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B Mechanik J. Lackmann, Berlin Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7 Bɒcher: Balke, H.: Einfɒhrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauge; Schnell; SchrɆder: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; SchrɆder: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik, Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Hutter, K.: Fluid- und Thermodynamik. Berlin: Springer 1994. – Szabo, I.: Einfɒhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: HɆhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – Truckenbrodt, E.: Fluidmecha- nik, 4. Aufl. Berlin: Springer 1999. Normen und Richtlinien: DIN 1305 Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – DIN 1311 Schwingungslehre. – DIN 1342 ViskositȨt Newtonscher Flɒssigkeiten. – DIN 5492 Formelzeichen der StrɆmungsmechanik. – DIN 5497 Mechanik; starre KɆrper; Formelzeichen. 1 Statik starrer Körper 1.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren KɆrper oder an Systemen von starren KɆrpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichfɆrmi- ger geradliniger Bewegung befindet. Starre KɆrper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dass die Kraftangriffspunkte vernachlȨssigbar kleine Ver- schiebungen erfahren. Kräfte sind linienflɒchtige, auf ihrer Wirkungslinie ver- schiebbare Vektoren (s. www.dubbel.de), die Bewegungs- oder FormȨnderungen von KɆrpern bewirken. Ihre Bestim- mungsstɒcke sind GrɆße, Richtung und Lage (Bild 1 a). F ¼ F x þ F y þ F z ¼ F x e x þ F y e y þ F z e z ¼ðF cos aÞe x þðF cos bÞe y þðF cos gÞe z ; ð1Þ wobei F ¼jFffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F 2 x þ F 2 y þ F 2 z q : ð2Þ Fɒr die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos a ¼ F x =F, cos b ¼ F y =F, cos g ¼ F z =F sowie cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼ 1. Es gibt eingeprȨgte KrȨfte und ReaktionskrȨfte sowie Ȩußere und innere KrȨfte. Ɛußere KrȨfte sind alle von außen auf ei- nen freigemachten KɆrper (s. B 1.5) einwirkende KrȨfte (Be- lastungen und AuflagerkrȨfte). Innere KrȨfte sind alle im In- neren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungs- krȨfte. Momente oder Kräftepaare bestehen aus zwei gleich gro- ßen, entgegengesetzt gerichteten KrȨften mit parallelen Wir- kungslinien (Bild 1 b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wir- kungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). KrȨftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschieb- bar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt M ¼ r F ¼ M x þ M y þ M z ¼ M x e x þ M y e y þ M z e z ¼ðM cos a Þe x þðM cos b Þe y þðM cos g Þe z : ð3Þ M ¼jMj¼jrjjFj sin j ¼ Fh ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi M 2 x þ M 2 y þ M 2 z q : ð4Þ M heißt GrɆße oder Betrag des Moments und bedeutet anschaulich den FlȨcheninhalt des von r und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende Hebelarm. Fɒr die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos a ¼ M x =M, cos b ¼ M y =M, cos g ¼ M z =M: Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes (Verset- zungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebi- gem Angriffspunkt bezɒglich eines Punkts O wird mit dem Hinzufɒgen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, ent- gegengesetzt gerichteter KrȨfte F und F im Punkt O (Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein KrȨftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senk- recht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. F x , F y , F z gegeben (Bild 2 b), so gilt B Bild 1 a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b KrȨftepaar; c Moment

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B Mechanik

J. Lackmann, Berlin

Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7

B�cher: Balke, H.: Einf�hrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. –Gross; Hauge; Schnell; Schr�der: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell;Schr�der: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik,Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Hutter, K.:Fluid- und Thermodynamik. Berlin: Springer 1994. – Szabo, I.: Einf�hrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: H�here Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – Truckenbrodt, E.: Fluidmecha-nik, 4. Aufl. Berlin: Springer 1999.

Normen und Richtlinien: DIN 1305 Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – DIN 1311 Schwingungslehre. –DIN 1342 Viskosit�t Newtonscher Fl�ssigkeiten. – DIN 5492 Formelzeichen der Str�mungsmechanik. – DIN 5497 Mechanik; starreK�rper; Formelzeichen.

1 Statik starrer K�rper

1.1 Allgemeines

Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren K�rperoder an Systemen von starren K�rpern. Gleichgewichtherrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichf�rmi-ger geradliniger Bewegung befindet. Starre K�rper im Sinneder Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind,dass die Kraftangriffspunkte vernachl�ssigbar kleine Ver-schiebungen erfahren.

Kr�fte sind linienfl�chtige, auf ihrer Wirkungslinie ver-schiebbare Vektoren (s. www.dubbel.de), die Bewegungs-oder Form�nderungen von K�rpern bewirken. Ihre Bestim-mungsst�cke sind Gr�ße, Richtung und Lage (Bild 1 a).

F¼ Fx þFyþFz ¼ FxexþFyeyþFzez

¼ ðF cosaÞexþðF cosbÞeyþðF cosgÞez;ð1Þ

wobei

F ¼ jFj ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2x þF2

y þF2z

q

: ð2Þ

F�r die Richtungskosinusse der Kraft gilt cosa¼ Fx=F,cosb¼ Fy=F, cosg¼ Fz=F sowie cos2 aþ cos2 bþ cos2 g¼ 1.Es gibt eingepr�gte Kr�fte und Reaktionskr�fte sowie �ußereund innere Kr�fte. �ußere Kr�fte sind alle von außen auf ei-nen freigemachten K�rper (s. B 1.5) einwirkende Kr�fte (Be-lastungen und Auflagerkr�fte). Innere Kr�fte sind alle im In-neren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungs-kr�fte.

Momente oder Kr�ftepaare bestehen aus zwei gleich gro-ßen, entgegengesetzt gerichteten Kr�ften mit parallelen Wir-kungslinien (Bild 1b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wir-kungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eineRechtsschraube (Rechtssystem). Kr�ftepaare sind in ihrerWirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschieb-bar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegtdurch das Vektorprodukt

M ¼ r�F¼MxþMyþMz ¼MxexþMyeyþMzez

¼ ðM cosa�ÞexþðM cosb�ÞeyþðM cosg�Þez:ð3Þ

M ¼ jMj ¼ jrj � jFj � sinj¼ Fh¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

M2x þM2

y þM2z

q

: ð4Þ

M heißt Gr�ße oder Betrag des Moments und bedeutetanschaulich den Fl�cheninhalt des von r und F gebildetenParallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehendeHebelarm. F�r die Richtungskosinusse gilt (Bild 1c)cosa� ¼Mx=M, cosb� ¼My=M, cosg� ¼Mz=M:

Moment einer Kraft bez�glich eines Punktes (Verset-zungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebi-gem Angriffspunkt bez�glich eines Punkts O wird mit demHinzuf�gen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, ent-gegengesetzt gerichteter Kr�fte F und �F im Punkt O(Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im PunktO und ein Kr�ftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment),dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senk-recht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. Fx, Fy,Fz gegeben (Bild 2 b), so gilt

I1.1 Allgemeines B 1

B

Bild 1a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b Kr�ftepaar; c Moment

M ¼ r�F¼ex ey ez

x y z

Fx Fy Fz

¼ ðFzy�FyzÞexþðFxz�FzxÞeyþðFyx�FxyÞez

¼MxexþMyeyþMzez:

ð5Þ

F�r die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors unddie Richtungskosinusse gilt

Mx ¼ Fzy�Fyz; My ¼ Fxz�Fzx; Mz ¼ Fyx�Fxy;

M ¼ jMj ¼ jrj � jFj � sinj¼ Fh¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

M2x þM2

y þM2z

q

;

cosa� ¼Mx=M; cosb� ¼My=M; cosg� ¼Mz=M:

Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz

gleich null, so folgt (Bild 2c)

M ¼Mz ¼ ðFyx�FxyÞez;

M ¼ jMj ¼Mz ¼ Fyx�Fxy¼ Fr sinj¼ Fh:

1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr�ftenmit gemeinsamem Angriffspunkt

1.2.1 Ebene Kr�ftegruppe

Zusammensetzen von Kr�ften zu einer Resultierenden.Kr�fte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwarzwei Kr�fte mit dem Kr�fteparallelogramm oder Kr�ftedrei-eck (Bild 3), mehrere Kr�fte mit dem Kr�ftepolygon oderKrafteck (Bild 4, Kr�ftemaßstab 1 cm=kN).

