ATELIER 1 GEOMETRIE CYCLE 3 - Académie de Versailles · 2016. 1. 12. · Atelier 1 Sannois...

Atelier 1 Sannois Laguerre Eric Atelier 1 Sannois Laguerre Eric Université Cergy Pontoise IUFM Université Cergy Pontoise IUFM

03 Décembre 200803 Décembre 2008

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ATELIER 1 GEOMETRIE CYCLE 3ATELIER 1 GEOMETRIE CYCLE 3

PLANPLAN

1.1. Les difficultés des élèves en géométrieLes difficultés des élèves en géométrie

2.2. Les items aux évaluations 6Les items aux évaluations 6èmeème..

3.3. Hypothèses et remédiationsHypothèses et remédiations

4.4. Comment donner le goût de la Comment donner le goût de la géométrie aux élèves (enseignants…) ?géométrie aux élèves (enseignants…) ?



22

1. Les difficultés des élèves1. Les difficultés des élèves Difficultés liées aux connaissances spatialesDifficultés liées aux connaissances spatialesLiées à la structuration de l’espace (Piaget, 1946)Liées à la structuration de l’espace (Piaget, 1946)- Progressive certaines connaissances non Progressive certaines connaissances non

disponibles.disponibles.- Aptitude du sujet à penser des actions sans les Aptitude du sujet à penser des actions sans les

exécuter actions effectives et non exécuter actions effectives et non simplement évoquées (dessins) ou montrées.simplement évoquées (dessins) ou montrées.

- Nombre insuffisant desNombre insuffisant des expériences vécues pas expériences vécues pas les élèves.les élèves.

- Monde lié à de nombreuses représentations Monde lié à de nombreuses représentations (télévision, jeux vidéos …)(télévision, jeux vidéos …)



33

Difficultés liées aux tâches de reconnaissanceDifficultés liées aux tâches de reconnaissance

- L’approche ensemblisteL’approche ensembliste des objets géométriques des objets géométriques (droite, cercle, etc.) n’est pas disponible chez les (droite, cercle, etc.) n’est pas disponible chez les jeunes enfants. jeunes enfants.

Exemples :Exemples : Tous les points situés à 5 cm d’un point A donné Tous les points situés à 5 cm d’un point A donné

« c’est impossible » « c’est impossible » ou alors il n’en représente ou alors il n’en représente que 15que 15. .

Plus tard :Plus tard : il y a autant de points sur un segment il y a autant de points sur un segment ouvert que sur une droite. ouvert que sur une droite.

(Obstacle épistémologique : continu, infini)(Obstacle épistémologique : continu, infini)



44

- Distinction entre certaines représentations : Distinction entre certaines représentations :

Exemple :Exemple : droite/segment : distinction entre l’objet et sa droite/segment : distinction entre l’objet et sa

représentation, entre le signifiant et le signifié, représentation, entre le signifiant et le signifié, que l’on retrouve ailleurs qu’en géométrie en que l’on retrouve ailleurs qu’en géométrie en numération par exemple numération par exemple (obstacle cognitif)(obstacle cognitif)

Le point A n’est pas sur la droite (d).Le point A n’est pas sur la droite (d).

(d)

A



55

- Non reconnaissance de certaines configurationsNon reconnaissance de certaines configurations

Exemple :Exemple : les deux droites ci-dessous ne sont pas les deux droites ci-dessous ne sont pas perpendiculaires.perpendiculaires.

(Obstacle cognitif : prégnance « horizontale » et (Obstacle cognitif : prégnance « horizontale » et « verticale » pour le positionnement de « verticale » pour le positionnement de l’équerre, les parallèles les perpendiculaires et l’équerre, les parallèles les perpendiculaires et obstacle didactique : s’il n’y pas une grande obstacle didactique : s’il n’y pas une grande variété de positions qui est proposée aux élèves variété de positions qui est proposée aux élèves : renforcement de l’obstacle : renforcement de l’obstacle

qui devient alors didactique)qui devient alors didactique)



66

Dans les trois exemples précédents : Dans les trois exemples précédents :

amalgame entre l’objet et sa représentation, amalgame entre l’objet et sa représentation,

entre signifiant (représentation) et signifié (contenu entre signifiant (représentation) et signifié (contenu sémantique). sémantique).

Ces amalgames peuvent se renforcer par un Ces amalgames peuvent se renforcer par un enseignement ostensif.enseignement ostensif.

Il existe trois types d’ostensions.Il existe trois types d’ostensions.



77

Ostension assuméeOstension assuméeLes observations sont dirigées et l’extension du savoir à Les observations sont dirigées et l’extension du savoir à

d’autres situations est à la charge de l’élève. L’élève d’autres situations est à la charge de l’élève. L’élève problématise seul l’espace.problématise seul l’espace.

