Aufgabensammlung Maschinendynamik - IDS · se) stellt ein schwingungsf¨ahiges System dar. Die...

Aufgabensammlung

Maschinendynamik

www.ifm.uni-hannover.de Version 1.2

II Aufgabensammlung Maschinendynamik

Inhaltsverzeichnis III

Inhaltsverzeichnis

1 1-FHG-Systeme 1

1.1 Langsschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Schwinger mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Gefuhrte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Drehschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Reihen- und Parallelschaltung von Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Reibschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.7 Ausschwingversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8 PKW-Anhanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Dynamik der starren Maschine 5

2.1 Kolbenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Gelenkmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Aufstellung der starren Maschine 6

3.1 Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Indirekte Erregung am Dampfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Direkte Erregung an der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Drehschwinger mit indirekter Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Messung von Bodenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.6 Maschinenaufstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7 Bodenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.8 Radaufhangung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.9 Nahmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 n-FHG-Systeme 11

4.1 Translationsschwingungen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Translationsschwingungen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Gekoppelte Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Torsionsschwingungen in Antriebssystemen 12

5.1 Drehschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Drehschwingungen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 Drehschwingungen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

IV Aufgabensammlung Maschinendynamik

5.4 Holzer-Tolle-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.5 Ubertragungsmatrizen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.6 Ubertragungsmatrizen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.7 Federgefesselter Dampfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.8 Motorradmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.9 Antriebssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.10 Verzweigtes Torsionsschwingungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Biegeschwingungen rotierender Wellen 17

6.1 Biegeschwingungen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2 Biegeschwingungen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.3 Kritische Drehzahlen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.4 Kritische Drehzahlen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.5 Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.6 Hohlwelle mit Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.7 Auskragende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.8 Laval-Laufer mit symmetrischen Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Biegeschwingungen massebehafteter Balken 20

7.1 Rayleigh-Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2 Drehkorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Massenausgleich und Auswuchten von Maschinen 21

8.1 Schubkurbelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2 Viergelenkgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9 Losungen 22

1 1-FHG-Systeme 1

1 1-FHG-Systeme

1.1 Langsschwinger

Ein reibungsfrei gelagerte Masse m ist uber zwei Fe-

dern mit der Umgebung verbunden.

Gegeben: m, c1, c2.

Anfangsbedingungen: x(0) = x0; x(0) = v0.

Gesucht:

a) Bewegungsdifferentialgleichung,

b) allgemeine Losung,

c) Schwingungsamplitude A,

d) Phasenverschiebung ϕ,

e) Eigenkreisfrequenz ω0,

f) Eigenfrequenz f0,

g) Schwingungsdauer T0.

Losung s. S. 22

1.2 Schwinger mit einem Freiheitsgrad

Die skizzierte Masse m ist uber eine Feder und

einen Dampfer gelagert und fuhrt Schwingungen in

x-Richtung aus.

Gegeben: m, c, b.

Gesucht:

a) Bewegungsgleichung,

b) allgemeine Losung (b = 0),

1) Ansatz: A cos ωt + B sin ωt

2) Ansatz: C cos(ωt + φ)

3) Ansatz: Zej(ωt−φ)

c) Losung fur b 6= 0.

Losung s. S. 22

2 Aufgabensammlung Maschinendynamik

1.3 Gefuhrte Bewegung

Die Skizze zeigt eine Masse m, die sich auf einer Schie-

ne reibungsfrei in y-Richtung bewegen kann. Zwei Fe-

dern c verbinden die Masse mit raumfesten Lagern.

Gegeben: a, l0 (Lange der entspannten Feder), m, c, g.

Gesucht:


b) linearisierte Differentialgleichung um die stati-

sche Ruhelage ys,

c) Losung der linearisierten Differentialgleichung

fur: y(0) = y0; y(0) = v0.

Losung s. S. 22

1.4 Drehschwinger

In der Mitte einer homogenen Welle ist eine Schwung-

masse mit der Massentragheitsmoment J befestigt.

Die Wellenabschnitte haben jeweils eine Federstei-

figkeit von ct. Ein Torsionsdampfer bt bedampft die

Drehschwingung.

Gegeben: J, ct, bt.

Gesucht:


b) Eigenkreisfrequenz ω,

c) Schwingungsdauer T ,

d) Lehrsches Dampfungsmaß D,

e) Logarithmisches Dekrement Λ.

Losung s. S. 22

1 1-FHG-Systeme 3

1.5 Reihen- und Parallelschaltung von Federn

Eine Masse m bildet mit zwei Federn und einem

Dampfer ein schwingfahiges System. Fur die Aufga-

benteile b) bis g) soll mit der Ersatzfederkonstante cg

weitergerechnet werden.

Gegeben: m, c1, c2, b.

Gesucht:

a) Ersatzfederkonstanten cg1 fur Bild 1 und cg2 fur

Bild 2,

b) Bewegungsdifferentialgleichung,

c) Losungsansatz fur b > 0,

d) Wann liegt schwache Dampfung vor?

e) Losung fur b = 0,

f) Eigenkreisfrequenz und Schwingungsdauer bei

ungedampfter Schwingung,

g) Integrationskonstanten fur x(0) = 0; x(0) =

x0.

Losung s. S. 23

1.6 Reibschwinger

Ein homogener Stab mit der Lange L und der Masse

m liegt auf zwei im Gegensinn rotierenden Radern. In

Abhangigkeit der Position des Stabs sind die Reib-

krafte der Rader unterschiedlich groß, dadurch be-

ginnt der Stab zu schwingen. Ein Dampfer b bedampft

die Schwingungen des Stabs.

Gegeben: `, m, b, µ.

Gesucht:

a) Bewegungsgleichung fur |x| < `/2,

b) Welches Verhaltnis von Dampfungsfaktor b2

und Gleitreibungsfaktor µ muß vorliegen, um

die verschiedenen Bewegungsmoglichkeiten zu

realisieren?

Losung s. S. 23

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1.7 Ausschwingversuch

Im Ausschwingversuch einer freien und schwach ge-

dampften Bewegung werden die Amplituden der 2.

und 7. Schwingung (3. und 13. Halbwelle) gemessen.

Gegeben: y3 = 5 mm, y13 = 2 mm,

m = 1 kg, c = 100 N/cm.Gesucht:

a) Logarithmisches Dekrement Λ,

b) Lehrsches Dampfungsmaß D,

c) Kreisfrequenzen ω0 und ω,

d) Frequenzen f0 und f ,

e) Schwingungsdauern T0 und T ,

f) Dampfungsfaktor b.

Losung s. S. 23

1.8 PKW-Anhanger

Ein einachsiger PKW-Anhanger ( Masse m, Trag-

heitsmoment JS um die horizontale Schwerpunktach-

se) stellt ein schwingungsfahiges System dar. Die Fe-

dereigenschaften der Achsaufhangung einschließlich

der Bereifung lassen sich zu einer Federkonstanten c

zusammenfassen. Bei den auftretenden Schwingungen

soll die Anhangekupplung K als Fixpunkt betrachtet

werden.

Gegeben: `, m, JS, c.

Gesucht:

Eigenfrequenz des Systems.

