Ausarbeitung Main

7/23/2019 Ausarbeitung Main

1/39

Zusammenfassung typischer Fragenfr Festkrperphysik II

12. November 2014


2/39

Inhaltsverzeichnis1 Was ist eine elementare Anregung? 4

1.1 Elementare Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Beispiele fr Quasiteilchen Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Elektronische Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Kollektive Anregungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Phonon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Magnon und Paramagnon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Landau Fermiflssigkeit 62.1 Einfhrung von elektronischen Quasiteilchen. . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Gilt das Konzept bei Raumtemperatur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Energiefunktional-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Spezifische Wrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Magnetische Suszeptibilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Was sind Quasiteilchen? Welche gibt es im Festkrper und was bringt dasKonzept? 10

4 Phononen und Magnonen 114.1 Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1 Der Heisenberg Hamilton Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.2 Spezifische Wrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Elektron-Phonon-Wechselwirkung 155.1 Frhlich Hamilton Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Die Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Peierls und Jahn-Teller-bergang 196.1 Kohn-Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Peierls-bergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Jahn-Teller-bergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 BCS-Theorie 247.1 Cooper-Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Isotopeneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Veranschaulichung der Elektron-Elektron-Wechselwirkung. . . . . . . . . 25

2


3/39

7.4 Vielteilchentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.5 Suprastrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 Drude-Modell 298.1 Maxwellgleichungen in effektiver Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Mechanische Oszillationen in Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Anderson Hamilton Operator 329.1 Physikalische Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10 Hartree und Hartree Fock Nherung 35

11 Dichtefunktionaltheorie 38

11.1 Hohenberg-Kohn-Sham-Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2 Lokale Dichtefunktional Nherung (LDA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3


4/39

1 Was ist eine elementare Anregung?1.1 Elementare Anregung

In einem Vielteichensystem ist in der Praxis nie im Grundzustand anzufinden, da prak-tisch immerT > 0Kherrscht. Somit knnen keine Aussagen ber den Grundzustandgetroffen werden, da dieser experimentell nicht zugnglich ist. Experimentell unter-sucht man somit die Antwort des Systems auf uere Einflsse, z.B. nderung der Ener-

gie durch steigende Temperatur mit der spezifischen Wrme:

CV= U

T

V

(1.1)

Bei diesen Experimenten wird das System von einem energetisch tieferliegenden Zu-stand in einen energetische hheren Zustand bergefhrt. Hat man z.B. zwei anre-gende Zustnde 1 und 2, so existiert dann ein hher angeregter Zustand 3 fr dengilt:

3 = (1+2) + (1.2)

Alle Anregungen, die in 1und2vorhanden waren, sind nun auch in 3vorhanden,wobei zustzlich ein Term auftritt, der auf die Wechselwirkung zwischen 1 und2zurckzufhren ist.1und 2setzen sich im Allgemeinen ebenfalls aus energetischniedrigeren Anregungen zusammen. Ist dies nicht der Fall, dann werden sie elemen-tare Anregungen genannt. Diese Konzept ist nicht scharf, da man nie genau wissenkann, ob man eine elementare Anregung gefunden hat, bzw. ob eine elementare An-regung vorliegt. Jedoch ist das Konzept sehr anschaulich und reicht fr unsere Zwe-cke.

Man kann elementare Anregungen in Quasiteilchen Anregungenundkollektive An-regungen unterteilen. Die Grenze ist allerdings nicht genau definiert.

Quasiteilchen Anregungen: Anregung, bei der es mglich ist, diese auf ein Quasiteil-chen zurckzufhren. Beispiel: Eine Fermiflssigkeit, in der ein Elektron, das unterder Fermienergie liegt, in einen Zustand ber der Fermienergie gehoben wird. Hierwird anschaulich nureinTeilchen angeregt.

kollektive Anregungen: Durch die Anregung und starke Wechselwirkung zwischenden Teilchen wre wre es unmglich, Anregungen ber nur ein Teilchen zu beschrei-

ben. Beispiel: Phononen, da ein Impuls so schnell an einen Nachbarn weitergegebenwird, dass es nie mglich ist, die Anregung mit nur einem Teilchen zu beschreiben.Die Schwingung vieler Teilchen fhrt zu der Ausbreitung einer Schallwelle im Gitter.

4


5/39

1.2 Beispiele fr Quasiteilchen Anregungen

1.2.1 Elektronische Quasiteilchen

Sie sind die elementaren Anregungen eines Systems aus wechselwirkenden Elektronen.Sie werden mit der Landauschen Theorie der Fermiflssigkeiten beschrieben.

1.2.2 Soliton

Ein Soliton ist eine Anregung, die sich wie eine lokale Druckwelle, die den Festkrper

durchluft verhlt. Durch groe Auslenkungen kann man nicht mehr von einem har-monischen Potential ausgehen und muss nicht-lineare Potentialterme bercksichtigen.Das Ausgangspotential ist die Toda-Kette:

V(r) =ar+a

bebr (1.3)

Grenzflle der Toda-Kette sind das harmonische Potential (Phononen) und das Solitonfr V = inf bei r 0 und V = 0 bei r > 0. Beim Soliton dominieren groe Am-plituden und groe Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Dies ist charakteristisch fr harteKrper. Beim Phonon dominieren kleine Amplituden und Ausbreitungsgeschwindig-keiten.

1.3 Kollektive Anregungen

1.3.1 Phonon

Das Phonon wird als quantenmechanisches Analogon zur Gitterschwindung in einemFestkrper gesehen.

1.3.2 Magnon und Paramagnon

Ein Magnon ist ein quantenmechanisches Quasiteilchen, welches sich wie eine Spin-welle im Festkrper verhlt, die eine zeitliche nderung des magnetischen Moments

beschreibt. Ein Paramagnon ist die quantenmechanische Einheit fr die magnetischeSpinfluktuation.

5


6/39

2 Landau FermiflssigkeitZur Verfeinerung des Sommerfeld-Modells fr freie Elektronen, welches von einemElektronengas ausgeht, indem es keine Wechselwirkungen zwischen den Elektronengibt, wird die Landau Fermiflssigkeit eingefhrt. Das Sommerfeld-Modell beschreibtdas Verhalten von Metallen sehr gut, obwohl die Coulomb-Wechselwirkung in etwa inder Grenordnung der kinetischen Energie der Elektronen liegt und in diesem Modellkomplett vernachlssigt wird. Landaus Konzept der elektronischen Quasiteilchen er-klrt, warum das Sommerfeld Modell dennoch ein ein Metall gut beschreibt, da man

statt freien Elektronen freie Quasiteilchen beschreibt.

2.1 Einfhrung von elektronischen Quasiteilchen

Voraussetzung ist die adiabatische Kontinuitt. Man geht im Gedankenexperimentvon einem Metall aus, bei dem sich alle Elektronen im Grundzustand befinden, bis aufein angeregtes Elektron auerhalb der Fermiflche. Es wird angenommen, dass es einenRegler gibt, mit dem die Wechselwirkung kontinuierlich von 0 (keine Wechselwirkung- Fermigas) bis 1 (volle tatschliche Wechselwirkung) gedreht werden kann. Wenn der

Regler sehr langsam (adiabatisch) hochgedreht wird, fhrt das durch die adiabatischeKontinuitt dazu, dass die Zustnde der Elektronen langsam in neue Zustnde vonelektronischen Quasiteilchen bergehen. Dies fhrt zu einer 1:1 Korrespondenz vonElektronen und Quasiteilchen. Dabei gehen alle Quantenzahlen von den Elektronen zuden Quasiteilchen ber. Weil sich die Energie dabei ndert, kann gesagt werden, dasssich die effektive Masse beim bergang von Elektron zu Quasiteilchen ndert. Durchdiese effektive Masse ergibt sich ein zustzlicher skalarer Faktor fr die klassischenElektronengleichungen was bedeutet, dass man diese durch den skalaren Faktor mo-difizieren muss und somit von den Quasiteilchen bernommen werden knnen. Sehrwichtig ist auerdem, dass der Regler in einer Zeit von 0 auf 1 gedreht wird, die krzer

ist, als die mittlere Stozeit der Quasiteilchen.

