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Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft Prof. Dr. T. Westermann Mathematik [email protected] Aufgaben zu Mathematik 2 Studiengang Sensorsystemtechnik/Sensorik Prof. Dr. T. Westermann Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch mit CD-Rom Springer-Verlag, 5. Auflage 2008 Stand 11.9.2010

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Aufgaben zu Mathematik 2

Studiengang Sensorsystemtechnik/Sensorik

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Literatur/Theorie: Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch mit CD-Rom Springer-Verlag, 5. Auflage 2008

Stand 11.9.2010

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Aufgaben zu Komplexen Zahlen

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Berechnen Sie: a) − 2 ( ) + 3 4 I ( )− − 2 2 I b) ( ) + 3 4 I ( )− − 2 2 I c) ( ) + 3 4 I ( ) − 3 4 I

d) − 2 I

+ 1 2 I e) − 2 3 I + 3 4 I f) −

2 + 1 I

Lösung Tipps

Aufgabe 2 Berechnen Sie für die komplexen Zahlen

= c1 2 ( ) + ( )cos 45 I ( )sin 45 = c2 6 ( ) + ( )cos 100 I ( )sin 100 = c3 3 e⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

I π6

. a) b) c c) c d) c / c e) c /

c1 c2 1 c3 2 c3 2 1 1 c3

Lösung Tipps

Aufgabe 3 Schreiben Sie in Exponentialform: a) = c1 + 3 3 3 I b) = c2 − − 2 2 I c) = c3 − 1 3 I

Lösung

Aufgabe 4 Berechnen Sie a) b) c c) c

c1

32

43

7

Lösung

Aufgabe 5 a) Bestimmen Sie alle 4.ten Wurzeln von = c − 3 I . b) Berechnen Sie I . c) Wie lauten die 6 Einheitswurzeln in algebraischer und exponentieller Normalform?

Lösung

Aufgabe 6 a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von − + z2 6 z 25 . b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von − + z2 4 z 5 . *c) Bestimmen Sie alle Nullstellen von − − + − z4 z3 2 z2 6 z 4

Lösung

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Aufgabe 7 (Maple) Bestimmen Sie den Maple-Befehl fsolve mit der Option complex alle komplexen Lösungen von

= − − + − − z6 2 z5 8 z4 24 z3 z2 30 z 0

Maple

Aufgabe 8 (Maple) Verwenden Sie die Maple-Befehle evalc, conjugate, Re, Im um

= a − 2 I , = b + I 1 , = c − 6 2 I die folgenden komplexen Ausdrücke zu berechnen:

a) b) − + b2 2 b 5 a bc c) + a b* a* b d) −

ca b

e) f) ( )( ) + a b ( ) − a c * + a b*

ca* bc*

2

g) ( )ℜ − a b* c h) ( )ℑ ( ) − a b 2

(z* bezeichnet die konjugiert-komplexe Zahl von z)

Maple

Aufgabe 9 a) Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie sein Zusatz? b) Geben Sie ein Beispiel zum FS an. c) Geben Sie ein Beispiel zum Zusatz an. d) Geben Sie ein Beispiel an bei dem der Zusatz nicht anwendbar ist.

Lösung

**Aufgabe 10 (Maple) Geben Sie mit Maple die ersten 20 Glieder und den Betrag der komplexen Zahlenfolge

, = z0 0 = z + n 1 + zn

2c

für den Parameter = c + .35 .31 I an. Wählen Sie für den Parameter = c + .4 .4 I , = c + .25 .21 I , = c + .1 .1 I . Was beobachten Sie?

Maple

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Aufgaben zur Anwendung komplexer Zahlen

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 a) Man berechne den komplexen und reellen Scheinwiderstand der in Figur 1a skizzierten Reihenschaltung ( 1/s). = ω 106

b) Man berechne den komplexen und reellen Scheinwiderstand der in Figur 1b skizzierten Parallelschaltung ( 1/s). = ω 500

Lösung

Aufgabe 2 a) Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand der in Figur 2a dargestellten Schaltung als Funktion von . ωb) Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand der in Figur 2b dargestellten Schaltung bei einer Kreisfrequenz 1/s mit Maple. = ω 300

Lösung

Aufgabe 3 Gegeben sind die beiden Wechselspannungen und . Man bestimme die durch

Superposition entstehende resultierende Wechselspannung

( )u1 t ( )u2 t + ( )u1 t ( )u2 t bei 1/s. = ω 314

V und = ( )u1 t 100 (sin ω t ) = ( )u2 t 150 V ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos − ω t

π4

Lösung

Aufgabe 4 Die mechanischen Schwingungen

= ( )y1 t 20 cm ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin + π t

π10 und = ( )y2 t 15 cm ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos + π t

π6

werden ungestört zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die resultierende Schwingung? (Man rechne in der Kosinusdarstellung!)

