Aufgabensammlung

zum

RCL "Millikan-Versuch"

S. Gröber Technische Universität Kaiserslautern

Januar 2007

Inhaltsverzeichnis

0. Anregungen zum Unterrichtseinsatz und Versuchsdaten 3

I. Aufgaben zur Theorie 5 1. Stokes´sche Reibungskraft 5 2. Gequantelte Größen 5 3. Vorarbeiten zum Millikan-Versuch 5 4. Größenberechnungen im Millikan-Versuch 6 5. Modellexperiment zum Millikan-Versuch 6 6. Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs 6 7. Öltröpfchenwahl 7 8. Beschleunigungsphase der Öltröpfchen 8 9. Cunningham-Korrektur 8 10. R. A. Millikan 9

II. Aufgaben zum Versuchsaufbau 10 1. Versuchsaufbau RCL "Millikan-Versuch" 10 2. Beobachtung der Öltröpfchen 10 3. Erzeugung der Öltröpfchen 11 4. Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator 11 5. Millikans originaler Versuchsaufbau 12

III. Aufgaben zur Versuchsdurchführung und Versuchsauswertung 13 1. Vorbereitung der Versuchsdurchführung 13 2. Auswertung der Messdaten 13

IV. Lösungen zu I 14 - 23

V. Lösungen zu II 24 - 27

VI. Lösungen zu III 28

VII. Literatur 29

2

0. Anregungen zum Unterrichtseinsatz und Versuchsdaten

1. Anregungen zum Unterrichtseinsatz Aufgaben übernehmen im Unterricht vielfältige Funktionen und verfolgen ein breites Spektrum an Lernzielen. Die in der Aufgabensammlung nach dem klassischen Schema Theorie (I.) - Versuchsaufbau (II.) - Versuchsdurchführung und Ver-suchsauswertung (III.) eingeteilten Aufgaben liefern dazu eine inhaltliche Grundla-ge. In der Tabelle sind unter dem Aufgabenthema die Lerninhalte für einen schnellen und konkreten Überblick der Aufgaben angegeben. Unter „Unterrichtseinsatz“ sind Vorschläge zur Verwendung der Aufgaben im Unterricht zu finden:

Nr. Aufgabenthema Lerninhalte Unterrichtseinsatz

I.1 Stokes´sche Reibungskraft

Gleichförmige Bewegung unter dem Ein-fluss der Stokes´schen Reibungskraft

Vorbereitung eines eigenständigeren Arbeitens mit dem Millikan-Versuch

Einführung Stokes´sche Reibungskraft Wiederholung Bewegung mit Reibung Bilden und Überprüfen von Hypothesen

I.2 Gequantelte

Größen Unterscheidung zwischen gequantelten und kontinuierlichen Größen

Einführung des Begriffs Quantelung Vorbereitung eines eigenständigeren Arbeitens mit dem Millikan-Versuch

I.3 Vorarbeiten zum Millikan-Versuch

Problematik der Existenz und des Nach-weises der Elementarladung

Zeitliche Verortung des Millikan-Versuchs

Schülerreferat oder Lehrervortrag Lernstation eines Lernzirkels

I.4 Größenberechnungen im Millikan-Versuch

Mathematisch-physikalische Zusammen-hänge zwischen den Größen im Millikan-Versuch

Berechnung mikroskopisch kleiner Grö-ßen

Übung im Anschluss an die Theorie Lernstation eines Lernzirkels

I.5 Modellexperiment zum Millikan-Versuch

Bilden von Analogien zwischen zwei Ex-perimenten

Grenzen von Analogien

Überprüfung des qualitativen Verständ-nisses des Millikan-Versuchs

I.6 Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs

Umgang mit Gleichungssystem im physi-kalischen Kontext

Mathematische Umformungen

Differenzierung der Gruppe nach ma-thematischen Fertigkeiten

Rechenwettbewerb zwischen zwei Kurs-hälften

I.7 Öltröpfchenwahl

Abhängigkeit der Messergebnisse von den ausgewählten Öltröpfchen

Unterscheidung zwischen statistischen und analytischen Zusammenhängen

Auswertung der Millikan-Daten unter ei-nem neuem Gesichtspunkt

Lehrergelenkter Unterricht zum Theore-tisieren in der Physik

I.8 Beschleunigungsphase der Öltröpfchen

Abschätzen einer Beschleunigung bei nicht konstanten Kräften

Exakte Berechnung mit Differentialglei-chung

Aufgabe zur Anwenden gelernter Inhalte in einem neuem Kontext

I.9 Cunningham- Korrektur

Mittlere freie Weglänge und Viskosität von Gasen

Gültigkeit der Cunningham-Korrektur Grenzwert von Funktionen

Eigenständiges Aneignen neuer Lernin-halte mit entsprechenden schülergerech-ten Lernmaterialien

I.10 R. A. Millikan Millikan als Wissenschaftler, Lehrender und Privatmann

Schülerreferat oder Lehrervortrag Lernstation eines Lernzirkels

II.1 Versuchsaufbau RCL "Millikan-Versuch"

Bezeichnung und Funktion von Ver-suchsbestandteilen

Als Aufgabe bei der ersten Verwendung des RCLs

3

II.2 Beobachtung von Öltröpfchen

Unterschied zwischen Hellfeld- und Dun-kelfeldbeleuchtung

Unterschied zwischen Rayleigh- und Mie-Streuung

Streckenmessung mit Okular- und Objek-tivmikrometer

Strahlengang von Mikroskop und Teleob-jektiv

Berechnung der Datenrate eines digitalen Videos

Themenübergreifendes Arbeiten Internetrecherche mit Webquests in Gruppen

II.3 Erzeugung von Öltröpfchen

Statischer und dynamischer Druck in Flüssigkeiten, hydrodynamisches Para-doxon

Bernoulli-Gleichung Verdunstungsrate von Flüssigkeiten

Lehrervortrag mit Experiment zum hyd-rodynamischen Paradoxon

II.4 Erzeugung und Steue-rung des elektrischen

Feldes beim RCL

Berechnung der elektrischen Feldstärke Auf- und Entladen eines Kondensators

Aufgabe zur Anwendung gelernter Inhal-te in einem neuem Kontext

II.5 Millikan´s originaler Ver-suchsaufbau

Unterschiede zwischen Schulversuch und Originalversuch von Millikan

Schaltung zum Auf- und Entladen eines Kondensators

Themenübergreifendes Arbeiten

III.1 Vorbereitung der Messungen

Anlegen und Testen einer Messwerttabel-le in Excel

Beschreibung der Versuchsdurchführung Erklärung für steigende und fallende Öl-tröpfchen

Hausaufgabe zur Vorbereitung der Ver-suchsdurchführung

Überprüfung des Theorieverständnisses zum Versuch

III.2 Auswertung der Messdaten

Messwertdarstellung als Histogramm und Punktdiagramm

Fehlerrechnung für Ladung nach Fehler-fortpflanzungsgesetz

Hausaufgabe zur Vorbereitung der Ver-suchsauswertung

2. Versuchsdaten

Konstanten Dichte eines Öltröpfchens ρÖl = 1,03 g/cm3 Abstand der Kondensatorplatten d = 6 mm Dichte von Luft ρL = 1,3 kg/m3 Viskosität von Luft ηL = 1,81·10-5 Ns/m2 Elementarladung e = 1,6·10-19 C Duchmesser der Kondensatorplatten D = 8 cm Strecke eines Skalenteils im Mikroskop 1 unit ≡ 120 μm Cunningham-Konstante A = 0,864

Variablen Masse eines Öltröpfchens mÖl Radius eines Öltröpfchens r Stokes´sche Reibungskraft FR Gewichtskraft FG Elektrische Kraft FE Auftriebskraft FA Kondensatorspannung U Steigspannung US Fallspannung UF Schwebespannung USch Elektrische Feldstärke E Steigzeit tS Fallzeit tF Steiggeschwindigkeit vS Fallgeschwindigkeit vF Ladung eines Öltröpfchens Q Korrigierte Viskosität eines Öltröpfchens