Ostension activeOstension activeLes savoirs spatio-géométriques sont conçus comme Les savoirs spatio-géométriques sont conçus comme

directement accessibles par la lecture de la réalité. directement accessibles par la lecture de la réalité. Exemple : mesurages et pliages pour les fractions ou Exemple : mesurages et pliages pour les fractions ou les angles. les angles.

Ostension déguiséeOstension déguiséeUne résolution active, en amont, de problèmes par l’élève Une résolution active, en amont, de problèmes par l’élève

permet de construire les connaissances. Dans les faits, permet de construire les connaissances. Dans les faits, cela revient à déguiser l’ostension.cela revient à déguiser l’ostension.



88

Les limites de l’ostensionLes limites de l’ostension

Liées à l’approche transmissive ou behavioriste de Liées à l’approche transmissive ou behavioriste de l’apprentissage : l’apprentissage :

- Tous les objets géométriques ont une réalité Tous les objets géométriques ont une réalité physique.physique.

- Construction de représentations erronées Construction de représentations erronées (perpendiculaires, parallèles, losange, etc.)(perpendiculaires, parallèles, losange, etc.)

- Les connaissances ne sont pas perçues comme Les connaissances ne sont pas perçues comme des outils pour résoudre des problèmes.des outils pour résoudre des problèmes.



99

Un exemple à analyser Un exemple à analyser Droites perpendiculaires par pliages, quels risques Droites perpendiculaires par pliages, quels risques

au sujet des représentations prototypiques ?au sujet des représentations prototypiques ?(segments se coupent en leur milieu ou une droite (segments se coupent en leur milieu ou une droite

est « horizontale » et l’autre « verticale ».)est « horizontale » et l’autre « verticale ».)

La reconnaissance de figures nécessite malgré La reconnaissance de figures nécessite malgré tout de stoker dans la mémoire des tout de stoker dans la mémoire des représentations prototypiques sans que ces représentations prototypiques sans que ces dernières ne soient trop stéréotypées (ajout de dernières ne soient trop stéréotypées (ajout de caractéristiques non nécessaires).caractéristiques non nécessaires).

Difficultés à isoler une figure (configuration Difficultés à isoler une figure (configuration complexe : interférences de traits, orientation complexe : interférences de traits, orientation etc.))etc.))



1010

Difficultés liées aux tâches de constructionDifficultés liées aux tâches de construction

- Difficultés pour anticiper les tracés (mobilisation Difficultés pour anticiper les tracés (mobilisation des images mentales). (Point d’intersection hors des images mentales). (Point d’intersection hors de la feuille)de la feuille)

- Difficultés pour mobiliser les propriétés des Difficultés pour mobiliser les propriétés des objets à construire.objets à construire.

- Difficultés psychomotrices pour utiliser Difficultés psychomotrices pour utiliser correctement les instruments. (compas, règle).correctement les instruments. (compas, règle).

- Difficultés liées à une connaissances incomplète Difficultés liées à une connaissances incomplète des instruments (compas cercles et reports).des instruments (compas cercles et reports).



1111

Difficultés liées aux tâches de reproductionDifficultés liées aux tâches de reproductionElles sont en rapport avec les étapes de la Elles sont en rapport avec les étapes de la

reproduction :reproduction :- Repérer des figures élémentaires dans une figure Repérer des figures élémentaires dans une figure

complexe : difficultés liées à la reconnaissance complexe : difficultés liées à la reconnaissance auxquelles s’ajoute la reconnaissance de sur-figures auxquelles s’ajoute la reconnaissance de sur-figures (nouveaux tracés : on ne peut modifier une figure) et de (nouveaux tracés : on ne peut modifier une figure) et de sous-figures.sous-figures.

- Identifier des relations entre les figures élémentaires.Identifier des relations entre les figures élémentaires.



1212

- Établir une chronologie des tracésÉtablir une chronologie des tracés

- Exécuter les tracés : mêmes difficultés Exécuter les tracés : mêmes difficultés rencontrées dans les tâches de construction.rencontrées dans les tâches de construction.

1

2



1313

Difficultés liées aux tâches de descriptionDifficultés liées aux tâches de description

Au niveau du vocabulaireAu niveau du vocabulaire

- Non connaissances de mots mathématiques - Non connaissances de mots mathématiques (paraphrases).(paraphrases).

- Confusion entre certains mots (parallèles - Confusion entre certains mots (parallèles perpendiculaires).perpendiculaires).

