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Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung bei Sturzflutereignissen im städtischen Raum Literaturstudium mit Anwendung der Fließformeln Wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung des Grades Bachelor of Science (B. Sc.) an der Ingenieurfakultät Bau Geo Umwelt der Technischen Universität Mün- chen. Betreut von Dr.-Ing. Karl Broich und M. Sc. Thomas Pflugbeil Lehrstuhl für Hydrologie und Flussgebietsmanagement Eingereicht von Matthias Grundei Nettstraße 27 82296 Schöngeising +49 17647365525 Eingereicht am München, den 20.09.2018

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Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung bei Sturzflutereignissen im städtischen Raum

Literaturstudium mit Anwendung der Fließformeln

Wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung des Grades Bachelor of Science (B. Sc.) an der Ingenieurfakultät Bau Geo Umwelt der Technischen Universität Mün-chen.

Betreut von Dr.-Ing. Karl Broich und M. Sc. Thomas Pflugbeil

Lehrstuhl für Hydrologie und Flussgebietsmanagement

Eingereicht von Matthias Grundei

Nettstraße 27

82296 Schöngeising

+49 17647365525

Eingereicht am München, den 20.09.2018

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Anhang I

Erklärung

Ich versichere hiermit, dass ich die von mir eingereichte Abschlussarbeit selbstständig verfasst und

keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Ort, Datum, Unterschrift

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V

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen der Fließtiefe und

dem Fließwiderstand bei Sturzflutereignissen im städtischen Raum. Hierzu wurden im

Rahmen einer Literaturstudie Fließformeln untersucht, welche in der Praxis große Anwendung

finden. Um das Optimierungspotenzial dieser Formeln zu analysieren, erfolgte eine weitere

Recherche. Neue Berechnungsmethoden für einen tiefenabhängigen Widerstandsbeiwert mit

unterschiedlichen Herangehensweisen wurden dargestellt und verglichen. Die beiden neuen

Methoden nach Díaz aus dem Jahre 2005 und nach Muhammad et al. aus dem Jahre 2017

wurden durch Berechnungen der neuen Beiwerte mit den alten Werten verglichen. Bei einem

großen Teil der Ergebnisse ist zu erkennen, dass diese Fließformeln Rauheitsbeiwerte liefern,

welche geringere Schwankungen des Rauheitsbeiwertes aufweisen als die allgemeinen

Fließformeln. Die Methode nach Díaz liefert von der Fließtiefe abhängende Rauheitsbeiwerte.

Jedoch kann die Formel nach Muhammad et al. bei Fließtiefen, die kleiner als die

Vegetationshöhe sind, mit der Methode des GEP keine nutzbaren Werte liefern.

Das abschließende Kapitel dieser Arbeit untersucht das Einzugsgebiet Baiersdorf in Bayern

mit Hilfe des Programmes „ArcMap“ von „Esri“. Die Software liefert prozentuale Flächenanteile

von verschiedenen Landnutzungen. Die Auswertung zeigte, dass der größte Anteil der Fläche

von Baiersdorf die Landwirtschaft einnimmt.

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Abstract

The present work deals with the connection between the flow resistance and the water depth

during flash flood occurrences in urban areas. For this purpose, flow formulas were

investigated in the context of a literature study. The first step was to consider general flow

formulas with great application in practice. The second step was to analyze the optimization

potential of these formulas by searching for new calculation methods. Practices, where the

roughness coefficients are dependent on the flow depth and vegetation were evaluated in

greater detail. The work by Díaz from 2005 and the calculation approach by Muhammad et al.

from 2017 were compared to the general formulas by calculating the new coefficients. For

most results the new flow formulas provided roughness coefficients with lower fluctuations.

The method by Díaz provides improved roughness coefficients depending on the flow depth.

However, the approach by Muhammad et al. cannot provide useful data, if the flow depth is

smaller than the vegetation height.

The final section of this paper evaluates the catchment area Baiersdorf in Bavaria with the

program "ArcMap" of "Esri". The software calculated the percentage share of different land

uses in the region. The findings where that the largest part of the area is occupied by

agriculture.

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Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung ............................................................................................................... VAbstract ..................................................................................................................... VIVerwendete Formelzeichen ..................................................................................... IXAbbildungsverzeichnis ............................................................................................ XITabellenverzeichnis ............................................................................................... XIII

1 Einführung ........................................................................................................... 11.1 Auswirkungen von Sturzfluten ................................................................................ 11.2 Vorgehensweise ..................................................................................................... 3

2 Beschreibung der Fließformeln ......................................................................... 42.1 Überblick über die Fließformeln ............................................................................. 4

2.1.1 Chézy .................................................................................................................. 52.1.2 Gauckler-Manning-Strickler ................................................................................ 52.1.3 Darcy Weisbach .................................................................................................. 7

2.2 Vertiefung der Fließformeln unter Berücksichtigung geringer Fließtiefen und

Bewuchs ............................................................................................................................. 102.2.1 Zusammenhang zwischen dem Fließwiderstand und der Fließtiefe ................. 102.2.2 Erweiterung der Fließformel von Manning-Strickler .......................................... 142.2.3 Geschwindigkeitsverteilung in offenen Gerinnen mittels der Karman-Prandtl

Gleichung ........................................................................................................................ 152.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand ................................................ 16

2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden mit Bewuchs ........... 162.3.2 Macro-Rauheit bei geringen Fließtiefen ............................................................ 172.3.3 Manning’s-Beiwert für geringe Fließtiefen mit Bewuchs ................................... 182.3.4 Model für den hydraulischen Widerstand bei überströmter Vegetation ............ 222.3.5 Repräsentative Rauheitshöhe von überflossener Vegetation ........................... 242.3.6 Variation von Manning’s n für untergetauchte und nicht-untergetauchte

Vegetation ....................................................................................................................... 272.3.7 Zusammenhänge des Reibungsfaktors f und der Reynoldszahl Re ................. 282.3.8 Berechnung des Manning’s-Beiwertes durch Regressionsgleichungen ........... 302.3.9 Alternative Beschreibung der Rauheit durch logarithmische Ansätze .............. 32

3 Hydraulische Berechnungen ........................................................................... 353.1 Berechnung hydraulischer Parameter durch geeignete Fließformeln .................. 35

3.1.1 Berechnungen nach Díaz ................................................................................. 35

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3.1.2 Berechnungen nach Muhammad ...................................................................... 37

4 Implementierung der Ergebnisse in GIS ........................................................ 414.1 Auswertung unterschiedlicher Flächenanteilen der Stadt Baiersdorf mit GIS ...... 414.2 Beschreibung des Abflussverhaltens versiegelter und bewachsener Flächen .... 42

5 Zusammenfassung ........................................................................................... 44

6 Literaturverzeichnis .......................................................................................... 45

7 Anhangsverzeichnis ......................................................................................... 51

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Verwendete Formelzeichen

O [-] Widerstandsbeiwert

J [N/m3] Wichte von Wasser

Q [m2/s] kinematische Viskosität von Wasser

N [-] Karman-Konstante

Wc [Ns/m5] Strömungswiderstand

OV [%] Vegetationskonzentration

C [m1/2/s] Beiwert nach de Chézy

CB [-] Strömungswiderstandskoeffizienten bei Cheng

CD [-] Widerstandsbeiwert bei Huthoff

CF [-] Vegetationsbedeckungskoeffizient

d [m] Fließtiefe

D [m] Stammdurchmesser

E [%] Relativer Fehler

F [-] Froude-Zahl

f [-] Darcy-Weisbach Reibungsfaktor

Fr [-] Froude-Zahl

g [m/s2] Erdbeschleunigung

h [m] Fließtiefe

Hf [m] Energieverlust

I [-] Neigung der Gerinnesohle / Fließgefälle

IE [-] Neigung der Energielinie

kLim [m1/3/s] Widerstandsbeiwert kleiner Rauheitselemente

kr [m1/3/s] Rauheitsparameter

ks [m] aquivalente Sandrauheit

kSt [m1/3/s] Beiwert nach Strickler

L [m] Länge der Kanalreichweite

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X

m [-] Anzahl Vegetationseinheiten pro Einheit Bettbereich

N [%/m2] Vegetationsstämme pro Betteinheitsfläche

n [s/m1/3] Beiwert nach Manning

n0 [s/m1/3] Mannings-Beiwert für die Approximation nach Díaz

n1 [s/m1/3] approximierter Mannings-Beiwert

ns [s/m1/3] Mannings-Beiwert für den Boden

Q [m3/s] Durchfluss

q0 [l/s] oder [m3/s] Wasservolumenstrom bei Díaz

R [m] hydraulischer Radius

rQ [m] Hydraulischer Radius der Vegetation

s [m] repräsentative Trennung zwischen homogen verteilten

zylindrischen Vegetationselementen

S [-] Neigung der Gerinnesohle / Fließgefälle

T [m] Dicke oder Höhe der Vegetation

U [m/s] tiefengemittelte Fließgeschwindigkeit nach Smart

Uges [m/s] Gesamte Fließgeschwindigkeit nach Cheng

UR [m/s] Fließgeschwindigkeit im Vegetationsbereich

Ur0 [m/s] charakteristische Skalierungsgeschwindigkeit

US [m/s] Fließgeschwindigkeit der Oberflächengrenzschicht

UT [m/s] Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Fließtiefe

v [m/s] Fließgeschwindigkeit

V0 [m/s] Fließgeschwindigkeit bei Díaz

vm [m/s] mittlere Fließgeschwindigkeit

y0 [m] Fließtiefe bei Díaz

z [m] Vegetationshöhe

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XI

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Folgen von Sturzflutereignissen im urbanen Raum (HiOS: Hinweiskarte

Oberflächenabfluss und Sturzflut et al., 2018) .................................................................. 1

Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Models um Komponenten von

Sturzflutereignissen vorherzusagen. Helle Objekte sind optional (Smart, 2017) .............. 2

Abbildung 3: Reibungsbeiwerte für Rohrströmungen als Funktion der Reynoldszahl und

relativen Wandrauheit (Moody-Diagramm) (Manhart, 2015) ............................................. 8

Abbildung 4: Turbulente Strömung im Gerinn mit Schubspannungsprofil und

Geschwindigkeitsprofil (Jirka & Lang, 2009) ................................................................... 10

Abbildung 5: Einfluss von Vegetation auf die Schubspannung und die Fließgeschwindigkeit

(Deussfeld & Malcherek, 2012) ....................................................................................... 11

Abbildung 6: Die vier Subregionen des Manning's-Beiwertes mit der Wassertiefe (Wu et al.,

1999) ............................................................................................................................... 12

Abbildung 7: Beziehung zwischen der Fließtiefe und Manning's n (Mustaffa et al., 2016) .... 13

Abbildung 8: Geschwindigkeitsverteilung im Gerinne (Hornberger et al., 1998) .................... 15

Abbildung 9: Messwerte zu Manning's n und Fließgeschwindigkeiten v an drei

Untersuchungsorten (Ahmad et al., 2011) ...................................................................... 16

Abbildung 10: Messwerte von Manning's n und Durchfluss Q (Ahmad et al., 2011) .............. 16

Abbildung 11: Manning's-Beiwerte für Neigungen <20% und die Froudezahl (G. R. Díaz, 2005)

........................................................................................................................................ 20

Abbildung 12: Manning's-Beiwert für Neigungen >20% und die Froudezahl (G. R. Díaz, 2005)

........................................................................................................................................ 20

Abbildung 13: Mannings Widerstandskoeffizient n die durch das Modell vorhergesagt wurden.

Der markierte Punkt „X“ beschriebt die durchschnittlichen Bedingungen einem

Versuchsstandort.(Huthoff et al., 2013) .......................................................................... 23

Abbildung 14: Reibungsfaktor, Reynoldszahl und Fließtiefe für die Testreihe „S3" ............... 28

Abbildung 15: Reibungsfaktur und relative Überströmung für Weiden mit und ohne Blättern29

Abbildung 16: Vertikales Profil der Fließgeschwindigkeit und der Tiefe ................................. 33

Abbildung 17: Vergleich der n-Werte für Betttyp 1 über die Fließtiefe mittels des

Approximationsverfahrens nach Díaz ............................................................................. 36

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Abbildung 18: Vergleich der n-Werte für Betttyp 1 über die Fließtiefe mittels des

Approximationsverfahrens nach Díaz mit Übernahme der gegebenen

Fließgeschwindigkeiten V0 .............................................................................................. 37

Abbildung 19: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Regressionsgleichung nach

Muhammad et al. aus den Eingangsdaten „Upstream“ ................................................... 38

Abbildung 20: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Regressionsgleichung nach

Muhammad et al. aus der Eingangsdaten der Laborversuche ....................................... 39

Abbildung 21: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Methode des „Gene

Expression Programming“ nach Muhammad et al. aus den Eingangsdaten „Upstream“40

Abbildung 22: Bildschirmfoto des Programmes „ArcGis“ mit dem Einzugsgebiet Baiersdorf in

hellbrauner und dem InVeKoS-Datensatz in violetter Farbe ........................................... 41

Abbildung 23: Beziehung zwischen Niederschlag und Oberflächenabfluss bei Starkregen in

Abhängigkeit der Landnutzung (Riedl, 2002) .................................................................. 43

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Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Strickler-Beiwerte kSt (Manhart, 2015) ..................................................................... 6

Tabelle 2: Rauheiten ks von offenen Gerinnen für die Benutzung in der Fließformel nach Darcy-

Weisbach (Manhart, 2015) ................................................................................................ 9

Tabelle 3: Durchschnittliche Parameter der Tests (G. R. Díaz, 2005) ................................... 19

Tabelle 4: Anteile der Flächenarten des Einzugsgebietes Baiersdorf in Quadratkilometern und

Prozent sowie die zugehörige Rauheit ............................................................................ 42

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1 Einführung 1.1 Auswirkungen von Sturzfluten

Die vergangenen Jahre zeigten, dass sich Sturzflutereignisse in Deutschland in ihrer Zahl stark

erhöht haben. Aufgrund des Klimawandels wird erwartet, dass auch in Zukunft die Häufigkeit

und Schwere der Starkregenereignisse zunehmen wird (de Moel et al., 2009; Kleinen &

Petschel-Held, 2007). Als Starkregen wird eine hohe Niederschlagsmenge definiert, die in

einem sehr kurzen Zeitraum anfällt. Des Weiteren ist eine kurze Retentionszeit sowie ein

kleinräumiges Auftreten charakteristisch für ein Sturzflutereignis (Porth & Schüttrumpf, 2017).

Der Abfluss dieser Ereignisse ist in weiten Gebieten und außerhalb der

Konzentrationsbereiche wie Gerinnen laminar (Hornberger et al., 1998; Kirstetter et al., 2016).

Auch die, mit den Regenereignissen einhergehenden, Flussüberschwemmungen sind eine der

wesentlichen Naturkatastrophen in Europa und verursachten allein im Zeitraum 1986 bis 2006

Schäden von rund 100 Milliarden Euro (de Moel et al., 2009). Vor Allem in Städten, ohne den

Einfluss von Fließgewässern, nimmt die Überflutungsgefahr zu. Die fortschreitende

Flächenversiegelung und die wachsende Belastung der Kanalisation in Siedlungen führt dazu,

dass anfallendes Regenwasser oft nicht mehr ohne Weiteres abgeleitet werden kann (Stefan

& Telegdy, 2015). Bei Starkregenereignissen verstopfen oft mitgeführte Bodenmaterialien wie

Trümmer und Sedimente die Entwässerungssysteme und führen somit zu noch größeren

Aufstauungen (Hapuarachchi et al., 2011). Während eines urbanen Sturzflutereignisses, wie

in Abbildung 1 dargestellt, können Straßen zu schnell fließenden Flüssen werden und

Infrastrukturen und Grundstücke werden in kurzer Zeit zerstört (Hapuarachchi et al., 2011;

Abbildung 1: Folgen von Sturzflutereignissen im urbanen Raum (HiOS: Hinweiskarte Oberflächenabfluss und Sturzflut et al., 2018)

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2

HiOS: Hinweiskarte Oberflächenabfluss und Sturzflut, 2018). Die Sturzfluten in Simbach am

Inn und Braunsbach im Jahr 2016 haben bewiesen, welche Gefahr für Mensch und Umwelt

von derartigen Naturkatastrophen ausgeht.

Die durch Sturzfluten entstandenen volkswirtschaftlichen Schäden sind in ganz Europa in den

vergangenen Jahren maßgeblich angestiegen. Einfluss auf diese Entwicklung haben auch das

charakteristische Bevölkerungswachstum und die Zunahme wirtschaftlicher Aktivitäten in

hochwassergefährdeten Gebieten (Plate, 2002).

Um das Überflutungsrisiko und die damit einhergehenden Schäden zu minimieren, müssen

zunächst Problemstellen im Einzugsgebiet erkannt werden, sodass anschließend Schutz- und

Verbesserungsmaßnahmen angewendet werden können (Sulzbacher et al., 2015). Damit ein

zielgerichtetes Management des Einzugsgebietes ermöglicht wird, müssen wichtige

hydraulische Parameter bekannt sein (Kourgialas & Karatzas, 2014; Pramanik et al., 2010).

Durch hydrodynamische Modelle und Berechnungen können diese Werte bestimmt werden

(Kourgialas & Karatzas, 2014).

In Abbildung 2 ist zu erkennen, dass die Fließtiefe, die Fließgeschwindigkeit und Daten über

die Rauheit des überflossenen Untergrunds wichtig sind, um Auswirkungen von

Sturzflutereignissen vorhersagen zu können. Jedoch ist eine genaue Modellierung des

Fließwiederstands noch unerforscht. Genauere Untersuchungen des Einflusses von geringen

Fließtiefen auf die verschiedenen, in der Praxis häufig angewendeten Fließformeln, sind für

die Erforschung von Sturzfluten von großer Bedeutung.