2.2 Gilt das Konzept bei Raumtemperatur?

Es ist zu beachten, dass die mittlere Stozeit, gegeben durch

1 (kBT)

2 (2.1)

6


7/39

stark temperaturabhngig ist. Wir haben allgemein definiert, dass die das QuasiteilchenKonzept nur bei tiefen Temperaturen gilt. Die Raumtemperatur liegt ca. bei 300K und

wir nehmen als Referenz die Fermitemperatur eines klassischen Metalls. Die Fermitem-peratur ist definiert als die Temperatur, welche der hchste angeregte Zustand in derFermiflche hat.

EFkB

=TF (2.2)

Diese Fermitemperatur liegt bei Metallen ca. bei 8000-1000K, daher liegt die Raumtem-peratur weit drunter und das Quasiteilchen Konzept gilt bei Raumtemperatur.

2.3 Energiefunktional-Ansatz

Um die Energie eines Zustandes zu bestimmen wird ein Ansatz mit folgenden Voraus-setzungen gewhlt:

fkist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand mit dem Wellenvektorkbesetzt ist. Im Grundzustand (T=0K) wird fkdurch eine Sprungfunktion (f k) beschrie-

ben.

fkist die Differenz der aktuellen Besetzungswahrscheinlichkeit vonkund der Beset-zungswahrscheinlichkeit im Grundzustand. (siehe2.1)

Abbildung 2.1: Besetzungswahrscheinlichkeiten bei verschiedenen Temperaturen

Man kann nun die Energie eines Zustands nach fkentwickeln:

[fk] =0+k

0kfk+12 kk

fkukkfk (2.3)

Dabei entsprechen:

0. . . Nullpunktsenergie (beiT= 0K)

7


8/39

0k. . . Energie der NICHT wechselwirkenden Teilchen

u

kk. . . Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen

kund

k. Dieser Term wurde sehrallgemein angenommen und beschreibt die Physik hinter der Wechselwirkung (z.B.

die abstoende Coulombkraft).

Die Theorie der Fermiflssigkeit ist nicht anwendbar auf Supraleiter, da die Bildung vonCooper-Paaren die 1:1 Korrespondenz verletzt. Cooper-Paare sind auerdem Bosonenund stabil, whrend Quasiteilchen nur innerhalb ihrer Zerfallszeit existieren.

2.4 Spezifische Wrme

Die Energie, die bentigt wird, um ein Quasiteilchen im Zustand(k, )hinzuzufgenist gegeben als

k=0k

+ k

ukkfk (2.4)

Mit(1.1) kann fr ein freies Elektronengas gezeigt werden, dass CV

CV=2

3 k2BTN(F) (2.5)

mit der ZustandsdichteN(F)anFist.

Fr Quasiteilchen kannCVals

CV=[fk]

T

V

(2.6)

geschrieben werden. Man kann zeigen, dass sich fr dasCV,QTder selbe Ausdruck wiein (2.5) ergibt. Die Wechselwirkung steckt nun in der Zustandsdichte N(F)anF. Dieseergibt sich durch

N(F) =

[k](F k) (2.7)Daraus kann die Zustandsdichte mit der effektiven Masse der Quasiteilchen in Zusam-menhang gebracht werden:

N(F) = kF

2h2m (2.8)

Man kann also mit Hilfe der spezifischen Wrme eines Festkrper die effektive Masseder elektronischen Quasiteilchen bestimmen.

8


9/39

2.5 Magnetische Suszeptibilitt

Die magnetische Suszeptibilitt ist gegeben durch:

M =M

H (2.9)

Dabei gibt M die Magnetisierung des Quasiteilchen Systems und Hein kleines u-eres Feld an. Im weiteren mssen die Spins explizit bercksichtigt werden (im Un-terschied zur CV-Betrachtung). Auerdem muss fr Mbestimmt werden wie sich dieSpin-abhngige Dichte()im FeldHverndert. Weiters gilt: Im thermodynamischenGleichgewicht mssen beide chemischen Potentiale gleich sein. Daraus ergibt sich:

M= 2HkFm42h2(1 +Fa0 )

(2.10)

und frM:2kFm

42h2(1 +Fa0 )(2.11)

Es ergibt sich mit Einsetzen der Zustandsdichte und=2B:

M=22B N(EF) 1

1 +Fa

0

=P1

1 +Fa

0

(2.12)

Man kann daraus schlieen, dass die Suszeptibilitt des nicht wechselwirkenden Sys-tems durch die Wechselwirkung modifiziert und erhht wird und sie mit der Stoner-suszeptibilitt verglichen werden kann. Dabei ist Fa0der Landau-Parameter, der die Spi-nabhngigkeit der Wechselwirkung angibt.areprsentiert den asymmetrischen Anteilvonukk .

9


10/39

3 Was sind Quasiteilchen? Welchegibt es im Festkrper und wasbringt das Konzept?

Quasiteilchen sind ein Konzept, um Anregungen in Festkrpern zu beschreiben. Es er-klrt warum sich Systeme stark wechselwirkender Teilchen annhernd wie Systemefreier Teilchen verhalten (von Sommerfeld-Modell zu Landau Fermiflssigkeit). Das

Konzept gibt an, wie man nderungen, die die Wechselwirkungen hervorrufen quanti-fizieren kann. Es gibt:

Elektronische Quasiteilchen Phonenen Solitonen Magnonen Paramagnonen

Flipped Spin Quasiteilchen Domain Wall Quasiteilchen Spinonen Holonen Valence bonds in stripes

10


11/39

4 Phononen und Magnonen4.1 Phononen

Phononen sind ein quantenmechanisches Analogon zur Gitterschwingung. Sie knnenim Modell der monoatomaren Kette durch die Differenzialgleichung

Md2yn

dt2 =K[(yn+1

yn) + (yn

1

yn)]= K[yn+1

2yn+yn

1] (4.1)

beschrieben werden. Mit dem Ansatz

yn(t) e(t+kna) (4.2)

kann die Differenzialgleichung gelst werden, wobei man die Dispersionsrelation

=m sin

12

ka

(4.3)

erhlt. Ein Phonon stellt also eine propagierende Welle der Frequenz, der Wellenzahl

Abbildung 4.1: Veranschaulichung der eindimensionalen monoatomaren Kette

kund Wellenlnge dar. Die Gruppengeschwindigkeit vG = kentspricht der loka-len Steigung in der Dispersionsrelation. Fr kleine Wellenvektoren ist die Gruppenge-schwindigkeit konstant und entspricht der Schallgeschwindigkeit und ist auerdem diehchste in der gesamten Dispersionsrelation.