Die rechnerische L�sung lautet

FR ¼X

n

i¼1

Fi ¼X

n

i¼1

FixexþX

n

i¼1

Fiyey

¼ FRxexþFRyey

ð6Þ

mit Fix ¼ Fi cosai; Fiy ¼ Fi sinai . Gr�ße und Richtung derResultierenden:

FR ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2Rx þF2

Ry

q

; tan aR ¼ FRy=FRx: ð7Þ

Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nachzwei Richtungen m�glich, nach drei und mehr Richtungen istdie L�sung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische L�-sung s. Bild 5a, b.

Bild 5a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen(eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch

Rechnerische L�sung (Bild 5c): F¼ F1þF2 bzw. in Kom-ponenten

F cosa¼ F1 cosa1þF2 cosa2;

F sina ¼ F1 sina1 þF2 sina2;

d. h. F2 ¼ ðF sina�F1 sina1Þ=sina2 und somit

F cosa¼ F1 cosa1þ cosa2ðF sina�F1 sina1Þ=sina2:

F cosa sina2�F sina cosa2

¼ F1 cosa1 sina2�F1 sina1 cosa2;

also F1 ¼ F sinða2�aÞ= sinða2�a1Þ und entsprechendF2 ¼ F sinða1�aÞ= sinða1�a2Þ:

B 2 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Bild 2a – c. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Momentin der Ebene

Bild 3a, b. Zusammensetzen zweier Kr�fte in der Ebene. a Mit Kr�f-teparallelogramm; b mit Kr�ftedreieck

Bild 4a, b. Zusammensetzen mehrerer Kr�fte in der Ebene. a Lage-plan; b Kr�ftepolygon

1.2.2 R�umliche Kr�ftegruppe

Zusammensetzen von Kr�ften zu einer Resultierenden.Die rechnerische L�sung lautet

FR ¼X

n

i¼1

Fi ¼X

n

i¼1

FixexþX

n

i¼1

FiyeyþX

n

i¼1

Fizez

¼ FRxexþFRyeyþFRzez;

ð8Þ

mit Fix ¼ Fi cosai , Fiy ¼ Fi cosbi , Fiz ¼ Fi cosgi. Gr�ße undRichtung der Resultierenden:

FR ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2RxþF2

Ry þF2Rz

q

;

cosaR ¼ FRx=FR; cosbR ¼ FRy=FR; cosgR ¼ FRz=FR:ð9Þ

Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach dreiRichtungen m�glich; nach vier und mehr Richtungen ist dieL�sung vieldeutig (statisch unbestimmt).Die rechnerische L�sung lautet F1þF2þF3 ¼ F; F1x þF2x

þF3x ¼ Fx; F1y þF2y þF3y ¼ Fy; F1zþF2zþF3z ¼ Fz. Ge-m�ß Bild 6 gilt f�r die Richtungskosinusse der drei gegebe-nen Richtungen

cosai ¼ xi=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2i þ y2

i þ z2i

q

; cosbi ¼ yi=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2i þ y2

i þ z2i

q

;

cosgi ¼ zi=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2i þ y2

i þ z2i

q

:

Damit folgt

F1 cosa1 þF2 cosa2þF3 cosa3 ¼ F cosa;F1 cosb1 þF2 cosb2þF3 cosb3 ¼ F cosb;F1 cosg1 þF2 cosg2 þF3 cosg3 ¼ F cosg:

Diese drei linearen Gleichungen f�r die drei unbekanntenKr�fte F1, F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige L�sung,wenn ihre Systemdeterminante nicht null wird (s. www.dub-bel.de), d. h., wenn die drei Richtungsvektoren nicht in einerEbene liegen. Gem�ß Bild 6 gilt F1e1 þ F2e2 þ F3e3 ¼Fund nach Multiplikation mit e2 � e3

F1e1ðe2� e3ÞþF2e2ðe2� e3ÞþF3e3ðe2� e3Þ¼ Fðe2� e3Þ:

Da der Vektor ðe2� e3Þ sowohl auf e2 als auch auf e3 senk-recht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt

F1e1ðe2� e3Þ ¼ Fðe2� e3Þ bzw:

F1 ¼Fe2e3=ðe1e2e3Þ;F2 ¼ e1Fe3=ðe1e2e3Þ; F3 ¼ e1e2F=ðe1e2e3Þ:

ð10Þ

Fe2e3; e1e2e3 usw. sind Spatprodukte, d.h. Skalare, derenGr�ße der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildeten Spatsfestlegt. Die L�sung ist eindeutig, wenn das Spatprodukte1e2e3 6¼ 0 ist, d. h., die drei Vektoren d�rfen nicht in einerEbene liegen (s. www.dubbel.de).

Mit ei ¼ cosaiexþ cosbieyþ cosgiez wird

F1 ¼F cosa cosa2 cosa3

F cosb cosb2 cosb3

F cosg cosg2 cosg3

:cosa1 cosa2 cosa3

cosb1 cosb2 cosb3

cosg1 cosg2 cosg3

:ð11Þ

Entsprechend F2 und F3 .

1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr�ftenmit verschiedenen Angriffspunkten

1.3.1 Kr�fte in der Ebene

Zusammensetzen mehrerer Kr�fte zu einer Resultieren-den. Rechnerisches Verfahren: Bez�glich des Nullpunkts er-gibt die ebene Kr�ftegruppe eine resultierende Kraft und einresultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 7a)

FR ¼X

n

i¼1

Fi; MR ¼X

n

i¼1

Mi bzw: FRx ¼X

n

i¼1

Fix;

FRy ¼X

n

i¼1

Fiy; MR ¼X

n

i¼1

ðFiyxi�FixyiÞ ¼X

n

i¼1

Fihi:

F�r einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Kr�ftegruppegleich der ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende paral-lel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, dass MR null wird,so folgt f�r ihre Lage aus MR ¼ FRhR usw. (Bild 7 b)

hR ¼MR=FR bzw: xR ¼MR=FRy bzw:

yR ¼�MR=FRx:

Bild 7 a, b. Resultierende von Kr�ften in der Ebene

Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in derEbene eindeutig m�glich nach drei gegebenen Richtungen,die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen h�chs-tens zwei parallel sein d�rfen.Die rechnerische L�sung folgt aus der Bedingung, dass Kraft-und Momentenwirkung der Einzelkr�fte Fi und der Kraft Fbez�glich des Nullpunktes gleich sein m�ssen (Bild 8):X

n

i¼1

Fi ¼F;X

n

i¼1

ðri �FiÞ ¼ r�F; d:h:

F1 cosa1 þF2 cosa2þF3 cosa3 ¼ F cosa;F1 sina1þF2 sina2þF3 sina3 ¼ F sina;

F1ðx1 sina1 � y1 cosa1ÞþF2ðx2 sina2� y2 cosa2ÞþF3ðx3 sina3� y3 cosa3Þ ¼ Fðx sina� ycosaÞ

oder an Stelle der letzten Gleichung F1h1 þF2h2þF3h3 ¼ Fh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Mo-mente positiv sind. Das sind drei Gleichungen f�r die drei Un-bekannten F1, F2, F3 .