2.1.1. Rainfall inflowHydrologic modelling has traditionally been considered as aseparate discipline from hydraulic modelling; however,advances in the computational speed of models has broughtabout the opportunity to combine hydrologic and hydraulicmodels so that the hydrodynamic model domain encom-passes some or all of the catchment. Inclusion of hydrologicmodel features is necessary in situations where there is pond-ing of local rainfall, very high infiltration rates or significantinter-catchment groundwater flow. Such models are becom-ing more common, particularly where overland flow isimportant. Combined models are variously referred to as‘rain-on-grid’ models, ‘direct rainfall’ models, ‘integratedhydrologic–hydraulic models’ or ‘rainfall-inundation’models. Attention to conservation of mass, stable trans-criti-cal flow transition and robust wet/dry algorithms are particu-larly important in such models. Depending on hydrodynamicmodel handling of infiltration and delineation of wet/dryareas, the required initial rainfall loss and continuing rainfalllosses for direct rainfall models may be different from whatwould be used in conventional hydrologic models which aretypically ‘all wet’. In direct rainfall models, overland flow isoften very shallow, resulting in high relative roughness. Theconventional flow resistance equations used in hydraulicmodels may not be appropriate under these conditions (seelater section on flow resistance). With an increased numberof wet cells compared to hydrograph-driven models, runtimes of direct rainfall models can be significantly longer.To compensate, computer GPUs (as opposed to CPUs) areincreasingly being used to speed up processing. Direct rainfallmodels require high-precision topography and breakline datamay be necessary within a model to ensure continuous chan-nel flow paths for all minor tributaries (Huxley and Syme2016). An as yet unsolved problem with direct rainfall modelsis the definition of a design flood return interval. For example,different 1/100 AEP rainfall intensities (for different dur-ations of rain) with different spatial patterns will give differ-ent predictions of flood hazard. Correct calculation of a 1/100AEP flood depth for a given location could require MonteCarlo simulations for probabilistic combinations of allexpected rainfall intensities and patterns. It is quite possiblethat the 1/100 AEP flood depth at different locations in adomain of interest will result from different types of rainfallevents. Given that comprehensive, typical flood models cantake days to run on desktop modelling computers, the simu-lation of thousands of potential rainfall scenarios is not realis-tic without high-performance computing facilities. Forpractical modelling purposes, definition of the ‘design flood’may have to be re-specified as, for example, ‘the flood

resulting from a 1/100 AEP 24-hour duration rainfall inten-sity falling evenly across a saturated domain’. Nested designstorms offer another alternative (e.g. a design rain storm con-taining the 1/100 AEP, 1 hour, 3 hour, 6 hour, 12 hour and 24hour rainfall intensities). However, there is potential for end-user (and scientific) confusion over the actual flow or rainfallAEP represented by this approach.

2.1.2. Precision topographyFor high-resolution flood models, topographic data must beaccurate. When river levels are near bank-full stage, errorsas small as a decimetre can result in hectares of overbankflooding (or no flooding). Consequently, for normally dryareas, accurate LiDAR-based DEMs are indispensable forhigh-resolution modelling. LiDAR companies use a correc-tion geoid (gravitational anomaly correction) in preproces-sing raw LiDAR data. This correction may still result inground levels that are different from those measured with tra-ditional theodolite and level. When LiDAR suppliers usedifferent geoid models, different ground levels will be pro-duced for the same location. We have detected differencesof up to 0.4 m in some New Zealand data. For the purposesof hydrodynamic modelling, traditional survey methodologyis most relevant because instruments levelled by a bubble relyon the same local gravitational field that drives the floodflows. To avoid geoid errors, ‘ground truth’ reduced levelsshould be used to confirm LiDAR data.

The topography can change due to the failure of flooddefences during a flood. Typically this is modelled by‘banks down’ scenarios rather than by simulating dynamicbank breaches. Embankment failure can cause surge effectswhich are not represented in ‘banks down’ models (or insome types of hydrodynamic solvers). Embankments failfrom mechanisms such as piping, debris jams, out-flanking,bank scouring, slumping, landslides and overtopping(which may be influenced by channel direction or capacitychanges associated with in-channel deposition). Underwatertopography (bathymetry) may also change due to geomor-phologic processes during the passage of a flood.

Bathymetry is represented in 1D models by topographiccross sections and, in 2D & 3D models, by DEMs. Consider-able uncertainty surrounds the bathymetry of mobile channelbeds. Techniques for dealing with morphologic change are toincorporate a morphodynamic model with the flood model(e.g. Neuhold et al. 2009) or (assuming that maximumflood depths and velocities are required) to use model bathy-metry which represents river conditions at the time of themost adverse flood conditions. Neither of these approachesis particularly well established and more field measurementsof channel morphology during floods are required to improvemodel representation of flood scour and fill cycles.

2.2. Hydrodynamic solver

A model’s hydrodynamic equation solver governs the simu-lation of flow behaviour. The 2-D codes accommodate flowvariation in horizontal directions but assume that flow vel-ocities are constant over the vertical direction so that non-hydrostatic effects and secondary flows are not modelled.The 1-D codes assume width- and depth-averaged flow andadditionally exclude plan-form circulation and lateral diffu-sion of flood waves (so are suited for pipes and regular

Figure 1. The components of a numerical model to predict flood hazard charac-teristics. Items in grey may be optional.

2 G. M. SMART

Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Models um Komponenten von Sturzflutereignissen vorherzusagen. Helle Objekte sind optional (Smart, 2017)

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1.2 Vorgehensweise

Die folgende Arbeit unterteilt sich in fünf Themenbereiche. Zunächst wird, nach einer kurzen

Einführung, in Kapitel zwei auf bestehende Fließformeln eingegangen. Hierbei werden die drei

wichtigsten Berechnungsansätze für Abflüsse beschrieben. Die Formeln spielen auch in

heutigen Untersuchungen noch eine große Rolle. Im anschließenden Kapitel werden die

Fließformeln genauer auf den Einfluss von geringen Fließtiefen und Bewuchs untersucht.

Besonders wichtig ist hier die Abhängigkeit des Rauheitsbeiwertes n aus der Manning-

Strickler-Formel von der Wassertiefe. Der nächste Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich mit

verschiedenen Laboruntersuchungen und Feldexperimenten zu Abflüssen aus der Literatur.

Verschiedene Modelle und Berechnungsmethoden eines Tiefenabhängigen

Rauheitsbeiwertes werden beschrieben. Zwei dieser Methoden werden im anschließenden

Kapitel durch Berechnungen verschiedener Abflussparameter angewendet. Der Vergleich

zwischen den Ergebnissen der üblichen Fließformeln und der neuen Methoden zeigt das

Optimierungspotenzial der Formeln nach Manning-Strickler, Chézy und Darcy-Weisbach. Im

vierten Kapitel dieser Arbeit werden verschiedene Flächenarten des Einzugsgebietes

Baiersdorf in Bayern ausgewertet. Hierbei wird der prozentuale Anteil sowie die zugehörige

Rauheit der unterschiedlichen Landnutzung untersucht. Die Analyse erfolgt mit dem

Programm „ArcMap“ von „Esri“. Anschließend erfolgt eine Bewertung des Rauheitswertes für

landwirtschaftlich genutzte Flächen, sowie ein Ausblick zu Verbesserungsmöglichkeiten

dieses Faktors.

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2 Beschreibung der Fließformeln Um die Abflussleistung eines Starkregenereignisses berechnen zu können, wird eine

geeignete Fließformel benötigt. In der Literatur sind einige höchst relevante Formeln für das

Fließverhalten von Wasser im Gerinne zu finden. Jedoch ist es wichtig, die Überlegung

anzustellen, ob diese mathematischen Sätze ebenfalls für wild abfließendes Wasser

verwendet werden können. Auf diese Problemstellung wird im folgenden Teil der Arbeit

genauer eingegangen. Im Anschluss werden verschiedenen Fließformeln aus der Literatur

behandelt und relevante Formeln für Sturzfluten daraufhin genauer untersucht. Hierbei werden

die neusten Erkenntnisse aus der aktuellen Forschung miteinbezogen.

2.1 Überblick über die Fließformeln

Die Strömung im Gerinne hat, genauso wie die Strömung von wildabfließendem Wasser, einen

freien Wasserspiegel. Der atmosphärische Druck kann aufgrund der geringen Dichte der Luft,

im Vergleich zu Wasser, und der allseitigen Luftdruckverteilung vernachlässigt werden

(Freimann, 2014). Für die Betrachtung von Wasserabflüssen werden Bilanzgleichungen der

Masse und des Impulses verwendet (Aigner & Bollrich, 2015). Mittels der Bernoulli-Gleichung

oder der Energiegleichung kann der Einfluss der mechanischen Energie, bestehend aus

potenzieller und kinetischer Energie, beschrieben werden. Diese Gleichung gilt aber meist

nicht für turbulente Abflüsse, die im Gerinne jedoch auch auftreten können (Fohrer et al.,

2016).

Wenn nun an einem differentialen Element die Kräftebilanz angesetzt wird, entstehen die

Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen werden auch die „allgemeinsten

Strömungsgleichungen“ genannt (Aigner & Bollrich, 2015). Die Transportgleichungen werden

für die drei Raumrichtungen aufgestellt. Zusätzlich wird das Gleichungssystem um den

Massenerhalt erweitert. Da nun für die Unbekannten, der Druck p sowie die Geschwindigkeiten

der drei Raumrichtungen, jeweils eine Gleichung zur Verfügung steht, ist das

Gleichungssystem bestimmt und lässt sich lösen (Aigner & Bollrich, 2015). Jedoch ist diese

Herangehensweise oft mit sehr hohem Rechenaufwand verbunden.

Um die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen zu vereinfachen, wird daher oft die

Reibung vernachlässigt. Beispiele hierfür sind die Euler-Gleichung oder die Laplace-

Gleichung. Bei der Reynolds-Gleichung wird die Reibung gemittelt und geht in die Gleichung

als Reynolds-Spannungstensor der turbulenten Schwankungsgröße mit ein (Aigner & Bollrich,

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2015). Da sich diese Arbeit mit den Auswirkungen des Fließwiderstandes beschäftigt, sind die

zuletzt genannten Lösungsansätze für uns nicht relevant und werden auch nicht weiterverfolgt.

Um den Oberflächenabfluss einer Hochwasserwelle zu berechnen, werden oft die

Differentialgleichungen nach Saint-Venant genutzt. Diese gelten für einen eindimensionalen,

instationären Abfluss im offenen Gerinne und bestehen aus der Kontinuitätsgleichung und dem

Impulssatz (Richard et al., 2017). Sie lassen sich aus den Navier-Stokes-Gleichungen mittels

Tiefenmittelung der Geschwindigkeit und hydrostatischem Druckansatz ableiten (Beven,

2012). Damit die Differentialgleichungen lösbar sind, müssen als Eingangsdaten die

Wassertiefe und Fließgeschwindigkeit der gesamten zu berechnenden Gewässerlänge

vorliegen. Oft stehen diese Informationen jedoch nicht zur Verfügung. Zusätzlich ist ein zu

hoher numerischer Rechenaufwand nötig (Müller, 2010).

2.1.1 Chézy

Die Basis der Fließformeln, die heutzutage in Gebrauch sind, bilden die Grundgedanken von

Brahms aus dem Jahre 1757. Diese Ideen wurde später von De Chézy im Jahre 1768 als

Formel niedergeschrieben und beschreibt die Berechnung der mittleren Fließgeschwindigkeit

vm (Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2002):

!" = $ ∙ & ∙ '( (1)

Hierbei ist der empirische Faktor C ein Beiwert, der Einflüsse wie Oberflächenrauheit,

Formwiderstand, Linienführung und Querschnittsform miteinbezieht (Landesanstalt für

Umweltschutz Baden-Württemberg, 2002). Außerdem geht in die Fließformel von Chézy die

Neigung der Energielinie IE, und der hydraulische Radius R mit ein. Aus den Erarbeitungen

von De Chézy folgt die heute häufig verwendete Formel nach Gauckler, Manning und Strickler.

2.1.2 Gauckler-Manning-Strickler

Diese Gleichung erfährt, aufgrund der zahlreichen Erfahrungswerte der Gerinnerauheiten,

eine hohe Anwendung in der Praxis (Aigner & Bollrich, 2015). Jedoch ist zu beachten, dass

Page 19: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

6

diese Formel nur bei turbulenten Strömungen angewendet werden kann (Venutelli, 2005). Die

Berechnungsmethode wird bei gleichmäßiger Strömung und bei überströmten, hydraulisch

rauen Oberflächen angewendet (Swamee, 1994). Die mittlere Fließgeschwindigkeit vm ergibt

sich aus dem Rauheitsbeiwert kSt nach Strickler multipliziert mit dem Fließgefälle IE und dem

hydraulischen Radius R (Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2003):

!" = )*+ ∙ &, - ∙ '. , (2)

Der Manningsbeiwert n ist in erster Linie in der englischen Literatur zu finden, währen dessen

im deutschsprachigen Bereich häufig den Stricklerbeiwert kSt verwendet wird (Landesanstalt

für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2003). Als empirischer Faktor enthält Manning’s n

Komponenten wie den Widerstand der Oberflächenreibung, die Formbeständigkeit, den

Wellenwiderstand sowie Widerstände aufgrund von Strömungsunstetigkeiten (Ding et al.,

2004).

Die Umformung der Beiwerte wird wie folgt geschrieben (Aigner & Bollrich, 2015):

)*+ = 11

(3)

Die Konstante kSt wird in der Einheit [2. - 3] angegeben. Typische Werte des

Stricklerbeiwerts reichen von 20 2. - 3, für sehr unregelmäßige, raue Untergründe bis zu 90

2. - 3, für sehr glatte Oberflächen (Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg,

2003). Eine Auswahl an Werten für den Stricklerbeiwert wird in Tabelle 1 dargestellt. Die

Berechnungsmethode nach Manning-Strickler liefert uns daher die Möglichkeit die mittlere

Fließgeschwindigkeit eines Gerinnes mit gegebener Tiefe oder hydraulischem Radius, das

Gefälle des Abflusses und den Rauheitsbeiwert zu bestimmen. Da die Fließgeschwindigkeit

KAPITEL 7. STATIONÄRE GERINNESTRÖMUNGEN 77

Gerinnetypen ks[mm]

Ebene FließgewässersohlenSand, Kies dk,90Grobkies, Schotter 60 - 200Sohlenpflasterung 30 - 50

Vorländer, BöschungenAckerboden 20 - 250Ackerboden mit Kulturen 250 - 800Rasen 60Gras und Stauden 130 - 400

Tabelle 7.1: Rauheiten ks von offenen Gerinnen für die Benutzung in der Fließfor-mel nach Darcy-Weisbach. Kleine Auswahl.

Gerinnetypen kSt [m1/3/s]

Erdkanälemit festem Sand 50Feinkies 45Sand, Lehm oder Kies, stark bewachsen 20 - 25

Natürliche WasserläufeFlußbetten mit fester Sohle, ohne Unregelmäßigkeiten 40Flußbetten mit mäßigem Geschiebe 33-35Flußbetten verkrautet 30-35Flußbetten, stark geschiebeführend 28

Tabelle 7.2: Strickler-Beiwerte kSt . Kleine Auswahl.

Tabelle 1: Strickler-Beiwerte kSt (Manhart, 2015)

Page 20: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

7

am Boden des Gerinnes null ist und die Geschwindigkeit im darüber liegenden Teil

offensichtlich größer als null ist, kann davon ausgegangen werden, dass sich die

Geschwindigkeit mit Abstand zum Gerinneboden ändert (Hornberger et al., 1998). Daher ist

es notwendig, die Formel nach Manning-Strickler im späteren Teil dieser Arbeit anzupassen

und zu erweitern.

2.1.3 Darcy Weisbach

Eine weitere Fließformel, die sich jedoch von der Berechnungsmethode nach Gauckler-

Manning-Strickler wesentlich unterscheidet, bietet die logarithmische Herangehensweise von

Darcy-Weißbach. Diese Formel basiert auf turbulenz-theoretischen Ansätzen aus der

Rohrhydraulik und lautet: (Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2003)

!" = 14∙ 86 ∙ & ∙ ' (4)

Wie bei der Berechnungsmethode von Gauckler-Manning-Strickler hängt die mittlere

Fließgeschwindigkeit vm von dem Fließgefälle I und dem hydraulischem Radius R ab.

Zusätzlich wird die Schwerbeschleunigung g in der Formel berücksichtigt. Der dimensionslose

Widerstandsbeiwert l hängt von der Reynoldszahl Re, der Querschnittsform, der

Rauheitsstruktur, der äquivalenten Sandrauheit rs = ks/d und der Linienführung ab

(Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2003). Die Werte der äquivalenten

Rauheit ks reichen von 0,05 2. - 3,, für glatte Rohre, bis zu 650 2. - 3, für unregelmäßigen

Untergrund wie Geröll oder Grobkies (Heinemann & Feldhaus, 2003).

Darcy-Weisbach’s Berechnungsmethode gilt im Gegensatz zu den zuvor genannten

Fließformeln sowohl für Strömungen im laminaren als auch im turbulenten Bereich (Freimann,

2014; Smith et al., 2007).

Bei laminaren Rohrströmungen wird der Reibungsbeiwert l als Funktion der Reynoldszahl Re

durch eine analytische Lösung der Navier-Stokes-Gleichung beschrieben (Manhart, 2015):

4 =64&9(;ü=>?2@1?=9AB=ö2D1691) (5)

Page 21: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

8

Rohrströmungen mit einer Reynoldszahl Re £ 2300 gelten als laminar. Der Übergang von

laminarer zu turbulenter Strömung erfolgt bei der kritischen Reynoldszahl Recrit » 2300.

Demnach liegt bei Überschreitung dieser kritischen Zahl, also bei Re ³ 2300, eine turbulente

Strömung vor (Manhart, 2015).

Liegt eine turbulente Strömung vor, kann die Navier-Stokes-Gleichung nicht mehr gelöst

werden und die Reibungsbeiwerte müssen experimentell ermittelt werden. Abbildung 3 zeigt

das Diagramm nach Moody (1944) in dem durch mehrere Versuche der Reibungsbeiwert bei

verschiedenen Reynoldszahlen Re und relativen Sandrauheiten rs = ks/d ermittelt wurde.

Bei dem Übergang von laminarer zur turbulenter Strömung ist zu erkennen, dass der

Reibungsbeiwert l stark zunimmt. In diesem Bereich wird nun die äquivalente Sandrauheit ks

in die Rechnungen miteinbezogen. Die Werte der Rauheit wurden für unterschiedliche

Rohrmaterialien bestimmt und mit Referenzdaten abgeglichen (Manhart, 2015).

Die Gleichung von Darcy-Weisbach wurde jedoch nur für Rohrströmungen aufgestellt. Daher

ergänzten Colebrook-White die Formel, um sie auch bei Fließgewässern anwenden zu können

(Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg, 2003). Dieses überarbeitete Fließ- und

Widerstandsgesetz lautet:

KA

PITEL6.

STRÖM

UN

GEN

INRO

HR

LEITUN

GEN

69

Abbildung

6.6:R

eibungsbeiwerte

fürR

ohrströmungen

alsFunktion

derR

eynoldszahlundrelativen

Wandrauheit(M

oody-Diagram

m).

Abbildung 3: Reibungsbeiwerte für Rohrströmungen als Funktion der Reynoldszahl und relativen Wandrauheit (Moody-Diagramm) (Manhart, 2015)

Page 22: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

9

84=

!