Bei = mfllt die Gruppengeschwindigkeit auf null, was genau bei|k| =a , alsoam Rand der Brillouin-Zone der Fall ist. Wellen mit Frequenzenm bewegen sich al-so nicht von ihrem Ausgangspunkt weg und bilden stehende Wellen. Also sttigt dieGruppengeschwindkeit am Rand der Brillouin-Zone. Der Hamiltonoperator fr die Be-

11


12/39

Abbildung 4.2: Dispersionsrelation der Phononen

wegung der Atome im Festkrper lautet:

H= l

p2l2m

+12

ll ulll ul (4.4)

Dabei lautet der Hamiltonoperator fr einen quantenmechanischen Oszillator:

H=hn+1

2 (4.5)

Fr ein Gitter aus i schwingenden harmonischen Oszillatoren folgt

H= i

h

ni+

12

(4.6)

wobei der Indexiden Wellenvektork, die Polarisation uvm. zusammenfasst. Die quan-tenmechanische Beschreibung gleicht der klassischen Beschreibung sehr.

4.2 Magnonen

Das effektive Magnetfeld, das ein magnetisches Moment auf dem Gitterplatz l sprt,hngt von der Orientierung der Momente seiner nchsten Nachbarn ab. Dies fhrt zueiner Zeitlichen nderung des Drehimpulses. Die daraus resultierende Spinwelle, diedurch die Wechselwirkung der Spins untereinander entsteht, wird Magnon genannt.Magnonen entstehen durch Anlegen eines externen Magnetfelds und das effektive Ma-gnetfeld, das durch die thermischen Fluktuationen, die bewirken, dass nicht mehr alle

12


13/39

magnetischen Momente parallel zueinander ausgerichtet sind, zustande kommt. DieDispersionsrelation lautet:

|z|l

sin21

2kl (4.7)

Fr kleine Werte von kwird hier die Gruppengeschwindigkeit null, whrend sie beiPhononen fr kleine Wellenvektoren konstant ist. Daher haben wir fr Magnonen kei-ne propagierende Wellen im Festkrper, im Gegensatz zu Phononen. Die Dispersion istin4.3dargestellt. Die physikalische Erklrung: Der Abstand zwischen zwei Atomen ist

Abbildung 4.3: Dispersionsrelation der Magnonen

a. Die Phasendifferenz zwischen benachbarten Momenten istka. Bei kleinen Wellenvek-toren bilden sich noch keine Wellen.

Abbildung 4.4: Veranschaulichung der Spinwelle

13


14/39

4.2.1 Der Heisenberg Hamilton Operator

Der Heisenberg Hamilton Operator ist ein Modell, das beschreibt, wie die Spins an be-nachbarten Gitterpltzen durch eine Wechselwirkung gekoppelt sind. Dies fhrt zu ei-ner kollektiven Anregung des gesamten Systems. Weil eine paarweise Wechselwirkungangenommen wird, geht das Modell ber eine mean-field Nherung hinaus.

H=Inl

SlSl+ gjbHextl

Szl (4.8)

Dabei sind:

l. . . Gitterplatz des Spins

. . . Vektor, der zu den Nachbarn weist

Ih. . . Austauschintegral fr die Wechselwirkung (grer 0 fr ferromagnetische Ord-nung, kleiner 0 fr antiferromagnetische Ordnung)

Hext. . . externes Feld in z-RichtungDurch quantenmechanische Betrachtung erhlt man eine Dispersionsrelation fr dieMagnonen:

k InS

(k)2 +gjBHext (4.9)

4.2.2 Spezifische Wrme

Da Magnonen der Bose Statistik folgen, kann man die innere Energie berechnen durch:

U= k

k1

eE 10.45(kBT)

52

2D32

(4.10)

also

CV=0.113kB

kBT

D

32

(4.11)

In einem System, bei dem Magnonen angeregt werden, erhlt man einen Temperatur-termT32 . Diesen Beitrag kann man leicht von anderen Anregungen unterscheiden und

somit von der Spezifischen Wrme auf die SpinnwellensteifigkeitD schlieen.

Auch bei der Magnetisierung erhalten wir einen T32 Faktor bei der Betrachtung des Ma-

gnetischen Moments.

MS(0) MS(T) =0.117gjB

kBT

D

32

(4.12)

Dies wird auch dasBlochscheT32 Gesetzgenannt.

14


15/39

5 Elektron-Phonon-Wechselwirkung5.1 Frhlich Hamilton Operator

Die Elektron-Phonon-Wechselwirkung (EPWW) wird durch den Frhlich Hamilton Ope-rator beschrieben.

H=k

kck

ck+q

hqaq aq+

k,k

Mkk(aq+aq)c

k

ck (5.1)

Der erste Term aus (5.1) beschreibt die Energie der nicht-wechselwirkenden Fermionen.Dabei istkdie Energie eines Elektrons mit Wellenvektor

kundck

undckdie Erzeuger-bzw. Vernichteroperatoren. Der zweite Term beschreibt die Energie der Phononen, derdritte die EPWW, wobei Mkk das Matrixelement der Kopplung ist. Dabei wurden fol-gende Vereinfachungen getroffen:

Elektronen wechselwirken nur ber ein kurzreichweitiges, abgeschirmtes Potentialmit den schwingenden Ionen.

Das durch ein Ion bedingtes Potential hngt nur vom Abstand zum Zentrum des Ionsab und nicht von der momentanen Auslenkung. Auslenkungen der Ionen aus den Gleichgewichtslagen sind sehr klein, daher kann

man das Elektron-Ion Potential in der Auslenkung linearisieren (Harmonische Nhe-rung).

Es wird ein einatomiges Gitter mit einem isotropen Phononenspektrum betrachtet.

5.2 Die Wechselwirkungen

Betrachtet man den Termk,k Mkk (aq+aq)c

k

ckaus (5.1), so ergeben sich zwei Prozes-

se: aqck

ck beschreibt die Erzeugung von einem Phonon bei einem Elektron-Streuprozess,

aqck

ck, die Vernichtung (Absorption) eines Phonons bei einem Elektron-Streuprozess.Die Erzeugung von einem Phonon ist wahrscheinlicher als die Absorption. Dies ist dar-auf zurckzufhren, dass Elektronen der Fermi- und Phononen der Bosestatistik gehor-chen. Bosonen folgen der Bose-Einsteinstatistik und sind somit viel hufiger in niedrig-energetischen Zustnden zu finden, als Fermionen. Trifft ein Elektron auf das Gitter,verteilt es die Energie auf das Gitter und kann Energie abgeben, weil es angeregt ist. Die

15


16/39

Abbildung 5.1: Elementare Streuprozesse von Elektronen und Phononen

Abbildung 5.2: Vergleich von Bose- und Fermistatistik

meisten Phononen sind allerdings in sehr niedrigen Energiezustnden, sodass es kaumwelche gibt, die Energie an ein Elektron abgeben knnen.

Bei den Absorptions- und Emissionsprozessen eines Elektrons ist der Wellenvektor kei-ne gute Quantenzahl mehr, weil er sich durch die Streuung ndert. Auerdem haben

Elektronen in einem k-Zustand nur eine endliche Lebensdauer. Aus diesen Prozessenresultiert ein wichtiger Beitrag zum elektrischen Widerstand. Bei hoher Wechselwir-kung mit Phononen werden viele Elektronen gestreut. Durch die geringere Lebensdauerresultiert ein hherer elektrischer Widerstand. Diese Terme erhlt man durch strungs-theorie nullter Ordnung.

Auerdem werden die elektronischen Eigenzustnde und Eigenwerte modifiziert. EinElektron kann sich dabei gemeinsam mit einer Gitterpolariation durch das Gitter bewe-gen. Beschrieben wird dies durch die Bildung eines neuen Quasiteilchens, dem Polaron,das sich aus der Ladungswolke und dem Elektron zusammensetzt. Dadurch hat es eine

16


17/39

hhere effektive Masse als das einzelne Elektron.