Losung s. S. 23

2 Dynamik der starren Maschine 5

2 Dynamik der starren Maschine

2.1 KolbenantriebGegeben ist die vereinfachte Darstellung des Starr-

korpermodells eines Kolbenantriebes:

Gegeben: r, m, J, c, F (t).

(Gravitation und Reibung werden nicht

berucksichtigt; die Feder ist bei ϕ = 0

entspannt)Gesucht:

Berechnen Sie zu der dargestellten Anord-

nung die Bewegungsgleichung bezuglich der Zu-

standsgroße x(t).

Losung s. S. 23

2.2 GelenkmechanismusDer skizzierte Gelenkmechanismus besteht aus zwei

Staben (Lange `, Masse m) und einer Feder (Feder-

konstante c). Fur ϕ = 0 ist die Feder entspannt.

Gegeben: `, m, c.

Gesucht:

a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?

b) Bewegungsgleichung.

Losung s. S. 24

2.3 Bewegungsgleichungen

Das skizzierte Viergelenkgetriebe besteht aus vier

Korpern. Das Koppelglied 3, welche die Antriebsbe-

wegung vom Korper 2 auf das Getriebeglied 4 uber-

tragt, soll als masselos angesehen werden.

Gegeben: `, `3, `4, r, m2, m4, J2, JS4, M2,

`3 >> r, `4 >> h.Gesucht:

a) Bewegungsgleichung nach Newton–Euler,

b) Bewegungsgleichung nach Lagrange (2. Art).

Losung s. S. 24

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3 Aufstellung der starren Maschine

3.1 Federkrafterregung

Einige Maschinen lassen sich auf einfache mechani-

sche Modelle reduzieren. Die skizzierte Anordnung

konnte einen Lastenaufzug modellieren. Der Einmas-

senschwinger wird durch die harmonische Bewegung

des Federaufhangepunktes xF = x sin Ωt erregt. Ein

Dampfer b dampft die Schwingungen.

Gegeben: m, c, b, x, Ω.

Gesucht:

a) Schwingungsdifferentialgleichung,

b) allgemeine Losung der Differentialgleichung,

c) stationare Losung,

d) Vergroßerungsfunktion V (η, D).

Losung s. S. 24

3.2 Indirekte Erregung am Dampfer

Der nebenstehende Einmassenschwiger wird uber

einen Dampfer b erregt. Die Erregerfunktion ist har-

monisch und hat die Form xD = x sin Ωt.

Gegeben: m, c, b, x, Ω.

Gesucht:


b) Allgemeine Losung der Differentialgleichung,

c) Stationare Losung,


Losung s. S. 24

3.3 Direkte Erregung an der Masse

Eine Werkzeugmaschine ist wie skizziert mit einem

Feder-Dampfer-System verbunden. Sie wird durch die

Kraft F (t) = F sin Ωt harmonisch erregt.

Gegeben: m, c, b, F , Ω

Gesucht:


b) stationare Losung,

c) Vergroßerungsfunktion V3(η, D).

Losung s. S. 24


3.4 Drehschwinger mit indirekter Erregung

Der dargestellt Drehschwinger wird uber einen

Dampfer erregt. Die Feder sei bei ϕ = 0 entspannt

und fur kleine Winkel ϕ soll die horizontale Verschie-

bung des Punktes G vernachlassigt werden.

Gegeben: r1, r2, J, m, ct, b, xD = x sinΩt.

Gesucht:


b) Vergroßerungsfunktion und Phasenverschie-

bung zwischen Systemerregung und -antwort

(mit Skizzen).

Losung s. S. 25

3.5 Messung von Bodenschwingungen

Ein seismischer Schwingungssensor besteht aus einem

Gehause, in dem die seismische Masse an einer Feder

und einem geschwindigkeitsproportionalen Dampfer

aufgehangt ist.

Gegeben: m, c, b, xB(t) = x cos Ωt.

Gesucht:

a) Schwingungsdifferentialgleichung der relativen

Verschiebung xg(t),

b) allgemeine Losung xg(t),

c) stationare Losung,


Losung s. S. 25


3.6 Maschinenaufstellung

Ein Elektromotor der Gesamtmasse m und einer Be-

triebsdrehzahl n ist auf einer elastischen Unterlage

montiert. Er lauft mit einer Unwucht, die einer Mas-

se mu mit einer Exzentritat e entspricht.

Gegeben: mges = 40 kg, mu = 0,7 kg,

e = 0,4 mm, n = 3000 U/min, η = 4.Gesucht:

a) Federkonstante c, so daß sich bei ungedampf-

ten Schwingngen ein Eigenkreisfrequenzverhalt-

nis von η = 4 ergibt,

b) Kraft, die im Betriebszustand auf das Funda-

ment ausgeubt wird.

Losung s. S. 25

3.7 BodenkraftEine Maschine ist mit ihrem Fundamentblock fest

verbunden und gegen den Boden federnd abgestutzt.

Die Masse von Maschine und Fundament betragt

m = 1 t. Wahrend des Laufes der Maschine treten

vertikal gerichtete harmonische Krafte F (t) mit der

Amplitude F = 1 kN und der Frequenz f = 10 Hz

auf. Unter ihrem Einfluß moge der Fundamentblock

reine Vertikalschwingungen ausfuhren.

Gegeben: m = 1 t, F = 1 kN, f = 10 Hz.

Gesucht:

a) Die Federn sind so abzustimmen, daß von den

pulsierenden Kraften im dampfungsfreien Fall

nur 5% auf den Boden ubertragen werden.

b) Der Einfluß der Dampfung auf die Amplitude

der auf den Boden ubertragenen Krafte ist fest-

zustellen.

Losung s. S. 25


3.8 Radaufhangung

Die Radaufhangung eines Fahrzeuges

soll naherungsweise wie skizziert abge-

bildet werden. Die Masse m mit dem

aquatorialen Tragheitsmoment JRad stellt

das Rad dar, die Feder c das Federbein

und der Dampfer b die Dampfung. Die

Feder cF gibt die Steifigkeit des Reifens

wieder. Der Puffer P soll das Durch-

schlagen der Federung verhindern. Die

Achse kann als starr und masselos an-

gesehen werden. Diese Anordnung fahrt

uber eine unebene Straße, was der Anregung uF(t) entspricht. Es werden nur kleine Winkel-

ausschlage ϕ betrachtet.

Gegeben: `1 = 0, 4 m, `2 = 0, 5 m, `3 = 0, 6 m, `4 = 0, 7 m, h = 9 cm, m = 20 kg,

JRad = 5 kgm2, c = 1000 N/m, cF = 250 N/m, b = 40 Ns/m,

Anregung: uF(t) = uF sin Ωt, uF = 7 cm.Gesucht:

a) Gesamttragheitsmoment der Anordnung um den Drehpunkt.

b) Bewegungsdifferentialgleichung; Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz ω0 im ungedampf-

ten Fall?

c) In welchem Anregungsfrequenzbereich [η1 = Ω1

ω0, η2 = Ω2

ω0] kommt es im eingeschwun-

genen Zustand zum Anschlagen an den Puffer P? Betrachten Sie den gedampften Fall.