- Collusion de sens (mots mathématiques, mots - Collusion de sens (mots mathématiques, mots courants : centre/milieu, rond/trait pas de sens courants : centre/milieu, rond/trait pas de sens en maths). Mais parfois, dans une tâche de en maths). Mais parfois, dans une tâche de communication des mots plus courants sont communication des mots plus courants sont sciemment employés pour être mieux compris.sciemment employés pour être mieux compris.



1414

Au niveau de la connaissance des propriétésAu niveau de la connaissance des propriétésQui caractérisent les figures usuelles de base Qui caractérisent les figures usuelles de base

(carré, rectangle etc.)(carré, rectangle etc.)Au niveau de la décentrationAu niveau de la décentrationIl faut se mettre à la place de l’autre pour décrire. Il Il faut se mettre à la place de l’autre pour décrire. Il

faut faire attention aux implicites (droite faut faire attention aux implicites (droite perpendiculaire perpendiculaire etet passant par un point.) passant par un point.)

Au niveau du codage d’une figureAu niveau du codage d’une figureL’élève ne s’autorise pas à en produire.L’élève ne s’autorise pas à en produire.Au niveau du sens que prend cette activité de Au niveau du sens que prend cette activité de

reproduction pour l’élèvereproduction pour l’élèveS’agit-il d’être compris de son interlocuteur de S’agit-il d’être compris de son interlocuteur de

montrer ce que je sais faire ?montrer ce que je sais faire ?



1515

Conseils méthodologiquesConseils méthodologiques

Tâches de reproduction et description de figuresTâches de reproduction et description de figures

- L’élève a-t-il repéré les figures élémentaires ?L’élève a-t-il repéré les figures élémentaires ?

- L’élève a-t-il perçu les relations entre ces figures L’élève a-t-il perçu les relations entre ces figures élémentaires ?élémentaires ?

- L’élève a-t-il utilisé une chronologie correcte ?L’élève a-t-il utilisé une chronologie correcte ?

- L’élève a-t-il utilisé ses instruments avec L’élève a-t-il utilisé ses instruments avec précision ?précision ?



1616

2. ITEMS DES AUX EVALUATIONS2. ITEMS DES AUX EVALUATIONS

Compétences « Espace et géométrie » Compétences « Espace et géométrie » (DAP 2002)(DAP 2002)

Connaître et utiliser les propriétés Connaître et utiliser les propriétés d’alignement, de perpendicularité, de d’alignement, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs et de parallélisme, d’égalité de longueurs et de symétrie axiale : (Exercices 3 et 5)symétrie axiale : (Exercices 3 et 5)

Vérifier à l’aide des instruments, l’alignement de points Vérifier à l’aide des instruments, l’alignement de points (règle), l’égalité des longueurs de segments (compas ou (règle), l’égalité des longueurs de segments (compas ou instrument de mesure), la perpendicularité et le instrument de mesure), la perpendicularité et le parallélisme entre droites (règle équerre)parallélisme entre droites (règle équerre)

(Construction : CE2, Consolidation : CM1, CM2)(Construction : CE2, Consolidation : CM1, CM2)



1717

Reconnaître et tracer des figures planes : Reconnaître et tracer des figures planes : triangle, carré, rectangle, losange, cercle triangle, carré, rectangle, losange, cercle (Exercices 1 et 2)(Exercices 1 et 2)

Reconnaître une figure plane de manière Reconnaître une figure plane de manière perceptive ou en ayant recours aux propriétés perceptive ou en ayant recours aux propriétés et aux instruments : triangle, carré, rectangle, et aux instruments : triangle, carré, rectangle, triangles (cas particuliers), losange, cercle.triangles (cas particuliers), losange, cercle.

(Construction : CE2, CM1 Consolidation : CM2)(Construction : CE2, CM1 Consolidation : CM2)



1818

Reconnaître et tracer des figures planes : Reconnaître et tracer des figures planes : triangle, carré, rectangle, losange, cercle : triangle, carré, rectangle, losange, cercle : (Exercices 4 et 7) (Exercices 4 et 7)

Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), soit à partir d’un modèle, soit à partir pointé), soit à partir d’un modèle, soit à partir d’une description, d’un programme de d’une description, d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).dimensions).

(Construction : CE2, CM1 et CM2)(Construction : CE2, CM1 et CM2)



1919

Reconnaître un solide : cube, Reconnaître un solide : cube, parallélépipède rectangle : (Exercice 6)parallélépipède rectangle : (Exercice 6)

Reconnaître ou compléter un patron d’un cube, Reconnaître ou compléter un patron d’un cube, d’un parallélépipède rectangle.d’un parallélépipède rectangle.

