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Vorlesung Baustatik 2 Teil 3Ulrich Walder Institut fr Bauinformatik Technische Universitt Graz Lessingstrasse 25 I A-8010 Graz

Einleitung Matrizenrechnung Stabtragwerke Platten Eigenwerte

Baustatik 2 Teil 3

Einleitung

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Inhaltsverzeichnis1. Einleitung.........................................................................................................................4 1.1. 1.2. 1.3. 2. Themen, Ziele und Methodik der Vorlesung Computerstatik....................................5 Literaturverzeichnis ..................................................................................................6 Computerprogramme ...............................................................................................6

Matrizenstatik ..................................................................................................................7 2.1. Ablauf einer Berechnung nach der Finite Element Methode ....................................7 2.2. Matrixmethode..........................................................................................................8 2.3. Modellbildung ...........................................................................................................8 2.4. Lokale Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren..............................................9 2.4.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen ................................................................10 2.4.2 Innere virtuelle Arbeit..........................................................................................10 2.4.3 ussere virtuelle Arbeit.......................................................................................11 2.5. Minimumprinzip der potentiellen Energie................................................................12 2.6. Globale Steifigkeitsmatrize und globaler Lastvektor...............................................13 2.7. Lsung des Gleichungssystems und Bestimmung der Verschiebungen................16

3.

Statikprogramme...........................................................................................................19 3.1. Grundlagen.............................................................................................................19 3.1.1 Entwicklung.........................................................................................................19 3.1.2 Grundstzliche Arbeitsweise von Computerstatik-Programmen ........................20 3.2. Das Programm EasyStatics....................................................................................22 3.3. Das Computerprogramm FLASH (Finite Element Analysis of Shells) ....................23 3.3.1 Anwendungsbereich ...........................................................................................23 3.3.2 Berechnungsmethode und Modellbildung ..........................................................25 3.3.3 Problemvorbereitung fr die numerische Dateneingabe ....................................26 3.3.4 Numerische Dateneingabe .................................................................................29 3.3.5 Interaktive Grafische Eingabe.............................................................................32 3.3.6 Theoretische Grundlagen von FLASH................................................................33

4.

Stabtragwerke ...............................................................................................................35 4.1. Fachwerkmodell .....................................................................................................35 4.2. Einfluss der Knotenbiegesteifigkeit (Rahmenmodell) .............................................35 4.3. Einfluss der Lagerungsbedingungen ......................................................................36 4.4. Einfluss initialer Dehnungen ...................................................................................37 4.5. Einfluss der Querkraftverformung bei Stabtragwerken...........................................38 4.6. Steifigkeitsmatrix und Lastvektor des Stabelementes mit Schubverformung .........41 4.7. Ausbildung von Gelenken.......................................................................................41 4.8. Exzentrizitten ........................................................................................................44 4.9. Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraint - Bedingungen)...........46 4.9.1 Knotenbeziehungen mit Constraints...................................................................46 4.9.2 Gelenke mit Constraints .....................................................................................48 4.10. Auflager- und Randbedingungen............................................................................49 4.10.1 Feste Auflager ....................................................................................................51 4.10.2 Elastisch gelagerte Auflagerknoten ....................................................................52 4.10.3 Randbedingungen in vorgegebenen Richtungen ...............................................52 4.11. Spannungsberechnungen, Einflusslinien und Einflussfelder ..................................52 4.11.1 Spannungsberechnungen...................................................................................52 4.11.2 Einflusslinien und Einflussfelder .........................................................................53 4.12. Statisch bestimmte und unbestimmte Systeme......................................................54

5.

Platten ............................................................................................................................56 5.1. Anwendungsbereich ...............................................................................................56

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5.2. Modellbildung .........................................................................................................57 5.3. Berechnung nach der Methode der finiten Elemente .............................................59 5.4. Flachdecken ...........................................................................................................61 5.4.1 Grundstzliches Verhalten von Finiten Plattenelementen ..................................61 5.4.2 Konzentrierte Krafteinleitungen in Platten ..........................................................64 5.4.3 Schiefwinklige Platten.........................................................................................67 5.5. Verstrkte Decken ..................................................................................................71 5.5.1 Pilzdecken ..........................................................................................................71 5.5.2 Rippenplatten......................................................................................................73 6. 7. Eigenwerte .....................................................................................................................77 Verzeichnisse ................................................................................................................82 Abbildungsverzeichnis ..................................................................................................82 Beispielverzeichnis ........................................................................................................83 8. Anhang...........................................................................................................................84 FLASH Eingabeschemas ...............................................................................................84

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Einleitung

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1. EinleitungDie Berechnung des statischen und dynamischen Verhaltens von Tragwerken ist durch die Erfindung des Computers und durch die Entwicklung effizienter numerischer Methoden in den letzten Jahrzehnten revolutioniert worden. Heute existiert kaum mehr ein Problem der Baustatik, welches nicht mindestens nherungsweise mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente, welche die traditionellen Handmethoden abgelst hat, berechnet werden kann. In der Lehre der Baustatik an der Hochschule stellt sich das Problem, in kurzer Zeit die theoretischen Grundlagen der Kontinuumsmechanik, sowie das Handwerk der statischen Berechnungen mit Handmethoden und modernen Computerprogrammen zu erlernen. Gleichzeitig sollte ein - normalerweise nur durch jahrelange Erfahrung erwerbbares - Gefhl fr das Modellieren statischer Systeme, sowie fr die Verifikation der Resultate, vermittelt werden. Im dritten Teil der Vorlesung Baustatik 2 geht es darum, die elementaren Grundlagen der Computerstatik zu vermitteln und durch die Anwendung von didaktisch besonders geeigneten Programmen, das in der Theorie gelernte mit dem Computer an praktischen Beispielen selber anzuwenden und zu verifizieren. E. Anderheggen und P. Steffen [1] unterscheiden drei verschiedene Gruppen von Adressaten fr den Baustatikunterricht: 1. Gruppe: Studierende im Grundstudium (Bachelorstudium) der Architektur und des Bauingenieurwesens sowie Architekten und Bauingenieure, die sich Fragen des konzeptionellen Entwurfs von Tragwerken widmen. Mittels numerischer Simulation am Computer kann das Tragverhalten eines projektierten Bauwerks in einem virtuellen Experiment leicht visualisiert werden. So werden massgebliche Einflsse erkannt, was fr den Tragwerksentwurf unabdingbar ist. 2. Gruppe: Bauingenieurstudenten hherer Semester (Masterstudium) und Fachleute, die sich mit der Bemessung von Tragwerkskomponenten befassen. Dafr werden kommerziell angebotene Computerprogramme eingesetzt, welche meistens gezielt fr spezifische Tragwerkselemente wie Sttzen oder Platten optimiert wurden und die einschlgigen Baunormen bercksichtigen. Bei komplexen Problemstellungen werden manchmal auch noch allgemein einsetzbare numerische Simulationsprogramme verwendet. Auf dieser Stufe wird ein vertieftes Verstndnis des theoretischen Hintergrundes und der Funktionsweise der Programme verlangt. In den Masterstudien werden mehrere diesbezgliche Vorlesungen angeboten. 3. Gruppe: Spezialisten auf dem Gebiet der rechnergesttzten Mechanik, die numerische Simulationsmethoden fr spezielle Problemstellungen aus Forschung und Praxis entwickeln. Vertiefte Kenntnisse in Mechanik, Informatik und Mathematik sind dafr unerlss-

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Einleitung

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lich. Die (wenigen) Angehrigen dieser Gruppe sind meistens in spezialisierten Softwareunternehmen oder an Universitten ttig. In der Regel befassen sie sich nicht mit praktischen Fragen des Tragwerksentwurfs.

1.1.

Themen, Ziele und Methodik der Vorlesung Computerstatik

Der Teil 3 der Vorlesung Baustatik 2 baut auf der Vorlesung Baustatik 1 und den Teilen 1 und 2 der Vorlesung Baustatik 2 auf, in welchen die theoretischen Grundlagen und die Kenntnisse zur manuellen Berechnung von Stabtragwerken vermittelt werden. Die Themen dieses Teils der Vorlesung gehen ber die Stabtragwerke hinaus und behandeln auch Plattentragwerke. Dabei geht es vor allem darum, die statische Modellbildung zu schulen. Der Einstieg in die Methode der Finiten Elemente erfolgt durch das exemplarische Aufstellen eines Fachwerk-Berechnungsmodells mit Hilfe der Matrizenrechnung und dessen Verallgemeinerung auf beliebige Tragwerke. Die Anwendung auf rumliche Biegetrger und Flchenelemente erfolgt ber die Anwendung entsprechender Programme, ohne die theoretischen Grundlagen in der Tiefe zu behandeln. Dies bleibt den entsprechenden Fachvorlesung Methode der Finiten Elemente vorbehalten. Die angewandte Methodik besteht darin, an Beispielen aus der Praxis zuerst die Modellbildung zu diskutieren und anschliessend verschiedene Varianten am Rechner zu simulieren. Die erhaltenen Resultate werden in den bungen mit einfachen Handmethoden verifiziert. Durch den Einsatz von EasyStatics und WIN-FLASH wird der Schritt von einem reinen Didaktik-Programm zu einem in der Praxis bewhrten Computerprogramm gemacht. Die Bemessung von Tragwerken wird nur soweit behandelt, als dafr normenunabhngige Verfahren angewandt werden knnen. Als Vorbereitung auf die Anwendung fertiger Programme, wird im Kapitel 2 an Hand einer einfachen Fachwerkbrcke der Rechengang in einem Finite Elementprogramm mittels der Matrizenstatik und einem Tabellenkalkulationsprogramm im Detail nachvollzogen. Dabei werden die theoretischen Grundlagen fr jeden Schritt kurz zusammengefasst. Im Kapitel 3 werden der Aufbau und die Arbeitsweise von Finiten Elemente Programmen aufgezeigt und die beiden in den bungen verwendeten Programme EasyStatics und FLASH nher vorgestellt. Die folgenden Kapitel widmen sich ausgewhlten Problemen der Computerstatik, insbesondere der Modellbildung ganzer Tragwerke, aber auch von konstruktiven Details. Dabei sollen die Auswirkungen von Vereinfachungen und Voraussetzungen der Theorie, wie auch die Einflsse der angewandten Methode der Finiten Elemente und der numerischen Lsungsverfahren diskutiert werden.