Abbildung 5.3: Polaron

Ein Elektron kann auch ein Phonon emittieren, welches sofort wieder von einem ande-ren Elektron absorbiert wird. Dieses Phonon bertrgt eine effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung und ist fr die Beschreibung herkmmlicher Supraleiter von elemen-tarer Bedeutung. Anschaulich gesagt wird die von einem Elektron induzierte Gitterpo-larisation von einem zweiten Elektron aufgrund der Ansammlung positiver Ladungen(Ionenauslenkungen) noch attraktiv gesprt. Das Phonon, welches ausgetauscht wird,nennt manvirtuelles Phonon, da es der Impulserhaltung widerspricht (Eigentlich habenwir einen Impulsbertrag von 0 zwischen den Elektronen, d.h Phononimpuls ist eigent-lich null). Innerhalb der Unschrferelation kann dieser Energiebruch statt finden (we-genE) und daher hat das Phonon nur eine kurze Lebenszeit.

Abbildung 5.4: Elektron-Phonon-Wechselwirkung

Es existieren auerdem Prozesse, bei denen ein propagierendes Phonon von Elektronenabsorbiert werden kann bzw. ein Elektron-Loch Paar erzeugt wird. Dies wird als Plas-mon (entspricht Schwankungen in der Ladungsdichte) bezeichnet. Dieses Plasmon ist

bei normalen Metallen relativ selten anzufinden, bei Halbleiter ist es jedoch wesentlich.Da man statt Phononen auch Photonen verwenden kann, beides sind Bosonen, kannman diesen Prozess auch verwenden um die Funktionsweise von Photovoltaik Zellenzu beschreiben.

17


18/39

Abbildung 5.5: Plasmon

18


19/39

6 Peierls und Jahn-Teller-bergang6.1 Kohn-Anomalie

Die Energie der Phononen unter der Berchsichtigung der EPWW wird geschriebenals:

h(p)q =hq

k

2|Mkk |2 < nk> 1k k

(6.1)

Hier wird die nderung der Phononenenergie durch die EPWW angegeben. Eine Folgedavon ist die Kohn Anomalie in Metallen, wenn der Wellenvektor der Phononenqetwa2kf (entspricht dem Durchmesser der Fermikugel) ist. Die Gruppengeschwindigkeit des

Wechselwirkungs-Terms ergibt sich mit

(p)q

qxzu:

2k

|Mkk |2 < nk> (kq k)2kqqx

(6.2)

Es gilt k

= h2k2

2m. Beim Auswerten der Summe ergibt sich eine logarithmische Diver-

genz der Gruppengeschwindigkeit bzw. ein Sprung am Ort q = 2kf. Dies nennt manKohn-Anomalie, also eine divergierende Gruppengeschwindigkeit der Phononen. Dasheit, man kann aus der Messung der Dispersionsrelation die Fermiflchen ablesen.Die Kohn-Anomalie ist jedoch nicht exakt, da eine divergierende Gruppengeschwin-digkeit physikalisch nicht sinnvoll ist und ist daher nur ein mathematisches Hilfsmittel.

6.2 Peierls-bergang

Am Beispiel von Polyacetylen soll der Peierls-bergang betrachtet werden. Ein Kohlenstoff-Atom hat vier Valenzelektronen, wobei es im Polyacetylen an zwei weitere C-Atomeund ein Wasserstoffatom gebunden ist. Wenn alle Bindungen Einfachbindungen wren,

bliebe pro Kohlenstoffatom ein Elektron brig. Man kann Polyacetylen als Bravaisgittermit einer Gitterkonstante abetrachten. Das Band von Kohlenstoff ist halb gefllt, dasheitkF = 2a , was einem metallischen Zustand entspricht. Die Kohn-Anomalie tritt inetwa beiq =2kF = a auf, was dem halben reziproken Gittervektor entspricht. Die Wel-lenlnge der Phononen ist dabei in etwa = 2q =2a. Benachbarte Monomere schwin-gen in Antiphase, Monomere im Abstand 2a schwingen in Phase. Wenn wir uns die

19


20/39

Abbildung 6.1: Kohn-Anomalie in der Dispersionsrelation der Phononen

Abbildung 6.2: Struktur von Polyacetylen

Energie der gestrten Wellenfunktion anschauen und unser q = a(1+)bekommen

wir einen Term h(p)q hq = ln(). Wenn wir nun gegen 0 gehen lassen, geht un-sere Strung gegen inf. Dabei hat die Frequenz der Phononen einen Nulldurchgang,was einer elastischen Gitterverzerrung entspricht. Das Gitter dimerisiert und die Ein-

heitszelle hat eine neue Gre. Fermiflche, Fermilinien und Fermipunkte fallen gerademit dem Rand der ersten Brillouin-Zone zusammen und Bragg-Streuung der elektro-nischen Zustnde der Fermipunkte fhrt zur ffnung der Bandlcke bei k= 2a , dadurch die Dimerisierung sich die Gre der Einheitszelle verndert hat. Dies ist der Pei-erlsbergang. Der Energiegewinn hier liegt in der Ausbildung der Bandlcke, bei derdie besetzten Zustnde energetisch nach unten gedrckt werden. Ohne Phononen gbees diese Aufspaltung nicht. Die Kohn-Anomalie tritt auch nicht exakt bei q = a auf,sondern nur in der Nhe dieses Phononenvektors.

20


21/39

Abbildung 6.3: Auslenkung des Gitters bei der Kohn-Anomalie

Abbildung 6.4: Bandstruktur von Polyacetylen mit und ohne Kohneffekt

6.3 Jahn-Teller-bergang

Der Jahn-Teller-bergang ist ein dreidimensionales Analogon zum Peierls-Effekt. Hierwird elektronische Energie dadurch gewonnen, dass das Gitter verzerrt wird. Aller-dings wirkt dem die Energie zu dieser Verzerrung entgegen. Es kommt zu einer spon-tanen Brechung der Gittersymmetrie (z.B. bergang von einer kubischen in die tetrago-nale Phase). Der Effekt tritt vor allem bei bergangsmetallen auf, wo d-Orbitale nichtvollstndig gefllt sind. Die fnf d-Orbitale spalten in 3tzgund 2egOrbitale auf. Bei deroktaedrischen Form weisen die zwei egOrbitale zu den sechs nchsten Nachbarn, diedriet2gOrbitale durch die Tetraedafchen hindurch. Beispiel:TiCl3. Die zweiegOrbita-le werden von den ebenfalls negativen Chlor-Ionen abgestoen, sodass sich die Energieerhht, die drei anderen Orbitale weichen dem Chlor aus und die Energie wird abge-senkt. Wenn man eine volumenserhaltende Verzerrung des Gitters entlang der z-Achse

zulsst, wird das Oktaeder lnger und die x-y-Ebene kleiner und die 3 tzg , als auch die2egOrbitale werden erneut aufgespaltet.