(Approche : CE2 Construction Cm1, CM2)(Approche : CE2 Construction Cm1, CM2)



2020

Évaluations 6Évaluations 6

èmeème

2007 2007Exercice 1 :Exercice 1 : Repasse en rouge les côtés d’un losange. Repasse en rouge les côtés d’un losange. Repasse en vert les côtés d’un carré.Repasse en vert les côtés d’un carré.

Composantes :Composantes : reconnaître un carré et un losange reconnaître un carré et un losange dans une figure complexe. dans une figure complexe. (Appréhension perceptive visuelle)(Appréhension perceptive visuelle)

* Un grand nombre d’élèves repassent * Un grand nombre d’élèves repassent en rouge le carré placé dans en rouge le carré placé dans une position prototypique.une position prototypique.* Certains repassent en vert le * Certains repassent en vert le rectangle.rectangle.



2121

Exercice 2 :Exercice 2 : 1.1. Repasse en couleur les côtés d’un carré de Repasse en couleur les côtés d’un carré de

cette figure. cette figure. (78,9 ; 94,4 ; 95,7)(78,9 ; 94,4 ; 95,7)2.2. Repasse en couleur les côtés d’un rectangle Repasse en couleur les côtés d’un rectangle

de cette figure. de cette figure. (68,4 ; 77,8 ; 91,3)(68,4 ; 77,8 ; 91,3)3.3. Repasse en couleur les côtés d’un losange de Repasse en couleur les côtés d’un losange de

cette figure. cette figure. (84,2 ; 94,4 ; 91,3)(84,2 ; 94,4 ; 91,3)4.4. Repasse en couleur les côtés d’un triangle Repasse en couleur les côtés d’un triangle

isocèle de cette figure. isocèle de cette figure. (15,8 ; 33,3 ; 21,7)(15,8 ; 33,3 ; 21,7)Composantes :Composantes : reconnaître reconnaître un carré, un rectangle et un un carré, un rectangle et un losange dans une figure complexe. losange dans une figure complexe. (Appréhension perceptive visuelle)(Appréhension perceptive visuelle)



2222

Exercice 3 :Exercice 3 :1.1. Les points I, D et E sont-ils alignés ? Les points I, D et E sont-ils alignés ? 2.2. Les points E, G et H sont-ils alignés ? Les points E, G et H sont-ils alignés ? O, N (89,5 ; 94,4 ; 95,7) « oui » à l’item 2O, N (89,5 ; 94,4 ; 95,7) « oui » à l’item 23.3. Le triangle IGH a-t-il deux côtés de même longueur ? Le triangle IGH a-t-il deux côtés de même longueur ? 4.4. Le triangle IDG a-t-il deux côtés de même longueur ? Le triangle IDG a-t-il deux côtés de même longueur ?5.5. Le triangle IEG a-t-il deux côtés de même longueur ? N, Le triangle IEG a-t-il deux côtés de même longueur ? N,

N, O, N (52,6 ; 61,1 ; 56,5) « oui » aux items 3 et 5.N, O, N (52,6 ; 61,1 ; 56,5) « oui » aux items 3 et 5.

Composantes :Composantes : utiliser les instruments de utiliser les instruments de la géométrie pour déterminer si trois la géométrie pour déterminer si trois points sont alignés et si des segments points sont alignés et si des segments ont la même longueur.ont la même longueur.

I

D

E

G

H



2323

6.6. Le triangle IGH a-t-il un angle droit ? Le triangle IGH a-t-il un angle droit ?7.7. Le triangle IDG a-t-il un angle droit ? Le triangle IDG a-t-il un angle droit ?8.8. Le triangle IGE a-t-il un angle droit ? Le triangle IGE a-t-il un angle droit ? O, O, NO, O, N (0 ; 16,7 ; 26,1) « oui » item 8(0 ; 16,7 ; 26,1) « oui » item 8

Composante :Composante : utiliser les instruments de utiliser les instruments de la géométrie pour déterminer si un angle est droit.la géométrie pour déterminer si un angle est droit.

I

D

E

G

H



2424

Exercice 4 :Exercice 4 :1.1. Trace la droite qui passe par les points A et C.Trace la droite qui passe par les points A et C.

(89,5 ; 94,4 ; 91,3) (89,5 ; 94,4 ; 91,3) (Segment)(Segment)

2.2. Trace la droite qui passe par C et qui est Trace la droite qui passe par C et qui est perpendiculaire à la droite (d).perpendiculaire à la droite (d).

(21,1 ;(21,1 ; 22,2 ; 43,5) 22,2 ; 43,5) (« Verticale » par C ou perpendiculaire ne passant (« Verticale » par C ou perpendiculaire ne passant

par C ou parallèle par C)par C ou parallèle par C)(d)

A

B

C



2525

3.3. Trace la droite qui passe par B et qui est Trace la droite qui passe par B et qui est parallèle à la droite (d). parallèle à la droite (d).

