Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 2 zu Exponential- und... ·...
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Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen 1. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Probieren.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
2. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich. a) b) c)
d) e) f)
3. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen durch Substitution. a) b) c) 4. Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen auf 4 Dezimalstellen nach dem Komma.
a) b) c) d)
e) f) g) h) 5. Zerlegen Sie folgende Terme.
a) b) c)
d) e) f)
6. Fassen Sie folgende Terme zusammen.
a) b)
c)
d)
e)
f)
3x = 729 2x =1024 2x = 1512
6x =1
1,5x = 3,375 52
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 25
34
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2x
= 2764
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2x
= 512
25 ⋅2x−1 =16 23x−1 = 4x+1 43x−1 ⋅24x = 8−x+4
10−2(x+1) = 0,015x+3 164
= 84x+0,5 14
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x+7
=22x
2⋅52x −52⋅5x = −50 22x −12⋅2x +32= 0 102x −100,1⋅10x = −10
6x = 4412
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 0,2 72x =100 2x−1 = 35
0,05−x = 9 2−x+1 = 398 53x−3 =200 0,042x−1 =10
logb(x3y2z4) log
b4x2(x− y)3 log
b
5m3n4
3p2
logb
2 q4
3log
b(3x3 ⋅5y
6z) log
b
1
r2s3t4
12⋅log
bx3 − log
bx−3⋅log
bx m⋅log
bu+ n
3⋅log
bv−m
n⋅log
bw
−5⋅logbb+ log
b1+ 1
2⋅log
bb3
3⋅logb(x+ y)+2⋅log
b(x− y)− 4⋅log
b(x2 − y2)
13⋅log
b(x+ y)− 1
3⋅log
b(x2 − y2)− 1
2⋅log
b(x− y)+ log
b(x− y)
16⋅(5⋅log
bu− log
bv2)+ 1
4⋅(log
bw− log
bz)
7. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Logarithmusgleichungen. a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
k) l)
m) n)
o)
p)
8. Lösen Sie folgende Aufgaben mit Hilfe der Musteraufgabe. Musteraufgabe:
a) b) c) 9. Lösen Sie folgende Aufgaben mit Hilfe der Musteraufgabe. (Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen) Musteraufgabe:
a) b) c) d) e)
log4x= 0,5 log
0,5x= 4 log
2x=6 log
34
x=2
log23
x= −4 log5(x−3)=10 log
7(4− x)= 80 ln(x+3)= 7,56
log4(2x+6)− log
4(x−2)= 4 log
3(x−3)− log
3(x−5)= log
3(2x−8)