(Es ist fur die Rechnung nicht notwendig, dimensionslose Großen einzufuhren. Setzen

Sie die Zahlenwerte erst am Ende der Rechnung ein.) Interpretieren Sie das Ergebnis

kurz (Handskizze und 1 Satz).

d) Das Fahrzeug soll vorzugsweise im kopfsteingepflasterten Kern einer alten Stadt zum

Einsatz kommen. Die Anregungsfrequenz durch das Kopfsteinpflaster liegt bei etwa

2ω0. Um kleinere Achsausschlage zu erreichen, soll die Dampfung verandert werden.

Erlautern Sie anhand eines Diagramms qualitativ die Wahl der Dampfung.

Losung s. S. 25


3.9 Nahmaschine

Eine Haushaltsnahmaschine soll elastisch aufgestellt

werden, um Schwingungs- und Korperschallubertra-

gung zu vermindern. Dafur werden geeignete Feder-

konstante c fur die Schwingungsisolation benotigt.

Hauptsachlicher Schwingungserreger ist das nicht

maßstablich dargestellte Nadelgetriebe. Die Erre-

gung darf fur die Berechnung mit zwei harmonischen

Schwingungen angenahert werden.

Gegeben: m = 18 kg, m4 = 0, 05 kg, `2 = 17 mm,

`3 = 40 mm, `4 = 55 mm, `5 = 160 mm,

`8 = 220 mm, `7 = 120 mm, J = 0, 18 kgm2,

n = 1000 min−1 (φ2 = Ωt) Nenndrehzahl.Gesucht:

a) Bewegungsgleichungen fur die Nahmaschine in

Matrizenform,

b) Berechnung der Eigenkreifrequenzen ω1, ω2,

c) Federkonstante c so, daß Ω2 = (ω21 + ω2

2)/2,

d) Erregerkraft durch Nadelstangenantrieb,

e) Effektivwert der Schwingungsbeschleunigung

am Punkt H (dazu Losung der inhomogenen

Dg.l notig),

f) Skizze fur die Grund- und Oberschwingung.

Losung s. S. 25

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4 n-FHG-Systeme 11

4 n-FHG-Systeme

4.1 Translationsschwingungen 1

Die Prallwand eines Crashversuchsstandes ist durch

die dargestellte Feder-Masse kombination idealisiert.

Gegeben: m, c.

Gesucht:

a) Bewegungsdifferentialgleichungen,

b) charakteristische Gleichung,

c) Eigenkreisfrequenzen ω1, ω2,

d) Eigenvektoren v1, v2,

e) allgemeine Losung des Differentialgleichungssy-

stems x1(t), x2(t),

f) Skizze fur die Grund- und Oberschwingung.

Losung s. S. 26


Bei dem skizzierten Zweifreiheitsgradschwingers sind

die zwei gleiche Massen m mit insgesamt vier Federn

c an den Wanden bzw. miteinander gekoppelt.

Gegeben: m, c.

Gesucht:




d) Eigenvektoren v1, v2.

Losung s. S. 26

4.3 Tilgung

Die Schwingungen eines Karusselunterbaus sollen

durch einen Tilger vermindert werden. Der skizzierte

Unterbau hat die Masse m. Der Tilger hat die Masse

m/a. Eine sinusformige Kraft F (t) = F ejΩt greift mit

der Frequenz Ω =√

4cm

an dem Unterbau an.

Gegeben: m, c, b, F (t) = F ejΩt.

Gesucht:

a) Bewegungsgleichung in Matrizenform.

b) Wie groß muß a gewahlt werden, damit die Am-

plitude von x1 minimal wird?

Losung s. S. 26


4.4 Gekoppelte Massen

Zwei Fahrzeuge (Massen m1 und m2), die federnd ge-

koppelt sind (Federkonstante c) rollen auf einer Hori-

zontalen mit der Geschwindigkeit v0. Zum Zeitpunkt

t = 0 wird auf das vordere Fahrzeug die konstante

Bremskraft R aufgebracht.

Gegeben: m1, m2, c, R, v0.

Gesucht:

a) Differentialgleichung fur die Relativbewegung

(t > 0),

b) maximale Federkraft Fmax,

c) Verlauf der Relativgeschwindigkeit und relati-

ven

Verschiebung (Skizze).

Losung s. S. 27

5 Torsionsschwingungen in Antriebssystemen

5.1 Drehschwinger

Das Gehause eines Deckenventilators (Dicke H und

Radius R) ist an einer Stange (Lange `, Torsions-

widerstandsmoment GIp) aufgehangt und neigt zu

Schwingungen.

Gegeben: `, R, H, %, GIp = konst..

Gesucht:

a) Torsionssteifigkeit cϕ,

b) Massentragheitsmoment J der Scheibe,

c) Bewegungsdifferentialgleichung,

d) Eigenkreisfrequenz ω0, Eigenfrequenz f0,

Schwingungsdauer T0,

e) Losung der Differentialgleichung fur:

ϕ(0) = ϕ0; ϕ(0) = ϕ0.

Losung s. S. 27

H

GIP

R

’

‘


5.2 Drehschwingungen 1

Bei einem Doppelruhrwerk treten vermehrt Torsions-

schwingungen bei bestimmten Frequenzen auf.

Gegeben: J, ct (Welle: `, G, Durchmesser D)

Gesucht:




d) Eigenvektoren v1, v2,

e) Berechnung von ct und Ip fur kreiszylindrische

Wellen.

Losung s. S. 27


Ein Torsionsschwinger besteht aus drei Massen, die

durch eine elastische Welle miteinander verbunden

sind. Die Massentragheit der Massen kann variiert

werden.

Gegeben: J, c1 = c2 = c.

a) J1 = J3 = J, J2 = 2J,

b) J1 = J2 = J, J3 = 2J

c) Die Scheibe 1 ist jetzt festgesetzt (ϕ1 = 0). Wei-

terhin gilt J2 = J, J3 = 2J.

Gesucht:

Charakteristische Gleichung, ω2i ,

Losung fur die Falle a) bis c), fur Aufgabenteil

a) sollen außerdem die Eigenvektoren v1, v2, v3

berechnet werden.

Losung s. S. 27

5.4 Holzer-Tolle-Verfahren

Fur das in Aufgabe 5.3 a) gegebene System sollen

mittels des Holzer-Tolle-Verfahrens alle Eigenkreisfre-

quenzen berechnet werden.

Gegeben: J1 = J2 = 0, 014 Nms2, J3 = 0, 028 Nms2,

c1 = c2 = 0, 5 Nm.Gesucht:

Eigenkreisfrequenzen

Losung s. S. 28


5.5 Ubertragungsmatrizen 1

Das Bewegungsverhalten des skizzierten Antriebes

mit Schwungmasse J1 und Kupplung J2 soll unter-

sucht werden.

Gegeben: J1 = 5J, J2 = 3J, J,

c0 = c, c1 = 2c, c2 = c, c.Gesucht:

Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenzen des

skizzierten Systems mit Hilfe des Ubertragungs-

matrizenverfahrens!

Losung s. S. 28

5.6 Ubertragungsmatrizen 2

Fur das in 5.3 a) gegebene System sollen mittels

des Ubertragungsmatrizenverfahrens alle Eigenkreis-

frequenzen berechnet werden.

