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Aufgabensammlung Hydrostatik - Lösungen 1. Archimedes und die goldene Krone von Hiero Die Krone und das überlassene Gold haben die gleiche Masse. Gold hat aber eine wesentlich größere Dichte als Silber, nämlich Gold 19,3 t/m³ zu Silber mit 10,5 t/m³. Damit müsste eine Krone, der Silber beigemischt worden wäre, bei gleicher Masse mehr Volumen besitzen. Und dies hat Archimedes mit Hilfe des Füllstandes eines Wasserbehälters nachgewiesen. Die Krone hatte weniger als sieben Pfund Gold – das hat Archimedes im Anschluss berechnet 2. Schiffshebewerk Das Schiff verdrängt genau die selbe Masse an Wasser, die es wiegt, also 4500t. M ges = M Trog M Schiff M Wasser Trog M verdrängtes Wasser =11500 t 3. Ruderboot Lässt man den Stein los, taucht das Ruderboot aus, und zwar um folgendes Volumen: V Wasser = M Stein Wasser . In diesem Moment fällt auch um genau dieses Volumen der Wasserspiegel des Sees. Da die Dichte des Steins erheblich größer ist als die des Wassers, geht der Stein unter. Der Stein verdrängt aber nur ein fünftel des Wassers in See verglichen mit dem Volumen, das er an Bord verdrängte. Damit fällt qualitativ der Wasserspiegel des Sees. Abhängig vom Größenverhältnis zwischen See und Stein sollte der Nachweis in der Realität entsprechend schwierig zu führen sein. 4. Ponton – Schwimmfähigkeit Zunächst ist das Volumen des Pontons zu berechnen: V Ponton = L BH =75,0 m 10,5 m 2,5 m=1968,75 m 3 Mit der angegebenen Masse von 2000t ergibt sich eine Dichte von: = 2000 t 1968,75 m 3 1,016 t m 3 Diese Dichte ist größer als die Dichte von Süßwasser mit 1 t / m 3 . Der Ponton würde in Süßwasser untergehen. In Seewasser mit einer Dichte von 1,025 t / m 3 würde der Ponton jedoch gerade schwimmen. 5. Ponton – Tiefgang Zunächst muss das Volumen des verdrängten Wassers des unbeladenen Pontons berechnet werden: V verdr.Wasser = M Ponton Wasser = 850 t 1 t / m 3 =850 m 3 . – 1/28 –

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Aufgabensammlung Hydrostatik - Lösungen

1. Archimedes und die goldene Krone von HieroDie Krone und das überlassene Gold haben die gleiche Masse. Gold hat aber eine wesentlich größere Dichte als Silber, nämlich Gold 19,3 t/m³ zu Silber mit 10,5 t/m³. Damit müsste eine Krone, der Silber beigemischt worden wäre, bei gleicher Masse mehr Volumen besitzen. Und dies hat Archimedes mit Hilfe des Füllstandes eines Wasserbehälters nachgewiesen.

Die Krone hatte weniger als sieben Pfund Gold – das hat Archimedes im Anschluss berechnet

2. SchiffshebewerkDas Schiff verdrängt genau die selbe Masse an Wasser, die es wiegt, also 4500t.

M ges=M TrogM Schiff M Wasser ℑTrogM verdrängtesWasser=11500 t

3. RuderbootLässt man den Stein los, taucht das Ruderboot aus, und zwar um

folgendes Volumen: V Wasser=M Stein

Wasser

.

In diesem Moment fällt auch um genau dieses Volumen der Wasserspiegel des Sees. Da die Dichte des Steins erheblich größer ist als die des Wassers, geht der Stein unter. Der Stein verdrängt aber nur ein fünftel des Wassers in See verglichen mit dem Volumen, das er an Bord verdrängte. Damit fällt qualitativ der Wasserspiegel des Sees. Abhängig vom Größenverhältnis zwischen See und Stein sollte der Nachweis in der Realität entsprechend schwierig zu führen sein.

4. Ponton – SchwimmfähigkeitZunächst ist das Volumen des Pontons zu berechnen:

V Ponton=L⋅B⋅H =75,0 m⋅10,5m⋅2,5 m=1968,75m3

Mit der angegebenen Masse von 2000t ergibt sich eine Dichte von:

=2000 t

1968,75 m3≈1,016t

m3

Diese Dichte ist größer als die Dichte von Süßwasser mit ≈1 t /m3 . Der Ponton würde in Süßwasser untergehen. In Seewasser mit einer Dichte von ≈1,025 t /m3 würde der Ponton jedoch gerade schwimmen.

5. Ponton – TiefgangZunächst muss das Volumen des verdrängten Wassers des unbeladenen Pontons berechnet werden:

V verdr.Wasser=M Ponton

Wasser

=850 t1 t /m3 =850m3

.

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Aus diesem Volumen lässt sich nun der Tiefgang des Pontons berechnen:

V verdr.Wasser=L⋅B⋅T ⇔T =V −verdr. Wasser

L⋅B=

850m3

68,0m⋅10,5m=1,19m

Analog folgt für den beladenen Ponton:V verdr.Wasser=1288m3 und T = 1,80m.

6. Numerische Integration 1Es handelt sich um die Funktion f x = x .

Das bestimmte Integral lautet: ∫1,5

7,5

x dx=12,4683 .

Trapezregel:

Die allgemeine Berechnungsformel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

A=∫x0

x1

y dx≈12 y0 y1x1− x0

Durch wiederholtes berechnen von Trapezinhalten kann ein Integral angenähert werden. Sind die Stützstellen äquidistant, vereinfacht sich die Trapezregel zu:

A≈hy0

2 y1 y2 y3

yn

2 mit x i−x i−1 =h ; i=1n

Die Streifenbreite h ist mit 1 immer gleich, somit folgt:

A≈1,2252

1,5811,8712,1212,3452,5502,739

2 =12,45

Simpsonregel

Zur Integration eines Intervalls bestehend aus einer graden Anzahl n Streifen der gleichen Breite h wird folgender Zusammenhang verwendet:

A≈23

h y0

22y1 y22y3 y n−22y n−1

yn

2 Die Streifenbreite h ist wieder äquidistant 1 und somit folgt:

A≈23

11,2252

2⋅1,5811,8712⋅2,1212,3452⋅2,5502,739

2 =12,468

Es handelt sich bei der vorliegenden Funktion um eine monoton steigende Funktion.

