AUFGABEN ZU KAPITEL 19

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19-3

1 Von zwei Gasthermometern bei konstantem Volu-men sei das eine mit Stickstoff und das andere mit Wasserstoffgefullt. Beide enthalten ausreichend Gas, sodass p3 = 80 kPa.Welcher Druckunterschied herrscht in den beiden Thermome-tern, wenn beide Messkugeln in kochendes Wasser gehaltenwerden? (Hinweis: Vergleiche Abb. 19-6.) In welchem Gasherrscht der hohere Druck? ssm

2 Angenommen, die Temperatur eines Gases ent-spreche dem Siedepunkt von Wasser, 373,15 K. WelchenGrenzwert hat das Verhaltnis des Gasdrucks an diesem Sie-depunkt im Vergleich zum Gasdruck beim Tripelpunkt vonWasser? (Nehmen Sie dabei an, das Gas habe bei beiden Tem-peraturen dasselbe Volumen.)

3 Ein besonderes Gasthermometer bestehe aus zweimit Gas gefullten Behaltern, die sich beide in unterschiedli-chen Wasserbadern befinden (vgl. Abb. 19-29). Der Druckun-terschied zwischen den beiden Behaltern wird wie abgebildetmit einem Quecksilbermanometer gemessen. Durch entspre-chende Reservoirs, die in der Zeichnung nicht wiedergegebensind, wird das Gas in beiden Behaltern auf einem konstantenVolumen gehalten. Befinden sich beide Wasserbader am Tri-pelpunkt von Wasser, bestehe zwischen den beiden Behalternkein Druckunterschied. Befindet sich eines der Wasserbaderam Tripelpunkt und das andere am Siedepunkt von Wasser,herrsche ein Druckunterschied von 120 Torr. Der Druckunter-schied betragt 90 Torr, wenn sich das eine Bad am Tripelpunktvon Wasser befindet und das andere bei einer unbekanntenTemperatur. Welchen Wert hat die unbekannte Temperatur?

ssm

Abb. 19-29: Aufgabe 3

19-4

4 Bei welcher Temperatur zeigt eine Fahrenheit-Skala (a) das Doppelte der Celsius-Skala und (b) die Halfteder Celsius-Skala an?

5 Bei welcher Temperatur zeigen die folgenden Ska-lenpaare denselben Zahlenwert an, falls uberhaupt: (a) Fah-renheit und Celsius (uberprufen Sie die Liste in Tabelle 19-1),(b) Fahrenheit und Kelvin und (c) Celsius und Kelvin?

ssm

6 (a) Im Jahr 1964 erreichte die Temperatur indem sibirischen Dorf Oymyakon den Wert −71 ◦C. Welcher

Temperatur entspricht das auf der Fahrenheit-Skala? (b) Diehochste jemals offiziell gemessene Temperatur in den Ver-einigten Staaten betrug 134 ◦F in Death Valley, Kalifornien.Welcher Temperatur entspricht das auf der Celsius-Skala?

7 Es entspricht unserer Alltagserfahrung, dass sichwarme oder kalte Gegenstande abkuhlen bzw. erwarmen undsich ihrer Umgebungstemperatur anpassen. Ist der Tempera-turunterschied �T zwischen einem Gegenstand und seinerUmgebung (�T = TG − TU) nicht zu groß, so ist die Ande-rungsrate des Temperaturunterschieds naherungsweise pro-portional zum Temperaturunterschied selber:

d�T

dt= −A(�T ),

wobei A eine Konstante ist. (Das Minuszeichen deutet an,dass �T im Verlauf der Zeit abnimmt, wenn �T selber po-sitiv ist, und zunimmt, wenn �T negativ ist.) Diese Bezie-hung bezeichnet man als newtonsches Abkuhlungsgesetz. (a)Von welchen Faktoren hangt die Konstante A ab? WelcheDimension hat A? (b) Angenommen, zum Zeitpunkt t = 0betragt der Temperaturunterschied �T0. Zeigen Sie, dass fureine spatere Zeit t gilt:

�T = �T0e−At . ssm

8 An einem Tag mit einer Außentemperatur von7 ◦C fallt in einem Haus plotzlich die Heizung aus. Innerhalbvon 1 h sinkt die Temperatur im Haus von 22 ◦C auf 18 ◦C. DieBesitzerin lasst die Heizung reparieren und verbessert gleich-zeitig die Warmeisolierung des Hauses. Als an einem ahnli-chen Tag die Heizung wieder ausfallt, dauert es doppelt solang, bis die Temperatur von 22 ◦C auf 18 ◦C abfallt. WelchesVerhaltnis hat im newtonschen Abkuhlungsgesetz (vgl. Auf-gabe 7) die neue Konstante A zur alten Konstanten A?

