Basisbandübertragung analoger Signale

7/26/2019 Basisbandbertragung analoger Signale

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SNT-BB-bertragung/29.10.2002/Gys 1

ZHW, Departement Technik, Informatik und NaturwissenschaftenElektrotechnik und SignalverarbeitungSignale derNachrichtentechnikU. Gysel

Signale der Nachrichtentechnik

3. Basisband-bertragung analoger Signale3.1 Telefon-Teilnehmeranschluss - ein Beispiel

3.1.1 Prinzipieller Aufbau

In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Elemente einer Nachrichtenbertragung kennenlernen.Dabei sollen auch die wesentlichsten Anforderungen an ein Nachrichtensystem untersucht werden.Wir wollen dies nicht nur theoretisch tun, sondern ganz konkret anhand der hufigst gebrauchten undfast ltesten Nachrichtenbertragungs-Einrichtung, dem alt bekannten Telefon (die Amerikaner nen-nen es auch POTS, was die Abkrzung fr "Plain Old Telephone System" ist). Das Telefonsystementhlt fast alle wichtigen Elemente eines Nachrichtensystems und eignet sich deshalb sehr gut zumStudium der Grundanforderungen an ein bertragungssystem. Diese werden wir dann in den fol-genden Kapiteln immer wieder aufgreifen, dabei aber bei anderen Systemen und genderten Vorga-ben andere Lsungen fr dieselben Fragestellungen finden.

Fig. 3.1 zeigt die Grundschaltung einer Telefonverbindung. Das Mikrofon bildet den akustisch-elek-trischen Wandler. Die elektrischen Signale werden ber eine Drahtleitung zum Hrer (Lautsprecher)bertragen. Zur Speisung der Einrichtung ist an geeigneter Stelle eine Batterie in Serie geschaltet. Dabeim Telefonieren beide Seiten gleichzeitig sprechen mchten, braucht es diese Einrichtung fr beideRichtungen, also insbesondere zwei Leitungen. Man spricht dann auch vom Vierdrahtbetrieb.

Teilnehmer A Teilnehmer B

Mikrofon HrerLeitung

Fig. 3.1 Telefonverbindung beim Vierdrahtbetrieb

Die Verwendung von zwei Leitungen ist aufwendig und man hat sehr bald nach Einfhrung der Tele-fonie versucht, nur mit einer auszukommen. Der erste Ansatz bestand darin, auf jeder Seite Mikrofonund Hrer einfach in Serie zu schalten. Dies hatte den grossen Nachteil, dass bei jedem Teilnehmerein relativ grosses Mithren vorhanden war (Sprecher hrt sich selber). Dieses kann man mit einerBrckenschaltung in der Form der sog. Gabelschaltung reduzieren oder fast ganz aufheben.Zustzlich betreibt man die Telefone heute so, dass sie zentral aus der Anschlusszentrale, jener Zen-trale, an welche der Teilnehmer direkt angeschlossen ist, gespeist werden. Fig. 3.2 zeigt den prinzi-piellen Aufbau eines klassischen Telefonapparates mit Whlscheibe.

Der Apparat muss drei unterschiedliche Funktionen erfllen, a) Whlen, b) Ruf empfangen und c)

bertragung der akustischen Information in beiden Richtungen gewhrleisten.


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a) Fr den Whlvorgang enthlt der Apparat die Kontakte nsi, nsr, g und nsa. Beim Abheben derGabel schliesst der Gabelkontakt g. Damit schliesst sich der Stromkreis der zentralen Batterie berdie Kontakte nsi und nsr. Beim Aufziehen der Whlscheibe ffnet der Kontakt nsr (siehe rechte Seiteder Figur) und nsa schliesst die Gabelschaltung und den Mikrofonkreis kurz. Beim Ablaufen derWhlscheibe erzeugen die Kontakte nsi und nsr zusammen eine Folge von 3 Unterbrchen imStromkreis von je 38 ms. Die Whlimpulse folgen sich im Abstand von 100 ms. Diese Unterbrchewerden in der Zentrale registriert und zu den Whlausrstungen weitergeleitet.

Fig. 3.2 Prinzipieller Aufbau eines klassischen Telefonapparates

b) Der angewhlte Apparat soll im Ruhezustand sein, d.h. der Gabelkontakt g ist offen. Der Ruf er-folgt mit einer Wechselspannung von ca. 60 V. Diese erreicht ber den Kondensator C den Wecker.Nach Abheben des Hrers schliesst der Kontakt g und die Gabelschaltung mit dem Mikrofon unddem Hrer sind angeschlossen.

c) Der Telefonapparat ist jetzt bereit fr die Signalbertragung. Wie funktioniert nun die Gabelschal-tung? Sie besteht aus einem Transformator mit zwei Wicklungen, von denen eine noch einen Mit-telabgriff besitzt. Der Strom vom Mikrofon verteilt sich ber den Mittelabgriff des Transformators inbeide Richtungen. Nach links fliesst er zur Leitung, welche an den Klemmen a und b angeschlossen

ist. Nach rechts fliesst er in die dort angeschlossene Last, die aus einem R parallel zu einem C be-steht. Die beiden zusammen sollten ungefhr dieselbe Impedanz haben wie diejenige, die am Eingangder Leitung gemessen wird. Man nennt diese Last deshalb auch Leitungsnachbildung. Sind Lei-tungswiderstand und Nachbildung in etwa gleich, so sind die beiden Teilstrme gleich gross und eswird keine Spannung in die Sekundrwicklung des Transformators induziert. Der Sprecher hrt sichselber also nicht oder kaum. In der Praxis wird allerdings bewusst eine kleine Asymmetrie eingebaut,damit ein kleines Mithren gewhrleistet ist.

Das von der Leitung ankommende Sprechsignal erreicht ber den Transformator die Hrerkapsel.Dorthin gelangt nur die Hlfte des Empfangssignals. Die andere wird im Mikrofon vernichtet, wasaber weiter nicht strt. Das Mikrofon liegt im Primrkreis des Transformators, das zu seinem Betriebeinen Vorstrom bentigt, der nach Schliessen des Gabelkontaktes von der Zentralbatterie geliefertwird.

Praktische Telefonapparate sind aufwendiger aufgebaut als der oben skizzierte. Sie enthalten nochweitere Elemente wie eine Mithrschaltung, eine Schaltung fr die Funkenlschung beim Whlkon-takt nsi, einen berspannungschutz fr den Hrer und eine Frequenzkompensation.

Neuere Apparate verwenden statt der Impulswahl wie soeben beschrieben die Mehrfrequenzwahl.Bei dieser wird jede Ziffer mittels einer Kombination von zwei Tonfrequenzen, welche whrend kur-zer Zeit gesendet wird, bertragen, Fig. 3.3. So wird die Ziffer 4 mit den Frequenzen 770 Hz und1209 Hz bertragen. Die Tontastenwahl kann vollelektronisch realisiert werden und gestattet diebertragung von Information auch dann, wenn eine Verbindung schon aufgebaut ist. Die Speisungder elektronischen Schaltungen erfolgt aus der Zentralbatterie.

Moderne Telefonapparate sind ganz elektronisch aufgebaut. Anders wren die gnstigen Anschaf-fungspreise gar nicht realisierbar. Also auch die Gabelschaltung wird nicht mehr mit einem Trans-

formator realisiert, sondern mit elektronischen Schaltungen, fr welche heute eine ganze Reihe von


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hochintegrierten Bausteinen zur Verfgung steht. Aber die Funktion der Gabelschaltung, also dieTrennung von abgehendem und ankommendem Signal, ist gleich geblieben.