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Einleitung

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1.2.[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

Literaturverzeichnis

E. Anderheggen, P. Steffen, EasyStatics Ein Werkzeug fr die Tragwerkslehre, Institut fr Baustatik und Konstruktion der ETH Zrich, Publikation SP-013, Mrz 2004 E. Anderheggen, C. Pedron, A. Volkwein, EasyStatics Benutzeranleitung U. Walder, FLASH-Benutzerhandbuch, Institut fr Bauinformatik, TU Graz 2004 U. Walder, WIN-FLASH-Benutzerhandbuch, Institut fr Bauinformatik, TU Graz, 2004 U. Walder, WIN-FLASH-Beispiele, Institut fr Bauinformatik, TU Graz, 2004 U. Walder, Beitrag zur Berechnung von Flchentragwerkennach der Methode der Finiten Elemente, Bericht Nr. 77, Institut fr Baustatik und Konstruktion, ETH Zrich, 1977 U. Walder, Grundlagen der EDV I, Institut fr Bauinformatik der TU Graz, 2004 Excel- Einfhrung, Institut fr Bauinformatik der TU Graz, 2004 Excel- Weiterfhrung, Institut fr Bauinformatik der TU Graz, 2004 Inc., 1976

[10] K.J. Bathe, E.L. Wilson, Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, [11] S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, 1959 [12] G. Beer, Baustatik I + II, Institut fr Baustatik, TU Graz

1.3.[1] [2] [3]

Computerprogramme

Microsoft Excel oder ein hnliches Tabellenkalkulationsprogramm mit Matrixfunktionen EasyStatics, Download: www.EasyStatics.ethz.ch FLASH, Download: www.bauinformatik.tugraz.at (in den bungen notwendig)

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Matrizenstatik

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2. Matrizenstatik2.1.

Ablauf einer Berechnung nach der Finite Element Methode

Die meisten heute verwendeten Computerprogramme zur Berechnung von baustatischen Problemen bauen auf der Methode der Finiten Elemente auf, so auch das in diesem Vorlesungsteil vorgestellten Programme EasyStatics und FLASH. Bei der Berechnung mit Finiten Elementen wird die zu berechnende Struktur bzw. das System in einzelne Elemente unterteilt. Bei Stabtragwerken werden Stbe, bei Flchentragwerken meist drei- oder viereckige Elemente verwendet. Diese Elemente sind ber Knoten (bei Stabelementen an den Enden, bei Flchenelementen mindestens in den Eckpunkten, oft auch an den Seitenmitten) miteinander verbunden, d.h. ber diese Knoten wird definiert, dass aneinander anschlieende Elemente die gleichen Verschiebungen haben mssen. Je feiner das Netz der Elemente ist, desto genauer ist das Endergebnis.

Abbildung 2.1 Dreiecks- und Viereckselement mit Knoten in den Ecken

Als nchstes wird unter Bercksichtigung der Knoten - eine Funktion fr die unbekannten Verschiebungen innerhalb des Elements angenommen. Der dritte Schritt besteht darin, die Elementsteifigkeitsmatrizen zu erstellen und aus diesen die globale Systemsteifigkeitsmatrix zu assemblieren. Das Gleichungssystem

(F ) = [K ] (U )mit F = globaler Lastvektor, K = Systemsteifigkeitsmatrix und

U = globaler Verschiebungsvektorkann anschlieend gelst und aus den Verschiebungen bzw. Dehnungen knnen die Spannungen berechnet werden. Bei so genannten hybriden Elementen, wie sie z.B. in FLASH verwendet werden, werden nicht nur fr die Verformungen, sondern auch fr die Spannungen Funktionen angenommen.

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Matrizenstatik

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2.2.

Matrixmethode

Theorie siehe auch [1], Kapitel 3, Statik nach Theorie 1. Ordnung und Anhang B, Herleitung von Elementmatrizen nach der kinematischen Methode. Fr die folgende Fachwerkbrcke sollen die Verschiebungen und Stabschnittkrfte nach der Theorie erster Ordnung berechnet werden. Beispiel 1a: Fachwerktrger

Abbildung 2.2 Fachwerktrger

Lnge Hhe Modell Lagerung Belastung Material

: 4 * 4 m = 16 m : zu optimieren; erste Annahme 2.4 m : Fachwerk ohne Knotenverdrehungen : Beidseitig fest aufgelegt, Variante rechts horizontal verschieblich : Eigengewicht plus 100 kN vertikale Einzellasten in den Knoten 2 , 3 und 4 : Stahl oder Holz; Erste Annahme: Stahlprofil IPE400 fr Gurt und Streben.

Konstruktion : gleiche Profilabmessungen fr die Gurte und Streben

2.3.

Modellbildung

Das obige Tragwerk wird in einzelne Fachwerkstbe zerlegt. Die Geometrie wird ber die X-Z Koordinaten der Knoten in einem Kartesischen Koordinatensystem festgelegt. Die Lage des Ursprungs des Koordinatensystems ist dabei nicht von Bedeutung. Im Beispiel 1a wird er in den Knoten 1 gelegt.

Z, W

X, U

Abbildung 2.3 Knoten und Elementnummerierung

Die Knoten 1 und 9 sind als Auflager zu modellieren.

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Matrizenstatik

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Als Unbekannte wird der globale Verschiebungsvektor {V(X,Z)} mit den Knotenverschiebungskomponenten {U1, W1}, {U2, W2} ....... {U9, W9} eingefhrt. (Globale Parameter sind mit Grossbuchstaben, lokale mit Kleinbuchstaben bezeichnet). Diese werden auch als Freiheitsgrade bezeichnet.

2.4.

Lokale Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren

Die Verschiebungsfunktionen (Shape Functions) Hu1...2 und Hw1...2 fr die lokalen Verschiebungen {v(x,z)} und Dehnungen (x,z) innerhalb des Gelenkstabes werden definiert, wobei =v ist.z, wu1 1 L 2 u2 1

=x/L1

x, u

Abbildung 2.4 Ansatzfunktionen fr Stabverschiebungen des Fachwerkstabes

HU1 = 1-

HU2 =

Die Ansatzfunktionen HW1,2 sind identisch HU1,2. Infolge der Gelenke wird bei einer virtuellen Verschiebung senkrecht zur Stabachse jedoch keine Arbeit geleistet. Die Verschiebungen innerhalb des Stabes sind dann wie folgt definiert:

{v( x)} = [HU 1, HU 2 ] dx

u1 u2

{v( x)} = [1 , ] u1 u2

u1 u2

{ ( x)} = v = dv = [HU 1, HU 2 ]

{ ( x)} = 1 , 1

u1 L L u2

Liegt der Stab nicht in der globalen X-Richtung, mssen die lokalen Verschiebungen v(x,z) in Funktionen der globalen Verschiebungen ausgedrckt werden, bzw. die im lokalen Koordinatensystem definierten Stabverschiebungen mssen ins globale System gedreht werden. Diese Rotationsmatrix definiert sich wie folgt:Z

Rotationsmatrix R = Rotation lokal -> globalz x

Rotationsmatrix RT= Rotation global -> lokal

X

RT =

cos sin -sin cos + Z * sin + Z * cos

x(X,Z) = X * cos z(X,Z) = X * (-sin )Abbildung 2.5 Einheitsvektoren der Rotationsmatrix

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Matrizenstatik

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2.4.1 Prinzip der virtuellen VerschiebungenEin Spannungszustand (x,y,z) ist im Gleichgewicht mit den usseren Krften, wenn fr beliebige, kinematisch zulssige Verschiebungszustnde v(x,y,z) die innere virtuelle Arbeit Ai* und die ussere virtuelle Arbeit Ae* gleich sind.

2.4.2 Innere virtuelle Arbeit* Aie =

Ve

{ }

T

* dV =

{ }

Ve

* { } [D] { } dV T

mit dem Hookschen Gesetz = D *

D = Elastizittsmatrix, d.h. beim Zug-Druckstab x = E * x ; E = Elastizittsmodul Setzt man die Ansatzfunktionen fr die Spannungen, bzw. Dehnungen ein so ergibt sich:

T T * Aie = {v} {H } [D ] {H } dV v* V e ten werden wie folgt gerechnet:

{}

Der Klammerausdruck wird als lokale Steifigkeitsmatrix [k] bezeichnet. Die Koeffizien2

EA 1 = k22 ; k11 = E dA dL = L L 0 AL

k12 = k21 = - k11

A = Querschnittsflche

Die Koeffizienten entsprechen den Auflagerkrften eines festeingespannten Stabes infolge einer Verschiebung des Lagers in der Stabachse u um den Betrag 1, bzw. stellen die Kraft dar, welche bentigt wird, um den Stab um 1 zu verschieben. Man sieht auch, dass infolge einer sogenannten Starrkrperverschiebung u1 = u2, keine Arbeit geleistet wird, d.h. keine Energie aufgenommen wird. Fr die Beschreibung der Steifigkeitsverhltnisse des Stabes in allgemeiner Lage mssen die virtuellen Verschiebungen als Funktionen der globalen Verschiebungsparameter aufgebracht werden, auch wenn sie im Spezialfall des horizontalen Stabes keine Steifigkeiten senkrecht zur Stabachse ergeben. EA L [K ] = [R]T 0 EA L 0 0 0 0 0 EA L 0 EA L 0 0 0 [R ] 0 0 U 1 W {V } = 1 U 2 W2

und0 0 cos sin 0 0 sin cos

wobei

cos sin [R]T = 0 0

sin cos 0 0

Beispiel 1a: Lokale und globale Steifigkeitsmatrize fr Stabtypen 1 bis 3

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Matrizenstatik

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Typ 1 = horizontale Stbe 1 bis 7; Typ 2 = Diagonalstbe 8,10,12,14; Typ 3 = Diagonalstbe 9,11,13,15

Globale Steifigkeitsmatrix Stabtyp 1

Abbildung 2.6 Bildung der lokalen Steifigkeitsmatrizen und Transformation ins globale System

2.4.3 ussere virtuelle Arbeitz, wu1 1 L 2 u2 1

=x/L1

x, u

HW1 = 1-

HW2 =

Gleichmssige Last pw ; als Eigengewicht (spezifisches Gewicht * Querschnittsflche pro Lngeneinheit) stets gegen die globale Z-Achse gerichtet, d.h. muss nicht in das globale System rotiert werden.pw1 pw2

* Aae =

Ve

{p}

T

T v* dV = {p} {H } dV v* V e

{}

{}

Der Klammerausdruck wird als lokaler Lastvektor [p] bezeichnet. Fr die gleichmssige Volumenlast (Eigengewicht) ergibt sich folgendes:

x x2 L pW 1 = 1 A pW dL = x A pW = pW A L 2L 0 2 0L

L

und

p2 = p1

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Matrizenstatik

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Handelt es sich bei den gleichmssigen Belastungen um lokale, zur lokalen Stabachse richtungsgebundene Lasten (z.B. ein senkrecht zum Stab gerichteter Winddruck oder eine parallel zum Stab verteilte Bremskraft), mssen die lokalen Lastanteile in den Knoten in die entsprechenden globalen Richtungen gedreht werden. Die Rotationsmatrix entspricht dabei derjenigen in Abbildung 2.5. Beispiel 1a: Globale Lastvektoren fr den Lastfall Eigengewicht

Abbildung 2.7 Bildung der lokalen Lastvektoren fr das Eigengewicht

In globaler Richtung fr den Stabtyp 1:

2.5.