Lösung

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Aufgaben zu Integralrechnung

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen von a) b) = ( )f x − + − + 4 x5 6 x3 8 x2 3 x 5 = ( )f t − 3 ( )sin t 4 (cos t )

c) = ( )f t − + 2 e t 5t 1 d) = ( )f x +

− − 1 2 x2 4 x3

2 x 3

e) = ( )f u + + 3 ( )sin u6u 7 u2 f) = ( )f x − − 3 e x ( )cos x

Lösung Tipps

Aufgabe 2 Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:

a) = d⌠⌡⎮⎮e

( )−x( ) − 1 x x + x e

( )−xC

b) = d⌠⌡⎮⎮ ( )cos x e

( )sin xx + e

( )sin xC

c) = d⌠⌡⎮

( )cos 3 x ( )sin 3 x x + 1 sin2 3 x

6 C

Lösung Tipps

Aufgabe 3 Lösen Sie die folgenden Integrale unter Verwendung einer geeigneten Substitution:

a) d⌠

⎮⎮⎮⎮⎮

x2

+ 1 x3x b) d

⎮⎮⎮⎮( ) + 5 x 12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

12

x c) d⌠⌡⎮⎮ 3 − 1 t t

d) / 2 3

0cos ( )sin( )x x dx

π

∫ e) d⌠

⎮⎮⎮⎮

( )arctan z + 1 z2 z f) d

⎮⎮⎮⎮

+ 2 x 6 + − x2 6 x 12

x

g) d⌠

⎮⎮⎮⎮

1x ( )ln x x h) i) d⌠

⌡⎮⎮x ( )sin x2 x d

⎮⎮⎮⎮⎮

− 3 x2 2 − + 2 x3 4 x 2

x

j) 1

20 1t dt

t+∫ k) d⌠

⎮⎮⎮⎮0

π2

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin − 3 t

π4 t *l) d

⎮⎮⎮⎮-1

1

+ 5 x − 5 x x

m) n) d⌠

⌡⎮⎮⎮

x2 e( ) − x3 2

x d⌠

⎮⎮⎮⎮

( )tan + z 5cos2 ( ) + z 5

z

Lösung

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Aufgabe 4 Lösen Sie die Integrale mit der vorgegebenen Substitution:

a) d⌠

⎮⎮⎮⎮⎮

x

− 16 x2x ( = x 4 (cos y) ) b) d

⎮⎮⎮⎮⎮0

r

1

− r2 x2x ( = x r ( )sin y )

c) d⌠

⎮⎮⎮⎮⎮

x

+ 1 x2x ( = x ( )sinh y ) *d) d⌠

⌡⎮⎮ − x2 1 x ( = x ( )cosh y )

Lösung Tipps

*Aufgabe 5

a) Man bestimme das Integral d⌠

⎮⎮⎮⎮

− 2 x + 1 x

x mit der Substitution = y + 1 x

b) Man bestimme das Integral d⌠⌡⎮⎮x − 1 x2 x mit der Substitution = x ( )sin u

Lösung

Aufgabe 6 Berechnen Sie folgende Integrale durch partielle Integration:

a) b) c) d⌠⌡⎮

x ( )cos x x d⌠⌡⎮⎮x2 e

( )−xx d⌠

⌡⎮( )ln t t

d) e) f) d⌠⌡⎮

x ( )ln x x d⌠⌡⎮⎮e x ( )cos x x d⌠

⌡⎮⎮sin2 ( ω t ) t

g)

h)