ηkorr,L

4

I. Aufgaben zur Theorie

1. Stokes´sche Reibungskraft Das Video (Download auf der RCL-Webseite, Material, 2.) zeigt eine in Sonnen-blumenöl (Dichte ρÖl = 0,922 g/cm3, Zähigkeit ηÖl = 0,09 Ns/m2) fallende Glaskugel (ρGlas= 2,23 g/cm3, r = 2 mm):

a) Zeichne qualitativ ein Stroboskopbild der Glaskugelbewegung mit den wirkenden Kräften: Welche Kräfte sind während der Bewegung konstant, welche veränderlich? Erkläre, warum die Glaskugel sich kurze Zeit nach dem Loslassen mit konstanter Ge-schwindigkeit bewegt.

b) Untersuche die Bewegung der Glaskugel mit einem Videoanalyseprogramm. Zeige, dass die Bewegung der Glaskugel unter Einfluss der Stokes´schen Reibungskraft

rv= πη erfolgt und berechne alle Kräfte. RF 6

c) Wie müsste der Versuch modifiziert werden, um FR ~ v zu zeigen?

d) Wie müsste der Versuch modifiziert werden, um FR ~ r zu zeigen?

2. Gequantelte Größen Kennzeichen einer gequantelten Größe ist, dass nur noch bestimmte, diskrete Werte angenommen werden. Beispiele aus Alltag, Technik und Mathe-matik sind eine Treppe (Stufenbreite 20 cm, Stu-fenhöhe 10 cm), ein Getränkeautomat (Cola 1 €, Wasser 0,8 €, Spezi 1,3 €) in Abb. 1 und die Zah-lenfolge f(n) = 1/n (n ∈ lN):

Abb. 1: Diskret oder kontinuier-lich?

a) Gib für die Beispiele an, welche Größe gequantelt ist und stelle die Werte der Größe auf einem Zah-lenstrahl dar.

b) Wie unterscheidet sich die Quantelung bei der Treppe von den anderen Beispie-len?

c) Wie lässt sich bei der Treppe die Quantelung aufheben?

d) Nenne analog zu den drei Beispielen im einleitenden Text jeweils ein Beispiel für nicht gequantelte Größen aus Alltag, Technik und der Mathematik.

5

3. Vorarbeiten zum Millikan-Versuch Der Millikan-Versuch baut auf Vorarbeiten von Physikern seit dem 17. Jahrhundert auf: Jahr: 1903, 1881, 1909 - 1913, 1897, 1747, 1897, 1833. Physiker: H. A. Wilson, J. J. Thomson, B. Franklin, M. Faraday, R. A. Millikan, G.

J. Stoney, J. S. E. Townsend. Arbeit: Verbesserte e-Bestimmung mit Wassertropfen, Elektrolysegesetze, Be-

stimmung der spezifischen Ladung e/me, e-Bestimmung mit Öltröpfchen, Hypothese zum atomaren Charakter der Elektrizität, e-Bestimmung mit Wassertropfen, Elektrizitätsteilchen erhalten den Namen "Elektron".

a) Stelle zeitlich geordnet die Angaben in einer Tabelle zusammen.

b) Führe eine der Vorarbeiten physikalisch genauer aus.

4. Größenberechnungen im Millikan-Versuch Messungen eines Öltröpfchens (ρÖl = 1,03 g/cm3) im Okularbild eines Mikroskops ergaben beim Fallen ohne elektrisches Feld und beim Steigen mit elektrischem Feld die Steigzeit tS = 17,4 s und die Fallzeit tF = 6,8 s für 5 Skt. (1 Skt. ≡ 120 μm, Plattenabstand d = 6 mm, Luftviskosität ηL = 1,81·10-5 Ns/m2, Steigspannung US = 600 V):

a) Ermittle die Werte aller berechenbaren Größen.

5. Modellexperiment zum Millikan-Versuch Drei Komponenten eines Modellexperiments zum Millikan-Versuch sind Öl, Kugeln und Massestücke:

a) Skizziere einen Versuchsaufbau des Modellexperiments.

b) Stelle in einer Tabelle Analogien und wesentliche Unterschiede zwischen dem Milli-kan-Versuch und dem Modellexperiment zusammen.

6. Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs Vom Millikan-Versuch existieren verschiedene Versuchsvarianten, die untersucht werden sollen. Auftriebskraft und Cunningham-Korrektur werden vernachlässigt:

a) Welche Kräfte sind für die Bewegung des Öltröpfchens relevant? Notiere den vek-toriellen Zusammenhang zwischen den Kräften bei konstantem Geschwindigkeits-betrag und konstanter Geschwindigkeitsrichtung des Öltröpfchens.

b) Zur skalaren Beschreibung der Kraft- und Bewegungsrichtungen während eines ersten Bewegungszustands des Öltröpfchens (Ladung Q < 0, Geschwindigkeit v1, Radius r, Dichte ρÖl) im Luftkondensator (Plattenabstand d, Kondensatorspannung U1, Luftzähigkeit ηL) wird eine nach oben gerichtete y-Achse verwendet:

6

Notiere die skalare Kräftegleichung der Bewegung des Öltröpfchens. Welche Be-dingungen müssen U1 und v1 für Schweben, Fallen und Steigen erfüllen?

c) Warum sind zur Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens immer zwei Bewe-gungszustände des Öltröpfchens notwendig?

d) In Büchern findet man drei Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs mit Bewe-gungszustand1/Bewegungszustand2 des Öltröpfchens:

• Schweben/Fallen ohne E-Feld

• Steigen/Fallen ohne E-Feld (RCL-Variante)

• Steigen mit elektrischem Feld/Fallen mit entgegengesetztem, betragsgleichen elektrischen Feld

Leite für mindestens eine der Versuchsvarianten die Formel zur Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens her.

e) Die allgemeinste Versuchsvariante des Millikan-Versuchs ist „Steigen mit elektri-schem Feld/Fallen mit elektrischem Feld“ bei unterschiedlichen elektrischen Feld-stärken: Leite die Formel zur Bestimmung der elektrischen Ladung Q des Öltröpfchens her. Überprüfe die Formel an einem in d) berechneten Spezialfall.

f) Wie müssen die Formeln bei Berücksichtigung der Auftriebskraft und der Cunning-ham-Korrektur korrigiert werden? Zeige, dass die Auftriebskraft tatsächlich vernach-lässigt werden kann.

g) Weshalb sind Versuchsvarianten mit dem Bewegungszustand „Schweben“ für die Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens schlechter geeignet als andere Ver-suchsvarianten?

7. Öltröpfchenwahl Das Histogramm in Abb. 2 zeigt die ab-solute Häufigkeitsverteilung der Ladun-gen Q/e von 230 Öltröpfchen im Milli-kan-Versuch:

a) Weshalb streuen die Einzelhäufungen um Q = k·e mit zunehmendem k immer mehr?

b) Untersuche empirisch den Zusammen-hang zwischen der Öltröpfchenladung und der Öltröpfchengeschwindigkeit un-ter Verwendung eigenen oder des Da-tenmaterials auf der RCL-Webseite, Auswertung.

Abb. 2: Histogramm zur absoluten Häu-figkeit der Öltröpfchen mit Ladungsver-

hältnis Q/e.

c) Welchen Rat sollte man für gute Versuchsergebnisse aufgrund von a) und b) ge-ben?

