Ausarbeitung zum Praktikumsversuch: Brechungsindex des ... · Das verwendete Sphärometer spannt...

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  • Ausarbeitung zum Praktikumsversuch:

    Brechungsindex des Glases einer

    Sammellinse

    von

    Clara Mustermann

    Betreuer: xy

    10.Mai 2019

    Ziel des Versuches ist die Bestimmung des Brechungsindex einergegebenen Sammellinse aus Glas.

    Was wurde gemacht?

    Dazu wird zunächst die Brenn-weite der Sammellinse durch Messung von Gegenstands- und Bild-weiten mittels einer einfachen Abbildung bestimmt.

    Wie wurde es gemacht?

    Anschlieÿendwird mit Hilfe eines Sphärometers der Krümmungsradius der Linsevermessen. Damit ergibt sich ein Brechungsindex von 1,53±0,01.Dieser stimmt gut mit dem für COC-Kunststo�insen bekanntenLiteraturwert überein.

    Endergebnis

    1

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    3P - Das Paderborner Physik Praktikum

    Kommentierter

    Musterbericht

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 3

    2 Grundlagen 4

    3 Methode und Versuchsaufbau 7

    4 Durchführung und Messwerte 9

    5 Auswertung und Diskussion der Messergebnisse 10

    6 Fazit 13

    7 Literatur 14

    2

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    1 Einleitung

    Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle (Lichtge-schwindigkeit) ist in Materie typischerweise kleiner als im Vakuum. Die di-mensionslose Gröÿe n, der so genannte Brechungsindex, beschreibt die Aus-breitungsgeschwindigkeit in Materie relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeitim Vakuum [1] und ist eine Materialkonstante [2]. Wechselt ein Lichtstrahl beischrägem Einfall zwischen zwei Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex,kommt es zum physikalischen Phänomen der Brechung, d.h. an der Grenz�ä-che der beiden Medien ändert der Lichtstrahl seine Richtung [3]. Dabei istdie Brechung gröÿer, je mehr sich die beiden Brechungsindizes voneinanderunterscheiden. Dieses Phänomen wird z.B. bei Lupen oder Brillen durch dieVerwendung von Glas oder Kunststo�en mit einem groÿen Brechungsindexausgenutzt [4].

    Einführung in das

    Thema anhand eines

    Beispiels mit

    Alltagsbezug

    Das auf ein Brillenglas einfallende Licht wird immer zweimal gebrochen:beimEintritt an der Grenz�äche Luft/Glas und beim Austritt an der Grenz�ächeGlas/Luft. Stehen beide Grenz�ächen wie bei einer Fensterscheibe exakt planund parallel zueinander, kommt es in Abhängigkeit der Scheibendicke unddes Einfallswinkels lediglich zu einer Parallelverschiebung des Lichtstrahls undnoch nicht zu einer Korrektur der Sehschwäche. Um Licht für die Korrektur ei-ner Weit- bzw. Kurzsichtigkeit zu bündeln bzw. zu zerstreuen, muss mindestenseine der beiden Glas/Luft-Grenz�ächen konvex bzw. konkav gewölbt sein [5].Derartige Glaskörper werden Sammel- bzw. Zerstreuungslinse genannt.

    Einführung der zentralen

    Schlüsselbegri�e und

    Erläuterungen der im

    Experiment untersuchten

    Variablen des Themas

    Die aus dem Brechungsindex des gewählten Linsenmaterials und der Wölbungder Linse resultierende Lichtstreuung wird durch den Parameter Brennwei-te der Linse beschrieben [6]. Die Brennweite hängt darüber hinaus noch vomBrechungsindex des Umgebungsmediums ab. Unter Wasser wäre beispielsweisemit einer Glaslinse die Ablenkung des Strahlengangs viel geringer, da die Bre-chungsindizes von Glas (n = 1, 4 . . . 1, 9 [7], S.319) und Wasser (n = 1, 333 [7],S.319) weniger stark di�erieren. Die Brennweite wäre in einem solchen Expe-riment viel gröÿer.In diesem Artikel soll die Fragestellung beantwortet werden, wie groÿ derBrechungsindex einer beidseitig konvex gewölbten, d.h. bikonvexen Glas-Sammellinse ist, um über diese Materialeigenschaft auf die Zusammensetzungder verwendeten Linse zu schlieÿen. Hierzu werden die Krümmungsradien derLinsenwölbung vermessen und die Brennweite der Linse mittels geometrischerOptik bestimmt.