d⌠⌡⎮

x ( )sin 3 x x d⌠⌡⎮

( )arctan x x

Lösung Tipps

Aufgabe 7 Lösen Sie folgende Integrale durch Partialbruchzerlegung

a) d⌠

⎮⎮⎮⎮

1 − x2 a2 x b) d

⎮⎮⎮⎮⎮

4 x3

+ − − x3 2 x2 x 2x c) d

⎮⎮⎮⎮

3 z + − z3 3 z2 4

z

d) d⌠

⎮⎮⎮⎮

+ 2 x 1x ( ) − x 3 2 x e) d

⎮⎮⎮⎮⎮

− + x4 x3 3 xx2 ( ) + x 2 ( ) − x 3

x f) d⌠

⎮⎮⎮⎮⎮

− + − + x4 x3 3 x2 2 x 1( ) + x 1 ( ) − x 1 2 x

Lösung Tipps

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Aufgabe 8 (Maple) Lösen Sie die folgenden Integrale mit Maple (int-, Int-Befehl):

a) d⌠

⎮⎮⎮⎮

( )ln xx x b) c) d⌠

⌡⎮( )cot x x d⌠

⌡⎮x ( )cosh x x

d) e) d⌠⌡⎮⎮ ( )sin x e

( )cos xx d

⎮⎮⎮⎮⎮

x3

( ) − x2 1 ( ) + x 1x f) d

⎮⎮⎮⎮0

2

− x 4 + x 1 x

g) d⌠

⎮⎮⎮⎮

[ ]( )ln x 3

x x h) d⌠

⎮⎮⎮⎮⎮

12 x2

− 2 x3 1x i) d⌠

⌡⎮x ( )arctan x x

Maple

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Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung (mit Maple)

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 (plot-, solve-, int-Befehl) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Parabel 2( ) 2 1f x x x= − − und der Geraden

. ( ) 3 1g x x= −

Aufgabe 2 (int-Befehl)

Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung = P1T d⌠

⌡⎮0

T

( )p t t eines sinusförmigen

Wechselstromes für = ( )p t u0 i0 ( )sin ω t ( )sin + ω t φ .

Aufgabe 3 (int-Befehl) Für einen Wechselstrom ( )I t mit Periode T sind drei Mittelwerte definiert:

= Ieff1T d⌠

⌡⎮⎮

0

T

( )I t 2 t (Effektivwert)

= I1T d⌠

⌡⎮0

T

( )I t t (linearer Mittelwert)

= I1T d⌠

⌡⎮0

T

( )I t t (Gleichrichtwert).

Berechnen Sie diese drei Mittelwerte

a) für = ( )I t I0 sin (2 πT ). t

b) für einen Sägezahnstrom.

Aufgabe 4 (proc-, diff-, print-Befehl) Erstellen Sie eine Maple-Prozedur zur Berechnung der Krümmung einer Funktion y=f(x) und bestimmen Sie die Bogenlänge und die Krümmung der Kurve: a) für zwischen = y x3 = x 0 und = x 5 .

b) für = y a ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cosh

xa zwischen = x 0 und = x b .

Aufgabe 5 (proc-, diff-, int-, print-Befehl) Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten der Fläche zwischen dem Graphen = ( )f x h und

= ( )g x h x2

a2 für x aus . [ ],0 a

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Aufgaben zu Zahlen- und Potenzreihen

Aufgabe 1 Untersuchen Sie die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz

a) b) ∑ = n 1

n e( )−n2

∑ = n 1

∞ 2n

!n c) ∑ = n 1

n ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

12

( ) − n 1

d) ∑ = n 1

∞ 3( )2 n

!( )2 n

e) ∑ = n 1

∞ ( )-1( ) + n 1

n

5( ) − 2 n 1

f) ∑

= n 1

∞ ( )-1( ) + n 1

+ 2 n 1 g) ∑

= n 1

∞ 12n n

h) ∑ = n 1

∞ 2n

n

Lösung Tipps

Aufgabe 2 Untersuchen Sie die folgenden Zahlenreihen auf Konvergenz

a) ∑ = n 1

∞ 1n

b) ∑ = n 1

∞ ( )sin nn2 c) ∑

= n 1

∞ ( )-1 n n + 2 n 1

Lösung Tipps

Aufgabe 3 Berechnen Sie den Konvergenzradius von

a) ∑ = n 1

∞ n xn

2n b) ∑ = n 1

∞ xn

+ n2 1 c) ∑

= n 1

n xn d) ∑ = n 1

∞ ( )-1 n xn

n

e) ∑ = n 0

∞ xn

2n f) ∑ = n 1

∞ n x( ) + n 1

+ n 1 g) ∑

= n 1

∞ ( ) + n 1 xn

!n h) ∑ = n 1

2n 1/n xn

und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K.