7

8. Beschleunigungsphase der Öltröpfchen Unter der Gravitations- bzw. der elektrischen Kraft (Auftriebskraft wird vernachläs-sigt) beschleunigen die Öltröpfchen beim Fallen ohne oder beim Steigen mit elektri-schem Feld in Luft auf eine Endgeschwindigkeit vF oder vS:

a) Erkläre die Existenz der Endgeschwindigkeiten vF und vS.

b) Schätze die Beschleunigungszeit eines Öltröpfchens (ρÖl = 1,03 g/cm3, r = 0,8 μm, Q = 3e) beim Fallen und beim Steigen (U = 600 V, d = 6 mm, ηL = 1,81·10-5 Ns/m2) ab. Tipp: Annahme einer konstanten, beschleunigenden Kraft auf das Öltröpfchen.

c) Die Geschwindigkeit v(t) eines kugelförmigen Körpers (Radius r, Dichte ρK) beim Fallen in einem Medium (Zähigkeit η) mit v(0) = v0 = 0 ist gegeben durch

kt

K

v(t) (1 e ) kk 2r

−2

g 9η= − =

ρ:

Zeige dass v(t) Lösung der Differentialgleichung mv 6 rv(t) mg= − πη ist. &

Stelle v(t) mit den Werten aus b) graphisch dar. Ermittle die Beschleunigungszeit und erkläre den Unterschied zum Wert aus b).

d) Muss die Beschleunigungszeit bei der Ladungsbestimmung der Öltröpfchen be-rücksichtigt werden?

9. Cunningham-Korrektur Beim Millikan-Versuch muss für die Bewegung eines kugelförmigen Körpers (Radi-us r) durch Luft (dynamische Viskosität ηL, mittlere freie Weglänge λL, Cunningham-Konstante A) eine korrigierte dynamische Viskosität

Lkorr,L

L(r) A1

r

ηη =

λ+

verwendet werden: a) Was ist die mittlere freie Weglänge λ bei Gasen? Welcher Zusammenhang besteht

zur Viskosität η eines Gases?

b) Welche Voraussetzung macht eine Korrektur der Zähigkeit bei der Bewegung einer Kugel (Radius r) in einem Medium der Zähigkeit η notwendig? Vergrößert oder ver-kleinert die Korrektur die Stokes´sche Reibungskraft?

c) Stelle ηkorr/η für Luft unter Normalbedingungen (A = 0,864, η = 1,81·10-5 Ns/m2, λ = 68 nm) über dem Öltröpfchenradius graphisch dar: Welche physikalische Bedeu-tung hat η in der Formel?

8

10. R. A. Millikan R. A. Millikan war ein vielseitige und interessante Per-sönlichkeit:

Ab

a) Stelle Informationen zusammen, die Millikan entweder als Wissenschaftler, als Privatmann oder als Lehren-den beschreiben.

b. 3: Robert Andrews Milkan (1868 - 1953), aus VII.6.

-li

9

II. Aufgaben zum Versuchsaufbau

1. Versuchsaufbau des RCLs "Millikan-Versuch" Abb. 4 zeigt nummerierte Bestandteile des RCLs "Millikan-Versuch":

Abb. 4: Bilder vom Versuchsaufbau und der Webseite zur Steuerung des Experiments.

a) Lege eine Tabelle mit den Spalten Nummer, Bezeichnung und Funktion an und fül-le die Tabelle aus.

2. Beobachtung der Öltröpfchen a) Was ist der Unterschied zwischen Hellfeld-

und Dunkelfeldbeleuchtung? Welche wird beim Millikan-Versuch angewandt und wa-rum?

b) Liegt bei der Streuung des Lichts an den Öl-tröpfchen Rayleigh- oder Mie-Streuung vor? Gib jeweils ein typisches Beispiel für jede Streuungsart an.

Abb. 5: Webcam und Mikroskop zur obachtung der Öltröpfchen im RCBe L.

c) Die WebCam besitzt ein 13,5 cm Teleobjektikops beträgt 5 cm, die Okularbrennweite 2,5 cm (Abb. 5): Skizziere den Strahlen-gang zwischen einem Öltröpfchen und dem CCD-Chip der Kamera.

v,

d) Wie lassen sich Strecken im μm-Bereich mit einem Mikroskop messen?

e) Im RCL wurde die Glühlampe des Herstellers (Leybold) durch eine weiße LED er--

e Maßnahmen notwendig?

f) Welche maximale Bildrate kann bei 20-facher Kompression nach dem JPEG- (8

die Objektivbrennweite des Mikros-

setzt. Millikan stellte zwischen Bogenlampe und Kondensator ein Gefäß mit Kupferchloridlösung: Wozu waren di

Verfahren, einer Bildauflösung von 320 x 240 px und 24 bit Farbtiefe mit ISDNkB/s) und DSL 1000 (128 kB/s) übertragen werden.

10

3. Erzeugung der Öltröpfchen Im RCL wird ein Airbrush-Kompressor eingesetzt, der über ein Magnetventil einen stoßweisen Luftstrom an den Ölzerstäuber (Abb. 6) abgibt:

a) Gib einen Versuch an, der zeigt, dass in einer strömenden Flüs-sigkeit oder einem strömenden Gas der statische Druck um so kleiner ist, je größer die Geschwindigkeit der Flüssigkeit bzw. des Gases ist.

b) Erkläre qualitativ wie ein Ölzerstäuber funktioniert.

c) Welche Geschwindigkeit der Luft (ρL = 1,3 kg/m3) muss der Abrush-Kompressor an der Glasdüse (2 cm Abstand zum Öltröpcheneinlass des Kondensators) zum Zerstäuben des Öls (ρÖl = 1,03 g/cm3) mindestens erzeugen?

ir-f-

Abb. 6: Ölzer-stäuber im RCL.d) Warum wird beim Millikan-Versuch Hochvakuumöl für die Öltröpf-

chen verwendet?

4. Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator Abb. 7 zeigt das Modul, Abb. 8 die Schaltung zur Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator (Plattenabstand d = 6 mm, Plat-tendurchmesser D = 8 cm). Die Hochspan-nungsquelle (0 ≤ U ≤ 1 kV, maximaler Aus-gangsstrom IA,max = 1 mA) wird vom Computer über einen DA-Wandler, Spannungsfolger und Relais gesteuert:

Abb. 7: Modul zur Erzeugung der chspannung mit Hochspannung

quelle und Relais. a) In welchem Bereich variiert die elektrische

Feldstärke? Ho s-

b) Wie schnell wird der Kondensator auf-geladen?

c) Wozu wird das Hochspannungsrelais in der Schaltung benötigt?

Abb. 8: Schaltung zur Steuerung der Hoch-spannungsquelle.

11

5. Millikan´s originaler Versuchsaufbau Abb. 9 zeigt eine Schnitt-zeichnung von Millikans Originalapparatur:

a) Ordne in einer Tabelle die Zahlen aus Abb. 9, die Versuchsbestandteile (deutsch/englisch) und Funktionen einander zu. Versuchsbestandteile: Kammer, Wechselschal-ter, Hochspannungsquel-le, Manometer, Röntgen-röhre, Bogenlampe, Zer-stäuber, Kondensatoröff-nung, Kondensator, Isola-tion, Teleskop, Wasserzel-le, Pumpenanschluss, Ka-liumchloridzelle, Öltank, Schutzstreifen, Span-nungsmesser, Verbindungsleiste, voltmeter, arc lamp, toggle switch, connection bar, pump connections, manometer, x-ray tube, water cell, battery, atomizer, cop-per chloride cell, chamber, telescope, air capacitor, oil tank, isolator. Funktionen: Messung der Kondensatorspannung, Umpolung der Kondensatorspannung, Mes-sung des Kammerdrucks, Lichterzeugung, Veränderung der Öltröpfchenladung, Er-zeugung von Öltröpfchen, Konstanthaltung der Temperatur, Anschluss für Pumpe zur Variation des Kammerdrucks, Beobachtung der Öltröpfchen, Absorption von Wärmestrahlung, Erzeugung einer Hochspannung, Absorption von Wärmestrah-lung, Erzeugung eines homogenen elektrischen Felds, Aufladen und Entladen des Kondensators.