Sowohl die Trapezregel, als auch die Simpsonregel sind Näherungsverfahren, bei denen der Graph der Kurve durch einen Polygonzug angenähert werden. Dieser Polygonzug liegt stets auf dem Graph in den Stützstellen, sonst darunter, da monoton steigend. Folglich wird die so angenäherte Fläche zu klein angenommen.

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Bei der Simpsonregel wird im Gegensatz zur linearen Annäherung der Trapezregel die Kurve durch ein Polynom 2.Grades angenähert. Das erhöht die Genauigkeit.

1. Numerische Integration 2Die gegebenen Stützstellen sind nicht durchgängig äquidistant, deshalb empfiehlt sich ein Integrationsverfahren das nicht auf äquidistante Stützstellen angewiesen ist, wie z.B. die Trapezregel. Zu beachten ist, dass nicht über eine Nullstelle hinweg integriert werden darf, da sonst die Flächeninhalte zwischen Graph und Abszisse voneinander abgezogen werden. Deshalb sind die Integrale so aufzustellen, dass sie grade bei Nullstellen beginnen bzw. enden.Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat lautet:

f x =110

x−23−2 .

Analytisch ergibt sich damit für den Flächeninhalt:

A=[ ∫−4

4,71442

110

x−2 3−2dx ] ∫

4,71442

7,5

110

x−23−2dx≈∣−48,472∣15,948=64,42

Allgemein lassen sich für jedes Stützstellenpaar Integrale formulieren:

A=∫x0

xn

y x dx=∫x0

x1

y xdx∫x1

x2

y x dx∫xn−1

x n

y xdx

Daraus ergibt sich die Trapezregel für nicht äquidistante Abszissenabschnitte:

A≈12 [ x1− x0 y0 y1 x2−x1 y1 y2 xn−xn−1 y n−1 yn ]

Mit den eingesetzten Zahlenwerten bis zur Nullstelle:

A≈12

[ −2−−4 −23,6−8,4 0−−2 −8,4−2,8 ]

12

[ 0,5−0 −2,8−2,3375 1,5−0,5 −2,3375−2,0125 ]

12

[3−1,5 −2,0125−1,9 4,71442−3−1,90 ]

A=∣−51,2224∣Mit den eingesetzten Zahlenwerten ab der Nullstelle:

A≈12

[5−4,7144200,7 6−50,74,47,5−64,410,5 ]

A=13,825Für die Gesamtfläche folgt daraus:

Ages.≈∣51,2224∣13,825=65,0474

Alternativ kann auch eine Berechnung mittels Simpsonregel für den Bereich der ersten drei Stützstellen erfolgen, da diese äquidistant angeordnet sind, für die restlichen Stützstellen muss dann allerdings trotzdem mit der Trapezregel gerechnet werden. Zu beachten ist, dass die

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„Übergangsstützstelle“ doppelt vorkommt, damit die einzelnen Segmente direkt aneinander anschließen.Die abgeänderte Berechnungsformel stellt sich folgendermaßen dar:

A≈23

2 −23,62

2⋅−8,4−2,8

2

12

[ 0,5−0 −2,8−2,33751,5−0,5 −2,3375−2,0125 ]

12

[3−1,5 −2,0125−1,94,71442−3−1,90 ]

A=∣−48,0224∣Es fällt sofort auf, dass die mit der Simpsonregel berechneten Werte stark von denen der Trapezregel abweichen. Bei Gegenüberstellung des linear und des quadratisch approximierten Funktionsverlaufes leuchtet diese Tatsache jedoch unmittelbar ein:

Da die Funktion im betreffenden Bereich verhältnismäßig konkav verläuft und die Stützstellen weit auseinander liegen, überschätzt die Trapezregel den tatsächlichen Flächeninhalt merklich.In realen Anwendungen ist immer ein Kompromiss zwischen Rechenaufwand und erzielter Genauigkeit einzugehen bzw. zu optimieren.Die restliche Berechnung erfolgt analog zum ersten Rechenweg und wird hier deshalb nicht nochmal angeführt.

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S c h i f f s h y d r o s t a t i k , Ü b u n g 7

- 2 5

- 2 0

- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0

1 5

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

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8. Numerische Integration 3Auch bei den hier angegebenen Stützstellen empfiehlt sich ein Verfahren, das nicht auf äquidistante Stützstellen beruht. Bei dieser Aufgabe ist darauf zu achten, dass an der Stelle x=1 eine Sprungstelle vorliegt. Mit der Trapezregel kann man über Sprungstellen „hinwegintegrieren“, weil das Verfahren sehr robust ist. Es kommt hinzu, dass wiederum ein Teil der Funktionswerte negativ sind und die entstehenden Flächen nicht voneinander abgezogen werden dürfen.Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat, lautet für x1 :

f x =−14 x−1

2−2

Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat lautet für x1 :f x =x−122

Anmerkung: Die Funktion ist natürlich mathematisch strenggenommen im Punkt x=1 eine Relation.Analytisch gelöst, ergeben die beiden Integrale folgenden Flächeninhalt:

A=∣∫−4

1

−14

x−12−2dx∣∫

1

4,5

x−12 dx≈∣−20,4167∣21,2917

A=41,7084

Mit den eingesetzten Zahlenwerten bis zur Sprungstelle ergibt sich:

A≈12

[ −2,5−−4 −8,25−5,0625 −1,5−−2,5 −5,0625−3,5625 ]

12

[−1−1,5 −2,5625−3 0−−1 −2,0625−2 ]

A≈∣−20,5469∣Mit den eingesetzten Zahlenwerten ab der Sprungstelle ergibt sich:

A≈12

[1,5−122,52,5−1,52,254,253−2,54,256 ]

12

[4,5−3614,25 ]

A≈22,125Für die Gesamtfläche ergibt sich daraus:

Ages≈∣−20,5469∣22,125=42,6919Auch bei dieser Aufgabe könnte man im Bereich der drei Stützstellen vor der Unstetigkeit eine Berechnung mit Hilfe der Simpsonregel in Betracht ziehen, doch bei Veranschaulichung der Funktion wird klar, dass damit keine wesentliche Zunahme der Genauigkeit zu erwarten ist, die Fläche wird von der Trapezregel nur leicht überschätzt (Abweichung ca. 0,02%):