Lösung Tipps

Aufgabe 4 a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und den Konvergenzbereich der Potenzreihe

∑ = n 1

n e( )−n

xn .

b) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe ∑ = n 1

n e( )−n

( ) − x x0

n.

Lösung Tipps

Aufgabe 5

Für welche x konvergiert die Reihe ∑ = i 0

∞ i3

+ 2i 1 ? xi

Lösung

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Aufgaben zu Taylor-Reihen

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Berechnen Sie die Taylor-Reihe und diskutieren Sie den Konvergenzbereich K von

a) = ( )f x1x am Entwicklungspunkt = x0 1

b) = ( )f x1

( ) + 1 x 2 am Entwicklungspunkt = x0 0

Lösung

Aufgabe 2 Berechnen Sie die Taylor-Reihe von f(x) durch Zurückspielen auf die geometrische Reihe:

a) 1f ( )xx

= am Entwicklungspunkt 0 1x = .

b) 2

1f ( )1

xx

=−

am Entwicklungspunkt 0 0x = .

c) f ( am Entwicklungspunkt ) ln( 1)x x= + 0 0x = .

Lösung Tipps

Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von ( )artanh x am Entwicklungspunkt = x0 0 .

(Hinweis: Beachten Sie, dass = ∂∂x ( )artanh x

1 − 1 x2

und artanh(0)=0).

Lösung Tipps

Aufgabe 4

Entwickeln Sie für die Funktion = ( )f x ( )cos x am Entwicklungspunkt = x0π3 in eine Taylor-Reihe.

Lösung Tipps

Aufgabe 5 Berechnen Sie die Taylor-Reihe von = ( )f x x am Entwicklungspunkt = x0 1 und diskutieren Sie

den Konvergenzbereich. (Bemerkung: Für = x 0 liegt Konvergenz vor!)

Lösung

Aufgabe 6 Man entwickle die Funktion

= ( )f x − 1x2

2x

, < 0 x ,

am Entwicklungspunkt = x0 1 in eine Taylor-Reihe und gebe den zugehörigen Konvergenzbereich an.

Lösung

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Aufgabe 7

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion = ( )f x1 + 1 x

an der Stelle = x0 0 und geben Sie

den Konvergenzbereich der Reihe an.

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Aufgaben zur Anwendung von Taylor-Reihen

Lösungen in Maple

Aufgabe 1

Die Funktion = ( )f x x e( )−x

soll in der Umgebung des Nullpunktes durch ein Polynom bis maximal 3. Grades angenähert werden. Man bestimme mit der Taylorschen Reihenentwicklung diese Funktion.

Lösung

Aufgabe 2 Man berechne den Funktionswert von ( ) 1f x x= − an der Stelle 0.05x = auf sechs Dezimalstellen genau, wenn als Auswertepolynom ein Taylor-Reihenansatz mit dem Entwicklungspunkt gewählt wird.

0 0x =

Lösung Tipps

Aufgabe 3

Lösen Sie das unbestimmte Integral 20

1( )1

xF x

t= dt

+∫ , indem Sie den Integranden zunächst in

eine Taylor-Reihe am Entwicklungspunk 0 0x = entwickeln und Sie anschließend den Term gliedweise integrieren.

Lösung

Aufgabe 4 (Maple) Fällt ein Körper der Masse in eine Flüssigkeit, so ist der zur Zeit zurückgelegte Weg: m t

= ( )s tmk

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cosh

k gm t ≤ 0 t .

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und der Reibungsfaktor. ka) Man bestimme die Geschwindigkeit und die Beschleunigung . ( )v t ( )a tb) Man entwickle mit Maple den Ausdruck für kleine . k

Lösung

Aufgabe 5 (Maple)

Wie groß ist der maximale Fehler im Intervall ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,0

13 , wenn man die Funktion

sin( )( ) xf xx

=

um den Punkt = x0 0 bis zur Ordnung 2 entwickelt? Zur Beantwortung der Aufgabe zeichne man

beide Funktionen.