Minimumprinzip der potentiellen Energie1 T {v} [k ] {v} 2

e = Ue + Ve = Minimum Ue ({v}) = = Elastisches Potential =

Im Tragwerk gespeicherte elastische Formnderungsenergie als Funk-

tion von kinematisch zulssigen Verschiebungen (definiert nur bei elastischen Tragwerken, d.h. Arbeit die zur Verformung des Tragwerks geleistet werden muss und die wieder gewonnen werden kann unter der Voraussetzung dass keine Wrme erzeugt wird. Darum potentiell). Ve ({v}) = = Potential der usseren Lasten = {v} {p}T

Negative Arbeit der usseren Lasten fr die Verschiebungen {v}; v ist

negativ, wenn Lasten und Verschiebungen die gleiche Richtung haben (Potentialverlust). Von allen kinematisch zulssigen Verschiebungszustnden minimalisiert der wirkliche Zustand (d.h. der Zustand, bei dem ussere Lasten und innere Spannungen im Gleichgewicht sind) die gesamte potentielle Energie = U + V des Systems* * e = Ue + Ve = Minimum (entspricht Aie - Aae = 0).

Fr den Fachwerkstab ergibt sich mit dem Hookschen Gestz die Normalkraft N = E*F* und der Dehnungs-Verschiebungsbeziehung = u :

Baustatik 2 Teil 3L

MatrizenstatikL u' L

Seite 13

1 Ue(u(x)) = dx N d = dx E F u 'du ' = E F u '2 dx 20 0 0 0 0Ve(u(x)) = dx p du = p u dx0 0 0

L

u

L

1 e(u(x)) = E F u '2 dx p u dx 20 0Um die unbekannte Funktion f(u(x)) zu finden, welche die Bedingung e =

L

L

f (u ( x)) dx = Minimum erfllt,0

L

fhrt man eine virtuelle Variation u* ein (Variationsproblem). Die Variation u* (bzw. allgemeiner {v*}) ist beliebig; sie muss nur kinematisch zulssig sein. e(u(x)) ist minimal, wenn fr beliebige u* (bzw. allgemeiner {v*}) folgendes gilt: e = e(u+u*) - e(u) = 0*

bzw.

e = e({v}+{v }) - e({v}) = 0 e =L 2 1 E F u '+u * ' u '2 dx u * p dx = 2 0 0 L l L

[(

)

]

l

=

1 E F u * '2 dx + E F u ' u * 'dx u * p dx 2 0 0 02=0 = Aie* = -Aae*

2.6.

Globale Steifigkeitsmatrize und globaler Lastvektor

Das Gesamtpotential setzt sich aus der Summe der Potentiale der einzelnen Elemente zusammen.

= e

1 T {V } [K ] {V } {V }T [P] 2

(Grossbuchstaben fr Beziehung am globalen Tragwerk, d.h. K = globale Steifigkeitsmatrix, P globaler Lastvektor, V = gesuchte globale Knotenverschiebungen). Aus der Bedingung dass ein Minimum darstellt ergibt sich:

= 0 d.h. {v}

[K ] {V } = {P} und daraus {V } = [K ]1 {P}

Die Inverse oder Kehrmatrix [K]-1 existiert nur, wenn die quadratische Matrix [K] regulr (nicht singulr) ist. Dies ist dann der Fall, wenn durch eine mindestens statisch bestimmte Lagerung des Tragwerks alle Starrkrperverschiebungen ausgeschlossen sind. Im Falle des Fachwerksbeispiels 1a muss dieses mindestens wie ein einfacher Balken gelagert werden,

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Matrizenstatik

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d.h. die Verschiebungen U1 und W1 im Knoten 1 und die vertikale Verschiebung W9 mssen gehalten werden. Dies geschieht entweder durch die Elimination der von einander abhngigen Gleichungen im globalen Gleichungssystem oder einfacher durch die Einfhrung einer sehr steifen Feder in Richtung der erwhnten Freiheitsgrade. Die globale Steifigkeitsmatrix [K] setzt sich aus den Anteilen der lokalen Matrizen zusammen, d.h. die lokalen Steifigkeitsanteile werden entsprechend der globalen Knotennummerierung an der Stelle des globalen Systems eingetragen, an welcher die Steifigkeit fr alle anschliessenden Elemente aufaddiert werden. Das Gleiche gilt fr den globalen Lastvektor. Knm = kij F n = fi bei Un = ui und Um = uj bei Un = uiUn Um

Un

kii

kij

Um

Kji

Kjj

Abbildung 2.8 Zusammensetzung des globalen Gleichungssystems

Fr die fest gehaltenen Verschiebungsfreiheitsgrade (z.B. U1 = W1) wird eine grosse Zahl (1.E20) zum Diagonalterm K11 und K22 addiert. Nach der Invertierung der globalen Matrix stehen an dieser Stelle nach der Multiplikation mit dem globalen Lastvektor, die fiktiven Auflagerverschiebungen. Werden diese mit der grossen Zahl multipliziert erhlt man die Auflagerkrfte (siehe Kapitel 4.12). Beispiel 1a: Assemblierung der globalen Steifigkeitsmatrix

Abbildung 2.9 Topologie (Zusammenhang zwischen Elementen und Knoten)

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Matrizenstatik

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Lokale Matrizen: Typ 1 Typ 2 Typ 3

z.B. Stab 5 von Knoten 2 nach 4 von Knoten 2 nach 3

z.B. Stab 8 von Knoten 1 nach 2

z.B. Stab 9

Invertierte Matrix

AuflagerbedingungenAbbildung 2.10 Einfgen der globalen Elementmatrizen ins globale Gleichungssystem

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Matrizenstatik

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Beispiel 1a: Assemblierung des globalen Lastvektors Lastanteile der Stbe 5, 8 und 9 fr Knoten 2: Stab 5, Typ 1:

Stab 8, Typ 2:

Stab 9, Typ 3: Konzentrierte Knotenlasten:

Abbildung 2.11 Einfgen der globalen Elementlastanteile in den globalen Lastvektor

2.7.

Lsung des Gleichungssystems und Bestimmung der Verschie-

bungenDie Inversion der Matrix [K] erfolgt in Finite Elemente Programmen direkt oder iterativ. Da die Gleichungssysteme bei praktischen Anwendungen sehr gross werden, sind verschiedene Techniken entwickelt worden, um die bliche Gausssche Elimination zu beschleunigen. Dabei macht man sich die Tatsache nutzbar, dass das Gleichungssystem symmetrisch ist und die Matrix nur schwach besetzt ist, d.h. sehr viele Nullen aufweist. Um den Speicherplatz zu optimieren und um mglichst wenige Eliminationsschritte durchfhren zu mssen, wird das Gleichungssystem, durch eine interne Umnummerierung der Knoten zuerst optimal konditioniert. Dabei geht es darum entweder ein mglichst schmales Band von Koeffizienten entlang der Diagonalen zu erhalten oder die Summe aller Nullkoeffizienten zu minimieren (optimale Bandweite oder optimale Umhllende der echten Koeffizienten). Programmintern wird vom Gleichungssystem nur die Diagonale plus eine Dreiecksmatrix gespeichert. Da bei grossen Problemen der Hauptspeicher fr eine Lsung in-core blicherweise nicht ausreicht, wird [K] in einzelne Blcke unterteilt, die bei Bedarf in den Speicher geladen werden. Der Benutzer von FE-Programmen braucht sich heute keine Gedanken zur angewendeten Technik zu machen, da alle Programme heute die gleichen effizienten Algorithmen verwenden.

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Matrizenstatik

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symmetrisch

Abbildung 2.12 Optimierungsstrategien fr die Konditionierung des globalen Gleichungssystems

Im gewhlten Beispiel 1a der Fachwerkbrcke sind die Knoten bereits optimal nummeriert. Die Lsung des Gleichungssystems in Excel erfolgt mit der Funktion =MINV(B92:S109)). Das Feld B92 enthlt das erste Element der Ursprungsmatrix, S109 das letzte. (Wichtig: fr die Matrixbefehle mssen in Excel bei der Eingabe die Tasten STRG, UMSCHALT und RETURN gleichzeitig gedrckt werden). Die Verschiebungen erhlt man durch die Multiplikation der Lastvektoren mit der in-

V vertierten Matrix: { } = [K ]

1

{P}.

Beispiel 1a: Verschiebungen der Fachwerkbrcke =MMULT(B115:S132;B138:D155)

Abbildung 2.13 Resultatvektor der globalen Verschiebungen

Die Auflagerkrfte rechnen sich aus der Multiplikation der Verschiebungen in den gehaltenen Knoten mit der eingefhrten Federsteifigkeit von 1.E20. Eine erste, einfache Verifikation der Resultate ergibt sich aus der berprfung der Symmetrie und der Vorzeichen. Addiert man die Verschiebungen zu den Knotenkoordinaten dazu erhlt man die verformte Lage des Systems.

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Matrizenstatik

Seite 18

Die Normalkrfte erhlt man durch die Bestimmung der relativen Knotenverschiebungen in der Stabachse und deren Multiplikation mit der Stabsteifigkeit. N = (L / L)*E*A = *E*A ; sigmax = N / A ; Knicklast Pcr = 2 * EIzz / L2

Die Stabkrfte fr die LastkombinationAbbildung 2.14 Berechnung der Elementschnittkrfte (Normalkraft)

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Statikprogramme

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3. Statikprogramme3.1.

Grundlagen3.1.1 Entwicklung

Die ersten allgemein anwendbaren Computerprogramme zur statischen Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente entstanden in den 1960er und 1970er Jahren. Einige wichtige Meilensteine: Programm STRESS (eine Problem orientierte Computersprache fr den Hochbau), Stabtragwerke, Massachusetts Institute of Technology, 1964. Programm SAP (Structural Analysis Program), Flchentragwerke, University of California, Berkley, 1970. Programm Solid-SAP, Volumenelemente, University of California, Berkley, 1971. Programm SAP-IV (Structural Analysis Program), statische und dynamische Berechnungen linearer Systeme, University of California, Berkley, 1974. Programm ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis), Lineare und nicht-lineare Berechnungen allgemeiner Tragwerke, University of California, Berkley, 1975. Programm NASTRAN (NASA Structural Analysis Program); spter von MacNealSchwendler Corporation als MSC-NASTRAN stetig weiterentwickeltes kommerzielles FE-Programm fr alle Anwendungen im Ingenieurwesen (Statik, Dynamik, Hydraulik, Strmungslehre, Wrmeberechnungen, Maschinenbau, Luftfahrt, usw.), seit 1963. ANSYS, CATIA und ABACUS sind mit NASTRAN vergleichbare, ein sehr weites Anwendungsgebiet abdeckende Programme. Programm FLASH (Finite Element Analysis of Shells), Allgemeine Stab- und Flchentragwerke, hybride Finite Elemente, ETH Zrich 1976. Programm STATIK, komfortables Stabstatikprogramm, ETH Zrich 1976. Programm FLOWERS, lineare und nicht-lineare Berechnungen, offene Programmierung, nur fr Forschungszwecke, ETH Zrich 1981. CUBUS Programme, populre Programme fr Stab- und Plattentragwerke mit integrierter Bemessung, hervorgegangen aus Programmen der ETH Zrich, in PASCAL programmiert. Programm BEFE (Boundary Elements Finite Elements), Randelemente, TU Graz, 1992. Programm RuckZuck, Stabtragwerkeprogramm fr den Einsatz in Praxis und Lehre, TU Graz, 1999. EasyStatics, Ebene Stabtragwerke, reines Didaktikprogramm fr den Statikunterricht, Browserbasiert in JAVA2 geschrieben, 2004.