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S c h i f f s h y d r o s t a t i k , Ü b u n g 8

- 1 0

- 5

0

5

1 0

1 5

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

x

y

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9. Schiffsfestes KoordinatensystemIn aller Regel wird der Nullpunkt des schiffsfesten Koordinatensystems im Hinteren Lot (HL oder AP für Aft Perpendicular) auf Höhe der Basis gesetzt. Dadurch nimmt die z-Koordinate zur Beschreibung des Rumpfes ausschließlich positive Werte an. Bei der üblichen Spantdarstellung, also Backbord-Hinterschiff in der linken Bildhälfte und Backbord-Vorschiff in der rechten Bildhälfte, wird nur die Backbordseite des Schiffes gezeigt, die in einem rechtshändischen, kartesischen Koordinatensystem durch positive y-Werte beschrieben werden. Es kann Ausnahmen geben, wenn unsymmetrische Rümpfe, wie z.B. bei manchen Katamaranen, zu beschreiben sind.

10.ContainerschiffZunächst soll die fehlende Spantfläche berechnet werden.

Allgemein gilt für die Berechnung der Spantflächen von der Basis bis zur Wasserlinie:

ASp=∫0

T

y z dy≈12∑i=1

n

y i y i1 z i1−z i

Es handelt sich um äquidistante Stützstellen mit dem Abstand 1m, wodurch sich die Trapezregel deutlich vereinfacht. Siehe Aufgabe 6.

Es empfiehlt sich grundsätzlich bei Handrechnungen die Einheiten mitzunehmen! Das dient der Nachvollziehbarkeit für Andere und ist eine sehr gute Kontrollmöglichkeit, ob die errechnete Größe zumindest die richtige Einheit besitzt (z.B. ein Drehmoment wirklich Nm ist).

ASp

2≈1m 0,25 m

21,65m2,4m2,8m3,25 m3,6m3,9 m4,2 m4,5 m

1m4,8m5,15m5,6m6,6 m

2 A≈45,275m2

Da nur die Backbordseite mit den Stützstellen dargestellt worden ist, muss nun der berechnete Wert mit dem Faktor 2 multipliziert werden, um die vollständige, symmetrische Spantfläche wiederzugeben.

ASp18=2

ASp18

2≈2⋅45,275 m2

=90,55 m2

Nun sind die Spantflächen aller Entwurfsspanten gegeben und es lässt sich das verdrängte Volumen auf Design Draft (Tiefgang) berechnen. Allgemein gilt für das verdrängte Volumen bis zu einem bestimmten Tiefgang:

∇=∫Sp1

Spn

ASpx dx≈12∑Sp1

Spn

ASpiASp i1 x i1− xi

mit: Sp1 als erstem benetzten Spant Spn und als letztem benetzten Spant.

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Es handelt sich wieder um äquidistante Stützstellen mit dem Abstand 14,16m.

Somit folgt:

∇≈14,16 m 0250,413m2146,171 m2229,009 m2292,763 m2334,002 m2

14,16 m 357,164 m2370,758m2376,436m2378,463m2379,174 m2 14,16 m 376,826 m2368,418m2350,686m2318,345m2269,510 m2

14,16 m207,236 m2145,758 m290,550 m250,249 m233,920 m2

2 ∇≈72353,9 m3

Nun kann XCB, der Längenschwerpunkt des Auftriebs, berechnet werden:

Allgemein gilt:

XCB=XCB⋅∇

Das Volumen ∇ ist gerade berechnet worden. Den Ausdruck XCB⋅∇(Moment 1. Ordnung) wird allgemein wie folgt berechnet:

XCB⋅∇=∫Sp1

Sp n

ASp⋅xSp xdx≈12∑Sp1

Spn

ASp i⋅xSpi

ASp i1⋅x Spi1 x i1− xi

mit: Sp1 als erstem benetzten Spant Spn und als letztem benetzten Spant.

Damit ergibt sich:

XCB⋅∇=14,160m 0,000m⋅0,000 m214,160m⋅50,413m 2

2 14,160 14,160m⋅50,413 m2

28,320m⋅146,171m2 14,160 28,320m⋅146,171m2

42,480m⋅229,008m2 14,160 42,480m⋅229,763m2

70,800m⋅334,022m2 14,160 56,640m⋅292,763m2

70,800m⋅334,022m2 14,160 70,800 m⋅334,022m2

84,960m⋅357,614m2 14,160 84,960m⋅357,614m2

99,120m⋅370,758m2 14,160 99,120 m⋅370,758m2

113,280 m⋅376,436m2 14,160 113,280m⋅376,436 m2

127,440 m⋅378,845m2 14,160 127,440m⋅378,845 m2

141,600m⋅379,174m2 14,160 141,600m⋅379,174 m2

155,760 m⋅376,826m2 14,160 155,760m⋅376,826 m2

169,920 m⋅368,418m2 14,160 169,920m⋅368,418 m2

184,080m⋅350,686m2 14,160 184,080m⋅350,686 m2

198,240 m⋅318,345m2 14,160 198,240m⋅318,345 m2

212,400m⋅269,510m2 14,160 212,400m⋅269,510m2

226,560m⋅207,236m2 14,160 226,560m⋅207,236m2

240,720m⋅145,758m2 14,160 240,720m⋅145,758 m2

254,88090,550m2

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14,160 254,880 m⋅99,550m 2269,040 m⋅50,249 m2

14,160 269,040 m⋅50,249 m2283,200 m⋅33,920 m2

2 XCB ∇=9858210,112 m4

Daraus folgt:

XCB=9858210,112m4

72353,9 m3 =136,249 m

Zur Berechnung von ZCB, dem Höhenschwerpunkte des Auftriebs, wird ein ähnlicher Rechenweg beschritten, wie bei der Berechnung des XCB.