Lösung

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Aufgaben zu Funktionen in mehreren Variablen

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Berechnen Sie für die folgenden Funktionen alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:

a) b) = ( )f ,x y + − x3 x y y( )−2

= ( )f ,a t + 3 a x y ( )ln t 2 c) = ( )f ,u v + u w + u v

d) = ( )f , ,x y z ( )arsinh + x2 z2 e) = ( )f , ,x1 x2 x3 x2

f) = ( )f ,a b + ( ) + a x b x2( )-1

y e( )a b

Lösung

Aufgabe 2 Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung für die folgenden Funktionen: a) = ( )f ,x y + − 3 x2 4 x y 2 y2 b) = ( )f ,x y 2 (cos 3 )x y c) = ( )f ,x y ( ) − 3 x 5 y 4

d) = ( )f ,x y − x2 y2

+ x y e) = ( )f ,x y 3 x e( )x y

f) = ( )f ,x y − x2 2 x y

Lösung

Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion

= ( )f ,x y ( )sin + x2 2 y . Man bestätige den Satz von Schwarz, dass = fxy fyx , indem man diese gemischten Ableitungen

explizit berechnet.

Lösung

Aufgabe 4 Berechnen Sie die partielle Ableitungen 2. Ordnung für die Funktion

= ( )f , ,x1 x2 x3 x1 ( )ln + x22

x32

Lösung

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*Aufgabe 5 Wir betrachten differenzierbare Funktionen f1 , f2 : und →R R g : und bilden die

Verkettung

2 →R R = ( )h ,x1 x2 (g ,( ) )f1 x1 ( )f2 x2 . Berechnen Sie h und die ersten partiellen Ableitungen

von h in folgenden Fällen:

a) = ( )f1 x1 + a0 a1 x1 ; = ( )f2 x2 + b0 b1 x2 und = ( )g ,u1 u2 + + c0 c1 u1 c2 u2 .

b) = ( )f1 x1 ( )sin x1 ; = ( )f2 x2 ( )cos x2 und . = ( )g ,u1 u2 + u12

u1 u2

Lösung

Aufgabe 6 Linearisieren Sie die Funktion

= ( )f , ,x y z + y ( )cos z( )ln + 1 x2

y

im Punkte = a ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟, ,1 2

π2 .

Lösung Tipps

Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion f an der Stelle ( ,x0 y0 ) bis zur Ordnung 2 in den

folgenden Fällen:

a) = ( )f ,x y − x y + x y ; ( ,x0 y0 )=( ). ,1 1

b) ; ( = ( )f ,x y e( ) + x2 y2

,x0 y0 )=( ). ,1 0

Lösung

Aufgabe 8 Berechnen Sie das totale Differenzial von a) b) = ( )f ,x y (sin + x2 2 y ) = ( )f ,x y + − 3 x2 4 x y 2 y2 c) = ( )f ,x y y (cos − )x 2 y d) = ( )f , ,x y z − + x2 z y z3 x4

Lösung

Aufgabe 9 Für den Durchmesser eines geraden Kreiszylinders hat man 6,0+/-0,003 gemessen, für die Höhe 4,0+/-0,02 . Wie groß ist der größte absolute und relative Fehler im Volumen des Zylinders? Wie groß ist der mittlere Fehler?

mm

Lösung Tipps

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Aufgabe 10 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden Sie danach, ob (und wenn ja welche) es sich um lokale Extrema handelt: a) = ( )f ,x y + − 3 y2 3 x y 18 y2 b) = ( )f ,x y + ( ) − x y 3 12 x yc) = ( )f ,x y + x2 cos y

Lösung Tipps

Aufgabe 11

Welcher Punkt der Fläche 21 ( 2 )z x= + − y hat den kleinsten Abstand vom Punkt (1,-2,0)?

Hinweis: Der Abstand ist gegeben durch 2 2( 1) ( 2) 1 ( 2 )d x y x y= − + + + + − 2

Lösung

Aufgabe 12 Zeigen Sie, dass die Funktion

= ( )f , ,x y za

+ + x2 y2 z2

Lösung der Laplace-Gleichung = + + fxx fyy fzz 0 ist.