    Fragestellung des

    Experiments und

    Nennung der Methodik

    3

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    2 Grundlagen

    Im Folgenden wird zunächst die Bildentstehung hinter einer Sammellinse be-schrieben. Anschlieÿend wird der mathematische Zusammenhang zwischen derBrennweite, den Krümmungsradien der Linse und dem Brechungsindex vor-gestellt. Zuletzt wird die für die experimentelle Bestimmung der Brennweiteerforderliche Abbildungsgleichung hergeleitet.

    Kurzer Überblick über

    die logische Gliederung

    der Grundlagen

    Bilder immer mit

    Bildunterschrift und

    Quellenangabe

    Das in diesem Versuch verwendete Linsenmaterial gehört in die Kategorie

    Abbildung 1: Vereinfachte Darstellung der Bildentstehung bei einer dünnenSammellinse.[8], S.1060.

    �dünne Linsen�. Bei diesen kann aufgrund der im Vergleich zu ihrem Durchmes-ser geringen Dicke die Lichtbrechung an den beiden Luft/Glas-Grenz�ächen aufeine einzelne Brechung an der Hauptebene zusammengefasst werden. Die we-sentliche Eigenschaft einer dünnen bikonvexen Sammellinse ist, dass sie sämt-liche Strahlen eines zu ihrer optischen Achse1 parallelen Lichtbündels in einemeinzigen Punkt, dem Brennpunkt F bündelt (Funktionsweise einer Lupe). Beider Abbildung eines Gegenstandes (Funktionsweise einer Brille) fällt das Lichtnicht in Form eines Parallelstrahls ein, sondern als von einem Punkt ausge-hender einzelner divergierender Lichtstrahl. Für die Konstruktion des hinterder Linse entstehenden Bildes werden nur drei ausgezeichnete Strahlenverläufebenötigt: Der Parallelstrahl fällt parallel zur optischen Achse ein (vergleicheLupe) und wird an der Hauptebene so gebrochen, dass er hinter der Linsedurch den Brennpunkt F verläuft. Der Brennpunktstrahl läuft vor der Lin-se durch den Brennpunkt und wird durch Brechung an der Hauptebene zumParallelstrahl. Der Mittelpunktstrahl geht genau durch den Mittelpunkt derLinse. Er wird bei einer dünnen Linse quasi nicht gebrochen, da er auf zwei(dicht benachbarte) parallele Grenz�ächen tri�t.[8]Hinter der Linse entsteht am Kreuzungspunkt dieser drei (und aller weite-rer denkbarer) Strahlengänge eine scharfe Abbildung des Gegenstandes. Dortkann das Bild dementsprechend auf einem Projektionsschirm dargestellt wer-den. Für die Berechnung der Gröÿe und Position des scharfen Bildes werdendie Gröÿen Gegenstandsweite g (Abstand zwischen dem Gegenstand G undder Hauptebene der Linse), Bildweite b (Abstand zwischen der Hauptebeneder Linse und dem Bild B auf dem Schirm) sowie Brennweite f (Abstandzwischen der Hauptebene der Linse und dem Brennpunkt F ) benötigt (sie-he Abb.1).

    Benennungen in Bildern

    und Text sollten

    kongruent

    sein.(Variablen,

    Stichwörter, etc.)