1.3.2 Kr�fte im Raum

Kr�ftezusammenfassung (Reduktion). Eine r�umlicheKr�ftegruppe, bestehend aus den Kr�ften Fi ¼ ðFix; Fiy; FizÞ;deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren ri ¼ðxi; yi; ziÞ gegeben sind, kann bez�glich eines beliebigenPunkts zu einer resultierenden Kraft FR und zu einem resul-

I1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr�ften mit verschiedenen Angriffspunkten B 3

B

Bild 6. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum

tierenden Moment MR zusammengefasst (reduziert) werden.Die rechnerische L�sung (Bild 9) lautet, bezogen auf denNullpunkt

FR ¼X

n

i¼1

Fi;

MR ¼X

n

i¼1

ðri �FiÞ ¼X

n

i¼1

ex ey ez

xi yi zi

Fix Fiy Fiz

:

Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachungdes reduzierten Kr�ftesystems ist insofern m�glich, als es eineAchse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Mo-mentvektor parallel zueinander liegen (Bild 10). Diese Achseheißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von MR inder durch MR und FR gebildeten Ebene E in die Komponen-ten MF ¼MR cosj (parallel zu FR) und MS ¼MR sinj (senk-recht zu FR). Hierbei folgt j aus dem SkalarproduktMR �FR ¼MRFR cosj, d. h. cosj¼MR �FR=ðMRFRÞ: An-schließend wird MS durch Versetzen von FR senkrecht zurEbene E um den Betrag a¼MS=FR zu null gemacht. Der da-zu geh�rige Vektor ist a¼ ðFR�MRÞ=F2

R, da sein Betragaj j ¼ a¼ FRMR sinj=F2

R ¼MS=FR ist. Die Vektorgleichungder Zentralachse, in deren Richtung FR und MF wirken, lautetdann mit t als Parameter rðtÞ ¼ aþFR � t:Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft l�sst sich im Raumnach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sinddie Richtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben undheißen die Kr�fte F1 . . .F6, so gilt

X

6

i¼1

Fi cosai ¼ F cosa;X

6

i¼1

Fi cosbi ¼ F cosb;

X

6

i¼1

Fi cosgi ¼ F cosg;

X

6

i¼1

Fiðyi cosgi � zi cosbiÞ ¼ Fðycosg� zcosbÞ;

X

6

i¼1

Fiðzi cosai � xi cosgiÞ ¼ Fðzcosa� xcosgÞ;

X

6

i¼1

Fiðxi cosbi� yi cosaiÞ ¼ Fðx cosb� ycosaÞ:

Aus diesen sechs linearen Gleichungen erh�lt man eine ein-deutige L�sung, wenn die Nennerdeterminante ungleich nullist (s. www.dubbel.de).

1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichts-bedingungen

Ein K�rper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oderin gleichf�rmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dannalle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzender Dynamik, dass am K�rper keine resultierende Kraft undkein resultierendes Moment auftreten.

1.4.1 Kr�ftesystem im Raum

Die Gleichgewichtsbedingungen lauten

FR ¼X

Fi ¼ 0 und MR ¼X

Mi ¼ 0 ð12Þ

bzw. in KomponentenX

Fix ¼ 0;X

Fiy ¼ 0;X

Fiz ¼ 0;X

Mix ¼ 0;X

Miy ¼ 0;X

Miz ¼ 0:ð13Þ

Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen f�r die Kr�fte kanndurch eine weitere f�r die Momente um eine beliebige andereAchse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetztwerden.Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechsunbekannte Gr�ßen (Kr�fte oder Momente) berechnen. Sindmehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Pro-blem statisch unbestimmt. Seine L�sung ist nur unter Heran-ziehung der Verformungen m�glich (s. C2.7). Liegen Kr�ftemit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momenten-bedingungen von Gl. (13) bez�glich des Schnittpunkts (unddamit auch f�r alle anderen Punkte, da MR ein freier Vektorist) identisch erf�llt. Dann gelten nur die Kr�ftegleichge-wichtsbedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannteKr�fte ermittelt werden k�nnen.

1.4.2 Kr�ftesystem in der Ebene

Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichge-wichtsbedingungen:X

Fix ¼ 0;X

Fiy ¼ 0;X

Miz ¼ 0: ð14Þ

Die beiden Kr�ftegleichgewichtsbedingungen k�nnen durchzwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die dreiBezugspunkte f�r die drei Momentengleichungen d�rfen nichtauf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedin-gungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Gr�ßen (Kr�fteoder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden,so ist das ebene Problem statisch unbestimmt.

B 4 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Bild 9. R�umliche Kr�ftereduktion.

Bild 10. Kraftschraube (Dyname)Bild 8. Zerlegen einer Kraft in der Ebene

F�r Kr�fte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene istdie Momentenbedingung in Gl. (14) identisch erf�llt, es blei-ben nur die beiden Kr�ftebedingungenX

Fix ¼ 0;X

Fiy ¼ 0: ð15Þ

1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten

Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungenund lautet: Erteilt man einem starren K�rper eine mit seinengeometrischen Bindungen vertr�gliche kleine (virtuelle) Ver-r�ckung, und ist der K�rper im Gleichgewicht (Bild 11), soist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingepr�gten �ußerenKr�fte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet– gleich null:

dWðeÞ ¼X

FðeÞi driþX

MðeÞi dji ¼ 0 ð16Þ

bzw. in Komponenten

dW ðeÞ ¼X

ðFðeÞix dxiþFðeÞiy dyi þFðeÞiz dziÞ

þX

ðMðeÞix djixþMðeÞiy djiyþMðeÞiz djizÞ ¼ 0;

ri ¼ ðxi; yi; ziÞ Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten;dri ¼ ðdxi;dyi;dziÞ Variationen (mathematisch ausgedr�cktVektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildungder ersten Ableitung ergeben; dji Drehwinkeldifferentiale derVerdrehungen ji.

Bild 11. Prinzip virtueller Verr�ckungen

In nat�rlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form

dWðeÞ ¼X

FðeÞis dsi þX

MðeÞij dji ¼ 0 ð17Þ

an, wobei FðeÞis die in die Richtung der Verschiebung zeigen-

den Kraftkomponenten und MðeÞij die um die Drehachse wirk-samen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dientunter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichge-wichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung desEinflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkr�fte(Einflusslinien).

1.4.4 Arten des Gleichgewichts

Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und seinHebelarm l so zu bestimmen, dass sich die Zeichenmaschine vom Ei-gengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 12). –Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade j und y.

rG ¼ ð�c sinjþ b siny; bcosy� ccosjÞ;rQ ¼ ðl sinj� a siny; �acosyþ lcosjÞ;drG ¼ ð�c cosj djþ bcosy dy; �b siny dyþ c sinj djÞ;drQ ¼ ðlcosj dj� a cosy dy; a siny dy� l sinj djÞ:

Mit FG ¼ ð0;�FGÞ und FQ ¼ ð0;�FQÞ wird

dW ðeÞ ¼X

FðeÞi dri ¼�FGð�b siny dyþ c sinj djÞ�FQða siny dy� l sinj djÞ

¼ siny dyðFGb�FQaÞþ sinj djð�FGcþFQlÞ:

Aus dW ðeÞ ¼ 0 folgt wegen der Beliebigkeit von j und y

FGb�FQa¼ 0 und �FGcþFQl¼ 0

und damit

FQ ¼ FGb=a und l¼ c FG=FQ ¼ ca=b:

Ferner wird

d2W ðeÞ ¼ cosy dy2ðFGb�FQaÞþ cosj dj2ð�FGcþFQlÞ:

Hieraus folgt mit den ermittelten L�sungswerten d2W ðeÞ ¼ 0; d. h., esliegt indifferentes Gleichgewicht vor.

Bild 12. Zeichenmaschine

Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleich-gewicht (s. Bild 13). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wennein K�rper bei einer mit seinen geometrischen Bindungenvertr�glichen Verschiebung in seine Ausgangslage zur�ckzu-kehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlas-sen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede be-nachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird ent-sprechend B 1.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufge-fasst, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten f�r dieGleichgewichtslage dW ðeÞ ¼ 0. Bewegt man den K�rper ge-m�ß Bild 13 a aus einer Lage 1 in eine Lage 2 �ber dieGleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Bereich 1 bis 0 dieArbeit dWðeÞ ¼ Fsds> 0; d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2

dWðeÞ < 0; d. h. negativ. Aus der Funktion dWðeÞ ¼ f ðsÞ gehthervor, dass die Steigung von dW ðeÞ negativ ist, d. h.d2W ðeÞ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allgemein gilt f�rdas Gleichgewicht: stabil d2WðeÞ < 0; labil d2W ðeÞ > 0; indif-ferent d2W ðeÞ ¼ 0:

I1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen B 5

B

Bild 13a – c. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent

Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskr�fteeine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U ¼ FGz bzw.dU ¼ FGdz

dW ðeÞ ¼ FðeÞdr¼ ð0; 0; �FGÞðdx; dy; dzÞ¼ �FGdz¼�dU

und d2W ðeÞ ¼ �d2U; d. h., bei stabilem Gleichgewicht istd2U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum,bei labilem Gleichgewicht d2U < 0 und die potentielle Ener-gie ein Maximum.