1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz 1633 Hz

697 Hz 1 2 3 A770 Hz 4 5 6 B

852 Hz 7 8 9 C

941 Hz * 0 # D

Fig. 3.3 Zuordnung der Frequenzen zu den Whlzeichen bei der Tonfrequenzwahl

Mit dem soeben gezeigten Telefonapparat knnte man ber Kupferleitungen bestenfalls einige Kilo-

meter weit telefonieren. Damit grssere Distanzen berbrckt werden knnen, braucht es Verstrker.Solche lassen sich nicht direkt in eine Zweidrahtverbindung, auf der Signale in beiden Richtungenlaufen, einschalten. Jede Richtung muss getrennt verstrkt werden. Aus diesem Grund braucht essptestens in der Zentrale wieder eine Gabelschaltung, welche die beiden Richtungen trennt und denbergang zum sog. Vierdrahtbetrieb bildet. Fig. 3.4 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Vierdraht-bertragung, die in eine Zweidrahtverbindung eingeschaltet ist.

zumTeilnehmer B

ZN

ZN

zumTeilnehmer A

Fig. 3.4 Vierdraht-bertragungsleitung mit Verstrkern (ZN= Leitungsnachbildung)

Grundstzlich knnte man in eine Zweidrahtleitung in gewissen Abstnden eine Anordnung beste-hend aus zwei Gabelschaltungen und zwei Verstrkern einschalten. In der Praxis wird aber, mitAusnahme der lokalen Verbindung vom Teilnehmer zur Anschlusszentrale, immer vierdrhtig gefah-ren. Die bergeordneten Verbindungen werden nmlich nicht mehr einzeln gefhrt, sondern mehrereTelefonverbindungen werden gleichzeitig mit unterschiedlichen Multiplexverfahren (mehrere Tele-fonkanle bentzen dieselbe physikalische Leitung) ber zwei getrennte Leitungen bertragen.

Bei der Schaltung von Fig. 3.4 ergibt sich noch ein kritisches Problem. Bei der Gabelschaltung liegtam Anschluss zum Mittelabgriff der Ausgang eines Verstrkers und im Sekundrkreis der Eingangeines Verstrkers. Diese beiden Tore sind nicht ideal voneinander entkoppelt. Ein kleiner Teil des Si-gnals, das vom Teilnehmer B an der Gabelschaltung auf der linken Seite anlangt, erreicht die Ver-strkerkette vom Teilnehmer A zum Teilnehmer B. Dort wird wieder ein Teil zurckgekoppelt in die


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Verstrker in Richtung Teilnehmer A. Es entsteht ein geschlossener Kreis mit Verstrkern. Ist dieEntkopplung in den Gabelschaltungen zu klein, so kann die Verstrkung im geschlossenen Kreisgrsser als eins werden und die Schaltung beginnt zu schwingen, ein unzulssiger Zustand.

Vergleichen wir die Telefonschaltung mit dem Prinzipschema der Nachrichtenbertragung von Kapi-tel 1 (Fig. 1.3), so identifizieren wir als Wandler das Mikrofon und den Hrer. Coder und Decoderim eigentlichen Sinne existieren nicht. Das in ein elektrisches gewandelte akustische Signal wird di-

rekt ber die Zweidrahtleitung bertragen. Der Transformator in der Gabelschaltung passt auf derEmpfangsseite die Spannung dem Widerstandsniveau des Hrers an. Der Kanal in Fig. 1.3 bestehtaus den Zweidrahtleitungen von den Teilnehmern zu den Ortszentralen und den bertragungseinrich-tungen des dazwischen liegenden Teils. Das althergebrachte Telefon enthlt also gewisse Teile un-seres Prinzipschemas nur rudimentr. Trotzdem eignet es sich, um einige grundlegende berlegun-gen zur bertragung anzustellen.

3.1.2 Grundstzliche Anforderungen an ein bertragungssystem

In diesem Abschnitt stellen wir uns zuerst einmal auf den Standpunkt des Bentzers einer bertra-gungseinrichtung, im speziellen eines Telefons. Wir versuchen, die wichtigsten Anforderungen andas Telefon zusammenzustellen und daraus allgemeinere Schlussfolgerungen zu ziehen. Aus den all-gemeinen Anforderungskriterien, die wir ganz am Anfang in Kapitel 1.1 aufgestellt haben, geht eshier nur um die Eigenschaften bertragungstreueund teilweise um die Unabhngigkeit von derDistanz. Wir unterscheiden:

a) Bandbreite

Unser Ohr ist empfindlich fr Schallwellen im Bereich von ca. 25 Hz bis 16 kHz. Bei der Telefonieist die Sprachtreue allerdings nicht oberstes Gebot. Massgebend ist die Verstndlichkeit der Sprache.Diese ist noch gewhrleistet, wenn man das zu bertragende Frequenzbandauf den Bereich von300 Hz bis 3400 Hz einschrnkt. Denn in diesem Frequenzband liegt der Hauptanteil der Sprech-energie, wie dies Fig. 3.5 zeigt. Diese Einschrnkung des Frequenzbandes macht man aus Kosten-grnden. Mit dem reduzierten Frequenzband verliert man etwas vom speziellen Charakter der Spra-

che einer bestimmten Person. Dies geht aus dem Anteil der Sprechenergie, welche nach Fig. 3.5 frdie Emotionen verantwortlich ist, hervor. Trotzdem erkennt man die meisten Sprechenden am Tele-fon noch gut .

Fig. 3.5 Frequenzmssige Verteilung der Sprechenergie


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b) Frequenzgang

Im Band von 300 bis 3400 Hz ist die bertragungsfunktion bei einer Telefonverbindung nicht kon-stant. Jedes Element in der bertragungskette (Mikrofon, Gabelschaltungen, Leitung, Verstrker,Hrer) trgt einen Teil bei zu einem nicht konstanten Amplitudengang. Fig. 3.6 zeigt die maximalzulssigen Abweichungen des Amplitudengangsbei einer internationalen Telefonverbindung

nach den Normen der ITU-T.

Fig. 3.6 Zulssige Dmpfungsvariation einer internationalen Telefonverbindung (Bezugsfre-

quenz f = 800 Hz)

ber das Verhalten des Phasengangs werden keine Angaben gemacht. Das kommt daher, dass dasOhr nicht auf Phasenverschiebungen der einzelnen Frequenzkomponenten empfindlich ist. Wir wer-den im nchsten Kapitel sehen, welches die Anforderungen an ein bertragungssystem sind, wennein Signal, z.B. ein einzelner Impuls, unverzerrt bertragen werden soll. Unser Ohr ist also inbezugauf die Phase sehr nachsichtig. Bei anderen Signalen ist dies oft nicht mehr der Fall. So ist die ber-tragung eines Datensignals mit einem Modem ber eine Telefonverbindung eine sehr anspruchsvolleAufgabe. Wir werden spter die Massnahmen ansehen, die getroffen werden mssen, um dies zuermglichen.

c) Pegel und Dmpfung

Beim Telefon ist der "Generator" nicht konstant. Je nach Sprechendem und whrend eines Ge-sprchs selbst schwankt der Pegel. Fr die Dimensionierung von Telefonausrstungen hat man sichdeshalb auf Normpegel geeinigt, die ungefhr dem mittleren Pegel eines durchschnittlichen Sprechersentsprechen.