6 ∙ & ∙ '(= 2,5 ∙ ln

&)K

+ 6,74 (6)

Im Vergleich zu der Fließformel nach Gauckler-Manning-Strickler wird die Methode von Darcy-

Weißbach in der Praxis eher selten angewandt. Dies liegt daran, dass die Formel mit dem

Stricklerbeiwert eine hohe Datengrundlage für hydraulisch raue Gerinne hat, was für

Feldanwendungen durchaus zweckmäßig ist. Auch beschreibt der Beiwert kSt das Gerinne

ohne von der Höhe des Wasserstandes beeinflusst zu werden und kann daher für mehrerer

verschiedene Durchflüsse verwendet werden (Jirka & Lang, 2009). Für glatte Gerinne sollte

die Formel von Manning-Strickler jedoch nicht angewendet werden. Hier ist die Formel von

Darcy-Weisbach durchaus die bessere Wahl (Manhart, 2015). Eine Auswahl an Werten für die

Rauheit ks wird in Tabelle 2 dargestellt.

Die Formel von Darcy-Weißbach weist im Vergleich zur Manning-Strickler-Fließformel eine

Abweichung von ± 10% auf, was in der Praxis im Toleranzbereich liegt (Jirka & Lang, 2009).

KAPITEL 7. STATIONÄRE GERINNESTRÖMUNGEN 77

Gerinnetypen ks[mm]

Ebene FließgewässersohlenSand, Kies dk,90Grobkies, Schotter 60 - 200Sohlenpflasterung 30 - 50

Vorländer, BöschungenAckerboden 20 - 250Ackerboden mit Kulturen 250 - 800Rasen 60Gras und Stauden 130 - 400

Tabelle 7.1: Rauheiten ks von offenen Gerinnen für die Benutzung in der Fließfor-mel nach Darcy-Weisbach. Kleine Auswahl.

Gerinnetypen kSt [m1/3/s]

Erdkanälemit festem Sand 50Feinkies 45Sand, Lehm oder Kies, stark bewachsen 20 - 25

Natürliche WasserläufeFlußbetten mit fester Sohle, ohne Unregelmäßigkeiten 40Flußbetten mit mäßigem Geschiebe 33-35Flußbetten verkrautet 30-35Flußbetten, stark geschiebeführend 28

Tabelle 7.2: Strickler-Beiwerte kSt . Kleine Auswahl.

Tabelle 2: Rauheiten ks von offenen Gerinnen für die Benutzung in der Fließformel nach Darcy-Weisbach (Manhart,

2015)

Page 23: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

10

2.2 Vertiefung der Fließformeln unter Berücksichtigung geringer

Fließtiefen und Bewuchs 2.2.1 Zusammenhang zwischen dem Fließwiderstand und der Fließtiefe

Der Zusammenhang zwischen der Fließtiefe und dem Fließwiderstand verhält sich je nach

Sohlmaterial unterschiedlich. Bei Gerinnen ohne Bewuchs kann das Geschwindigkeitsprofil u

(y) und das Profil der Schubspannung t wie in Abbildung 4 dargestellt werden. Des Weiteren

sind die Fließtiefe h, die Rauheit ks und die Gravitationskonstante g abgebildet: (Jirka & Lang,

2009)

Abflüsse in Gerinnen mit Bewuchs weisen wiederum Geschwindigkeitsprofile und

Schubspannungsprofile anderer Art auf. Die folgende Abbildung 5 zeigt ein 2D-Modell eines

Abflusses über Gras. Das Modell kann in mehrere Zonen, mit verschiedenen Eigenschaften

unterteilt werden (Deussfeld & Malcherek, 2012). Zu erkennen sind der Verlauf des

Geschwindigkeitsprofils und der Schubspannung über die Wassertiefe für Abflüsse mit und

ohne Vegetation.

12

Schubspannung. Nach Eliminierung von Δx ergibt sich die lineare Schubspannungsvertei-lung

τ = γ sinθ(h− y) (2.2a)

Abb. 2.1: Gleichförmige turbulente Gerinneströmung mit K.V. und Profilen für die Schubspan-nung τ und Geschwindigkeit u als Funktion der Wandkoordinate y

Bei Gerinnen mit kleinen Sohlgefällen Io gilt sinθ ≈ tanθ = Io, demnach

τ = γIo(h− y) (2.2b)

Da Flüsse oder Kanäle selbst bei einem Gefälle von 1% (Io = 0,01) schon als sehr steil be-trachtet werden können, ist die Annäherung nach Gl. (2.2b) für die Praxis fast immer gül-tig.

Eine lineare Schubspannungsverteilung gilt in allen Gerinneströmungen mit breitem Quer-schnitt, unabhängig vom internen Fließzustand, also ob laminar oder ob turbulent. An der Sohle(y= 0) herrscht die maximale Sohlschubspannung

τo = γIoh (2.3a)

In kinematischer Form wird die Größe der Sohlschubspannung als die Schubspannungs- oderReibungsgeschwindigkeit u∗ ausgedrückt

u∗ =

!τoρ

(2.3b)

Die in der Praxis wichtigen Strömungen mit hoher Reynoldszahl sind durch turbulente Impuls-austauschvorgänge in Form von fluktuierendenWirbelbewegungen geprägt, die auf das mittlere

Abbildung 4: Turbulente Strömung im Gerinn mit Schubspannungsprofil und Geschwindigkeitsprofil (Jirka & Lang, 2009)

Page 24: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

11

In der Literatur gibt es zahlreiche Studien und Forschungen die belegen, dass bei Zunahme

der Fließtiefe der Manning’s-Beiwert n abnimmt. Die Abnahme wird als Ergebnis der Zunahme

der Pflanzenbiegung und Pflanzenüberflutung angesehen (Ree & Palmer, 1949; Wu et al.,

1999). Viele der Studien beziehen sich hierbei auf Abflüsse im Gerinne. Schon im Jahre 1990

wurde aus Untersuchungen in turbulenten flachen Gebirgsflüssen klar, dass sich der

Fließwiderstand bei variabler Fließtiefe verändert (Arcement & Schneider, 1989; Jarrett, 1990).

Auch zwei Jahre später, im Jahr 1992, zeigten weitere Feldversuche, dass der Manning’s-

Beiwert n vor allem bei geringer Fließtiefe stark variiert (Huntington & Whitehead, 1992).

Bei niedrigem Oberflächenabfluss, fließt das Wasser normalerweise in Richtung des

geringsten Widerstandes. Mit zunehmender Fließtiefe jedoch passt sich der Abfluss dem

steilsten Gefälle an (Vieira & Dabney, 2012). Bei Untersuchungen von Oberflächenabflüssen

über Grashecken in Holly Springs, Mississippi, USA wurde ebenfalls festgestellt, dass

Manning’s n bei verschiedenen Fließtiefen variabel ist. Wenn die Fließtiefe nicht groß genug

ist, um alle Rauheitselemente unter Wasser zu setzten, steigt der Widerstand. Ist also das

Rauheitselement noch nicht komplett unter Wasser, so steigt der Widerstand mit zunehmender

Fließtiefe (Vieira & Dabney, 2012). Steigt der Wasserspiegel jedoch und überdeckt nun alle

Rauheitselemente, so sinkt auch der Wert von n wieder (Kao & Barfield, 1978). Auch erzeugen

hier Grashecken einen Rückstau, der die Abflussgeschwindigkeit abbremst und

Sedimentablagerungen herbeiführt (Vieira & Dabney, 2012).

Wenn die Fließtiefe sehr viel größer als die Vegetationshöhe ist, ist der Anteil der durch die

Vegetation fließt, im Vergleich zu dem, der darüber fließt, sehr gering und dadurch

Abbildung 5: Einfluss von Vegetation auf die Schubspannung und die Fließgeschwindigkeit (Deussfeld & Malcherek, 2012)

Page 25: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

12

vernachlässigbar. Dadurch wird der Widerstandskoeffizient zunehmend zu einer Konstante

(Temple, 1987).

Wenn der Manning’s-Beiwert und die Fließtiefe in einem Diagramm aufgetragen werden,

können wie in Abbildung 6 dargestellt ist, mit zunehmendem Wasserstand vier Bereiche

unterschieden werden (Wu et al., 1999).

Bei geringer Tiefe, in der die Vegetation noch nicht überströmt ist, sinkt n zunächst. In der

zweiten Subregion beginnt die Überspülung der Vegetation und n steigt. Nach diesem Punkt

sinkt der Beiwert wieder bei ansteigender Fließtiefe. In Region vier wird der

Widerstandskoeffizient, wie oben beschrieben, annähernd konstant. (Temple, 1987; Wilson &

Horritt, 2002; Wu et al., 1999). Der Verlauf des n-Wertes in der letzten Region kann durch die

Tatsache erklärt werden, dass die impulsabsorbierende Fläche des Grases bei höherer

Fließtiefe weniger ausgeprägt ist (Wilson & Horritt, 2002).

Die Universiti Tun Hussein Onn Malaysia untersuchte 2016 ebenfalls die Variationen der

Rauheitskoeffizienten mit der Flusstiefe von Gräsern auf ihrem Campus. Jedoch ergaben die

Messungen ein anderes Ergebnis als die Versuche der USM.

In den Felduntersuchungen wurde an drei Punkten der Versickerungsmulden die Fließtiefe,

die Fließgeschwindigkeit und die Breite der Mulde gemessen. Eine Berechnung der

JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING / SEPTEMBER 1999 / 937

FIG. 2. (a) Variations of Roughness Coefficient with FlowDepth for Various Heights of Vegetation; (b) Four Subregions ofnb Curve

FIG. 4. Variations of Roughness Coefficient with Depth ofOverflow for Various Heights of Vegetation

FIG. 3. Variations of Roughness Coefficient and Mean FlowVelocity with Normalized Flow Depth for VariousHeights of Veg-etation

ANALYSIS OF EXPERIMENTAL RESULTSVariations of Roughness Coefficient and MeanVelocity with Flow DepthEmploying (2), the writers calculate the bottom roughness

coefficient of vegetation, nb, for all the trials. The results ofnb are plotted against the depth of flow. A typical graph isshown in Fig. 2(a), where four nb–D curves for various vegetalheights under a slope of 0.01025 are illustrated. The figurereveals that the nb–D curves have a consistent pattern of var-iation. With the increase of flow depth, four subregions canbe distinguished for each curve, as indicated in Fig. 2(b). Atlow flows, where the vegetation remains unsubmerged, nb de-creases with the increase of flow depth. When the submer-gence of vegetation starts to occur in the second subregion, nbtends to rise, to a certain extent, with the increasing flow (al-though the increase of nb for the 1.5 cm thick vegetal materialis not very explicit). This increase of nb is followed by a sub-stantial drop in the third subregion. As the depth of flow con-tinues to increase, nb curves approach asymptotic constants. Ithas been claimed [e.g., Chow (1959), Temple et al. (1987)]that such constants vary as a function of the height of vege-tation, which is also well demonstrated in Fig. 2(a). However,due to the limitation of the experimental apparatus, the datado not allow the writers to examine the exact values of theseasymptotic constants.To investigate the variation of the vegetative roughness co-

efficient with flow depth, nb and the corresponding mean flowvelocity are plotted against the normalized flow depth, D/T.Fig. 3 illustrates the nb and V curves for the same conditions

as shown in Fig. 2(a). The decrease of nb in the unsubmergedregion (i.e., for D/T < 1) is apparently accompanied by theincrease of mean velocity. This result is a conflict with theprevious hypothesis given by Temple et al. (1987), who at-tributed the increase of the unsubmerged vegetative roughnesscoefficient to the constant mean velocity. In fact, the increaseof roughness coefficient with the rising flow in natural streamsshould not be a consequence of the unchanged mean velocity;rather, it should be attributed to the greater bulk of overbankvegetation and branches/leaves encountered with the increas-ing depth. For the homogeneous material (horsehair mattress)used in the present study, the effects caused by the stage-wisenonhomogeneity can be eliminated, because no branchingstems and leaves exist. Alternatively, it is the relative increaseof the flow depth to the inertia (i.e., velocity) that leads to areduction in the roughness coefficient. This statement becomesapparent as one verifies the experimental data with (2). Withthe 6 cm thick mattress in Fig. 3, for example, a change inthe flow depth from D/T = 0.52 to D/T = 1.0 and, thus, achange in the corresponding mean velocity from 0.017 to0.029 m/s will reduce the magnitude of nb from 0.65 to 0.57,approximately 88% of the original roughness.

J. Hydraul. Eng., 1999, 125(9): 934-942

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Abbildung 6: Die vier Subregionen des Manning's-Beiwertes mit der Wassertiefe (Wu et al., 1999)

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13

Manning’s-Beiwerte wurde durch die Umstellung der Manning-Strickler-Gleichung realisiert (N.

Mustaffa et al., 2016).

Bei einer Grashöhe von etwa 50 bis 150 mm und der niedrigsten Fließtiefe in der Mulde von

etwa 0,205 m wird das Gras komplett von Wasser überflossen.

Nach den Untersuchungen von Ahmad et al. sollte also auch hier der Manning’s-Beiwert n mit

zunehmender Fließtiefe abnehmen. Jedoch ergaben sich genau gegenteilige Messungen

(Mustaffa et al., 2016).

In folgender Abbildung 7 sind die Ergebnisse der Messungen zu erkennen:

Bei hoher Strömungsgeschwindigkeit übt ein Hindernis eine Einflussatmosphäre aus, die

wesentlich größer ist als das Hindernis selbst. Die Strömung wird hier auf jeder Seite des

Hindernisses beeinflusst. Somit erklärte Mustaffa et al. den zunehmende Manning’s n mit der

zunehmenden Fließtiefe der Messungen.

Jedoch liefern diese Untersuchungen nur drei gemessene Wertepaare. Aufgrund der geringen

Ergebnisdichte wird davon ausgegangen, dass es sich hierbei um einen Spezialfall handelt.

Somit wird auf die Forschungsarbeiten von Mustaffa et al. in dieser Arbeit nicht tiefer

eingegangen.

Section A has the deepest flow depth (0.170 m) with the highest value of n (0.756), followed by Section B which has flow depth of 0.161 m with n of 0.462. Section C has the lowest value of n (0.110) with the shallow flow depth (0.098 m). These results show that the roughness coefficients will increase with the increase of depth. This is contrary to the finding by Ahmad et al., where the n value is slightly decrease with increment in flow depth [23]. However, they have observed that the n value is slightly increase with increment of flow depth higher than 0.10 m. Arcement and Schneider also found that the n value decreases with increasing depth [13]. They added that if the channel banks are much rougher than the bed or where dense brush overhangs the low-water channel, the n value is not constant with the flow depth.

Figure 4. Relationship of flow depth with roughness coefficients.

Arcement and Schneider have produced an adjustment factors for channel n values [13]. The channel

irregularities, alignment, obstructions, vegetation, and meandering have influenced the roughness of a channel. The value for n must be adjusted accordingly by adding increments of roughness to the base value for each condition that increases the roughness. As for irregularity wise, Chow and Benson & Dalrymple showed that severely eroded and scalloped banks can increase n values by as much as 0.020 [20][24]. Larger adjustments may be required for very large, irregular banks that have projecting points. Habitually, the greater roughness is associated with alternating large and small cross sections and sharp bends, constrictions, and side-to-side shifting of the low-water channel, and not affected significantly by relatively large changes in the shape or size of cross sections if the changes are gradual and uniform. A maximum increase in n of 0.003 will result from the usual amount of channel curvature found in designed channels and in the reaches of natural channels used to compute discharge [24].

Arcement and Schneider stated that the effect of obstructions on the roughness coefficient is a function of the flow velocity [13]. When the flow velocity is high, an obstruction exerts a sphere of influence that is much larger than the obstruction because the obstruction affects the flow pattern for considerable distances on each side. The sphere of influence for velocities that generally occur in channels that have gentle to moderately steep slopes is about three to five times the width of the obstruction.

Aldridge and Garrett have modified an adjustment values for factors that affect the roughness of a channel [25]. In wide channels having small depth-to-width ratios and no vegetation on the bed, the effect of bank vegetation is small, and the maximum adjustment is about 0.005. If the channel is relatively narrow and has steep banks covered by dense vegetation that hangs over the channel, the maximum adjustment is about 0.030. According to Chow, meanders can increase the n values by as much as 30 percent where flow is confined within a stream channel [20]. The meander adjustment should be considered only when the flow is confined to the channel. There may be very little flow in a meandering channel when there is flood-plain flow. 4. Conclusions The values of Manning’s roughness coefficient, n found in this study is in the range of 0.110 to 0.756, which are higher than the values proposed by the Urban Stormwater Management Manual for Malaysia (MSMA). According to MSMA (2012), the value n for the short grass cover is 0.035 and for the tall grass cover is 0.050. This may be due to several factors in terms of the swale cross-sections, the flow depth and velocity, the irregularities of the swale, and the height of vegetation at each section of the swale. The high value of n showed the less movement of flow within the swale. The swale should be maintained by mowing the vegetation to prevent any blockage for the water flows. Based on the modified adjustment values for factors that affect the roughness of a channel by Aldridge and Garrett, the channel conditions is very large with the n value adjustment in the range of 0.050 to 0.100, where turf grass growing and the average flow depth is less 5

Abbildung 7: Beziehung zwischen der Fließtiefe und Manning's n (Mustaffa et al., 2016)

Page 27: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

14

2.2.2 Erweiterung der Fließformel von Manning-Strickler

Die Fließformel nach Gauckler-Manning-Strickler liefert eine mittlere Geschwindigkeit des

Abflusses, die unter anderem aus einem Mittelwert des Fließwiederstandes berechnet wird.

Um eine zutreffende Modellierung der Fließgeschwindigkeit bei Sturzfluten realisieren zu

können, ist es wichtig, die Abhängigkeit des Fließwiderstandes von der Höhe des

Wasserstandes genauer zu analysieren. Da der Manning’s-Beiwert bei verschiedenen

Fließtiefen und Gefällen variabel ist, soll die geeignete Fließformel erweitert werden (G. R.

Díaz, 2005). Auch ist der Abfluss von Sturzfluten in weiten Gebieten und außerhalb der

Konzentrationsbereiche wie Gerinnen laminar (Hornberger et al., 1998; Kirstetter et al., 2016).

Daher muss bei Abflüssen dieser Art zwischen laminarem, turbulenten Bereichen sowie dem

Übergangsbereich unterschieden werden. Auch die Rauheitsverhältnisse ändern sich durch

diese unterschiedlichen Strömungsarten. In den zuvor beschriebenen grundlegenden

Fließformeln nach Chézy, Manning-Strickler und Darcy-Weisbach werden diese Aspekte nicht

berücksichtigt. Daher ist es wichtig diese Formeln zu erweitern oder neue

Berechnungsmethoden zu finden, welche die Übergänge der Strömungsarten berücksichtigt.

