Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsproblematik Mathematisches Problem Standardverfahren...

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Datumsproblematik

• Mathematisches Problem

• Standardverfahren

• S-Transformation

• Bemerkungen


Datumsproblematik

Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär

Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall


Problem der Relativmessungen

• Strecken, Richtungen, Winkel, Höhen-differenzen definieren nur die innere Geometrie

• 3 Winkel gemessen:Maßstab, Ort und Ori-entierung unbestimmt

Lösung bisher: Festhalten von Koordinaten


Was ist die Datumsfestlegung?

Eindeutiger Bezug zwischen– der Geometrie des Netzverbundes (innerer

Geometrie) und– dem Koordinatenrahmen

ohne die innere Geometrie zu zerstören(Niemeier 2002, S. 230)


Ursachen für Singularität

• Unbestimmtheit des geodätischen Datums

• Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist nicht lösbar, wenn die Pfeile Streckenbeobachtungen darstellen

Konfigurationsdefekte werden hier nicht behandelt


Mathematisches Problem

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: v=Ax-l

(n,u)-Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u

Daher N=ATA regulär weil rkN=u

Somit eindeutige Qxx=N-1

Was passiert bei Rangdefizit?


Beispiel

Gemessen 3 HöhenunterschiedeAlle Höhen Unbekannte

dh12=H2-H1

dh23=H3-H2

dh31=H1-H3

Summe der Zeilen gibt Nullvektor linear abhängigRangdefizit d = 1Lösung: generalisierte Inverse

101

110

011

A


Direkte Lösung singulärer Gleichungssysteme

Über generalisierte Inverse möglich

Beispiel Bjerhammar‘sche Inverse

Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger Matrix mCn mit m ≤ n und r ≤ m

Lösung gegeben durch y = CT(CCT)-1x

Lösungsvektor hat minimale Länge yTy=min

Bedingte Ausgleichung: r = m


Bjerhammar‘sche Normalinverse (1)

Definiert als CT(CCT)-1

Angewendet auf singuläres System Nx = n mit C = CT = N erhalten wir x = N(NN)-1n mit xTx=min

Als Funktion von l können wir schreibenx = N(NN)-1ATl = Dl

Für die Kofaktormatrix folgtQ = DDT = N(NN)-1ATA(NN)-1N, alsoQ = N(NN)-1N(NN)-1N


Bjerhammar‘sche Normalinverse (2)

Q heißt stochastische Ringinverse von N

Eigenschaften:– Quadratisch– Symmetrisch– Singulär– x=Qn

– tr Q = min– tr Q = tr [N(NN)-1]


Pragmatische Lösung Höhennetz

Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig entlang der z-Achse verschoben werden

Lösung: Festhalten eines Punktes

Frage: Welchen Punkt festhalten?Unterschiedliche Resultate!

Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung– Für die Punkthöhen

z.B. Mittlere Höhe gleich Null– Für die Zuschläge zu den Näherungswerten

z.B. Summe der Zuschläge Null (aus xTx = min)


Allgemeine Lösung

Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum Eigenwert =0 ergänzen

n-facher Eigenwert – n Vektoren

Berechnung: Spektralzerlegung

Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht bekannt

Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktor-matrix


Geometrische Interpretation

• 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und in 2 Richtungen verschoben werden – 4 Datumsparameter

• 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht, skliert und in 3 Richtungen verschoben werden – 7 Datumsparameter


Datumsdefekte/freie Parameter

Dim. Netztyp max. Anzahl d. Datumsdefekte

freie Datumsparameter

1D Höhennetz Schwerenetz

1 Translation z

2D Lagenetz 4 Transl. x,y

Rotation z

Maßstab

3D 3D-Netz 7 Translation x, y, z

Rotation x, y, z

Maßstab


Datumsbestimmende Anteile von Beobachtungen

Elimination von Datumsparametern durch geeignete Beobachtungen– Maßstab – Strecke– Rotation um z – Azimut– Rotationen um x und y bei 3D-Netzen –

Zenitdistanzen– Translationen – GPS

Problem: Willkürliche Festlegung!


Datumsfreies Konzept

Relative Beobachtungen: datumsfrei

Beobachtungen mit absolutem Bezug: datumsbestimmende Informationen

Problem: Wie weit kann der datums-bestimmende Anteil verwendet werden?