    Dabei ist die Vergröÿerung bzw. Verkleinerung als Verhältnis derGröÿe des ursprünglichen Bildes zur Gröÿe des Gegenstandes de�niert. Unter

    1Mit optischer Achse wird die durch die Krümmungsmittelpunkte der beiden brechendenFlächen der Linse verlaufende Gerade bezeichnet. In der Abbildung 1 ist die Verlängerungdieser als Horizontale eingezeichnet.[8]

    Fuÿnoten enthaltenDe�nitionen oderAnmerkungen, die imText den Lese�uss stören

    4

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    Abbildung 2: Zur Berechnung der Bildweite b aus der Gegenstandsweite g bei der Brechungan einer einzelnen sphärischen Ober�äche. (aus [8], S.1053)

    Verwendung der Strahlensätze folgt aus den skizzierten Strahlenverläufen, dasssich die Bildgröÿe B zur Gegenstandgröÿe G verhält wie die Bildweite b zurGegenstandsweite g:

    V =B

    G=b

    g(2.1)

    Wie bereits in Kapitel 1 beschrieben, handelt es sich beim Brechungsindex num eine Materialkonstante. Zusammen mit den beiden Krümmungsradien rider bikonvexen Sammellinse ergibt sich eine individuelle Brennweite f . Für dieBerechnung des Zusammenhangs zwischen Brechungsindex, Krümmungsradiusund Brennweite wird die bikonvexe Linse (mit Dicke d→0) in zwei aneinander-gelegte, plankonvexe (nur einseitig gewölbte) Linsen zerlegt. Ausgehend vomim Jahr 1621 vom Mathematiker Willebrord van Roijen Snell entdeckten Snel-lius Brechungsgesetz wird zunächst die Richtungsänderung des Lichtstrahlsbeim Passieren der gewölbten Grenz�äche zwischen Luft (n1 = 1, 0) und Linse(n2 = n) betrachtet (siehe Abbildung 2).Die Richtungsänderung des auÿerhalbund innerhalb der Linse verlaufenden Strahls wird dabei jeweils relativ zumLot auf die Grenz�äche mit den Winkeln θ1 und θ2 beschrieben [8]:

    sin θ1 = n sin θ2 (2.2)

    Formeln im Flieÿtext

    erklären.

    Mit Hilfe einiger geometrischer Überlegungen können die Winkel θi unterder Annahme kleiner Winkel (Kleinwinkelnäherung: sinα = α) auf bekannteLängen r, g und b überführt werden und es ergibt sich die allgemeine Formel

    n− 1r

    =1

    g+n

    b(2.3)

    Für die linke Linsenhälfte wird die Lichtbrechung damit bereits zutre�endbeschrieben. Es entsteht ein virtuelles Bild am Punkt P ′1 mit der Bildweite b1.Für die rechte Linsenhälfte müssen b und g in Gleichung 2.3 getauscht werden,da der Lichtstrahl aus der Linse mit n1 = n austritt (der Strahlenverlauf istumgekehrt). Weiterhin kann (aufgrund der erfolgten Brechung in der linkenLinsenhälfte) für die hier anzunehmende Gegenstandsweite g2 die Bildweite

    5

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    Abbildung 3: Physikalisch korrekte Veranschaulichung des Strahlengangs durch beide Lin-senhälften und die Position des virtuellen Bildes P ′1. (aus [8], S.1056)

    aus der ersten Brechung eingesetzt werden (siehe Abbildung 3). Damit ergebensich folgende Gleichungen:

    1

    r1(n− 1) = 1

    g+n

    b1(linke Hälfte) (2.4)

    1

    r2(n− 1) = 1

    b+n

    g2=

    1

    b+

    n

    −b1(rechte Hälfte) (2.5)

    Durch Addition der beiden Gleichungen kann die unbekannte Bildweite b1 eli-miniert werden und es ergibt sich schlieÿlich:(

    1

    r1+

    1

    r2

    )(n− 1) = 1

    g+

    1

    b(2.6)

    Für parallel einfallendes Licht, also für eine Abbildung eines unendlich weitentfernten Gegenstands g → ∞ entspricht die Brennweite per De�nition derBildweite (f = b). Eingesetzt in Gleichung 2.6 folgt

    Auf Formeln,

    Abbildungen, Kapitel

    referenzieren.

    (1

    r1+

    1

    r2

    )(n− 1) = 1

    b=

    1

    f(2.7)

    Gleichsetzen der Gleichungen 2.6 und 2.7 ergibt sofort die Abbildungsgleichungfür dünne Linsen

    1

    g+

    1

    b=

    1

    f(2.8)

    mit deren Hilfe sich allein durch Messung der Wertepaare Bildweite b undGegenstandsweite g die Brennweite einer dünnen Linse bestimmen lässt.