Der Normsende- und Empfangspegel des Telefonapparates wurde auf Lp= -8.7 dBm festge-legt. Dies entspricht einer Spannung von 285 mV an einem Widerstand von 600 . Dieser Normpe-gel wurde aufgrund des Stands der Technik 1930 festgelegt und seither beibehalten, obwohl heuteauch andere Werte mglich wren. Da Sprache ein nichtperiodisches Signal ist, kann man sie nur mitstatistischen Mitteln beschreiben. So haben Messungen ergeben, dass der Normpegel im Mittel wh-rend 1% der Zeit um 15 dB berschritten wird. Will man Verzerrungen nur bei diesem einen Prozent

zulassen, so bedeutet das, dass alle Elemente im bertragungspfad Spannungen, welche etwa 6 Mal


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grsser sind als die Normalspannung, noch verzerrungsfrei verarbeiten mssen (z.B. in einem Ver-strker).

Die Gesamtverlustevon Sender zu Empfnger sollten nicht grsser als 33 dB sein (Swisscom:kleiner als 23 dB). Deshalb sind fr grssere Distanzen unbedingt Verstrker erforderlich.

d) VerzgerungszeitDie Signale breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit, oder allenfalls etwas langsamer aus. Trotzdembraucht es Zeit zur bertragung, die bei internationalen Verbindungen ber Satelliten bemerkbarwird. Daher schreibt ITU-T eine maximale Verzgerungszeit von 250 ms vor.

e) Signal-zu-Gerusch-Verhltnis

Rauschen und andere Strsignale beeintrchtigen die Verstndlichkeit, oder zumindest die Qualitteiner Telefonkonversation. Ziel ist es deshalb, das Verhltnis von Signal-zu-Rauschen, oderkurz S/N bezeichnet, innerhalb konomischer Grenzen so gross wie mglich zu machen.

Das Signal wird bei der bertragung vor allem infolge der Leitungsverluste gedmpft und muss des-

halb von Zeit zu Zeit wieder verstrkt werden. Auf den ersten Blick scheint dieser Prozess beliebigoft wiederholbar zu sein. Dieser Vorstellung macht das Rauschen einen Strich durch die Rechnung.Rauschen ist in jedem elektrischen System vorhanden und setzt eine untere Grenze fr Nachrichten-signale. Wird ein Signal infolge von Verlusten zu stark gedmpft, dann verschwindet es letztlich imRauschen und kann nicht mehr zurckgewonnen werden.

Bei Leitungen stammt das Rauschen von den Leitungsverlusten. Schaltet man die Signalquelle amEingang einer Leitung ab und misst das Rauschsignal am Ausgang derselben, so findet man immerdieselbe Rauschspannung, unabhngig von der Lnge der Leitung. Die zu bertragenden Signalewerden aber auf einer Leitung gedmpft. Whlt man die Leitung zu lange, so versinkt am Ausgangder Leitung das Nutz- im Rauschsignal. Da hilft auch der beste Verstrker nichts mehr.

Lange Leitungen werden deshalb immer wieder von Verstrkern unterbrochen, am besten an einemPunkt, an dem das Verhltnis von Signal-zu-Rauschen noch nicht zu klein geworden ist. Ist nmlich

dieses Verhltnis auf einen gewissen Wert abgesunken, so kann es nie wieder verbessert werden.Erschwerend kommt hinzu, dass auch Verstrker ihrerseits einen Beitrag zum Rauschen liefern undso das Signal-zu-Rauschverhltnis an ihrem Ausgang noch weiter verschlechtern.

Fig. 3.7 zeigt den Verlauf des Signal- und Rauschpegels entlang einer bertragungsstrecke mit 4Leitungsabschnitten, 2 Zentralen und drei Zwischenverstrkern im sog. Pegeldiagramm. In diesemwerden schematisch die Verlufe des Signal- und des Rauschpegels ber die ganze Strecke darge-stellt. Im ersten Leitungsabschnitt liegt der Rauschpegel (ohne Fremdstrungen) konstant auf ca. -134 dBm. Wie dieser Wert zustande kommt, werden wir spter sehen. Im ersten Verstrker wird nunnicht nur das Signal, sondern auch das Rauschen am Eingang des Verstrkers verstrkt. Zustzlichliefert auch der Verstrker noch selber einen Rauschbeitrag, sodass das S/N am Ausgang des Ver-strkers kleiner ist als an seinem Eingang. Auf dem nchsten Leitungsabschnitt wird angenommen,dass das Signal und das verstrkte Rauschen so stark gedmpft werden, dass am Eingang des nch-

sten Verstrkers das Rauschen wieder auf das minimale Rauschen auf der Leitung abgesunken ist.Bei den beiden nachfolgenden Leitungen ist dies nicht mehr der Fall.

Whrend das Signal dank der Verstrker immer wieder auf den gewnschten Pegel erhht werdenkann, wird der Signal-zu-Geruschabstand nach jedem Verstrker kleiner. Ein einmal erreichtesminimales S/N kann nie mehr verbessert werden.

Damit eine Telefonverbindung noch als gut bezeichnet wird, muss das Signal-zu-Gerusch-Verhlt-nis grsser als 30 dB sein. Dabei wird zustzlich die frequenzabhngige Empfindlichkeit unseresOhrs bercksichtigt, welche die Sache noch etwas entschrft. Bei Rauschmessungen wird dies so be-rcksichtigt, dass das Rauschen vor der Messung mit einem Filter, das der Empfindlichkeit des Ohrsentspricht, gewichtet wird. Verschiedene dieser sog. Gewichtskurven sind in Fig. 3.8 wiedergege-ben (CCIR entspricht neu dem ITU-R).


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TN TN

P

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

dBm

-8dBm

Signal

Rauschen

-22 dBm

S/N

Zentrale

Fig. 3.7 Muster eines Pegelplans (TN = Teilnehmer)

Fig. 3.8 Gewichtskurve fr die Messung von Rauschen im Telefonkanal


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f) bersprechen und Intermodulationen

Neben dem Rauschen gibt es noch andere Strungen, welche ein Telefongesprch negativ beeinflus-sen knnen, nmlich bersprechen von anderen Kanlen, also erkennbare Sprachanteile, undsonstige Strsignale wie Knacken etc. Da bersprechen schon bei Dmpfungen von 40 bis 60 dBerkennbar ist, sollte es mehr als 60 dB gedmpft sein.

Neben Strsignalen, welche via induktive, kapazitive oder galvanische Kopplung von Nachbarschal-tungen stammen, gibt es auch Strsignale, welche im bertragungspfad selber ihren Ursprung ha-ben, sog. Intermodulationen. Sie entstehen immer dann, wenn eine Schaltung nichtlinear ist, alsoz.B. ein Verstrker, der in die Sttigung gert. Ein Mass fr die Verzerrungen, die in einem bertra-gungsvierpol entstehen, ist der Klirrfaktor. Er eignet sich gut zur globalen Beschreibung von Ver-zerrungen. Liegen zwei oder mehr Signale am Eingang eines Verstrkers an, so entstehen nicht nurHarmonische der Einzelsignale, sondern weitere Signalanteile bei neuen Frequenzen. Diesen Aspekt,der mit dem allgemeineren Begriff der Intermodulation bezeichnet wird, werden wir in Abschnitt3.3.1 behandeln.