Betrachtet man nun ein Atom mit 7 d-Elektronen, werden die ersten 6 die t2g Orbi-tale besetzen und das 7. eine der verbleibenden eg-Schalen. Bei der tetragonalen Ver-zerrung wird die Energie des eg-Elektrons abgesenkt. Das System kann also Energiedurch die Verformung gewinnen, wenn diese kleiner ist, als die Verzerrungsenergie.Man kann nun die Energiebilanz aufstellen, dass bei der elastischen Verzerrung um zdie Energie quadratisch Erhht wird (Hooksches Gesetz), die Energieabsenkung aberin etwa linear ist. Es gibt dann ein z0, bei dem die Energie minimal ist. Dies wird als

21


22/39

Abbildung 6.5: Einheitszelle vonTiCl3

Abbildung 6.6: Aufspaltung der Energien bei tetragonaler Verzerrung

Jahn-Teller-Effekt bezeichnet. Der Jahn-Teller-Effekt kann auch zu magnetischen Pha-senbergngen fhren, wenn sich durch die Umordnung der Spins in den Orbitalendas magnetische Moment ndert.

22


23/39

Abbildung 6.7: Energiebilanz in Abhngigkeit von z

23


24/39

7 BCS-TheorieDie BCS-Theorie beruht auf folgenden Grunderkenntnissen:

Krfte zwischen Leitungselektronen knnen auf Grund von der EPWW in einem Me-tall anziehend wirken.

Zwei Elektronen knnen ein stabiles Cooper-Paar bilden, egal wie klein die EPWWist.

Es existiert eine Vielteilchen-Wellenfunktion, bei der alle Elektronen an der Fermi-

energie gepaart sind. Die Wellenfunktion beschreibt einen kohrenten Zustand. DieBCS-Gap ist ein Ergebnis der Minimierung der BCS-Grundzustandsenergie undentspricht der Energie, die notwendig ist, um ein Cooper-Paar zu brechen.

Man geht vom Frhlich-Hamilton-Operator (5.1) aus und versucht, die EPWW auf eineElektron-Elektron-Wechselwirkung umzuschreiben. Dies gelingt mit einer kanonischenTransformation.

Hs =k

kckck+

kkq|Mq|2 hq

(k kq)2 (hq)2 =

kkckck+

kkq12Vkk

qck+qck+qckck

(7.1)

Man erkennt der Hamiltonoperator ist nur noch von den Leiteroperatoren der Elektro-nen abhngig. Die vollstndige Elektron-Phonon Wechselwirkung steckt nur noch imPotentialVkkq

7.1 Cooper-Paare

Man geht von einem wechselwirkungsfreien Elektronengas mit vollbesetzter Fermiku-gel aus. Man fgt nun zwei Elektronen hinzu, wobei fr die gilt:|k1|, |k1| >|kF|. Diesfhrt auf die Energiebilanz:

|k+q k| hq (7.2)Es exisitert eine Wellenfunktion 12, die angewendet auf den Grundzustand des Sys-tems zwei Elektronen mit den Impulsenk1 und k2 erzeugt. Man summiert nun beralle mglichen Impulse und Elektronenspins. Die Elektronen sind nun in einem Zu-stand mit dem Gesamtimpuls K = k1+ k2. Die Energie des Elektronenpaars (E =1+ 2+ E) ist am grten, wenn die Wechselwirkungsenergie E am grten ist.

24


25/39

Die ist bei K= 0 der Fall, was gleichbedeutend ist mit k1 =k2Mit der Schrdinger-gleichung erhlt man die Energie dieses neuen Zustands:

E2F 2hqe2

VN(F) (7.3)

Die Energie eines Cooper-Paares wird im Vergleich zur Energie der beiden ungepaar-

ten Elektronen um 2hqe2

VN(F) abgesenkt, fr beliebige Werte von V. Also: Umso gr-er VundN(F), desto stabiler das Paar. Man schreibt verkrzt V N(F) =ep .

7.2 Isotopeneffekt

Verschiedene Isotope eines Atoms haben verschiedene Massen und somit unterschiedli-che Gitter. Die Sprungtemperatur ist umgekehrt proportional von der Masse. Aufgrundder unterschiedlichen kritischen Temperaturen von Isotopen konnte man darauf schlie-en, dass Elektronen mit dem Gitter wechselwirken und fr die Supraleitung verant-wortlich sind.

7.3 Veranschaulichung derElektron-Elektron-Wechselwirkung

Anziehende Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen kann auftreten, da in Metal-len nicht die bliche Coulombabstoung herrscht, da das Potential durch die Thomas-Fermi-Abschirmung reduziert wird.

Vges =VCoulombVTF 1

rCoulomb

e rrTF TF

(7.4)

Anziehende Wechselwirkung entsteht durch folgende Anschauung: Ein Elektron fliegt

durch ein Gitter von positiven Atomrmpfen und bewirkt so an den Ionen kurzzeitigeine positive Kraft. In dieser Spur bildet sich eine positive Ladungswolke, die ein Elek-tron anzieht. Erst nach einer halben Schwingungsperiode entsteht die hchste positiveLadungsdichte, da sich die Kerne viel langsamer bewegen als die Elektronen, wobeiaber das erste Elektron schon um 100nm weiter geflogen ist. Daraus folgt. KorrelierteElektronen sind sehr weit von einandern entfernt und bewegen sich mit entgegenge-setzten Geschwindigkeiten. Der Effekt der Wechselwirkung kann wie folgt beschriebenwerden: Ein Elektron mit Impuls hkwird einem Phonon gestreut und gibt den Impulshqab. Es wird ein Phonon mit diesem Impuls erzeugt und pflanzt sich fort, bis es von ei-nem zweiten Elektron absorbiert wird. Die Lebensdauer von dem Phonon ist sehr kurz

25


26/39

und der Vorgang wird als Austausch eines virtuellen Phonons bezeichnet und impli-ziert die effektive Wechselwirkung. Das Phonon ist jedoch nur ein virtuelles Phonon, da

es der Impulserhaltung widerspricht: Das Phonon wrde keinen Impuls besitzen, wennman sich das Faymann Diagramm ansieht. Innerhalb der Unschrferelation knnen wirdies jedoch umgehen, da wir uns innerhalb von Ebewegen und somit kommt es zuder kurzen Lebensdauer des Phonons.Das Cooper-Paar kann somit als neues Teilchen mit S = 0, also Boson, betrachtet

Abbildung 7.1: EPWW bei einem Cooperpaar

werden. Bosonen knnen in den energetisch tiefsten Zustand kondensieren, also al-le Elektronenpaare, die in der Schale FhD erzeugt werden, fallen aus dieser und

bilden ein Cooperpaar. Der Energiegewinn (Gap) durch die Bildung des Cooperpaarsist:

|| 2hDe1

EP (7.5)

Der Grundzustand und angeregte Zustnde sind durch diese Energielcke getrennt.Zur Beschreibung von Anregungen wechselt man vom Vakuumbild in das Anregungs-

bild fr die Energie-Impuls-Beziehungen. Eine niederenergetische Anregung hebt ein

Abbildung 7.2: Dispersionsrelationen

Teilchen unterhalb des Ferminiveaus ber das dieses. Das Anregungspaar erscheintnun als eines auf dem Loch-Ast (p < pf) und eines am Teilchen-Ast (p > pf). Die kri-tische supraleitende Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Dispersionsrelation,da:

E

p =

p

p2

2m=

p

m=vs (7.6)

In der oben dargestellten Dispersionsrelation ohne Gap kann ein Elektron-Loch-Paar beibeliebigen Geschwindigkeiten erzeugt werden, bzw. mit E 0 und p pf. Bei einem

26


27/39

Kondensat hat der Grundzustand eine niedrigere Energie als die kinetische Energie dereinzelnen Elektronen. Also knnen Anregungen nur paarweise auftreten und die An-

regungen brechen auerdem das Cooperpaar auf. Dafr ist mindestens die Energie pro Anregung notwendig. Mit in der DispersionsrelationE = +

(ppf)22m erhlt man

eine kritische Geschwindigkeitvsgrer null. Wenn man ber dieser Geschwindigkeitliegt, brechen die Cooperpaare. Dies bedeutet allerdings auch, dass man mit EnergienE < nichts anregen kann und somit ein dissipationsfreier Strom ermglicht wird. Mitsteigender Temperatur werden auerdem immer mehr Cooperpaare vernichtet und dieGap verkleinert sich. AnTcverschwindet die Gap.

kBTc =1.44hqe 1ep (7.7)

Das Verhltnis zwischen Sprungtemperatur und Energielcke kann als 1.764 bestimmtwerden. Auerdem kann die Energielcke durch Messungen der spezifischen Wrmenachgewiesen werden.