    6

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    3 Methode und Versuchsaufbau

    Die Brennweite f der Linse wird über die Realisierung einer einfachen Ab-bildung bestimmt. Dazu werden die Gegenstands- und Bildweiten der Sam-mellinse mit Hilfe des in Abbildung 4 skizzierten Aufbaus vermessen.

    Nennung der Methodik

    Der Ge-genstand wird mittels eines von hinten beleuchteten Dias (dieses zeigt einenPfeil) realisiert. Durch eine dünne bikonvexe Sammellinse wird auf einem wei-ÿen 400 cm2 groÿen Schirm das Bild erzeugt. Die Lampe, die Linse sowie derSchirm sind über eine Stativstange mit Reiter auf einer optischen Bank ange-ordnet. Linse und Schirm sind variabel über 150 cm verschiebbar. Es lassensich somit Gegenstandsweiten g und Bildweiten b frei einstellen.

    Beschreibung des

    konkreten Aufbaus meist

    unter Zuhilfenahme einer

    Abbildung.

    Die optische Bank ist mit einer Längenskala mit einer Skaleneinteilung von0,1 cm versehen, mit deren Hilfe die Positionen von Spiegel, Lampe und Halterabgelesen werden können. Eine Markierung in einer Aussparung am unterenEnde der Halterung von Linse, Schirm und Lampe ermöglicht ein einfaches Ab-lesen der Position über die Skala. Die Positionierung kann so auf einen halbenMillimeter exakt erfolgen. Während die Hauptebene der Linse sowie die Pro-jektions�äche des Schirms zentriert über dem Reiter angebracht sind, ist dasDia vorne auf der Lampe aufgesetzt. Es be�ndet sich an der Position 8,0 cm±0,1 cm auf der an der optischen Bank befestigten Längenskala. So gesehen weistdie Längenskala eine fehlerhafte Kalibrierung in gleicher Höhe auf, die in derAuswertung korrigiert werden muss.

    Beschreibung der

    verwendeten

    Messwerkzeuge inkl.

    -unsicherheiten

    Die Untersuchung wird nicht unter idealen Bedingungen im Vakuum, sondernunter Ein�uss der Luft bei Normaldruck durchgeführt. Die damit akzeptier-te zusätzliche Messunsicherheit beträgt aber durch den geringen Unterschiedzwischen nLuft=1,000292 und nVakuum=1,000000 lediglich 2, 9 · 10−6% und istsomit mehrere Gröÿenordnungen kleiner als die übrigen beschriebenen und zuerwartenden Messungenauigkeiten.

    Einordnung und

    Abschätzung des

    Ein�usses möglicher

    Abweichungen zwischen

    idealem und

    durchgeführtem

    Experiment auf das

    Ergebnis

    Skizzen enthalten

    sinnvolle Benennungen

    aller relevanten

    Komponenten

    Abbildung 4: Skizze des Versuchsaufbaus für die Bestimmung der Brennweite.

    Mit Hilfe eines Sphärometers werden die Krümmungsradien der bikonvexenLinse gemessen. Ein Sphärometer misst die Höhe h der Wölbung einer Linsein Bezug zu einer durch drei Aufsetzpunkte de�nierten Kreis�äche mit Radius

    7

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    s (siehe Abbildung 5). Aus diesen Messgröÿen kann über den Satz des Py-thagoras auf den Krümmungsradius r der Linse zurückgerechnet werden [9]:

    (r − h)2 + s2 = r2 (3.9)

    Nach Ausklammern und Kürzen folgt schlieÿlich:

    r =h

    2+s2

    2h(3.10)

    Das verwendete Sphärometer spannt eine Kreis�äche mit einem Radius vons = (17, 841 ± 0, 001)mm auf. Die Höhe h der Wölbung kann über zwei zuaddierende Skalen mit einer Genauigkeit von 0,01mm abgelesen werden.