3.2 Formgetreue und nicht formgetreue bertragung

3.2.1 bertragung durch lineare Systeme

In Nachrichtensystemen werden Signale ber Leitungen bertragen, in Filtern von Signalanteilen beiunerwnschten Frequenzen getrennt und in Verstrkern verstrkt, um nur einige wenige typischeOperationen zu nennen. Wir nehmen an, diese Operationenseien linear. Man kann sie deshalb mitlinearen Zweitoren (Vierpolen) oder Mehrtoren beschreiben. Fig. 3.9 a) zeigt ein Zweitor mit demEingangssignal ueinund dem resultierenden Ausgangssignal uaus. In einer allgemeineren, einpoligenDarstellung mit nur einem Eingangs- und einem Ausgangssignal verwenden wir s1(t) und s2(t) alsEin- und Ausgangsgrssen. Dabei knnen die beiden Signale Strme, Spannungen oder andere phy-sikalische Grssen darstellen.

linearesZweitor

uein uauslinearesSystem

s1(t) s2(t)

a) b)

Fig. 3.9 a) Lineares Zweitor mit dem Eingangssignal ueinund dem Ausgangssignal uaus undb) allgemeine einpolige Darstellung eines linearen Systems

Wie bereits in Abschnitt 2.2.5 erwhnt, arbeitet man bei linearen Systemen mit Vorteil im Bildbe-

reich. Dadurch werden aus Differentialgleichungen algebraische Gleichungen. Im Fach SiSy habenSie sowohl die Laplace- als auch die Fouriertransformation kennengelernt. Es stellt sich nun noch dieFrage, wann ist welches Verfahren vorteilhaft und welches wird in der Nachrichtentechnik bevorzugteingesetzt.

Nehmen wir an, die bertragungsfunktion unseres linearen Systems laute G (s). Dann gilt mit denbeiden Laplacetransformierten

s1(t) S1(s)

s2(t) S2(s)

S2(s) = G(s)S1(s) (3.1)

Die Laplacetransformation eignet sich vor allem fr die Berechnung von Einschwingvorgngen, alsoimmer dann, wenn das Verhalten im Zeitbereich ausschlaggebend ist. Dies trifft fr sehr viele An-


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wendungen in der Regelungstechnik zu. Die Fouriertransformation ist bekanntlich ein Spezialfall derLaplacetransformation, indem s = jgesetzt wird. In der Nachrichtentechnik zieht man sie der La-placetransformation vor, da man hufig nur im Frequenzbereich arbeitet. Sie ist auch immer danngeeignet, wenn nur G (f) bekannt ist, also beispielsweise aus einer Messung.

Bekanntlich kann man die Gl.(3.1) in den Zeitbereich rcktransformieren und erhlt dann mit derStoss- oder Impulsantwort

g(t) G (s) (3.2)

als Ergebnis die Faltung

s2(t) = g(t) * s1(t) (3.3)

Die Stossantwort besitzt ihren Namen wegen der Eigenschaft, dass s2(t) = g(t) wird, wenn S1(s) = 1oder s1(t) = (t), also bei einem Diracstoss als Anregung. Hufig wird auch die Schrittantworth(t)gebraucht, welche sich als Antwort auf einen Einheitsschritt (t) am Eingang ergibt. Da be-kanntlich der Einheitsschritt dem Integral des Diracstosses entspricht (siehe Gl. 2.52), gilt auch

h(t) = g() d

t

(3.4)

Aus dem Faltungsintegral lsst sich noch sehr schn eine wichtige Eigenschaft eines Systems ablei-ten: die Kausalitt. Diese besagt, dass in jedem physikalisch realisierbaren System die Wirkungnicht vor der Ursache auftreten kann. Die Beweisfhrung ist einfach. Fr die Impulsantwort ist dieUrsache ein Diracstoss zur Zeit t = 0 und die Systemantwort g(t) ist immer null fr t < 0. Fr belie-bige Eingangssignale s1(t) mit

s1(t) = 0 fr t < 0 (3.5)

kann man daher das Faltungsintegral von Gl.(3.3) auf die positive -Achse beschrnken,

s2

(t) = g(t) * s1(t) = g() s

1( t )d

+

= g() s

1(t )d

0

+ t

(3.6)Wegen Gl.(3.5) und da nur positive Werte annehmen kann, ist fr t < 0 auch s1(t - ) = 0. Folglichliefert das Integral (3.6) fr t < 0 nie einen Beitrag. Als Beispiel eines Systems, das nichtkausal ist,nehmen wir die bertragungsfunktion in Form eines idealen Tiefpasses (Fig. 3.10) mit Phasengangidentisch null.

0

S(f)

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

s(t)

-fB/2 +fB/2tfB

S(0)

f

S(0)fB

Fig. 3.10 bertragungsfunktion eines idealen Tiefpasses mit zugehriger nichtkausaler Im-pulsantwort


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Die Impulsantwort dieses Systems beginnt bei t = -und ist damit eindeutig nichtkausal. Ein Systemdas nher bei einem kausalen liegt, ergibt sich, wenn wir dem idealen Tiefpass einen von null ver-schiedenen Phasengang geben, nmlich (f) = -2ft0, mit t0gleich der Verzgerungszeit durch dasFilter. Whlen wir t010/fB, so wird die Impulsantwort soweit nach rechts verschoben, dass dieSignalanteile fr t < 0 sehr klein werden. Das Maximum des Impulses erscheint dann bei tfB= 10.Damit ist es aber immer noch kein physikalisch realisierbares System. Erst eine endliche Flanken-

steilheit beim Frequenzgang ergibt ein kausales Tiefpassfilter. Man kann diesen Sachverhalt auch sobegrnden: Ein Filter mit idealen Flanken bentigt unendlich viele Filterelemente, also L's und C's.Es dauert daher unendlich lange, bis diese aufgeladen sind und am Ausgang eine Antwort erwartetwerden kann. Nur bei einer endlichen Anzahl von Filterelementen ist auch die Verzgerungszeitendlich.

3.2.2 Lineare Verzerrungen

Bei der bertragung von Signalen durch Systeme knnen die Signalformen entscheidend verndertwerden, wie dies einige vorangehende Beispiele gezeigt haben. In der Regel mchte man die Signaleunverzerrt bertragen, d.h. nach der bertragung durch ein Zweitor sollen sie so ankommen, wie sieam Sendeort abgeschickt wurden. Nur zwei Vernderungen sind erlaubt, das Ausgangssignal darf in

der Amplitude unterschiedlich sein, und es darf gegenber dem Eingangssignal verzgert sein. Eineder zentralen Fragen in der Nachrichtentechnik lautet daher: Welche Eigenschaften muss das Systemaufweisen, damit das Eingangssignal unverzerrt bertragenwird? Die zwei Arten von zuls-sigen Vernderungen knnen wir mathematisch folgendermassen beschreiben

s2(t) = k s1(t ) (3.7)

Welche Systeme diese Bedingung erfllen, beantworten wir am einfachsten, indem wir die bertra-gung im Bildbereich betrachten. Ist das Signal periodisch, aber nicht sinusfrmig, so beschreibenwir dieses durch seine Fourierreihe, nichtperiodische Signale mittels der Fouriertransformation. Wirnehmen den allgemeinsten Fall und beschreiben das Eingangssignal mit seinem komplexen Ein-gangsspektrums S1(f). Mit der komplexen bertragungsfunktion G (f) des Systems erhalten wir frdas Ausgangsspektrum

S2(f) = G (f) S1(f) (3.8)

Die Fouriertransformation von Gl.(3.7) ergibt mit Hilfe des Verschiebungssatzes

S2(f) = k S1(f) ej2f (3.9)

Aus dem Vergleich der Gl.(3.8) und (3.9) erhalten wir

G(f) = k ej2f (3.10)

Die verzerrungsfreie bertragung lsst also nur Systeme mit bertragungsfunktionen mit einemkonstanten Amplitudengangk und einer linearen Phasenbeziehung= -2fzu. Diese Ei-genschaft sollte nicht berraschen. Haben wir doch schon bei der Behandlung der Fourierreihe gese-

hen, dass nur unvernderte Amplitudenverhltnisse zwischen allen Harmonischen und Phasenver-schiebungen, welche fr alle Harmonischen proportional zur Frequenz sind, zu keinen Vernderun-gen der Kurvenform fhren.