(42,1 ; 55,6 ; 47,8) (42,1 ; 55,6 ; 47,8) (Horizontale par B ou parallèle ne passant pas par (Horizontale par B ou parallèle ne passant pas par

B ou perpendiculaire)B ou perpendiculaire)

(d)

A

B

C



2626

4.4. Trace le cercle de centre B passant par A. Trace le cercle de centre B passant par A. (42,1 ;(42,1 ; 22,2 ;22,2 ; 47,8) 47,8) (Un cercle de centre B ne passant pas par A ou un cercle (Un cercle de centre B ne passant pas par A ou un cercle

de centre A passant par B)de centre A passant par B)

5.5. Trace le cercle de diamètre [AC]. Trace le cercle de diamètre [AC]. (0 ; 5,6 ; 4,3)(0 ; 5,6 ; 4,3)(Un cercle de corde [AC] ou un cercle de rayon [AC])(Un cercle de corde [AC] ou un cercle de rayon [AC])

Composantes :Composantes : tracer des droites et tracer des droites et des cercles possédant des des cercles possédant des propriétés données.propriétés données.

(d)

A

B

C



2727

Exercice 5 : Exercice 5 : Sur cette figure, on a tracé une droite (d) en gras et quatre Sur cette figure, on a tracé une droite (d) en gras et quatre

autres droites.autres droites.1. Une des ces droites est perpendiculaire à la droite (d). 1. Une des ces droites est perpendiculaire à la droite (d).

Repasse-la en bleu.Repasse-la en bleu. (68,8 ; 55,6 ; 78,3)(68,8 ; 55,6 ; 78,3) (La droite « verticale » est repassée (La droite « verticale » est repassée

en bleu ou la droite parallèle est repassée en bleu)en bleu ou la droite parallèle est repassée en bleu)..

(d)



2828

Exercice 5 : Exercice 5 : 2. Une de ces droites est parallèles à la droites (d). 2. Une de ces droites est parallèles à la droites (d).

Repasse-la en vert.Repasse-la en vert. (57,9 ; 83,3 ; 78,3) (57,9 ; 83,3 ; 78,3) (la droite « horizontale » est repassée (la droite « horizontale » est repassée

en vert ou la droite perpendiculaire est repassé en vert)en vert ou la droite perpendiculaire est repassé en vert)

(d)



2929

Composantes :Composantes : reconnaître deux droites reconnaître deux droites perpendiculaires, deux droites parallèles.perpendiculaires, deux droites parallèles.

(d)



3030

Exercice 6Exercice 6Entoure les patrons qui permettent de construire un cube.Entoure les patrons qui permettent de construire un cube.

Composante :Composante : reconnaître le patron d’un cube. reconnaître le patron d’un cube.(31,6 ; 16,7 ; 34,8)(31,6 ; 16,7 ; 34,8)



3131

Exercice 7 :Exercice 7 : (autres évaluations) (autres évaluations)Voici une figure composée d’un carré et d’un cercle. Voici une figure composée d’un carré et d’un cercle.

On a commencé à reproduire cette figure. Deux côtés du On a commencé à reproduire cette figure. Deux côtés du carré sont déjà tracés. Termine la construction.carré sont déjà tracés. Termine la construction.

Composante : Composante : savoir établir une relation entre deux figures savoir établir une relation entre deux figures élémentaires pour compléter un dessin.élémentaires pour compléter un dessin.



3232

Exercice 8 :Exercice 8 :Construit le symétrique de la lettre par rapport à la droite.Construit le symétrique de la lettre par rapport à la droite.

Composante :Composante : construire le symétrique d’un figure par construire le symétrique d’un figure par rapport à une droite sur papier quadrillé.rapport à une droite sur papier quadrillé.

(Une longueur est fausse ou figure obtenue par translation)(Une longueur est fausse ou figure obtenue par translation)



3333

3. HYPOTHESES ET REMEDIATIONS3. HYPOTHESES ET REMEDIATIONS

Exercices 1 :Exercices 1 :* * Obstacle didactique lié à la prégnance d’un Obstacle didactique lié à la prégnance d’un

prototype. prototype. Remédiation :Remédiation : dans un enseignement, varier les dans un enseignement, varier les

positions des dessins. Bien caractériser les positions des dessins. Bien caractériser les figures usuelles en montrant que certaines figures usuelles en montrant que certaines variables sont superflues.variables sont superflues.