7.4 Vielteilchentheorie

Die Vielteilchentheorie beschreibt den kohrenten Zustand von Cooperpaaren. Ein Paarwird beschreiben durch:

|k

= uk

|1

k+vk|0

k (7.8)

Dabei bezeichnet|1einen Zustand in dem das Paar (k,k)besetzt ist, bzw.|0 einenZustand, in dem es nicht besetzt ist. Die Koeffizientenukundvkgeben hierfr die Wahr-scheinlichkeiten an. Die Vielteilchenfunktion wird als Produkt angesetzt, da es sich umkohrente Zustnde handelt:

|BCS= k

|k (7.9)

ergibt sich analog fr die Vielteilchenwellenfunktion. Wird der Supraleiter angeregt,wird die Energie 2bentigt. Fr einen normalen Leiter ist die Anregungsenergie be-liebig klein. Auerdem exisitiert ein gemeinsamer Grundzustand aller Cooper-Paare,der durch die Energielcke von den angeregten Zustnden getrennt ist. Somit kannman in diesem Zustand alle Cooper-Paare in einem kohrenten Zustand sehen. Die Zu-standsdichte kann bei Normalleitern um die Fermie-Energie als konstant angenommenwerden. Fr Supraleiter gilt:

N(E) =0fr|E| < || (7.10)N(E) =

N(F)E

(E2 2) 12fr|E| < || (7.11)

Die ursprnglich im normalleitenden Metall vorhandenen Zustnde im Bereich 2wer-den beim Supraleiter in den Bereich der divergierenden Zustandsdichte verschoben.

27


28/39

Abbildung 7.3: Dispersionsrelation und Zustandsichte bei normalen und Supraleitern

7.5 Suprastrom

Der Zustand von = 0 wird als stationrer Suprastrom js = nsevs beschreiben.

Ein Stromfluss wegen vs= 0 fhrt zu einem zustzlichen Impuls eines Cooperpaa-res.

p=12

hK= mvs=mnse

js (7.12)

Fr ein Cooperpaar(k,k)fhrt ein Strom zu(k+ 12K,k+ 12K)=(k1, k2). Dienderung der Wellenfunktion wird geschrieben als:

(r1,r2) = 0eKRe

Kr =e KR(r1, r2) (7.13)

Es ndert dich die Wellenfunktion durch einen angelegten Strom nur um einen Pha-

senfaktor. Dieser ndert allerdings nichts an der Amplitude oder Wahrscheinlichkeits-dichte oder der Gre der Energielcke. Inelastische Prozesse, die zu=0 sind ausge-schlossen, frE < 2. Ab der kritischen Stromdichte wird die Energie so gro, dass dieCooperpaare und damit der supraleitende Zustand brechen. Der kritische Strom kannauch durch ein externes Magnetfeld induziert werden. Die kritische Stromdichte kanngeschrieben werden als:

jc enshk_F

(7.14)

28


29/39

8 Drude-ModellDas Drude-Modell versucht auf einfache Art Die Wechselwirkung von elektromagneti-scher Strahlung mit Metallen zu beschreiben. Es beschreibt also dieElektron-Photon-Wechselwirkung. Voraussetzung ist, dass die Wellenlnge der Strahlung wesentlichgrer ist, als die Atomabstnde. Auerdem muss die Anregungsenergie klein sein.Eigentlich mssten Photonen quantenmechanisch beschrieben werden. Allerdings istein Photonenbad sehr gut durch die Maxwellgleichungen beschrieben. Die Wechsel-wirkung wird dadurch beschrieben, dass die Elektronen durch elektromagnetische Fel-

der eine Kraft verspren und durch innere Reibung die Energie wieder abgeben. Mannkann eine auf Grund dessen nun eine Bewegungsgleichung aufstellen, siehe ??.

mdv

dt =eE ev

c B mv

(8.1)

Dabei istdie Relaxationszeit die die Dmpfung beschreibt. Ausgegangen wird von derGeschwindigkeit eines Elektron, das sich ohne uere Felder bewegt:

v(t) = v0et (8.2)

Die Dmpfung beschreibt, in welcher Zeit sich ein System dem stationren Zustand an-nhert. Beim Anlegen eines elektrischen Felds nehmen die Elektronen nach einer gewis-

sen Zeit auch den Gleichgewichtszustand ein und deren Geschwindigkeit bleibt kon-stant. Ohne Magnetfeld und mit vt =0, also fr den stationren Zustand folgt:

v=emE (8.3)

Fr die Stromdichte erhlt man mit der Elektronendichten:

je =nev= ne2

mE= E (8.4)

Dabei ist die elektrische Leitfhigkeit. Fr zeitlich variable Systeme ohne Magnet-feld lsst sich (8.1) mit der Annahme, dass Eund vdie Form et annehmen, umfor-

men:mv=eE m v

(8.5)

j=nev=ne

eEm

1

(8.6)

j= ne2

m

11 E (8.7)

= ne2

m

11 (8.8)

29


30/39

Wir erhalten eine neue Leitfhigkeit. Die Phase zwischen Anregung und Geschwin-digkeit ist dann gegeben als arctan . Es entstehen daraus zwei Grenzflle: Wenn

< 2 ist, spricht man vom niederfrequenten Grenzfall, umgekehrt bei > 2vom hochfrequenten Grenzfall. Fr den niederfrequenten Grenzfall bercksichtigen wirnur den Realteil und unsere Leitfhigkeit ist identisch mit der im stationren Fall. Frden hochfrequenten Grenzfall mssen wir die komplexe Leitfhigkeit berchsichtigen.Dadurch ergibt sich eine Phasendiffernenz zwischen angelegten Feld (Spannung) undStrom.

8.1 Maxwellgleichungen in effektiver Materie

Sie bercksichtigen die response des Materials auf uere Felder (die Polarisation). u-ere Ladungen wirken auf das System und innere Ladungen bilden die response. DiePolarisation und das D-Feld werden geschrieben als:

P= jint (t) dt (8.9)

D= E+ 4P (8.10)

Die Maxwellgleichungen lauten:

D=4enext (8.11) E=1

c

tB (8.12)

B=0 (8.13) B= 4jext

c +

1c

D

t (8.14)

Weiters gilt, dassj= E(r, t)ist, wobeiein 3x3 Tensor ist und D(r, t) =E(r, t). Dabeiist der Dielektrizittstensor. Daraus kann man die Beziehung

(q,) =1 +4 (q,) (8.15)

ableiten. Diese Beziehung gibt den Zusammenhang zwischen Dielektrizittstensor undLeitfhigkeitstensors an.Man kann sich fr transversale Wellen ausdrcken, dass gilt q = w

c2n, wobei n(q,) =

(q,). Der Realteil vonnwird mit dem Brechungsindex identifiziert undnbezeich-net. Mit cnerhlt man die Phasengeschwindigkeit der Welle. Der Imaginrteil wirdge-nannt und beschreibt die Absorption und Streuung an. Fr longitudinale Wellen ist dieAusbreitung parallel zum elektrischen Feld, sodass daraus folgt, dass es keine gibt. Esgilt nun (q,) =1+ i2. Auerdem gilt 1= n2 + 2 und 2 = 2n.