1.4.5 Standsicherheit

Bei K�rpern, deren Auflagerungen nur Druckkr�fte aufneh-men k�nnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird ver-hindert, wenn um die m�glichen Kippkanten A oder B(Bild 14) die Summe der Standmomente gr�ßer ist als dieSumme der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende desKr�ftesystems innerhalb der Kippkanten die Standfl�cheschneidet. Standsicherheit ist das Verh�ltnis der Summe allerStandmomente zur Summe aller Kippmomente bez�glich ei-ner Kippkante: S¼

X

MS=X

MK. F�r S� 1 herrscht Stand-sicherheit und Gleichgewicht.

1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip

K�rper werden durch sog. Lager abgest�tzt. Die St�tzkr�ftewirken als Reaktionskr�fte zu den �ußeren eingepr�gten Kr�f-ten auf den K�rper. Je nach Bauart der Lager k�nnen imr�umlichen Fall maximal drei Kr�fte und maximal drei Mo-mente �bertragen werden. Die Reaktionskr�fte und -momentewerden durch das sogenannte „Freimachen“ eines K�rpers zu�ußeren Kr�ften. Ein K�rper wird freigemacht, indem manihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager vonseiner Umgebung trennt und die Lagerkr�fte als �ußere Kr�fteam K�rper anbringt (Bild 15, Freimachungsprinzip). Auf dieLager wirken dann nach „actio =reactio“ (3. NewtonschesAxiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kr�fte. Jenach Bauart und Anzahl der Reaktionsgr�ßen eines Lagersunterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 16).

1.6 Auflagerreaktionen an K�rpern

1.6.1 K�rper in der Ebene

In der Ebene hat ein K�rper drei Freiheitsgrade hinsichtlichseiner Bewegungsm�glichkeiten (Verschiebung in x- und y-Richtung, Drehung um die z-Achse). Er ben�tigt daher eineinsgesamt 3wertige Lagerung f�r eine stabile und statisch be-stimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspan-nung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus dreiLoslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall d�rfen sichdie drei Wirkungslinien der Reaktionskr�fte nicht in einemPunkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n> 3), so istdas System (n� 3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist dieLagerung weniger als 3wertig, so ist das System statisch un-terbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung derAuflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Ansetzender Gleichgewichtsbedingungen.

Beispiel: Welle (Bild 17a). Gesucht werden die Auflagerkr�fte in Aund B infolge der gegebenen Kr�fte F1 und F2 .

Rechnerische L�sung: An der freigemachten Welle (Bild 17b) giltX

MiA ¼ 0¼�F1 aþFB l�F2ðlþ cÞ also

FB ¼ ½F1 aþF2ðlþ cÞ�=l;

B 6 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Bild 14. Standsicherheit

Bild 15a, b. Freimachungsprinzip. a Gest�tzter K�rper mit geschlos-sener Schnittlinie; b freigemachter K�rper

Bild 16. Lagerungsarten

Bild 17a, b. Welle. a System; b Freimachung

X

MiB ¼ 0¼�FAy lþF1 b�F2 c, also

FAy ¼ ðF1 b�F2 cÞ=l;

X

Fix ¼ 0¼ FAx :

Die GleichgewichtsbedingungX

Fiy ¼ 0 muss ebenfalls erf�llt sein

und kann als Kontrollgleichung benutzt werden.X

Fiy ¼ FAy �F1 þFB �F2

¼ ðF1b�F2cÞ=l�F1 þ ½F1aþF2ðlþ cÞ�=l�F2

¼ F1ðaþ b� lÞ=lþF2ð�cþ lþ c� lÞ=l¼ 0:

Beispiel: Abgewinkelter Tr�ger (Bild 18 a). F�r den durch zwei Ein-zelkr�fte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abge-winkelten Tr�ger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraftim Pendelstab bei B zu bestimmen.

Rechnerische L�sung: Mit der Resultierenden der StreckenlastFq ¼ qc wird (Bild 18 b)X

MiA ¼ 0¼� F1 sina1a� qcða þ b þ c=2Þ�F2e þFS cosaS l þFS sinaSh

und daraus

FS ¼ ½F1 sina1a þ qcða þ b þ c=2ÞþF2e�=ðlcosaS þ h sinaSÞ:

AusX

Fix ¼ 0¼ FAx þF1 cosa1 þF2 �FS sinaS undX

Fiy ¼ 0¼ FAy �F1 sina1 � qc þFS cosaS

folgen

FAx ¼�F1 cosa1 �F2 þFS sinaS und

FAy ¼ F1 sina1 þ qc �FS cosaS;

wobei der vorstehend errechnete Wert f�r FS einzusetzen ist.

Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 19a, b). Der durch die Ge-wichtskraft FG und die Anh�ngerzugkraft FZ belastete Wagen wirdvon einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehal-ten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die St�tz-kr�fte an den R�dern, wobei Reibkr�fte außer acht gelassen werdensollen.

Rechnerische L�sung: Am freigemachten Wagen (Bild 19 b) ergebendie Gleichgewichtsbedingungen

X

Fix ¼ 0¼�FZ �FG sina þFS cosa; also

FS ¼ FG tana þFZ=cosa;X

MiA ¼ 0¼ FZh=4þFGðh=2Þ sina �FGbcosa þ 2Fn2b

�FSðh=2Þcosa �FSðaþ 2bÞ sina;X

MiB ¼ 0¼ FZh=4� 2Fn1b þFGðh=2Þ sina þFGbcosa

�FSðh=2Þcosa �FSa sina:

Hieraus folgen

Fn2 ¼�FZh=ð8bÞ�FG½ðh=2Þ sina � bcosa�=ð2bÞþFS ½ðh=2Þcosa þða þ 2bÞ sina�=ð2bÞ und

Fn1 ¼FZh=ð8bÞþFG½ðh=2Þ sina þ bcosa�=ð2bÞ�FS ½ðh=2Þcosa þ a sina�=ð2bÞ;

wobei der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die BedingungX

Fiy ¼ 0¼ Fn1 þFn2 �FG cosa �FS sina kann dann als Kontroll-

gleichung benutzt werden.

1.6.2 K�rper im Raum

Im Raum hat ein K�rper sechs Freiheitsgrade (drei Verschie-bungen und drei Drehungen). Er ben�tigt daher f�r eine sta-bile Festhaltung eine insgesamt 6wertige Lagerung. Ist dieLagerung n-wertig (n> 6), so ist das System (n� 6)fach sta-tisch unbestimmt gelagert. Ist n< 6, so ist es statisch unterbe-stimmt, also beweglich und instabil.

Beispiel: Welle mit Schr�gverzahnung (Bild 20). Die Auflagerkr�fteder Welle sind zu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achsedrehen, d. h.

X

Mix ¼ 0 entf�llt. Die restlichen f�nf Gleichgewichts-bedingungen lauten:X

Fix ¼ 0 ergibt FAx¼ F1x �F2x;X

MiBz ¼ 0 ergibt FAy¼�ðF1xr1 þF1yb þF2xr2 þF2ycÞ=l;X

MiBy¼ 0 ergibt FAz¼ ðF1zb �F2zcÞ=l;X

MiAz¼ 0 ergibt FBy¼ ½F1xr1 �F1ya þF2xr2 þF2yðlþ cÞ�=l;X

MiAy¼ 0 ergibt FBz¼ ½F1za þF2zðl þ cÞ�=l:

Die BedingungenX

Fiy ¼ 0 undX

Fiz ¼ 0 k�nnen als Kontrollen

verwendet werden.

