entwicklung des Geldvermoumlgens der privaten Haushalte in Deutschland

(September 2003) 25 Christina Bastian Yvonne Lange Peter M Schulze Hedonische Preisindizes - Uumlberblick und

Anwendung auf Personalcomputer (Mai 2004) 26 Alexander Prinz Peter M Schulze Zur Entwicklung von Containerschiffsflotten - Eine Panelda-

tenanalyse (Mai 2004) 27 Martin Flohr Analyse der oumlkonomischen und demografischen Determinanten von Sportaktivitaumlten

in Deutschland (Juni 2004) 28 Peter M Schulze Granger-Kausalitaumltspruumlfung Eine anwendungsorientierte Darstellung (Juli 2004) 29 Kristina Ripp Peter M Schulze Konsum und Vermoumlgen - Eine quantitative Analyse fuumlr

Deutschland (August 2004) 30 Andreas Schweinberger Ein VAR-Modell fuumlr den Zusammenhang zwischen Oumlffentlichen Ausga-

ben und Wirtschaftswachstum in Deutschland (November 2004) 31 Frank Jacobi ARCH-Prozesse und ihre Erweiterungen - Eine empirische Untersuchung fuumlr Fi-

nanzmarktzeitreihen (April 2005)

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