30


31/39

8.2 Mechanische Oszillationen in Dielektrika

Das Elektrische Feld wird wieder durch eine ebene Welle der Form E(r, t) = E0et ge-geben. In einem Isolator knnen sich die Ladungen nicht frei bewegen und es ist immerein Ensemble von geladenen Teilchen an feste Orte gebunden. Diese Ladungen kn-nen jedoch in ihrer Ruhelage schwingen. Die Beschreibung dieser Oszillationen erfolgtdurchm, e,0und. Die Bewegungsgleichung lautet:

md2r

dt2 =m0r m

dr

dt eE(r, t) (8.16)

Daraus ergibt sich fr die Stromdichte:

j() = ne2E

m(20 2 ) (8.17)

Auerdem ergibt sich fr die Dielektrizittskonstante:

() =1 + 4ne2

m(202 ) (8.18)

Die Dielektrizittskonstante und somit auch der Brechungsindex zeigen eine Frequenz-abhngigkeit, die in der Nhe von0besonders stark wird. Dies wird zur Herstellung

achromatischer Linsen ausgenutzt.Fr Metalle, wo die Ladungstrger frei sind, gibt es keine Schwingungsenergie, also ist0 =0. Setzt man das in die obigen Erkenntnisse ein, erhlt man die selben Gleichun-gen die im vorigen Abschnitt hergeleitet worden sind. Ohne Dmpfung, also inf,erhlt man:

mdv

dt =eE (8.19)

ddt

jm

ne

=eE (8.20)

d

dt(j) = E (8.21)

Gleichung (8.21) ist die erste London-Gleichung.

31


32/39

9 Anderson Hamilton OperatorDer Anderson Hamilton Operator beschreibt die Wechselwirkung mit einer Verunrei-nigung. Beispiele fr Metallen mit sehr wenigen magnetischen Verunreinigungen sindz.B. Au mit 0.01% Fe oder LaB6 mit 0.5% Ce. Der Anderson Hamilton Operator wirdgeschrieben als:

H= 0(n0+n0) +Un0n0

Energie der Verunreinigungbei nur einem Elektron:E = 0bei Doppelbesetzung:E = 20+U+

k,

( kckck

kinetische Energieder Leitungselektronen+ Vkc

0ck+V

kc

kc0

Wechselwirkung zwischen Elektronen,vorletzter Term hermitsch konjungiert)

(9.1)

Fr die Verunreinigung gilt:

Verunreinigung leer:n0 = 0, das heitn0=0 undn0=0. Verunreinigung einfach besetzt: n0 = 1, das heit n0= 1 und n0= 0 oder vice

versa.

Verunreinigung zweifach besetzt:n0=2, das heitn0=1 undn0=1.

Im folgenden werden wir uns auf die Wechselwirkung mit einer einfach besetzten Ver-unreinigung bzw eines magnetischen Momentes beschrnken. Dies wird als Kondo-Systembezeichnet, wenn man sich auf die Wechselwirkung eines Fermisees mit einemSpin beschrnkt. Damit die Verunreinigung wie ein magnetisches Moment wirkt mussgelten:

Das FerminiveauEFder Leitungselektronen liegt weit oberhalb von0. Der Verunrei-nigungszustand ist also mit hoher Wahrscheinlichkeit besetzt.

Dagegen ist0+Uwesentlich grer als EFund damit die Doppelbesetzung so gutwie ausgeschlossen.

Die KopplungVkzwischen Verunreinigung und Leitungselektronen sei klein.Statt Strungstheorie inVkzu betreiben, werden wir einen effektiven Hamiltonoperatorherleiten, der den Einfluss der Verunreinigung auf die niederenergetischen Anregungendes Systems beinhaltet, also die Tieftemperatur-Physik beschreibt. Dazu mssen wirhochenergetische Zustnde eliminieren.Nach einiger Rechnung folgt:

We 12D0J =konstant= kBTK (9.2)

Dabei ist Wdie Bandbreite des Leitungsbands, D() die Zustandsdichte, wobei D0der Wert der Zustandsdichte an EF ist. J ist das Matrixelement der Wechselwirkung

32


33/39

von Elektron und Verunreinigung, TKdie Kondo-Temperatur. Es gibt zwei Grenzfl-le:

WennJsehr klein und Wsehr gro ist, ist die Population von Leitungselektronen, diewiederum sehr schwach mit dem magnetischen Moment wechselwirken, sehr gro.Dieser Fall kann mit Strungstheorie behandelt werden.

Wenn Jsehr gro ist undWsehr klein ist, fhrt dies zu einer sehr kleinen Anzahl anLeitungselektronen. Unterhalb von TKfhrt dies zur starken antiferromagnetischenWechselwirkung zwischen Leitungselektronen und magnetischen Moment.

9.1 Physikalische Konsequenzen

Die Temperaturabhngigkeit vom spezifischen Widerstand eines Leiters kann als eineFunktion F( TTK)dargestellt werden. Zwei Systeme mit der selben Kondo-Temperaturknnen im Allgemeinen nicht unterschieden werden. Fr schwache KopplungJan dasMoment folgt aus der allgemeinen Streutheorie im schwachen Potential, dass mit J2

verschwindet. Dieses Verhalten ergibt sich zum Beispiel mit F(x) =

1ln(x)

2. Experi-

mentell stimmt dies mit dem Verhalten berein: Der elektrische Widerstand nimmt inlogarithmischer Art mit der abnehmenden Temperatur zu, wenn man ber der Kondo-Temperatur liegt.

AT5 BnMVln kBTW

(9.3)Dabei sindAundBKonstanten undnMVdie Dichte der magnetischen Verunreinigung.Man findet ein Minimum des Wiederstands bei

Tmin =

BnMV

5A

15

(9.4)

Wenn T in die Nhe von TKkommt, divergiert der Ausdruck, daher wird unter der

Kondo-Temperatur die Abhngigkeit als F( TTK

) = 1cosh1 TTK2

gewhlt. Die Konto-

Temperatur ist der Grenzwert bis wohin der Kondo-Effekt stark auftritt, darunter flttder elektrische Widerstand wieder.