1.7 Systeme starrer K�rper

Sie bestehen aus mehreren K�rpern, die durch Verbindungs-elemente, d. h. Gelenke a oder F�hrungen b oder auch durchgelenkig angeschlossene F�hrungen c, miteinander verbundensind (Bild 21). Ein Gelenk �bertr�gt Kr�fte in zwei Richtun-gen, aber kein Moment; eine F�hrung �bertr�gt eine Kraftquer zur F�hrung und ein Moment, aber keine Kraft parallelzur F�hrung; eine gelenkige F�hrung �bertr�gt eine Kraftquer zur F�hrung, aber keine Kraft parallel zur F�hrung undkein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder ein-wertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertig-keiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten derVerbindungselemente, so muss bei einem System aus k K�r-pern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Be-dingung iþ j¼ 3k erf�llt sein, wenn ein stabiles System sta-tisch bestimmt sein soll.Ist iþ j> 3k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h.,wenn iþ j¼ 3kþ n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist

I1.7 Systeme starrer K�rper B 7

B

Bild 18a, b. Abgewinkelter Tr�ger. a System; b Freimachung

Bild 19 a, b. Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung

Bild 20. Welle mit Schr�gverzahnung

iþ j< 3k, so ist das System statisch unterbestimmt und aufjeden Fall labil. F�r das stabile System nach Bild 21 istiþ j¼ 7þ 5¼ 12 und 3k¼ 3 � 4¼ 12, d. h., das System iststatisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werdendie Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungs-elementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungenf�r die freigemachten Einzelk�rper erf�llt werden.

Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 22 a).

Rechnerische L�sung: Nach Freimachen der beiden Einzelk�rper(Bild 22 b) Gleichgewichtsbedingungen f�r K�rper I:X

Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FCx �F1x ; ð18aÞX

Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ F1y þF2 �FCy; ð18bÞX

MiA ¼ 0¼ FCxHþFCya �F1xy1 �F1yx1 �F2x2 ; ð18cÞ

und f�r K�rper II:X

Fix ¼ 0 ergibt FBx ¼ FCx �F3x ; ð18dÞX

Fiy ¼ 0 ergibt FBy ¼ FCy þF3y ; ð18eÞX

MiB ¼ 0¼�FCxh þFCyb þF3x ½y3 �ðH� hÞ�þF3yðl � x3Þ:

ð18fÞ

Aus den Gln. (18c und f) ergeben sich die Gelenkkr�fte FCx und FCy,eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann die Auflagerkr�fte

FAx ; FAy ; FBx; FBy. Zur Kontrolle verwendet manX

MiC ¼ 0 am

Gesamtsystem.

1.8 Fachwerke

1.8.1 Ebene Fachwerke

Fachwerke bestehen aus St�ben, die in den Knotenpunktenals gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. DieGelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es wer-den nur Kr�fte in Stabrichtung �bertragen. Die in Wirklich-keit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomenteund biegesteifen Anschl�sse f�hren zu Nebenspannungen, diein der Regel vernachl�ssigbar sind. Die �ußeren Kr�fte grei-fen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelge-setz am Stab auf diese verteilt.Hat ein Fachwerk n Knoten und s St�be und ist es �ußerlichstatisch bestimmt mit drei Auflagerkr�ften gelagert, so gilt,da es f�r jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt,f�r ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 23 a)2n¼ sþ 3, s¼ 2n� 3, d. h., aus den 2n� 3 Gleichgewichts-bedingungen sind s unbekannte Stabkr�fte berechenbar. EinFachwerk mit s< 2n� 3 St�ben ist statisch unterbestimmtund kinematisch instabil (Bild 23b), ein Fachwerk mit

s> 2n� 3 St�ben ist innerlich statisch unbestimmt(Bild 23 c). F�r die Bildung statisch bestimmter und stabilerFachwerke gelten folgende Bildungsgesetze:– Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nach-

einander neue Knotenpunkte mit zwei St�ben angeschlos-sen Bilder 23 a, 24a.

– Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neuesgebildet durch drei Verbindungsst�be, deren Wirkungsli-nien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 24 b).Dabei k�nnen zwei St�be durch einen den beiden Fachwer-ken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 24 b,rechts).

– Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regelngebildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes undstabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischenzwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfer-nung gegeneinander bewegen k�nnten (Bild 24c).

– Aus mehreren stabilen Fachwerken k�nnen nach den Re-geln der Starrk�rpersysteme gem�ß B 1.7 neue stabileFachwerksysteme gebildet werden (Bild 24d).

Ermittlung der Stabkr�fte

Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stab-kr�fte und die drei Auflagerkr�fte f�r ein statisch bestimmtesFachwerk nach Aufstellen der GleichgewichtsbedingungenX

Fix ¼ 0 undX

Fiy ¼ 0 an allen durch Rundschnitt frei-gemachten n Knoten. Man erh�lt 2n lineare Gleichungen. Istdie Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleichnull, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist esinstabil (verschieblich) [1]. H�ufig gibt es (z.B. nachdemman vorher die Auflagerkr�fte aus den Gleichgewichtsbedin-gungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknotenmit nur zwei unbekannten Stabkr�ften, dem sich weitere

B 8 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

BBild 21. System aus starren K�rpern

Bild 23a – c. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbe-stimmt; c statisch unbestimmt

Bild 24a – d. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz

Bild 22a, b. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung

Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, sodass sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungenberechnet werden k�nnen, ohne ein Gleichungssystem l�senzu m�ssen.

Rittersches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, beidem durch Schnitt dreier St�be ein ganzer Fachwerkteil frei-gemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedin-gungen f�r diesen Teil die drei unbekannten Stabkr�fte be-rechnet werden (s. Beispiel).

Stabvertauschungsverfahren nach Henneberg. Kompliziertaufgebaute Fachwerke lassen sich durch Stabvertauschungauf einfache zur�ckf�hren. Die Stabkraft im Ersatzstab infol-ge �ußerer Last und die Kraft im Vertauschungsstab muss ins-gesamt null sein; daraus ergibt sich die Kraft im Vertau-schungsstab. Die Methode ist auch gut geeignet zur Feststel-lung der Stabilit�t eines Fachwerks, da im Fall der Labilit�tdie Kraft im Vertauschungsstab gegen unendlich geht.

Einflusslinien infolge von Wanderlasten

Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolgeeiner Wanderlast F ¼ 1 liefert die Einflussfunktion h(x); ihregraphische Darstellung heißt Einflusslinie. Die Auswertungf�r mehrere Einzellasten Fj liefert die StabkraftFSi ¼

X

FjhðxjÞ (s. Beispiel).

Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 25 a). Gegeben: F1 ¼ 5kN,F2 ¼ 10kN, F3 ¼ 20kN, a¼ 2m, b¼ 3m, h¼ 2m, a¼ 45� ,b¼ 33;69� . Gesucht: Stabkr�fte.

Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkr�fte FSi werden alsZugkr�fte positiv angesetzt (Bild 25 b). F�r Knoten E gilt:

X

Fiy ¼ 0 ergibt FS2 ¼�F2= sina¼�14;14kN; also Druck;X

Fix ¼ 0 ergibt FS1 ¼ F1 �FS2 cosa¼þ15;00kN; also Zug:

F�r Knoten C gilt:X

Fix ¼ 0 ergibt FS4 ¼ FS1 ¼þ15;00 kN ðZugÞ;X

Fiy ¼ 0 ergibt FS3 ¼�F3 ¼�20;00 kN ðDruckÞ:

F�r Knoten D gilt:X

Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼�ðFS2 sina þFS3 Þ= sinb

¼þ54;08 kN ðZugÞ;X

Fix ¼ 0 ergibt FS6 ¼ FS2 cosa �FS5 cosb

¼�55;00 kN ðDruckÞ:

F�r Knoten B gilt:X

Fiy ¼ 0 ergibt FS7 ¼ 0;X

Fix ¼ 0 ergibt FB ¼�FS6 ¼ 55;00 kN:

F�r Knoten A gilt:X

Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FS4 þFS5 cosb¼ 60;00 kN;X

Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ FS5 sinbþFS7 ¼ 30;00 kN:

Diese Auflagerkr�fte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingun-gen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem.

