1

Formelsammlung zur Vorlesung

B a u s t a t i k 1

Version 2004/2005

Kapitel 2: Einteilung und Aufbau von Stabtragwerken

Abzahlkriterium fur den Grad der statischen Unbestimmtheit eines Stabtragwerks:

n = (a+ e · s)− (k · g + r)

n Grad der statischen Unbestimmtheit

a Anzahl der Auflagerreaktionen

e Anzahl der Stabelemente

s Anzahl der unabhangigen Stabendschnittgroßen pro Stabelement

k Anzahl der Knoten

g Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen

r Anzahl der Nebenbedingungen

korrigiert 2011

2

Kapitel 3: Berechnung statisch best. Stabtragwerke

Verschiebungskomponente w(a) an einer bestimmten Stelle a eines

ebenen Stabtragwerks:

1 · w(a) =∑e

[∫le

δNN

EAdxe +

∫le

δMηMη

EIη

dxe +∫

leδQζ

Qζ

GAQζ

dxe

]+

+∑e

[∫le

δN ε0 dxe +∫

leδMη κζ0 dxe

]+

+∑

i

δN (i) N (i)

c(i)u

+∑j

δM (j) M (j)

c(j)ϕ

+

+∑u

δN (u)Δl(u) +∑v

δM (v)η (−Δϕ

(v)ζ ) +

∑w

δQ(w)ζ Δw(w) +

−∑k

(δP (k)

x u(k) + δP(k)ζ w(k)

)− ∑

m

δM (m)η ϕ

(m)ζ

mit der Dehnung der Stabachse

εx =N

EA+ ε0 ,

der Anderung des Querschnittsdrehwinkels

ϕζ,x = − Mη

EIη

− κζ0 ,

der mittleren Gleitung

γmζ =Qζ

GAQζ

,

und der Dehnung und Verkrummung der Stabachse zufolge Temperaturanderungen

ε0 = αT (T(S) − T0) , κζ0 = αT

ΔTζ

hζ

.

Die Integrale konnen mit Hilfe der Integraltafeln (Abb. 1) ausgewertet werden.

3

Prinzip der virtuellen Krafte fur raumliche Stabtragwerke

−∑e

[∫le

δNN

EAdxe +

∫le

δMηMη

EIη

dxe +∫

leδMζ

Mζ

EIζ

dxe+

+∫

leδQζ

Qζ

GAQζ

dxe +∫

leδQη

Qη

GAQη

dxe +∫

leδMT

MT

GIT

dxe

]+

−∑e

[∫le

δN ε0 dxe +∫

leδMη κζ0 dxe +

∫le

δMζ κη0 dxe

]+

+∑k

(δP (k)

x u(k) + δP (k)η v(k) + δP

(k)ζ w(k)

)+

+∑m

(δM (m)

η ϕ(m)ζ + δM

(m)ζ ϕ(m)

η + δM(m)T ϕ(m)

x

)= 0

mit der Anderung des Querschnittsdrehwinkels

ϕη,x =Mζ

EIζ

+ κη0 mit κη0 = −αTΔTη

hη

,

der Verwindung

ϑ =MT

GIT

und der mittleren Gleitung

γmη =Qη

GAQη

.

Bestimmung der Biegelinie eines ebenen Stabtragwerks

Stabdrehwinkel:

ψ =wr − w�

lDurchbiegung eines beliebigen Punktes eines Stabelements:

w(x) = w� + ψ x+Δw(x)

mit Δw(x) gemaß Abb. 2

Durchbiegung eines Stabelements zufolge Querkraft bei konstanter Querbelastung:

ΔwQ(x) =qζ

GAQζ

1

2x(l − x)

4

Kapitel 4: Berechnung statisch unbest. Stabtragwerke

Kraftgroßenverfahren

Gleichungssystem zur Bestimmung der statisch unbestimmten Großen:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

f(0)11 f

(0)12 . . . f

(0)1n

f(0)21 f

(0)22 . . . f

(0)2n

......