Abb. 9: Schnittzeichnung von Millikan’s originaler Apparatur (VII.5, S. 103).

b) Trage in die Tabelle für die Stellungen 1 und 2 des Versuchsbe-standteils 10 (Abb. 10) und die Polverbindungen von 18 die Funk-tionen ein:

Schalterstellung von 10 (1 oder 2)

Polverbindung von 18(z. B. 1-2) Funktion

Abb. 10: Vergrößerung von 10.

-

12

III. Aufgaben zur Versuchsdurchführung und Versuchsauswertung

1. Vorbereitung der Versuchsdurchführung a) Lege eine Tabelle mit den Messgrößen U, tS und tF an und berechnete in der Tabel-

le die Größen vS, vF, r, ηkorr und Q. Überprüfe die Richtigkeit der Tabelle durch eine eigene Berechnung mit einem Beispiel.

b) Schreibe eine Anleitung zur Durchführung einer Messung mit dem RCL "Millikan-Versuch".

c) Wie groß ist der vom Videobild erfasste Ausschnitt im Kondensator?

d) Nach dem Einschalten des elektrischen Feldes sieht man Öltröpfchen steigen, manche aber auch weiterhin fallen: Woran liegt das? Wie kann zwischen den bei-den Fällen beim Fallen experimentell unterschieden werden?

2. Auswertung der Messdaten a) Nenne zwei Arten der graphischen Darstellung von Messergebnissen des Millikan-

Versuchs: Welche Vor- bzw. Nachteile haben die Darstellungen?

b) Falls die Anzahl H von k = Q/e im Histogramm H(k) getrennt voneinander liegen, kann die Elementarladung e nach

1 2n nj

ii 1 j 1

QQ ...

2e = =

+

1 2n n ...

+=∑ ∑

1 2a a1 2, n 1 2f(x ,x ...,x ) C x x= ⋅ ⋅

+ +

bestimmt werden (nk ist die Anzahl der Q-Werte im Haufen k): Erläutere die Formel. Bestimme die Elementarladung aus eigenen Messungen oder aus den Daten auf der RCL-Webseite, Auswertung.

c) Gegeben ist eine von n Variablen x1, …, xn abhängige Funktion f (x1, …, xn) der Form na

n... x⋅ ⋅ . Wenn der Wert der der Variablen xi um Δxi schwankt, dann ist die Gesamtschwankung Δf des Funktionswertes f gegeben durch

2 2 2

1 2 n1 2 n 1 1 n

1 2 n

x x xf f(x ,x ,...,x ) a a ... ax x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ ΔΔ = ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2a a1 2, n 1 2f(x ,x ...,x ) C x x= ⋅ ⋅

.

Im folgenden soll der absolute Fehler ΔQ und relative Gesamtfehler ΔQ/Q der e-Bestimmung nach der im RCL verwendeten Versuchsvariante ermittelt werden. Da die Steig- und Fallgeschwindigkeiten fast gleich groß sind, kann zur Vereinfachung in der Formel zur Q-Bestimmung vS = vF = v gesetzt werden. Da v sich aus den feh-lerbehafteten Größen der Fall- bzw. Steigstrecke s und der Fall- bzw. Steigzeit t bestimmt muss v = s/t gesetzt werden:

Bringe die Formel für Q auf die Form nan... x⋅ ⋅ .

13

Lege für die Ladungsbestimmung im Millikan-Versuch die nachfolgende Tabelle an und bestimme den relativen Fehler ΔQ/Q (die Δxi müssen abgeschätzt oder Daten-blättern entnommen werden):

Größenname und Bezeichnung Einheit xi Δxi

ixxΔ

i

2

ii

xa⎛ ⎞Δ⎜ ⎟

ix⎝ ⎠

14

IV. Lösungen zu I.

1. Stokes´sche Reibungskraft a) Zum Zeitpunkt des Loslassens der Glaskugel ist v =

0. Die Kugel beginnt zu Fallen, da die Gewichtskraft FG größer als die Auftriebskraft FA ist. Die Kugel be-schleunigt solange bis durch die mit der Geschwin-digkeit zunehmende Stokes´sche Reibungskraft FR ein dynamisches Kräftegleichgewicht erreicht ist. Die resultierende Kraft F auf die Kugel ist dann Null und sie bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Ver-änderlich ist auf dieser kurzen Strecke nur die Sto-kes´sche Reibungskraft FR.

b) Wenn die Stokes´sche Reibungskraftformel richtig ist, dann stimmen experimentell bestimmte Sinkge-schwindigkeit vexp und theoretisch bestimmte Sinkge-schwindigkeit vtheo überein: Δs = 10 cm, Δt = 0,833 s liefert vexp = 12 cm/s.

2

G RF F F= + Glas ÖlA theo

Öl

2r g( ) cmv 12,69 sρ − ρ

⇒ = =η

.

Einsetzen der Werte liefert FR = 0,4 mN, FG = 0,733 mN und FA = 0,33 mN.

c) Man muss einen Satz Kugeln mit gleichem Radius, aber unterschiedlicher Dichte des Kugelmaterials verwenden und jeweils die konstante Sinkgeschwin-digkeit messen. FS kann im dynamischen Kräftegleichgewicht (v = konst.) stets nach

Abb. 11: Stroboskopbild einein Öl fallenden Glaskugel.

r

3R Glas Glas ÖlF m g r g( )

3= − π ρ − ρGlasÖl Öl

4m g (m m )g= − =

durch Messung des Kugelradius, der Kugelmasse bzw. -dichte und der Öldichte bestimmt werden. Die zweite Möglichkeit Öle mit unterschiedlichen Öldichten zu verwenden ist problematisch, da mit dem Öl in der Regel auch die Zähigkeit verän-dert wird. Außer man sucht Öle mit unterschiedlicher Dichte und gleicher Zähigkeit.

d) Bei Vergrößerung von r mit konstanter Kugeldichte nimmt v quadratisch zu. Um v konstant zu halten, muss mit zunehmendem Kugelradius r die Kugeldichte verrin-gert werden. Unter der Annahme FR ~ r gilt bei k-fachem Radius:

2 2Glas Öl

Öl

2k r g( )v

9ρ − ρ

=η

Um v konstant zu halten muss also z. B. bei k-fachem Radius die Differenz der Dichten k2-fach kleiner sein.

15

2. Gequantelte Größen a) Treppe: Treppenstufenhöhe über der Horizontalen: 20 cm, 40 cm, ...

Getränkeautomat: Getränkekosten 0,8 €, 1,0 €, 1,3 € Folge 1/n: Funktionswerte 1; 0,5; 0,25; ...

b) Die Abstände zwischen aufeinander folgenden Quantisierungsstufen sind konstant.

c) Man baut eine Rampe.

d) Alltag: Zeitdauer, um z. B. zu duschen; Technik: Geschwindigkeit eines Autos; Ma-thematik: Funktionswerte der Funktion f(x) = x mit x ∈ lR.

3. Vorarbeiten zum Millikan-Versuch a)

Jahr Physiker Entwicklungsschritt

1747 B. Franklin Hypothese zum atomaren Charakter der Elektrizität

1833 M. Faraday Elektrolysegesetze

1881 G. J. Stoney Elektrizitätsteilchen erhalten den Namen "Elektron"

1897 J. J. Thomson Bestimmung der spezifischen Ladung e/me

1897 J. S. E. Townsend e-Bestimmung mit Wassertropfen

1903 H. A. Wilson Verbesserte e-Bestimmung mit Wassertropfen

1909 - 1913 R. A. Millikan e-Bestimmung mit Öltröpfchen

b) Links zur Geschichte des Elektrons (Geprüft am 15.01.2010): • http://www.infogr.ch/roehren/ELEKTRON/Die%20Geschichte%20des%20Elektro

ns.htm • http://www.historyofelectronics.com • http://www.aip.org/history/electron • http://www.egglescliffe.org.uk/physics/particles/electron/electron.html • http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/whelect.html

4. Größenberechnungen im Millikan-Versuch a) vF = 8,82·10-5 m/s vS = 3,45·10-5 m/s

r = 0,84 μm ηL,korr = 1,69·10-5 Ns/m2 Q = 3,14·10-19 C E = 100000 V/m mÖl = 2,55·10-15 kg FG = 2,5·10-14 N FE = 3,14·10-14 N FR,F = 2,3·10-14 N FR,S = 0,923·10-14 N.