12⋅ln2x− ln x
2= 0 lg(x−8)+ lg(x+2)= lg(2x+ 4)
logax3 + log
ax− log
ax2 = 0 log
4x3 = 3+ log
42
log7(x−2)+ log
7(x+2)− log
7(3x−10)= log
7(x−2)
14⋅log
3x− log
3x2 = log
323 − 1
3⋅log
3x− log
343
2x+1 +2x+2 = 3⇒2x ⋅2+2x ⋅22 = 3⇒2x(2+22)= 3⇒2x ⋅6 = 3
⇒2x = 12⇒ x= −1
2x+1 +2x =24 32x+2 −32x+1 +32x =14 4x −22x+1 + 4x+2 =120
32x+1 −2x+1 =2x+2 −9x+1 ⇒32x+1 −2x+1 =2x+2 −32(x+1)
⇒32x+1 +32x+2 =2x+2 +2x+1 ⇒32x(3+32)=2x(22 +2)⇒12⋅32x =6 ⋅2x ⇒2⋅32x =2x ⇒ lg(2⋅32x )= lg2x
⇒ lg2+2x ⋅lg3= x ⋅lg2⇒2x ⋅lg3− x ⋅lg2= −lg2
⇒ x(2⋅lg3− lg2)= −lg2⇒ x= −lg2(2lg3− lg2)
≈ −0,461
3x+1 +3x =2x+2 5x +6x =6x+1 4⋅5x −22x = 4x+1
24⋅8x−1 −27x+1 =23x −24⋅33x 25x+1 −18⋅9x−1 =20⋅52x +32x
Lösungen
1.a) x = 6 b) x = 10 c) x = -9 d) x = 0
e) x = 3 f) x = -1 g) h)
2.a) b)
c)
d)
e)
f)
3.a) Substitution: z = 25 und z = 1 Resubstitution : b) Substitution: z = 8 und z = 4 Resubstitution : c) Substitution:
z = 100 und z =
Resubstitution :
4.a)
b) c) d)
e) f) g)
h)
5.a)
b)
x= 32
x= 92
25+x−1 =24 ⇒5+ x−1= 4⇒ x= 023x−1 =22(x+1) ⇒3x−1=2x+2⇒ x= 3
22(3x−1)+4x =23(−x+4) ⇒6x−2+ 4x= −3x+12⇒ x= 1413
10−2(x+1) =10−2(5x+3) ⇒−2(x+1)= −2(5x+3)⇒ x= −12
8−2 = 84x+0,5 ⇒−2= 4x+0,5⇒ x= − 58
2−2(x+7) =22x ⇒−2x−14=2x⇒ x= − 72
z= 5x
⇒2z2 −52z= −50⇒2z2 −52z+50= 0 ⇒5x =25⇒ x=2
5x =1⇒ x= 0
z=2x
⇒ z2 −12z+32= 0 ⇒2x = 8⇒ x= 3
2x = 4⇒ x=2
z=10x
⇒ z2 −100,1z= −10⇒ z2 −100,1z+10= 0 ⇒ 110
10x =100⇒ x=2
10x = 110
⇒ x= −1
6x = 44⇒ x ⋅lg6 = lg44⇒ x= lg44lg6
≈2,1120
x≈2,3219 x≈1,1833 (x−1)⋅lg2= lg35⇒ x= lg35lg2
+1≈6,1293
x≈ 0,7335 x=1− lg398lg2
≈ −7,6366 x= 13⋅(3+ lg200
lg5)≈2,0973
x= 12⋅( lg10lg0,04
+1)≈ 0,1423
logbx3 + log
by2 + log
bz4 = 3⋅log
bx+2⋅log
by+ 4⋅log
bz
logb4+ log
bx2 + log
b(x− y)3 =2⋅log
b2+2⋅log
bx+3⋅log
b(x− y)
c)
d)
e)
f)
6.a)
b) c)
d)
e)
f)
7.a) b)
c) d)
e) f)
g)
h)
i)
j)
und
k) und
logb5m3n4 − log
b3p2 = log
b5+3⋅log
bm+ 4⋅log
bn− log
b3−2⋅log
bp
logb2 q4 − log
b3= log
b2+ 1
4⋅log
bq− log
b3
logb3x3 + log
b5y− log
b6z= log
b3+3⋅log
bx+ log
b5+ log
by
−logb6− log
bz
logb1− log
br2s3t4 = 0−2⋅log
br−3⋅log
bs− 4⋅log
bt
32⋅log
bx− 4⋅log
bx= − 5
2⋅log
bx= log
bx−52 = log
b
1
x5
logb
um ⋅vn3
wmn
= logb
um ⋅ vn3
wmn−5+0+ 3
2⋅log
bb= − 7
2
logb(x+ y)3 + log
b(x− y)2 − log