9 Angenommen, auf einer linearen Temperaturska-la X liegt der Siedepunkt von Wasser bei −53,5 ◦X und derGefrierpunkt bei −170 ◦X. Welcher Anzeige auf der X-Skalaentspricht eine Temperatur von 340 K? ilw

19-5

10 Eine Fahnenstange aus Aluminium habe eineLange von 33 m. Um wie viel nimmt die Lange zu, wenndie Temperatur um 15 ◦C ansteigt?

11 Das Teleskop des Mt. Palomar Observatoriumshat einen Durchmesser von 508 cm und besteht aus Pyrex (ei-nem speziellen Quarzglas). Die Temperatur auf Mt. Palomarschwankt zwischen −10 ◦C und 50 ◦C. Wie groß ist die ma-ximale Anderung im Spiegeldurchmesser (in Mikrometern)unter der Annahme, dass sich das Glas frei ausdehnen bzw.zusammenziehen kann? ssm

12 Ein Aluminiumstab habe eine Lange von10,000 cm bei 20,0 ◦C und eine Lange von 10,015 cm beimSiedepunkt von Wasser. (a) Welche Lange hat der Stab am

Aufgaben zu Kapitel 19

Gefrierpunkt von Wasser? (b) Bei welcher Temperatur hatder Stab eine Lange von 10,009 cm?

13 Ein kreisformiges Loch in einer Aluminiumplattehabe bei 0,0 ◦C einen Durchmesser von 2,725 cm. WelchenDurchmesser hat das Loch, wenn die Platte auf eine Tempe-ratur von 100,0 ◦C erwarmt wird? ilw

14 Welches Volumen hat eine Bleikugel bei 30 ◦C,wenn ihr Volumen bei 60 ◦C 50 cm3 betragt?

15 Berechnen Sie die Volumenanderung einer Alu-miniumkugel mit einem Anfangsradius von 10 cm, wenn dieKugel von 0,0 ◦C auf 100 ◦C erwarmt wird. ssm

16 Die Flache A einer rechteckigen Platte sei ab.Der Langenausdehnungskoeffizient sei α. Nach einem Tem-peraturanstieg um �T ist die Seite a um �a langer gewor-den und die Seite b um �b (Abb. 19-30). Zeigen Sie, dass�A = 2αA�T , sofern man die kleine Große �a�b/ab ver-nachlassigen kann.

a

a∆ . b∆

a∆

b∆

b

Abb. 19-30: Aufgabe 16

17 Ein Aluminiumbecher fasse 100 cm3 und sei beieiner Temperatur von 22 ◦C vollstandig mit Glyzerin gefullt.Welche Menge an Glyzerin wird aus dem Becher auslaufen(falls uberhaupt), wenn sowohl der Becher als auch das Gly-zerin auf 28 ◦C erwarmt werden? (Der Volumenausdehnungs-koeffizient von Glyzerin betragt 5,1 · 10−4 /◦C.) ssm

18 Bei 20 ◦C wird die Lange eines Stabs auf einemLineal aus Stahl zu 20,05 cm bestimmt. Sowohl der Stab alsauch das Lineal werden in einen Ofen von 270 ◦C gelegt. Dortbetragt die Lange des Stabs, abgelesen am Lineal, 20,11 cm.Welchen Langenausdehnungskoeffizienten hat das Material,aus dem der Stab besteht?

19 Eine Stahlstange habe bei 25 ◦C einen Durch-messer von 3,000 cm. Ein Messingring habe bei 25 ◦C einenInnendurchmesser von 2,992 cm. Bei welcher gemeinsamenTemperatur passt der Messingring gerade uber die Stahlstan-ge? ssm www ilw

20 Wenn die Temperatur eines Metallzylinders von0,0 ◦C auf 100 ◦C ansteigt, dehnt sich seine Lange um 0,23 %aus. (a) Bestimmen Sie die prozentuale Dichteanderung.(b) Um welches Metall handelt es sich (nach Tabelle 19-2)?