* * Appréhension perceptive visuelle et non Appréhension perceptive visuelle et non instrumentée de la figure.instrumentée de la figure.

Remédiation :Remédiation : montrer l’intérêt d’utiliser les montrer l’intérêt d’utiliser les instruments pour vérifier certaines propriétés.instruments pour vérifier certaines propriétés.



3434

Exercice 2 item 4 :Exercice 2 item 4 :

Les élèves ont repassé un triangle non isocèle.Les élèves ont repassé un triangle non isocèle.

* Difficulté liée à la complexité de la figure :* Difficulté liée à la complexité de la figure : les les triangles repassés apparaissent de façon plus triangles repassés apparaissent de façon plus flagrante que les deux triangles isocèles flagrante que les deux triangles isocèles (interférence de segments).(interférence de segments).

Remédiation : Remédiation : travailler spécifiquement sur cette travailler spécifiquement sur cette variable complexité de la figure.variable complexité de la figure.



3535

Exemples :Exemples : nombre de triangles rectangles ? nombre de triangles rectangles ?Niveau 0 Niveau 1Niveau 0 Niveau 1

Nombre de triangles ?Nombre de triangles ?Niveau 2 Niveau 3 Niveau 2 Niveau 3



3636

* Maîtrise insuffisante du vocabulaire : triangle * Maîtrise insuffisante du vocabulaire : triangle isocèle.isocèle.

Remédiation : Remédiation :

étymologie, étymologie,

tâche de reconnaissance de différents triangles tâche de reconnaissance de différents triangles - dans diverses positions - dans diverses positions - puis plongés dans une figure complexe - puis plongés dans une figure complexe



3737

Exercice 3 : Exercice 3 : Items 2 et 8 :Items 2 et 8 : points alignés et angle droit. points alignés et angle droit.* L’élève n’est pas* L’élève n’est pas passé d’une appréhension passé d’une appréhension

perceptive visuelle à une appréhension perceptive visuelle à une appréhension perceptive instrumentée.perceptive instrumentée.

Remédiation :Remédiation : logiciel de géométrie dynamique. logiciel de géométrie dynamique. Attention aux sens …Situation où la vérification Attention aux sens …Situation où la vérification par les instruments est rendue nécessaire.par les instruments est rendue nécessaire.

L’utilisation des instruments de la géométrie est L’utilisation des instruments de la géométrie est mise en évidence ici par certaines contradictions mise en évidence ici par certaines contradictions : IGH et IGE sont droits et H, G, E ne sont pas : IGH et IGE sont droits et H, G, E ne sont pas alignés ou inversement.alignés ou inversement.



3838

Exercice 3 :Exercice 3 :Items 3 et 5 :Items 3 et 5 : I et G en position « horizontale » I et G en position « horizontale »

engendre de telles réponses. engendre de telles réponses.

* L’appréhension perceptive visuelle est prise en * L’appréhension perceptive visuelle est prise en défaut. défaut.

* Mais aussi la mise en œuvre d’une définition * Mais aussi la mise en œuvre d’une définition erronée de la distance d’un point à une droite.erronée de la distance d’un point à une droite.

Remédiation : Remédiation : (travail spécifique sur (travail spécifique sur « horizontale » et « verticale ».« horizontale » et « verticale ».



3939

Exercice 4 :Exercice 4 :

Item 1 :Item 1 : non distinction droite segment. non distinction droite segment.

* Les deux points sont perçus comme des limites * Les deux points sont perçus comme des limites donc on s’arrête. donc on s’arrête.

(Obstacle épistémologique et cognitif)(Obstacle épistémologique et cognitif)

Remédiation :Remédiation : bien travailler sur l’aspect bien travailler sur l’aspect prolongeable à volonté d’une droite. prolongeable à volonté d’une droite.

Également : un segment sur une droiteÉgalement : un segment sur une droite



4040


Items 2 et 3 :Items 2 et 3 : * prégnance de la « verticale » ou de * prégnance de la « verticale » ou de

« l’horizontale » « l’horizontale » (obstacle cognitif et didactique)(obstacle cognitif et didactique)

Remédiations :Remédiations : Varier les positions de la droite sur la feuille et les Varier les positions de la droite sur la feuille et les

positions du point par rapport à cette droite. positions du point par rapport à cette droite. Attention aux présentations ostensives Attention aux présentations ostensives

perpendiculaires, parallèles (pliages…)perpendiculaires, parallèles (pliages…)



4141


Items 2, 3 et 4 :Items 2, 3 et 4 :* Une seule contrainte est prise en compte * Une seule contrainte est prise en compte

(difficulté de lecture de l’énoncé).(difficulté de lecture de l’énoncé).