Allgemein gilt:

M Sp i=z Spi

⋅ASpi≈ ∑

i=1

nSp −112

zi1−z i yi⋅z i y i1⋅zi1

ZCB⋅∇≈ ∑i=1

n Sp−1

xi1−xi M SpiM Spi1

ZCB=ZCB⋅∇

In der folgenden Tabelle befindet sich in der Spalte rechts außen das Ergebnis des 1. statischen Momentes. Da die Flächen der Entwurfsspanten und deren Schwerpunkte gegeben waren, berechnet sich das statische Moment aus dem Produkt dieser beiden Größen.

x ZCBSp in m ASp in m² ZCBSp* ASp in m³

0 0 0 0

14,16 8,913 50,413 449,331

28,32 8,229 146,171 1202,841

42,48 7,618 229,008 1744,583

56,64 7,031 292,763 2058,417

70,80 6,631 334,022 2214,899

84,96 6,354 357,614 2272,279

99,12 6,201 370,758 2299,070

113,28 6,133 376,436 2308,682

127,44 6,102 378,845 2311,712

141,60 6,098 379,174 2312,203

155,76 6,128 376,826 2309,189

169,92 6,224 368,418 2293,034

184,08 6,391 350,686 2241,234

198,24 6,636 318,345 2112,537

212,40 6,893 269,510 1857,732

226,56 7,144 207,236 1480,494

240,72 7,307 145,758 1065,054

254,88 7,213 90,55 653,137

269,04 6,792 50,249 341,291

283,20 6,434 33,920 218,241

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Die Trapezregel mit der Vereinfachung für äquidistante Stützstellen findet wieder Anwendung:

ZCB⋅∇=14,160m⋅ 0m3

2449,331m3

1202,840 m31744,583m3

2058,417m314,160 2214,899m3

2272,279m32299,070m3

2308,682m3 14,160 2311,712m3

2312,203m32309,189m3

2293,034m3 14,160 2241,234m3

2112,537m31857,732 m3

1480,494m3

14,160 1065,054m3653,137 m3

341,291 m3

218,241m3

2 ZCB⋅∇=476297,647 m4

Um ZCB zu erhalten, muss nun noch der Ausdruck ZCB⋅∇ durch das Volumen, welches bereits weiter oben berechnet wurde, dividiert werden.

ZCB=ZCB⋅∇

∇=

476297,647 m4

72353,9 m3

ZCB=6,583 m

Antworten auf „Ein paar kleine Fragen“:

1. Die Kurve, die entsteht, wenn man die Spantflächen über der Schiffslänge abträgt, heißt „Spantarealkurve“ oder englisch „Sectional Area Curve“.

2. Entwurfsspant 20, der mit dem FP (Fore Perpendicular oder deutsch VL für Vorderes Lot) zusammenfällt, ist der vorderste Spant. Da es sich um einen modernen Entwurf eines Containerschiffes handelt, das zudem keine Eisklasse hat, ist davon auszugehen, dass das Schiff mit einem Wulstbug ausgestattet ist. Dieser liegt vor dem FP und wird somit bei der Volumenberechnung nicht berücksichtigt.

3. Ein Schiff darf maximal 294m lang und 32,30m breit sein, damit es noch in den Panama-Kanal einfahren darf.

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11.Segelschiff in NegativformDas Segelschiff schwimmt in der Nagativform durch die dünne Wasserschicht bei dem Tiefgang, auf dem es auch in einem offenen Gewässer geschwommen wäre.Das Segelschiff schwimmt durch die hydrostatischen Kräfte, die auf den Rumpf wirken. Dabei es nicht entscheidend, ob das Schiff von einem Ozean oder nur von einer dünnen Wasserschicht umgeben wird. Wird die Wasserschicht zu dünn, treten Kapilarkräfte stärker hervor, die aber bei dieser Betrachtung keine Rolle spielen sollen.Das mechanische Grundprinzip „actio=reactio“ gilt auch in diesem Falle: Die Kräfte, die auf den Rumpf wirken, haben ihre Entsprechung in Kräften, die auf gleicher Wirkungslinie, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Somit wird die Gesamtkraft, die zum Schwimmen des Schiffes notwendig ist, in gleicher Größe an die Negativform weitergegeben.

12.PantokareneEine Pantokarene w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie der Auftriebskraft bei vorgegebener Krängung .

13.Klausuraufgabe vom 30.07.2004Zu Frage 1:

Der Ponton befindet sich in einer Gleichgewichtslage, es muss also der Aufrichthebel gleich dem Krängungshebel sein.Der Aufrichthebel ergibt sich aus der Pantokarene beim Krängungswinkel zu

w=YCB⋅cosZCB⋅sin

was gleich dem Krängungshebel

YCG⋅cosZCG⋅sin

sein muss. Man muss also die Koordinaten des Verdrängungsschwerpunktes der Gleichgewichtslage berechnen. Der Tiefgang auf der Steuerbordseite beträgt 10m, auf der Backbordseite 0m, d.h. der Boden taucht gerade aus. Der getauchte Spantquerschnitt ist also nur ein Dreieck. Da die Breite des Pontons 15m beträgt, ergibt sich für den Krängungswinkel

=atan1015

bzw. =33,7°

Damit ist klar, dass man nicht mit den Vereinfachungen für kleine Neigungen rechnen darf. Die Lage des Verdrängungsschwerpunktes ergibt sich für ein

Dreieck einfach auf 13

bzw.23

der jeweiligen Seite. Daraus folgt

ZCB=1over 3⋅10m=3,333 ma.BL (a.BL heißt above Base Line, über Basis)

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analog gilt für

YCB=2over 3⋅15 m−B2

=2,500 m f.CL (f.CL heißt from Center Line)

auf Steuerbordseite.

Damit ergibt sich die Pantokarene w mit der berechneten Lage von YCB und ZCB für =33,7° zu w=3,929 m .

Da die Höhenlage des Schwerpunktes stimmen soll, zieht man davon ZCG⋅sin ab und erhält damit einen (Rest-)Hebel von 0,154m, der gleich YCG⋅cos sein muss, woraus man dann ein YCG von 0,189m aus Mitte

Schiff erhält.

Aufrichtender Hebel=Krängender Hebel

YCB⋅cosZCB⋅sin=YCG⋅cosZCG⋅sin

3,929 m=YCG⋅cosZCG⋅sin

3,929 m=YCG⋅cos33,7°6,800 m⋅sin 33,7°

YCG=0,189 m

Zu Frage 2:

Der kleinste Freibord ist erdfest anzugeben. Er ergibt sich zu

Seitenhöhe−Tiefgang cos .