Page 28: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

15

2.2.3 Geschwindigkeitsverteilung in offenen Gerinnen mittels der Karman-Prandtl Gleichung

Die logarithmische Geschwindigkeitsverteilung eines turbulenten Gerinneabflusses kann

durch die Karman-Prandtl Gleichung dargestellt werden (Hornberger et al., 1998):

! N = 6 ∙ & ∙ ' ∙ 2,5 ∙ >1 ∙N)O

+ 8,5 (7)

Hierbei ist kr ein Rauheitsparameter. Für Gerinne mit kompliziertem ungleichmäßigem

Bodenmaterial ist es jedoch schwer, kr zu bestimmen. Oft werden hierfür Messungen der

Fließgeschwindigkeit benötigt (Hornberger et al., 1998).

Abbildung 8 zeigt die Geschwindigkeitsverteilung im Gerinne. Das Geschwindigkeitsprofil für

laminare Strömung, welche jedoch im natürlichen Gerinne so gut wie nie erreicht wird, ist

parabolisch. Bei turbulenter Strömung ähnelt der Graph einer logarithmischen Darstellung. Die

Geschwindigkeitsverteilung einer turbulenten Strömung ändert sich ab dem Boden des

Gerinnes sehr viel schneller als bei laminarer Strömung (Hornberger et al., 1998):

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Relative velocity, u/U

Rel

ativ

e de

pth,

z/h

turbulentflow

laminarflow

Abbildung 8: Geschwindigkeitsverteilung im Gerinne (Hornberger et al., 1998)

Page 29: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

16

2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden mit Bewuchs

Bei einer Reihe von Abflussuntersuchungen in Versickerungsmulden an der Science

University Malaysia (USM) wurden Fließtiefe, Geschwindigkeit, Durchfluss und Höhe des

Grases an drei Testorten untersucht. Eines der Ergebnisse zeigte, das der Manning’s-Beiwert

n bis zu einer bestimmten Geschwindigkeit gleichbleibt und danach sinkt (Ahmad et al., 2011).

Dies ist auch in folgender Abbildung 9 zu erkennen:

Bei dem Durchfluss Q konnte auch ein Zusammenhang mit dem Fließwiderstand festgestellt

werden. Demnach sinkt auch hier der Rauheitsbeiwert mit zunehmendem Durchfluss. Der

Graph von Manning’s n und der Fließtiefe sind vergleichbar mit den Graphen aus Abbildung

10. (Ahmad et al., 2011)

Rivers 2011 6th – 9th December 2011, Penang, Malaysia

188

Figure 16 'n –V' Curve of total roughness for Axonopus Compressus at three study sites.

Figure 17 'n –Q' of total roughness for Axonopus Compressus at three study sites.

In Figure 15, the results show that Manning's n at three study site with different slope conditions, slightly decrease with increment in flow depth. This agrees the finding by Diaz,(2005) and Chen.et al.(2009) where smaller Manning's n was observed for greater flow depth. However, Manning's n was observed to slightly increase with increment of flow depth after flow depth > 0.10 m. The relationship between Manning's n with velocity, V had been examined as shown in Figure 16. The Manning's n was observed to decline as the velocity increase for slope 1:1000, 1:1000 and 1:500 at Site 1, Site 2 and Site 3 respectively. When the velocity increased to a certain stage, Manning's n tends to be a definite value. In the analysis of relationship between Manning's n with flow rate (Q), all the data collected were used. Figure 12 shows the relationship drawn between Manning's n and flow rate for three study sites. As shown in figure, it seems that the resistance coefficients

have strong relationship with flow rate. It shows that the trend line were similar with relationship of Manning's n to flow depth. The initial findings from this study suggest that flow depth, velocity and flow rates are significant factors in influencing the resistance coefficient of Manning's n in swales. Further research is now being undertaken to examine this influence in greater detail and to determine an empirical relationship of Manning's n. 5 Conclusions Based on the results and analysis presented in this paper, it can be concluded that Manning coefficient decreases with increasing flow depth in swale. Data from this study suggests that the value of the constant for rating curve at different study site is also dependent on the vegetation height. Further study on grassed swales with different types, height, and geometrical conditions has

Abbildung 9: Messwerte zu Manning's n und Fließgeschwindigkeiten v an drei Untersuchungsorten (Ahmad et al., 2011)

Rivers 2011 6th – 9th December 2011, Penang, Malaysia

188

Figure 16 'n –V' Curve of total roughness for Axonopus Compressus at three study sites.

Figure 17 'n –Q' of total roughness for Axonopus Compressus at three study sites.

In Figure 15, the results show that Manning's n at three study site with different slope conditions, slightly decrease with increment in flow depth. This agrees the finding by Diaz,(2005) and Chen.et al.(2009) where smaller Manning's n was observed for greater flow depth. However, Manning's n was observed to slightly increase with increment of flow depth after flow depth > 0.10 m. The relationship between Manning's n with velocity, V had been examined as shown in Figure 16. The Manning's n was observed to decline as the velocity increase for slope 1:1000, 1:1000 and 1:500 at Site 1, Site 2 and Site 3 respectively. When the velocity increased to a certain stage, Manning's n tends to be a definite value. In the analysis of relationship between Manning's n with flow rate (Q), all the data collected were used. Figure 12 shows the relationship drawn between Manning's n and flow rate for three study sites. As shown in figure, it seems that the resistance coefficients

have strong relationship with flow rate. It shows that the trend line were similar with relationship of Manning's n to flow depth. The initial findings from this study suggest that flow depth, velocity and flow rates are significant factors in influencing the resistance coefficient of Manning's n in swales. Further research is now being undertaken to examine this influence in greater detail and to determine an empirical relationship of Manning's n. 5 Conclusions Based on the results and analysis presented in this paper, it can be concluded that Manning coefficient decreases with increasing flow depth in swale. Data from this study suggests that the value of the constant for rating curve at different study site is also dependent on the vegetation height. Further study on grassed swales with different types, height, and geometrical conditions has

Abbildung 10: Messwerte von Manning's n und Durchfluss Q (Ahmad et al., 2011)

Page 30: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

17

2.3.2 Macro-Rauheit bei geringen Fließtiefen

Macro-Rauheit wird in Betracht gezogen, wenn die Ausmaße der Rauheitselemente kLim

ähnlich groß wie die Wassertiefe h sind (Machiels et al., 2009):

)PQ" = 0,25 ∙ ℎ (8)

Das Themengebiet der Macro-Rauheit ist in der Forschung sehr aktuell (Machiels et al., 2009).

Grundlegend hierzu sind die Ansätze von Bathurst aus dem Jahr 1985. Die verschiedenen

mathematischen Formulierungen sind sich sehr ähnlich (Machiels et al., 2009):

14= −1,987 log

)5,15 ∙ ℎ

(9)

Bei zusätzlicher Berücksichtigung der Dichte der Rauheitselemente r entsteht die

Formulierung von Dubois:

84= 5,62 log

ℎ)+ 3,31 ∙ YZ[,\.- (10)

Page 31: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

18

2.3.3 Manning’s-Beiwert für geringe Fließtiefen mit Bewuchs

Die Forschung von Díaz im Jahre 2005 beschäftigt sich mit Versuchen zu hydraulischen

Parametern im Feld und im Labor, deren Messergebnisse in Anhang 1 und Anhang 2 zu finden

sind. Außerdem stellte Díaz eine neue Methode der Berechnung des Manning’s n auf.

Zunächst werden Ergebnisse der Forschung rauer Flussbetten mit Bewuchs betrachtet. In den

Arbeiten über Abflüsse mit Bewuchs entwickelte Temple (1980, 1982, 1983) ein Modell sowie

eine Berechnungsmethode für den Strömungswiderstand in Kanälen (Temple, 1980, 1982,

1983). Der Strömungswiderstand tc wurde dargestellt durch (G. R. Díaz, 2005):

]^ = _ ∙ ` ∙ 1 − $a ∙ ' (11)

CF ist ein empirischer Parameter der die Fähigkeit der Vegetationsdecke beschreibt,

Turbulenzwirbel abzuleiten. Ebenfalls gehen die Fließtiefe d, die Wichte des Wassers g und

das Gefälle des Flussbettes I in die Gleichung mit ein. Letzteres kann ausgedrückt werden

durch: (G. R. Díaz, 2005)

' =1K1

, (12)

Hier ist ns der Manning’s-Beiwert des Bodens und n der gesamte Manning’s-Beiwert.

Nun kann das Gefälle des Flussbettes I substituiert werden (G. R. Díaz, 2005):

]^ = _ ∙ ` ∙ 1 − $a ∙1K1

, (13)

R. García Díaz untersuchte an der Polytechnic University of Madrid Abflüsse an Hängen mit

geringen Fließtiefen und Bewuchs. Die Experimente wurden im Labor und im Feld

durchgeführt. Durch die Messung der Wassertiefe, des durchschnittlichen Abflusses und der

Page 32: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

19

Hangneigung konnten die Fließgeschwindigkeit, der Manning’s-Beiwert, die Froudezahl und

die Reynoldszahl ermittelt werden (G. R. Díaz, 2005):

Die niedrige Fließgeschwindigkeit lässt auf eine hohe Rauheit schließen. Dies bestätigen auch

die niedrigen Werte für n.

Die Froudezahl war der einzige hydraulische Parameter, der in den Untersuchungen eine

geeignete Übereinstimmung mit dem Manning’s-Beiwert aufzeige.

Da die Versuchskanäle sehr breit waren, kann in der Formel nach Manning-Strickler (2) der

hydraulische Radius R durch die Fließtiefe d ersetzt werden. Demnach ergibt sich eine neue

Art der Manning-Strickler-Formel:

!" =11∙ `, - ∙ '. , (14)

Die Froudezahl F kann wie folgt ausgedrückt werden(G. R. Díaz, 2005):

b =!

6 ∙ ` (15)

Wird die Gleichung (15) nun nach der Geschwindigkeit v umgestellt und in die neue Manning-

Strickler Formel (14) eingesetzt ergibt sich:

1 =6 ∙ ` Z. , ∙ `, - ∙ '. ,

b (16)

MANNING COEFFICIENT FOR VEGETATED RIVER BEDS 3227

Table III. Average hydraulic parameters in every test

Depth(m)

Velocity(m s!1)

Manningcoefficient

Froudenumber

Reynoldsnumber

0.028 0Ð169 0Ð241 0Ð351 4259

herbaceous vegetation. That is why roughness is mostly due to Cistus ladanifer stems. This peculiarity, theabsence of herbaceous vegetation, leads to the appearance of small channels as the flow increases, consequentlyproducing a reduction in the Manning roughness coefficient. However, these small channels are not big enoughto modify the bed.

As for pine stands, the presence of pine leaves on the soil is also a reason for the reduction in herbaceousvegetation, which means that the roughness coefficient will tend to diminish.

As was mentioned previously, tests with a flow balance smaller than 15% were considered valid. Thisrequisite could seem excessive, but it must be taken into consideration that these types of flow researchon slopes with natural vegetation have a large heterogeneity, both in the own vegetation and in the bedmicrotopography, resulting in dissimilar values. In fact, this occurred with depth values, and, consequently,with the hydraulic parameters obtained through these data. However, agreement between experiments andreal conditions is achieved on some occasions, in situations analogous to those in which run-off phenomenain slopes are produced. Thus, results in tests on pasture beds were homogeneous, whereas the heterogeneityincreased for the other beds.

If work is to be done in laboratory channels, then flow control conditions and hydraulic variablesmeasurements could be a lot better in comparison with test conditions in real beds. Especially difficultin those cases would be to represent real vegetation and soil conditions present in natural mountainous slopeswith enough similarity to achieve a good representation of natural phenomena in the test.

Table III shows clearly that the main testing flow characteristics are the small velocity values, thus indicatinga high roughness (n D 0Ð24).

When comparing these results on natural beds with those of Kao and Barfield (1978), it is clear that theManning coefficient values for bed 1 on grass have a similar order of magnitude as those obtained by Kaoand Barfield (1978) for soft-rigidity vegetation with a leaf density of 13Ð170 m!2.

Another interesting comparison is that between our data and the values from Jarret’s (1990) formula forthe matching depths and slopes at the flows tested. Similar order of magnitude values are obtained when theresults are displayed in a graphical form like that in Figure 2.

Apart from these comparisons, the research looked for a certain correspondence between the resultingManning coefficient values and other hydraulic parameters. After several attempts with different parameters,just one possible matching was found, between the Manning coefficient and Froude number.

The Manning equation can be expressed as

v D 1n

R3/2j1/2

where v is the flow velocity, R is the hydraulic radius, and j the bed slope. With the test channels being quitewide (up to 1 m) and the depth much smaller (just a few centimetres), the hydraulic radius can be changedfor the depth, resulting in the following Manning equation:

v D 1n

d3/2j1/2

On the other hand, the Froude number F has the following expression:

F D ! v!

gd

Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Ltd. Hydrol. Process. 19, 3221–3233 (2005)

Tabelle 3: Durchschnittliche Parameter der Tests (G. R. Díaz, 2005)

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20

Durch Vereinfachen ergibtsich die tiefenabhängige Formel für den Manning’s-Beiwert:

1 =6Z. , ∙ `. \ ∙ '. ,

b (17)

Da bei einem Gefälle von I < 20% sehr viel kleinere n-Werte erreicht werden als bei stärkerem

Gefälle, werden die Ergebnisdaten der Versuche in zwei getrennten Graphen, Abbildung 11

und Abbildung 12, dargestellt (G. R. Díaz, 2005):

MANNING COEFFICIENT FOR VEGETATED RIVER BEDS 3229

y = 0.0682x-0.9579

R2 = 0.9747

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FROUDE NUMBER

MANNINGpotentialcorrelation

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MA

NN

NIN

G C

OE

FF

ICIE

NT

Figure 3. Regression graph of Manning coefficient values for bed slopes <20% versus Froude number

y = 0.0994x-1.0085

R2 = 0.9868

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2FROUDE NUMBER

MANNINGpotentialcorrelation

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MA

NN

ING

CO

EF

FIC

IEN

T

Figure 4. Regression graph for Manning coefficient values for bed slopes >20% versus Froude number

The Manning coefficient being related to Froude number means new ways to determine n for small-depthsflows on natural vegetation beds and in high slopes. Therefore, a new approximate method for the Manningcoefficient determination is shown in the following section.

Approximate method for Manning roughness coefficient calculation after research on natural-vegetation beds

Considering (1) that values obtained for the Manning coefficient are of the same order of magnitude as thoseobtained by Kao and Barfield (1978) and Jarret (1990), (2) that there is not much research on the Manningcoefficient in natural-vegetation beds with small depths and high slopes, and (3) the good adjustment (R2

close to 1) of the regression curves when related to the Froude number, it seems convenient to use all theseresults in the Manning coefficient approximation in flows with these characteristics.

In order to apply the present research’s results in an actual bed, the bed’s characteristics should conformto the values examined in this study. These bed and flow conditions are discussed below.

Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Ltd. Hydrol. Process. 19, 3221–3233 (2005)

Abbildung 12: Manning's-Beiwert für Neigungen >20% und die Froudezahl (G. R. Díaz, 2005)

MANNING COEFFICIENT FOR VEGETATED RIVER BEDS 3229

y = 0.0682x-0.9579

R2 = 0.9747

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FROUDE NUMBER

MANNINGpotentialcorrelation

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MA

NN

NIN

G C

OE

FF

ICIE

NT

Figure 3. Regression graph of Manning coefficient values for bed slopes <20% versus Froude number

y = 0.0994x-1.0085

R2 = 0.9868

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2FROUDE NUMBER

MANNINGpotentialcorrelation

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

MA

NN

ING

CO

EF

FIC

IEN

T

Figure 4. Regression graph for Manning coefficient values for bed slopes >20% versus Froude number

The Manning coefficient being related to Froude number means new ways to determine n for small-depthsflows on natural vegetation beds and in high slopes. Therefore, a new approximate method for the Manningcoefficient determination is shown in the following section.

Approximate method for Manning roughness coefficient calculation after research on natural-vegetation beds

Considering (1) that values obtained for the Manning coefficient are of the same order of magnitude as thoseobtained by Kao and Barfield (1978) and Jarret (1990), (2) that there is not much research on the Manningcoefficient in natural-vegetation beds with small depths and high slopes, and (3) the good adjustment (R2

close to 1) of the regression curves when related to the Froude number, it seems convenient to use all theseresults in the Manning coefficient approximation in flows with these characteristics.

In order to apply the present research’s results in an actual bed, the bed’s characteristics should conformto the values examined in this study. These bed and flow conditions are discussed below.

Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Ltd. Hydrol. Process. 19, 3221–3233 (2005)

Abbildung 11: Manning's-Beiwerte für Neigungen <20% und die Froudezahl (G. R. Díaz, 2005)

Page 34: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

21

Um die Berechnungsmethoden aus den Untersuchungen in der Praxis anwenden zu können,

müssen die Eigenschaften des Flussbetts ähnlich zu denen in den Experimenten sein.

Das Gefälle des Abflusses sollte also zwischen 11,2% und 37,5% liegen. Die Fließtiefe sollte

unter 10 cm betragen und die Vegetation eine ähnliche Struktur und Dichte aufweisen. Die

Froudezahl beträgt 0,15 bis 0,9, wobei auch kleinere Werte als 0,15 möglich sind (G. R. Díaz,

2005). Folgende Schritte zeigen die Approximation des Manning’s-Beiwertes:

1. Der richtige Graph für das Gefälle, entweder für I < 20% oder für I > 20%, muss

gewählt werden.

2. Ein Manning’s-Beiwert n0 der zwischen den möglichen n-Werten des entsprechenden

Graphen liegt, wird gewählt.

3. Die Geschwindigkeit V0 wird mithilfe von Fließdaten q0 berechnet:

c[ = 1 1[ ∙ d[, - ∙ '. , - e (18)

4. Da die Fließtiefe y0 hier gleich dem hydraulischen Radius ist, kann diese durch die

Kontinuitätsgleichung dargestellt werden:

f[ =d[c[

(19)

5. Die Froudezahl wird nach Gleichung (15) bestimmt.

6. Ein neuer n-Wert wird mithilfe der ermittelten Froudezahl bestimmt. Der neue Wert n1

liegt nun näher an den wirklichen Fließgegebenheiten. Anschließend wird ein relativer

Fehler gewählt (etwa 15%). Falls der Wert n1 sehr nahe an dem Wert n0 liegt, ist der

relative Fehler kleiner als der zuvor gewählte und das Verfahren gilt als abgeschlossen.

Bei weit auseinanderliegenden Werten wird die Approximation unter Substitution von

n0 mit n1 erneut durchgeführt, bis ein zufriedenstellendes Ergebnis erreicht wurde und

der relative Fehler kleiner als der zuvor gewählte ist.