21 Zeigen Sie: Wenn sich die Temperatur einerFlussigkeit in einem Barometer um �T andert und der Druckkonstant bleibt, dann andert sich die Hohehder Flussigkeit um�h = βh�T , wobei β der Volumenausdehnungskoeffizientist. Vernachlassigen Sie dabei die Ausdehnung des Glasrohrs.

ssm

22 Erhoht sich die Temperatur einer Kupfermunze um100 ◦C, so nimmt der Durchmesser um 0,18 % zu. Geben Siebis auf zwei signifikante Stellen den prozentualen Zuwachsvon (a) der Flache der Munze, (b) der Dicke, (c) dem Volu-men und (d) der Masse der Munze an. (e) Berechnen Sie denLangenausdehnungskoeffizienten der Munze.

23 Eine Pendeluhr mit einem Messingpendel soll dieZeit bei 20 ◦C exakt angeben. Wie groß ist der Betrag des Feh-lers, angegeben in Sekunden pro Stunde, wenn die Tempera-tur 0,0 ◦C betragt. Lauft die Uhr schneller oder langsamer?

ilw

24 Bei einem bestimmten Experiment muss eine ra-dioaktive Quelle mit außerordentlich kleinen, regulierbarenGeschwindigkeiten bewegt werden. Diese Bewegung erreichtman, indem man die Quelle an einem Ende eines Alumini-umstabs befestigt und den mittleren Bereich dieses Stabs aufkontrollierte Weise erhitzt. Angenommen, der effektiv erhitzteAbschnitt des Stabs in Abb. 19-31 betragt 2,00 cm. Mit wel-cher konstanten Rate muss die Temperatur des Stabs geandertwerden, wenn sich die Quelle mit der konstanten Geschwin-digkeit von 100 nm/s bewegen soll?

radioaktiveQuelle

Elektro-heizung

Spann-kopf

2,00 cmAbb. 19-31: Aufgabe 24

25 Nachdem ein Trager mit einem Sprung in der Mit-te um 32 ◦C erwarmt wurde, hebt er sich in der Mitte nachoben (Abb. 19-32). Der feste Abstand L0 sei 3,77 m und derLangenausdehnungskoeffizient des Tragers sei 25 ·10−6 /◦C.Berechnen Sie die Anhebung x in der Mitte. ssm ilw

L 0

L 0

x

Abb. 19-32: Aufgabe 25

19-7

26 Angenommen, ein Arzt empfiehlt seinen Patien-ten abzunehmen, indem sie Eiswasser trinken. Nach seinerTheorie muss der Korper Fett verbrennen, um die Wasser-temperatur von 0,00 ◦C auf die Korpertemperatur von 37,0 ◦Canzuheben. Wie viele Liter Eiswasser muss ein Mensch trin-ken, um 454 g Fett zu verbrennen, wenn diese Fettverbren-nung 3500 Cal erfordert, die dem Eiswasser zugefuhrt wer-den konnen? Weshalb ist es nicht ratsam, dieser Diat zu fol-gen? (Ein Liter = 103 cm3. Die Dichte von Wasser betragt1,00 g/cm3.)

Aufgaben zu Kapitel 19 1927 Eine bestimmte Substanz habe eine Masse pro

Mol von 50 g/mol. Wenn einer 30-g-Probe 314 J Warme-energie zugefuhrt werden, steigt die Temperatur der Probevon 25,0 ◦C auf 45,0 ◦C. Welche (a) spezifische Warme und(b) molare spezifische Warme hat die Substanz? (c) Wie vieleMol liegen vor? ssm

28 Welche Wassermenge von ursprunglich 260 gflussigen Wassers am Gefrierpunkt bleiben flussig, nachdemder Probe 50,2 kJ an Warmeenergie entzogen wurden?

29 Berechnen Sie die minimale Energiemenge inJoule, mit der 130 g Silber bei einer Temperatur von 15,0 ◦Czum Schmelzen gebracht werden konnen. ssm

30 Ein Zimmer werde mit vier 100-W-Birnen be-leuchtet. (Die Leistung von 100 W entspricht der Rate, mit dereine Gluhbirne elektrische Energie in Warme und sichtbaresLicht umwandelt.) Angenommen, 90 % der Energie werdenin Warme umgewandelt. Wie viel Warme wird dem Zimmerin 1 h zugefuhrt?