    Nur Formeln einführen,

    die für die Bestimmung

    der Messunsicherheit

    oder für die

    Durchführung relevant

    sind. Die Herleitung im

    Flieÿtext beschreiben.

    Abbildung 5: Schematische Darstellung eines Sphärometers zur Vermessung eines Kugel-segments mit Radius r und einem Radius des Basiskreises von s und Höheder Wölbung h. Als Inset ist eine Draufsicht gezeigt. (nach [10])

    8

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    4 Durchführung und Messwerte

    Für die Bestimmung der Brennweite werden zehn verschiedene Abstände zwi-schen feststehender Lampe (Gegenstand) und Schirm (Bild) eingestellt, begin-nend bei 100 cm absteigend bis 82 cm. Für jeden eingestellten Abstand wirddurch Verschieben der Linse jeweils eine vergröÿerte und eine verkleinerte(scharfe) Abbildung auf dem Schirm erzeugt. Die Positionen von Linse undSchirm werden jeweils notiert und sind im beigefügten Laborbuch zu �nden.

    Beschreibung des

    Messvorgangs und

    Verweis auf die Werte im

    Laborbuch.

    Dieses Scharfstellen des Bildes wird sehr sorgfältig vorgenommen, ist aber einesubjektive Wahrnehmung und damit statistischen Schwankungen unterworfen.Um die Ungenauigkeit zu minimieren und den menschlichen Ein�uss zu redu-zieren, stellen beide Experimentatoren abwechselnd das Bild scharf. Auÿerdemwird die Linse abwechselnd von links und von rechts positioniert. Bei diesemVorgehen wird bereits beim Experimentieren ein systematischer Messunsicher-heit von 0,2 cm festgestellt, der sich aber durch das beschriebene wechselweiseAnfahren der Linsenposition wegmitteln sollte.

    Beschreibung der

    identi�zierten

    Messunsicherheiten am

    Versuchstag, der

    Umgang mit diesen,

    sowie Quanti�zieren des

    Ein�usses auf das

    Ergebnis.

    Vor der Vermessung der Krümmungsradien der Linse wird das Sphärometerzunächst auf einer ebenen Fläche kalibriert. Als Korrekturwert ergibt sich einHöhenwert von h0 = −4, 99mm (vergleiche Laborbuch). Danach wird an je-weils drei unterschiedlichen Stellen die Höhe der Wölbung h an beiden Seitender bikonvexen Linse bestimmt. Hierzu wird das Sphärometer auf die Linseaufgesetzt und die Mikrometerschraube heruntergedreht, bis sie Kontakt mitder Linsenober�äche hat. Dieser (z.T. mit dem Auge schwer bestimmbare)Kontakt ist dann erreicht, wenn die Position des Sphärometers durch vier auf-liegende Messspitzen überbestimmt ist. Es beginnt zu wackeln. Der hierdurchentstehende statistische Messunsicherheit wird mit 0,02mm abgeschätzt. Dieaufgenommenen Werte sind im Laborbuch notiert.

    9

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    5 Auswertung und Diskussion der Messergebnisse

    Aus den aufgenommenen Positionen von Linse L und Schirm (Bild B) werdenim ersten Schritt relativ zur Position des Dias (Gegenstand G = 8, 0 ± 0, 1)die Gegenstands- (g = L − G) und Bildweite (b = B − L) berechnet. Mehr-fach angefahrene Linsenpositionen werden zuvor gemittelt und die zugehörigenMessunsicherheiten über die Standardabweichung bestimmt. Die so erhaltenenMesswertpaare (g,b) sind in Abbildung 6 für eine vergröÿerte (links) und ver-kleinerte Abbildung des Bildes (rechts) dargestellt.

    Achsenbeschriftungen

    von Diagrammen haben

    die gleiche Gröÿe wie die

    Bildunterschrift.