Der kleinste Freibord ist auf der Steuerbordseite, dort ist der Tiefgang 10m, und mit =33,7° und einer Seitenhöhe von 13m erhält man einen minimalen Freibord von 2,496m.

Zu Frage 3:

Das Aufrichtmoment wäre bei einer Linearisierung über das Metazentrum

M A= GM⋅sin

Das Anfangsmetazentrum GM ergibt sich dann für die aufrechte Lage zu

GM =KM −KG=KBBM −KG .

Der Ponton muss einen mittleren Tiefgang von 5m haben. Daraus folgt

KB=2,50 m .

BM für einen Ponton ergibt sich aus

BM =I WL

∇=

LB3

12LBT=

B2

12T=3,750 m

Daraus ergibt sich ein GM von

GM =2,500 m3,750m−6,800 m=−0,550 m

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Der Ponton hat damit ein negatives Anfangs-GM, d. h. die aufrechte Lage bei =0 ist in jedem Fall instabil, selbst wenn der Massenschwerpunkt in der Mitte liegen würde. Diesen Fehler hat der Schiffbauer noch gemacht.Dass der Ponton trotz außermittigem Gewichtsschwerpunkt nach dem Stapellauf noch eine stabile Gleichgewichtslage finden kann, liegt an der Formzusatzstabilität bei größeren Neigungen. Die Ermittlung des Krängungswinkeles aus dem Anfangsmetazentrum ist in diesem Fall eben nicht eindeutig möglich – das war der Trick, weil die Annhame kleiner Neigungsänderungen a priori nicht erfüllt war.

14.Ponton in einer SchleusenkammerFür die eigene Übersicht ist es empfehlenswert, sich zunächst eine Skizze zu machen.

Der Ponton in der Schleusenkammer befindet sich in einer Gleichgewichtslage, der aufrichtende Hebel ist gleich dem krängenden Hebel. Es kommt allerdings der auf der Seite des krängenden Hebles noch der Hebel der Seilkraft hinzu.

Es gilt somit:

Aufrichtender Hebel=Krängender Hebel

YCB⋅cosZCB⋅sin =YCG⋅cosZCG⋅sinHebel Seil

Zunächst sollen die Auftriebsschwerpunkte bestimmt werden. Dazu wird die getauchte Fläche in zwei Teile zerlegt, ein Rechteck, das von der Basis bis zur Wasserlinie reicht mit seiner Steuerbordecke und einem rechtwinkligen Dreieck, das die übrige getaucht Fläche ausmacht.

Schwerpunktbestimmung für das Rechteck:

Da gilt, dass Symmetrieachsen Schwereachsen sind, ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Schwepunkt dieser Fläche. Somit ergibt sich YCBRechteck=0 und die halbe Höhe des Tiefganges

ZCB Rechteck=T2

=1,158m

2=0,579 m .

Für das Dreieck gilt wieder die Berechnung des Schwerpunktes mit der

13

/23

Aufteilung. Dazu muss aber zunächst die Schenkellänge der

Gegenkathete berechnet werden:

SGegenkath.= tan ⋅Ankathethe= tan 20° ⋅8,000 m=2,912 m

Damit folgt für das YCB und das ZCB beim Dreieck:

YCBDreieck=23⋅8,000 m−

B2

=1,333 m

ZCB Dreieck=13⋅2,912mT Steuerbordeite=2,129 m

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Nun muss der Gesamtauftriebsschwerpunkt berechnet werden, wobei allgemein gilt:

YCBGesamt=∑ y i⋅Ai

∑ Ai

und ZCBGesamt=∑ zi⋅Ai

∑ Ai

Deshalb müssen die Flächen noch berechnet werden:

ARechteck =8,000 m⋅1,158 m=9,264 m2

ADreieck=12⋅8,000 m⋅2,912 mm=11,648m

2

Damit folgt für den Gesamtschwerpunkt:

YCBGesamt=0m⋅9,264m2

1,333 m⋅11,648 m2

9,246 m211,648 m2 =0,742 m

ZCBGesamt=0,579 m⋅9,264m22,129m⋅11,648m2

9,246m211,648 m2 =1,442 m

Nun können die Zahlenwerte eingesetzt und damit der HebelSeil ausgerechnet werden:

HebelSeil=YCB⋅cosZCB⋅sin−YCG⋅cos−ZCG⋅sin

Heb.Seil=0,742m⋅cos20°1,442 m⋅sin−0m⋅cos20°

−2,400⋅sin20 °=0,37m

Da der HebelSeil nun bekannt ist, kann das krängende Moment durch das Seil berechnet werden:

M KrängendSeil=⋅g ∇⋅HebelSeil

Mit Zahlenwerten (mit SI-Einheiten!!!):

M KrSeil=1000kg

m3⋅9,81m

s2 ⋅9,246m211,648m

2⋅42m⋅0,37m=3185236 Nm

Nun muss der HebelSeil, also der Abstand zwischen Auftriebs- und Gewichtsvektor, noch auf den tatsächlichen Hebel umgerechnet werden. Der Ponton dreht um den Wasserflächenschwerpunkt. Das ist damit der erste Punkt des tatsächlichen Hebels und und der zweite Punkt ist Seite-Deck, über den das Seil geführt wird.

Der Hebel ist die Hälfte der Hypotenuse des oben berechneten Dreiecks plus dem Zwickel, der zwischen Ponton und Schleusenwand auf Höhe der Wasserlinie entsteht.

In Zahlenwerten:

Hebel tatsächlich=12⋅2,912 m

28 m

25 m−1,158 m−2,912 m ⋅sin 20

°

Hebeltatsächlich=4,575 m

Dieser Hebel muss nun nur noch durch das oben berechnete Moment geteilt

werden, um die Kraft im Seil zu erhalten: F Seil=3185236 Nm

4,575m=696,226kN

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15.Hebelarm in der GleichgewichtslageIn der Gleichgewichtslage herrscht Gleichgewicht zwischen aufrichtenden und krängenden Momenten. Deshalb muss der Hebelarm h = 0 sein.

16.MetazentrumEin Metazentrum ist der Schnittpunkt zweier benachbarter Auftriebsvektoren. Die Vektoren stehen erdfest senkrecht auf der Wasseroberfläche. Bereits durch eine infinitesimale Veränderung des Krängungswinkels können diese nicht parallel zueinander Verlaufen und müssen sich in einem Punkt, dem Metazentrum, schneiden.