31 Ein Sportler habe einen Energieverbrauch von4000 Cal/Tag. Angenommen, er wurde diese Energiegleichmaßig uber den Tag verteilt verbrauchen. VergleichenSie diese Rate des Energieverbrauchs mit der Leistung einer100-W-Birne? (Die Leistung von 100 W entspricht der Ra-te, mit der eine Gluhbirne elektrische Energie in Warme undsichtbares Licht umwandelt.) ilw

32 Wie viel Gramm Butter mit einem nutzbaren Ener-giegehalt von 6,0 Cal/g (= 6000 cal/g) entspricht der Ande-rung in der potenziellen Energie eines 73,0 kg schwerenMannes, der von Meereshohe auf die Spitze des Mt. Eve-rest (ein Hohenunterschied von 8,84 km) steigt? Nehmen Siefur die Erdbeschleunigung einen durchschnittlichen Wert von9,80 m/s2 an.

33 Um innerhalb von 2,00 min ein Loch in einen 726 gschweren Kupferblock zu bohren, ist eine Leistung von 298 Wnotwendig. (a) Angenommen, die volle Leistung entsprichtder Rate, mit der Energie erzeugt wird. Wie viel Energie(in kJ) wird erzeugt? (Anmerkung: In den englischsprachigenLosungen zu dieser Aufgabe wird das Ergebnis in Btu (Britishthermal units) angegeben. Verwenden Sie den Umrechnungs-faktor 1 Btu = 1,055 kJ.) (b) Um wie viele Celsius-Gradenimmt die Temperatur des Kupfers zu, wenn es 75 % dieserEnergie absorbiert? ssm

34 Eine Moglichkeit zu verhindern, dass die Ge-genstande in einer Garage in einer Nacht mit Temperaturenweit unter null Grad zu kalt werden, besteht darin, einen Bot-tich mit Wasser in die Garage zu stellen. Angenommen, dasWasser habe eine Masse von 125 kg und eine Anfangstempe-ratur von 20 ◦C. (a) Wie viel Energie muss das Wasser an seineUmgebung abgeben, um vollstandig zu gefrieren? (b) Wie tiefmuss die Temperatur des Wassers und seiner Umgebung sein,damit das passiert?

35 Mit einem elektrischen Tauchsieder sollen 100 gWasser fur eine Tasse Kaffee erhitzt werden. Laut Hersteller-angaben handelt es sich um einen 200-W-Tauchsieder, d. h.,er setzt mit dieser Rate elektrische Energie in Warmeenergieum. Berechnen Sie die Zeit, in der das Wasser von 23 ◦C auf100 ◦C erhitzt wird. Vernachlassigen Sie dabei irgendwelcheWarmeverluste. ssm

36 Ein 150 g schwerer Kupferbecher enthalte 220 gWasser. Beide haben eine Temperatur von 20,0 ◦C. Ein sehrheißer, 300 g schwerer Kupferzylinder wird in das Wasser ge-legt, wobei 5,00 g in Dampf umgewandelt werden. Schließlichhabe das System eine Temperatur von 100 ◦C. Vernachlassi-gen Sie einen Energieaustausch mit der Umgebung. (a) Wieviel Warmeenergie (in Kalorien) wird dem Wasser ubertra-gen und (b) wie viel Warmeenergie dem Becher? (c) WelcheTemperatur hatte der Zylinder ursprunglich?

37 Ein Schlaumeier mochte seiner Frau Wasser fur ih-ren Kaffee kochen, muss aber feststellen, dass der Herd nichtfunktioniert. Er entscheidet sich, das Wasser in eine Ther-moskanne zu fullen und durch Schutteln der Kanne zum Ko-chen zu bringen. Angenommen, er verwendet Leitungswasserbei 15 ◦C und das Wasser fallt bei jeder Schuttelbewegungum 30 cm. Außerdem hebt und senkt er die Thermoskanne30-mal in der Minute. Wie lange muss er die Thermoskanneschutteln, bis das Wasser eine Temperatur von 100 ◦C erreichthat? (Vernachlassigen sie irgendwelche Warmeverluste durchdie Kanne.) ssm www

38 Wie lange benotigt ein 59-kW-Wasserboiler, umdie Temperatur von 150 L Wasser von 21 ◦C auf 38 ◦C zuerwarmen?

39 Ethylalkohol hat einen Siedepunkt von 78 ◦C,einen Gefrierpunkt von −114 ◦C, eine Verdampfungswarmevon 879 kJ/kg, eine Schmelzwarme von 209 kJ/kg und einespezifische Warme von 2,43 kJ/kg · K. Wie viel Energie muss0,510 kg Ethylalkohol entzogen werden, um es von einemgasformigen Anfangszustand bei 78 ◦C in den festen Zustandbei −114 ◦C zu uberfuhren?