Der relative Fehler E wird hiermit berechnet:

g = 1[ − 1. 1[ ∙ 100 (20)

Abschließend kann noch die Fließtiefe und Fließgeschwindigkeit bestimmt werden

Page 35: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

22

2.3.4 Model für den hydraulischen Widerstand bei überströmter Vegetation

Bei dem Modell für den hydraulischen Widerstand nach Huthoff et al. werden die

Fließgeschwindigkeit im Vegetationsbereich Ur und die Fließgeschwindigkeit in der

Oberflächengrenzschicht Us getrennt voneinander betrachtet (Huthoff et al., 2007). Zusammen

ergeben sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Fleißtiefe UT:

hi =)ℎ∙ hO +

ℎ − )ℎ

∙ hK (21)

Die Fließgeschwindigkeit der Oberflächengrenzschicht wird durch Us beschrieben und lautet:

hK = hO[ℎ − )3

,- .Z j k l

(22)

Falls die gesamte Fließtiefe nicht mindestens doppelt so groß ist wie die Vegetationshöhe,

ergibt sich der gesamte Exponent der Gleichung (22) zu dem Wert 2/3. Die repräsentative

Trennung zwischen homogen verteilten zylindrischen Vegetationselementen s wird wie folgt

berechnet:

3 =1

2− m (23)

Hierbei handelt es sich bei m um die Anzahl der Vegetationselemente pro Einheit des

Bettbereiches und bei D um den Stammdurchmesser.

Die durchschnittliche Geschwindigkeit in der Vegetationsschicht wird folgendermaßen

berechnet:

hO = hO[ℎ)

(24)

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23

Die in Gleichung (12) und in Gleichung (14) vorkommende charakteristische

Skalierungsgeschwindigkeit berechnet sich zu:

hO[ =2 ∙ 6 ∙ '2 ∙ m ∙ $n

(25)

Hierbei werden die Gravitationskonstante g, die Steigung I und der dimensionslosen

Widerstandsbeiwert CD, für den der Wert 1,8 angenommen wird, verwendet (Huthoff et al.,

2013).

Durch vorhergesagte Messwerte von UT konnte ein Manning’s-Beiwert n bestimmt werden,

der anschließend einen Vergleich mit Werten, die in der Literatur für Graskanäle angegeben

sind, ermöglicht. Diese Art der Manningsgleichung lautet:

hi =&, -

1∙ ' (26)

Hier ist der Widerstandsbeiwert n für hydraulisch raue turbulente Strömungen, über einem

festen Bett, konstant (Huthoff et al., 2013).

Evaluation of a Simple Hydraulic Resistance Model Using Flow Measurements Collected in Vegetated Waterways 32

(recorded on November 4th at station Lobith). During the

high-discharge event, vessel-borne ADCP measurements

were carried out along a cross-section of the River [36].

See Figure 8 for the research vessel and the ADCP de-

vice, and Figures 9 and 10 for the sampled river cross-

section. Water flows from the east to the west, which in

Figure 9(b) is from the lower right to the upper left. The

flood-plain on the southern bank is clearly visible in Fig- ure 9, as is the embankment that separates it from the

main channel. Groynes are present on the northern bank

and also further upstream on the southern bank. The

flood-plain is covered with grassland.

3.2. Methodology and Results Flow data were collected along a cross-section at km

863.9 in the Rhine on four consecutive days from No-

vember 3 to 6 and then again from November 9 to 11.

The discharge peak occurred at November 4 and de-

creased quite rapidly thereafter. On November 9 the wa-

Figure 7. Manning’s resistance coefficient n as predicted by the model Equations (1)-(5). The “x” symbol corresponds to the average conditions at Location 3 in the Green River.

Figure 8. The used research vessel for flow measurements in the Rhine River in November 1998 (left). The picture on the right shows the attached ADCP (pictures: aqua vision).

Figure 9. Aerial pictures of the study area. The white line shows the measurement transect.

ter level had dropped to a level that flow measurements

were no longer possible in the floodplain. On each day,

flow measurements were collected for multiple transits

along the river cross-section (Figure 10). The transits

outline a narrow cross-sectional strip of the channel, for

which the best fit straight-line was defined as the

equivalent transect (dotted line in Figure 10). In the

subsequent analysis, all measurements are mapped onto

the equivalent transect.

In Figure 11, an example is shown of one of the sam-

pling runs. Flow velocities were measured below the

research vessel at depths 25 cm apart with the highest

measuring point 1.32 m below the water surface. Lateral

sampling separations were on average 4 m, depending on

the travelling speed of the vessel. A region of about 60

cm above the channel bed could not be reliably sampled

for flow velocities, partly due to presence of obstructing

objects (vegetation) or debris. The measurements were

performed in bottom-track mode, correcting measure-

ments for vessel movement and thus giving flow velo-

cities with respect to the detected fixed bed. However, a

bottom layer of sediment may be dragged along with the

flow, which the ADCP interprets as a fixed bed and sub-

sequently gives a bias towards underestimation of flow

velocities. The measurements used here are corrected for

this effect by comparison with independent GPS data of

the research vessel. Details of this procedure are de-

scribed in [36].

Figure 10. The measurement trajectories near rkm 863.9. The dotted line depicts the equivalent transect.

Figure 11. ADCP velocity measurements for one of the mea- surement runs shown in Figure 10.

Copyright © 2013 SciRes. OJMH

Abbildung 13: Mannings Widerstandskoeffizient n die durch das Modell vorhergesagt wurden. Der markierte Punkt „X“ beschriebt die durchschnittlichen Bedingungen einem Versuchsstandort.(Huthoff et

al., 2013)

Page 37: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

24

Abbildung 13 zeigt, wie die Formeln (11) bis (15) einen tiefenabhängigen Manning’s-Beiwert

ergeben. Auch ist zu sehen, dass bei größeren Fließtiefen der Beiwert n abnimmt, diese

Veränderungen jedoch eher unbedeutend sind. Hier ist es auch möglich einen konstanten

Wert anzunehmen, da ab hier keine weiteren Schwankungen auftreten. Bei flachen Abflüssen

hingegen ändert sich der Manning’s-Beiwert sehr stark.

Bei Messausfällen oder verfälschten Daten kann es hilfreich sein, ein Korrekturverfahren

anzuwenden, um eine ausreichend repräsentative Strömungsgeschwindigkeit zu erlangen.

Dennoch sollte die Messung von hydraulischen Parametern im Feld kritisch betrachtet werden,

da die Versuche von Huthoff et al. zeigen, dass auch lokale topographische Variationen eine

große Auswirkung auf die Strömung haben können und als Änderungen der hydraulischen

Rauheit interpretiert werden können (Huthoff et al., 2013).

2.3.5 Repräsentative Rauheitshöhe von überflossener Vegetation

Ein weiterer Ansatz die Fließgeschwindigkeit und damit den Widerstand von Vegetation zu

ermitteln, wurde von Cheng 2011 entwickelt. Abflüsse die über eine Vegetationsschicht

verlaufen sind im Vergleich zu vollständig rauen Gerinnen komplizierter darzustellen. Deshalb

wurde eine repräsentative Rauheit für die Oberflächenschicht ermittelt und ein Ansatz zur

Berechnung der Fließgeschwindigkeit und des Widerstandskoeffizienten realisiert (Cheng,

2011).

Die Vegetation wird durch den Stammdurchmesser D, ihre Höhe z und der

Vegetationskonzentration lV beschrieben. Die Reibung der Sohle ist hierbei unerheblich.

Die Anzahl der Vegetationsstämme pro Betteinheitsfläche N kann hiermit berechnet werden:

(Cheng, 2011)

o =4p

q ∙ m, 4 (27)

Ähnlich wie bei der in Kapitel 2.3.4 beschriebenen Berechnungsmethode der

Fließgeschwindigkeit, wird auch hier die Oberflächengrenzschicht und der Vegetationsbereich

getrennt betrachtet. Die Fließgeschwindigkeit in der Vegetation Ur kann mit folgender Formel

beschrieben werden: (Cheng, 2011)

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25

hO =2 ∙ 6 ∙ =p ∙ A

$n (28)

Hierbei handelt es sich bei g um die Gravitationskonstante, S beschreibt das Sohlgefälle, rn

den auf die Vegetation bezogenen hydraulischen Radius und CD den

Strömungswiderstandskoeffizienten. Letztere Koeffizienten können durch folgende Formel

dargestellt werden: (Cheng, 2011)

=r = q ∙ 1 − 4p ∙m

4 ∙ 4p (29)

$n =130

=r∗[,te + 0,8 ∙ 1 − 9

ZOu∗

v[[ (30)

Die Formel des Strömungswiderstandskoeffizienten beinhaltet =r∗ = (6 ∙ A w,). - ∙ =r. Dieser

Parameter wird mit der kinematischen Viskosität n berechnet. Mit der Dicke der

Oberflächenschicht hs und dem Wirkungsgrad h, welchem in diesem Fall von Cheng der Wert

4,54 zugewiesen wurde, lässt sich die durchschnittliche Fließgeschwindigkeit in der

Oberflächenschicht Us durch folgende Geleichung beschreiben: (Cheng, 2011)

hK = x ∙1 − 44

∙ℎKm

. .\

∙ 6 ∙ ℎK ∙ A (31)

Insgesamt lassen sich die beiden Geschwindigkeiten Ur und Us als gesamte

Fließgeschwindigkeit Uges darstellen. Wobei h die Fließtiefe beschreibt: (Cheng, 2011)

hyzK =hK ∙ ℎK + hr ∙ ℎr ∙ 1 − 4

ℎ (32)

Es ist möglich, den Koeffizienten nach Chézy durch die Formel $ = h (ℎ ∙ A)[,e auszudrücken.

Wenn hier nun die Gleichungen 30 und 31 eingesetzt werden entsteht durch Vereinfachung

folgende Formel für den Rauheitskoeffizienten C: (Cheng, 2011)

Page 39: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

26

$ =q ∙ 62 ∙ $n

∙1 − 4 -

4∙mℎr∙ℎrℎ

- ,

+ 4,54 6 ∙ℎKm∙1 − 44

. .\

∙ℎKℎ

- ,

(33)

Es ist auch möglich, den Koeffizienten von Chézy umzuformen um Manning’s n zu erhalten

(Cheng, 2011):

1 =ℎ. \

$ (34)

Der Großteil der erhobenen Daten von Cheng wurde für Vegetation mit starrem, zylindrischen

gesammelt. Dennoch kann die soeben beschriebene Formel auch für flexible Vegetation

eingesetzt werden. Trotzdem ist zu vermerken, dass die Auswirkungen von flexiblem Bewuchs

auf den Strömungswiderstand nicht komplett in die Analyse miteinbezogen wurden. (Cheng,

2011)

Page 40: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

27

2.3.6 Variation von Manning’s n für untergetauchte und nicht-untergetauchte Vegetation

Da sich die Werte für Manning’s n bei nicht überströmenden und komplett überströmenden

Abflüssen stark unterscheiden, werden oft zwei getrennte Berechnungsmethoden der

Beiwerte aufgestellt. Wu prüfte 1999 diese Unterschiede an künstlicher Vegetation mit einem

zweidimensionalen Modell (Wu et al., 1999).

Die Formel für den Manning’s-Beiwert für nicht-untergetauchte Vegetation n ergibt sich nach

Wu et al. (1999) zu:

1 =3,44 ∙ 10\ ∙ w

2 ∙ 6∙ `Z. - (35)

Wobei es sich bei n nicht um die Fließgeschwindigkeit, sondern um die kinematische Viskosität

von Wasser handelt. Auch die Fließtiefe d und die Gravitationskonstante g gehen in die Formel

mit ein.

Außerdem ist durch diese Formel erkennbar, dass der Rauheitskoeffizient n nur von der

Fließtiefe und nicht von der Bettneigung beeinflusst wird (Wu et al., 1999).

Für Manning’s n bei überströmten Verhältnissen ergibt sich die Formel:

1 =3,23 ∙ 10-e ∙ we,\{

2 ∙ 6 -,-- ∙ `Z,,\{ ∙ |.,-[ ∙ A[,.- (36)

Zusätzlich zu den Parametern aus Formel (27) wird hier die Vegetation T sowie die

Reibungsneigung S berücksichtigt.

Unter Beachtung der charakteristischen Anzahl an Vegetation und anderen grundlegenden

Informationen können über dieses Modell die Rauheitskoeffizienten berechnet werden.

Jedoch stellen diese Methoden die Variation des Beiwertes in der Grenzzone noch nicht

ausreichend dar.

Page 41: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

28

2.3.7 Zusammenhänge des Reibungsfaktors f und der Reynoldszahl Re

In praktischen Abflussuntersuchungen dominieren Berechnungsmethoden mit dem

Manning’s-Beiwert n. Dennoch gibt es auch neuere Entwicklungen, die den dimensionslosen

Reibungsfaktor von Darcy-Weisbach anwenden. An dem Laboratory of Water Resources der

Helsinki University of Technology wurden Abfluss über kurzem Gras untersucht. Ähnlich wie

bei dem Modell nach Huthoff et al, erfolgten die Betrachtungen von komplett überströmten und

von nicht überströmten Gras getrennt. Zusätzlich wurden die Überströmung von Weidenästen

mit und ohne Blättern untersucht.

Durch Messungen des Druckverlustes konnte der Strömungswiderstand bestimmt werden.

Anschließende wurden Berechnungen des Reibungsfaktors f aus dem Energieverlust Hf unter

Verwendung der Bernoulli Gleichung und einer angepassten Form der Darcy-Weisbach-

Gleichung (17) durchgeführt (Juha Järvelä, 2002).

; =}~�86ℎ!,

(37)

Die gemessenen Werte der Reynoldszahl lagen bei allen Testreihen über dem laminaren

Bereich.

Die anschließend beispielhaft in Abbildung 14 dargestellten Messungen der Testreihe

„S3“ liefert Informationen über die Abhängigkeit des Reibungsfaktors f von der Reynoldszahl

Re, der Fließtiefe h und der Fließgeschwindigkeit. Auch andere Einflussgrößen wie die Dichte

und die Art der Pflanzen stehen in Beziehung mit dem Reibungsfaktor (Juha Järvelä, 2002):

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

Abbildung 14: Reibungsfaktor, Reynoldszahl und Fließtiefe für die Testreihe „S3"

28

2.3.7 Zusammenhänge des Reibungsfaktors f und der Reynoldszahl Re

In praktischen Abflussuntersuchungen dominieren Berechnungsmethoden mit dem

Manning’s-Beiwert n. Dennoch gibt es auch neuere Entwicklungen, die den dimensionslosen

Reibungsfaktor von Darcy-Weisbach anwenden. An dem Laboratory of Water Resources der

Helsinki University of Technology wurden Abfluss über kurzem Gras untersucht. Ähnlich wie

bei dem Modell nach Huthoff et al, erfolgten die Betrachtungen von komplett überströmten und

von nicht überströmten Gras getrennt. Zusätzlich wurden die Überströmung von Weidenästen

mit und ohne Blättern untersucht.

Durch Messungen des Druckverlustes konnte der Strömungswiderstand bestimmt werden.

Anschließende wurden Berechnungen des Reibungsfaktors f aus dem Energieverlust Hf unter

Verwendung der Bernoulli Gleichung und einer angepassten Form der Darcy-Weisbach-

Gleichung (17) durchgeführt (Juha Järvelä, 2002).

; = }~�86ℎ!, (37)

Die gemessenen Werte der Reynoldszahl lagen bei allen Testreihen über dem laminaren

Bereich.

Die anschließend beispielhaft in Abbildung 14 dargestellten Messungen der Testreihe

„S3“ liefert Informationen über die Abhängigkeit des Reibungsfaktors f von der Reynoldszahl

Re, der Fließtiefe h und der Fließgeschwindigkeit. Auch andere Einflussgrößen wie die Dichte

und die Art der Pflanzen stehen in Beziehung mit dem Reibungsfaktor (Juha Järvelä, 2002):

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

Abbildung 14: Reibungsfaktor, Reynoldszahl und Fließtiefe für die Testreihe „S3"

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

28

2.3.7 Zusammenhänge des Reibungsfaktors f und der Reynoldszahl Re

In praktischen Abflussuntersuchungen dominieren Berechnungsmethoden mit dem

Manning’s-Beiwert n. Dennoch gibt es auch neuere Entwicklungen, die den dimensionslosen

Reibungsfaktor von Darcy-Weisbach anwenden. An dem Laboratory of Water Resources der

Helsinki University of Technology wurden Abfluss über kurzem Gras untersucht. Ähnlich wie

bei dem Modell nach Huthoff et al, erfolgten die Betrachtungen von komplett überströmten und

von nicht überströmten Gras getrennt. Zusätzlich wurden die Überströmung von Weidenästen

mit und ohne Blättern untersucht.

Durch Messungen des Druckverlustes konnte der Strömungswiderstand bestimmt werden.

Anschließende wurden Berechnungen des Reibungsfaktors f aus dem Energieverlust Hf unter

Verwendung der Bernoulli Gleichung und einer angepassten Form der Darcy-Weisbach-

Gleichung (17) durchgeführt (Juha Järvelä, 2002).

; = }~�86ℎ!, (37)

Die gemessenen Werte der Reynoldszahl lagen bei allen Testreihen über dem laminaren

Bereich.

Die anschließend beispielhaft in Abbildung 14 dargestellten Messungen der Testreihe

„S3“ liefert Informationen über die Abhängigkeit des Reibungsfaktors f von der Reynoldszahl

Re, der Fließtiefe h und der Fließgeschwindigkeit. Auch andere Einflussgrößen wie die Dichte

und die Art der Pflanzen stehen in Beziehung mit dem Reibungsfaktor (Juha Järvelä, 2002):

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

Abbildung 14: Reibungsfaktor, Reynoldszahl und Fließtiefe für die Testreihe „S3"

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

Fig. 4. Friction factor vs. Reynolds number (a–d) and flow depth (e–h) for series S3p (see Table 1 for series description). Data are classified

according to the entrance flow depth, h0, and flow velocity, respectively.

J. Jarvela / Journal of Hydrology 269 (2002) 44–5450

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29

In allen Tests nahm der Reibungsfaktor mit zunehmender Reynoldszahl ab. Eine Ausnahme

bildeten die Versuche mit blattlosen Weiden auf blankem Untergrund. Hier war der Wert f

unabhängig von Re. Die maximalen Werte für den Reibungsfaktor wurden bei der niedrigsten

Reynoldszahl oder bei der kleinsten Fließgeschwindigkeit erreicht.

Die Verdopplung der Dichte von blattlosen Weiden verdoppelte ebenfalls die f-Werte bei

gleichen Strömungsbedingungen. Weiden mit Blättern verzweifachten oder verdreifachten

sogar den Reibungsfaktor gegenüber dem blattlosen Fall (J Järvelä, 2002).