...

f(0)n1 f

(0)n2 . . . f (0)

nn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X1

X2

...

Xn

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f(0)1P

f(0)2P...

f(0)nP

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

0...

0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Bestimmung der Schnittgroßen:

N(x) = N(0)P (x) +X1 N

(0)1 (x) +X2 N

(0)2 (x) + . . .+Xn N (0)

n (x) ,

Q(x) = Q(0)P (x) +X1 Q

(0)1 (x) +X2 Q

(0)2 (x) + . . .+Xn Q(0)

n (x) ,

M(x) = M(0)P (x) +X1 M

(0)1 (x) +X2 M

(0)2 (x) + . . .+Xn M (0)

n (x) .

5

Weggroßenverfahren fur ebene Stabtragwerke mit vollstandigen Stabend-

schnittgroßen

1. Aufstellen der Vektoren der Knotenweggroßen U, der Knotenkraftgroßen P, der

Stabendschnittgroßen s und der Stabendweggroßen v

Stabendschnittgroßen s(e) und Stabendweggroßen v(e) fur den Stab e:

s(e) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N(e)�

Q(e)�

M(e)�

N (e)r

Q(e)r

M (e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, v(e) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u(e)�

w(e)�

ϕ(e)�

u(e)r

w(e)r

ϕ(e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Stabendschnittgroßen s und Stabendweggroßen v fur alle Stabe:

s =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

s(1)

s(2)

...

s(e)

...

s(s)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, v =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

v(1)

v(2)

...

v(e)

...

v(s)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

2. Bestimmung des Zusammenhangs zwischen den Knotenweggroßen U und den Stab-

endweggroßen v

v = AU

3. Ermittlung des Zusammenhangs zwischen den Stabendweggroßen und den Stab-

endschnittgroßen

Zusammenhang zwischen den Stabendschnittgroßen s(e) und den Stabendweggroßen

v(e) des Stabes e:

s(e) = k(e) v(e) + s(e)0

6

bzw.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N(e)�

Q(e)�

M(e)�

N(e)r

Q(e)r

M(e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

EA

l0 0 −EA

l0 0

012EI

l3−6EI

l20 −12EI

l3−6EI

l2

0 −6EI

l24EI

l0

6EI

l22EI

l

−EA

l0 0

EA

l0 0

0 −12EI

l36EI

l20

12EI

l36EI

l2

0 −6EI

l22EI

l0

6EI

l24EI

l

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u(e)�

w(e)�

ϕ(e)�

u(e)r

w(e)r

ϕ(e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N(e)�0

Q(e)�0

M(e)�0

N(e)r0

Q(e)r0

M(e)r0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

mit den Volleinspannkraftgroßen zufolge von Stabeinwirkungen s(e)0 gemaß Abb. 3.

Zusammenhang zwischen den Stabendweggroßen v und den Stabendschnittgroßen

s fur alle Stabe:

s = kv + s0

bzw. ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

s(1)

s(2)

...

s(e)

...

s(s)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k(1)

k(2)

. . .

k(e)

. . .

k(s)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

v(1)

v(2)

...

v(e)

...

v(s)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

s(1)0

s(2)0...

s(e)0...

s(s)0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

4. Aufstellen und Losung des Gleichungssystems zur Bestimmung der unbekannten

Knotenweggroßen

KU = P mit K = ATkA und P = PK +PE mit PE = −AT s0

5. Ermittlung der Stabendschnittgroßen aus den Knotenweggroßen

U → v = AU → s = kv + s0

7

Weggroßenverfahren fur ebene Stabtragwerke mit reduzierten Stabendschnitt-

großen

Vorgangsweise analog zum Weggroßenverfahren mit den vollstandigen Stabendschnitt-

großen, jedoch gilt im Unterschied zu letzterem:

s(e) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

N (e)r

M(e)�

M (e)r

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ , v(e) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Δl(e)