17.Stabile SchwimmlageEine Schwimmlage wird dann als stabil bezeichnet, wenn an dem schwimmenden Körper Arbeit verrichtet werden muss, um ihn aus der Schwimmlage zu bewegen. Das ist der Fall, wenn der aufrichtende Hebel

h0 ist.

18.Klausuraufgabe1. Es existieren zwei Gleichgewichtsschwimmlagen. Eine bei 24° und eine

bei 25°. Jetzt müssen zwei Gleichungen für die beiden Schwimmlagen aufgestellt werden. Daraus ergeben sich aber zunächst zwei Gleichungen für vier Unbekannte. Zusätzlich muss noch ein Zusammenhang zwischen den beiden Gewichtsschwerpunkten hergestellt werden, was mit Hilfe der über Bord geworfenen Stahlrolle möglich ist.Die Gleichung für die Schwimmlage bei 24° lautet:

y b24⋅cos 24 ° zb24⋅sin 24 ° = ycg1⋅cos 24° zcg1⋅sin24 ° ⇔ 2,232 m⋅0,9145,484m⋅0,407 = 0,914⋅ycg10,407⋅zcg1

⇔ 4,272m = 0,914⋅ycg10,407⋅zcg1

Die Gleichung für die 25°-Schwimmlage ergibt sich, indem zur 24°-Schwimmlage das krängende Moment der Stahlrolle addiert wird. Das krängende Moment der Stahlrolle ist:

M KR = mRolle⋅ ycgR⋅cos zcgR⋅sin

= 12t⋅13,500 m⋅cos 25° 14,100 m⋅sin 25 ° = 12t⋅12,235 m5,959m

= 218,328 mt

Daraus folgt der krängende Hebel:

hKR=218,328 mt

24456t−12t⋅23=0,009m

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Damit ergibt sich dann die Gleichung für die 25°-Schwimmlage

yb25⋅cos 25 ° z b25⋅sin 25 ° = ycg1⋅cos 25° zcg1⋅sin 25° h Kr

⇔ 2,082 m2,347 m = 0,906⋅ycg10,423⋅z cg10,009 m⇔ 4,420 = 0,906⋅ycg10,423⋅z cg1

Aus den beiden Gleichungen lässt sich nun ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannte formulieren:

0,407⋅zcg10,914⋅ycg1=4,272 m0,423⋅z cg10,906⋅ycg1=4,420 m

Das Gleichungssystem:

0,407 0,9140,423 0,906=4,272

4,420

0,407 0,914

0,423⋅0,4070,423

0,906⋅0,4070,423 =

4,272

4,420⋅0,4070,423

0,407 0,9140,407 0,872=4,272

4,253

0,407 0,9140 0,042=4,272

0,019

Daraus folgt für ycg1 und zcg1 :

ycg1=0 ,019m

0,042=0,452 m

zcg1=4,272 m−0,914⋅0,452 m

0,407=9,481 m

2. Die Metazentrische Höhe ergibt sich, wenn man den krängenden Hebel nach der Winkeländerung (hier: 1°) ableitet:

GM =dh

d EQ

⇒0,009 m0,017

=0,529 m

3. Das krängende Moment beträgt:M KR=2⋅12 t⋅10m=240mt

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Dann ergibt sich für die Winkeländerung:

=arctanM KR

⋅GM=arctan

240mt24180 t⋅0,529m

=1,075°

Somit ist der Gesamtwinkel: =22,925 °

4. Der krängende Hebel muss gleich dem aufrichtenden Hebel sein. Für die 24°-Gleichgewichtschwimmlage ergibt sich insgesamt ein aufrichtender Hebel von:

2,232 m⋅0,9145,484m⋅0,407=4,272 m

Daraus folgt der aufzubringende krängende Hebel: h=w−KG⋅sin =4,272 m−3,856 m=0,416 m

Damit ist das Moment, das aufgebracht werden muss:M KR=0,416m⋅24456 t−23⋅12 t−1⋅12 t =10054 mt

19.Schwergutschiff mit Bordkran1. Durch das Anheben der maximalen Hebelasten beider Kräne erhöht sich

das Deplacement des Schwergutschiffes: neu = mHebelasten

= 10000 t2⋅120 t= 10240 t

Um die Krängung des Schwergutschiffes zu berechnen, fehlt noch das krängende Moment:

M KR = 2⋅120 t⋅26m−9 m2⋅55 t⋅13 m−9m

= 4520mt

Nun kann der Krängungswinkel berechnet werden:

d = arctanM Kr

neu⋅GM

= arctan4520mt

10240 t⋅3,5 m= 7,18°

Es kann die maximale Hebelast von jeweils 120t bei maximaler Auslenkung der Kräne gehoben werden.

2. Für die Lösung dieser Aufgabe müssen in einer Momentenbilanz die maximal zulässigen mit den tatsächlich vorhandenen Momenten verglichen werden.Das Moment aus dem maximalen Hebegewicht der Kräne bei voller Auslenkung berechnet sich nach:

M KRmax = 2⋅120 t⋅26m9 m2⋅55t⋅13m9m

= 10820mt

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Das maximal zulässige Moment ist hingegen:M KRzul = neu⋅GM⋅tan d

= 10420 t⋅3,5m⋅tan 7,5° = 4718mt

Stellt man nun die Momentenbilanz auf, so muss man berücksichtigen, dass das Schiff während des Ballastvorgangs tiefer taucht:

10820mt−mBall.⋅9m = 10240 tmBall.⋅3,5 m⋅tan 7,5 °mBall. = 645 t

Es müssen für diesen Be- oder Entladefall mindestens 645m³ Süßwasser oder 629m³ Sewasser gebunkert werden.

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20.Übungen zum Formkurvenblatt1. Da die Verdrängung von 80430t nicht exakt im Formkurvenblatt enthalten

ist, muss interpoliert werden. Die Massen-Differenz zwischen 12,750m und 12,800m ist vergleichsweise gering, also ist eine lineare Interpolation ausreichend.Beispielsweise kann folgender Ansatz gewählt werden:

y= y1y0− y1

x0−x1

⋅x−x1

Eingesetzt:

80430t=80657,3 t80255,3 t−80657,3t12,750 m−12,800m

⋅T−12,800 m

Daraus folgt der Tiefgang für 80430t mit:T =12,772 m

2. Generell trimmen und krängen Schiffe um den Wasserlinienflächen-schwerpunkt.Der Wasserlinienflächenschwerpunkt der Länge wird im Englischen bezeichnet als LCF – Longitudinal Center of Flotation. Im Formkurvenblatt lässt sich der LCF für die verschiedenen Tiefgänge nachschauen, hier:bei T = 11,750m entspricht einem LCF von 129,014m.