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Statikprogramme

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Die obige Aufzhlung erhebt keinen Anspruch auf nur annhernde Vollstndigkeit. In vielen anderen Lndern entstanden, meistens an Hochschulen, Programme, welche spter auch in der Praxis Anwendung fanden. Trotz dem Aufkommen immer neuer und vor allem in der Ausgestaltung des Pre- und Postprocessings, immer komfortablerer Programme, haben sich einige Programme in der Praxis so etabliert, dass sie mittlerweile seit ber 30 Jahren im Gebrauch stehen. Da der Programmieraufwand fr die Erstellung von grsseren FE-Programmen im Bereich von Dutzenden von Mannjahren liegt, basieren neue Programme sehr oft auf einem lteren (meist in FORTRAN geschriebenen) Kern, um den herum in modernen Programmiersprachen erstellte Pre- und Postprozessoren die Modelleingabe und die Auswertung der Resultate bernehmen.

3.1.2 Grundstzliche Arbeitsweise von Computerstatik-ProgrammenPraktisch alle in der Praxis eingesetzten Computerprogramme fr die Tragwerksanalyse arbeiten nach der Methode der Finiten Elemente. Fr die Lsung von Aufgaben in unendlich ausgedehnten Medien (z.B. Grundbau, Felsmechanik, Tunnelbau) kommt auch die Methode der Randelemente zur Anwendung. In dieser Vorlesung konzentriert sich die Anwendung von Programmen auf Probleme des Hoch- und Brckenbaus. Die Grundzge der Methode der Finiten Elemente sind im Kapitel 2 dargestellt worden. Die Berechnung eines Tragwerks mit einem Statikprogramm luft nach folgendem Schema ab:

Baustatik 2 Teil 3 Manuelle Eingabe :

Statikprogramme Grafisch interaktive Eingabe:

Seite 21 Programmttigkeit:

Wahl des statischen Berechnungsmodells (Stabtragwerk, Platte, Scheibe, Schale, Kontinuum usw.)

Aufteilung des idealisierten Tragwerks in Elemente der Elementbibliothek

Grafische Eingabe der Tragwerksgeometrie oder bernahme aus einem CAD-System

Einlesen oder bernehmen der Benutzereingaben. Ablage aller Eingabedaten in internen Tabellen.

Eingabe der Koordinaten der Knotenpunkte und der Topologie (Element - Knoten - Beziehung)

Automatische oder benutzergefhrte Elementierung, Optimierung der Elementmasche

Definition der Elementeigenschaften (Materialwerte, Dicken, Exzentrizitten, Gelenke, Massen, usw.)

Definition der Elementeigenschaften (Materialwerte, Dicken, Exzentrizitten, Gelenke, Massen, usw.)

Plausibilittsprfungen.

Definition der Auflagerbedingungen und der Zwangsbedingungen zwischen Knotenfreiheitsgraden

Definition der Auflagerbedingungen und der Zwangsbedingungen zwischen Knotenfreiheitsgraden

Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren. Optimierung des Gleichungssystems. Erstellen des statischen Berichts fr die Annahmen der Berechnung

Definition der Lastflle und Belastungen (Einzellasten, Verteilte Lasten, Volumenlasten, Temperatur...)

Definition der Lastflle und Belastungen (Einzellasten, Verteilte Lasten, Volumenlasten, Temperatur...)

Erzeugung von Zeichnungen der Elementmasche mit Elementeigenschaften und der Belastungen

Automatische Erzeugung eines statischen Berichts (Berechnungsannahmen, Geometrie, usw.)

Aufstellen des globalen Gleichungssystems. Lsung des Gleichungssystems (Inversion der Steifigkeitsmatrix und Multiplikation mit den Lastvektoren -> Deformationen in den Knoten). Bei nicht-linearen Berechnungen: Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen und Iteration ber die Materialeigenschaften. Lsung des Eigenwertproblems bei dynamischen und Stabilittsberechnungen

Definition von Lastfallkombinationen und Grenzwerten, Spezifikation der numerischen und grafischen Ausgaben (Verformungen, Auflagerkrfte, Schnittkrfte, interne Spannungen, Eigenwerte, Bemessungen, Nachweise, usw.) fr den statischen Bericht.

Interaktive Auswertung von Lastfallkombinationen und Grenzwerten der Verformungen, Auflagerkrfte, Schnittkrfte, internen Spannungen, Eigenwerte, Bemessungen, Nachweise, usw. automatische Erzeugung des statischen Berichts.

Berechnung aller Schnittkrfte und deren berlagerung. Bemessungen.

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Statikprogramme

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3.2.

Das Programm EasyStatics

Das Computerprogramm EasyStatics wurde an der ETH Zrich fr den Einsatz im Baustatikunterricht geschrieben. Es ist nicht fr den Einsatz in der Praxis ausgelegt, sondern erlaubt die Real-Time Simulation von ebenen Stabtragwerken fr einzelne Lastflle, allenfalls berlagert mit dem Eigengewicht. Weitere Eigenschaften: Berechnung nach Theorie 2. Ordnung Stabilitt Eigenwertberechnung Plastizitt Einflusslinien Spannungsberechnungen Fachwerkanalogie. Die Materialeigenschaften, Auflagerbedingungen und Lasten sind frei whlbar. Die Bedienung des Programms erfolgt intuitiv ber eine grafische Benutzeroberflche. Die Berechnung erfolgt automatisch und so schnell, dass die Auswirkungen von Vernderungen am Tragwerk, sowohl fr die Verformungen, wie fr die Schnittkrfte real-time verfolgt werden knnen.

Menleiste Zustandsnavigation Berechnungsart Ausgabeoptionen

Schaltflchen Zur Modellbildung

Koordinatensystem Koordinaten Statuszeile

Abbildung 3.1 Berechnung der Elementschnittkrfte (Normalkraft)

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Abbildung 3.2 Die Schaltflchen von EasyStatics

Eine detaillierte Beschreibung ist in [2] enthalten und kann ber die Homepage des Instituts fr Bauinformatik ( www.bauinformatik.tugraz.at ) mit dem Programm vom Server der ETH Zrich herunter geladen werden. Die Theoretischen Grundlagen, welche ber die im Kapitel 2 hergeleiteten hinausgehen finden sich in [1].

3.3.

Das Computerprogramm FLASH (Finite Element Analysis of3.3.1 Anwendungsbereich

Shells)

Die Anwendung des Flchen- und Stabtragwerkprogrammes FLASH (Finite ELement Analysis of SHells) erfordert keine Vorkenntnisse in der Computeranwendung, setzt jedoch ein fundiertes Wissen ber das Tragverhalten von elastischen Tragwerken voraus. FLASH berechnet nach der Methode der finiten Elemente homogene, linear-elastische Schalen Rotationssymmetrische dnne und dicke Schalen Faltwerke Platten (nach der Theorie von Kirchhoff oder Reissner) Scheiben (ebener Spannungs- oder Verzerrungszustand) Rumliche Stabtragwerke

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Ebene Stabtragwerke sowie Trgerroste (inkl. Fliessgelenktheorie) unter allgemeinen Beanspruchungen nach Theorie 1. und 2. Ordnung. Form, Lagerung und Belastung des Tragwerks drfen bei einer Berechnung mit FLASH, wie blich bei Finite Element Programmen, beliebig sein. Verschiedene Mglichkeiten erweitern den Anwendungsbereich von FLASH gegenber herkmmlichen Programmen: Die mgliche Bercksichtigung des Querkrafteinflusses auf die Verformungen von Platten und Schalen erlaubt die Berechnung "dicker" Flchentragwerke (inkl. Sandwichstrukturen). Flchenlagerungen (Fundamentplatten, elastisch gebettete Schalen, elastisch senkbare und unsenkbare Sttzenkpfe etc.) knnen wirklichkeitsnah erfasst werden (auch ohne Zugkrfte). Aussteifungen knnen durch die Einfhrung von geraden, zentrisch oder exzentrisch angeschlossenen Stabelementen bercksichtigt werden. Rippenplatten lassen sich auch bei exzentrisch angeschlossenen Stben als ebenes Problem behandeln. Elementweise konstante linear-elastische isotrope oder orthotrope Materialeigenschaften knnen bercksichtigt werden. Die Einfhrung von linearen Bindungsgleichungen (Abhngigkeiten zwischen den Knotenfreiheitsgraden) erlaubt die wirklichkeitsgetreue Modellierung von Fugen, Exzentrizitten, sehr steifen Tragwerksteilen etc., sowie die Erfassung einer schiefsymmetrischen Hlfte. Neben Einzellasten, Volumenlasten und allgemeinen Linien- und Flchenlasten in allen Richtungen sind vorgeschriebene Auflagerverschiebungen und initiale Dehnungen (infolge Temperaturnderung, Schwinden usw.) als Lastflle erfassbar. Als weitere Lastarten knnen Vorspannung, Fliehkrfte und Einflussfelder behandelt werden. Die Resultatausgabe ist ganz auf eine bemessungsfreundliche Weiterverwendung der Daten ausgerichtet. Je nach Verwendungszweck knnen die Resultate ausgedruckt und/oder gezeichnet werden. Fr einzelne Lastflle und Kombinationen von Lastfllen sowie fr Belastungen fr Grenzwerte, welche aus der ungnstigsten Superposition verschiedener Belastungsgruppen resultieren, erhlt man: Verschiebungen und Auflagerreaktionen in den Knoten Auflagerreaktionen elastisch gesttzter Elemente Momente aus Plattenwirkung Spannungen aus Scheiben- bzw. Membranwirkung Hauptspannungen und Hauptmomente Armierungsmomente fr die Dimensionierung der Armierung

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Armierungsgehalte von Stahlbetonflchentragwerken Stabschnittkrfte Rand- und Vergleichsspannungen Detaillierte Spannungsberechnungen von Stahlbauprofilen (Walzprofilen) Formnderungs- und Verzerrungsenergien Einflussflchen und Einflusslinien Eigenwerte und Eigenvektoren der Schwingungs- und Stabilittsberechnungen Integrale Beanspruchungen in verschiedenen Tragwerksschnitten fr einzelne Lastflle oder Lastkombinationen. Mit dem auf einer linearisierten Plastizittstheorie basierenden Ersatzscheibenverfahren kann die Armierung fr Stahlbetonscheiben, -platten und -schalen, fr beliebige nicht orthogonale Bewehrungsrichtungen automatisch bestimmt und gezeichnet werden. Die Eigenwertberechnungen der Dynamik und Stabilitt knnen sowohl am belasteten (nach Theorie 2. Ordnung) als auch am unbelasteten System erfolgen. Die verwendeten Elementmodelle erlauben auch extreme Seitenverhltnisse (1:5 und mehr), ohne dass sich ein wesentlicher Genauigkeitsverlust ergibt.