Wie in Abbildung 15 dargestellt ist, nahm bei nicht völlig überströmtem Gras der

Reibungsbeiwert mit steigendem Wasserstand zu (Juha Järvelä, 2002):

317

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1

Relative submergence, h/k

Fri

ctio

n fa

cto

r, f

0.05-0.15 m/s

0.15-0.25 m/s

0.25-0.35 m/s

0.35-0.50 m/s

Le

afy

Le

afle

ss

Figure 5. Presence of leaves affects significantly the flow resis-tance. Friction factor vs. the relative submergence for leafy and leafless willows (pattern Pa). The dashed line separates the leafless and leafy cases.

doubles, the vegetal drag coefficient in average slightly more than doubles for comparable flow con-ditions (Figs 2c-d). However, the flow depth seems to affect the ratio.

The results indicate that the resistance caused by leaves is strongly dependent on the flow velocity (Fig. 5). During the flume experiments it was ob-served that when the willows were exposed to higher velocities the leaves rolled or reconfigured into cones and cylinders. This process of streamlining did reduce both the frontal area and the wetted area. Very little fluttering of the leaves was observed. However, there was considerable variation in the behaviour.

6 CONCLUSIONS

This paper presents an analysis of experiments on flow resistance of natural floodplain plants. Resis-tance caused by willows and sedges was investigated in a laboratory flume. Flow depths were altered such that the willows were partially or just submerged while the sedges were mostly fully submerged. Fric-tion factors, f, and vegetal drag coefficients, C'd (a bulk parameter), were calculated from the measure-ments. Drag coefficients, Cd, were also determined for leafless willows.

The projected area of the leafless willows was de-termined by means of digital imaging, with an ex-pected accuracy of ~5%. The projected area in-creased approximately linearly with the willow height, excluding the base and tip regions of the

plants. The ratio of the characteristic diameter to the measured stem diameter at the base of the willow appeared to be roughly two.

The experimentally attained values of f and C'dshowed large variations with the Reynolds number, depth of flow, flow velocity, and vegetal characteris-tics. For leafless willows the vegetal drag coefficient was fairly independent of the Reynolds number. All the other test series exhibited a decreasing trend. The vegetal drag coefficient for the leafy willows was found to be three to seven times that of the leafless willows. When the number of the leafy willows was doubled, the vegetal drag coefficient in average ap-proximately doubled for comparable flow condi-tions.

The average measured drag coefficient, Cd, for the leafless willows was 1.5. The measured coeffi-cients were compared against the values predicted by four methods, which were derived based on the-ory and experiments on rigid cylinders. The methods of Lindner (1982) and Pasche (1984) produced un-derestimations in the case of willow bushes, as these methods were originally developed for single-stem trees. However, both methods have a rational theo-retical basis, and potentially the methods may be modified to compute the drag coefficient at least for leafless bushes. Mertens (1989) and Nuding (1991) suggest a constant value of 1.5 for most practical river engineering cases. This assumption in general cannot be justified despite its success in the present case.

REFERENCES

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Fischenich, C. & Dudley, S. 2000. Determining drag coeffi-cients and area for vegetation. EMRRP Technical Notes Collection, TN EMRRP-SR-8. U.S. Army Engineer Re-search and Development Center, Vicksburg, MS.

Freeman, G.E., Rahmeyer, W.H., & Copeland, R.R. 2000. De-termination of resistance due to shrubs and woody vegeta-tion. Technical Report, ERDC/CHL TR-00-25. U.S. Army Engineer Research and Development Center, Vicksburg, MS.

Järvelä, J. (in press). Flow resistance of flexible and stiff vege-tation: a flume study with natural plants.

Kadlec, R.H. 1990. Overland flow in wetlands: vegetation re-sistance. Journal of Hydraulic Engineering, 116(5): 691-706.

Klaassen, G.J. & Zwaard, J.J. 1974. Roughness coefficients of vegetated floodplains. Journal of Hydraulic Research,12(1): 43-63.

Kouwen, N. & Unny, T.E. 1973. Flexible roughness in open channels. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, 99(5): 713-728.

Kouwen, N. & Fathi-Moghadam, M. 2000. Friction Factors for Coniferous Trees along Rivers. Journal of Hydraulic Engi-neering, 126(10): 732-740.

Abbildung 15: Reibungsfaktur und relative Überströmung für Weiden mit und ohne Blättern

Page 43: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

30

2.3.8 Berechnung des Manning’s-Beiwertes durch Regressionsgleichungen

Wie schon im Jahr 2011 wurden 2018 an der Universiti Sains Malaysia Ergebnisse zu

Abflussuntersuchungen in Versickerungsmulden veröffentlicht. Zusätzlich dazu führte die

USM auch Laborversuche durch. Hydraulischen Parameter wie die Fließgeschwindigkeit, die

Fließtiefe und der Manning’s-Beiwert wurden durch genaue Messtechniken und

Berechnungsmethoden beobachtet.

Der Manning’s-Beiwert n ist von der Gravitationskonstante g, der Vegetationshöhe h, dem

Gefälle S, der Fließgeschwindigkeit v und der Fließtiefe y abhängig (Chen et al., 2009;

Muhammad et al., 2018; Yen, 2002). Durch eine dimensionslose Analyse und die Anwendung

des Buckinghamschen P-Theorem, konnte eine dimensional homogene Gleichung für n

aufgestellt werden:

1 = Ä ∙fℎ∙ A

Å∙!,

6 ∙ f

Ç

(38)

Die Parameter K, a und b können durch eine Regressionsanalyse bestimmt werden. Somit

ergibt sich durch die Messwerte aus Feld- und Laborversuchen die Regressionsgleichung:

1 = 2,6535 ∙ 10Z, ∙fℎ∙ A

[,--v[∙!,

6 ∙ f

Z[,\Étv

(39)

Um diese Gleichung zu verbessern wurde das „Gene Expression Programming“ (GEP)

angewendet. Hierbei handelt es sich um einen Lernalgorithmus, welcher aus „genetischer

Programmierung“ und „genetischen Algorithmen“ übernommen wurde (Muhammad et al.,

2018). Die verbesserte Formel zur Bestimmung von Manning’s n lautet somit:

1 = 0,2250 ∙6 ∙ f

4,444 ∙ !,+f ∙ Aℎ

Ñ

− 0,0952 ∙f ∙ Aℎ

+ 0,9704Ñ

− 0,0946 ∙6 ∙ f!,

+f ∙ Aℎ

(40)

Page 44: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

31

Sowohl die Regressionsgleichung als auch die GEP-Gleichung weisen

Korrelationskoeffizienten nahe dem Wert 1 auf. Dies bedeutet, dass die Gleichungen einen

hohen Grad an linearem Zusammenhang besitzen und die Messergebnisse hinreichend

repräsentieren (Muhammad et al., 2018). Alle Messwerte von Muhammad et al. sind im

Anhang dieser Arbeit unter Anhang 3, Anhang 4 und Anhang 5 zu finden.

Page 45: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

32

2.3.9 Alternative Beschreibung der Rauheit durch logarithmische Ansätze

Bei den üblichen Berechnungsmethoden des Abflusses besteht eine erhebliche Unsicherheit

in Bezug auf die Rauheit bei niedrigen Fließtiefen (Smart, 2017). Demnach wäre es von Vorteil,

die Rauheitsskala Z0 zu verwenden. Diese ist logarithmisch und wird von der Fließtiefe, der

Neigung des Untergrunds und dem Abfluss weniger beeinflusst als Manning’s n (Smart, 2004).

Um den Energieverlust oder die Bettschubspannung t0 mit der tiefengemittelten

Strömungsgeschwindigkeit U in Verbindung zu setzen, wird ein

Strömungswiderstandskoeffizient C verwendet:

][ = $ ∙ Y ∙ h, (41)

Über die Gleichung nach Manning-Strickler ergibt sich für den Koeffizienten ein

Zusammenhang von $ = 6×1,/},. Dabei ist H die Fließtiefe. Des Weiteren ergeben sich die

Formeln h∗ = ][ Y . , 2 und damit h h∗ = 1 $ . Die logarithmische Gleichung für den

Strömungswiderstand ergibt sich somit zu (Smart, 2017):

hh∗

=1Ü

ln}á[

− 1 (42)

Hier ist die dimensionslosen Karman-Konstante k, welche etwa den Wert 0,41 besitzt

enthalten. Z0 ist eine physikalische Rauheitslängenskala, die von der Fließtiefe und der

Hangneigung weniger abhängig ist als Manning’s n.

Zunächst wird das vertikale Profil der Strömungsgeschwindigkeit u untersucht, welches über

die Strömungstiefe integriert ist und dadurch U ergibt. In die folgenden Gleichungen gehen die

dimensionslose, flussabwärts gerichtete Fließgeschwindigkeit u, die dimensionslose Höhe

über den Rauheitselementen N = N á[ und die dimensionslose Tiefe } = } á[ mit ein (Smart,

2017):

N = 9à (43)

Page 46: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

33

Diese Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Tiefe kann auch dargestellt werden als:

D = ln(N) (44)

Bei völlig überflossenen Rauheitselementen ergibt sich durch Integration von Gleichung (7)

über die Fließtiefe das vollständige logarithmische Gesetz (Smart et al., 2002):

h = Ü ∙hh∗

=}

} − 1ln } − 1 (45)

Das logarithmische Profil der Geschwindigkeit ist in Abbildung 16 dargestellt (Smart, 2017):

Der komplette logarithmische Verlauf trifft jedoch nicht in jedem Bereich zu. Bei höhere

Vegetationshöhe als Wassertiefe oder bei Fluss durch die Vegetation muss ein anderes

Geschwindigkeitsprofil angenommen werden. Durch Laborversuche wurde herausgefunden,

dass in diesen Bereichen ein quasi linearer Anstieg der Geschwindigkeit stattfindet der

tangential zu dem logarithmischen Verlauf ist (Smart, 2017). Die Gleichungen des linearen

Geschwindigkeitsprofils lauten:

z H

z u s

z z

z -P

u

_ _

_ _

_ _ _

_ _

Abbildung 16: Vertikales Profil der Fließgeschwindigkeit und der Tiefe

Page 47: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

34

N = D ∙ 9 oder D = â

z (46)

Nun werden die Gleichungen (38) und (30) oder (31) über ihren jeweiligen Regionen der

Fließtiefe integriert. Somit ergibt sich folgende, zweiteilige Formulierung des

Fließwiderstandes:

Für 0 < } ≤ 9: åå∗= 0,46 ∙ (}) (47)

Für } > 9: åå∗= 2,5 ∙ ln } − 1 + .,-eÉ

é (48)

Allerdings kann diese Formulierung bei hoher Oberflächenrauheit wie Gras nicht angewandt

werden. Für die Vorhersage hydraulischer Parameter bei Sturzfluten wäre die Beschreibung

der Rauheit bei überflossener Vegetation durchaus hilfreich. Genauere Untersuchung dieses

Themas wäre daher gewinnbringend.

Page 48: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

35

3 Hydraulische Berechnungen 3.1 Berechnung hydraulischer Parameter durch geeignete Fließformeln

In folgendem Kapitel werden zwei der zuvor beschriebenen neuen Fließformeln aus der

Literatur angewendet. Die neuen Methoden nach Díaz (2005) und Muhammad et al (2017)

ermöglichen es durch genaue Rechnungen, einen von der Fließtiefe abhängigen

Rauheitsbeiwerte zu bestimmen. Anschließend werden die Ergebnisse dieser Methoden mit

denen der Altbewährten verglichen und bewertet. Die Dateien mit der vollständigen

Berechnung und allen erstellten Graphen sind im digitalen Anhang dieser Arbeit unter den

Namen „Berechnung nach Diaz.xlsx“ und „Berechnung nach Muhammad.xlsx“ zu finden. Alle

Tabellen der Eingangsdaten sind im Anhang aufgeführt.

3.1.1 Berechnungen nach Díaz

Bei der Approximationsmethode nach Díaz wird die Froudezahl zur Bestimmung der Werten

für Manning’s n genutzt (G. R. Díaz, 2005). Die Eingangsdaten für das in Kapitel 3.3.3

beschriebene Vorgehen wurden aus dem von Díaz im Jahre 2005 veröffentlichtem Artikel

„Analysis of Manning coefficient for small-depth flows on vegetated beds“ und der ebenfalls

von Díaz im Jahre 2007 verfassten Antwort auf einen Kommentar zu selbigem Artikel „Reply

to comment on ‘Järvelä J. and Aberle J. (2005). Analysis of Manning coefficient for small-depth

flows on vegetated beds. Hydrological Processes 19(19): 3221–3223“ übernommen (G. R.

Díaz, 2005; R. G. Díaz, 2007). Diese Daten sind am Ende der Arbeit in Anhang 1 und Anhang

2 zu finden.

Für Berechnung wurde nach dem in Kapitel 3.3.3 beschriebenen Verfahren eine Exceldatei

angefertigt. Zunächst erfolgte die Berechnung der Fließgeschwindigkeit V0. Anschließend

wurde die jeweiligen neuen Fließtiefen y0, die Froudezahlen und n-Werte bestimmt. Die

Berechnung des relativen Fehlers, soll nach Díaz unter 15% liegen (G. R. Díaz, 2005).

Demnach ist die Approximation für alle Ergebnisdaten ausreichend genau. Somit musste das

Verfahren nicht erneut durchgeführt werden. Jedoch ergab die Auswertung der Ergebnisse ein

Problem. In den Eingangsdaten wurde lediglich für die einzelnen Tests der Durchfluss

angegeben und nicht zusätzlich für die vier verschiedenen Testabschnitte. Demnach ergaben

sich durch die Berechnung für V0 für alle vier Abschnitte der jeweiligen Tests die gleichen

Ergebnisse und somit später auch die gleichen n-Werte. Die folgende Abbildung 17 zeigt den

Vergleich der Beiwerte von Manning und Díaz für den ersten Betttyp Grasland. Zu erkennen

Page 49: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

36

ist, dass die Werte mit steigender Fließtiefe abnehmen, der Unterschied der Ergebnisse jedoch

gleichzeitig zunimmt.

Um für die verschiedenen Testabschnitte auch unterschiedliche Approximationswerte für n zu

erhalten, wurde V0 nicht nach der Methode von Díaz berechnet, sondern aus der Angabe der

oben aufgeführten Literatur entnommen. Einige Ergebnisse lieferten nach dem ersten

Durchlauf des Approximationsverfahrens jedoch einen zu hohen relativen Fehler. Deshalb

wurden die Berechnungen für alle Werte erneut durchgeführt. Als Eingangswerte für n wurde

nun die zuvor approximierten Ergebnisse genutzt. Nach dem zweiten Durchlauf des

Verfahrens war der relative Fehler im akzeptierbaren Bereich. Die nachfolgende Abbildung 18

zeigt erneut den Vergleich der Beiwerte von Manning und Díaz für den ersten Betttyp

Grasland, jedoch für das soeben beschriebene Berechnungsverfahren nach Díaz mit der

Übernahme der gegebenen Fließgeschwindigkeit V0.

Die neue Berechnungsmethode des Rauheitsbeiwertes von Díaz liefert eine Möglichkeit, bei

geringen Fließtiefen den n-Wert genauer zu bestimmen. Um möglichst voneinander

unterschiedliche Ergebnisse zu erlangen, sollte auch für jeden Eingangswert ein eigener

Durchfluss oder eine zugehörige Fließgeschwindigkeit vorliegen. Wie in Abbildung 18 zu

sehen ist, unterscheiden sich bei höheren Fließtiefen die Ergebnisse der neuen

Berechnungsmethode nur wenig von der üblicherweise angewandten Manning-Strickler-

Gleichung.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

n-Werte

Fließtiefe[m]

VergleichderBeiwertefürBetttyp1(Grasland)

Díaz

Manning

Abbildung 17: Vergleich der n-Werte für Betttyp 1 über die Fließtiefe mittels des Approximationsverfahrens nach Díaz

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37

3.1.2 Berechnungen nach Muhammad

Bei den Untersuchungen von Muhammad wurde der Beiwert n von Manning-Strickler neu

berechnet. Es werden zwei Alternativen untersucht. Durch Messwerte aus Feld- und

Laborversuchen wird für die Bestimmung von n die in Kapitel 2.3.9 beschriebene

Regressionsgleichung (31) aufgestellt. Die Eingangsdaten für die Gleichung wurden aus dem

2018 veröffentlichten Artikel „Prediction models for flow resistance in flexible vegetated

channels“ von Muhammad et al. übernommen und sind am Ende dieser Arbeit in Anhang 3

Anhang 4 und Anhang 5 aufgelistet (Muhammad et al., 2018).

Die Rechnungen wurden separat für die Eingangsdaten der Feldversuche und der

Laborversuche durchgeführt, wobei die Werte der Feldversuche wiederum in Messungen von

„Upstream“ und „Downstream“ unterschieden wurden. Somit entstanden durch die

Regressionsgleichungen drei verschiedene Datensätze an n-Werten. Diese neuen

Informationen wurden anschließend mit den Zahlen verglichen, die aus der Manning-Strickler-

Formel berechnet wurden. Die ausführlichen Rechnungen und Tabellen sind im digitalen

Anhand in der Datei „Berechnung nach Muhammad.xlsx“ zu finden. Abbildung 14 zeigt die

Unterschiede der neuen und der alten Berechnungsmethode der n-Werte. Als Eingangsdaten

wurde der Datensatz „Upstream“ gewählt:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

n-Werte

Fließtiefe[m]

VergleichderBeiwertefürBetttyp1(Grasland)

Díaz

Manning

Abbildung 18: Vergleich der n-Werte für Betttyp 1 über die Fließtiefe mittels des Approximationsverfahrens nach Díaz mit Übernahme der gegebenen Fließgeschwindigkeiten V0

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38

In Abbildung 19 ist erkennbar, dass die Berechnungsmethode der Regressionsgleichung nach

Muhammad et al. im Durchschnitt höhere n-Werte liefert. Die Beiwerte beider Rechenarten

nehmen bei überströmtem Bewuchs mit ansteigender Wassertiefe zu. Auch zeigt das

Diagramm deutlich, dass der Unterschied zwischen Manning’s und Muhammad’s n mit

zunehmender Fließtiefe kleiner wird.

Der Eingangsdatensatz „Downstream“ liefert sowohl bei der Berechnungsmethode nach

Muhammad et al. und bei der nach Manning-Strickler sehr unterschiedliche n-Werte. Daher

lässt sich hier nur schlecht ein Fazit ziehen.

Die Eingangsdaten der Laborversuche unterscheiden sich stark von denen der Feldversuche.