τ(e)�

τ (e)r

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

mit

Δl = ur − u� , ψ =w� − wr

l, τ� = ϕ� − ψ , τr = ϕr − ψ

gemaß Abb. 4 und

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N (e)r

M(e)�

M (e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

EA

l4EI

l

2EI

l2EI

l

4EI

l

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Δl(e)

τ(e)�

τ (e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N(e)r0

M(e)�0

M(e)r0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

mit den unabhangigen Stabendschnittgroßen N(e)r0 , M

(e)�0 , M

(e)r0 zufolge von Einwirkun-

gen gemaß Abb. 5; die abhangigen Stabendschnittgroßen N(e)�0 , Q

(e)�0 , Q

(e)r0 zufolge von

Einwirkungen sind aus den fur das betreffende Stabelement formulierten Gleichgewichts-

bedingungen zu bestimmen und entsprechend dem Schnittprinzip der Mechanik in den

freigeschnittenen Knoten anzusetzen;

Berucksichtigung eines gelenkigen Auflagers, z. B. am rechten Stabende:

⎧⎪⎨⎪⎩

N (e)r

M(e)�

⎫⎪⎬⎪⎭ =

⎡⎢⎢⎢⎣

EA

l3EI

l

⎤⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎨⎪⎩Δl(e)

τ(e)�

⎫⎪⎬⎪⎭ +

⎧⎪⎨⎪⎩

N(e)r0

M(e)�0

⎫⎪⎬⎪⎭ .

Berucksichtigung der Schubverformungen (ρQ = (12EI)/(GAQl2))

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N (e)r

M(e)�

M (e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

EA

l0 0

0EI(4 + ρQ)

(1 + ρQ) l

EI(2− ρQ)

(1 + ρQ) l

0EI(2− ρQ)

(1 + ρQ) l

EI(4 + ρQ)

(1 + ρQ) l

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Δl(e)

τ(e)�

τ (e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

N(e)r0

M(e)�0

M(e)r0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

8

Drehwinkelverfahren

alle Stabe sind schlank und dehnstarr

beidseitig elastisch eingespannter Stab:

M(e)� =

2EI

l(2ϕ

(e)� + ϕ(e)

r − 3ψ(e)) +M(e)�0

M (e)r =

2EI

l(ϕ

(e)� + 2ϕ(e)

r − 3ψ(e)) +M(e)r0

am linken Ende elastisch eingespannter und am rechten Ende gelenkig gelagerter Stab:

M(e)� =

3EI

l(ϕ

(e)� − ψ(e)) +M

(e)�0

am linken Ende gelenkig gelagerter und am rechten Ende elastisch eingespannter Stab:

M (e)r =

3EI

l(ϕ(e)

r − ψ(e)) +M(e)r0

9

Kapitel 5: Einflußlinien

Einflußlinien fur Weggroßen

Die Einflußlinie ηw(x, x) fur die Durchbiegung w an der Stelle x zufolge P = 1 an der

ortsveranderlichen Stelle x entspricht der Biegelinie w(x) zufolge der Einzellast P = 1 an

der Stelle x:

ηw(x, x) = w(x)

Die Einflußlinie ηϕ(x, x) fur den Querschnittsdrehwinkel an der Stelle x zufolge P = 1 an

der ortsveranderlichen Stelle x entspricht der Biegelinie w(x) zufolge des Biegemoments

M = 1 an der Stelle x:

ηϕ(x, x) = w(x)

Einflußlinien fur Kraftgroßen statisch bestimmter Stabtragwerke

Die Bestimmung von Einflußlinien fur Kraftgroßen statisch bestimmter Stabtragwerke

erfolgt entweder mittels der Gleichgewichtsbedingungen oder mittels eines auf dem Prinzip

der virtuellen Verschiebungen beruhenden kinematischen Verfahrens

Auswertung von Einflußlinien, z. B. fur das Biegemoment an der Stelle x:

fur eine Einzellast P (x) : M(x) = ηM(x, x)P (x)

fur mehrere Einzellasten P (i)(x(i)), i = 1, . . . , n : M(x) =n∑

i=1

ηM(x, x(i))P (i)(x(i))

fur eine Linienlast q(x) : M(x) =∫

lηM(x, x) q(x) dx

Einflußlinien fur Kraftgroßen statisch unbestimmter Stabtragwerke

Kraftgroßenverfahren:

Einflußlinie fur die Schnittgroße S:

ηS(x, x) = η(0)S (x, x) + η1(x1, x)S

(0)1 (x) + η2(x2, x)S

(0)2 (x) + . . .