3. Das Moment, das man aufbringen muss, um das Schiff einen Meter zu vertrimmen, nennt man Einheitstrimmoment, ETM.

ETM =I wLL⋅ϱ

LPP

=

37424700m4⋅1,025

t

m3

283,200 m=135453

mtm

4. Der Verdrängungsschwerpunkt kann aus dem Formkurvenblatt für den Tiefgang direkt abgelesen werden:

LCB=136,635 m f. APTCB=−2,3E−9 m f.CLVCB=6,573 ma. BL

Anmerkung: Die Angabe für den TCB mit -2,3E-9 ist ein numerisches Problem – sie kann und sollte für Rechnung durch Null ersetzt werden.

5. Zunächst soll das trimmende Moment ausgerechnet werden, wobei LCB und aus dem Formkurvenblatt abzulesen sind:

M TR = xCG−xCB ⋅

= 134,214m−135,577m ⋅83489,2 t= −113796mt

Da der Gewichtsschwerpunkt näher am hinteren Lot ist, als der Auftriebsschwerpunkt, trimmt das Schiff nach achtern. Das trimmende Moment für einen achterlichen Trimm ist negativ.

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Zur Berechnung des Trimmwinkels gibt es zwei Möglichkeiten. Die Erste ist eine genaue Rechnung, die Zweite ist eine gut Annäherung.

Zunächst die genaue Rechnung:

GM L =I wLL

∇KB−KG

=41717515m4

83489,2 t

1,025t

m3

7,231m−17,987 m

= 501,411m

Der Trimmwinkel lässt sich dann berechnen mit:

=M TR

GM L⋅

=−113796mt

501,411 m⋅83489,2 t= −0,002718

Aus dem Winkel lässt sich die Tiefertauchung durch den Trimm am AP bestimmen:

t H = LCF⋅ tan

= 126,045 m⋅tan −0,002718m= −0,343m

Der Tiefgang am hinteren Lot ist damit:T H = T−tH

= 13,150m−−0,343m= 13,493 m

Der zweite Weg, die Annäherung, hat den Vorteil, dass er ohne die Angabe des GML auskommt. Für diesen Weg muss zunächst noch das Einheitstrimmoment bestimmt werden:

ETM =I wLL⋅ϱ

LPP

=

41717515m4⋅1,025

t

m3

283,200 m=150990

mtm

Nun kann der Trimm t berechnet werden:

t=M TR

ETM=

−113796 mt

150990mtm

=−0,754m

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Damit ergibt sich der hintere Tiefgang zu:

T H = T −LCFLPP

⋅t

= 13,150 m−126,045 m283,200 m

⋅−0,754 m

= 13,482 m

Die geringe Differenz der beiden Rechenwege von nur 11mm zeigt, dass die Annäherung sehr brauchbar ist. Es zeigt aber auch, dass der Einfluss des KG auf das Trimmen des Schiffes offensichtlich nur gering ist.

6. Als erstes muss die parallele Tiefertauchung des Schiffes berechnet werden. Dazu wird aus dem Formkurvenblatt die zu dem Tiefgang gehörige Masse abgelesen: T = 12,450m entsprechen =77857,1 t . Damit ist: neu=mCont.=77857,1 t23⋅15 t=78202,1 t

Der dazugehörige Tiefgang lautet:

78202,1 t=78255,1 t77857,1 t−78255,1 t12,450 m−12,500 m

⋅T −12,500 m

Daraus folgt der neue Tiefgang 78202,1t:T =12,493 m

Nun kann das neue XCG errechnet werden. Hier ist XCG = XCB, da das Schiff in der Ausgangslage unvertrimmt und ungekrängt ist. Die Werte können aus dem Formkurvenblatt abgelesen werden.

XCGneu =77857,1 t⋅136,229m23⋅15 t ⋅234,560 m

77857,1t 23⋅15t= 136,663 m

Die Differenz von XCB zu XCGneu ist der Hebel des trimmenden Momentes. Das trimmende Moment ergibt sich zu:

M TR = xCG−xCB ⋅

= 136,663 m−136,229 m⋅78202,1 t= 33939,7 mt

Nun muss das Wasserlinienträgheitsmoment der Länge nach interpoliert werden:

I wLL = 39391010 m4

39197037 m4−39391010 m4

12,450m−12,500 m⋅12,493m−12,500m

= 39363854m4

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Mit diesem Wasserlinienträgheitsmoment nach kann das Einheitstrimmoment bestimmt werden:

ETM =I wLL⋅ϱ

LPP

=

39363854 m4⋅1,025

t

m3

283,200 m=142472

mtm

Damit ergibt sich der Trimm zu:

t=M TR

ETM=

33939,7 mt

142472mtm

=0,238 m

Das Schiff nimmt eine ungekrängte, aber um 0,238m über den Bug vertrimmte Schwimmlage auf einem mittleren Tiefgang von 12,493m ein.

21.Mehrzweckschiff – Formkurvenblatt1. Das GM berechnet sich wie folgt:

GM =I wL

∇KB−KG

=336673 m4

45144,7 t

1,025t

m3

5,895 m−12,579m

= 0,960 m

2. Um das neue GM zu ermitteln, muss zunächst das neue bestimmt werden: neu = 45144,7 t−515t 655 t234 t

= 43740,7 t

Der neue Massenschwerpunkt berechnet sich nach:

KGneu =45144,7 t⋅12,579 m−515 t⋅8,236 m655 t⋅6,66 m234 t⋅8,323 m

43740,7 t= 12,742m

Zur Berechnung des neuen GM fehlt der Auftriebsschwerpunkt und das Wasserlinienträgheitsmoment um die x-Achse. Diese müssen interpoliert werden:

VCBneu=5,751 m5,722 m−5,751 m

43538,9 t−43805,1 t⋅43740,7 t−43805,1 t =5,744 m

I wL neu=332364 m4

331514m4−332364 m4

43538,9 t−43805,1 t⋅43740,7 t−43805,1t =332158 m4

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Schlussendlich kann das neue GM ausgerechnet werden:

GM neu =I wLneu

∇KBneu−KG neu

=332158m4

43740,7 t

1,025t

m3

5,744m−12,742m

= 0,786m

3. Drei Größen nehmen Einfluss auf das GM: BM, KB und KG. In diesem Fall besitzt die Ladung einen sehr tief liegenden Schwerpunkt, also verkleinert sie das KG. Sie hat somit einen stabilisierenden Einfluss auf die Schwimmlage ausgeübt.