Gegeben: J1 = J2 = J, J3 = 2J, J,

c1 = c2 = c, c.Gesucht:

Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenzen des

skizzierten Systems mit Hilfe des Ubertragungs-

matrizenverfahrens!

Losung s. S. 28

5.7 Federgefesselter Dampfer

Das skizzierte Modell zeigt ein System bestehend aus

einem federgefesseltem Dampfer und einem Torsions-

schwinger.

Gegeben: J1, J2, c1, c2, b, M = M cos Ωt.

Gesucht:

a) Bewegungsdifferentialgleichung in Matrizen-

form,

b) Losung des Differentialgleichungssystems.

Losung s. S. 28

c c

JJ

M

b

1 2

12


5.8 MotorradmotorDie Skizze zeigt das Berechnungsmodell eines Trieb-

werks eines Motorradmotors. Der Motor arbeitet im

2-Takt-Verfahren. Es liegt eine periodische Erregung

mit 4 Harmonischen vor:

Gegeben: M =∑4

x=1 Mxsin(xΩt + αx)

J1 = 1, 027 · 10−2 kgm2; c1 = 25, 90 · 103 Nm

J2 = 0, 835 · 10−2 kgm2; c2 = 20, 60 · 103 Nm

J3 = 0, 079 · 10−2 kgm2; b = 6 Nms

M1 = 53, 17 Nm; M2 = 43, 65 Nm

M3 = 24, 53 Nm; M4 = 20, 21 Nm

Drehzahlbereich:

nmin = 5000 1/min; nmax = 15000 1/min.Gesucht:

Momentamplituden im Resonanzfall

Losung s. S. 29

5.9 Antriebssystem

Fur das skizzierte Modell eines Antriebssystems

wurde in der Welle mit der Federkonstanten c1

die Eigenkreisfrequenz ω =√

c/J und ein Moment

M1 = M1sin√

c/Jt gemessen.

Gegeben: J1 = J3 = J4 = J ′2 = J ; J ′′

2 = 3/4J ,

r′2 = 4r; r′2 = 2r; c1 = c3 = 2c; c2 = c.

Gesucht:

Der Ausschlag der Drehmasse mit dem Trag-

heitsmoment J3 bei dieser Resonanzschwin-

gung.

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0 1 2343 5

64798;: <

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A

B C

D

E F


5.10 Verzweigtes Torsionsschwingungssystem

Skizziert sind ein verzweigtes Torsionsschwin-

gungssystem (a) und seine Abbildung auf eine

Bilderwelle (b).

Gegeben: Massentragheitsmomente Ji,

Ubersetzungsverhaltnisse i,

Torsionssteifigkeiten c rmi,

Zahnrader r1,.., r4 massebehaftet,

Getriebe r5, r6 masselos.Gesucht:

a) Massenmatrix des Gesamtsystems,

b) Steifigkeitsmatix des Gesamtsystems.

Losung s. S. 29

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34

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B

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R

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V

W

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bcde

fghjilkm

nporqstu

v

w

x

y

z

|

~

p

¡£¢


6 Biegeschwingungen rotierender Wellen

6.1 Biegeschwingungen 1

Die Biegeschwingungen der Zwischenwelle eines zwei-

stufigen Ubersetzungsgetriebes werden anhand des

skizzierten Systems analysiert. Die beiden Zahnrader

werden durch Massen m1 und m2 modelliert.

Gegeben: a, m1 = m2 = m, EIyy = konstant.

Gesucht:

a) Einflußzahlen αik,

b) Eigenkreisfrequenzen ωi,

c) allgemeine Losung.

Losung s. S. 29


Eine zweiseitig gelagerte Welle tragt zwei Massen. Be-

rechnen Sie die Bigeschwingungen!

Gegeben: a, m1 = m2 = m, EIyy = konstant.

Gesucht:

a) Einflußzahlen αik,

b) Eigenkreisfrequenzen ωi,

c) allgemeine Losung.

Losung s. S. 29

6.3 Kritische Drehzahlen 1Die Welle des Elektromotors tragt den Anker und

ist zweiseitig gelagert. Ankermasse und Elastizitat

der Welle bestimmen die kritische Drehzahl, bei wel-

cher die Welle unzulassiger Biegebeanspruchung aus-

gesetzt sein kann. Die Nenndrehzahl des Motors darf

nicht im Bereich der kritischen Drehzahl (0, 5 ... 2)nk

liegen. Die Dimensionierung des Motors ist zu uber-

prufen.

Gegeben: ` = 12 cm, m = 1 kg (Anker+Kollektor),

d = 4 mm, E = 2, 16 · 105 Nmm−2,

n = 1200 U/min (Nenndrehzahl).Gesucht:

a) Federkonstante c der Welle,

b) kritische Drehzahl nk,

c) Verhaltnis n/nk.

Losung s. S. 30

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-/.103245476


6.4 Kritische Drehzahlen 2

Ein Motor (Masse m) ist auf einem Trager (Biege-

steifigkeit EI) mit der Profillange ` im Abstand `1

von der Einspannstelle befestigt. Der Schwerpunkt

des Ankers (Ankermasse mA) hat von der Wellenach-

se den Abstand e. Der Anker lauft mit der Drehzahl

n um.

Biegelinien statisch unbestimmter Systeme findet

man u. a. im Dubbel.

Gegeben: e, `, `1, m, mA, EI, n.

Gesucht:

a) kritische Drehzahl fur das entsprechende Profil,

b) Flachentragheitsmoment I des Profils, wenn die

Amplitude der erzwungenen Schwingung klei-

ner als 0,5 mm sein soll.

Losung s. S. 30

6.5 Stabilitat

Es ist die vereinfachte Darstellung einer Zentrifuge

gegeben (Bewegungsgleichung siehe Skript).

Gegeben: `1, `2, ε, m, Ja, Jp, c, b, Ω.

Gesucht:

a) Bewegungsgleichung.

b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Hurwitzkriteriums,

fur welche b und c des homogenen Systems sta-

biles Verhalten erreicht werden kann.

Losung s. S. 30

1

2

1

1

1


6.6 Hohlwelle mit ScheibeEine Hohlwelle mit gleichbleibenden Querschnitt

(Biegesteifigkeit EI), die in isotrop elastischen La-

gern gelagert ist, tragt im Abstand a vom linken La-

ger eine Scheibe mit der Masse m. Der Kreiseleinfluß

ist, weil die Scheibe nicht weit von der Wellenmitte

angeordnetist, gering und wird nicht berucksichtigt.

Modellieren Sie die Scheibe als Punktmasse.

Gegeben: a = 0, 6 m, ` = 1 m, m = 31, 3 kg,

c1 = 11 · 104 N/m,

c2 = 15 · 104 N/m,

EI = 26370Nm2.

Gesucht:

a) Berechnen Sie die biegekritische Drehzahl oh-

ne Berucksichtigung der Lagerelastizitat (starre

Lager).

b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz unter Be-

rucksichtigung der Lager- und der Wellenelasti-

zitat.