3.3.2 Berechnungsmethode und ModellbildungFLASH arbeitet mit dreieckigen und viereckigen ebenen Flchenelementen sowie mit prismatischen Stabelementen. Vier verschiedene Tragwerkstypen sind mglich. Diese unterscheiden sich durch ihre Tragwirkung bzw. durch die Art der verwendeten Elemente und durch die in den Knoten als Unbekannte eingefhrten Verschiebungsparameter (siehe auch Abbildungen 3.3 - 3.5). SCHEIBEN Scheiben sind definiert als in ihrer Ebene belastete ebene "dnne" Flchentragwerke (ebener Spannungszustand) oder unendlich "dicke" dreidimensionale Kontinua, bei denen aus Symmetriegrnden nur eine Scheibe einheitlicher Dicke betrachtet werden kann (ebener Verzerrungszustand). Als Knotenverschiebungsparameter werden zwei Verschiebungen, u und v in Scheibenebene, sowie eine um die Z-Achse drehende Rotation Rz eingefhrt. PLATTEN Platten sind definiert als senkrecht zu ihrer Ebene belastete ebene Flchentragwerke, mit den Verschiebungsfreiheitsgraden w (Plattendurchbiegung), sowie den Rotationen Rx und Ry. SCHALEN Schalen sind definiert als beliebig geformte rumliche Flchentragwerke, wobei die Scheiben- und Plattenwirkung in jedem Element kombiniert auftreten. Als Knotenverschie-

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bungsparameter werden die drei Verschiebungen u, v, w und die drei Rotationen Rx, Ry, Rz eingefhrt. ROTATIONSSYMMETRISCHE SCHALEN Rotationssymmetrische dnne Schalen werden wie die allgemeinen Schalenprobleme behandelt (6 Freiheitsgrade pro Knoten). Die Bedingung fr die Rotationssymmetrie wird ber die Randbedingungen in den Knoten eingefhrt. Falls beispielsweise Z die Rotationsachse der Schale ist und X in radialer Richtung liegt, lauten die Randbedingungen v = Rx = Rz = 0. Rotationssymmetrische dicke Schalen weisen die gleichen Freiheitsgrade wie die Scheibenelemente auf. Die globale Y-Achse stellt die Rotationsachse dar. Ein Element hat man sich als Torus vorzustellen. Die Dateneingabe ist im wesentlichen gleich wie fr die Scheibenprobleme, lediglich die Lasten und Reaktionskrfte sind etwas anders definiert. Man beachte, dass kein Knoten auf der Rotationsachse (x = 0.) liegen darf. Fr derartige Punkte gibt man einen kleinen Wert fr die x-Koordinate an und fhrt die Symmetriebedingung (u = 0) ein. In Kombination mit den Flchenelementen knnen fr alle Tragwerkstypen prismatische Stabelemente verwendet werden. Treten nur solche auf, knnen als "Scheibe", "Platte" bzw. "Schale" auch ebene Stabtragwerke, Trgerroste bzw. rumliche Stabtragwerke berechnet werden. Die Bestimmung der Verformungseigenschaften der Flchenelemente, d.h. die numerische Berechnung der Elementkoeffizienten, aus denen dann die globalen Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, geschieht in FLASH nach dem so genannten "hybriden" Verfahren. Die Eigenwertprobleme werden mit "Subspace"-Iteration gelst. Die Bedeutung der gefundenen Eigenwerte und Eigenvektoren, ebenso wie die Behandlung von Problemen nach Theorie 2. Ordnung wird im Abschnitt ber Belastungen etc. erlutert.

3.3.3 Problemvorbereitung fr die numerische DateneingabeZur Beschreibung des in finite Elemente unterteilten Tragwerks sind bei FLASH zwei Nummerierungssysteme einzufhren: - Knotennummern - Elementnummern ( 1...k...nkn ) ( 1...e...nel )

Fakultativ knnen zustzlich die Elemente mit einer Typnummer beschrieben werden, wobei Elemente gleicher Dicke, Form, Lage im Raum, Materialeigenschaften, Exzentrizitten, Gelenken und im Falle von Berechnungen nach Theorie 2. Ordnung, gleicher Normalkrfte, dieselbe Typnummer zugeordnet erhalten. Die Verwendung mglichst wenig verschiedener Typen reduziert den Rechenaufwand und Speicherbedarf unter Umstnden sehr wesentlich. - Typnummern ( 1...t...net )

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Die Geometrie des Tragwerks wird im Normalfall durch die Angabe der Koordinaten aller Knotenpunkte in einem beliebigen rechtshndigen kartesischen Koordinatensystem, dem so genannten globalen System, festgelegt (siehe z.B. Bilder 3.3 3.5). Bei Scheiben und Platten beziehen sich alle Ein- und Ausgabedaten auf dieses globale Koordinatensystem. Bei beliebig im Raum liegenden Schalenelementen wird zustzlich ein elementeigenes lokales Koordinatensystem definiert. In besonderen Fllen ist es sinnvoll, die Geometrie des Tragwerks oder von Teilen des Tragwerks in neuen Koordinatensystemen zu formulieren. FLASH untersttzt u.a. fr diesen Zweck die Verwendung von zustzlichen rechtwinklig-kartesischen, zylindrischen und sphrischen Koordinatensystemen. Scheibentragwerke und rotationssymmetrische dicke Schalen

YY Z

Rz v

u

X

Z X

Freiheitsgrade : Verschiebungen Rotation u, v Rz

Abbildung 3.3 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade fr Scheiben

Plattentragwerkew Y Z Ry

Rx

X

Freiheitsgrade : Verschiebung w Rotationen Rx, Ry

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Abbildung 3.4 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade fr Platten

Schalentragwerke

Z YRz Z Y Ry Rx w v

u

X

X

Freiheitsgrade : Verschiebungen Rotationen u, v, w Rx, Ry, Rz

Abbildung 3.5 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade fr Schalen und Faltwerke

Die fr das Lsen des Gleichungssystems wichtige Knotennummerierung kann durch das Programm optimiert werden. Dies erlaubt dem Bentzer, eine fr Ein- und Ausgabe praktische Knotennummerierung zu whlen, ohne auf eine minimale Nummerndifferenz Rcksicht nehmen zu mssen. Zusammenfassend ist bei einer Berechnung mit dem Programm FLASH folgendes zu spezifizieren: Tragwerkstyp (Scheibe, Platte, Schale oder Rotationssymmetrisch) sowie die Anzahl der Knoten, Elemente und eventuell Elementtypen Knotenkoordinaten Material- und sonstige Eigenschaften aller Elemente oder Elementtypen Knotennummernzuordnung fr alle Elemente (Topologie) Typenzuordnung fr alle Elemente, falls Typen spezifiziert Inaktive Elemente Auflagerbedingungen Lasten Gewnschte Resultate

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3.3.4 Numerische DateneingabeDie numerische Dateneingabe ist in einem so genannten Syntaxdiagramm beschrieben. Dies erlaubt eine elegante nicht-formatgebundene Problembeschreibung und enthlt eine Vielzahl von Generierungsmglichkeiten fr die Geometrie, Topologie und die Lasten. Syntaxdiagramme werden in der Informatik oft eingesetzt, um Konventionen festzulegen. Der Vorteil einer numerischen Eingabe bei FE-Programmen liegt darin, dass nach einer einmal erfolgten grafischen Modellierung oft nur noch einzelne Parameter verndert werden mssen und damit viel Zeit eingespart werden kann. Im Statikunterricht liegt der Vorteil in einer leicht lesbaren Eingabebeschreibung der bungsbeispiele. Folgende Konventionen gelten (siehe auch [3]): Beim Zusammenstellen der Eingabe ist strikte der vertikalen Linie (bzw. deren Abzweigungen) in Pfeilrichtung zu folgen. Jeder Querbalken auf dieser Linie entspricht einer Eingabeanweisung. Eine solche entspricht einer Eingabezeile (max. 130 Zeichen). Eingabeanweisungen setzen sich aus Wrtern (die in den Eingabeschemas gross geschrieben sind), aus Zahlenwerten (deren Symbole klein geschrieben sind) und aus Spezialzeichen zusammen. Wrter, Zahlen und Spezialzeichen sind durch wenigstens eine Leerstelle voneinander zu trennen. Bei den Wrtern ist nur der erste Buchstabe relevant. Zahlenwerte sind entweder im Integer-Format (ohne Dezimalpunkt) oder im Real-Format (immer mit Dezimalpunkt, ev. im FORTRAN E-Format) einzugeben, je nachdem ob der einzugebende Zahlenwert nur ganzzahlig sein kann oder nicht. Dabei ist Vorsicht geboten, da das Zahlenformat (mit oder ohne Dezimalpunkt) eine zur Interpretation der Eingabeanweisung oft notwendige Information darstellt.