Ritterscher Schnitt. Die Stabkr�fte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch ei-nen Ritterschen Schnitt (Bild 25 c) ermittelt.

X

MiD¼ 0 ergibt FS4 ¼ ðF2a þF1hÞ=h¼þ15;00 kN;X

MiA¼ 0 ergibt FS6 ¼�½F2ða þ bÞþF3b�=h¼�55;00 kN;X

Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðF2 þF3Þ= sinb¼þ54;08 kN:

Einflusslinie f�r Stabkraft FS6. Untersucht wird der Einfluss einer ver-tikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) aufdie Stabkraft FS6 (Bild 25 d). AusX

MiA ¼ 0¼ Fyða þ b � xÞþFS6h

folgt mit Fy ¼ 1

hðxÞ ¼�1 � ða þ b � xÞ=h¼�5=2þ x=ð2 mÞ

also eine Gerade (Bild 25 e). Ihre Auswertung f�r die gegebenen Las-ten liefert, da F1 keinen Einfluss auf FS6 hat (s.

X

MiA ¼ 0),

FS6 ¼ F2hðx¼ 0ÞþF3hðx¼ aÞ¼ 10 kNð�5=2Þþ 20 kNð�3=2Þ ¼�55kN:

1.8.2 R�umliche Fachwerke

Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen be-stehen und sechs Lagerkr�fte zur stabilen, statisch bestimmtenLagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Ab-z�hlkriterium 3n¼ sþ 6 bzw. s¼ 3n� 6. Im �brigen geltenden ebenen Fachwerken analoge Methoden f�r die Stabkraft-berechnung usw. [2].

1.9 Seile und Ketten

Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., siek�nnen nur Zugkr�fte �bertragen. Vernachl�ssigt man dieL�ngsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ord-nung), so folgt f�r das ebene Problem infolge vertikalerStreckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilele-ment (Bild 26a)bei gegebener Belastung q(s):X

Fix ¼ 0, d. h. dFH ¼ 0,X

Fiy ¼ 0, d. h. FV ¼ qðsÞ ds; alsoFH ¼ const und dFV=ds¼ qðsÞ. Gem�ß Bild 26a gilt fernertanj¼ y0 ¼ FV=FH; d:h: FV ¼ FHy0 bzw. F0V ¼ dFV=dx¼FHy00.

I1.9 Seile und Ketten B 9

B

Bild 25a – e. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Ritterscher Schnitt; d Wanderlast; e Einflusslinie

Mit ds¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y 02p

dx wird hieraus

dFV=ds¼ ðdFV=dxÞðdx=dsÞ ¼ FHy00=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y 02p

¼ qðsÞ:

Folglich ist

y00 ¼ ½qðsÞ=FH�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y 02p

; ð19Þ

bei gegebener Belastung q(x):gem�ß Bild 26 a gilt qðsÞ ds¼ qðxÞ dx, d. h.

qðsÞ ¼ qðxÞ dx=ds¼ qðxÞcosj¼ qðxÞ=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y 02p

und damit nach Gl. (19)

y00 ¼ qðxÞ=FH: ð20Þ

Die L�sungen dieser Differentialgleichungen ergeben dieSeilkurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskon-stanten sowie der unbekannte (konstante) Horizontalzug FH

folgen aus den Randbedingungen yðx¼ x1Þ ¼ y1 undyðx¼ x2Þ ¼ y2 sowie aus der gegebenen Seill�nge

L¼Z

ds¼Z

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y02p

dx.

1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie)

F�r ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit qðsÞ ¼ const¼q aus Gl. (19) mit a¼ FH=q nach Trennung der Variablen undIntegration arsinhy0 ¼ ðx� x0Þ=a bzw. y0 ¼ sinh½ðx� x0Þ=a�und somit die Kettenlinie

yðxÞ ¼ y0þ acosh½ðx� x0Þ=a�: ð21Þ

Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 ¼ 0 an der Stelle x¼ x0

zu ymin ¼ y0þ a. Die unbekannten Konstanten x0; y0 unda¼ FH=q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 26b)

yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0¼ y0þ acoshðx0=aÞ;yðx ¼ x2Þ ¼ y2 ¼ y0þ acosh½ðx2� x0Þ=a�;

L ¼Z

x2

x¼0

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ sinh2½ðx� x0Þ=a�q

dx

¼ a sinh½ðx2� x0Þ=a� þ asinhðx0=aÞ:

Hieraus ergeben sich

y0 ¼�acoshðx0=aÞ; x0 ¼ x2=2� aartanhðy2=LÞ und

sinhðx2=2aÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

L2 � y22

q

=ð2aÞ:

Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschlie-ßend k�nnen x0 und y0 berechnet werden. Der maximaleDurchhang f gegen�ber der Sehne folgt an der Stellexm ¼ x0þ aarsinhðy2=x2Þ zu f ¼ y2xm=x2� yðxmÞ. F�r dieKr�fte gilt

FH ¼ aq¼ const; FVðxÞ ¼ FHy0ðxÞ; ð22Þ

FSðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2HþF2

VðxÞq

:

Die gr�ßte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maxi-mum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte.

Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m;�50 m). Seill�nge L¼ 340 m, Belastung qðsÞ ¼ 30N=m. – Aus dertranszendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnunga¼ 179;2m und damit x0 ¼ 176;5 m und y0 ¼�273;4 m, womit nachGl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang ge-gen�ber der Sehne tritt an der Stelle xm ¼ 146;8 m auf und hat dieGr�ße f ¼ 67;3m. Der Horizontalzug betr�gt FH ¼ aq¼ 5;375 kN¼const : Die gr�ßte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf:FVðx¼ 0Þ ¼ FH � jy0ðx¼ 0Þj ¼ 6;192 kN und somit FS;max ¼FSðx¼ 0Þ ¼ 8;20 kN.

1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast

Hierunter fallen neben Seilen mit angeh�ngter konstanterStreckenlast qðxÞ ¼ const auch solche mit flachem Durchhangunter Eigengewicht, da bei qðsÞ ¼ q0 ¼ const wegenqðsÞ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y02p

¼ q0=cosj¼ qðxÞ mit cosj� cosa¼ constauch qðxÞ ¼ const¼ q wird. Zweimalige Integration derGl. (20) liefert yðxÞ ¼ ðq=FHÞx2=2þC1xþC2; Randbedin-gungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte:yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0, yðx¼ x2Þ ¼ y2, yðx¼ x2=2Þ ¼ y2=2� f .Hieraus C2 ¼ 0, C1 ¼ ðy2 � 4f Þ=x2, FH ¼ qx2

2=ð8f Þ und damityðxÞ ¼ ðy2=x2Þx�ð4f=x2

2Þðx2x� x2Þ ¼ ðy2=x2Þx� f ðxÞ, wobeif(x) der Durchhang gegen�ber der Sehne ist (Bild 26b). Fer-ner gilt FVðxÞ ¼ FHy0ðxÞ und FSðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

F2H þF2

VðxÞp

; FS;max

an der Stelle der maximalen Steigung.