Lösung

Aufgabe 13 Zeigen Sie, dass die Funktion

= ( )f ,x y12 ( )ln + x2 y2

die partielle Differenzialgleichung = + fxx fyy 0 erfüllt.

Lösung

Aufgabe 14 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt . 2(3 )z x xy= + (1/ 0)P

Lösung Tipps

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Aufgabe 15 Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung für die Funktion: a

)a) ; mit = ( )f ,x y ( + 3 x x y 2 = a ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

24 .

b) = ( )f , ,x y z + y ( )cos z( )ln + 1 x2

y ; mit = a⎡

⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

3-12

.

Lösung

Aufgabe 16 In einer elektrischen Anordnung lässt sich die Potentialverteilung in der Form

= ( )Φ ,x y Φ0

⎝⎜⎜⎜

⎠⎟⎟⎟

+ x2 y2

d

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

43

= Φ0

⎛⎜⎜⎞⎟⎟

d⎝ ⎠

43

( ) + x2 y2

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

23

angeben. a) Man bestimme alle partiellen Ableitungen der Funktion bis zur Ordnung 2. b) Man berechne das elektrische Feld = ( )E ,x y −grad ( )Φ ,x y .

c) Man berechne die Ableitung des Potentials in Richtung = n12

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

11 .

d) Man berechne die Ladungsverteilung ( )ρ ,x y durch = ( )ρ ,x y ε0 div E ,

wenn = div E + δx ( )E1 ,x y δy ( )E2 ,x y .

Lösung

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Aufgaben zur Anwendung von Funktionen in mehreren Variablen mit Maple

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 (diff-Befehl) Bestimmen Sie mit Maple das totale Differenzial der Funktionen

a) b) = ( )z ,x y − 4 x3 y 3 x e y = ( )z ,x y + x2 y2

− x y ) = ( )f , ,x y z ln + + x2 y2 z2 .

Aufgabe 2 (D-, mtaylor-Befehl) Lösen Sie Aufgabe 6 und 7 aus den Aufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen mit Maple.

Aufgabe 3 (extrema-Befehl) Bestimmen Sie mit Maple die relativen Extrema der Funktionen a) b) = ( )f ,x y − − 3 x y x3 y3 = ( )f ,x y + + − x2 y2 x y

c) d) . = ( )f ,x y − + − + − 1 x y 2 x y x2 y2 = ( )f ,x y − − e( ) + x2 y2

2 x4 2 y2

Aufgabe 4 (Prozedur Regressionsgrade) Bestimmen Sie mit Maple zu den folgenden Messreihen jeweils die Ausgleichsgerade: a) x 0 1 2 3 4 5 6 y 2.1 .81 -.5 -2.1 -3.4 -4.3 -5.8

b) x 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 4.0 4.5 6.0 y 1.9 2.1 2.8 3.4 4.0 4.1 5.1 6.1

Aufgabe 5 (Prozedur Regressionsgrade)

a) Bestimmen Sie die Exponentialfunktion vom Typ = y a e( )b x

, die sich an die 4 Messwerte geeignet anpasst. xi 0 1 2 3 yi 5.1 1.75 1.08 .71

b) Wie lautet die Potenzfunktion vom Typ = y c xn , die sich an den folgenden Messpunkten anpasst? xi 1 2 3 4 5 yi 1 3.1 5.6 9.1 12.9

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Aufgaben zum Einlesen und zur Interpretation von Messdaten mit Maple

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 (readdata-, plot-Befehl) Kopieren Sie die Dateien daten1.txt, daten2.txt, daten3.txt in das Verzeichnis e:/temp/. a) Lesen Sie die Daten aus der Datei daten1.txt und mit dem readdata-Befehl ein und speichern Sie gleichzeitig die Daten in der Maple-Variablen daten1 ab: > daten1:=readdata(`e:\\temp\\daten1.txt`,2):Bestimmen Sie die Anzahl der Messdaten mit: > nops(daten1);Stellen Sie die Messdaten graphisch dar mit: > plot(daten1); b) Verfahren Sie unter (a) mit den Messdaten aus den Dateien daten2.txt und daten3.txt. Verwenden Sie die Maple-Befehle und (logarithmische Skalierung der y-Achse bzw. doppellogarithmische Skalierung), um den funktionalen Zusammenhang zu erkennen. Um welche Funktionstypen handelt es sich bei diesen Datensätzen?

logplot loglogplot

Aufgabe 2 (Prozedur Regressionsgerade) Suchen Sie auf der CD-ROM die Prozedur Regressionsgerade, lassen Sie diese Prozedur einmal ablaufen und speichern Sie das somit übersetzte Programm in die Datei e:/temp/regr.m > save Regressionsgerade, `e:\\temp\\regr.m`:ab. Mit > read `e:\\temp\\regr.m`kann das übersetzte Programm nun von einem beliebigen Worksheet aus eingelesen werden.