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Abbildung 3.6 Syntaxdiagramm der Knotenkoordinaten-Eingabe

Weiter gelten folgende Regeln : * , Ein Stern in der ersten Kolonne einer Anweisung trennt die verschiedenen Befehlsgruppen. Ein Komma bedeutet, dass die Eingabeanweisung zu Ende ist. Was auf der gleichen Zeile noch folgt, wird nicht interpretiert. Bemerkungen knnen damit hinzugefgt werden. Mit einem Komma knnen analog ganze Kommentarzeilen bzw. Leerzeilen eingefgt werden. / $ () {i} Ein Schrgstrich bedeutet, dass die gleiche Anweisung auf der nchsten Karte bzw. Zeile noch fortgesetzt wird. Damit sind beliebig lange Eingabeanweisungen mglich. Ein Dollarzeichen bedeutet, dass die Anweisung zu Ende ist und dass auf der gleichen Karte bzw. Zeile eine neue Anweisung folgt. Die in den Eingabeschemas angegebenen Ausdrcke entsprechen nicht obligatorischen Eingabedaten. Klammern drfen in Eingabeanweisungen nicht vorkommen. Eine Integer-Grsse zwischen geschweiften Klammern stellt die Abkrzung einer Integer-Liste dar (z.B. eine Liste von Knotennummern k oder von Elementnummern e). Die syntaktische Struktur von Integer-Listen ist aus folgendem Schema ersichtlich:

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Abbildung 3.7 Syntaxdiagramm fr das Generieren von Listen

nr

=

Nummer (Knoten-, Element- oder Typnummer) m n d dm dn = = = = = Anzahl Schritte in m-Richtung (m > 1) Anzahl Schritte in n-Richtung (n > 1) Nummerndifferenz (falls weggelassen d=1) Nummerndifferenz in m-Richtung Nummerndifferenz in n-Richtung

[]

In eckigen Klammern stehende Ausdrcke brauchen nur einmal eingegeben zu werden und gelten darauf bis zu einer eventuellen Neudefinition. Gebrochene runde Klammern schliessen Ausdrcke ein, die je nach Tragwerkstyp (Scheiben, Platten, Schalen) nicht eingegeben werden drfen. Das Programm rechnet, ohne auf physikalische Dimensionen Rcksicht zu nehmen.

Die Lngen- und Kraftdimensionen mssen demzufolge fr die gesamte Eingabe einheitlich gewhlt werden. Alle Winkel verstehen sich in Altgrad (90-Grad Teilung). In einer sehr ausfhrlichen Schreibweise sieht die numerische Eingabe fr das Fachwerkbeispiel 1a wie folgt aus:BEGINN FACHWERKBRUECKE EBENES STABTRAGWERK 9 15 KNOTEN 1 0. 0. PLUS 4. KNOTEN 3 BIS 9 SCHRITT 2 KNOTEN 2 2. 2.4 PLUS 4. KNOTEN 4 BIS 8 SCHRITT 2 * QUERSCHNITTSBERECHNUNGEN * MATERIALEIGENSCHAFTEN STAB 2.1E8 .8E8 0.008068 1.E20 0.0002188 ELEMENTE 1 BIS 15 STAB ANFANG GELENK ROTATION Z ENDE GELENK ROTATION Z ELEMENTE 1 BIS 15 * TOPOLOGIE STAB 1 KNOTEN 1 3 0. PLUS 2 2 ELEMENTE 2 BIS 4 STAB 5 KNOTEN 2 4 0. PLUS 2 2 ELEMENTE 6 7 STAB 8 KNOTEN 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENTE 9 BIS 15 * TYPZUWEISUNG * AUFLAGERBEDINGUNGEN NICHT-FREI NICHT-FREI NICHT-FREI KNOTEN 1 FREI NICHT-FREI NICHT-FREI KNOTEN 9 FREI FREI NICHT-FREI KNOTEN 2 BIS 8 * MASCHENZEICHNUNG ZEICHNUNG MIT KNOTENNUMMERN MIT ELEMENTNUMMERN SCHRIFT 0.4 MASSSTAB 50. * KNOTENNUMMERN OPTIMIEREN OPTIMIERE * VORSPANNUMG * BELASTUNGEN

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LASTFALL 1 EIGENGEWICHT VOLUMENLAST 0. -78. LASTFALL 2 KNOTENLASTEN KNOTENLAST 0. -100. KNOTEN 3 5 7 * ZEICHNUNG DER BELASTUNGEN BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 1 BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 2 * NUMERISCHE RESULTATE LASTFALL 1 DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STABKRAEFTEN LASTFALL 2 $ KOMBINATION 1 1. 2 1. * ZEICHNUNG DER VERFORMUNGEN UND SCHNITTKRAFTUEBERLAGERUNGEN KOMBINATION 1001 DEFORMATION MASCHE MASSSTAB 50. AUSLENKUNG 50. KOMBINATION 1001 $ GRENZWERT STAB NORMALKRAFT ZEICHNE MASSSTAB 50. * ENDE Abbildung 3.8 Eingabebefehle fr das Beispiel 1a

3.3.5 Interaktive Grafische EingabeDer Pre- und Postprocessor WIN-FLASH ermglicht die interaktiv-grafische Ein- und Ausgabe. Die Maschengenerierung kann vom Benutzer gesteuert werden, verluft aber weitgehend automatisch. Die detaillierte Beschreibung findet sich im Benutzerhandbuch [4] und in der Beispielsammlung [5].

Abbildung 3.9 Grafische Eingabe mit WIN-FLASH

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Statikprogramme

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Abbildung 3.10 Grafische Ausgabe mit WIN-FLASH

3.3.6 Theoretische Grundlagen von FLASHDie Scheiben-, Platten- und Schalenelemente verwenden so genannte hybride finite Elementanstze. Die Besonderheit besteht darin, dass nicht nur fr die unbekannten Verschiebungen entlang der Elementrnder Ansatzfunktionen gewhlt werden, sondern gleichzeitig auch fr die Schnittgrssen im Inneren der Elemente. Der Benutzer kann den Grad der Ansatzfunktionen selbst festlegen oder aber die Default-Annahmen bernehmen. Die Herleitung der lokalen Elementmatrizen erfolgt nach dem Prinzip der komplementren Energie. Der Vorteil in der direkten Annahme der Schnittkrfte im Inneren der Elemente besteht darin, dass diese nicht aus den Verschiebungen abgeleitet werden mssen und deshalb in vielen Fllen rascher zur richtigen Lsung konvergieren. Bei Platten kann z.B. auch die Querkraft direkt ber die Ansatzfunktionen bestimmt werden. Im weiteren ist es einfacher, Verschiebungsfunktionen zu formulieren, welche nur fr die Elementrnder gelten. Der Nachteil liegt darin, dass die Schnittkrfte entlang der Elementrnder Sprnge aufweisen. Fr Stabtragwerke werden die Elementmatrizen direkt bestimmt, wobei der Einfluss der Schubverformung bei Stben mitbercksichtigt werden kann. Die Ableitung der Theorie der hybriden finiten Elemente ist nicht Ziel dieser Vorlesung. Einige der Besonderheiten werden an Hand der folgenden Beispiele erlutert. Ansonsten wird auf das Theoriehandbuch [6] verwiesen. Stab- und Flchenelemente knnen gemischt verwendet werden, da die gleichen Ansatzfunktionen verwendet werden.

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Statikprogramme

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Abbildung 3.11 Struktur mit Stab- und Flchenelementen

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Stabtragwerke

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4. StabtragwerkeIm Folgenden werden einige Annahmen der Stabstatik anhand von Beispielen untersucht. Die meisten gewhlten Beispiele sind ebene Tragwerke, da die bersichtlichkeit dabei grsser ist. Die Aussagen gelten aber auch fr rumliche Stabtragwerke.

4.1.

Fachwerkmodell

Die Modellierung eines Tragwerks als Fachwerk stellt fr die Handrechnung eine bedeutsame Vereinfachung dar. Da in der praktischen Ausfhrung die Knoten eines Tragwerkes nur in Ausnahmefllen (Gelenke, Auflager) wirklich ohne Rotationssteifigkeit ausgebildet werden knnen, stellt sich die Frage nach dem Einfluss dieser Vereinfachung auf das Verformungsverhalten und die Schnittkrfte. Beispiel 1b: Fachwerkbrcke mit Trgerhhe von 2.0 m

Abbildung 4.1 Verformungen des Fachwerks mit Gelenken fr Lastkombination Eigengewicht + Einzellasten

4.2.

Einfluss der Knotenbiegesteifigkeit (Rahmenmodell)

Der Vergleich mit einer Rahmenberechnung des Beispiels 1b zeigt, dass die Vereinfachung keinen wesentlichen Einfluss auf die Resultate hat: Beispiel 1c: Fachwerkbrcke mit Trgerhhe von 2.0 m biegesteif gerechnet

Abbildung 4.2 Verformungen des Fachwerks ohne Gelenke als Rahmen nach Theorie erster Ordnung gerechnet

Erwartungsgemss wird die Verformung durch die zustzliche Steifigkeit des Tragwerks etwas kleiner. Die Normalkrfte reduzieren sich im Obergurt, da ein Teil der Last nun auch ber die Biegung und Querkrfte abgetragen wird.

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Stabtragwerke

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Schnittkraft N max Obergurt N max Untergurt M max Obergurt M max Untergurt

Fachwerkmodell -433.1 381 1.25 (aus Eigengewicht) 1.25

Rahmenmodell - 415.5 366.4 12.8 13.6

Abbildung 4.3 Schnittkraftvergleich zwischen Fachwerk- und Rahmenmodell

Wie mit EasyStatics leicht gezeigt werden kann, bringt eine Berechnung nach Theorie 2. Ordnung beim Beispiel 1 nichts. Die initialen Normalkrfte sind zu klein und die Ablenkkrfte infolge der kleinen Verschiebungen vernachlssigbar (siehe [1], Kapitel 5.2).100 Kn 100 Kn

2m 150 Kn 150 Kn

Abbildung 4.4 Einfache Handkontrolle (ohne Eigengewicht), Momentengleichgewicht in Mitte des Untergurtes

4.3.

Einfluss der Lagerungsbedingungen

Whrend die Einflsse der internen Zwngungen infolge steifer Knotenausbildungen, sowie der Einfluss der Theorie 2. Ordnung gering ausfallen, kommt der Ausbildung der Lagerungsbedingungen grosse Bedeutung zu. Wird beim Fachwerkbeispiel 1 auch das rechte Lager in horizontaler Richtung gehalten, so verndert sich das Tragverhalten grundstzlich. Beispiel 1d: Fachwerkbrcke mit beidseitig horizontaler fester Lagerung

Abbildung 4.5: Beidseitig horizontal gelagerte Fachwerkbrcke

Die maximale Durchbiegung verringert sich 32% und die Zugkrfte im Untergurt reduzieren sich von maximal 381 kN auf 108.6 kN, d.h. um ber 70%. Die Aussage ist trivial, aber viele Bauschden entstehen durch eine falsche Einschtzung der Lagerungsbedingungen. Wrde im obigen Beispiel der Untergurt auf die ausgewiesenen Normalkrfte dimensioniert, so wre ein Versagen, bei einer Auflagerverschiebung wahrscheinlich.

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Stabtragwerke

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Beispiel 1e: Fachwerkbrcke mit Auflagerverschiebung von 2 mm

Abbildung 4.6 Horizontale Auflagerverschiebung von 2 mm am rechten Auflager.

Eine Verschiebung von 2 mm in horizontaler Richtung lsst die Normalkraft im Untergurt bereits fast um den Faktor 3 anwachsen!

4.4.