. . .+ ηi(xi, x)S(0)i (x) + . . .+ ηn(xn, x)S(0)

n (x)

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mit der Einflußlinie η(0)S (x, x) im statisch bestimmten Grundsystem, den Schnittgroßen

S(0)i (x) an der Stelle x zufolge der Einheitsgroßen Xi = 1 an den Stellen xi im statisch

bestimmten Grundsystem und den Einflußlinien ηi(xi, x) fur die statisch unbestimmten

Großen Xi an den Stellen xi. Letztere werden zu

ηi(xi, x) = −[f

(0)i1

]−1f

(0)1P (x, x1)−

[f

(0)i2

]−1f

(0)2P (x, x2)− . . . −

[f

(0)in

]−1f

(0)nP (x, xn)

bestimmt, wobei[f

(0)11

]−1. . .

[f (0)

nn

]−1die Koeffizienten der Inversen der Nachgiebigkeits-

matrix f(0)X bezeichnen.

Weggroßenverfahren:

1. Schritt:

Fur jenes Stabelement, das die Stelle x der gesuchten Einflußlinie enthalt, wird nicht

nur die entsprechende Bindung an der Stelle x gelost, sondern durch Anordnung von

Biegemomentengelenken an den beiden Enden des betreffenden Stabelements eine lokale

zwangslaufige kinematische Kette erzeugt. Damit laßt sich fur dieses Stabelement die

entsprechende Einflußlinie wie fur einen statisch bestimmten Stab ermitteln.

2. Schritt:

Zufolge der Anordnung von Biegemomentengelenken an den beiden Enden des Stabele-

ments, das die Stelle x enthalt, treten an diesen Stellen Knicke in der virtuellen Biegelinie

auf, die im nun folgenden zweiten Schritt zu eliminieren sind. Dazu werden im ursprungli-

chen statisch unbestimmten Stabtragwerk an den beiden Enden des Stabelements, das den

Punkt x enthalt, die Knicke der zuvor betrachteten zwangslaufigen kinematischen Kette

mit entgegengesetztem Vorzeichen angesetzt, die dadurch hervorgerufenen Schnittgroßen

mittels des Weggroßenverfahrens ermittelt und die virtuelle Biegelinie zufolge letzterer

ermittelt. Durch die Uberlagerung dieser Biegelinie mit der Biegelinie der zwangslaufigen

kinematischen Kette verschwinden die Knicke an den beiden Enden des Stabelements und

es verbleibt nur der Sprung bzw. der Knick oder die Klaffung an der Stelle x. Zur Be-

rechnung der Schnittgroßen, die durch die in den Endpunkten des Stabelements mit der

Stelle x angebrachten Knicke verursacht werden, konnen die Volleinspannkraftgroßen den

entsprechenden Tabellen (siehe Kapitel 4) entnommen werden.

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Kapitel 7: Elastizitatstheorie II. Ordnung

Definition der Schnittgroßen

N und Q: tangential bzw. normal zur verformten Stabachse

S und R: tangential bzw. normal zur unverformten Stabachse

N = S +R ϕ ≈ S, Q = R − S ϕ

Weggroßenverfahren fur Theorie II. Ordnung

Die prinzipielle Vorgangsweise ist analog zur jener fur Theorie I. Ordnung; es sind je-

doch Unterschiede bei den Zusammenhangen zwischen den Stabendweggroßen und den

Stabendschnittgroßen sowie bei den Volleinspannkraftgroßen zu beachten:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