Das Fließgefälle wurde halbiert und auch die Fließtiefe ist bedeutsam geringer, sodass bei

den meisten Messungen der Bewuchs des Testgerinnes nicht überströmt wurde. In Abbildung

20 ist der Verlauf der n-Werte über die Fließtiefe zu erkennen unter Verwendung der Daten

aus den Laborversuchen von Muhammad et al..

In Abbildung 20 ist bei nicht überströmten Bewuchs der Anstieg der n-Werte mit zunehmender

Fließtiefe erkennbar. Die berechneten Werte nach Muhammad et al. nehmen deutlich

schneller zu als die Manning’s-Beiwerte. Bei einer größeren Fließtiefe als der Höhe des

Bewuchses sind nur noch vier errechnete Punkte vorhanden. Daher lässt sich ab der

Wassertiefe d > 0,15 m kein deutlicher Trend erkennen.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,25 0,27 0,29 0,31 0,33 0,35 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45

n-Werte

Fließtiefe[m]

Vergleichdern-WerteüberdieFließtiefe

Manning'sn

Muhammad's n

Abbildung 19: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Regressionsgleichung nach Muhammad et al. aus den Eingangsdaten „Upstream“

Page 52: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

39

Anschließend wird die Methode des „Gene Expression Programming“ (GEP) untersucht. Nach

Muhammad et al. liefert die in Kapitel 2.3.9 aufgeführte Gleichung (32) eine Verbesserung zur

Regressionsgleichung (31) (Muhammad et al., 2018). Die Optimierung der

Berechnungsmethode wurde durch einen Lernalgorithmus, welcher aus „genetischer

Programmierung“ und „genetischen Algorithmen“ übernommen wurde realisiert (Muhammad

et al., 2018). Die anschließende Abbildung 21 zeigt wiederum den Verlauf der n-Werte über

die Fließtiefe unter Verwendung der Eingangsdaten „Upstream“. Ähnlich wie in Abbildung 19,

nehmen die n-Werte bei überströmten Bewuchs mit zunehmender Wassertiefe ab. Auch hier

liefert die Herangehensweise des GEP höhere Ergebnisse als die Manning-Strickler-

Gleichung. Die Ergebnisse des GEP und Manning’s n nähern sich hier ebenfalls mit

zunehmender Fließtiefe an, jedoch liegen die zueinander gehörenden Wertepaare nicht so

weit auseinander wie bei der Anwendung der Regressionsgleichung.

Die Eingangsdaten „Downstream“ lieferten auch bei dieser Berechnungsmethode keine

aussagekräftigen Schlussfolgerungen, da sowohl die n-Werte von fast identischen Fließtiefen

nach der Formel von Manning als auch nach dem Verfahren von Muhammad et al. sehr weit

auseinanderliegen.

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500

n-Werte

Fließtiefe/Depth[m]

Vergleichdern-WerteüberdieFließtiefe

Manning'sn

Muhammad's n

Abbildung 20: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Regressionsgleichung nach Muhammad et al. aus der Eingangsdaten der Laborversuche

Page 53: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

40

Die GEP Ergebnisse aus dem Datensatz der Laborversuche lieferten einen ähnlichen Trend

wie die der Regressionsgleichung. Jedoch ergibt sich bei einem Großteil der Berechnungen

durch Gleichung (32) ein negativer Wert für n. Daher können auch diese Informationen nicht

für einen sinnvollen Vergleich herangezogen werden.

Die von Muhammad et al. neu entwickelten Berechnungsmethoden für den Rauheitsbeiwert

liefern eine Möglichkeit, den Beiwert n gerade für geringere Fließtiefen genauer zu bestimmen.

Durch ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel können mittels einfacher Programmierung

sowohl die Regressionsgleichung als auch die Methode des „Gene Expression

Programming“ dargestellt werden. Somit lassen sich auch größere Messdaten mit geringem

Aufwand auswerten. Lediglich bei Fließtiefen, die kleiner als die Vegetationshöhe sind, stellen

sich mit der Methode des GEP Probleme dar, da hier negative Werte ausgegeben werden.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,25 0,27 0,29 0,31 0,33 0,35 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45

n-Werte

Fließtiefe[m]

Vergleichdern-WerteüberdieFließtiefe

Manning'sn

Muhammad's n

Abbildung 21: Vergleich der n-Werte über die Fließtiefe mittels der Methode des „Gene Expression Programming“ nach Muhammad et al. aus den Eingangsdaten „Upstream“

Page 54: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

41

4 Implementierung der Ergebnisse in GIS 4.1 Auswertung unterschiedlicher Flächenanteilen der Stadt Baiersdorf

mit GIS

Am 21. Juli 2007 kam es in der Stadt Baiersdorf in Bayern zu einem Sturzflutereignis. Das am

Abend einsetzende Starkregenereignis überflutete Straßen und Grundstücke. Es setzte

Häuser und öffentliche Einrichtungen unter Wasser und zog somit einen hohen

wirtschaftlichen Schaden mit sich. Auch entstanden drei Brände durch Feuchtigkeit in der

Elektroverteilung von Häusern, welche erfolgreich von der Feuerwehr bekämpft werden

konnten. Ebenso wie die Brandvorfälle konnten Austritte von Gas, Chemikalien und Öl von

freiwilligen Helfern der Feuerwehr unschädlich gemacht werden. (Brunner & Baiersdorf, 2008)

In diesem Kapitel werden unterschiedliche Flächenanteile des Einzugsgebietes Baiersdorf mit

Hilfe des Geodatenverarbeitungsprogrammes „ArcMap“ von „Esri“ analysiert. Anschließend

werden die für Baiersdorf angenommenen Rauheiten für die landwirtschaftlich genutzte Fläche

untersucht. Der Vergleich dieser Werte mit dem Datensatz des „Integrierten Verwaltungs- und

Kontrollsystems“ „InVeKoS“ für Baiersdorf im Jahr 2007 soll eine mögliche Verbesserung der

implementierten Daten in GIS ermöglichen. In Abbildung 22 ist ein Bildschirmfoto des

Programmes „ArcGis“ zu sehen. Abgebildet ist das Einzugsgebiet Baiersdorf mit allen

verschieden genutzten Flächen in hellbraun. Die Polygone des InVeKoS-Datensatzen

überlagern in violetter Farbe die eigentlichen Bereiche der Landwirtschaft.

Abbildung 22: Bildschirmfoto des Programmes „ArcGis“ mit dem Einzugsgebiet Baiersdorf in hellbrauner und dem InVeKoS-Datensatz in violetter Farbe

Page 55: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

42

4.2 Beschreibung des Abflussverhaltens versiegelter und bewachsener

Flächen

Da jede Flächenart eine unterschiedliche Rauheit besitzt, ist es Hilfreich eine anschauliche

Übersicht der Flächenanteile zu erstellen. Das betrachtete Einzugsgebiet der Stadt Baiersdorf

misst insgesamt etwa 58,44 km2. In Tabelle 4 sind die Anteile der Flächenarten des

betrachteten Gebietes in Quadratkilometern und Prozent, sowie die zugehörige Rauheit

dargestellt:

Die unterschiedliche Landnutzung hat einen großen Einfluss auf die Abflussbildung (Disse,

2017). Die Landwirtschaft nimmt mit 33,60 km2 und somit mit 57,50 % den größten Teil der

Fläche ein. An zweiter Stelle stehen Waldflächen mit 14,36 % des Gesamtgebiets. Dieser

Landschaftstyp besitzt zum Beispiel eine abflussdämpfende Wirkung (Niehoff, 2001). In

Abbildung 23 ist die Beziehung zwischen Niederschlag und Oberflächenabfluss bei Starkregen

in Abhängigkeit der Landnutzung abgebildet. Zu erkennen ist, dass der Oberflächenabfluss

bei einem Sturzflutereignis bei versiegelter Fläche, also bei Straßen, Plätzen und ähnlichem,

am höchsten ist. Auch setzt der Wasserabfluss sofort bei Eintreten des Regens ein, da es bei

diesen Gebieten kaum Versickerungsmöglichkeiten gibt. Auch die Kanalisation kann bei

Starkregen nicht die gesamten Wassermassen aufnehmen und ableiten.

Flächenart Fläche in km² Fläche in % Rauheit in (m^1/3)/sLandwirtschaft 33,601 57,50% 15Wald 8,393 14,36% 10Wohnbauflaeche 4,662 7,98% 10Strassenverkehr 2,408 4,12% 40Umland vegetationslose Flaeche 2,080 3,56% 20Flaeche gemischter Nutzung 1,185 2,03% 12Weg 1,157 1,98% 40Industrie und Gewerbeflaeche 1,049 1,79% 12Gehoelz 1,031 1,76% 10Fliessgewaesser 0,795 1,36% 25Sport Freizeit und Erholungsflaeche 0,736 1,26% 16stehendes Gewaesser 0,517 0,88% 30Flaeche besonderer funktionaler Praegung 0,350 0,60% 12Bahnverkehr 0,221 0,38% 40Friedhof 0,084 0,14% 16Heide 0,067 0,11% 18Platz 0,054 0,09% 40Tagebau Grube Steinbruch 0,026 0,05% 30Schiffsverkehr 0,009 0,02% 40Moor 0,005 0,01% 18Sumpf 0,004 0,01% 11

Tabelle 4: Anteile der Flächenarten des Einzugsgebietes Baiersdorf in Quadratkilometern und Prozent sowie die zugehörige Rauheit

Page 56: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

43

Da das Einzugsgebiet Baiersdorf zu 57,50 % aus landwirtschaftlicher Fläche besteht, ist es

interessant, diese Gebieter genauer zu untersuchen. Das in „ArcMap“ implementierte

Einzugsgebiet nutzt für landwirtschaftliche Flächen ein Rauheitsbeiwert von kst = 15 m1/3/s. Da

jedoch viele dieser Areale mit unterschiedlicher Bepflanzung bewirtschaftet wurden, ist dieser

Wert stark vereinfacht. Für eine genauere Bestimmung des Rauheitsbeiwertes wäre es

hilfreich, aus dem Datensatz von „InVeKoS“ des Jahres 2007 die genauen Faktoren der

einzelnen landwirtschaftlich genutzten Parzellen heranzuziehen. Jedoch ist eine Auflistung

von Rauheitswerten für landwirtschaftliche Bepflanzungen in der Literatur nicht vorhanden.

Auch englischsprachige Autoren haben sich mit derartigen Untersuchungen noch nicht

auseinandergesetzt. In dem Buch „DVWK Schriften - Hydraulische Methoden zur Erfassung

von Rauheiten“ von Ralph C. M. Schröder sind Werte für den Stricklerbeiwert von Ackerflächen

zu finden. Hier wird einer Ackerfläche der Faktor kst = 25 bis 50 m1/3/s zugewiesen. Für

Reihenkulturen gilt der Wert kst = 22 bis 40 m1/3/s und für Flächenkulturen kst = 20 bis 33,5

m1/3/s (Schröder, 1990). Da diese Werte jedoch aus dem Jahre 1990 stammen wurde nach

neuerer Literatur gesucht. Das 2005 vom „Bayerisches Landesamt für

Wasserwirtschaft“ veröffentlichte Werk „Einfluss von Maßnahmen der Gewässerentwicklung

auf den Hochwasserabfluss“ gibt für Ackerland den Rauheitsbeiwert kst = 15 m1/3/s an

(Bayerisches Landesamt für Wasserwirtschaft, 2005).

Da der Faktor der Rauheit für landwirtschaftliche Flächen in der Literatur starke

Schwankungen aufweist wäre es von Vorteil, eigene Untersuchungen zu diesem Thembereich

anzustellen. Dies würde in Zukunft eine genauere Modellierung von Einzugsgebieten bei

Sturzfluten ermöglichen.

[email protected]ät Bau Geo UmweltLehrstuhl für Hydrologie und Flussgebietsmanagement

Abflussbildung

32

Einfluss der Landnutzung

Wasserspeichervermögen unterschiedlicher Landnutzungen:Wald ÆWiese Æ Acker Æ Siedlung

Beziehung zwischen Niederschlag und Oberflächenabfluss bei Starkregen in Abhängigkeit von der Landnutzung [Riedl, 2002]

Abbildung 23: Beziehung zwischen Niederschlag und Oberflächenabfluss bei Starkregen in Abhängigkeit der

Landnutzung (Riedl, 2002)

Page 57: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

44

5 Zusammenfassung

Die allgemeinen Fließformeln von Manning-Strickler, Chézy und Darcy-Weisbach finden in der

Praxis auch heute noch große Anwendung. Die Literatur liefert eine Vielzahl von Grundlagen

für die hydraulische Berechnung von Abflüssen. Für Sturzfluten mit laminaren Abflüssen ist

die Anwendung dieser Formeln jedoch nicht eindeutig, da lediglich die Methode von Darcy-

Weisbach in diesem Bereich angewendet werden kann. Auch gehen bei den allgemeinen

Rechenmethoden die Rauheitsbeiwerte über die Wassertiefe gemittelt ein. Jedoch ist aus

neueren Forschungsarbeiten bekannt, dass diese Faktoren gerade bei geringen Fließtiefen

starken Schwankungen unterliegen. Daher ist es notwendig, die Fließformeln zu erweitern, um

genauere Möglichkeiten für Berechnungen zu erhalten.

Eine genaue Literaturrecherche zeigt verschiedene Wege, die Rauheitsbeiwerte für

unterschiedliche Wassertiefen mit Bewuchs anzupassen. Durch die anschließende

Anwendung von zwei erweiterten Fließformeln lassen sich die Unterschiede zu den

allgemeinen Formeln darstellen. Bei einem großen Teil der Ergebnisse ist zu erkennen, dass

die neueren Fließformeln Rauheitsbeiwerte liefern, welche geringere Schwankungen

aufweisen. Jedoch kann die Formel nach Muhammad et al. bei Fließtiefen, die kleiner als die

Vegetationshöhe sind, mit der Methode des GEP keine nutzbaren Werte liefern.

Eine Analyse des Einzugsgebietes Baiersdorf mit dem Programm „ArcMAp“ von „Esri“ zeigt

Flächenanteile verschiedener Landnutzungen. Auch wurden zugehörige Rauheiten

aufgelistet, welche jedoch im Falle der Landwirtschaft stark verallgemeinert sind. Eine

genauere Festlegung des Rauheitsbeiwertes nach Strickler könnte erfolgen, wenn, durch

weitere Untersuchungen, die einzelnen Stricklerwerte für landwirtschaftliche Bepflanzungen

bestimmt werden. Durch einen „InVeKoS“-Datensatz wäre es möglich, die prozentualen

Flächenanteile der unterschiedlichen Bepflanzungen auszurechnen, um anschließend einen

genaueren Mittelwert des Stricklerbeiwertes für landwirtschaftliche Flächen zu definieren.

In dem Werk „DVWK Schriften - Hydraulische Methoden zur Erfassung von Rauheiten“ von

Ralph C. M. Schröder lassen sich jegliche Art von Abflussberechnungen sowie eine

Aufstellung von ermittelten Rauheitswerten finden (Schröder, 1990). Da dieses Buch jedoch

schon im Jahre 1990 veröffentlicht wurde, wäre eine Überarbeitung unter Einbeziehung

neuester wissenschaftlicher Erkenntnisse äußerst wertvoll. Auch die eben genannten

Untersuchungen zu Stricklerwerte von landwirtschaftliche Bepflanzungen könnten in eine

Neuauflage miteingehen.

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Page 64: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

51

7 Anhangsverzeichnis

Anhang 1: Messwerte der hydraulischen Parameter für jeden Testabschnitt der Versuche von

Díaz (R. G. Díaz, 2007) ................................................................................................... 52

Anhang 2: Beschaffenheit, Vegetation und Neigungswerte der Testbetten aus den

Feldversuchen von Díaz (G. R. Díaz, 2005) ................................................................... 53

Anhang 3: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Feldversuchen„Upstream“ mit

dem Neigungswert 1/500 aus den Untersuchungen von Muhammad et al. (Muhammad et

al., 2018) ......................................................................................................................... 54

Anhang 4: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Laborversuchen mit dem

Neigungswert 1/1000 aus den Untersuchungen von Muhammad et al. (Muhammad et al.,

2018) ............................................................................................................................... 54

Anhang 5: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Feldversuchen „Downtream“ mit

dem Neigungswert 1/500 aus den Untersuchungen von Muhammad et al.(Muhammad et

al., 2018) ......................................................................................................................... 54

Page 65: Auswirkung des Fließwiderstands auf die Abflussleistung ...€¦ · 2.3 Experimente und Versuche zum Fließwiderstand .....16 2.3.1 Untersuchungen von Abflüssen in Versickerungsmulden

52

REPLY TO COMMENT 2211

The regression equation of Bathurst et al. (1981)between factor f of Darcy Weisbach and the Froudenumber is shown in Equation (3), which reveal the highrelationship between roughness and the Froude number.

!8f

"1/3

D U#

gRSD U

#gR

Ł 1pS

D FŁ 1pS

◃3▹

Review of the reiterative method to determine Manningroughness coefficient

The iterative method proposed to determine Manningroughness coefficient, as shown in the paper underreview, does imply some errors and cannot be appliedin all cases. Reasons for these mistakes are discussedlater. However, the errors are not at all due to the factsput forward by the authors of the paper.

The original dispersion of the obtained data from theexperimental trials is obvious. This high variance maybe explained in terms of the great heterogeneity of bedroughness, due to the microtopography of the soil andthe variety of structures induced by vegetation forms andtheir density. During the carrying out of the research, alldata obtained were used, despite their variance, in orderto improve its closeness to reality. The utilization of alldata is, thus, the reason for the lack of homogeneity,as shown in Figure 2 of the reviewed article (not inFigure 1, as J. Jarvela and J. Aberle wrote), where dataare compared to those of Jarret. This Figure 2 (in Jarvelaand Aberle, 2005) also includes other values calculatedfrom the original data.

In the paper under discussion, the explanation of thecalculation of the parameters had to be, for reasonsof space, summarized. Data in Table II (in Jarvela andAberle, 2005) are the arithmetic average of every test.The tests were carried out as shown in Table II in thisarticle: the stick-board is used to measure depths ina section, and this measurement is repeated on two,three or four occasions in every test; finally obtaining38 values (see Table II). These data were used in theregression equations of the paper. However, authors J.Jarvela and J. Aberle utilized, in order to check theregression equations, the average values in every test, andnot the values in every section, which were those actuallyused in the development of the regression equations.

Variation on the resulting data

Measured parameters show a high variance in everybed, and even in every section. That is, values of theManning coefficient n are very different within thesame bed, in every test, and in every section. Thiscan be explained in terms of the large irregularity andheterogeneity which accompanies every flow, partly dueto the difficult measurement of the depths, but also as aresult of the application of the Manning equation in thesetypes of flow.