Einfluss initialer Dehnungen

Die Zwngungen aus der statisch unbestimmten Lagerung wirken sich erst recht bei initialen Dehnungen stark auf die Schnittkrfte aus. Erwrmt man die obige Struktur um 30 Grad Celsius, so erhhen sich die Normalkrfte um ein Mehrfaches: Temperaturausdehnungskoeffizient von Stahl = 12 * 10-6 -> o = 360 * 10-6 Beispiel 1f: Fachwerkbrcke unter TemperaturbelastungLASTFALL TEMPERATUR T 360.E-6 E 1 BIS 15 * ZEICHNUNG DER BELASTUNGEN . BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 3 * NUMERISCHE RESULTATE . LASTFALL 2 $ LASTFALL 3 $ KOMBINATION 1 1. 2 1. 3 1.

Abbildung 4.7 Initiale Dehnung (zustzliche FLASH-Eingabe und Resultate)

Initiale Dehnungen treten nicht nur aus externen Einflssen (Temperatur, Schwinden, usw.) auf, sondern werden oftmals in statischen Berechnungen zur Modellierung von Vorspannkrften oder bei berhhungsberechnungen eingefhrt. Das nachfolgende Beispiel aus der Praxis zeigt die falsche - Modellierung eines Fussgngersteges als rumliches Stabtragwerk.

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Stabtragwerke

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4.5.

Einfluss der Querkraftverformung bei Stabtragwerken

Die lokalen Verschiebungsgren des Biegestabes sind in Abbildung 4.8 dargestellt.z, ww1 Ry1 1 L u1 2 Ry2 w2 u2

x, u

Abbildung 4.8 Lokale Verschiebungsgren des Biegestabes (Vorzeichen Konvention)

Die Verschiebungsfunktionen 3. Grades fr die Stabverformung infolge der Einheitsverschiebungen w1 und w2, sowie der Einheitsverdrehungen Ry1 und Ry2 finden sich in [1], Seite 86. Die vollstndige lokale Steifigkeitsmatrix des ebenen Biegestabes sieht ohne Schubverformung wie folgt aus:

EA L 0 0 E A L 0 0

0 12 E I yy L3 6 E I yy L2 0 12 E I yy L3 6 E I yy L2

0 6 E I yy L2 4 E I yy L 0 6 E I yy L2 2 E I yy L

EA L 0 0

0 12 E I yy L3 6 E I yy L2 0 12 E I yy L3 6 E I yy L2

EA L 0 0

6 E I yy L2 2 E I yy L 0 6 E I yy L2 4 E I yy L 0

u1 w1 Ry1 u2 w2 Ry 2

Abbildung 4.9 Lokale Steifigkeitsmatrix des ebenen Biegestabes

Die kinematischen Annahmen der Stabstatik fr die reine Biegung, dass die Querschnittsform erhalten bleibt, der Querschnitt eben und senkrecht zur Stabachse bleiben, verletzen jedoch das Gleichgewicht, da damit keine Schubverformung mglich ist ( = 0.) Damit wre auch = G = 0 somit auch mit G =

E 2 (1 + )

( G = Schubmodul ) und

V = dA = 0F

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Stabtragwerke

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V

Abbildung 4.10 Reine Schubverformung infolge einer Querkraft V

Die reine Schubsteifigkeit fr eine Einheitsverschiebung senkrecht zur Stabachse betrgt:

k wV =

G A wobei L

= Faktor fr die reduzierte Schubflche5 6

beim Rechteckquerschnitt =

bei T- und Doppel-T-Profilen = ~ ASteg / ATotal Im Allgemeinen ist der Schubanteil sehr klein. Bei der Durchbiegung des einfachen Trgers unter gleichmssig verteilter Belastung macht der Einfluss weniger als 2% aus. Im Stahlbau, insbesondere bei I-Profilen mit dnnen Stegen, kann der Einfluss jedoch betrchtlich sein. Der Einfluss der Schubverformung kann in der Stabstatik nicht direkt in der Steifigkeitsmatrix bercksichtigt werden. Er muss ber die lokale Flexibilittsmatrix berechnet werden, d.h. man erteilt einem fiktiven passend gewhlten Gleichgewichtszustand eine virtuelle Verschiebung, die identisch ist mit der wirklichen Verformung des Systems. Die Arbeitsgleichung Ai Aa = 0 liefert direkt die entsprechenden Verschiebungen des Systems. Durch eine Gausssche Elimination der Flexibilittsmatrix erhlt man dann wieder die lokale Steifigkeitsmatrix. Diese wird, wie in Kapitel 2.4 gezeigt, im globalen System eingesetzt, das darauf invertiert werden kann, um die globalen Verschiebungen zu erhalten. Das Vorgehen entspricht exakt demjenigen bei so genannten hybriden Finiten Elementen, die z.B. in FLASH fr die Modellierung von Scheiben, Platten und Schalen verwendet werden.

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Stabtragwerke

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11 12 21 22 : : i1 i 2 : : n1 n 2

1 j 2 j : ij : nj

1n F1 v1 2 n F2 v2 : : : * = in F j1 vi1 : : : nn Fn vn

Die Flexibilittskoeffizienten werden mit dem Kraftgrssenverfahren am Kragarm bestimmt:

ij = L

Ni N j EA

dx + L

Mi M j E Iy

dx + L

Qi Q j G A

dx + L

Ti T j G IT

dx

Ni = 1 ist die fiktive Normalkraft am Ort und in Richtung der gesuchten Verschiebung dxi Mi = 1 ist das fiktive Moment am Ort und in Richtung des gesuchten Drehwinkels i Qi = 1 ist die fiktive Querkraft am Ort und in Richtung der gesuchten Schiebung i Bei rumlichen Stabtragwerken kommt die Torsion, bzw. Verdrehung des Stabes dazu: Ti = 1 ist die fiktive Torsionskraft am Ort und in Richtung der gesuchten Verdrehung i Der Koeffizient v1= 22 wird zum Beispiel wie folgt bestimmt:

v1 = ?1 L

w2 Ry2 u2 2

x

Abbildung 4.11 Bestimmung der Flexibilittsmatrix am Kragarm

22 = L

Mi M j E Iy

dx + L

Qi Q j G A

dxx

1 x*1

M

22 = 22 =

x2 1 dx + dx E Iy G A L L1

L3 L + 3 E I y G A

1 x

Q

Abbildung 4.12 Bestimmung der Verschiebung w1

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Stabtragwerke

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Steifigkeitsmatrix Schubverformung4.6.

und

Lastvektor

des

Stabelementes

mit

Das untenstehende Tableau zeigt die Ausgangsmatrix zur Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrix und der lokalen Lastvektoren fr die beiden gleichmssig verteilten Belastungen px und pz, sowie das gleichmssig verteilte Moment my am ebenen Stabelement. u1 w 1 Ry1 NR2 QR2 M R2 = L E A 0 0 1 0 0 L2 2E A 0 0 L 0 0 0 L2 2 L 0 0 0

0 L3 L + 3 E I y G A L2 2 E Iy 0 1 L

0 L2 2 E Iy L E Iy 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 L 1 0 0 0

0 L4 8 E Iy L3 6 E Iy 0 L L2 2

N1 Q 1 M 1 0 * 0 0 px p z my

Die Flexibilittskoeffizenten 11bis 33 stellen die Verschiebungen (u1; w1), bzw. Verdrehungen (Ry1) am freien Stabende, infolge der entsprechenden Einheitskrfte (N1=1; Q1=1; M1=1) dar. Die Flexibilittskoeffizenten 41bis 63 stellen die Reaktionskrfte (NR2; QR2), bzw. momente (MR2) am eingespannten Stabende, infolge der entsprechenden Einheitskrfte (N1=1; Q1=1; M1=1) dar. Die Koeffizienten 71bis 93 stellen die Verschiebungen, bzw. Verdrehungen am freien Stabende, infolge der entsprechenden gleichmssig verteilten Belastungen (px; pz; my) dar; darunter findet man die Einspannkrfte. Durch eine Gausssche Elimination bis zum Diagonalelement 33 , wobei die Austauschschritte an den Zeilen und Spalten von 1-6, bzw. 1-9 durchgefhrt werden, erhlt man die lokale Steifigkeitsmatrix und die drei lokalen Lastvektoren.

4.7.

Ausbildung von Gelenken

EasyStatics erlaubt die Unterscheidung von Fachwerkmodellen in denen der Knotenrotationsfreiheitsgrad Ry von vornherein ausgeschaltet ist und von Rahmenberechnungen mit dem vollstndigen Satz von Knotenfreiheitsgraden u , w und Ry in der Ebene. Um auch bei starren Knotenverbindungen einzelne Freiheitsgrade zu lsen oder um innerhalb von Stben Gelenke einzufhren, steht fr Biegegelenke eine entsprechende Funktion zur Verfgung (siehe Abbildung 4.13). Beispiel 2a: Hallenrahmen

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Abbildung 4.13 Einfhrung von Biegegelenken

Die Konstruktion von Gelenken dient meist dazu, den Biegemomentenverlauf zu beeinflussen und Spannungskonzentrationen zu vermeiden. Im oben gezeigten Beispiel 2a einer Stahlhalle kann die Dachkonstruktion bei Einfhrung eines Gelenkes am Giebel leichter gebaut werden, was wiederum zu einem geringeren Eigengewicht und damit einem gnstigeren Kraftverlauf fhrt. Wie man aus der Abbildung unten links erkennt, gengt dazu die Einfhrung eines Gelenkes. Es gehrt zu den hufigsten Eingabefehlern in Statikprogrammen Knoten mit lauter Gelenken auszustatten. Dies fhrt im Gleichungssystem zu einem Pivot-Element mit dem Wert Null. Es wre programmtechnisch zwar ein Leichtes die entsprechende Gleichung zu eliminieren, doch ginge damit eine wichtige Kontrolle ber die Gesamtstabilitt des Tragwerks verloren. Bei Programmen, welche keinen Tragwerkstyp Fachwerk kennen (z.B. FLASH), kann es bei vielen Stben und Knoten mhsam sein, die Gelenke so an den Stabenden anzuordnen, dass immer ein Stab ohne Gelenk anschliesst. In diesem Fall ordnet man allen Stben Anfangs- und Endgelenke zu und verhindert die Instabilitt des Gleichungssystems durch die Anbringung fester Rotationslager in den entsprechenden Knoten (in Abbildung 4.13 rechts unten mit einem Rotationsauflager im Scheitel gezeigt). Verallgemeinert ausgedrckt geht es bei Gelenken darum, einzelne Elementfreiheitsgrade zu eliminieren, bzw. die bergangsbedingungen zwischen zwei an einem Knoten anstossenden Elementen zu formulieren. Demzufolge kann man auch Schub- und Normalkraftgelenke ausbilden.