Aufgabe 3 (Prozedur Regressionsgerade) Bestimmen Sie mit der Prozedur Regressionsgerade() die Ausgleichsgerade für die Messdaten aus der Datei daten1.txt. > restart:> daten1:=readdata(`e:\\temp\\daten1.txt`,2):> read `e:\\temp\\regr.m`> Regressionsgerade(daten1);

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Aufgabe 4 (Prozedur Regressionsgerade) Bestimmen Sie mit der Prozedur Regressionsgerade() die Ausgleichsgerade für die angepassten Messdaten aus den Dateien daten2.txt und daten3.txt. Beachten Sie, dass daten2[i] aus den Paaren [x[i], y[i]] besteht, das heißt daten2[i][1] = xi und daten2[i][2] = yi !

Sie erhalten also die angepassten Messdaten z.B. über > for i from 1 to nops(daten2)> do> daten_neu := [daten2[i][1], ln(daten2[i][2])]:> od:Vor dem Aufruf der Prozedur konvertieren Sie den manipulierten Datensatz mit convert > daten_neu:=convert(daten_neu,'list'):wieder in eine Liste. Wie heißen die Funktionen zu den Datensätzen?

Aufgabe 5 (writedata-Befehl) Erzeugen Sie selbst einen Messdatensatz, den Sie mit > writedata(`e:\\tem\\file.txt`,...):in eine Textdatei schreiben. Ihr Nachbar soll diese Daten auf den funktionalen Zusammenhang analysieren.

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Aufgaben zur Laplace-Transformation

Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von

a) 3 e( )−4 t

b) c) 2 t2 4 (cos 5 t )

d) e) ( )S − t t0 t e( )− ( )α − t t

0 f) ( )cosh α t

Lösung

Aufgabe 2 Bestimmen Sie unter Verwendung einer Tabelle / Maple die Laplace-Transformierten von

a) b) (sin π t ) + 5 t4 e( )−4 t

c) − 5 ( )sin 2 t 3 (cos 2 t )

Lösung Tipps

Aufgabe 3 Geben Sie die Zeitfunktionen an, die zu den folgenden Laplace-Transformierten gehören:

a) 5

+ s 2 b) − 4 s 3 + s2 4

c) − 2 s 5s2

Lösung

Aufgabe 4 Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformation, indem Sie die Bildfunktionen in Partialbrüche zerlegen

a) − 2 s2 4

( ) − s 2 ( ) + s 1 ( ) − s 3 b) + 3 s 1( ) − s 1 ( ) + s2 1

Lösung

Aufgabe 5 Zeigen Sie die Formel für die Laplace-Transformierte der zweiten Ableitung

L( f ") L( = s2 f ) − s f (0) − f '(0).

Lösung Tipps

Aufgabe 6 a) Zeigen Sie, dass die Laplace-Transformation linear ist, d.h.

L( + c1 ( )f1 t c2 ( )f2 t ) = c1 L( ( )f1 t ) + c2 L( ( )f2 t ).

b) Zeigen Sie, dass die inverse Laplace-Transformation linear ist, d.h.

L ( ( )-1

+ c1 ( )F1 s c2 ( )F2 s ) = + c1 ( )f1 t c2 ( )f2 t .

Lösung

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Aufgaben zur Anwendung der Laplace-Transformation

Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden Differenzialgleichungen erster Ordnung a) ' , y = ( ) t −α ( )y t = ( )y 0 y0 .

b) 'y = ( ) t + 2 ( )y t e( )−5 t

, = ( )y 0 0 .