Die Forderung fr verzerrungsfreie bertragung muss natrlich nur im Spektralbereich der Quelleeingehalten werden. Fig. 3.11 zeigt als Beispiel eine im Frequenzbereich von null bis fg verzer-rungsfreie bertragungsfunktion. Signale, deren Spektralanteile nur in diesem Bereich liegen, wer-den bei diesem System verzerrungsfrei bertragen.

In der Praxis ist es eher schwierig, bertragungssysteme zu bauen, welche diese Eigenschaft nahezuideal erfllen. In den meisten Fllen muss man das Signalspektrum einschrnken. Auf der Sendeseiteist dies z.B. bei jedem Funksystem zwingend notwendig, damit man Nachbarkanle nicht unntigstrt. Auf der Empfangsseite mssen Nachbarkanle und Rauschen so weit wie mglich eliminiertwerden. Beide Flle verlangen Filter, welche ohne spezielle Massnahmen die Anforderungen an eineverzerrungsfreie bertragung nicht erfllen. Fr Filter mit steilen Flanken verwendet man sehr oft


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sog. Tschebyscheff-Filter. Sie weisen eine kleine, konstante Welligkeit im Durchlassbereich auf undfallen nach der Grenzfrequenz sehr steil mit einer monoton zunehmenden Dmpfung in den Sperrbe-reich ab (asymptotisch mit -n20dB/Dk, wobei n = Filterordnung). Fig. 3.12 zeigt den Amplituden-und Phasengang eines solchen Filters.

Der Amplitudengang dieses Filters bleibt bis zur Grenzfrequenz fginnerhalb eines Dmpfungsbandesvon 0.5 dB. Der Phasengang ist im Durchlassband aber nicht sehr linear. Ein solches Filter verur-

sacht daher Verzerrungen selbst fr Signale, deren Spektrum vollstndig im Durchlassbereich bleibt.

0

0

f

G

G(0)

fg

fg

Fig. 3.11 Amplituden- und Phasengang eines bertragungssystems, das fr Signale im Fre-quenzbereich von f = 0 bis zur Grenzfrequenz fgeine verzerrungsfreie bertragunggewhrleistet.

Fig. 3.12 Frequenzgang eines Tschebyscheff-Tiefpassfilters 7. Ordnung

0 0.2 0. 0.6 0.8 1 1.2 1. 1.6 1.8 20

0.2

0.

0.6

0.8

1

Frequenz, normiert

0 0.2 0. 0.6 0.8 1 1.2 1. 1.6 1.8 2-600

-400

-200

0

Frequenz, normiert

Amp

litud

e

Ph

ase


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Erfllt ein bertragungssystem die Bedingungen fr verzerrungsfreie bertragung nicht, so heisstdies noch nicht, dass das Signal unwiederbringlich verzerrt ist. Verzerrungen der genannten Art kn-nen zum Glck wieder korrigiert werden. Zum Filter von Fig. 3.12 bentigt man ein kaskadiertesKorrekturzweitor, dessen Amplitudengang flach ist und dessen Phasengang so beschaffen ist, dassdie Gesamtphase im Durchlassbereich wieder einigermassen linear bleibt. Man spricht in diesem Fall

von einem Laufzeitentzerrer (Allpass). Warum diese Bezeichnung gewhlt wird, sollte mit dem nch-sten Abschnitt verstndlich werden.

Als weiteres Beispiel nehmen wir die Verluste eines Kabels, die mit zunehmender Frequenz anstei-gen. Diese fhren automatisch zu Verzerrungen. Ein Verstrker am Ende der Leitung, der bei hhe-ren Frequenzen mehr verstrkt als bei tieferen, erzeugt eine Gesamtbertragungsfunktion von Kabelund Verstrker mit einem konstanten Amplitudengang. Ist dabei auch der Phasengang noch linear, istdie Gesamtbertragung verzerrungsfrei. Die Korrektur des Amplitudengangs fhrt nicht automatischzu einer Korrektur des Phasengangs, so dass unter Umstnden eine zustzliche Phasenentzerrungbentigt wird.

Man nennt Verzerrungender beschriebenen Art linear.Sie entstehen nmlich in einem linearenSystem und knnen wieder korrigiert werden. Sobald das System nichtlinear wird, sind die Wirkun-

gen der Verzerrungen nicht mehr korrigierbar, und man muss deshalb je nach System besonderssorgfltig vorgehen, um solche Verzerrungen zu vermeiden. Wie sie entstehen und welche Aus-wirkungen sie haben, wird im Abschnitt 3.3 gezeigt.

3.2.3 Gruppenlaufzeit

In einem bertragungssystem mit linearem Phasengang und konstanter Amplitude mit dem Betrag 1gelte

G (f) = 1exp(-j2ft0) (3.11)

Dabei ist t0wiederum die konstante Verzgerungszeit. Fr ein cosinusfrmiges Eingangssignalse(t) = s cos(t) (3.12)

erhalten wir das Ausgangssignal

sa (t) = s cos([t t0 ]) = s cos(t +) (3.13)

Die Phasenverschiebung des Ausgangssignals gegenber dem Eingangssignal lsst sich ber dieKreisfrequenz auch mit der Verzgerungszeit t0ausdrcken, welche das Signal bei der bertragungdurch das System erleidet:

= t 0 = p (3.14)

Man nennt t0auch Phasenlaufzeit p. Sie gibt die Zeitverzgerung zwischen Ein- und Ausgangfr ein einzelnes, sinusfrmiges Signalan. Auf einer verlustlosen Zweidrahtleitung ist diePhasenlaufzeit (Leitungslnge l, Phasenkonstante )

p = l

= l

vp (3.15)

gleich der Laufzeit eines sinusfrmigen Signals ber die Lnge l, und die daraus abgeleitete Phasen-geschwindigkeit vpnichts anderes als die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals.

Nun betrachten wir ein Eingangssignal sebestehend aus zwei Sinussignalen mit leicht unterschiedli-chen Frequenzen 1und 2 und identischen Amplituden

se(t) = s1e + s2e = s cos(1t) + s cos(2 t) (3.16)


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Der Sinn dieses Ansatzes besteht darin, ein sehr einfaches zusammengesetztes Signal zu konstruie-ren, welches aus Frequenzanteilen in einem begrenzten Frequenzbereich besteht und als Ganzes eineEnveloppe ergibt, die wesentlich niederfrequenter ist als die einzelnen Signalkomponenten. DiesesSignal kann als Muster eines modulierten Trgers aufgefasst werden. Es wird sich dann zeigen, dassin Systemen mit nichtlinearem Phasengang die Enveloppe eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeiterhlt als die einzelnen Signalkomponenten.