Remédiation :Remédiation : - tracé d’une perpendiculaire à une droite ; - tracé d’une perpendiculaire à une droite ; - puis tracé de la perpendiculaire à une droite - puis tracé de la perpendiculaire à une droite

passant par un point en séparant les deux passant par un point en séparant les deux informations ;informations ;

- puis progressivement proposer une seule phrase.- puis progressivement proposer une seule phrase.



4242

Exercice 4 :Exercice 4 :Items 2, 3 et 4 :Items 2, 3 et 4 :* Maîtrise insuffisante du vocabulaire * Maîtrise insuffisante du vocabulaire

(parallèle/perpendiculaire) (point/désignation), (parallèle/perpendiculaire) (point/désignation), diamètre/rayon/corde)diamètre/rayon/corde)

Remédiation :Remédiation : - Étymologie (dia (- Étymologie (dia (à travers)à travers)– mètre, gonale, logue …)– mètre, gonale, logue …)- Renforcer les images mentales : dessin à main levée, fil Renforcer les images mentales : dessin à main levée, fil

à plomb, rayon du soleil, logiciel de géométrie à plomb, rayon du soleil, logiciel de géométrie dynamique etc.dynamique etc.

- Travailler le positionnement de l’équerre et l’utilisation du Travailler le positionnement de l’équerre et l’utilisation du compas.compas.

- Je serre la main à Éric : je ne serre pas la main au Je serre la main à Éric : je ne serre pas la main au prénom mais à la personne. Boire un verre (métonymie)prénom mais à la personne. Boire un verre (métonymie)



4343

Exercice 5 : Exercice 5 : * Confusion de vocabulaire.* Confusion de vocabulaire.Remédiations :Remédiations : - Utilisation d’un claque ou d’un gabarit d’angle - Utilisation d’un claque ou d’un gabarit d’angle

droit.droit.- Maniement de l’équerre. - Maniement de l’équerre. - Logiciel de géométrie dynamique.- Logiciel de géométrie dynamique.- Varier l’expression de la perpendicularité : (d est - Varier l’expression de la perpendicularité : (d est

perpendiculaire à d’ ; d’ est perpendiculaire à d ; perpendiculaire à d’ ; d’ est perpendiculaire à d ; d et d’ sont perpendiculaires) Il s’agit d’une d et d’ sont perpendiculaires) Il s’agit d’une relation établie entre deux droites et non pas une relation établie entre deux droites et non pas une propriété intrinsèque à une droite.propriété intrinsèque à une droite.



4444

- Renforcer le lien entre droites perpendiculaires et - Renforcer le lien entre droites perpendiculaires et angles droits.angles droits.



4545

Comment construire la perpendiculaire à la droite Comment construire la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A ?(d) passant par le point A ?

(d)

A

TROU



4646

Exercice 5 : Exercice 5 :

* Prégnance de la « verticale » et de * Prégnance de la « verticale » et de « l’horizontale ».« l’horizontale ».

Remédiations :Remédiations :

- Varier les positions de toutes les figures,- Varier les positions de toutes les figures,

- Varier les positions dans l’utilisation de Varier les positions dans l’utilisation de l’équerre,l’équerre,

- Bien distinguer avec les élèves les éléments Bien distinguer avec les élèves les éléments qui sont mis en relation : quelle droite est qui sont mis en relation : quelle droite est perpendiculaire à quelle autre ?perpendiculaire à quelle autre ?



4747

Exercice 6 :Exercice 6 :* Passage des représentations planes aux * Passage des représentations planes aux

représentations dans l’espace est difficile.représentations dans l’espace est difficile.RemédiationRemédiation : :- Construire les représentations planes de - Construire les représentations planes de

l’exercice et proposer aux élèves de les plier l’exercice et proposer aux élèves de les plier uniquement le long des segments de façon à uniquement le long des segments de façon à tenter d’obtenir un cube.tenter d’obtenir un cube.

- Partir de boîtes en carton cubique et - Partir de boîtes en carton cubique et parallélépipédique et les déployer de diverses parallélépipédique et les déployer de diverses façons.façons.

- Proposer des situations : trop de faces, - Proposer des situations : trop de faces, manque des faces, pliages impossibles …manque des faces, pliages impossibles …



4848

Exercice 7Exercice 7* Difficultés liée à la mise en rapport entre le * Difficultés liée à la mise en rapport entre le

centre du cercle et le centre du carré.centre du cercle et le centre du carré.

* Difficulté liée à l’orientation de la figure * Difficulté liée à l’orientation de la figure commencée qui n’est pas la même que celle de commencée qui n’est pas la même que celle de la figure de départ.la figure de départ.