Datumsbestimmende Anteile

Messgröße Datumsbestimmende Information

Strecken Maßstab des Netzes

Azimute Orientierung um z-Achse

Mind. 2 Zenitdistanzen Rotation um x- und y-Achse

Höhendifferenzen Maßstab der Höhen

GPS-Koordinaten für mind. 2 Punkte

3 Translationen, 3 Rotationen, Maßstab

GPS-Koordinatendifferenzen für mind. 2 Punkte

3 Rotationen, Maßstab


Zusatzparameter

Bisherige Behandlung: Verwendung des datumsbestimmenden Anteiles für die Datumsfestlegung

Frage: Wie kann der datumsbestimmende Anteil eliminiert werden?

Lösung: Einführen von ZusatzparameternDadurch wird die ursprüngliche

Bewegungsfreiheit wiederhergestelltAuch möglich: Nur einen Teil freigeben


Typische Zusatzparameter

• Strecken: Maßstab als (1 + m)

• Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle Azimute (oder getrennt nach Geräten)

• GPS-Datensätze: 4-Parameter-Transformation für den gesamten Koordinatensatz

212

21212 )()()1( yyxxms


GPS-BeobachtungenXYZ-Koordinaten geozentrisch müssen

umgewandelt werden– Transformation über bekannte Parameter– Lokale Transformationsparameter über Passpunkte

Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D-Fall mit Parametern Translationen in x und y, Rotation und Maßstab (Niemeier 2002)

AsAs

AsAs

omxxomyyyyy

omyyomxxxxx

sin)1)((]1cos)1)[((

sin)1)((]1cos)1)[((


Standardverfahren

• Zwangsfreie Lagerung

• Freie Ausgleichung

• Gezwängte Ausgleichung (auch: hierarchische Ausgleichung)


Zwangsfreie Lagerung (1)

Datumsdefekt d

d geeignete Koordinaten festgehalten

Entsprechende Spalten in A gestrichen Zeilen/Spalten in Qxx fallen weg

Keine Varianzinformation für gestrichene Koordinaten, daher zero-variance computational base

Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit


Zwangsfreie Lagerung (2)

Datum festgelegt durch Datumspunkte

Varianz der berechneten Punkte hängt von der Wahl der Datumspunkte ab!

Auswahl der Datumspunkte muss sorgfältig geschehen!


Freie Ausgleichung

• Innere Geometrie soll durch die Lagerung nicht beeinflusst werden

• Datumspunkte sollen an der Ausgleichung teilnehmen Varianzen für Datumspunkte

Ansatz: Bedingungen für Unbekannten-zuschläge einführen


Lagenetz (1)

Datumsdefekt 4

Bedingung xTx = min

Ableiten und Null setzen:

‚Einschwimmen‘ auf Näherungskoordinaten

0)(

0)(

0

0dx

Maßstab

zumRotation

yinnTranslatio

xinnTranslatio i

iiii

iiii

i

dyydxx

dyxdxy

dy


Lagenetz (2)

Bedingungen zwischen Unbekannten

dargestellt als Bedingungsmatrix

Parameter in Reihenfolge y, x

Widerspruch Anfangs Null

mm

mm

T

xyxy

yxyx

11

11

0101

1010

G


Lagenetz (3)

Erweitertes Normalgleichungssystem

Rechnung wie bei Ausgleichung vermit-telnder Beobachtungen mit Bedingungen

Auflösung liefert

0

PlA

k

x

0G

GPAA T

T

T

kkkx

xkxx

T

T

QQ

QQ

0G

GPAA1


Lagenetz (4)

Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori:

Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit Ränderungsmatrix G

G: Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert =0 von N Spektralzerlegung

duns

T

Pvv20


3D-Netz

nnn

nn

nn

nnT

zyxzyx

xyxy

xzxz

yzyzG

111

11

11

11

00

00

00

100100

010010

001001


Gesamtspurminimierung

Erstellung einer Ränderungsmatrix G

Koordinaten in Abhängigkeit von allen teilnehmenden Unbekannten berechnet

G muss das Rangdefizit ausgleichen

Varianzinformation für alle Unbekannten

Resultierende Genauigkeit ist innere Genauigkeit


Teilspurminimierung

Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung

Nicht alle Punkte in den Bedingungen berücksichtigt

Anwendungsfälle:– Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert– Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten

Grundmodell: Gi = EiG mit Auswahlmatrix Ei


Gezwängte Ausgleichung

Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten

z.B. EP-Netz in KT-Feld

Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang

Formal wie zwangsfreie Ausgleichung

Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen werden übertragen

Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte

Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte abhängig


S-Transformation (1)