40 Ein 1500 kg schweres Auto wird aus 90 km/h mitkonstanter Verzogerung und ohne Rutschen auf einer Streckevon 80 m zum Halt gebracht. Mit welcher mittleren Rate wirddurch die Bremsen mechanische Energie in Warmeenergieumgesetzt?

41 Die spezifische Warme einer Substanz verhaltesich als Funktion der Temperatur wie: c = 0,20 + 0,14T +0,023T 2, wobei T in ◦C und c in cal/g · K angegeben wer-den mussen. Berechnen Sie die notwendige Energie, um dieTemperatur von 2,0 g dieser Substanz von 5 ◦C auf 15 ◦C zuerhohen.

42 Bei einer Solarheizung zirkuliert Wasser durchRohre in einem Kollektor auf dem Dach und nimmt Son-nenenergie auf. Die Sonnenstrahlung tritt durch eine trans-parente Abdeckung in den Kollektor und erwarmt das Was-ser in den Rohren. Dieses Wasser wird anschließend in einenVorratstank gepumpt. Angenommen, der Wirkungsgrad des

Aufgaben zu Kapitel 19

gesamten Systems belauft sich auf 20 % (d. h., 80 % der ein-fallenden Sonnenenergie gehen dem System verloren). Wel-che Kollektorflache ist notwendig, um innerhalb von 1,0 h dieTemperatur von 200 L Wasser im Tank von 20 ◦C auf 40 ◦C zuerwarmen, wenn die Intensitat des einfallenden Sonnenlichts700 W/m2 betragt?

43 Welche Menge (in Gramm) an Wasserdampf bei100 ◦C muss in einem warmeisolierten Behalter mit 150 g Eisan seinem Schmelzpunkt gemischt werden, um flussiges Was-ser bei 50 ◦C zu erhalten? ilw

44 Jemand macht sich Eistee, indem er 500 g heißenTee (im Wesentlichen Wasser) mit derselben Masse Eis beiseinem Schmelzpunkt mischt. Welche Temperatur und Mas-se hat das verbleibende Eis, nachdem der Tee und das Eiseine gemeinsame Temperatur erreicht haben, wenn der ur-sprungliche Tee eine Temperatur von (a) 90 ◦C und (b) 70 ◦Chatte? Vernachlassigen Sie den Energieaustausch mit der Um-gebung.

45 (a) Zwei 50-g Eiswurfel werden zu 200 g Wasserin einem warmeisolierten Behalter gegeben. Das Wasser hat-te ursprunglich eine Temperatur von 25 ◦C und das Eis kamdirekt aus dem Tiefkuhlfach bei −15 ◦C. Welche Tempera-tur hat das Getrank schließlich, nachdem sich ein thermischesGleichgewicht eingestellt hat? (b) Welche Temperatur hattedas Getrank, wenn nur ein Eiswurfel verwendet worden ware?

ssm

46 Eine isolierte Thermoskanne enthalte 130 cm3 hei-ßen Kaffee bei einer Temperatur von 80,0 ◦C. Sie geben zurAbkuhlung des Kaffees einen 12 g schweren Eiswurfel beiseinem Schmelzpunkt hinzu. Um wie viel Grad hat sich IhrKaffee abgekuhlt, nachdem das Eis geschmolzen ist? Verwen-den Sie fur den Kaffee dieselben Daten wie fur reines Wasserund vernachlassigen Sie einen Energieaustausch mit der Um-gebung.