S(e)�

R(e)�

M(e)�

S(e)r

R(e)r

M(e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k11 0 0 −k11 0 0

0 k22 −k23 0 −k22 −k23

0 −k23 k33 0 k23 k36

−k11 0 0 k11 0 0

0 −k22 k23 0 k22 k23

0 −k23 k36 0 k23 k33

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u(e)�

w(e)�

ϕ(e)�

u(e)r

w(e)r

ϕ(e)r

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

S(e)�0

R(e)�0

M(e)�0

S(e)r0

R(e)r0

M(e)r0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Theorie I. Ordnung Theorie II. Ordnunganalytische Losung fur S < 0 (Druck)

k11EA

l

EA

l

k2212EI

l32EI

l3ε2 (cos ε − 1)

2 cos ε + ε sin ε − 2+

S

l

k236EI

l2EI

l2ε2 (cos ε − 1)

2 cos ε + ε sin ε − 2

k334EI

l

EI

l

ε (ε cos ε − sin ε)2 cos ε + ε sin ε − 2

k362EI

l

EI

l

ε (sin ε − ε)2 cos ε + ε sin ε − 2

12

Die Volleinspannkraftgroßen werden mit Hilfe der in der Abb. 6 enthaltenen Tabellen

bestimmt.

Die Ermittlung der Schnittgroßenverlaufe bei bekannten Stabendschnittgroßen kann mit

Hilfe der in der Abb. 7 enthaltenen Tabelle erfolgen.

Ersatzlasten zur Berucksichtigung von Imperfektionen:

Ersatzbelastung fur die Vorkrummung eines Stabes:

besteht aus der Linienlast qV und an den Stabenden angreifenden, zu qV entgegengesetzt

gerichteten Einzellasten V�V und VrV :

qV =8 |S| wV

l2, V�V = VrV =

4 |S| wV

l

Ersatzbelastung fur die Vorverdrehung eines Stabes:

besteht aus an den Stabenden normal zur Stabachse angreifenden, in entgegengesetzten

Richtungen wirkenden Einzellasten:

H�V = |S|ψV , HrV = |S|ψV

Drehwinkelverfahren fur Theorie II. Ordnung

beidseitig elastisch eingespannter Stab:

M(e)� = k33 ϕ

(e)� + k36 ϕ(e)

r − k23 l ψ(e) +M(e)�0

M (e)r = k36 ϕ

(e)� + k33 ϕ(e)

r − k23 l ψ(e) +M(e)r0

am linken Ende elastisch eingespannter und am rechten Ende gelenkig gelagerter Stab:

M(e)� = kg

(ϕ

(e)� − ψ(e)

)+M

(e)�0

am linken Ende gelenkig gelagerter und am rechten Ende elastisch eingespannter Stab:

M (e)r = kg

(ϕ(e)

r − ψ(e))+M

(e)r0

mit

kg =EI

l

ε2 sin ε

sin ε − ε cos ε

13

14

15

Abb. 1: Auswertung von∫l f(x)g(x)dx fur haufig vorkommende Falle

16

Abb. 2: ω-Funktionen fur Stabe mit konstanter Biegesteifigkeit (in dieser Abb. sind w

durch Δw, τl durch Δτl und τr durch Δτr zu ersetzen, wenn die Tabellenwerte

fur einen geraden Stababschnitt eines Stabtragwerks angewendet werden)

17

18

19

Abb. 3: Vollstandige Stabendschnittgroßen fur haufig auftretende Stabeinwirkungen

20

Abb. 4: Ebenes unbelastetes schlankes Stabelement: Neue Vorzeichenvereinbarung fur das

Weggroßenverfahren

21

22

23

Abb. 5: Unabhangige Stabendschnittgroßen fur haufig auftretende Stabeinwirkungen

24

25

26

27

28

29

Abb. 6: Volleinspannkraftgroßen nach Theorie II. Ordnung fur haufig vorkommende Falle

von Stabeinwirkungen

30

31

Abb. 7: Verlauf der Biegemomente und Querkrafte langs eines Stabes fur haufig vorkom-

mende Falle