Losung s. S. 30

6.7 Auskragende Welle

Eine auskragende Welle (Biegesteifigkeit EI) tragt an

ihrem Ende eine Kreisscheibe (m, JA, JP, ε) und ro-

tiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω.

Gegeben: `, m, JA, JP, EI, Ω.

Gesucht:

Eigenwerte in Abhangigkeit der Winkelge-

schwindigkeit Ω.

Losung s. S. 31


6.8 Laval-Laufer mit symmetrischen Querschnitt

Ein Rotor (Durchmesser d, Lange `) ist mittig mit

einer Masse m (Unwuchtradius ε) besetzt.

Gegeben: ` = 1 m, d = 20 mm (Kreisquerschnitt),

E = 210000 N/mm2,

m = 10 kg (dunne Kreisscheibe), ε.Gesucht:

a) Federsteifigkeit der Welle,

b) statische Auslenkung.

c) Welcher Drehzahlbereich muß gesperrt werden,

wenn die erzwungene Wellenausbiegung im sta-

tionaren Zustand eine Schranke R = 2ε nicht

uberschreiten darf (ba = 0)?

Losung s. S. 31

7 Biegeschwingungen massebehafteter Balken

7.1 Rayleigh-Quotient

Ein Balken (Biegesteifigkeit EI) mit konstantem

Querschnitt von der Lange a ist einseitig eingespannt

und tragt am anderen Ende eine starre Scheibe mit

der Masse m und dem Massentragheitsmoment J .

Gegeben: R = a/2, a, m = %Aa, A, J =

mR2/4, EI, %.

Gesucht:

Mit Hilfe des Rayleighschen Quotienten ist die

erste Eigenfrequenz naherungsweise zu bestim-

men.

Losung s. S. 31

8 Massenausgleich und Auswuchten von Maschinen 21

7.2 Drehkorper

Fur den aus dem vollen gearbeiteten Drehkorper ist

die niedrigste kritische Drehzahl zu ermitteln. Die La-

ger werden starr angenommen. Es soll ein quadrati-

scher Ansatz gewahlt werden.

Gegeben: `1 = 200 mm, `2 = 400 mm, `3 = 300 mm,

d1 = 50 mm, d2 = 200 mm, d3 = 300 mm,

E = 2, 1 · 105 Nmm−2, % = 8 kgdm−3.Gesucht:

kritische Drehzahl.

Losung s. S. 32

8 Massenausgleich und Auswuchten von Maschinen

8.1 Schubkurbelgetriebe

Das zu untersuchende Schubkurbelgetriebe be-

steht unter anderem aus zwei Staben (`2, m2

bzw. `3, m3) und einem Kolben mit der Masse

m4. Die durch Punkte gekennzeichnete Schwer-

punkte der Stabe befinden sich um ξ2 bzw. ξ3

aus dem jeweiligen Lager verschoben. Berech-

nen Sie den Gesamtschwerpunkt in Abhangig-

keit von ξ2, ξ3, ϕ2 und ϕ3!

Gegeben: m2, m3, m4, `2, `3.

Gesucht:

Gesamtschwerpunkt

Losung s. S. 32

8.2 Viergelenkgetriebe

Das skizzierte Viergelenkgetriebe besteht aus

drei Korpern (`2, m2, `3, m3 bzw. `4, m4) bei

denen die Schwerpunkte nicht auf den Verbin-

dungsgeraden zwischen den Korpern liegen.

Gegeben: `1, `2, `3, `4, m2, m3, m4.

Gesucht:

Gesamtschwerpunkt

Losung s. S. 32

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0

1

243


9 Losungen

1.1 Langssschwinger

a) mx = −(c1 + c2)x bzw. x + ω20x = 0 mit ω2

0 = c1 + c2m

b) x(t) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t = Asin(ω0t− ϕ)

c) A =

√x2

0 +v2

0

ω20

d) ϕ = arctan v0x0ω0

e) ω0 =√

c1 + c2m

f) f0 = 1T0

g) T0 = 2πω0

= 2π√

mc1 + c2

1.2 Schwinger mit einem FHG

a) mx + bx + cx = 0 (Dgl 2.Ordnung, Kraftgleichung)

b) x(t) = x0 ∗ cosω0t , mit ω0 =√

cm

c) Eigenwerte λ1/2 = −D ±√

D2 − 1

Fallunterscheidung:

I. 0 ≤ D < 1 ⇒ λ1/2 = −D ± j√

1−D2

II. D = 1 ⇒ λ1/2 = −D = −1

III. D > 1 ⇒ λ1/2 = −D ±√

D2 − 1

1.3 Gefuhrte Bewegung

a) y + f(y) = 0; f(y) = 2cym

1− `0√y2 + a2

+ g

b) y = 0; y = 0; f(ys) = 0; y + f ′(ys)y = f ′(ys)ys

c) y(t) = A cos(ω0t− ϕ) + B

A =

√(y0 − ys)2 +

v20

ω20

; ω0 =√

f ′(ys); ϕ = arctan v0

ω0(y0 − ys); B = ys

1.4 Drehschwinger

a) ϕ + 2Dω0ϕ + ω20ϕ = 0 mit 2Dω0 = bt

J und ω20 = 2ct

Jb) ω = ω0

√1−D2

c) T = 2πω

d) D = bt

2√

2Jct

e) Λ = 2 ln

∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ(tn)

ϕ(tn +

T

2

)∣∣∣∣∣∣∣∣ =

2πD√1−D2

9 Losungen 23

1.5 Reihen- und Parallelschalung von Federn

a) 1cg1

= 1c1

+ 1c2

, cg1 = c1c2c1 + c2

; cg2 = c1 + c2

b) x + 2Dω0x + ω20x = 0 mit 2Dω0 = b

m und ω20 =

cgm

c) x(t) = Ceλt

d) b2√

cm< 1

e) x(t) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t

f) ω0 =√

cgm ; T0 = 2π

ω0= 2π√

cg

m

g) C1 = 0; C2 = x0ω0

1.6 Reibschwinger

a) x + 2Dω0x + ω20x = 0 mit 2Dω0 = b

m und ω20 = 2µg

`

b) D>=<

1; b2

µ>=<

8m2g`

1.7 Ausschwingversuch

a) Λ = 0, 183

b) D = 0, 0291

c) ω0 = 100 1s ; ω = 99, 96 1

sd) f0 = 15, 92 Hz; f = 15, 91 Hz

e) T0 = 62, 8 ms; T = 62, 9 ms

f) b = 5, 83 Nsm

1.8 Pkw-Anhanger

Auslenkung des Schwerpunktes: x = `ϕ

Ruckstellkraft der Feder: Fx = cx

Drallsatz um den raumfesten Punkt K: JKϕ = −cx` → (JS + m`2)ϕ + c`2ϕ = 0

Eigenkreisfrequenz: ω2 = c`2

JS + m`2

Eigenfrequenz: f = ω2π

2.1 Kolbenantrieb

Kinematische Beziehungen:

ϕ(t) = arcsin(1rx(t))

ω(t) = ddtϕ(t) = 1√

r2 − x(t)2x(t)

Lagrangefunktion: L = 12Jω(t)2 + 1

2mx(t)2 + 12cx(t)2

Bewegungsgleichung:(m + J

r2 − x(t)2

)x(t) +

Jx(t)(r2 − x(t)2

)2 x(t)2 + c x(t) = −F (t)