    Bildunterschriften sind

    immer ganze Sätze

    Bild

    wei

    te b

    / c

    m

    70

    75

    80

    85

    Gegenstandsweite g / cm13,8 14 14,2 14,4 14,6

    Bild

    wei

    te b

    / c

    m

    14,8

    15

    15,2

    15,4

    15,6

    15,8

    16

    Gegenstandsweite g / cm65 70 75 80 85

    Abbildung 6: Für die vergröÿerte (links) und verkleinerte (rechts) Abbildungen errechne-te Messwertpaare inklusive der Messgenauigkeit. Aufgrund der unterschiedli-chen Skalierung der Achsen scheinen die Messunsicherheiten für b und g starkzu variieren. Tatsächlich liegen diese aber (erwartungsgemäÿ) in der gleichenGröÿenordnung.

    Bild

    wei

    te b

    / c

    m

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    Y Ax

    is Ti

    tle

    Gegenstandsweite g / cm10 20 30 40 50 60 70 80 90

    Messwerte Fit ohne Korrektur Fit mit Korrektur

    Abbildung 7: Diagramm für die aufgenommenen Messwertpaare und dem Fit mit der Funk-tion aus Gleichung 5.11.

    Da beide Datensätze der gleichen physikalischen Gesetzmäÿigkeit, der Abbil-

    10

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    dungsgleichung (Gleichung 2.8) genügen, können sämtliche Daten in ein ge-meinsames Diagramm eingetragen werden (siehe Abbildung 7). Zur Bestim-mung der Brennweite f wird nun die Abbildungsgleichung an die Messwerteange�ttet. Dabei repräsentiert x die Gegenstandsweite g und y die Bildweite b.Die Brennweite ist der einzig freie Parameter, der zu bestimmen ist (siehe Glei-chung 5.11). Der so erhaltene Fit (in Abbildung 7 rot eingezeichnet) stimmtim Rahmen der Messunsicherheiten gut mit den Messdaten für kleinere Gegen-standsweiten bzw. gut in x-Richtung überein. Jedoch gibt es eine signi�kanteAbweichung in y-Richtung.

    Erläuterung und

    Begründung des

    Vorgehens bei der

    Auswertung

    Wird in die Fit-Funktion ein zusätzlicher Para-meter ξ eingefügt (siehe Gleichung 5.12), der eine Verschiebung der Kurve iny-Richtung erlaubt, ergibt sich eine überzeugende Übereinstimmung zwischenMessdaten und Fit im Rahmen sämtlicher Messunsicherheitsgrenzen (in Abbil-dung 7 grün eingezeichnet). Für den Parameter ξ ergibt der Fit einen Wert von(1,2± 0,3) cm. Physikalisch entspricht das eingefügte ξ einer additiven Korrek-tur der Bildweite b. O�enbar liegt eine systematische Messunsicherheit in derBestimmung der Bildweite vor. Bei einer nochmaligen Prüfung des Aufbauskann tatsächlich eine fehlerhafte Bestimmung der Position des Projektions-schirmes festgestellt werden. Die Stativstange des Projektionsschirms ist nichtzentrisch im Reiter, sondern zu kleineren Bildweiten verschoben montiert. Derabgelesene Korrekturwert zur nachträglichen Kalibrierung der Messwerte be-trägt (-1,09± 0,01) cm und stimmt damit sehr gut mit dem Fitergebnis überein.

    Einordnung/Diskussion

    der Ergebnisse

    y =1

    f−1 − x−1Fit-Funktion ohne y-Korrektur (5.11)

    y =1

    f−1 − x−1+ ξ Fit-Funktion mit y-Korrektur (5.12)

    Der Fit der Abbildungsgleichung an die derartig korrigierten Messwerte (nichtgraphisch dargestellt) liefert eine Brennweite von 11,90 cm mit einer Toleranzin Höhe von ± 0,01 cm. Das Ergebnis stimmt gut mit der Herstellerangabe fürdie Brennweite der Linse von 12,0 cm überein - die Genauigkeit der Herstel-lerangabe ist im Datenblatt nicht enthalten und wird daher aus der Zahl derangegebenen signi�kanten Stellen auf ± 0,1 cm geschätzt.