16

5. Modellexperiment zum Millikan-Versuch a) Das Modellexperiment ist eine Variante der Atwoodsche Fallmaschine mit Ge-

wichtskraft FG,m der Kugel, Gewichtskraft FG,M des Massestücks und Stokes´scher Reibungskraft FR. Im dynamischen Kräftegleichgewicht ist

Abb. 12: Modellexperiment zum Millikan-Versuch.

G,m G,M RF F F 0+ + =rr r r

Die Differenz der Gewichtskräfte ist genauso groß wie die Stokes´sche Reibungskraft.

b) Millikan-Versuch Modellexperiment

Gewichtskraft des Öltröpfchens Gewichtskraft der Kugel

Elektrische Kraft Gewichtskraft des Massestücks

Medium Luft Medium Öl

Auftriebskraft kann vernachlässigt werden

Auftriebskraft nicht vernachlässig-bar

Steigen (U > USch), Schweben (U = USch), Fallen (U < USch)

Steigen (M > m), Schweben (M = m), Fallen (M < m)

Reibungskraft FR: Nach Cunning-ham korrigierte Stokes´sche Rei-

bungskraft

Reibungskraft FR: Stokes´sche Reibungskraft für Reynoldszahl Re

<< 1

6. Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs

a) Auf das Öltröpfchen wirkt die Gewichtskraft GFr

, die elektrische Kraft EFr

und die

Stokes´sche Reibungskraft RFr

. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die resultierende

Kraft F 0=r r

und es gilt RF F F 0=r

. G E+ +r r r

Abb. 13: Kräftegleichgewicht für verschiedene Bewegungszustände des Öltröpfchens

b) Abb. 13 zeigt die Richtung der Kräfte beim Schweben, Fallen und Steigen des Öl-tröpfchens. Da GF

rimmer entgegen der y-Achse zeigt, ist FG < 0. Die skalare Glei-

chung

17

3 31 1L 1 L 1Öl Öl

U U4 4r g Q 6 rv 0 r g Q 6 rv3 d 3 d

− π ρ − − πη = ⇔ π ρ + + πη = 0

beschreibt alle drei Bewegungszustände mit Bedingungen an U1 und v1 richtig:

• Schwebt das Öltröpfchen, dann ist v1 = 0 und es muss FE > 0 sein. Dazu kann das Vorzeichen der Spannung U1 abhängig vom wählbaren Rechenzeichen vor QU1/d (Q < 0) festlegt werden

33 Öl1

1 SchÖl

4 r gdU4 r g Q 0 U Uπ ρ

π ρ + = ⇔ = = − > 0 . 3 d 3Q

Damit ist für eine elektrische Kraft in y-Richtung U1 > 0. Die Spannung USch > 0 bei der das Öltröpfchen schwebt, heißt Schwebespannung.

• Steigt das Öltröpfchen, dann ist v1 > 0 und U1 > USch > 0.

• Fällt das Öltröpfchen, dann ist v1 < 0 und U1 < USch. Es lassen sich drei Fälle un-terscheiden: Fallen mit zur Bewegungsrichtung entgegengesetzt gerichteter elektrischer Kraft (0 < U1 < US) Fallen ohne elektrische Kraft (U1 = 0) Fallen mit in Bewegungsrichtung gerichteter elektrischer Kraft (U1 < 0).

c) Der Radius r des Öltröpfchens kann nicht direkt gemessen werden. In den Glei-chungen ist dann entweder der Radius r oder Radius r und Ladung Q unbekannt. Zur Ladungsbestimmung wird also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannte benötigt.

d) Beispielhaft wird hier die Gleichung für die Versuchsvariante des RCL hergeleitet. Beim Steigen des Öltröpfchens gilt

3 1L 1Öl

U4 r g Q 6 rv 03 d

− π ρ − − πη = .

Beim Fallen des Öltröpfchens gilt 3

3 2Öl L 2L 2 LÖl

2 Öl

r g 9 v4 4r g 6 rv 0 6 r r3 3 v

π ρ η− π ρ − πη = ⇔ πη = − ⇔ = −

ρ2 g.

Einsetzen in die Gleichung vom Steigen liefert 3

3 3Öl1 1 11Öl Öl

2 2

L 2 L 2 1 1Öl

2Öl Öl

L 21 2

1 Öl

r gU v U4 4 4r g Q v 0 r g( 1) Q3 d 3 v 3 v d

9 v 9 v v U4 g( 1) Q3 2 g 2 g v d

v18 dQ (v v )U 2 g

π ρ− π ρ − + = ⇔ π ρ − =

η η⇔ − π ⋅ ⋅ − ⋅ρ − =

ρ ρ

ηπ⇔ = − − ⋅ −

ρ

Da U1 > 0 und v2 < 0 ist Q < 0.

e) Für das Steigen (Bewegungszustand 1) und Fallen (Bewegungszustand 2) gilt

18

3 31 2L 1 L 2Öl Öl

U U4 4r g Q 6 rv 0 r g Q 6 rv 03 d 3 dπ ρ + + πη = π ρ + + πη = .

Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt

1 21 2 L 1 2

Q(U U )Q (U U ) 6 r(v v ) 0 rd 6

−− + πη − = ⇔ = −

πη −L 1 2d(v v ).

Einsetzen dieser Gleichung in die erste Gleichung für das Steigen ergibt 3 3

1 2 1 1 2Q (U U ) U Q(U U )4 − −1Öl 3 3g Q v 0

L 1 2 1 23 (6 d) (v v ) d d(v v )− πρ + − =

πη − −.

Nach Division durch Q ≠ 0, Multiplikation mit d(v1-v2) und Umformungen erhält man 2 3 2 2 3

2 L 1 2 2 1 2 1 L 2 1 2 11 23 3

1 2 1 2Öl Öl

3 (6 ) d (v v ) (U v v U ) (U v v U )Q Q 18 d (v v )4 (U U ) g 2 g(U U )

π η − − η −= ⇔ = − π ⋅ −

π − ρ ρ −.

• Wegen U1 > 0 und U2 < 0 ist (U1 – U2)3 > 0

• Wegen v2 < 0 und U1 > 0 ist –v2U1 > 0

• Wegen v1 > 0 und v2 < 0 ist v1 – v2 > 0

• Wegen v1 > 0 ist U2v1 > 0 für 0 < U2 < USch und U2v1 < 0 für U2 < 0 Daher ist der Radikant positiv und beim Wurzelziehen wurde das negative Vorzei-chen wegen Q < 0 gewählt. Wir überprüfen die Formel an der einfachsten Ver-suchsvariante Schweben/Fallen ohne elektrisches Feld. Für Schweben ist v1 = 0 und U1 = USch, für Fallen ist U2 = 0. Damit erhält man

L 2 L 2

Sch Öl

18 d v vQU 2 gπ η −η

=ρ

.

Wegen v2 < 0 ist der Radikant positiv und Q < 0. Die Formel stimmt mit der unter d) ermittelten oder in Büchern zu findenden überein.

f) Da ρL fast um den Faktor 1000 kleiner als ρÖl ist gilt:

3 34 4G A L GÖl ÖlF F r g( ) r g F

3 3− = π ρ − ρ ≈ π ρ = .