33


34/39

Abbildung 9.1: Temperaturabhngigkeit des spezifischen Widerstands

34


35/39

10 Hartree und Hartree FockNherung

Man versucht alle Wechselwirkungen zu bercksichtigen: Elektron-Elektron-Wechsewirkung,Elektron-Gitter-Wechselwirkung und Spin-Spin-Wechselwirkung. Um dies beschreibenzu knnen, brauchen wir Nherungen. Im Allgemeinen wird von der mean-field-Nherungausgegangen. Sowohl Hartree, als auch Hartree-Fock nutzen diese Nherung, wobeiwir davon ausgehen, dass sich ein Teilchen im Feld, das von einem anderen Teilchen er-

zeugt wird, fortbewegt. Hartree-Annahme: Wir vernachlssigen die Coulomb-Korrelationund gehen von einem Elektron aus, dass sich im Feld der anderen Elektronen bewegt.Die Gesamtwellenfunktion des Elektronensystems ist ein Produkt der Einteilchenfunk-tionen. Dieses Produkt erfllt die Antisymmetriebedingungen des Pauliprinzips frFermionennicht! Es wird daher das Produkt der Einteilchenwellenfunktionen als De-terminantenfunktion geschrieben, damit diese das Pauliprinzip erfllt (Hartree-Fock).Durch Determinantenfunktionen wird die Wahrscheinlichkeit, zwei Elektronen am glei-chen Ort zu finden null und die Wahrscheinlichkeiten, dass sich Elektronen mit glei-chem Spin zu nahe kommen wird verringert. Bei der Hartree-Fock-Methode gibt esdaher Elektronen-Austauschwechselwirkungen fr Elektronen mit gleichem Spin. Da-her ist die Hartree-Fock-Methode eine wichtige Verbesserung. Der Hamilton fr dieHartree-Methode lautet:

H=N

i=1

2i +V(ri) + N

j(j>i)

2|ri rj|

(10.1)

Die Eigenfunktion ist eine Wellenfunktion aller Teilchenkoordinaten. Durch die Gitter-periodizitt fhrt dies auf einen Blochfaktor, der eine K-Abhngigkeit hat. Die Einteil-chenfunktion kann also geschrieben werden als:

(

K,r1+

R,r2+

R, . . . ,rn+

R) =eKR

(r1,

r1, . . . ,

rn) (10.2)

Die Idee ist nun, die Vielteilchenwellenfunktion durch eine optimale Nherung aus Ein-teilchenfunktionen anzunhern, bzw. zu ersetzten. Diese Einteilchenwellenfunktionenhngen nur mehr von den Koordinaten und dem Spin eines einzelnen Elektrons ab. Sieknnen geschrieben werden als:

j(r, s) =1(r) +2(r) (10.3)

Dabei sindund Spinoren fr up und down. Nach der Hartree-Methode bildet mannun eine Produktfunktion aus den obigen Einteilchenfunktionen. Mit dieser Funktion

35


36/39

kann man die Energie ausrechnen.

E=|H|| (10.4)

Man kann nun durch Variation schreiben:2i +V(ri) +

j>i

j(rj) 2

|ri rj|j(rj)di

Coulomb-WW eines Elektrons anrimit anderen N-1 Elektronen (Hartree-Potential)

i(ri) =ii(ri) (10.5)

Das kann auch geschrieben werden als

[2i +VC(ri)]i(ri) = ii(ri) (10.6)Mit der Haree-Fock-Methode geht man einen Schritt weiter: Fermionen werden durchantisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben, die gegenber der Vertauschung vonzwei Elektronen das Vorzeichen wechseln. Dies erreicht man durch die Slater-Determinante:

(1 , . . . , N) = 1N!

1(r1, s1) . . . . . . N(r1, s1)...

. . . ..

.

...... . . . j(ri, sj)

...1(rN, sN) . . . . . . N(rN, sN)

(10.7)Die optimalen Wellenfunktionen sind jene mit den tiefsten Energieeigenwerten. Manerhlt die Hartree-Fock-Gleichung:

2i +V(ri) +l

l(r2)l(r2)

2r12

d3r2

l l(r2)j(r2)

2

r12d3r

2

j(r

1) =

j

j(r

1)

(10.8)

Die Hartree-Fock-Gleichung beschreibt ein System von NElektronen und besteht aus2Ngekoppelten Integrodifferenzialgleichungen Es wurde die Elektron-Elektron-Wechselwirkungund die Austauschwechselwirkung bestimmt. Mit dem Ansatz ebener Wellen kann derAustauschterm gelst werden.

(k,r) = 1

ekr (10.9)

36


37/39

Dabei beschreibt das Volumen auf dem die Wellenfunktionen normalisiert sind. DerBetrag des Austauschs zur Gesamtenergie betrgt:

Ex =3

38

13

(10.10)

Man sieht nun, das die Austauschenergie im Elektronengas proportional zur drittenWurzel der Elektronendichte ist. Dies ist die Grundlage fr die LDA.

37


38/39

11 DichtefunktionaltheorieWie im letzten Kapitel besprochen, kann man den Anteil der Austauschenergie von derGrundzustandsenergie als Funktion der Elektonendichte anschreiben (siehe (10.10)).Fr inhomogene Elektronengase wird die Dichtefunktionaltheorie verwendet.

11.1 Hohenberg-Kohn-Sham-Theorem

Die Grundzustandenergie eines Systems mitNidentischen Teilchen in einem uerenPotentialVist das eindeutige Funktional der Teilchendichten(r). Also:E0 = E[n(r)]

Dieses Funktional hat ein Minimum bezglich der Variationn(r)der Teilchendichtefr eine Gleichgewichtsdichten0(r)bei einem vorgegebenen Potentail

Der Hamilton wird aufgespalten inH= T+ Vee+ V, wobeiTdie kinetische Energie, Veedie Vielteilchenwechselwirkung und Vdas Einteilchenpotential ist.

11.2 Lokale Dichtefunktional Nherung (LDA)Die Grundzustandenergie wird geschrieben als:

E[n(r)] =

n(r)V(r)d3r+e2

2

n(r)n(r)

|r r d3r d3r+G[n(r)] (11.1a)

G[n(r)] =T[n(r)] +Exc [n(r)] (11.1b)

Dabei beinhaltet (11.1b) die kinetische Energie und die Austauschenergie. Fr die Aus-tauschenergie wird die Lokale Dichte Nherung durchgefhrt. Man schreibt:

Exc [n(r)] =

n(r)xc [n(r)]d3r (11.2a)

xc [n(r)] =3e2

4(32n(r))

13 (11.2b)

mit der Nebenbedingung:

N=

n(r) d3r (11.3)

38


39/39

Variation des Funktionals (11.1) ergibt:

T[n(r)]n(r)

+V(r) +e2 n(r)

|r r| d3r+xc [n(r)] =0 (11.4)

Dabei istdie Nebenbedingung und

xc [n(r)] =n(r)Exc [n(r)]

n(r) =e

2

(32n(r))

13 (11.5)

Da man das Funktional fr die kinetische Energie nicht kennt, schreibt man

n(r) =i |

i(r)

|2 (11.6)

und geht auf die Einteilchenfunktionen i(r)zurck. Durch das Betragsquadrat gehtdie Phase verloren. Nun wird die Funktionalableitung nach der Dichte ber die Orbitalei(r)durchgefhrt:

T[n(r)] =i

i(r)

h

2

2m2i(r)d

3r (11.7)

Nach Variation um i(r) erhlt man eine Bestimmungsgleichung fri(r).h2

2m2 +V(r) +e2

n(r)|r r| d

3r+xc [n(r) Ve f f

]

i(r) = ii(r) (11.8)

Dies ist eine verallgemeinerte Einteilchen-Schrdingergleichung, bei der das Vielteil-chenpotential durch ein effektives Einteilchenpotential Ve f f ersetzt wurde. Multipli-kation von links mit i(r), Integration und Summation ber die besetzten Zustndefhrt auf eine Form, die man von (11.1) subtrahieren kann, die auf folgende Gleichung

fhrt:

E= i

i e2

2

n(r)n(r)

|r r d3r d3r+

n(r)[xc [n(r)]xc [n(r)]] d

3r (11.9)

Gleichungen (11.8) und (11.9) sind das quivalent der Einteilchen- und Gesamtener-giegleichung der Hartree-Fock Methode in der Lokalen-Dichte-Nherung. Sie werdenauch Kohn-Sham-Gleichungen bezeichnet.

Ausarbeitung Main

Documents

Transcript of Ausarbeitung Main