As a consequence, if the calculation of the regressionequations is developed with the average data of every test(Table II in Jarvela and Aberle (2005)), it will undoubt-edly lead to results very different from the original ones,

Table II. Values obtained in each section

Bed Test Sectionc Depth Velocity Froude’sF

Manning’sn

1 1 1 0Ð03620 0Ð1045 0Ð1754 0Ð358111 1 2 0Ð02900 0Ð1317 0Ð2468 0Ð245231 1 3 0Ð02400 0Ð1563 0Ð3220 0Ð182141 1 4 0Ð02600 0Ð1417 0Ð2806 0Ð211851 2 1 0Ð04900 0Ð2776 0Ð4004 0Ð164981 2 2 0Ð04200 0Ð3268 0Ð5092 0Ð126451 2 3 0Ð04200 0Ð3210 0Ð5001 0Ð128751 2 4 0Ð05300 0Ð2499 0Ð3466 0Ð193111 3 1 0Ð06000 0Ð4054 0Ð5284 0Ð129311 3 2 0Ð05400 0Ð4545 0Ð6245 0Ð107511 3 3 0Ð05900 0Ð4086 0Ð5371 0Ð126871 3 4 0Ð07070 0Ð3350 0Ð4022 0Ð174582 1 1 0Ð03160 0Ð2432 0Ð4368 0Ð223222 1 2 0Ð03800 0Ð1986 0Ð3252 0Ð309172 1 3 0Ð02640 0Ð2938 0Ð5774 0Ð163892 1 4 0Ð02700 0Ð2697 0Ð5240 0Ð181282 2 1 0Ð03060 0Ð1362 0Ð2485 0Ð390232 2 2 0Ð03620 0Ð1130 0Ð1896 0Ð525942 2 3 0Ð02660 0Ð1581 0Ð3095 0Ð306122 2 4 0Ð02700 0Ð1462 0Ð2841 0Ð334363 1 1 0Ð01600 0Ð1620 0Ð4090 0Ð238363 1 2 0Ð01400 0Ð1667 0Ð4497 0Ð212003 1 3 0Ð01300 0Ð1857 0Ð5199 0Ð181123 1 4 0Ð03600 0Ð0741 0Ð1246 0Ð895303 2 1 0Ð04900 0Ð2513 0Ð3625 0Ð324093 2 2 0Ð02200 0Ð5038 1Ð0844 0Ð094803 2 3 0Ð03100 0Ð3699 0Ð6707 0Ð162303 2 4 0Ð02410 0Ð5256 1Ð0809 0Ð096564 1 1 0Ð02540 0Ð1043 0Ð2090 0Ð324014 1 2 0Ð01640 0Ð1616 0Ð4028 0Ð156284 1 3 0Ð02160 0Ð1511 0Ð3282 0Ð200824 2 1 0Ð02420 0Ð2154 0Ð4422 0Ð151904 2 2 0Ð02140 0Ð2436 0Ð5317 0Ð123754 2 3 0Ð01600 0Ð3344 0Ð8441 0Ð074275 1 1 0Ð08500 0Ð3775 0Ð4134 0Ð190235 1 2 0Ð03700 0Ð4304 0Ð7144 0Ð095836 1 1 0Ð02070 0Ð1470 0Ð3263 0Ð200576 1 2 0Ð02000 0Ð2333 0Ð5268 0Ð12352

since regression equations were accomplished with the 38values in Table I, and not with those shown in Table II(in Jarvela and Aberle, 2005). On the contrary, when val-ues from Table I are introduced in regression equations,the results are very close to the original ones. This isthe true reason for the difference between measured andcalculated values. The difference is shown in Figure 1.

Nevertheless, the authors Jarvela and Aberle maintainthat data variance is only due to the alleged flaws inthe dimensional analysis. This is, however, incorrect, onthe basis of the previous considerations. Coefficient bis very close to #1, which is the condition required bythe authors to consider the correctness of the imposedhypothesis. Besides, the validity of the Manning formulais also considered a hypothesis, and this is very far fromreality for the flow conditions.

Causes of the mistake in the Manning coefficientdetermination

The authors of the paper prove, applying equationsshown in the original article, that the iterative solution

Copyright © 2007 John Wiley & Sons, Ltd. Hydrol. Process. 21, 2209–2213 (2007)DOI: 10.1002/hyp

Anhang 1: Messwerte der hydraulischen Parameter für jeden Testabschnitt der Versuche von Díaz (R. G. Díaz, 2007)

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53

3226 R. GARCIA DIAZ

RESULTS AND DISCUSSION

The test sites are listed in Table I, with a description of the vegetation type and slope value. Eleven tests werecarried out, and since every test would include several measurements, the total number of measurements was38. The calculations leading to hydraulic parameters determination were done in two different ways: first,by obtaining an average value in every test; second, by making a calculation in every section and getting avalue for every one of these sections. The average resulting values in every test are shown in Table II, andthe average hydraulic parameter values in every test are shown in Table III.

It is also necessary to highlight some of the differences existing between the different beds. Bed numberthree is one of the types with Cistus ladanifer shrubs; this typically Mediterranean shrub, usually known asrockrose, is very common in degraded areas. It characteristically inhibits the presence of other species, e.g.

Table I. Test beds and summary of vegetation types and slopes

Test beds Channel vegetation characteristics (main species) Slope (%)

1. Grassland Grassland consisting of species such as Dactylis sp., Lolium sp.,Festuca sp., Trifolium sp., Familia Compositae, etc. Coverreaches 80%

11Ð7

2. Scrubland onprevious works

Grassland with same species as in bed 1, but with lighter cover 29Ð5

Scrubland consisting basically of Rosmarinus officinalis, Cistusladanifer, Thymus sp.

3. Scrubland withrockrose androsemary

Same species as in bed 2, but bushes (height 50–80 cm) beingdominant

37Ð0

4. Scrubland andpine forest

Grassland consisting basically of Graminae 15Ð3

Dominant species in the scrubland: Cistus ladanifer, Rosmarinusofficinalis, Thymus sp. Wooded area: scattered pine trees(Pinus pinaster)

5. Pine forest Young pine forest (¾ 40 years), dominated by Pinus pinaster andPinus nigra

13Ð8

Scrubland and grassland similar to 46. Pine forest Young pine forest (¾ 40 years), dominated by Pinus pinaster and

Pinus nigra15Ð2

Scrubland and grassland similar to 4 and 5

Table II. Average results on natural beds tests

Bed Test Flow(m3 s# 1)

Depth(m)

Velocity(m s# 1)

Manningcoefficient

Froudenumber

Reynoldsnumber

1 (grassland) 1 0Ð0042 0Ð029 0Ð129 0Ð244 0Ð242 3Ð7412 0Ð0151 0Ð046 0Ð293 0Ð143 0Ð436 13Ð4783 0Ð0270 0Ð061 0Ð395 0Ð125 0Ð510 24Ð095

2 (cut scrub.) 1 0Ð0083 0Ð031 0Ð243 0Ð211 0Ð441 7Ð5332 0Ð0045 0Ð030 0Ð136 0Ð368 0Ð251 4Ð080

3 (rockrose) 1 0Ð0028 0Ð025 0Ð100 0Ð505 0Ð202 2Ð5002 0Ð0133 0Ð032 0Ð371 0Ð158 0Ð663 11Ð872

4 (scrub./pine) 1 0Ð0031 0Ð019 0Ð141 0Ð190 0Ð326 2Ð6792 0Ð0061 0Ð020 0Ð263 0Ð106 0Ð594 5Ð260

5 (pine forest 1) 1 0Ð0086 0Ð023 0Ð389 0Ð075 0Ð819 8Ð9476 (pine forest 2) 1 0Ð0035 0Ð018 0Ð177 0Ð147 0Ð421 3Ð186

Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Ltd. Hydrol. Process. 19, 3221–3233 (2005)

Anhang 2: Beschaffenheit, Vegetation und Neigungswerte der Testbetten aus den Feldversuchen von Díaz (G. R. Díaz, 2005)

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54

non-linear entities of different shapes and sizes called sparsetrees which were first invented by Cramer (1985). And forGEP it combines all the properties of both GP and GA.

GEP algorithm performed excellently in providing a sol-ution to problems related to symbolic regression, optimiz-ation, time series analysis, classification and logic synthesis.The output from GEP is usually presented in the form ofmathematical equations, neural networks, decision trees,polynomial constructs or logical expressions (Jedrzejowiczand Ratajczak-Ropel 2009). The GEP has two basic com-ponents, namely chromosome and expression trees (ET).The genetic information encoded in the chromosome isexpressed by the ET by a process known as translation,which is based on a set of rules. These rules are used to deter-mine the spatial organization of the functions and terminalsin the ETs and the type of interaction between sub-ETs (Fer-reira 2001, Ferreira 2002).

Therefore, in developing the GEP models the following fivebasic stages were employed using GeneXpro tools version 5.0software: (a) the fitness function applied in the chromosomecost calculation was determined. (b) The mathematical func-tions that chromosomes are allowed to use in their programsand in the final equation were determined. These functionswere chosen based on trial and error, because there is nodefinitive rule in selecting a mathematical function combi-nation (Ebtehaj et al. 2015). In this study, the four basic math-ematical functions {×, −, /, +} and other more complexmathematical functions such as log, exp, power and cubicroot were used. (c) The chromosomal architecture was deter-mined, which involves determining the head length and genenumbers. The trial and error method was used to establishthese two parameters. The GEP was run for various headlength and gene number combinations. Also, an initial popu-lation in the range of 30–100 were chosen in the presentstudy, because this usually gives satisfactory results (Ferreira2001). (d) The next stage of the GEP modelling procedurewas to select a proper linking function. The additional linkingfunction was used in the present work. This is because, recentstudies in the field hydraulic engineering relating to GEP appli-cations, proved that adding the linking function leads to a bet-ter result (Ab. Ghani and Md. Azamathulla 2010, Antoniouet al. 2010). (e) In the last step, the genetic operators thatGEP utilized in the reproduction process were determined.These genetic operators result in diversity of evolution gener-ations. Even though, the mutation rate, which was determinedby trial and error method, other genetic operators were con-sidered as the proposed initial values of GEP (Ferreira 2001).

2.5. Performance evaluation criteria

The performance of the ANN and GEP models weremeasured by considering the Coefficient of Determination(R2) and Root Mean Square Error (MSE) as expressed bythe following equations:

R2 = 1−!N

i=1 (oi − ti)2

!Ni=1 (oi − !oi)

2 (7)

MSE =!N

i=1 (oi−ti)2

N(8)

where, ti and oi denote the modelled and actual values of thevariables, respectively, and !oi denotes mean actual values, andN is the number of observed data.

3. Results and discussion

3.1. Flow parameters from the field experiments

Tables 1 and 2 summarized the flow characteristics ofmeasured and calculated data in the grassed swale comprisingthe variations of flow velocity and flow area over time differ-ence of 1 h between measurements for the different rainfallevents. These tables illustrate the hydraulic quantities deter-mined at both upstream and downstream of channel testlength of the swale, it would be observed that the flow isunder the subcritical condition, as the Froude number, Fr,is less than unity. From Tables 1 and 2, Figure 6 was drawnto show the variation of Manning’s roughness with velocityin both upstream and downstream of the swale. WhileFigure 7 combined both upstream and downstream to getthe overall n–V relationship. From these figures the corre-lation coefficients, R2, are all above 90%, indicating a strongrelation exist between the variables.

3.2. Laboratory results

Table 3 shows the average vertical velocity profiles of the var-ious flow depths with their associated Manning’s, n, andFroude number, Fr. As the Froude number is generally notmore than unity, the flow condition can be classified as sub-critical as well. However, for the case of when the total flowdepth was 15 cm, at some few fractional water depths theflow condition tends to be supercritical, for Froude number,Fr, being greater than unity. From this Table 3, variationsof Manning’s roughness with velocity were plotted in

Table 1. Upstream Manning’s roughness of the grassed swale on bed slope of 1 in 500.

Date ofobservation

Time ofobservation

Averagevelocity, V(m/s)

Depth, y(m)

FroudeNo, Fr

Area, A(m2)

Wettedperimeter, P (m)

Hydraulicradius, R (m)

Discharge, Q(m3/s)

Manning’sroughness, n

9/9/2015 1000 0.364 0.43 0.178 0.850 3.136 0.271 0.309 0.0519/9/2015 1100 0.140 0.37 0.074 0.670 2.797 0.240 0.094 0.1239/9/2015 1200 0.087 0.34 0.047 0.665 3.063 0.217 0.058 0.1869/9/2015 1300 0.059 0.35 0.032 0.590 2.708 0.218 0.035 0.2759/9/2015 1400 0.065 0.30 0.038 0.550 2.606 0.211 0.036 0.2449/9/2015 1500 0.058 0.28 0.035 0.530 2.610 0.203 0.031 0.26517/9/2015 1000 0.160 0.36 0.086 0.802 2.967 0.270 0.128 0.11717/9/2015 1100 0.122 0.35 0.066 0.641 2.633 0.243 0.078 0.14217/9/2015 1200 0.119 0.33 0.066 0.651 2.798 0.233 0.077 0.14217/9/2015 1300 0.098 0.33 0.054 0.627 2.825 0.222 0.061 0.16717/9/2015 1400 0.054 0.28 0.033 0.540 2.671 0.202 0.029 0.28417/9/2015 1500 0.071 0.28 0.043 0.535 2.488 0.215 0.038 0.22628/10/2015 1800 0.194 0.32 0.110 0.695 2.557 0.272 0.135 0.09731/10/2015 1800 0.072 0.27 0.044 0.634 3.262 0.194 0.046 0.209

INTERNATIONAL JOURNAL OF RIVER BASIN MANAGEMENT 5

Anhang 3: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Feldversuchen„Upstream“ mit dem Neigungswert 1/500 aus den Untersuchungen von Muhammad et al. (Muhammad et al., 2018)

Figures 8 and 9 , respectively, for each depth and combineddepths. From these Figures, it shows that the Manning’s nhas a very good relation with the flow velocity as the corre-lation coefficient R2 is generally more than 80%.

3.3. Comparison of present study with previousstudies

Figures 10 and 11 plot n–V and n–Fr relationships using thedata for the present study and to as well compared withthe data of (Chen et al. 2009 ). The Manning’s, n, varies

exponentially with both the velocity, V and Froude Number,Fr. It follows that the data obtained in this study has the sametrend with that of Chen et al. 2009 , in the case of both sub-merged and emergent vegetation.

3.4. Effects of V, y, hv and Fr on flow resistance, n

The flow resistance, n, exponentially decreases with both vel-ocity, V and Froude Number, Fr especially when Fr < 1.0,however, it remains constant when Fr > 1.0, as presentedpreviously in Tables 1–3 , as well as in the above Figures 10

Table 2. Downstream Manning’s roughness of the grassed swale on bed slope of 1 in 500.

Date ofobservation

Time ofobservation

Averagevelocity, V(m/s)

Depth, y(m)

FroudeNo, Fr

Area, A(m2)

WettedPerimeter, P (m)

Hydraulicradius, R (m)

Discharge, Q(m3/s)

Manning’sroughness, n

9/9/2015 1000 0.562 0.33 0.315 0.550 3.062 0.180 0.309 0.0259/9/2015 1100 0.194 0.23 0.129 0.404 2.471 0.164 0.078 0.0699/9/2015 1200 0.211 0.21 0.147 0.380 2.537 0.150 0.080 0.0609/9/2015 1300 0.148 0.22 0.100 0.340 2.531 0.134 0.050 0.0799/9/2015 1400 0.107 0.12 0.101 0.165 2.143 0.077 0.018 0.0769/9/2015 1500 0.102 0.18 0.077 0.255 2.522 0.101 0.026 0.09517/9/2015 1000 0.119 0.26 0.075 0.468 2.648 0.177 0.056 0.11917/9/2015 1100 0.146 0.20 0.104 0.402 2.450 0.164 0.059 0.09217/9/2015 1200 0.042 0.25 0.027 0.387 2.451 0.158 0.016 0.31017/9/2015 1300 0.041 0.22 0.028 0.402 2.457 0.163 0.017 0.32317/9/2015 1400 0.052 0.23 0.034 0.343 2.382 0.144 0.018 0.23817/9/2015 1500 0.061 0.23 0.041 0.325 2.521 0.129 0.020 0.18728/10/2015 1800 0.292 0.23 0.196 0.445 2.836 0.157 0.130 0.04531/10/2015 1800 0.096 0.22 0.066 0.445 2.838 0.157 0.043 0.136

Figure 6. Variation of Manning’s roughness with velocity in grassed swale.

Figure 7. Overall variation of Manning’s roughness with velocity in grassed swale.

6 M. M. MUHAMMAD ET AL.

Anhang 5: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Feldversuchen „Downtream“ mit dem Neigungswert 1/500 aus den Untersuchungen von Muhammad et al.(Muhammad et al., 2018)

Table 3. Velocity distributions for the different flow depths on bed slope of 1 in 1000.

y = 15 cm y = 20 cm y = 40 cm

Waterdepth(m)

Verticalvelocity V(m/s)

FroudeNo, Fr

Manning’sn

Waterdepth(m)

Verticalvelocity V(m/s)

FroudeNo, Fr

Manning’sn

Waterdepth(m)

Verticalvelocity V(m/s)

FroudeNo, Fr

Manning’sn

0.03 1.42 2.622 0.001 0.04 0.37 0.598 0.003 0.08 0.45 0.506 0.0050.0375 1.11 1.825 0.001 0.05 0.48 0.680 0.003 0.10 0.44 0.440 0.0060.045 0.57 0.862 0.002 0.06 0.32 0.411 0.006 0.12 0.32 0.296 0.0100.06 0.50 0.652 0.004 0.08 0.63 0.715 0.004 0.16 0.34 0.268 0.0120.075 1.15 1.340 0.002 0.10 0.26 0.262 0.011 0.20 0.09 0.064 0.0560.09 0.99 1.056 0.003 0.12 0.17 0.156 0.019 0.24 0.10 0.067 0.0560.105 1.07 1.055 0.003 0.14 0.16 0.139 0.023 0.28 0.14 0.083 0.0470.12 0.67 0.619 0.005 0.16 0.31 0.249 0.013 0.32 0.12 0.067 0.060

Figure 8. Variation of Manning’s roughness with velocity in laboratory channel.

Figure 9. Overall variation of Manning’s roughness with velocity in laboratory channel.

Figure 10. Overall n–V relationship comparison with data collected (Chen et al. 2009).

INTERNATIONAL JOURNAL OF RIVER BASIN MANAGEMENT 7

Anhang 4: Messwerte der hydraulischen Parameter aus den Laborversuchen mit dem Neigungswert 1/1000 aus den Untersuchungen von Muhammad et al. (Muhammad et al., 2018)