Das Signal von Gl.(3.16) werde ber dasselbe System mit linearer Phase bertragen wie schon daseinzelne Signal zuvor. Am Ausgang erhlt man das Signal

sa (t) = s1a + s 2a = s cos(1[t t0 ]) + s cos(2[t t0 ]) (3.17)

Ein- wie Ausgangssignal knnen auch als Schwebung interpretiert werden, wie Fig. 3.13 a) und b)zeigen. Am Eingang des Systems sind die beiden Signale zur Zeit t = 0 in Phase und ergeben dortein Maximum. Die Periodendauer der Schwebung ergibt sich aus der Differenz der beiden Frequen-zen zu

Tm = 2

f2 f1 =

2

f(3.18)

0 0.25 0.5 0.75 1-2

0

2

-2

0

2

t/Tm

se

sa

a)

b)

Re

S1aS2a

-1t0-2t0

c)

Im

t/Tm

t0/Tm

S1e= S2e

0 0.25 0.5 0.75 1

Fig. 3.13 Die bertragung einer Schwebung ber ein System mit linearer Phase. a) Eingangs-signal und b) Ausgangssignal, sowie c) zugehrige Zeigerdiagramme

Am Ausgang des Systems erscheint das Eingangssignal um die Zeit t0verzgert, was leicht aus dem

verschobenen Maximum abzulesen ist. Da es sich hier um sinusfrmige Signale handelt, kann mandiese auch mit Zeigern darstellen, Fig. 3.13 c). Im Zeigerdiagramm zeigen sich die verzgerten Aus-


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gangskomponenten in Form der Ausgangszeiger, die gegenber den Eingangszeigern um die Winkel-1t0bzw. -2t0 nacheilen.

Nun sei die Phase des bertragungssystems nicht mehr linear, sie verlaufe beispielsweise wie bei ei-nem einfachen RC-Glied asymptotisch gegen -90, siehe Fig. 3.14.

In diesem Fall lautet das Ausgangssignal

s'a (t) = s'1a + s'2a = s cos(1t +1) + s cos(2t + 2) (3.19)

Fig.3.14 Beispiel eines nichtlinearen Phasengangs

Dieses Resultat lsst sich umformen in den Ausdruck

s'a (t) = 2s cos((2 +1)t + 2 +1

2) cos(

(2 1)t + (2 1)2

) (3.20)

Fig. 3.15 zeigt den Verlauf des Ausgangssignals s'a.

0 0.25 0.5 0.75 1

-2

0

2

sa'

a)

Re

S'1aS'2a

-1-2

b)

Im

t/Tm

g/Tm

S1e= S2e

Fig. 3.15 Schwebung am Ausgang einer bertragungsstrecke mit nichtlinearer Phasenbezie-hung

0

1

2

12

T

T


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Der erste cos-Faktor in Gl.(3.20) entspricht in dieser Figur der eigentlichen Schwingung mit dermittleren Frequenz fT= ( f2+f1)/2 und dem mittleren Nullphasenwinkel T= (2+1)/2 < 0.1Derzweite cos-Faktor reprsentiert die Umhllende mit der Differenzfrequenz

fm = f2 f1

2 =

f2

(3.21)

und dem Nullphasenwinkel

m = 2 1

2 =

2

< 0 (3.22)

Dabei fllt auf, dass die Nullphasenwinkel der Schwingung und der Umhllenden nicht mehr iden-tisch sind. ber den Nullphasenwinkel kann (wie oben) die Laufzeit sowohl der Schwingung alsauch der Umhllenden beschrieben werden Die Laufzeit der Schwingung entspricht der mittlerenLaufzeit der beiden Cosinusschwingungen oder

p = TT

(3.23)

In Fig. 3.14 kann sie als tan(-) abgelesen werden. Die Laufzeit der Umhllenden ergibt sich inanaloger Weise zu

g =

(3.24)

Man nennt sie Gruppenlaufzeit. Auch sie kann in Fig. 3.14 grafisch als tan(-) bestimmt werden.Mit Hilfe der beiden Laufzeiten lsst sich Gl.(3.20) auch als

s'a (t) = 2s cos(T[t p]) cos(m[t g]) (3.25)

schreiben. Dieser Ausdruck zeigt deutlich die unterschiedlichen Verzgerungszeiten von Schwingungund Enveloppe. Im ersten Fall mit linearem Phasengang fallen pund gzusammen und sind iden-

tisch mit dem dort definierten t0. Im Zeigerdiagramm ussert sich die unterschiedliche Phasen- undGruppenlaufzeit dadurch, dass bei der Drehung der beiden Zeiger S ' 1aund S ' 2a mit jt die beidenzur Deckung kommen, bevor sie die reelle Achse erreicht haben. Wenn beide Zeiger in Phase sind,so weist die Enveloppe ihr Maximum auf. Die Schwingung selber erreicht das Maximum aber nur,wenn der Summenzeiger von S ' 1aund S ' 2arein reell ist. Im Fall linearer Phase fallen die beiden Ma-xima zusammen, d.h. am Ausgang ist das Bild noch dasselbe wie am Eingang, nicht mehr aber beinichtlinearem Phasengang.

Lsst man in Gl.(3.24) gegen null streben, so kommt man zur mathematisch genaueren Defini-tion der Gruppenlaufzeit:

g = dd

(3.26)

Whrend die Phasenlaufzeit gleich dem negativen Verhltnis von /ist, entspricht die Gruppen-laufzeit der negativen Steigung der -Kurve (analog zu statischem Widerstand R eines nichtli-nearen Zweipols und seinem differentiellen Widerstand Rd). Nur fr bertragungssysteme, in denenproportional zu ist, d.h. nur fr verzerrungsfreie Systeme, stimmen Phasen- und Gruppenlauf-zeit berein. Man nennt Systeme, bei denen die beiden Laufzeiten nicht identisch sind, dispersiv.

Was ist die eigentliche Bedeutung der Dispersion? Zum einen drckt sie die nicht konstante Ausbrei-tungsgeschwindigkeiten von unterschiedlichen Frequenzanteilen in einem Signal aus. Die besondere

1 Die Bezeichnung fT

fr die mittlere Frequenz der Schwebung erfolgt im Hinblick auf die Amplitudenmodulation. Die

vorliegende Schwebung kann nmlich auch als Ampitudenmodulation eines, allerdings unterdrckten Trgers bei derFrequenze f

Tmit der sinusfrmigen Modulationsfrequenz fm aufgefasst werden.


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Bedeutung der Gruppenlaufzeit ergibt sich daraus, dass viele bertragungssysteme nur ein schmalesFrequenzband bentzen, z.B. alle Funksysteme. Man spricht dann von Bandpasssystemen. Die In-formation steckt bei diesen in der Enveloppe und nicht im hochfrequenten sog. Trgersignal mit derFrequenz fm. Es lsst sich zudem zeigen, dass die Energie in einem dispersiven System die Zeit gund nicht pzur bertragung bentigt. Je nachdem, ob nun die -Kurve eine abnehmende oderzunehmende Steigung aufweist, kann g< oder > p sein.

In Bandpasssystemen ist man nur an der unverzerrten bertragung der Information, also der Enve-loppe interessiert. Solche Systeme sind fr die Enveloppe allein verzerrungsfrei, wenn derPhasenverlauf im interessierenden Frequenzband linear ist. Fig. 3.16 zeigt einige Beispiele dazu inkl.zugehriger Gruppenlaufzeit g. Die Verlngerung des linearen Teils der Phase muss nicht zwingenddurch den Nullpunkt gehen. In diesen Fllen wird, wie in Fig. 3.15, die Enveloppe am Ausgangkorrekt wiedergegeben. Aber die Schwingungen innerhalb der Enveloppe sind gegenber demEingang phasenverschoben.

f

g

a b

c

a

b

c

f1 f2

p

Fig. 3.16 Typische Verlufe der Phase und der Gruppenlaufzeit gin Funktion der Fre-quenz. Alle drei Phasen sind fr Bandpasssysteme im Frequenzband von f1bis f2verzerrungsfrei. Fall a) lineare Phase mit g= p, b) g > p und c) g< p

Nun drfte auch der Begriff Laufzeitentzerrer statt Phasenentzerrer klar geworden sein. Es ist das-selbe ob man den Phasenverlauf linearisiert oder die Gruppenlaufzeit konstant zu halten versucht.Eine konstante Funktion ist sogar eher leichter beurteilbar als eine lineare, deshalb die bevorzugteVerwendung der Begriffe Gruppenlaufzeit und -entzerrer.