2.2 Gelenkmechanismus

a) 1 Freiheitsgrad

b) T = m`2ϕ2(13

+ sin2 ϕ)

U = −mg` sin ϕ + 2c`2(1− cos ϕ)2

2m`2(13

+ sin2 ϕ)ϕ + 2m`2 sin ϕ cos ϕϕ2 −mg` cos ϕ + 4c`2(1− cos ϕ) sin ϕ = 0

2.3 Bewegungsgleichungen

a) Stab: JS4ϕ4 = ΣM = F`4 cos ϕ4 −m4g`2 cos ϕ4

Scheibe: J2ϕ2 = M(t)− Fr cos ϕ2

⇒ (J2 + JS4r2

`24

)ϕ2 − JS4r2

`24

sin ϕ2 cos ϕ2ϕ22 + 1

2m4g``4

r cos ϕ2 = M(t)

b) Potentielle Energie: U = m4g`2

r`4

sinϕ2

Kinetische Energie: T = (12(J2 + JS4(r2

`24

cos2 ϕ2)ϕ22

⇒ (J2 + JS4r2

`24

)ϕ2 − JS4r2

`24

sin ϕ2 cos ϕ2ϕ22 + 1

2m4g``4

r cos ϕ2 = M(t)

3.1 Federkrafterregung

a) mx = c(xF − x)− bx; xF = x sin Ωt

x + 2Dω0x + ω20x = c

mx sin Ωt = ω20x sin Ωt mit 2Dω0 = b

m und ω20 = c

mb) x(t) = Be−Dω0t cos

(ω0

√1−D2t− α

)+ A sin(Ωt− ϕ)

B, α Integrationskonstanten

c) xSt(t) = A sin(Ωt− ϕ); A = x√(1− η2)2 + (2Dη)2

; ϕ = arctan 2Dη1− η2

d) V (η, D) = Ax = 1√

(1− η2)2 + (2Dη)2

3.2 Indirekte Erregung am Dampfer

a) mx = −cx− b(x− xD); xD = x sin Ωt

x + 2Dω0x + ω20x = 2Dω0Ωx cos Ωt mit 2Dω0 = b

m und ω20 = c

mb) x(t) = Be−Dω0t cos

(ω0

√1−D2t− α

)+ A cos(Ωt− ϕ)

B, α Integrationskonstanten

c) xSt(t) = A cos(Ωt− ϕ); A = 2Dηx√(1− η2)2 + (2Dη)2

; ϕ = arctan−1− η2

2Dη

d) V (η, D) = Ax = 2Dη√

(1− η2)2 + (2Dη)2

3.3 Direkte Erregung an Masse

a) x + 2Dω0x + ω20 x(t) = F

m sin Ωt

b) xSt(t) = Fc V1(η, D) sin(Ωt− ϕ)

c) V1(η, D) = 1√(1− η2)2 + (2Dη)2

9 Losungen 25

3.4 Drehschwinger mit indirekter Erregung

a) ϕ + 2Dω0ϕ + ω20ϕ = 2Dω0Ω

r2x cos Ωt + mgr1

J + mr21

mit 2Dωo =br2

2

J + mr21

und ω20 = ct

J + mr21

b) V (η, D) = 2Dη√(1− η2)2 + (2Dη)2

; ϕ = arctan 2Dη1− η2

3.5 Messung von Bodenschwingungen

a) xg + 2Dω0xg + ω20xg = Ω2x cos Ωt mit 2Dω0 = b

m und ω20 = c

mb) xg(t) = Be−Dω0t cos

(ω0

√1−D2t− α

)+ A cos(Ωt− ϕ)

A, B, α, ϕ Integrationskonstanten

c) xgSt(t) = A cos(Ωt− ϕ); A = xη2√

(1− η2)2 + (2Dη)2; ϕ = arctan 2Dη

1− η2

d) V (η, D) = Ax = η2√

(1− η2)2 + (2Dη)2

3.6 Maschinenaufstellung

a) c = mgesω20 = 246740 N

m

b) F = cx = ce muη2

mges|1− η2| = 1, 84 N

3.7 Bodenkraft

a) FB = F 1|1− η2| = 0, 05F

η = 4, 58; ω0 = Ωη = 13, 711

s ; c = ω20m = 188kN

mb) Mit zunehmender Dampfung wird die Bodenkraft großer.

3.8 Radaufhangung

a) J = JRad + m`24 = 14, 8 kgm2

b) Jϕ + b`22ϕ + (c`2

1 + cF `24)ϕ = cF`4u(t)

ω0 =

√c`2

1 + cF`24

J = 4, 368 1s

c) ϕp = cF`4uF(c`2

1 + cF`24

)√(1− η2)2 + (2Dη)2

≥ h`3

mit D =b`2

2

2√

(c`21 + cF`2

4) J

η1 = 0, 862; η2 = 1, 11

d) Bei η = 2 ist durch eine Erhohung der Dampfung keine wesentliche Verringerung der

Schwingungsamplitude zu erreichen.

3.9 Nahmaschine

a) myS + 2cyS + c(`7 − `8)φS = F (t)

JφS + c(`7 − `8)yS + c(`28 + `2

7)φS = (`8 − `4)F (t)

b) ω21/2 = a±

√a2 +

c2(`7 − `8)2

mJ


mit a =mc(`2

8 + `27) + 2Jc

2mJc) c = 47679, 47 N

md) F1 = 9, 321 N, F2 = 3, 961 N

e) Effektivwert der Schwingungsbeschleunigung am Punkt H dazu Losung der nichtho-

mogenen Dgl notig.

Der Losungsansatz nach Art der rechten Seite:

q = ΣAk ∗ cos(kΩt)

q = Σ− Ak ∗ kΩ ∗ sin(kΩt)

q = Σ− Ak ∗ (kΩ)2 ∗ cos(kΩt)

yH = 0, 41 ms2


a) x1 + 2cmx1 − c

mx2 = 0 x2 − cmx1 + c

mx2 = 0

b) λ4 − 3cmλ2 +

(cm

)2= 0

c) ω21 = c

2m

(3 +

√5)

; ω22 = c

2m

(3−

√5)

d) v1 =

1

1, 62

; v2 =

1

−0, 62

e) x(t) = ΣCivie

λit = C1v1 cos(ω1t− ϕ1) + C2v2 cos(ω2t− ϕ2)

Integrationskonstanten: C1, C2, ϕ1, ϕ2


a) mx1 = −cx1 − cx1 + c(x2 − x1)

mx2 = −c(x2 − x1)− cx2

b) λ4 − 5cmλ2 + 5

(cm

)2= 0

c) ω21 = c

2m

(5 +

√5)

; ω22 = c

2m

(5−

√5)

d) v1 =

1

1, 6

; v2 =

1

−0, 6

4.3 Tilgung

a) Bewegungsgleichung: m 0

0 ma

x1

x2

+

b −b

−b b

x1

x2

+

5c −c

−c c

x1

x2

=

F

0

ejΩt

b) dynamische Steifigkeitsmatrix:

