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Lehrstuhl fürNumerische Mathematik

Bachelor-SeminarFraktale Strukturen in Mathematik und Natur

Ein Fraktal ist ein abstraktes oder physikalisches Objekt, dasselbstähnliche Strukturen bei verschiedenen Vergrößungen zeigt.


Bachelor-Seminar: Fraktale Strukturen in Mathematik und Natur

Themenüberblick

• Feedback-Prozesse• Klassische Fraktale und deren Dimension*• Pythagoras-Bäume• Codierung von fraktalen Bildern mit einfachen Transformationen*• Newtonverfahren im Komplexen• Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen• Randomisieren deterministischer Fraktale*• Fraktale Landschaften• Chaos*• Ordnung im Chaos• Lorenz- und andere Attraktoren*

* Thema auch für 2 Personen geeignet



Feedback-Prozesse

Fig: Feedback-Maschine

Fig: Chaos-Spiel

Obwohl Fraktale oft als statische Objekte gese-hen werden, dienen dynamische Prozesse derenKonstruktion. Ein Modell hierfür ist die soge-nannte Feedback-Maschine, für die sich viele ein-fache aber höchst interessante Beispiele findenlassen (z.B. Fibonacci Folgen, das (3A + 1)-Problem). Wichtige Aspekte bei der Betrach-tung von Feedback-Prozessen sind die Analysevon Fehlerfortpflanzung und das Phänomen desMangels an Vorhersagbarkeit bei deterministis-chen Systemen (Präsenz von Chaos).Erläutern Sie diese Konzepte und implementierenSie Beispiele hierzu in MATLAB (z.B. multiplecopy machine, Chaos Spiel, p + rp(1 − p) vs.(1 + r)p − rp2).

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 1, 6



Klassische Fraktale und deren Dimension

Fig: Sierpinski

Fig: Koch Kurve

Fig: Juliamenge

Ziel dieses Themas ist es, klassische Fraktale vorzustellen.Gehen Sie auf eine Auswahl von den folgenden Fraktalen ein:

• Sierpinksi Dreieck und Teppich• Cantor Menge und Teufelstreppe• Koch Kurve und Schneeflocke• Hilbert’s raumfüllende Kurve• Pascal’sches Dreieck• Menger Schwamm• Juliamenge• Mandelbrotmenge

Implementieren Sie die ausgewählten Kurven und Flächen.Erläutern Sie die Konzepte der Selbstähnlichkeit und der frak-talen Dimension. Erläutern Sie die mathematischen Grundlagender Iteration von Polynomen im Komplexen, die auf die Julia-menge und die Madelbrotmenge führen.

Literatur:• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 2, 4, 13, 14• Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos (CRC Press 2014), Chapter 11• Barnsley: Fractals Everywhere (Elsevier 1993), Chapter 5, 7, 8



Pythagoras-Bäume

Fig: Tannenartiger Pythagoras-Baum

Basierend auf dem Satz des Pythagoraslassen sich mit einfachen Konstruktionsregelnfaszinierende fraktale Bäume erzeugen.Erläutern Sie das Konstruktionsprinzip undschreiben Sie ein MATLAB Programm, das esermöglicht, beliebige Bäume zu generieren.

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 2.9• Barnsley: Fractals Everywhere (Elsevier 1993), Chapter 3



Codierung von fraktalen Bildern mit einfachenTransformationen

Fig: Baum aus fünf affinenTransformationen

Bereits mit einfachen Transformationen wieSkalierung, Translation, Rotation, Verzerrung undSpiegelung können aus fraktalen Grundformen er-staunlich komplexe, realistisch wirkende Bildererzeugt werden. Hierzu werden sog. multiple re-duction copy machines und iterated function sys-tems verwendet.Erläutern Sie diese Konzepte, und demonstrierenSie deren Umsetzung anhand eines MATLAB-Programms. Gehen Sie außerdem auf die Prob-leme der Codierung und Decodierung fraktalerStrukturen ein.

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 5• Barnsley: Fractals Everywhere (Elsevier 1993), Chapter 3



Newtonverfahren im Komplexen

Fig: Anzahl Iterationsschritte desNewtonverfahrens

Die Konvergenzbereiche und Konvergen-zgeschwindigkeit des Newtonverfahrens lassensich für Funktionen mit komplexen Nullstellenin interessanter Weise visualisieren (sieheAbbildung).Beleuchten Sie das Newtonverfahren mit Blickauf Funktionen komplexer Zahlen. SchreibenSie ein Matlab-Programm für die Visualisierungvon Einzugsbereichen beliebiger komplexwertigerFunktionen.