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3.3 Nichtlineare Verzerrungen

3.3.1 Aussteuerungskennlinie und die Entstehung von Oberwellen

Neben den vorher betrachteten linearen Verzerrungen treten in Nachrichtensystemen auch nichtlineareVerzerrungen auf. Diese entstehen in Elementen mit nichtlinearen Kennlinien (das berlagerungs-prinzip gilt hier nicht mehr). Das besondere Merkmal der nichtlinearen Verzerrungen sind neu auftre-tende Frequenzkomponenten, die im ursprnglichen Signal nicht vorhanden sind. NichtlineareKennlinien weisen z.B. aktive Schaltungen (Verstrker etc.) oder Induktivitten und Transformato-ren (infolge der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie von ferromagnetischen Materialien) auf.Teilweise werden sie auch bewusst eingesetzt wie bei Mischern, Modulatoren, Begrenzer etc. Zu denbekannten Phnomenen, welche auf Nichtlinearitten zurckzufhren sind, gehrt z.B. die Sttigungvon Verstrkern.

Nichtlinearitten fhren bei sinusfrmigen Signalen zu einem weiterhin periodischen, aber nicht mehrsinusfrmigen Ausgangssignal. Dieses kann nach Fourier in seine Harmonischen zerlegt werden.Als globales Mass fr die Verzerrungen eines Sinussignals haben wir den Klirrfaktor kennengelernt(siehe Abschnitt 2.2.4). Will man genaueres ber die Harmonischen des verzerrten Sinussignals aus-sagen, so muss man zu einer detaillierten Analyse der nichtlinearen Schaltung bergehen

Die Charakteristik des verzerrenden Systems bzw. Elementes wird zweckmssigerweise mit dessenKennlinie beschrieben. Die Kennlinie gibt zu jedem Eingangswert den zugehrigen Ausgangswert ineinem gewissen Bereich an. Fig. 3.17 zeigt beispielsweise eine Diodenkennlinie.

0.6 0.8 1 V0

50

100

150

200

250

I

U

mA

t

U

I

Fig. 3.17 Aussteuerung einer Diode mit einer sinusfrmigen Spannung mit Gleichspannungs-anteil

In dieser Figur ist zustzlich dargestellt, wie eine sinusfrmige Eingangsspannung zu einem nichtsi-nusfrmigen Strom fhrt. Die Mischspannung am Eingang besteht aus einem Gleichspannungsanteilvon 0.9 V und einem sinusfrmigen Wechselanteil von 0.1 V. Die Kennlinie wird also sinusfrmigim Bereich 0.8 ... 1.0 V ausgesteuert. Der durch die Diode fliessende Strom schwankt im Bereich 5


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... 225 mA; er hat aber bei weitem keine Sinusform mehr, d.h. er besitzt Oberwellen und einenmerklichen Klirrfaktor.

Manchmal kennt man von der nichtlinearen Kennlinie aufgrund theoretischer berlegungen einemathematische Beschreibung. In vielen Fllen liegen aber nur grafische oder tabellarische Werte ausMessungen vor. Die analytische Behandlung nichtlinearer Systeme und nichtlinearer Signalverfor-mung setzt aber voraus, dass die Kennlinie als geschlossener mathematischer Ausdruck, gltig fr

den relevanten Aussteuerbereich, vorliegt. Diese mathematische Beschreibung erfolgt als Approxi-mation durch eine Reihe geeigneter einfacher Funktionen. Bewhrt haben sich hierzu Potenzfunktio-nen, d.h. die Kennlinie wird approximativ im interessierenden Bereich durch ein Polynom darge-stellt. Wir bezeichnen im folgenden die Eingangsgrsse mit x und die (nichtlinear verzerrte) Aus-gangsgrsse mit y. Dabei knnen x und y Spannungen oder Strme sein. Die approximierte Kenn-linie lautet damit:

y(x) = b0 + b1 x+ b2 x2 + b3 x

3 + ...... + bn xn (3.27)

Je hher der Grad n des Polynoms ist, umso besser ist die Approximation im entsprechenden Be-reich, vorausgesetzt, die Koeffizienten biwerden richtig gewhlt. Wie die Koeffizienten gewhltwerden, soll hier nicht besprochen werden. Je nach Ausgangspunkt, d.h. ob eine analytische Be-schreibung mglich ist wie bei einer Diode, oder ob nur Messwerte vorliegen, gibt es dafr ver-schiedene Verfahren. Diese sollten aus der Mathematik bekannt sein.

Gibt man an den Eingang x eines nichtlinearen Systems, dessen Kennlinie durch ein Polynom ge-mss Gl.(3.26) beschrieben wird, eine sinusfrmige Schwingung der Amplitude a und der Kreis-frequenz,

x(t) = a cos t

so entsteht ein Ausgangssignal y(t), das aus den mit den Polynomkoeffizienten bigewichteten Poten-zen von x(t) gemss Gl.(3.28) besteht (siehe Kasten weiter unten). Die Potenzen von x(t) lassen sichtrigonometrisch umformen:

cos2 (t) = 12

cos(2t) + 1{ }

cos3(t) = 1

4cos(3t)+ 3 cos(t){ }

cos4(t) = 1

8cos(4t) + 4 cos(2t) + 3{ }

:

(3.29)

Die i-te Potenz

cosi(t) = 1

2i1cos(it) + i cos([i 2]t) + . . . . .{ }

erzeugt also eine Komponente mit der i-fachen Eingangsfrequenz, daneben noch mindestens eineweitere Komponente innerhalb des Frequenzrasters von (i-2), (i-4), .... Ordnet man die Sum-manden nach den Frequenzen, erhlt man ein Ausgangssignal gemss Gl.(3.30), das aus Gleichan-teil B0, Grundwelle mit der Amplitude B1und Oberwellen mit den Amplituden Bi(Spitzenwerte)besteht.


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(3.28)

(3.30)y(t) = B0 + B1 cos(t) + B2 cos(2t) + B3 cos(3t) + ...... + Bn cos(nt)

y(t) = b0 + b1 a cos(t) + b2 a2 cos2(t) + b3 a

3 cos3(t) + ....... + bn an cosn(t)

Die Amplituden B0, B1, B2, . . . der Harmonischen sind von den Polynomkoeffizenten der Kennli-nie abhngig. Ist die Kennlinie durch eine gerade Funktion beschreibbar, so kommen nur Kompo-nenten mit den Frequenzen 0, 2, 4, . . . vor, da das Kennlinienpolynom nur Koeffizienten gera-der Ordnungen aufweist. Entsprechend kommen bei einer Kennlinie mit ungerader Funktion (Punkt-symmetrie, z.B. Begrenzer) nur Komponenten mit , 3, 5, . . . vor, da das Kennlinienpolynomnur Koeffizienten ungerader Ordnung enthlt.

Die Koeffizienten B0, B1, B2, . . . bestimmen das Spektrum des Ausgangssignals eindeutig. Expe-rimentell knnte es mit einem Spektrumanalysator gemessen werden. Aus diesen Koeffizientenknnte auch der Klirrfaktor berechnet werden.