S(Ω) =

−mΩ2 + jΩb + 5c −jΩb− c

−jΩb− c −mΩ2

a+ jΩb + c

erstes Element der Frequenzgangmatrix:

H11(Ω) = S22

det(S)= −Ω2m + ca + jbaΩ

m2Ω4 −mc(a + 5)Ω2 + 4c2a + j(−mb(a + 1)Ω3 + 4bcaΩ)Betrag der Auslenkung der Masse 1:

|x10| = |H11|F0 =

√(mc + 4b2)a2 − 8mca + 16mc

16mc3 + 64b2c2 F0 mit Ω =√

4cm

9 Losungen 27

Losen der Minimalbedingung:d(|x10|)

da = 0 ⇒ a = 4cmmc + 4b2

4.4 Gekoppelte Massen

a) xR + ω20xR = − R

m2mit ω2

0 =c(m1 + m2)

m1m2und xR = x2 − x1

Losung der Dgl.:

xR = − Rm2ω

20

(1− cos ω0t)

b) maximale Federkraft: Fmax = c ∗ xRmax = − 2Rm1

(m1 + m2)

c) Differentialgeschwindigkeit: x1 − x2 = xR = − Rm2ω0

sin ω0t

Differentialverschiebung: x1 − x2 = xR = − Rm2ω

20

(1− cos ω0t)

5.1 Drehschwinger

a) ct =GIp

`b) J = π

2%HR4 = m2 R2

c) ϕ + ω20ϕ = 0

d) ω0 =√

ctJ ; f0 = ω0

2π = 12π

√ctJ ; T0 = 1

f0= 2π

√Jct

e) ϕ(t) = ϕ0 cos ω0t + ϕ0ω0

sin ω0t


a) 2Jϕ1 + 2ctϕ1 − ctϕ2 = 0; Jϕ2 − ctϕ1 + ctϕ2 = 0

b) 2J2ω4 − 4ctJω2 + c2t = 0

c) ω21 = ct

J

(1− 1√

2

); ω2

2 = ctJ

(1 + 1√

2

)

d) v1 =

1√2

; v2 =

1

−√

2

e) Ip = π

32D4; ct =GIp

l = πD4G32l


a) 2J3λ6 − 6J2cλ4 + 4Jc2λ2 = 0

ω21 = 0; ω2

2 = cJ ; ω2

3 = 2cJ

v1 =

1

1

1

; v2 =

1

0

−1

; v3 =

1

−1

1

b) 2J3λ6 + 7J2cλ4 + 4Jc2λ2 = 0

ω21 = 0; ω2

2 = c4J

(7 +

√17)

; ω23 = c

4J

(7−

√17)

c) 2J2λ4 + 5Jcλ2 + c2 = 0

ω21 = c

4J

(5 +

√17)

; ω22 = c

4J

(5−

√17)


5.4 Holzer-Tolle-Verfahren

Das Losungsverfahren ist im Skript dargestellt.

ω01 = 0, ω02 = 35, 7 1s , ω03 = 71, 4 1

s

5.5 Ubertragungsmartizen 1

zL3 = F2M2F1M1F0︸︷︷︸

U

zR0 mit Fi =

1 1ci

0 1

, Mi =

1 0

−ω2Ji 1

U =

(1− ω2J2

c2

) (1− ω2J1

c1

)− ω2J1

c2

(1− ω2J2

c2

) (1c0

+ 1c1− ω2J1

c0c1

)− ω2J1

c0c2+ 1

c2(1− ω2J1

c1

)(−ω2J2)− ω2J1 −ω2J2

(1c0

+ 1c1− ω2J1

c0c1

)− ω2J1

c0+ 1

ϕL

3

ML3

=

U11 U12

U21 U22

ϕR0

MR0

ϕL

3 = U11ϕR0 + U12M

R0

Feste Einspannung: ϕR0 = 0, ϕL

3 = 0, ⇒ U12 = 0

ω21/2 =

J1(c1 + c2) + J2(c0 + c1)2J1J2

±√

J21 (c1 + c2)

2 + 2J1J2c21 + J2

2 (c0 + c1)2 − 2J1J2(c0c1 + c0c2 + c1c2)

4J21J2

2

ω21 = 0, 24 c

J , ω22 = 1, 35 c

J

5.6 Ubertragungsmartizen 2

zR3 = M3F2M2F1M1︸︷︷︸

U

zL1

U =

1− 3Jc

+ J2

c2ω2 2

c− J

c2ω2

−4Jω2 + 7J2

cω4 − 2J3

c2ω6 1− 5J

cω2 + 2J2

c2ω4

ϕR

3

MR3

=

U11 U12

U21 U22

ϕL1

ML1

Randbedingungen (freies Ende) MR

3 = ML1 = 0, ⇒ U21 = 0

ω21 = 0; ω2

2 = c4J

(7 +

√17)

; ω23 = c

4J

(7−

√17)

5.7 Federgefesselter Dampfer

a) M =

J1 0

0 J2

; C =

c2 −c2

−c2 c1 + c2

; B =

b −b

−b b

; F =

0

MejΩt

komplexe Amplitude: ϕ2 =

M(c2 − J1Ω2 + jbΩ)

(c1 − J2Ω2)(c2 − J1Ω

2)− c2J1Ω2 + jbΩ(c1 − J2Ω

2 − J1Ω2)

9 Losungen 29

5.8 Motorradmotor

ω21 = 5, 294 · 106 1

s2 ; ω1 = 2301 1s ; ne1 = 21984 1

min

ω22 = 28, 872 · 106 1

s2 ; ω2 = 5373 1s ; ne2 = 51337 1

minDie elastischen Momente betragen:

M12 = Mxbωi

c1[(ϕ1

ϕ2)i − 1]

M23 = Mxbωi

c2[1− ( ϕ3

ϕ2)i]

Es gilt: ( ϕ1

ϕ2)1 = −0, 91; ( ϕ3

ϕ2)1 = 1, 26; ( ϕ1

ϕ2)2 = −0, 09; ( ϕ3

ϕ2)2 = −9, 3

5.9 Antriebssystem

ϕ0 = M1c ; ϕ5 = ϕ0

2 ; ϕ5 = M12c

5.10 Verzweigtes Torsionsschwingungssystem

a) M =

J1 0 0 0 0

0 J2 0 0 0

0 0 J3 0 0

0 0 0 J4 0

0 0 0 0 J5

;

b) C =

c1 −c1 0 0 0

−c1 ∗ i13c3 i12c4 i14i56c56

0 i13c3 c3 0 0

0 i12c3 0 c4 0

0 i14i56c56 0 0 c56

= c1 + i13c3 + i212c4 + i214i

256c56


a) α11 = α22 = 49

a3

EIyy; α12 = α21 = 7

18a3

EIyy

b) ω21 = 18

EIyy

ma3 ; ω22 = 6

5EIyy

ma3

c) y(t) = C1

1

−1

cos

(√18

EIyy

ma3 t + α1

)+ C2

1

1

cos

(√65

EIyy

ma3 t + α2

)


a) α11 = 16

a3

EIyy; α12 = α21 = −1

4a3

EIyy; α22 = a3

EIyy

b) ω1 = 3, 1956

√EIyy

ma3 ; ω2 = 0, 4336

√EIyy

ma3

c) y(t) = C1

1

0, 2549

cos

(3, 1956

√EIyy

ma3 t + α1

)+

+ C2

1

−3, 92

cos

(0, 4336

√EIyy

ma3 t + α2

)



a) c =48EIyy

`3

b) nk = 30π

√cm = 2622 1

minc) n

nk= 0, 46


c = 12EI`3

`31(`− `1)