Literatur:

• Opfer: Numerische Mathematik für Anfänger (Vieweg 2002), Chapter 10.4• Süli, Mayers: An Introduction to Numerical Analyis (Cambridge U. Press 2003)• Berkey, Blanchard: Calculus (Saunders 1992), Appendix IV



Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1CND Function: takagi (Points: 4097, Depth: 12)

Fig: Takagi-Funktion in [0, 1], auchbekannt als Blancmange-, Knopp-oder van-der-Waerdens-Funktion

Es ist möglich, Funktionen als Grenzwert einerFunktionenreihe mit einer Systematik ähnlich wiebei Fraktalen aufzubauen. Hierbei stößt manschnell auf das Phänomen stetiger, aber nirgendsdifferenzierbarer (CND-)Funktionen.Betrachten Sie Funktionen vom Knopp/Takagi-Typ auf Konstruktionsregeln undSelbstähnlichkeit hin (Matlab) und weisenSie am Beispiel der Takagi-Funktion nach, dassdiese stetig, aber nirgends differenzierbar ist.Vertiefen Sie entweder in Richtung weiterertheoretischer Ergebnisse für CND-Funktionenoder Morphlet-Identifikation oder Visualisierungselbstähnlicher Funktionen.

Literatur:

• Rajwade, Bhandari: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory (Springer 2006), Chapter 3• Allaart, Kawamura: The Takagi function A Survey (Real Anal. Exchange 37 2011)



Randomisierung von Fraktalen

Fig: “Random 3/2 island” basierendauf Koch Kurve

Viele in der Natur auftretende Formen sindirregulär, genügen jedoch einem höherenSkalierungsgesetz. Indem man klassische Frak-tale randomisiert, erhält man einen ersten Ansatzfür realistische Formen.Beschreiben Sie anhand der Kochkurve, derKoch’schen Scheeflocke und des Sierpinksi-Dreiecks das Prinzip der Randomisierung.Schreiben Sie Matlab-Programme zur Veran-schaulichung.

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 6, 9



Fraktale Landschaften

Fig: Berg basierend auf Vierecksgitter

Indem man fraktale Funktionen mit der Ideeder Randomisierung kombiniert, kann man aufeinfache Weise Landschaften, Küstenlinien u.ä.erzeugen, die realistisch wirken.Die wesentliche Idee ist hierbei die Störung vonMittelpunkten um einen zufälligen, aber im Mittelkleiner werdenden Beitrag.Erläutern Sie die grundlegenden Ideen und Algo-rithmen. Schreiben Sie MATLAB-Programme fürDreieck- und Viereckgitter, die aus einer gesätenLandschaft eine fraktale Landschaft erzeugt.

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 9.6



Chaos

0

0.5

1

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

Fig: Iterator x 7→ 4x(1− x)Oben: x0 = 0.2027

Mitte: y0 = x0 − 10−8Unten: |xk − yk |

In mathematischem Sinn wird ein System alschaotisch bezeichnet, wenn unter nur mini-malen Veränderungen der Anfangsbedingungendie Entwicklung zu deutlich unterschiedlichenEndzuständen führt.Der Vortrag soll den Begriff Chaos präzisierenund nach charakteristischen Anzeichen für Chaossuchen. Diese Anzeichen sollen in Matlab visual-isiert werden und den Unterschied zwischen geord-neten und chaotischen Systemen illustrieren.

Literatur:

• Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 2012), Chapter 10• Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos (CRC Press 2014), Chapter 9



Ordnung im Chaos

Fig: Feigenbaum-Diagramm

Oftmals hängt es von der der Wahl der Parame-ter eines Systems ab, ob dieses chaotisches odergeordnetes Verhalten aufzeigt. Die Punkte, an de-nen das System sein qualitatives Verhalten ändert,werden als Bifurkationspunkte bezeichnet. DerVortrag soll insbesondere auf die Konstruktionvon Feigenbaum-Diagrammen eingehen, welchediese Punkte aufzeigen und häufig eine fraktaleStruktur besitzen.

Literatur:




Lorenz- und andere Attraktoren

−20−10

010

20

−50

0

50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

solution y

solution x

solu

tion z

Fig: Lorenz-Attraktor

Attraktoren sind Mengen, welche die Orbits derLösungen von dynamischen Systemen innerhalbeiner Einzugsregion anziehen. In den Fällen, indenen diese Orbits sensitiv von einer Änderungder Eingangsdaten abhängen, spricht man vonchaotischen Attraktoren. Diese weisen häufig einefraktale Strutur auf.Im Vortrag sollen beispielhaft die bekanntestenAttraktoren vorgestellt und charakterisiert wer-den.

Literatur:


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