3.3.2 Intermodulationen und deren Entstehung

An den Eingang x eines nichtlinearen Systems mit einer Kennlinie gemss Gl.(3.27) wird nun dieSumme (berlagerung) von zwei sinusfrmigen Schwingungen (zwei "Tne") mit den Kreisfre-quenzen1und 2und den Amplituden a1und a2gegeben:

x(t) = a1cos(1t) + a2cos(2t). (3.31)

Am Ausgang entsteht damit folgendes Signal:

y(t) = b 0 + b1 a1 cos(1t) + a2 cos(2 t){ }

+ b2 a1 cos(1t) + a2 cos(2 t){ }2

+ b3 a1 cos(1t) + a2 cos(2t){ }3 + ......

= b0 + b1 a1 cos(1t) + a2 cos(2 t){ }

+ b2 a12 cos2(1t) + a2

2 cos2(2 t){ } + 2b2a1a2 cos(1t) cos(2t)

+ b3

a1

3 cos3(1

t) + a2

3 cos3(2

t) + 3a1

2a2

cos2(1

t) cos(2

t)+ ...

{ }+

(3.32)

Mit den Umformungen gemss Gl.(3.29) und der zustzlichen trigonometrischen Beziehung

cos cos = 1

2cos(+ ) + cos( ){ } (3.33)

entsteht das folgende Ausgangssignal:


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In Fig. 3.18 sind die Mischprodukte fr zwei relativ nahe beieinanderliegende Eingangsfrequenzen f1und f2(Abstand f) auf einer Frequenzachse eingezeichnet. Interessant an diesem Fall sind die bei-den Intermodulationsprodukte 3. Ordnung, welche im Abstand von f unterhalb f1bzw. oberhalb f2liegen. Solche Produkte sind in Empfngern hufig usserst strend, da sie mit Filtern nicht beseitigtwerden knnen. Sie mssen daher mit andern Mitteln reduziert werden.

S

f

........

f1 f2 3f1-f1+2f22f1-f2 f1+f2-f1+f2 3f22f1+f2 f1+2f22f1 2f2

f ff

1. Ordnung 3. Ordnung2. Ordnung

Fig. 3.18 Spektrallinien der Misch- oder Intermodulationsprodukte 1. bis 3. Ordnung bei zweiEingangssignalen mit den nahe beieinander liegenden Frequenzen f1und f2.

Die Grsse der Mischprodukte hngt zuerst einmal von den Koeffizienten bider nichtlinearen Kenn-linie ab. Weiter hngt sie von den Amplituden der beiden Eingangssignale a1und a2ab. Mischpro-

dukte n. Ordnung sind proportional zu a1ia2kmit i + k = n. Je hher die Ordnung, umso schnellersteigen die Mischprodukte mit zunehmender Amplitude der Eingangssignale an. Trgt man Inter-modulationsprodukte eines nichtlinearen Zweitors unterschiedlicher Ordnung in einer doppelt log-arithmischen Darstellung in Funktion der Eingangsleistungen auf, so erhlt man die Darstellung vonFig. 3.19. Dabei wird immer Pein1= Pein2angenommen.

log(Paus)

log(Pein)

Sttigungsleistung

Interzeptpunkt IM3

IM 3IM 2

Interzeptpunkt IM2

Grundwellen(20 dB/20dB)

(60 dB/20dB)(40 dB/20dB)

IM3-Abstand

Fig. 3.19 Verstrkungskennlinie (Paus - Pein) eines sttigenden (nichtlinearen) Zweitors undIntermodulationsprodukte 2. und 3. Ordnung bei zwei gleich starken Eingangs-signalen

Die mit Grundwellen angeschriebene Kurve entspricht der Verstrkung (oder Dmpfung) der Ein-gangssignale (Produkte 1. Ordnung in der Reihenentwicklung). Die Ausgangsleistung ergibt in der


22/22

SNT BB b t /29 10 2002/G 22

doppelt logarithmischen Darstellung ber weite Bereiche eine Gerade mit der Steigung 20 dB/Dk.Fr zu grosse Eingangsleistungen erreicht die Ausgangsleistung einen Grenzwert, die sog. Stti-gungsleistung. Sie wird bestimmt durch die maximale Aussteuerung der aktiven und ev. passivenBauteile, z.B. bei Transistoren durch die Speisespannung und den max. Kollektorstrom bei mini-maler Kollektorspannung.

Trgt man die Ausgangsleistung einiger Intermodulationsprodukte 2. und 3. Ordnung (IM2 und

IM3) ebenfalls in dieses Diagramm ein, so erhlt man fr nicht zu grosse Eingangsleistungen eben-falls Geraden. Im Unterschied zu den Grundwellen folgt die Geradenapproximation fr IM2 einerGeraden mit der Steigung 40 dB/Dk. Die IM3 steigen ber weite Strecken sogar mit 60 dB/Dk an.Diese steileren Anstiege haben mit den Potenzen zu tun, mit denen die Amplituden der beiden Ein-gangssignale in den Termen dieser Intermodulationsprodukte auftreten (z.B sind die IM2-Produkteproportional zu a12, a22und a1a2). Aus dieser Darstellung kann man fr bestimmte Eingangs- oderAusgangsleistungen den Abstand der Intermodulationsprodukte ablesen. So ist in Fig. 3.19 der IM3-Abstand eingetragen.

Als Bentzer eines Zweitors mit Sttigungseigenschaften ist man sehr hufig auf die Angabe der IM-Kennlinien angewiesen. Die Hersteller solcher Zwei- oder Mehrtore liefern diese Angaben auf eineelegante Art. Verlngert man sowohl die Verstrkungsgerade als auch die Gerade der IM2- und IM3-Produkte, so schneiden sich diese in je einem Punkt, der blicherweise ber der Sttigungsleistungliegt. Man nennt diese Punkte Interzeptpunkt fr Intermodulationsprodukte 2. bzw. 3. Ordnung,oder kurz Interzeptpunkt IM2 bzw. IM3. Die Angabe in einem Datenblatt eines Verstrkers lautetz.B. Sttigungsleistung +13 dBm, Interzeptpunkt IM3 am Ausgang +23 dBm. Bei der Angabe derInterzeptpunkte muss man also noch angeben, ob man den Punkt am Ausgang- oder Eingang desVerstrkers definiert. blich ist die Definition ber die Ausgangsleistung. Da fr viele Verstrker dieIM3 strend sind, wird hufig nur der Interzeptpunkt IM3 angegeben. Kennt man diesen, so kannman das Diagramm von Fig. 3.19 aufzeichnen und fr gegebene Signaleingangsleistungen die IM3-Pegel bestimmen.

Als Beispiel nehmen wir einen Verstrker mit den Werten: Verstrkung 30 dB, SttigungsleistungPsat= 20 dBm und Interzeptpunkt IM3 = 30 dBm am Ausgang. Gesucht ist die max. Eingangslei-stung zweier gleich starker Eingangssignale, sodass die IM3-Produkte am Ausgang des Verstrkersim Minimum 60 dB schwcher sind als die gewnschten Ausgangssignale. Eine einfache geometri-

sche Konstruktion, wie sie in Fig. 3.20 dargestellt ist, ergibt eine max. Eingangsleistung von -30dBm.

log(Paus)

log(Pein)

Sttigungsleistung

Interzeptpunkt IM3

IM 3

Grundwellen(20 dB/20dB)

(60 dB/20dB)

IM3-Abstand = 60 dB

30 dBm

20 dBm30 dB

0 dBm

-30 dBm

Fig. 3.20 Beispiel zur Bestimmung der max. Eingangsleistung bei einem gegebenen Verstrkerund gefordertem IM3-Abstand

Basisbandübertragung analoger Signale

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