2(4`− `1); My + cy = mAω2e cos ωt; ω = nπ

30 ; M = m + mA

a) ω =√

cM ; nk = 30

π

√cM ; A = emAω2

|c−Mω2| ≤ 0, 5

b) I ≤(ω2M − emAω2

0, 5mm

)`31(`− `1)

2(4`− `1)12E`3

oder

I ≥(ω2M + emAω2

0, 5mm

)`31(`− `1)

2(4`− `1)12E`3

6.5 Stabilitat

a) Bewegungsgleichung: Ja 0

0 Jp

α

β

+

d`22 JpΩ

−JpΩ d`22

α

β

+

c`22 −mg`1 0

0 c`2 + mg`1

α

β

= 0

b) Charakteristische Gleichung:

λ4 +2L2

2dJa

λ3 +L4

2d2 + 2Jaκ + J2

pΩ2

J2a

λ2 +2L2

2dκJ2

a

λ + κ2

J2a

= 0

mit κ = L22k −mgL1

Nach Hurwitz:2L2

2dJa

> 0√ 2L2

2dκJ2

a

> 0 ⇒ κ!> 0 (∗)

κ2

J2a

> 0√ L4

2d2 + 2Jaκ + J2

pΩ2

J2a

> 0√

wegen (∗)

r1r2 − r3r0 = ... = L42d

2 + 2Jaκ + J2pΩ2 > 0

√wegen (∗)

r1r2r3 − r0r23 − r4r

21 = ... = L4

2d2 + J2

pΩ2 > 0√

wegen (∗)Laut Hurwitz-Kriterium ist das System fur beliebige d > 0 und κ > 0 stabil.

6.6 Hohlwelle mit Scheibe

a) c0 = 3EI `a2b2 = 13744 N

cm; ωkr =√

cm

= 209, 45 1s ; nkr = 2000 1

minb) Hinweis: Die Durchsenkung der Scheibe f laßt sich mit Hilfe einer Gradengleichung

ermitteln:

q1 = b∗Fc1l

, q2 = a∗Fc2l

qA = q1 + q2−q1

la = F

(b2

c1l2a2

c2l2

), qB = Fa2b2

3EIl

cLagerung = FqA

= 259 kN/m , cBiegung = FqB

= 1373 kN/m1

cges= 1

cL+ 1

cB, cges = 218 kN/m

nkr = 797 1/min , ωkr =√

cm

= 83, 45 1/s

q1 q2

qA

qB

9 Losungen 31

6.7 Auskragende Wellem 0 0 0

0 JA 0 0

0 0 m 0

0 0 0 JP

xs +

0 0 0 0

0 0 0 −JPΩ

0 0 0 0

0 JPΩ 0 0

xs +EI`3

12 6` 0 0

6` 4`2 0 0

0 0 12 −6`

0 0 −6` 4`2

xw = 0

Berechnung des charakteristischen Polynoms

Ansatz:

rw

ϕw

=

rw

ϕw

ejωt

⇒ mJAω4 −mJPΩω3 − (12EI`3 JA + 4EI

` m)ω2 + 12EI`3 JPΩω + 12

(EI)2

`4 = 0

Sonderfalle:

1. Ω = 0 (keine Kreiselwirkung)

ω21/2 = 2EI

JAm`3 [3JA + m`2 ±√

9J2A + 3JAm`2 + (m`2)2]

2. Ω = ω (Eigenfrequenz wird durch Unwucht angeregt

ω21/2 = 2EI

(JA − JP)m`3 [3(JA − JP) + m`2 ±√

9(JA − JP)2 + 3(JA − JP)m`2 + (m`2)2]

6.8 Laval-Laufer mit sym. Querschnitt

a) c = 48EI`3 = 79, 168 N

mm mit I = πd4

64

b) x = Fc = 1, 23 mm

c) Bewegungsgleichungen

zw + bamzw + c

mzw = εϕsinϕ + εϕ2cosϕ

yw + bamyw + c

myw = −εϕcosϕ + εϕ2sinϕ

rw = εη2

|1− η2| < R

⇒ unterkritisch η <

√R

R + ε =

√23 ⇒ uberkritisch η >

√R

R− ε =√

2

7.1 Rayleigh-Quotient

Fur eine grobe Naherung genugt als zulassige Funktion Z = z2. Diese erfullt die kine-

matischen Randbedingungen Z ′(0) = Z(0) = 0.

U(Z) = 12

a∫0

EI Z ′′2 dz = 2EIa

T (Z) = 12

a∫0

%AZ2 dz + 12m[Z(a)]2 + 1

2J [Z ′(a)]2 = 2940%Aa5

Es ergibt sich ω1 ≤√

U(Z)T (Z)

= 1, 661 1a2

√EI%A

Die ’exakte Losung’ ergibt sich dagegen zu ω1 = 1, 475 1a2

√EI%A


7.2 Drehkorper

I1 = 3, 07 · 10−7 m4, I2 = 0, 0000785 m4, I3 = 1, 18 · 10−6 m4,

A1 = 1, 96 · 10−3 m2, A2 = 0, 0314 m2, A3 = 3, 86 · 10−3 m2,

ω2 = U1 + U2 + U3T1 + T2 + T3

mit

U1 = 12

0,2∫0

EI1 w′′2 dx, U2 = 12

0,6∫0,2

EI2 w′′2 dx, U2 = 12

0,9∫0,6

EI3 w′′2 dx,

T1 = 12

0,2∫0

%A1w2 dx, T2 = 1

2

0,6∫0,2

%A2w2 dx, T3 = 1

2

0,9∫0,6

%A3w2 dx,

ωkr = 55, 4 1s ; nkr = 528 1

min

8.1 Schubkurbelgetriebe

(m2 + m3 + m4)rS = mrS2 + m3rS3 + m4rS4 mit

rS2 = ksiS2ejφ2 ; rS3 = `2e

jφ2 + ksiS3e−jφ3 ; rS4 = `2e

jφ2 + `3e−jφ3

Hinweis: Die Losung diser Aufgabe ist ausfuhrlich im Vorlesungsskript dargestellt.

8.2 Viergelenkgetriebe

rS2 = (ksiS2 + jηS2)ejφ2 = xS2 + jyS2

rS3 = `2ejφ2 + (ksiS3 + jηS3)ejφ3

rS4 = `1 + (ksiS4 + jηS4)ejφ4

Zwangsbedingung: `2ejφ2 + `3e

jφ3 = `1 + `4ejφ4

Zeiger zum Gesamtschwerpunkt: rS = m2rS2 + m2rS3 + m4rS4m2 + m3 + m4

Aufgabensammlung Maschinendynamik - IDS · se) stellt ein schwingungsf¨ahiges System dar. Die...

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