Lösung

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Kondensator mit Kapazität , der mit einem Ohmschen Widerstand in Reihe liegt. Zum Zeitpunkt wird eine Wechselspannungsquelle mit

C = t 0

= ( )UB t (si )n ω t angeschlossen.

Wie verhält sich die Ladung am Kondensator als Funktion der Zeit? ( )q t

Lösung

Aufgabe 3 Lösen Sie die Differenzialgleichung

y " ' mit + ( )t y = ( ) t 4 = ( )y 0 0 und 'y = ( )0 0 .

Lösung

Aufgabe 4 Lösen Sie die Differenzialgleichung

y " ' − ( ) t 3 y = + ( ) t 2 ( )y t 2 e( )−t

mit = ( )y 0 2 und ' . y = ( ) 0 -1

Lösung

Aufgabe 5 Lösen Sie die Differenzialgleichung

y " mit = + ( ) t ω2 ( )y t 0 = ( )y 0 y0 und 'y = ( )0 v0 .

Lösung

Aufgabe 6 Gegeben ist ein Feder-Masse-System, welches reibungsfrei schwingen kann. (Federkonstante , Masse ). Zeigen Sie, dass dieses System durch die DG aus Aufgabe 5 beschrieben werden kann.

Dm

Lösung

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Aufgaben zu Integration von Funktionen mit mehreren Variablen

Aufgabe 1 Berechnen Sie folgende Doppelintegrale

a) d⌠

⎮⎮⎮⎮x=0

1

d⌠

⎮⎮⎮⎮y=1

l

x2

y y x b) d⌠⌡⎮⎮

x=0

3

d⌠⌡⎮⎮

y=0

− 1 x

− − 25 x2 y2 y x

Lösung Tipps

Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass der Wert der beiden Gebietsintegrale gleich ist

= I1 d⌠⌡⎮x=0

2

d⌠⌡⎮y=0

x2

2 x y y x = I2 d⌠⌡⎮0

4

d⌠⌡⎮

y

2

2 x y x y

Um welches Gebiet handelt es sich?

Lösung

Aufgabe 3

Das Gebiet G sei definiert durch untenstehende Skizze Bestimmen Sie a) den Flächeninhalt A , b) den Flächenschwerpunkt ( ,xs ys ),

c) die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy .

Lösung Tipps

Aufgabe 4 Bestimmen Sie folgende Dreifachintegrale

a) d⌠⌡⎮⎮

z=0

1

d⌠⌡⎮⎮

y=z-1

z

d⌠⌡⎮⎮

x=y

+ y 1

x2 x y z b)

d⌠⌡⎮z=-l

l

d⌠⌡⎮x=z

z2

d⌠⌡⎮y=x-z

+ x z

x y z y x z

Lösung Tipps

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Aufgabe 5

Gegeben ist der unten gezeichnete Rotationskörper, der durch Rotation von an der y-Achse entsteht. Bestimmen Sie x2

a) das Volumen V b) den Schwerpunkt ( , ,xs ys zs )

c) das Trägheitsmoment Iz .

Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten!

Lösung

Aufgabe 6 Das Gebiet G sei definiert durch die nebenstehende Skizze.

a) Beschreiben Sie das Gebiet (Streifen parallel zur x-Achse).

b) Bestimmen Sie die Gesamtfläche.

c) Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Jx . 31

2

0 0

x

xx y

J y dy dx= =

= ∫ ∫ .

Um welches Gebiet handelt es sich?

Lösung

Aufgabe 7 Das Gebiet G sei definiert durch die nebenstehende Skizze.

a) Beschreiben Sie das Gebiet durch eine Gebietszerlegung in Streifen parallel zur y-Achse.

b) Bestimmen Sie die Gesamtfläche A.

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes

1/ 31

102

1 x

sx y x

x x dy dxA = =−

= ∫ ∫ und 1/ 31

102

1 x

sx y x

y y dy dxA = =−

= ∫ ∫

Lösung

*Aufgabe 8

Gegeben ist das nebenstehende T-Profil einer Alu-Schiene. Bestimmen Sie a) die Fläche A des Profils, b) die Koordinaten des Schwerpunktes ( ,xs ys ),

c) die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy ,

d) die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy ,bgl. des Schwerpunktes,

e) die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy ,bgl. des Schwerpunktes

unter Verwendung des Steinerschen Satzes.

Lösung