Ausgleichsrechnung - Methode der kleinsten Quadrate -

Nicht nur für

Beispiel 1:

Jemand möchte wissen, ob die Schuhgrösse und die Körpergrösse eines Menschen voneinander abhängig sind. Er misst von allen Schülern und Schülerinnen der Klasse oder des Schulhauses die Schuhgrösse und die Körpergrösse.

Das sieht dann zum Beispiel für eine Klasse wie folgt aus:

Man sieht also, dass grosse Leute tatsächlich auf grossem Fuss leben. Mit etwas Phantasie liegen die Messwerte auf einer Geraden:

y = ax+b

Doch wie bestimmt man die Parameter a und b dieser Geradengleichung?

Ihr habt es wahrscheinlich bereits erraten: Dazu braucht man natürlich die Kleinstquadrat-Methode.

= Residuen

r1r2, r3

r4

r20

r19

Repetition der Kleinstquadrat-Methode:

Die vertikalen Linien nennt man Residuen r. Bei 10 Messwerten gibt es 10 Residuen r1 bis r10.

Eine Approximation der Kurve durch die Messwert-Paare hat man dann, wenn der folgende Ausdruck M minimal wird: M(a,b) = (r1)2 + (r2)2 + (r3)2 + ... (r10)2

Meistens wird der Ausdruck kürzer als Summe geschrieben:

M(a,b) bedeutet, dass M von den Parametern a und b der Kurve abhängig ist.

2),( iirbaM

Wie berechnet man die Gerade durch die Messpunkte?

Im Idealfall liegt jeder Punkt (xi,yi) auf der Geraden:

yi = a xi + b

Diese Gleichung stellt man für jeden Punkt auf. Dies ergibt in der Regel ein überbestimmtes Gleichungssystem, d.h. es hat mehr Gleichungen als Unbekannte:

Mit Zahlen:

y1 = a x1 + b 162 = a·36 + by2 = a x2 + b 157 = a·37 + b : :y20 = a x20 + b 181 = a·46 + b

Meistens schreibt man die Gleichungen als Matrizen und Vektoren:

Für dieses Gleichungssystem kann man nun mit Hilfe des Taschenrechners oder eines Mathematikprogramms die Kleinstquadrat-Lösung bestimmen:

Man erhält a= 33.50 und b = 3.44

Wenn ihr nun die Schuhgrösse von jemandem kennt, dann könnt Ihr seine Körpergrösse erraten:

3.44 * Schuhgrösse + 33.5 cm

20

2

1

20

2

1

:

1

::

1

1

y

y

y

b

a

x

x

x

181

:

157

162

146

::

137

136

b

a

Trauben werden oft von einem Pilz befallen:

Beispiel 2

Gegen diesen Pilz muss der Weinbauer die Trauben mit einer Lösung aus Wasser und Gift behandeln, sogenannten Fungiziden. Je nach Giftmenge im Wasser breitet sich der Pilz schneller oder weniger schnell aus.

Hier sieht man einige Proben. Je mehr Gift man in die Lösung gibt, desto langsamer wächst der Pilz.

Viel Gift

Wenig Gift

Die Ergebnisse von 10 Proben kann man nun in einem Diagramm aufzeichnen.

Der Weinbauer möchte nun wissen, wieviel Gift er spritzen muss, damit der Pilz 50% resp. 95% weniger stark wächst. Diese Werte heissen ED50 oder ED95. (ED=Effective Dose).

Dazu legt man wieder nach der Kleinstquadrat-Methode eine Funktion durch die Messpunkte. Die Funktion ist diesmal keine Gerade, sondern ein sogenanntes Sigmoid:

)ln(1

1xbae

y

x: Gift-Konzentration y: Hemmung des Wachstums y=0 heisst, der Pilz wächst normal y=1 heisst, der Pilz wächst gar nicht

)ln(1

1xbae

y

Unsere Aufgabe ist nun, die beiden Parameter a und b zu bestimmen, so dass die Kurve „möglichst gut“ durch die Messpunkte geht.

Denn wenn wir a und b kennen, dann können wir leicht den ED50 und den ED95-Wert bestimmen.

Wie Ihr das macht, lernt Ihr in den zwei folgenden Lernaufgaben.