47 Ein 20,0 g schwerer Kupferring habe bei einerTemperatur von 0,0 ◦C einen Durchmesser von 2,54000 cm.Eine Aluminiumkugel habe bei 100,0 ◦C einen Durchmes-ser von 2,54508 cm. Die Kugel wird auf den Ring gelegt(Abb. 19-33) und beide konnen ins thermische Gleichge-wicht kommen, ohne dass Warme an die Umgebung verlo-ren geht. Genau bei der Gleichgewichtstemperatur passt dieKugel durch den Ring. Welche Masse hat die Kugel? ssm

Al100°C

2,54508 cm

2,54000 cm

Cu 0°C

Abb. 19-33: Aufgabe 47

19-10

48 Angenommen, an einem System werden 200 J Ar-beit geleistet und dem System werden 70,0 cal Warme ent-zogen. Welche Werte haben die folgenden Großen im Sinnedes ersten Hauptsatzes der Thermodynamik (einschließlichVorzeichen): (a) W , (b) Q und (c) �Eint?

49 Eine Gasprobe dehne sich von 1,0 m3 auf 4,0 m3

aus, wobei ihr Druck von 40 Pa auf 10 Pa sinkt. In Abb. 19-34sind drei Wege fur die Druckanderung in Abhangigkeit vonder Volumenanderung in einem p-V -Diagramm eingezeich-net. Wie viel Arbeit wird jeweils von dem Gas verrichtet?

ssm www

Dru

ck (

Pa)

40

30

20

10

1,0 2,0 3,0 4,0

C B

A

Volumen (m3)

0

Abb. 19-34: Aufgabe 49

50 Ein thermodynamisches System wird von einemAnfangszustand A in einen zweiten Zustand B uberfuhrt undanschließend uber den Zwischenzustand C wieder zuruck inden Zustand A gebracht. Der entsprechende Weg ABCA ineinem p-V -Diagramm ist in Abb. 19-35a wiedergegeben.(a) Vervollstandigen Sie die Tabelle in Abb. 19-35b, indemSie entweder + oder − fur das Vorzeichen der jeweiligenthermodynamischen Große bei den einzelnen Schritten diesesKreisprozesses eintragen. (b) Berechnen Sie die Arbeit, dievon dem System bei dem vollstandigen Kreisprozess ABCAgeleistet wird.

Dru

ck (

Pa)

40

30

20

10

1,0 2,0 3,0 4,0

C

BA

Volumen (m3)0

BA

CB

AC

Q W ∆Eint

+

+

(a)

(b) Abb. 19-35: Aufgabe 50

Aufgaben zu Kapitel 19 1951 In einem geschlossenen Behalter durchlaufe ein

Gas den in Abb. 19-36 in einem p-V -Diagramm eingezeich-neten Kreisprozess. Berechnen Sie die Gesamtenergie, diedem System im Verlauf eines Zyklus in Form von Warmezugefuhrt wurde. ssm ilw

Dru

ck (

N/m

2 ) 40

30

20

10

1,0 2,0 3,0 4,0

C B

Volumen (m3)

0

A

Abb. 19-36: Aufgabe 51

52 In einem geschlossenen Behalter durchlaufe einGas den in Abb. 19-37 wiedergegebenen Kreisprozess. Beidem Prozess AB wird dem System die Warme QAB = 20,0 Jzugefuhrt; bei dem Prozess BC wird keine Warmeenergiezwischen System und Umgebung ausgetauscht; die von demSystem geleistete Gesamtarbeit bei dem Kreisprozess betragt15,0 J. Berechnen Sie die Energie, die dem System bei demProzess CA in Form von Warme zugefuhrt wurde.

A C

B

0 Volumen

Dru

ck

Abb. 19-37: Aufgabe 52

53 Ein System werde entlang verschiedener We-ge von einem Zustand i in einen Zustand f uberfuhrt(vgl. Abb. 19-38). Entlang des Wegs ‘iaf’ sei Q = 50 cal undW = 20 cal. Entlang des Wegs ‘ibf’ sei Q = 36 cal. (a) Wiegroß ist W entlang des Wegs ‘ibf’? (b) Wenn W = −13 calentlang des Ruckweges ‘fi’ ist, wie groß ist Q fur diesenWeg? (c) Falls Eint,i = 10 cal, wie groß ist Eint,f? (d) FallsEint,b = 22 cal, wie groß ist Q fur die Wege ‘ib’ und ‘bf’?

ssm

a

i

f

b

Dru

ck

Volumen0

Abb. 19-38: Aufgabe 53