    Zur Bestimmung der links- bzw. rechtsseitigen Krümmungsradien der Lin-se werden zunächst die Höhenmessungen hi um den Kalibrierwert h0korrigiert, anschlieÿend gemittelt und über die Standardabweichung samtStudent-t-Korrekturfaktor für drei Messwerte die Messunsicherheit bestimmt:h̄1=(1, 28± 0, 05)mm und h̄2=(−1, 27± 0, 05)mm. Die Krümmungsradien derLinse werden anschlieÿend über Gleichung 3.10 bestimmt zu r1 = (12, 5 ±0, 9)mm und r2 = (−12, 6 ± 0, 9)mm. Die Messunsicherheiten sind dabeimittels Gauÿscher Messunsicherheitsfortp�anzung unter Einbeziehung von ∆hund ∆s berechnet

    Erklärung und Angabe

    des Fitergebnisses

    :

    ∆ r =

    √(1

    2− s

    2

    2h2·∆h

    )2+( sh·∆ s

    )2(5.13)

    Abschlieÿend wird nun mit Hilfe der berechneten Brennweite f und den Krüm-mungsradien ri über Gleichung 2.7 der Brechungsindex n der Sammellinse be-stimmt. Die zugehörige Messunsicherheit wird dabei über die Gauÿsche Mes-sunsicherheitsfortp�anzung mit den Messunsicherheiten für ∆r und ∆f

    Hinweis auf die

    Berechnung der

    Messunsicherheitenmittels

    11

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    Gleichung 5.14 bestimmt. Für den Brechungsindex ergibt sich 1,53± 0,01.

    ∆n =

    (f

    r1− fr2

    )−2√(∆ fr1− ∆ f

    r2

    )2+

    (∆ f

    r21·∆ r1

    )2+

    (∆ f

    r22·∆ r2

    )2(5.14)

    In der Literatur �nden sich zahlreiche, für verschiedene Linsenmaterialien expe-rimentell bestimmte Brechungsindizes, z.B. im Stöcker [7], in der Wikipedia [11]oder im Tipler [8]. Über einen Vergleich der in dieser Untersuchung erhaltenenWerte mit den Literaturangaben kommen als mögliches Linsenmaterial Fens-terglas (n = 1, 52 [12], S.1358), Borkronglas (n = 1, 51 [7]), Natriumchlorid(n = 1, 544 [7]) und der Kunststo� COC (n = 1, 533 [1] in Frage.2 Am bestenstimmt der gemessene Wert mit dem Literaturwert für COC Kunststo� über-ein. Das scheint plausibel, weil es sich bei diesem Material um ein typischesLinsenmaterial handelt.[13] Im Rahmen der Messunsicherheit kommen aberauch die Materialien Natriumchlorid und Fensterglas in Frage. Nach einer Ver-kostung der Linse konnte Natriumchlorid ausgeschlossen werden. Fensterglasschimmert typischerweise leicht grünlich bei schräger Betrachtung. Daher kannauch dieses ausgeschlossen werden.

    Beantwortung der

    Fragestellung: Diskussion

    und Einordnung der

    Ergebnisse (ggf. unter

    Einbeziehung von

    Literaturwerten)

    2Die hier genannten Angaben beziehen sich aufgrund der Dispersion (einer wellenlängenab-hängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium) meist nur auf eine jeweils spezi�zierteWellenlänge. Dieser Ein�uss kann in dem durchgeführten Experiment aber vernachlässigtwerden, obwohl die zur Verfügung stehende Lampe ein kontinuierliches Lichtspektrumaussendet: In der Abbildung auf dem Schirm ist keine derartige Farbverschiebung beob-achtet worden. Ursache dafür ist die geringe Gröÿe des Gegenstands im Vergleich zumDurchmesser der Linsen. Die Dispersion ist besonders am Rand einer Linse (bei groÿenBrechungswinkeln θi) stark ausgeprägt.