Die L�nge L des Seils folgt aus L¼Z

x2

x¼0

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þ y02p

dx mita¼ FH=q zu

L¼ða=2Þ½ðC1 þ x2=aÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þðC1þ x2=aÞ2q

þ lnðC1þ x2=aþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þðC1þ x2=aÞ2q

Þ

�C1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þC21

q

� lnðC1þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1þC21

q

Þ�:

F�r Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenl�ngel¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x22 þ y2

2

p

die N�herungsformel

L� l½1þ 8x22f 2=ð3l4Þ�: ð23Þ

Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B 1.9.1 werden�herungsweise als flach durchh�ngendes Seil berechnet. Gegeben:P1 (0; 0), P2 (300 m; – 50 m), f ¼ 67;3m, q0 ¼ 30N=m. –

Aus tana¼�50=300 folgt a¼�9;46� und cosa¼ 0;9864, so dassq� q0=cosa¼ 30;41 N=m wird. Es folgen C1 ¼�1;064 undFH ¼ 5;083 kN. Somit ist die Seillinie

B 10 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Bild 26a – c. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unterEinzellast

yðxÞ ¼�0;1667 � x � 0;003 m�1ð300 m � x� x2Þ¼�1;064 � x þ 0;003 m�1 � x2 :

An der Stelle x¼ 0 wird y0max ¼ jy0ð0Þj ¼ 1;064, also FV;max ¼FHy0max ¼ 5;408 kN und somit FS;max ¼ 7;42 kN.

Die N�herungsformel Gl. (23) f�r die Seill�nge liefert dann mitl¼ 304;1m den Wert L� 342;7m. Die Ergebnise zeigen, dass dieN�herungsl�sung von den exakten Werten (B1.9.1) nicht erheblichabweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maßezutrifft.

1.9.3 Seil mit Einzellast

Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchh�ngen gegen-�ber den Sehnen (Bild 26c, links). Sind x2 , y2, x3 , y3 gege-ben, so gelten mit FHI ¼ FHII ¼ FH die Beziehungen

q1 ¼ q0=cosaI; qII ¼ q0=cosaII;

fI ¼ qIx22=ð8FHÞ; fII ¼ qII�x

22=ð8FHÞ;

yðxÞ ¼ ðy2=x2Þx�ðqI=2FHÞðx2x� x2Þ;�yð�xÞ ¼ ð�y2=�x2Þ�x�ðqII=2FHÞð�x2�x��x2Þ;y0ðxÞ ¼ ðy2=x2Þ� ðqI=2FHÞðx2 � 2xÞ;�y0ð�xÞ ¼ ð�y2=�x2Þ� ðqII=2FHÞð�x2� 2�xÞ:

Aus der GleichgewichtsbedingungX

Fiy ¼ 0¼ FVl þF �FVr am Knoten P2 (Bild 26 c, rechts) folgt mit FV ¼ FH � jy0 junter Beachtung, dass �y0 negativ ist und somit jy0 j ¼ �y0;

FHy2=x2þ qIx2=2þFþFH�y2=�x2þ qII�x2=2¼ 0; d:h:

FH ¼ ½�qIx2� qII�x2� 2F�=½2ðy2=x2þ�y2=�x2Þ�:

Hiermit k�nnen fI und fII, wie angegeben, FVðxÞ und FSðxÞnach Gl. (22) sowie LI und LII nach Gl. (23) berechnet wer-den.

1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

An einem K�rper der Masse m wirken an den Massenelemen-ten dm die Gewichtskr�fte dFG ¼ dmg, die alle zueinanderparallel sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden

FG ¼Z

dFG nennt man den Schwerpunkt (Bild 27 a). Seine

Lage ist festgelegt durch die Bedingung, dass das Momentder Resultierenden gleich dem der Einzelkr�fte sein muss,

d. h.

rS �FG ¼Z

r� dFG bzw: mit dFG ¼ dFGe

rSFG �Z

r dFG

� �

� e¼ 0; d:h:

rS ¼Z

r dFG

� �

=FG bzw: in Komponenten

xS ¼ ð1=FGÞZ

x dFG; yS ¼ ð1=FGÞZ

y dFG;

zS ¼ ð1=FGÞZ

z dFG:

ð24Þ

Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g f�r den Mas-senmittelpunkt, bei konstanter Dichte r f�r den Volumen-schwerpunkt sowie f�r den Fl�chen- und Linienschwerpunktin vektorieller Form

rS ¼ ð1=mÞZ

r dm; rS ¼ ð1=VÞZ

r dV ;

rS ¼ ð1=AÞZ

r dA und

rS ¼ ð1=sÞZ

r ds:

ð25Þ

Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekanntenTeilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. f�r den Fl�-chenschwerpunkt

xS ¼ ð1=AÞX

xiAi;

yS ¼ ð1=AÞX

yiAi;

zS ¼ ð1=AÞX

ziAi:

ð26Þ

Die Gr�ßenZ

x dA bzw.X

xiAi usw. bezeichnet man als

statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS ¼ 0 usw.,d. h., das statische Moment bez�glich einer Achse durch denSchwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symme-trieachsen erf�llen diese Bedingung, d. h., sie sind stetsSchwerlinien.Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homoge-nen K�rpern sowie von Fl�chen und Linien sind in denTab. 1–3 angegeben.

Beispiel: Schwerpunkt eines Tr�gerquerschnitts. F�r den zusammen-gesetzten Tr�gerquerschnitt ist der Fl�chenschwerpunkt zu ermitteln(Bild 27 b). – Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ermitt-lung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Fl�che ange-setzt wird.

1.11 Haftung und Reibung

Haftung. Bleibt ein K�rper unter Einwirkung einer resultie-renden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage presst, in Ruhe,so liegt Haftung vor (Bild 28). Die Verteilung der Fl�chen-pressung zwischen K�rper und Unterlage ist meist unbekanntund wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichge-wichtsgr�nden ist Fn ¼ Fs ¼ F cosa und Fr ¼ Ft ¼ F sina,

I1.11 Haftung und Reibung B 11

B

Bild 27a, b. Schwerpunkt eines K�rpers (a) und eines Tr�gerquer-schnitts (b)

d. h. Fr ¼ Fn tana. Der K�rper bleibt so lange in Ruhe, bis dieReaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 ¼ Fn tanr0 ¼ Fnm0 er-reicht, d. h. solange F – r�umlich betrachtet – innerhalb dessogenannten Reibungskegels mit dem �ffnungswinkel 2r0

liegt. F�r die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung

Fr % Fn tanr0 ¼ Fnm0: ð27Þ

Die Haftzahl m0 h�ngt ab von den aneinander gepressten

Werkstoffen, deren Oberfl�chenbeschaffenheit, von einerFremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuch-tigkeit, von der Fl�chenpressung und von der Gr�ße der Nor-malkraft; m0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzenund ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. An-haltswerte f�r m0 s. Tab. 4.

Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung�berwunden, und setzt sich der K�rper in Bewegung, so giltf�r die Reibkraft das Coulombsche Gleitreibungsgesetz(Bild 29)

Fr=Fn ¼ const¼ tan r¼ m bzw: Fr ¼ mFn: ð28Þ

Die Gleitreibungskraft ist eine eingepr�gte Kraft, die dem Ge-schwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetztgerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient m (bzw. Gleitrei-bungswinkel r) h�ngt neben den unter Haftung beschriebenenEinfl�ssen vornehmlich von den Schmierungsverh�ltnissen(Trockenreibung, Mischreibung, Fl�ssigkeitsreibung; s.E 5.1) ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit[4, 5]. Anhaltswerte f�r m s. Tab. 4.

B 12 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen K�rpern

Bild 28. Haftung

I1.11 Haftung und Reibung B 13

B

Tabelle 2. Schwerpunkte von Fl�chen

Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien

Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung

Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Hebenund Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erfor-derlich ist. Die L�sung folgt am einfachsten aus dem Sinus-satz am Krafteck, z.B. f�r das Heben der Last nach Bild 30

F2

FQ¼ sinð90�þ r3Þ

sin½90��ðaþ r2þ r3Þ�;

F

F2¼ sinðaþ r1þ r2Þ

sinð90�� r1Þ;

hieraus

F ¼ FQtanðaþ r2Þþ tanr1

1� tanðaþ r2Þ tanr3: Entsprechend

F ¼ FQtanða� r2Þ� tanr1

1þ tanða� r2Þ tanr3

ð29Þ

f�r das Senken der Last. Wird F � 0, so tritt Selbsthemmungauf; dann ist

tanða� r2Þ% tanr1 bzw: a% r1 þ r2:

Der Keil muss dann herausgezogen bzw. von der anderen Sei-te hinausgedr�ckt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetrie-bes beim Heben der Last ist h¼ F0=F; hierbei istF0 ¼ FQ � tana die erforderliche Kraft ohne Reibung.