Similarity Transformation = differentielle Helmert-Transformation für Parameter und Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973)

Bisher: Festlegung von Datum i durch Einführung von d Gleichungen

Erweitertes Normalgleichungssystem:

0xG iTi

0

n

QQ

QQ

0

n

0G

GN

k

x

ii

ii

Ti

ii

,22,21

,12,11

1



Lösungsvektor: mit

Dabei stammt Qi aus der Gesamtinversion des erweiterten Systems

Index i weil spezielle Lösung abhängig von gewähltem Datum

Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind datumsabhängig

nQx ii ,11iiixx QQQ ,11,



Multiplikation der Normalgleichungsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix

Einzelprodukte ergeben

I0

0I

QQ

QQ

0G

GN

ii

ii

Ti

i

,22,21

,12,11

IQG

0QG

0QGNQ

IQGNQ

iTi

iTi

iii

iii

,12

,11

,22,12

,21,11



Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler (u,d)-Eigenvektormatrix E

Es gilt AE=0, ETAT=0

Nun von links mit ET multipliziert:

Also:

IQGNQ iii ,21,11T

iiT

iTT EQGEPAQAE

0

,21,11

Tii

T EQGE ,21



Bedingungsmatrix Gi besteht aus d linear unabhängigen Zeilen

Zusätzlich linear unabhängig von Design-matrix A (beheben Datumsdefekt!)

Somit Gi und E im selben Vektorraum und ETGi ist regulär, also

Ti

Ti EGEQ

1

,21



Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt

Einfache Umformungen liefern

Transponierte Form dieser Matrix wird als Si-Matrix bezeichnet

IEGEGNQ T

iT

ii

1

,11

Ti

Tii EGEGINQ

1

NQGEGEIS iTi

Tii

1



Andere Datumsfestlegung k: Qk, Gk

Qk mit S-Matrix von links und rechts multipliziert liefert

Qk ist eine beliebige verallgemeinerte Inverse von N, daher gilt NQkN=N

Somit ist jederzeit ein Datumswechsel

möglich

ikiTiki NQNQQSQS

iiiTiki QNQQSQS



Transformation des Lösungsvektors: von links mit Qi multipliziert liefert

Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor – auch der vom Datum k ist möglich, daher

nNx nQNxQ ii

iki xxS



Transformation der Lösung (xk,Qk) im Datum k auf Datum i erfolgt über

Somit kann a priori festgelegtes Datum geändert werden ohne neu auszugleichen

Tikii

kii

SQSQ

xSx


Abschließende Bemerkungen

• Weiche Lagerung

• Netze in der Landesvermessung


Weiche Lagerung (1)

Verwendung stochastischer Vor-information über Anschlusspunkte

Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte

Zusätzlich soll gelten

Zusammen ergibt sich

NA

NANN l

x

xAAv

AAAA xIvl

A

N

A

N

A

AN

A

N

l

l

x

x

I0

AA

v

v


Weiche Lagerung (2)

‚Beobachtungsvektor‘ lA enthält die Koordinaten der Anschlusspunkte als Beobachtungen

Reguläres Problem, wenn Anzahl der ein-geführten Koordinaten größer als Rang-defizit und Koordinaten lösen Rangdefizit

Kovarianzinformation AA for lA

Stochastisches Modell:

AA

ll

0

0


Weiche Lagerung (3)

Minimumsforderung vTPv angewendet auf gesamten Verbesserungsvektorgibt

Hybride MinimumsforderungÄnderung der Netzgeometrie!Über unterschiedliche Varianzen der

Gewichtseinheit für AA und ll Steuerungsinstrument für Einpassung von GPS-Beobachtungen

TATN vv

min11 AAA

TANLL

TN vvvv


Netze der Landesvermessung (1)

Früher: Triangulationen mit wenigen Strecken (Invardraht-Basen)

Weiträumiges Netz, dann verfeinert (Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung)

Nicht komplett streng ausgeglichen, daher Klaffungen (auch wegen Punktver-schiebungen und Genauigkeitssteigerung bei Messgeräten)

Art der Ausgleichung: Bedingt!


Netze der Landesvermessung (2)

Problem: Erde ist nicht stabil

Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der untersuchten Festpunkte bewegen sich

Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten?

Wie geht man sinnvoller Weise bei der Homogenisierung vor?

Noch keine Antworten – Themen für weitere Arbeiten

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