b(x2 − y2)4 = log
b
(x+ y)3(x− y)2
(x2 − y2)4=
logb
(x+ y)3(x− y)2
(x− y)4(x+ y)4= log
b
1
(x+ y)(x− y)2
13⋅log
b
x+ y(x+ y)(x− y)
+ 12⋅log
b(x− y)= −1
3⋅log
b(x− y)+ 1
2⋅log
b(x− y)=
16⋅log
b(x− y)= log
bx− y6
16⋅log
b
u5
v 2+ 14⋅log
b
wz= log
b
u5
v26 ⋅ w
z4
D=R+ x= 26
=23 = 8 D=R+ x= 0,54 = 116
D=R+ x= 26
=23 = 8 D=R+ x= 34
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= 916
D=R+ x= 23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−4
= 32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
= 8116
D= 3;∞⎤⎦ ⎡⎣ x−3= 510 ⇒ x= 510 +3
D= −∞;4⎤⎦ ⎡⎣ 4− x= 780 ⇒ x= 4−780
D= −3;∞⎤⎦ ⎡⎣ x+3= e7,56 ⇒ x= e7,56 −3≈1916,8455
D= 2;∞⎤⎦ ⎡⎣ log4
2x+6x−2
= 4⇒ 2x+6x−2
= 44 ⇒ x= 259127
≈2,0394
D= 5;∞⎤⎦ ⎡⎣
log3
x−3x−5
= log3(2x−8)⇒ x−3
x−5=2x−8⇒2x2 −19x+ 43= 0
⇒ x= 19± 174
⇒ x≈ 3,7192 x≈ 5,7808 ⇒L = 5,7808{ }D=R+ ln
2xx2
= 0⇒ 2xx2
=1⇒ 2x = x2⇒2x= x2
4⇒ x= 8
l)
und
m)
n)
o)
p)
8.a)
b)
c)
9.a) b)
x= 0 ⇒L = 8{ }D= 8;∞⎤⎦ ⎡⎣ lg(x−8)(x+2)= lg(2x+ 4)⇒ (x−8)(x+2)=2x+ 4
⇒ x=10 x= −2 ⇒L = 10{ }D=R+ 3⋅log
ax+ log
ax−2⋅log
ax= 0⇒2⋅log
ax= 0⇒ x=1
D=R+ log4x3 = 3⋅log
44+ log
42⇒ log
4x3 = log
443 ⋅2
⇒ x3 =128⇒ x= 1283
D= 103;∞
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ log
7
x+23x−10
= 0⇒ x+23x−10
=1⇒ x=6
D=R+ log3
x14
x2= log
3
23
x3 ⋅43⇒ x
−74 = 23
x13 ⋅43
⇒ x−1712 = 23
64⇒
x= 64
23
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
1217
=16
2x(2+1)=24⇒2x = 8⇒ x= 3
32x(32 −3+1)=14⇒32x =2⇒2x= lg2lg3
⇒ x= 12⋅ lg2lg3
≈ 0,3155
22x −22x+1 +22x+4 =120⇒22x(1−2+24)=120⇒22x = 8⇒2x= 3⇒ x= 32
3x(3+1)= 4⋅2x ⇒3x =2x ⇒ x ⋅lg3− x ⋅lg2= 0⇒ x ⋅(lg3− lg2)= 0⇒ x= 05x +6x(1−6)= 0⇒5x = 5⋅6x ⇒ x ⋅lg5= lg5+ x ⋅lg6
⇒ x ⋅(lg5− lg6)= lg5⇒ x= lg5lg5− lg6
≈ −8,8275
c)
d)
e)
4⋅5x =22x+2 +22x ⇒ 4⋅5x =22x(22 +1)⇒5x = 54⋅22x
⇒ x ⋅lg5= lg 54+2x ⋅lg2⇒ x ⋅(lg5−2lg2)= lg 5
4
⇒ x=lg54
lg5−2lg2=1
24⋅23x−3 −33x+3 =23x −24⋅33x ⇒24⋅23x−3 −23x = 33x+3 −24⋅33x
23x(24⋅2−3 −1)= 33x(27−24)⇒2⋅23x = 3⋅33x
⇒ lg2+3x ⋅lg2= lg3+3x ⋅lg3
⇒3x(lg2− lg3)= lg3− lg2⇒ x= 13⋅ lg3− lg2lg2− lg3
= −13
52x+2 −18⋅32x−2 =20⋅52x +32x ⇒52x+2 −20⋅52x = 32x +18⋅32x−2
⇒52x(25−20)= 32x(1+18⋅3−2 )⇒5⋅52x = 3⋅32x ⇒52x = 35⋅32x
⇒2x ⋅lg5= lg 35+2x ⋅lg3⇒2x(lg5− lg3)= lg 3
5⇒ x= 1
2⋅
lg35
lg5− lg3= −1
2