4. Für das GM gilt folgender Zusammenhang:GM =BM KB−KG

Die Werte für I wL , und KB lassen sich aus dem Formkurvenblatt ablesen:

BM =I wL

=350422 m4

49511,5 t

1,025t

m3

= 7,255m

KB=6,359m

Damit folgt für KGmax:KGmax=7,255 m6,359 m−0,150m=13,434 m

22.KG-Grenzkurve mit Formkurvenblatt1. Das GM berechnet sich folgendermaßen:

GM =dhd

=dwd

−KG⋅cos =d y B⋅cos z B⋅sin

d −KG⋅cos

Da die Funktion der hier benötigten Ableitung nicht gegeben ist, muss ein Differenzenquotient gebildet werden. Dazu dienen die Formkurvenblätter für die Krängungswinkel für 0° und 1°. Es ist für diese Übung ein Genauigkeitsanspruch genügend, der die gleichen Tiefgänge für die Berechnung des KG verwendet, auch wenn das Deplacement sich um wenige Tonnen unterscheidet.Der Differenzenquotient:

GM = y B0 °⋅cos 0 ° − y B0 °⋅cos 1 ° z B0 °⋅sin 0 ° −z B1 °⋅sin1 °

0−0,01745−KG⋅cos 0 °

Damit ergibt sich dieser Ausdruck für ein GM von 0,150m und einem Tiefgang von 3,500m:

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0,150m=−0,301 m⋅cos 1 ° −1,872m⋅sin 1°

0−0,01745−KG⋅cos 0 °

Daraus folgt ein KGmax:KGmax=18,969 m

Für 6 beispielhafte Punkte ergeben sich auf diese Weise folgende Werte:T / t KGmax

3,500m 11786,6 18,969

4,500m 15783,1 16,358

5,750m 21030,1 14,630

7,250m 27708,2 13,678

8,750m 34845,0 13,371

10,500m 43805,1 13,396

2. Der Aufrichthebel berechnet sich mit der Annahme YCG = 0 zu:h= y B⋅cos z B⋅sin −KG⋅sin

Für den geforderten Hebel h = 0,200m und einem Tiefgang von 2,000m folgt dafür bei =30 ° :

0,200 m=7,362 m⋅cos 30 ° 3,722 m⋅sin 30 ° −KG⋅sin 30 ° Daraus resultiert folgendes KGmax:

KGmax=16,073 m

Für 6 beispielhafte Punkte ergeben sich auf diese Weise folgende Werte:T / t KGmax / m

2,000m 12228,4 16,073

3,000m 15921,4 15,429

4,250m 21136,7 14,807

5,500m 27003,0 14,351

7,000m 34837,6 14,021

8,750m 44170,0 13,577

3. Die KG-Grenzkurve ist bis zu einem Deplacement von fast 20000t der bordeauxfarbene Graph und ab diesem Deplacement der blaue Graph. Die KG-Grenzkurve ist der Graph mit den kleinsten KG-Werten zu einem Deplacement.

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Aufgabensammlung Hydrostatik - Lösungen

4. Die Fläche unter der Hebelarmkurve wird mit Hilfe der Trapezregel berechnet. Zur Vereinfachung wird das Integral über die Hebelarmkurve aufgeteilt und für eine gute Übersichtlichkeit wird die Trapezregel in Tabellenform angegeben.Das Integral für die Fläche unter der Hebelarmkurve:

∫0 °

30 °

h d =∫0°

30 °

w d −∫0 °

30 °

KG⋅sin d

Die Integration mittels Trapezregel in Tabellenform: /° w1w2

2/m

dA/ m°

5 0,655 3,275

5 1,971 9,855

5 3,297 16,485

5 4,626 23,130

5 5,928 29,640

5 7,101 35,505

117,890

Die Flächenangabe ist in m° und muss in mrad umgewandelt werden:

117,890 m°=117,890 m°⋅

180 °=2,058 mrad

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Damit ergibt sich:

0,055 mrad=2,058 mrad−[−KG⋅cos ]30 °0 °

=2,058 mrad KG [0,866−1]rad

Nach Umformung erhält man: KGmax = 14,948m.

5. Da die KG-Grenzkurve für =20000 t graphisch nicht eindeutig ist, muss rechnerisch nachgewiesen werden, ob die KG-Grenzkurve für den betrachteten Fall ausreichend ist. Dazu muss zunächst das Deplacement für 20000t interpoliert werden:Allgemein:

y= y1y0− y1

x0−x1

⋅x−x1

Mit einem Deplacement von 20000t und =30° :

VCB=4,497m4,613m−4,497m

20041,4 t−18972,3 t⋅20000 t−18972,3 t =4,608m

TCB=6,315 m6,180 m−6,315 m

20041,4 t−18972,3 t⋅20000 t−18972,3 t =6,185m

Nun kann das KGmax für ein Deplacement von 20000t und =30 °berechnet werden:

0,200m=6,185m⋅cos30 ° 4,608 m⋅sin 30 ° −KG⋅sin 30 ° Es folgt daraus:

KGmax=14,921 mEs hat sich mit der Rechnung gezeigt, dass die KG-Grenzkurve ausreichend niedrig verläuft und nicht für die weitere Bedingung des 30°-Flächenkriteriums abgesenkt werden muss. Denn das maximal zulässige KG aus Aufgabenteil 2 hat eine Grenzkurve erzeugt, die bei einem Deplacement 20000t einen maximalen Höhenschwerpunkt von 14,921m zulässt. Das 30°-Flächenkriterium hingegen ließe einen höheren Gewichtsschwerpunkt zu, nämlich 14,948m.

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