Es muss ρÖl durch ρÖl - ρL ersetzt werden, da im Kraftansatz anstatt von FG die ef-fektive Gewichtskraft FG - FA verwendet werden muss. ηL muss durch ηkorr,L ersetzt werden, da im Kraftansatz in FR jetzt ηkorr,L stehen muss.

g) Geringe Empfindlichkeit von v gegenüber Spannungsänderungen: Für typische Werte Q = 2e, r = 1 μm erhält man für den quasistationären Zustand des Öltröpf-chens:

3Öl

3LÖl

L

L

QU 4 r g4 QU d 3r g 6 rv v(U)3 d 6 r

mdv Q s0,156dU 6 rd V

− π ρπ ρ = − πη ⇔ =

πη

μ

= =πη

19

Eine Spannungsänderung von 10 V bewirkt eine Geschwindigkeitsänderung von ca. 1,5 μm/s. Das Öltröpfchen braucht dann für die Bewegung um 0,1 Skt = 0,1·120 μm = 12 μm ganze 8 s. Der Schwebezustand ist also schwer festzustellen. Brownsche Molekularbewegung: Aufgrund der thermischen Bewegung der Luftmo-leküle führt das schwebende Öltröpfchen (kompensierte Gewichtskraft) durch die Stöße der Luftmoleküle eine Zick-Zack-Bewegung aus. Bezeichnet man mit Δx den auf eine beliebige Richtung projizierten Abstand s zwischen zwei Richtungsände-rungen, dann gilt für den Mittelwert der quadrierten Projektionen (VII.1):

2 kTx3 r

τΔ =

πη

Für eine Temperatur T = 300 K, eine Beobachtungszeit τ = 8 s zwischen zwei Posi-tionen des Teilchens, der Viskosität ηL = 1,81·10-5 Ns/m2 und dem Öltröpfchenradi-

us r = 0,8 μm erhält man 2x 15 mΔ = μ

KugelC

. Das Öltröpfchen hat sich also um ein Viel-faches seiner Größe bewegt.

7. Öltröpfchenwahl a) Öltröpfchen mit grö-

ßerer Ladung bewe-gen sich schneller. Dadurch nimmt der Fehler in der Geschwindigkeits- und damit in der La-dungsbestimmung zu.

b) Das Laden durch Reibung ist ein statis-tischer Prozess ver-gleichbar mit der La-dungstrennung von Teilchen in Wolken. Daher liegt kein ein-facher kausaler Zusammenhang vor. Nach den empirischen Daten werden Öltröpfchen erst ab einem Mindestradi-us von ca. 0,45 μm negativ geladen und es lässt sich eine Zunahme der Ladung mit dem Radius vermuten (für eine si-cherere Aussage braucht man mehr Öl-tröpfchen). Die mit dem Öltröpfchenra-dius zunehmende Kapazität

04 r= πε stützt die Vermutung einer mit r zunehmenden Ladung. In einem einfachen linearen Modell nach Abb. 14 gilt für den Betrag der ne-

Nr. Radius r in 10-7 m

Fallgeschwin- digkeit

vF in 10-5 m/s

Steiggeschwin- digkeit

vS in 10-5 m/s Ladung

Q in 10-19 C

1 7,86 7,66 5,30 3,05

2 5,34 3,53 7,16 1,60

3 8,44 8,83 3,50 3,14

4 8,51 8,97 3,26 3,15

5 10,6 13,9 20,1 11,19

6 7,47 6,92 7,83 3,28

7 7,23 6,47 8,12 3,12

8 6,26 4,86 12,8 3,19

9 9,68 11,6 20,1 9,42

10 6,99 6,06 9,07 3,11

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Öltröpfchenradius r / 10-7 m

Abb. 14: Zusammenhang zwischen La-dung und Radius von Öltröpfchen.

20

gativen Öltröpfchenladung und r > 0,45 μm:

12 CQ(r) 1,823 10 (r 0,45 m)−= ⋅ − μm

.

Es muss zwischen Steigen und Fallen unterschieden werden. Die Fallge-schwindigkeit vF hängt im Versuch nur vom Radius ab:

3 2ÖlL F FÖl

L

2 g4 r g 6 rv v r3 9

ρπ ρ = πη ⇔ =

η

ltr

zu. Was ist nach dem

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25

Steiggeschwindigkeit vs in um/s

Ab

Ein Öltröpfchen mit doppeltem Radius fällt also viermal so schnell. Da große Ösind die schnell fallenden auch die mit großer Ladung. Nach den empiris

b. 15: Zusammenhang zwischen Ladunnd Steiggeschwindigkeit von Öltröpfchen

g u .

öpfchen im Mittel mehr Ladung tragen,

chen Daten in Abb. 15 nimmt mit Q auch vSlinearen Modell zu erwarten?

3SÖl

3 SL S SÖl

L

U 4Q r gU4 d 3r g Q 6 rv v3 d 6 r

− π ρπ ρ = − πη ⇔ =

πη

Setzt man

12 11C mQ(r) 1,823 10 (r 0,45 m) r(Q) 5,485 10 Q 0,45 mm C

−= ⋅ − μ ⇔ = ⋅ ⋅ + μ

in vS ein, dann erhält man vS(r) in Abb. 16 und vS(Q) in Abb. 17:

Da die Gewichtskraft schneller mit r wächst als die elektrische Kraft mit Q, nimmt

c) Da nur wenige Öltröpfchen im Millikan-Versuch größer als 1 μm bzw. Ladungen

Abb. 16: Zusammenhang zwischen S

Abb. 17: Zusammenhang zwischen Steiggeschwindigkeit und Ladung von

Öltröpfchen. teiggeschwindigkeit und Radius von

Öltröpfchen.

die Steiggeschwindigkeit für r > 1 μm bzw. Q > 10 -18 C ≈ 6e wieder ab.

von mehr als 6e tragen, gibt man den Rat für möglichst genaue Ladungsmessun-gen möglichst kleine Öltröpfchen zu verwenden.

21

8. Beschleunigungsphase der Öltröpfchen a) Siehe I.1a.

b) Beim Fallen ist zum Fallbeginn die resultierende Beschleunigung aRes = g. Die Fall-geschwindigkeit des Öltröpfchens beträgt:

3 2Öl2 g4 mF F3 9Ölr g 6 rv v r 0,8

sρ μ π ρ = πη ⇔ = =η

Damit ist

FF

vt 8 sg

= = μ .

Beim Steigen ist zum Steigbeginn FRes = FE - FG und mit vS aus I.7b folgt:

32Re s Öl

S ÖlS

Re s

F r 2rv 3t 8a 6 rF 9

π ρ ρ= = = = μ

πη η

4

,1 s .

c) Ableiten von v(t) und Einsetzen in die DGL liefert:

23 K

K

kt

6 rv 9 vmv(t) mg 6 rv v(t) g g g kv4 2rr3

g g( k)e g k (1 e )k k

− −

πη η=

kt

− πη ⇔ = − = − = −ρρ π

− − = − −

& &

Einsetzen der Werte liefert k = 1,23·105 s-1 . tF ist nach Abb. 18 ≈ 40 μs. Die Zeit um eine

Geschwindigkeit von

Abb. 18: Zeitliche Entwicklung der Fall-geschwindigkeit eines Öltröpfchens.

1 g(1 ) 0,63 ve k ∞− ⋅ = ⋅ (63

% der Endgeschwindigkeit) beträgt 1/k = 8 μs. Die Beschleunigungszeit ist hier größer als in b), da in der Abschätzung über den Be-schleunigungszeitraum eine zu große, kon-stante Gewichtskraft angenommen wurde.

d) Die Beschleunigungszeit kann gegenüber der Reaktionszeit beim Richtungswech-sel des Öltröpfchens vernachlässigt werden.