    12

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    6 Fazit

    Ziel dieses Versuches war die Bestimmung des Brechungsindex einer bikon-vexen Sammellinse unbekannten Materials. Dazu wurde zunächst die Brenn-weite der Sammellinse f über die Messung von Gegenstands- und Bildweitenmittels

    Zusammenfassung des

    Versuches und Angabe

    des Ergebnisses

    eines einfachen optischen Aufbaus zur Erzeugung einer vergröÿertenbzw. verkleinerten Abbildung bestimmt. Die Brennweite f ergibt sich damit zuf=(11,90± 0,01) cm. Mittels eines Sphärometers wurden die Krümmungsradi-en der Linse bestimmt und zusammen mit der Brennweite ein Brechungsindexvon n=1,53±0,01 berechnet. Dieser Wert stimmt im Rahmen der Messunsicher-heit mit dem Literaturwert für den Kunststo� COC überein. Dieses Materialwird häu�g in der Linsenproduktion eingesetzt, sodass das Ergebnis plausibelist.Insgesamt kann mit diesem Experiment die Fragestellung mit einer relativenMessunsicherheit von 0,4% beantwortet werden. Als Hauptschwierigkeit bei derDurchführung des Experiments erwies sich die subjektive Positionierung derLinse beim Scharfstellen der Abbildungen. Durch zahlreiche Wiederholungen,Aufnahme von Messwertpaaren und Fit an die Daten konnte diese Messun-sicherheit auf eine relative Messunsicherheit von 0,1% reduziert werden. Derdeutlich gröÿere Beitrag zur Gesamtmessunsicherheit ergibt sich aber durch dieBestimmung des Krümmungsradius (∆r/r=7,2%), der sich mit dem vorhande-nen Messgerät durch häu�geres Messen verbessern lieÿe. Über eine zusätzlicheBestimmung der Massendichte ρ könnte der Rückschluss auf das vorliegendeMaterial gestützt werden.

    Gesamtbewertung des

    Versuchs (�Re�exion�)

    mit Optimierungsmög-

    lichkeiten als

    Ausblick

    3

    3Hinweise im Rahmen des Urheberrechts

    Die Erstellung, Verwendung undWeitergabe von Kopien oder die Verwendung von Auszü-gen des Gesamtberichts in elektronischer oder ausgedruckter Form bedarf der vorherigenschriftlichen Genehmigung durch Dr. Marc Sacher, 3P Paderborner Physik Praktikum.Wenn Sie den Bericht oder Teile daraus verwenden, müssen Sie immer auf die QuelleMusterbericht 3P Paderborner Physik Praktikum, Universität Paderborn verweisen. DieUrheber- und Nutzungsrechte (Copyright) liegen bei der Universität Paderborn.

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  • Universität Paderborn

    3P - Das Paderborner Physik Praktikum

    Kommentierter

    Musterbericht

    7 Literatur

    [1] Wikipedia, Brechungsindex � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015, [On-line; Stand 20. November 2015].

    [2] Wikipedia, Materialkonstante � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015,[Online; Stand 18. November 2015].

    [3] Wikipedia, Brechung (Physik) � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015,[Online; Stand 19. November 2015].

    [4] Wikipedia, Brille � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015, [Online; Stand18. November 2015].

    [5] Wikipedia, Linse (Optik) � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015, [On-line; Stand 18. November 2015].

    [6] Wikipedia, Brennweite � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015, [Online;Stand 18. November 2015].

    [7] H. Stöcker, Taschenbuch der Physik. Formeln, Tabellen, Darstellungen (HarriDeutsch, Frankfurt am Main 2004).

    [8] P.Tipler und G.Mosca, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, 7. Auf-lage (Spektrum Verlag, Berlin u.a. 2015).

    [9] Wikipedia, Ringsphärometer � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2013,[Online; Stand 18. November 2015].

    [10] Schulzentrum Utbremen, Sphärometer, 1999, [Online; Stand 19. November2015].

    [11] Wikipedia, Hauptseite � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie, 2015, [Online;Stand 20. November 2015].

    [12] E. J.D'Ans, Taschenbuch für Chemiker und Physiker (, 1946).

    [13] Wikipedia, Cyclo-Ole�n-Copolymere � Wikipedia, Die freie Enzyklopädie,2015, [Online; Stand 19. November 2015].

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  • InhaltsverzeichnisEinleitungGrundlagenMethode und VersuchsaufbauDurchführung und MesswerteAuswertung und Diskussion der MessergebnisseFazitLiteratur