F�r r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r gilt F ¼ FQ tanða� 2rÞ; Selbsthemmungf�r a� 2 r, Wirkungsgrad h¼ tana= tanðaþ 2rÞ. Bei Selbst-hemmung wird h¼ tan2r= tan4r¼ 0;5 � 0;5 tan2 2r< 0;5.

Schraube (Bewegungsschraube).

Rechteckgewinde (flachg�ngige Schraube, Bild 31a). Ge-sucht ist das Drehmoment M zum gleichf�rmigen Heben undSenken der Last.X

Fiz ¼ 0¼Z

dF cosðaþ rÞ�FQ; F ¼ FQ=cosðaþ rÞ;X

Miz ¼ 0¼M�Z

dF sinðaþ rÞrm; M ¼ FQrm tanðaþ rÞ

Wirkungsgrad beim Heben h¼M0=M ¼ tana= tanðaþ rÞ;M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt�r an Stelle von r; M ¼ FQrm tanða� rÞ. Selbsthemmung f�rM%0, d. h. tanða� rÞ% 0; also a% r. Dann ist zum Senkender Last ein negatives Moment erforderlich. F�ra¼ r folgt h¼ tanr= tan2r¼ 0;5� 0;5 tan2 r< 0;5.

Trapez- und Dreieckgewinde (scharfg�ngige Schraube)(Bild 31 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie f�r Recht-eckgewinde, wenn anstelle von m¼ tanr die Reibzahlm0 ¼ tanr0 ¼ m=cosðb=2Þ, d. h. anstelle von r der Reibwinkelr0 ¼ arctan½m=cosðb=2Þ� eingesetzt wird. Beweis gem�ßBild 31 b, da anstelle von dFn die Kraft dF0n ¼ dFn=cosðb=2Þund anstelle von dFr ¼ m dFn die Kraft dF0r ¼ m dF0n ¼½m=cosðb=2Þ�dFn ¼ m0dFn tritt. Hierbei ist b der Flankenwin-kel des Gewindes. Bemerkung: F�r Befestigungsschrauben istSelbsthemmung, d.h. a% r00 , erforderlich.

Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 32).Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seilund Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil).Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Band-bremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) trittGleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilele-ment auf. Damit ergibt sich dFn ¼ FSdj, dFS ¼ dFr; mitdFr ¼ m 0 dFn folgt dFS ¼ m0 FSdj. Nach Integration �ber denUmschlingungswinkel a folgt die Eulersche Seilreibungsfor-mel: FS2 ¼ FS1em0 a bzw. FS2=FS1 ¼ em0 a . Die Haftkraft ergibtsich aus Fr ¼ FS2 �FS1 und das Haftmoment aus Mr ¼ Frr.Bei nicht vernachl�ssigbarer Geschwindigkeit des Seiles(z. B. beim Riementrieb) treten Fliehkr�fte qF ¼mu2=r (m:Masse pro L�ngeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS

durch FS�mu2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 32c)mit a=2p und m0 ¼ 0,1 ergibt sich ein Verh�ltnisFS2=FS1 � 1,87.

Rollwiderstand

Rollt ein zylindrischer o.�. K�rper auf einer Unterlage(Bild 36 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unter-lage und des K�rpers eine schr�g gerichtete Resultierende,

B 14 Mechanik – 1 Statik starrer K�rper

B

Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte.

Bild 29. Gleitreibung

Bild 30. Reibung am KeilBild 31a, b. Reibung an a flachg�ngiger und b scharfg�ngigerSchraube

deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihrmuss bei gleichf�rmiger Bewegung die Antriebskraft Fa dasGleichgewicht halten. Mit Fn ¼ FQ und f � r, d. h.tana� sina¼ f =r, folgt

Fw ¼ FQf=r¼ FQmr

und als sog. Moment der rollenden ReibungMw ¼ Fwr¼ mrFQr¼ FQf , wobei mr ¼ f=r der Koeffizientder Rollreibung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empi-risch zu ermitteln. F�r Stahlr�der auf Schienen istf � 0;05 cm, f�r W�lzlager f � 0;0005 . . .0;001 cm.Als Fahrwiderstand (Bild 33 b) bezeichnet man die Summeaus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand,

Fw; ges ¼ ðFQ þFGÞf=rþFQmzr1=r

(FG Gewichtskraft des Rads, mz Zapfenreibungszahl s.Q 2.1.1).

Widerstand an Seilrollen

Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelleein „Abheben“ um a2 (s. Bild 33 c) und an der Ablaufstelleein „Anschmiegen“ um a1. Unter gleichzeitiger Ber�cksichti-gung der Lagerreibung folgt bei gleichm�ßiger Geschwindig-keit f�r die Feste Rolle (Bild 33 c): Beim HebenX

MA ¼ 0¼ Fðr� a1Þ�FQðrþ a2Þ� ðFþFQÞrz; d:h:

F ¼ FQðrþ a2þ rzÞ=ðr� a1� rzÞ ¼ FQ=h:

h ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim Hebenðh� 0;95Þ. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. (rz Radi-us der Zapfenreibung.)

Lose Rolle (Bild 33d): Beim HebenX

MA ¼ 0¼ Fð2rþ a2� a1Þ�FQðrþ a2þ rzÞ; d:h:

F ¼ ðFQ=2Þðrþ a2þ rzÞ=ðrþ a2=2� a1=2Þ ¼ ðFQ=2Þ=h:h=Nutzarbeit/zugef�hrte Arbeit= ðFQs=2Þ=ðFsÞ. N�he-rungsweise wird ebenfalls h� 0;95 gesetzt. Beim Senken isth durch 1/h zu ersetzen.

Rollenzug (Bild 33e): Mit den Ergebnissen f�r die feste unddie lose Rolle ist F1 ¼ hF; F2 ¼ hF1 ¼ h2F usw. Gleichge-wicht f�r die freigemachte untere Flasche f�hrt zuX

Fy ¼ 0¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4 � FQ ; d:h:

Fðh þ h2 þ h3 þ h4Þ ¼ FQ : Mit

1þ hþ h2þ h3 ¼ ð1� h4Þ=ð1� hÞ folgt

F ¼ FQ=½hð1� h4Þ=ð1� hÞ�:Bei n tragenden Seilstr�ngen werden die Kraft und der Ge-samtwirkungsgrad f�r das Heben

F ¼ FQ=½hð1� hnÞ=ð1� hÞ� und

hges ¼Wn=Wz ¼ ðFQs=nÞ=ðFsÞ ¼ hð1� hnÞ=½ð1� hÞn�:Beim Senken ist h wieder durch 1/h zu ersetzen.

2 Kinematik

Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und ana-lytischen Beschreibung der Bewegungszust�nde von Punktenund K�rpern. Sie ber�cksichtigt nicht die Kr�fte und Mo-mente als Ursachen der Bewegung.

2.1 Bewegung eines Punkts

2.1.1 Allgemeines

Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abh�ngigkeit von derZeit im Raum l�ngs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate desPunkts ist durch den Ortsvektor (Bild 1 a)

rðtÞ ¼ xðtÞexþ yðtÞeyþ zðtÞez ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞ ð1Þ

festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei ge-f�hrter Bewegung l�ngs einer Fl�che zwei und l�ngs einer Li-nie einen Freiheitsgrad.

Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sichdurch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit:

uðtÞ ¼ dr=dt¼ _rðtÞ ¼ _xðtÞexþ _yðtÞeyþ _zðtÞez

¼ ð _xðtÞ; _yðtÞ; _zðtÞÞ ¼ ðux; uy; uzÞ:ð2Þ

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, dain nat�rlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wo-bei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, ndie Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Bi-

I2.1 Bewegung eines Punkts B 15

B

Bild 32a – c. Seilreibung. a Kr�fte; b Element; c Schiffspoller

Bild 33a – e. Widerst�nde. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c fes-te und d lose Seilrolle; e Flaschenzug