9. Cunningham-Korrektur a) In einem Gas ist die Anzahl Z der Zusammenstöße, die ein Teilchen (Gasmolekül)

pro Sekunde erfährt umso größer je größer die Teilchendichte n, der Teilchenradius r und die mittlere Teilchengeschwindigkeit c ist (VII.1, S. 653):

2Z 4 2 nr c= π

Für typische Werte unter Normalbedingungen (n = NA/VMol, r ≈ 10-10 m und

c ≈ 103 m/s) erhält man ≈ 48 Millionen Zusammenstöße/s eines Gasteilchens. Daraus lässt

22

sich ermitteln, welche mittlere freie Weglänge λ ein Teilchen ohne Zusammenstoß zurücklegt:

c 210 nmZ

λ = =

Die Zähigkeit eines Gases nimmt nach 1nmc3

η = λ (m = Masse eines Gasteil-

zu.

b) orrektur vorgenommen werden. Für μm und 1 μm ist diese Bedin-

chens) mit der mittleren freien Weglänge

Für r in der Größenordnung von λ muss eine Kλ = 0,068 μm und Öltröpfchenradien zwischen 0,1 gung erfüllt.

c) MA 0λ> ⇒ ηkorrr

< η . Abb. 19 zeigt

ηkorr/η in Abhängigkeit vom Radius r. Die Stokes´sche Reibungskraft wird

n d ein Fehler gemacht, da in r

nnt Gleic

10. R. A. Millikan

prizes/physics/laureates/1923/millikan-bio.html

kleiner, da die Öltröpfchen quasi zwi-schen den Luftmolekülen eher durch-fallen können. η ist der Grenzwert derViskosität für eine unendlich große Kugel. Bemerkung: Bei der Berechnung voηkorr wirdie unkorrigierte Viskosität η verwen-det wird. Die exakte Lösung führt auf ein Gleichungssystem mit den Unbekachungssystems auf eine quadratischedass er hier nicht berücksichtigt werden muss.

Abb. 19: Korrekturfaktor der Viskosität in Ab-hängigkeit vom Radius des Öltröpfchens.

en r und ηkorr. Die Lösung des Glei-hung für r. Der Fehler ist aber so klein,

a) Links zum Leben Millikan´s:

• http://nobelprize.org/nobel_

• http://millikan.kegli.net/Millikan.htm

• http://scienzapertutti.lnf.infn.it/biografie/millikan-bio_fra.html

23

V. Lösungen zu II.

1. Versuchsaufbau des RCL "Millikan-Versuch" a)

Nr. Bezeichnung Funktion

1 Mikroskop Vergrößerung der Öltröpfchen

2 Kondensator Erzeugung eines elektrischen Feldes

3 Schrittmotor Scharfstellen der Öltröpfchen

4 Ölzerstäuber Erzeugung der Öltröpfchen

5 Lichtquelle Seitliches Licht für Dunkelfeldbeleuchtung der Öltröpfchen

6 Button Regulierung der elektrischen Kraft

7 Button Öltröpfchen einblasen in den Kondensator

8 Buttons Veränderung der Gegenstandsebene im Kondensator

9 Buttons Horizontale Verschiebung des Bildausschnitts

10 Button Ein- und Ausschalten des elektrischen Feldes

11 Mikroskopbild Vergrößerte Darstellung der Öltröpfchen

12 Öltröpfchen Messobjekt

13 Okularmikrometer Streckenmessung im μm-Bereich

14 Steigzeitmesser Messung der Steigzeit

15 Fallzeitmesser Messung der Fallzeit

2. Beobachtung der Öltröpfchen a) Bei Hellfeldbeleuchtung trifft das Licht des durchleuchteten Objekts direkt in das

Objektiv des Mikroskops ein. Bei Dunkelfeldbeleuchtung tritt nur das am Objekt ge-streute Licht in das Objektiv des Mikroskops ein. Beim Millikan-Versuch wird die Dunkelfeldbeleuchtung angewandt, weil die Öltröpfchen ansonsten nur einen sehr geringen Kontrast zum Hintergrund aufweisen. Sie erscheinen in Dunkelfeldbe-leuchtung dann als helle Punkte vor dem dunkel gestalteten Hintergrund.

b) Rayleigh-Streuung liegt vor, wenn die Abmessung d des Streuobjektes kleiner wie die Lichtwellenlänge λ ist (z. B. Lichtstreuung an Gasmolekülen, erklärt blaue Farbe des Himmels, Morgen- und Abendrot). Mie-Streuung liegt vor, wenn die Abmes-sung d des Streuobjektes in der Größenordnung der Wellenlänge und darüber liegt (z. B. Streuung an Aerosolen, Nebel (0,01 mm – 0,1 mm) oder Regentropfen (0,1 mm – 5 mm)). Beim Millikan-Versuch ist der Öltröpfchendurchmesser (0,1 μm < d < 1 μm) in der Größenordnung der Wellenlänge (0,4 μm < λ < 0,8 μm), so dass weder eindeutig Mie- noch Rayleigh-Streuung vorliegt.

c) Strahlengang eines Mikroskops mit Strah-lengang eines Teleobjektivs (Funktions-prinzip).

d) Man verwendet zur Längenmessung in der Mikroskopie ein Okularmikrometer, Abb. 20: Okularmikrometer.

24

das mit einem Objektivmikrometer wie folgt geeicht wird (Abb. 20): • Okularmikrometer (durchsichtige Platte mit Stricheinteilung, unten im Bild) in die

Bildebene des Objektivs bzw. Gegenstandsebene des Okulars einlegen und mit Okularlinse scharf stellen.

• Objektmikrometer (Objektträger mit Stricheinteilung von 1 mm in 100 Teile, 1 Skt = 10 μm; obere Skala in Abb. 20, da stärker vergrößert) auf den Objekttisch le-gen, mit Grob- und Feintrieb scharf stellen und durch Drehen parallel zum Oku-larmikrometer ausrichten.

• Skalenteile von Objekt- und Okularmikrometer auf einer möglichst großen ge-meinsamen Strecke s auszählen. In Abb. 19 entsprechen m = 20 Skt. des Ob-jektmikrometers n = 90 Skt. des Okularmikrometers.

• Länge x eines Skt. des Okularmikrometers:

10 m 20 m mμ μs 20 Skt 90 Skt x x 2,222Skt 9 Skt Skt

μ= ⋅ = ⋅ ⇔ = =

e) Die Übertragung von Wärme der Lichtquelle durch Wärmestrahlung auf die Luft im Kondensator wird durch Absorption von Wärmestrahlung durch das Kupferchlorid vermieden. Folgen einer Wärmeübertragung sind Konvektionsströme in der Luft des Kondensators, die zu seitlichen Driftbewegungen des Öltröpfchens und zusätz-lichen vertikalen Kräften auf das Öltröpfchen führen können. Die seitliche Driftbe-wegung hat Einfluss auf die senkrechte Fallbewegung der Öltröpfchen, da für rei-bungsbehaftete Bewegungen das Unabhängigkeitsprinzip nicht mehr gilt. Keinen Einfluss hat die Driftbewegung auf die Messung von vF bzw. vS, da nur der senk-rechte Streckenanteil im Okularmikrometer gemessen wird.

f) Die Datenrate beträgt:

1x 320 240 3 B y B/s20

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Für y = 8000 ist x = 0,7 Bilder/s, für y = 128000 ist x = 11,1.

3. Erzeugung der Öltröpfchen a) Die Steigrohre (Abb. 21) messen den statischen

Druck p in der Flüssigkeit. Bei der größeren Fließgeschwindigkeit im engeren Querschnitt ist der statische Druck geringer, der dynamische ρv2/2 aber größer und der Gesamtdruck p0 ist konstant.

Abb. 21: Statischer und dynami-scher Druck in Rohren.

b) Ein Zerstäuber (Abb. 22) arbeitet mit zwei Mechanismen: • Durch schnell strömende Luft wird an einer Düsenver-

engung nach der Bernoulli-Gleichung lokal am Ende ei-nes Steigrohres ein Unterdruck p gegenüber dem At-mosphärendruck p0 erzeugt. Der Atmosphärendruck kann dann Flüssigkeit in das Steigrohr drücken.