* Prise en compte d’une seule information car le * Prise en compte d’une seule information car le début du tracé ne concerne que le carré.début du tracé ne concerne que le carré.



4949


* Propriétés de la symétrie axiale non acquises * Propriétés de la symétrie axiale non acquises (conservation des longueurs, reversement.(conservation des longueurs, reversement.

Remédiations :Remédiations : - Retravailler avec des pliages.Retravailler avec des pliages.- Jouer sur les variables : Jouer sur les variables :

position de l’axe/quadrillage, position de l’axe/quadrillage, de la figure/axe, de la figure/axe,

de la figure/quadrillage.de la figure/quadrillage.



5050

4. COMMENT DONNER LE GOUT DE LA 4. COMMENT DONNER LE GOUT DE LA GEOMETRIE ?GEOMETRIE ?

Liens avec l’histoireLiens avec l’histoireExemples :Exemples :

Naissance de la géométrie (Égypte). Mesure de la Naissance de la géométrie (Égypte). Mesure de la terre. Inondations dues au Nil …terre. Inondations dues au Nil …

Légende : mesure de la hauteur d’une pyramide.Légende : mesure de la hauteur d’une pyramide.

Système métrique (loi Le chapelier 1791) : Système métrique (loi Le chapelier 1791) : suppression des corporations et par conséquent suppression des corporations et par conséquent des unités en vigueur.des unités en vigueur.



5151

Liens avec d’autres disciplines (sciences), Liens avec d’autres disciplines (sciences), avec d’autres domaines des maths avec d’autres domaines des maths (proportionnalité), problèmes unificateurs :(proportionnalité), problèmes unificateurs :

Exemple :Exemple : (Cahiers pédagogiques n°466) (Cahiers pédagogiques n°466) Calculer des distances inaccessiblesCalculer des distances inaccessibles Parallèles ProportionnalitéParallèles Proportionnalité

Rayons du soleil OmbresRayons du soleil Ombres



5252

ÉtymologieÉtymologieAngle : Angle : grec ankos coudegrec ankos coudePoly : Poly : plusieurs, à ne pas confondre avec plusieurs, à ne pas confondre avec poli : poli : villevilleGone : Gone : grec coudegrec coudeIso : Iso : grec mêmegrec mêmeCèle : Cèle : grecgrec skelos jambeskelos jambeÉqui : Équi : égalégalLatéral : Latéral : côtécôtéScalène : Scalène : bancalbancalDia : Dia : à traversà traversÉquerre : Équerre : Ortho : Ortho : droitdroitPerpendiculaire Perpendiculaire : perpendiculum : : perpendiculum : fil à plombCompas : Compas : compassare mesurer avec le piedcompassare mesurer avec le pied



5353

Lancer des défis géométriquesLancer des défis géométriquesNous connaissons la formule de l’aire d’un Nous connaissons la formule de l’aire d’un

rectangle, comment trouver une formule rectangle, comment trouver une formule équivalente mais pour le triangle ?équivalente mais pour le triangle ?



5454

Formation du citoyenFormation du citoyen

Civilisations qui ont été des vecteurs de Civilisations qui ont été des vecteurs de transmission et de développement des transmission et de développement des mathématiquesmathématiques

Différence entre opinion et savoir (Laïcité).Différence entre opinion et savoir (Laïcité).



5555

Quelles situations mettre en place pour aider les Quelles situations mettre en place pour aider les élèves à dépasser les difficultés précédentes élèves à dépasser les difficultés précédentes et à construire des images mentales de figures et à construire des images mentales de figures et des relations élémentaires ? et des relations élémentaires ?

Ce sera l’objet du prochain atelier sur deux Ce sera l’objet du prochain atelier sur deux exemples.exemples.



5656

FINFINMerci de

votre attention

Diapo 1Diapo 2Diapo 3Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Diapo 8Diapo 9Diapo 10Diapo 11Diapo 12Diapo 13Diapo 14Diapo 15Diapo 16Diapo 17Diapo 18Diapo 19Diapo 20Diapo 21Diapo 22Diapo 23Diapo 24Diapo 25Diapo 26Diapo 27Diapo 28Diapo 29Diapo 30Diapo 31Diapo 32Diapo 33Diapo 34Diapo 35Diapo 36Diapo 37Diapo 38Diapo 39Diapo 40Diapo 41Diapo 42Diapo 43Diapo 44Diapo 45Diapo 46Diapo 47Diapo 48Diapo 49Diapo 50Diapo 51Diapo 52Diapo 53Diapo 54Diapo 55Diapo 56

ATELIER 1 GEOMETRIE CYCLE 3 - Académie de Versailles · 2016. 1. 12. · Atelier 1 Sannois...

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