Abb. 22: Zerstäuber.

25

• Die ausströmende Flüssigkeit wird durch den turbulenten Luftstrom stark verwir-belt, so dass sie in kleine Tröpfchen zerfällt.

c) Berechnet wird die minimale Geschwindigkeit für den Fall, dass das Öl an der Steigrohrspitze die Geschwindigkeit vÖl = 0 hat:

0 Ölp p gh− = ρ

Der Airbrush-Kompressor beschleunigt unbewegte Luft auf die Geschwindigkeit vL an der Steigrohrspitze. Nach der Bernoulli-Gleichung gilt:

2Lp p v0 Lρ

= +2

Damit ist

2 ÖlLL LÖl

L

v gh v 17,6 2 s

= ρ ⇔ = =ρ

2 gh mρρ

d) Der Sättigungsdampfdruck (20 °C) von Hochvakuumöl (10-4 kPa) ist sehr viel klei-ner wie der von Wasser (2,34 kPa). Dadurch bleibt die Öltröpfchenmasse während der Messung konstant.

4. Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator a) Unter der Annahme eines homogenen Feldes ist nach E = U/d die minimale Feld-

stärke Emin = 0 V/m und die maximale Emax = 166666 V/m.

b) Die Kapazität des Plattenkondensators berechnet sich zu 2

0rC 7,4 pFdπ

= ε =

t /C 0t) U (1 e )

.

Der Innenwiderstand der Spannungsquelle liegt bei Ri = 1 kV/1 mA = 1 MΩ, der Kabelwiderstand ist demgegenüber vernachlässigbar. Für das Aufladen eines Kon-densators über einen Widerstand R auf die Spannung U0 gilt U ( − τ= −

s 4,7RC mit

der von U0 unabhängigen Zeitkonstanten = = μτ (Zeit für 0,63·U0). Die Auf-ladezeit liegt damit weit unterhalb der Reaktionszeit des Nutzers. Der Anfangsstrom beträgt maximal U0,max/R = 1 mA.

c) Das Hochspannungsrelais schließt den Kondensator beim Abschalten der Konden-satorspannung für das Fallen kurz, so dass die elektrische Kraft auf das Öltröpf-chen sofort verschwindet und die Kräftebilanz im dynamischen Kräftegleichgewicht gültig ist.

26

5. Millikan´s originaler Versuchsaufbau a)

Nr. Bezeichnung (engl.) Bezeichnung (dt.) Funktion

1 Atomizer Zerstäuber Erzeugung von Öltröpfchen

2 Chamber Kammer Schutzraum für Kondensator

3 Pin hole Loch im Kondensator Kondensatoreinlass für Öltröpfchen

4 Air capacitor Kondensator Erzeugung eines homogenen elektri-schen Felds

5 Isolator Isolator Isolation zwischen Kondensatorplatten

6 Stripe Streifen Schutz des Kondensatorraums

7 Arc lamp Bogenlampe Lichterzeugung für Öltröpfchenbe-leuchtung

8 Telescope Teleskop Vergrößerung der Öltröpfchen

9 Battery Hochspannungsquelle Erzeugung einer Hochspannung

10 Toggle switch Wechselschalter Auf- und Entladen des Kondensators

11 Watercell Wasserzelle Absorption von Wärmestrahlung

12 Copper chloride cell Kupferchloridzelle Absorption von Wärmestrahlung

13 Manometer Manometer Messung des Kammerdrucks

14 Oil tank Öltank Konstanthaltung der Temperatur

15 Pump connection Pumpenanschluss Pumpenanschluß für Kammerdruck

16 X-ray tube Röntgenröhre Erzeugung zusätzlicher Ladungen

17 Voltmeter Spannungsmesser Messung der Kondensatospannung

18 Connection bar Verbindungsleiste Umpolung der Kondensatorspannung

b) Schalterstellung von 10 (1 oder 2)

Polverbindung von 18(z. B. 1-2) Funktion

1 2

- 2-3 Entladen (Kurzschließen) des Kondensators

2 1-2, 3-4 Aufladen des Kondensators (obere Platte -)

2 1-3, 2-4 Aufladen des Kondensators (obere Platte +)

27

VI. Lösungen zu III.

1. Vorbereitung der Versuchsdurchführung a) Siehe I.4a.

b) Siehe RCL-Webseite, Aufgaben.

c) Ungefähr 18 Skt x 22 Skt = 2,16 mm x 2,64 mm (1 Skt = 12·10-5 m).

d) Bei fester Polung des Kondensators mit oberer positiv geladener Platte können nur negative Öltröpfchen steigen, aber sowohl negative wie positive Öltröpfchen fallen. Negative Öltröpfchen fallen bei Spannungserhöhung langsamer, positive dagegen schneller.

2. Auswertung der Messdaten

a) Histogramm Punktdiagramm

Absolute Häufigkeit der Messungen über der Öl-tröpfchenladung

Öltröpfchenladung über Öltröpf-chen(Versuchs)-Nummer

Streuungen um Vielfache von e besser erkennbar. Insbesondere die Zunahme der Streuung mit Q Quantelung (Schichtung) besser erkennbar

Darstellung ist abhängig von der Wahl der Klas-sen(Balken)breite

Sinnvoll bereits bei wenigen Versuchsergeb-nissen

b) Aus den k-fachen Elementarladungswerten im Haufen k werden mit der Division durch k einfache Elementarladungswerte. Von all diesen Werten wird der Mittelwert berechnet. Für die Daten von der RCL-Webseite/Auswertung erhält man e = 1,58·10-19 C.

c) Nach VII.4 gilt 1 1 3 3 33 3

1L 2 2 2 2 2LÖl2 3

SÖl

s 36Q 36 d g U dt s2 gU t 2

− − −−η π= π = ρ η

ρ

Name der Größe Einheit xi Δxi i

i

xxΔ

2i

ii

xax

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

Erdbeschleunigung g* m/s2 9,8094 0,0001 1·10-5 2,5·10-11 Öldichte ρÖl kg/m3 1030 0,5 4,8·10-4 5,78·10-8

Steigspannung US V 600 10 0,0166 2,75·10-4 Plattenabstand d m 0,006 0,0005 0,083 6,8·10-3

Zeit t s 8 0,2 0,025 1,4·10-3 Strecke s m 6·10-4 1,2·10-5 0,02 9,0·10-4

Viskosität η Ns/m2 1,81·10-5 5·10-7 0,027 1,64·10-3 Σ 0,011

* für Kaiserslautern Σ 0,104

28

Damit ist ΔQ/Q ≈ 11 % und ΔQ ≈ 0,16·10-19 C. Der Wert aus b) liegt damit inner-halb der Fehlergrenzen 1,6·10-19 C - 0,16·10-19 C und 1,6·10-19 C + 0,16·10-19 C.

29

30

VII. Literatur 1. Gobrecht, H. (1974): Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Me-

chanik-Akustik-Wärme. De Gruyter, Berlin & New York. 2. Millikan, R. A. (1913): On the elementary electrical charge and the Avogadro con-

stant, Physical Review 2 (2), S. 109-143, http://authors.library.caltech.edu/6438/01/MILpr13b.pdf, 07.01.10.

3. Millikan, R. A. (1924): The Electron – Its isolation and measurement and the deter-mination of some of its properties. University of Chicago Press, Chicago & London.

4. Vogel, D. (1996): Die Auswertung des Millikan-Versuches. PhiS 34/3, 110-114. 5. Wilke, H.-J. (1987): Historische physikalische Versuche. Aulis, Köln, S. 101-106. 6. http://physics.hallym.ac.kr/~physics/reference/physicist/frankfurt/gif/phys/millikan.jp

g, 07.01.10.