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Abbildung 4.14 Schub-, Normalkraft- und Biegegelenke

Programmtechnisch gibt es verschiedene Mglichkeiten Gelenke zu behandeln: Elimination des Freiheitsgrades innerhalb des Elementes durch die Wahl entsprechender Ansatzfunktionen Formulierung von Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraints). In diesem Fall erhalten die zusammenstossenden Elemente eigene Knoten, fr die dann eine Gleichung zwischen den zu verbindenden Freiheitsgraden formuliert wird (siehe Kapitel 4.9) Die erste Mglichkeit wird praktisch nur auf Stabtragwerke angewendet, da die Verwendung spezifischer Gelenkelemente bei Flchentragwerken zu einem unverhltnismssigen Eingabeaufwand fhrt, insbesondere, wenn die Lage der Elemente im Raum beliebig ist. Berechnet man die Stabsteifigkeitsmatrix aus der Flexibilittsmatrix, knnen die Gelenke in der Gaussschen Elimination elegant bercksichtigt werden, indem im Eliminationsprozess die Eliminationsschritte am freien Kragarm fr ein Gelenk bersprungen und am eingespannten Ende ausgefhrt werden.

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4.8.

Exzentrizitten

Exzentrizitten treten bei Stabtragwerken immer dann auf, wenn die Systemlinie, bzw. die neutrale Achse Sprnge aufweist oder wenn Stbe als exzentrische Aussteifungen an Flchentragwerken angeschlossen werden.

Brcke Seitenansicht Fahrbahnplatte Exzentrische Sttze

ez

Bodenplatte Querschnitt offen Querschnitt geschlossener Kasten

ex

Platte

ezUnterzug

Abbildung 4.15 Exzentrizitten bei einer Sttze (links), einer Brckenquerschnittsnderung und einer Rippenplatte

Zur Modellierung stehen die folgenden Verfahren zur Verfgung: Verbindung der beiden Stabenden mit einem zustzlichen starren Stab, Direkte Formulierung der Elementsteifigkeitsmatrix mit Exzentrizitt, Verbindung der Knoten mit Constraint-Bedingungen (siehe Kapitel 4.9). Die erste Methode muss z.B. in EasyStatics angewendet werden, ist jedoch bei grsseren Tragwerken mit vielen Exzentrizitten nicht zu empfehlen. Sehr steife Elemente fhren zu einem schlecht konditionierten Gleichungssystem, d.h. zu sehr grossen Unterschieden der Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen des Gleichungssystems. Dies wiederum fhrt zu fortschreitenden Rundungsdifferenzen und damit ungenauen Resultaten. Beispiel 2b: Hallenrahmen mit Sttzenversatz

Abbildung 4.16 Exzentrizitten mit steifen Stben

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In FLASH werden die Exzentrizitten direkt bei der Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrix bercksichtigt. Die Eingabe der Exzentrizitten erfolgt im globalen Koordinatensystem vom Knoten zur Stabachse. Die Ausgabe der Schnittkrfte erfolgt bezglich der Stabachse. Das nachfolgende Eingabebeispiel fr FLASH modelliert einen Hallenrahmen wie im Abbildung 4.15 dargestellt, wo das Sttzenprofil auf der Hhe der Kranbahn von einem HEB600 in ein HEB300 bergeht.BEGINN Rahmen mit Exzentrizitten EBENER SPANNUNGSZUSTAND 7 6 1 2.0 2.0 PLUS 14. KNOTEN 7 2 2.0 8.0 PLUS 14. KNOTEN 6 3 1.85 10.5 PLUS 14.3 KNOTEN 5 4 9.0 13.0 * * STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB600' ELEMENTE 1 6 STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB300' ELEMENTE 2 BIS 5 STAB ANFANG EXZENTRIZITAET -.15 0. ELEMENT 2 STAB ENDE EXZENTRIZITAET .15 0. ELEMENT 5 * STAB 1 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENT 2 B 6 * * N N N KNOTEN 1 7 * * OPTIMIERUNG * * LASTFALL GLEICHMSSIGE GLOBALE LAST GLEICHMAESSIG GLOBAL 0. -1. ELEMENTE 3 4 * * LASTFALL 1 $ DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STAEBEN * * Abbildung 4.17 Eingabe des Hallenrahmens mit exzentrischen Stben in FLASH

Programmtechnisch werden die Exzentrizitten durch eine Transformation der entsprechenden Freiheitsgrade in der lokalen Steifigkeitsmatrix bercksichtigt. Dazu mssen die globalen Exzentrizitten mittels der Rotationsmatrix zuerst ins lokale Stabsystem umgerechnet werden. Das gleiche hat nach der Berechnung mit den globalen Verschiebungen zu geschehen, welche fr die Berechnung der Stabschnittkrfte wieder ins lokale System zurck transformiert werden mssen. Bei der Berechnung von Plattenbalken kann im Prinzip analog vorgegangen werden. Voraussetzung ist, dass die exzentrischen Elemente zwischen allen Knoten der Elementmasche der Platte entlang des Unterzuges eingesetzt werden und dass die Ansatzfunktionen fr die Flchenelemente entlang der Kontaktlinie denjenigen der Platte entsprechen.

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Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraint - Bedingungen)4.9.Constraint- oder Zwangsbedingungen dienen dazu, Beziehungen zwischen Freiheitsgraden in den Knoten zu formulieren. Sie erlauben bei der Berechnung eines Tragwerks die Modellierung einer ganzen Reihe von speziellen Bedingungen, wie: Gelenke, Starre Verbindungen von Knoten zueinander, z.B. fr starke Aussteifungen, Exzentrizitten, Lastabtragungen von entfernten Knoten auf einen Tragwerksteil, ohne die Verbindung modellieren zu mssen, Kinematische Beziehungen von Knoten zueinander. Die Zwangsbedingungen werden als Gleichungen formuliert. Dabei spricht man auch von einer Master-Slave Beziehung:

s = f1 m1 + f 2 m 2 + .......

mit f i Faktoren

Der Freiheitsgrad s am Slaveknoten ist abhngig von den Verschiebungen und Verdrehungen des Masterknotens m. Im Gleichungssystem werden dabei die entsprechenden Kolonnen und Zeilen der Masterknotenfreiheitsgrade mit den Faktoren multipliziert und in den Kolonnen und Zeilen des Slave-Freiheitsgrades eingesetzt. In FLASH gelten dabei folgende Einschrnkungen: Ein Auflagerparameter kann nicht Slave-Parameter sein, Ein Knotenfreiheitsgrad kann als Slave-Parameter nur einmal auftreten, Ein Slave-Parameter kann nicht gleichzeitig Masterparameter sein.

4.9.1 Knotenbeziehungen mit ConstraintsDas folgende Beispiel 4 zeigt die Verwendung von Master-Slave-Beziehungen beim korrekten bergang von einem als Stab gerechneten Durchlauftrger mit Kopfplatte, in ein mit Scheibenelementen modelliertes Auflager.

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Beispiel 3: Modellierung einer Kopfplatte mit Constraintbedingungen

Abbildung 4.18 Modellierung eines Kopfplattenanschlusses (Stab -> Scheibe)

Knoten 69, 70, 81, 92, 103 und 114 haben als Slaveknoten eine starre Verbindung zu Masterknoten 157.

* AUFLAGERBEDINGUNGEN ; MASSENMATRIX ; BINDUNGEN ...... STARRE BINDUNG: STARRE VERBINDUNG ZU KNOTEN 157 ALLE-PARAMETER KNOTEN 69 70 81 92 103 114 ...... Abbildung 4.19 Eingabe der bergangsbedingung mit FLASH

STARRE BINDUNGEN ZWISCHEN KNOTENFREIHEITSGRADEN *********************************************** KNOTEN PARAMETER 69 69 69 70 70 70 81 81 81 92 92 92 103 103 103 VX VY RZ VX VY RZ VX VY RZ VX VY RZ VX VY RZ = + = = = + = = = + = = = + = = = + = = FAKTOR 1.000 2.100 1.000 1.000 1.000 1.260 1.000 1.000 1.000 0.420 1.000 1.000 1.000 -0.420 1.000 1.000 1.000 -1.260 1.000 1.000 PARAMETER KNOTEN * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157

Baustatik 2 Teil 3114 114 114 VX VY RZ = + = = 1.000 -2.100 1.000 1.000 * * * *

StabtragwerkeVX RZ VY RZ 157 157 157 157

Seite 48

Abbildung 4.20 Echoprint der Constraintbedingungen aus FLASH

4.9.2 Gelenke mit ConstraintsDie untenstehende Abbildung zeigt fr den mit EasyStatics gerechneten Rahmen des Beispiels 2a die quivalenten Eingabeanweisungen fr das Programm FLASH, wobei das Gelenk im Scheitel mit einer Constraintbedingung formuliert wurde. Die beiden Verschiebungsparameter u und w (in der Eingabe mit 1 und 2 bezeichnet, entsprechend ihrer Reihenfolge im Vektor der Freiheitsgrade) der Knoten 3 und 4 werden einander gleichgesetzt. Beispiel 2c: Hallenrahmen mit Constraint-Bedingung fr ein Gelenk

BEGINN RAHMEN MIT CONSTRAINTBEDINGUNGEN EBENER SPANNUNGSZUSTAND 6 4 1 2.0 2.0 PLUS 14. KNOTEN 6 2 2.0 10.5 PLUS 14. KNOTEN 5 3 9.0 13.0 PLUS 0. KNOTEN 4 * * STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB300' ELEMENTE 1 BIS 4 * STAB 1 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENT 2 STAB 3 4 5 0. PLUS 1 1 ELEMENT 4 * * N N N KNOTEN 1 6 STARRE BINDUNG GLEICHE PARAMETER 1 2 FUER KNOTEN 3 UND 4 * * OPTIMIERUNG * * LASTFALL GLEICHMSSIGE GLOBALE LAST GLEICHMAESSIG GLOBAL 0. -1. ELEMENTE 2 3 * * LASTFALL 1 $ DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STAEBEN * * Abbildung 4.21 Modellierung eines Gelenks mit Constraint-Bedingungen

Die Modellierung von Gelenken mit Constraints ist bei Stabtragwerken eher unblich, stellt aber die eleganteste Methode dar, wenn es Gelenklinien und Fugen bei Flchentragwerken zu definieren gilt. Das Einfhren von Constraintbedingungen erfordert grosse Sorgfalt. Die folgende Bedingung wird z.B. von FLASH ohne weiteres akzeptiert, fhrt jedoch zu einer Gleichgewichtsverletzung, da das Erfllen der Bedingung, dass die senkrechte Verschiebung des

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Knoten 4 zehn Mal grsser als diejenige des Knotens 3 sein muss, nur dann erfllt werden kann, wenn eine externe Kraft angreifen wrde.

* N N N KNOTEN 1 6 STARRE BINDUNG GLEICHE PARAMETER 1 FUER KNOTEN 3 UND 4 STARRE BINDUNG ALLGEMEIN 2 VON KNOTEN 4 GLEICH 10. MAL 2 VON KNOTEN 3 * Abbildung 4.22 Falsche Formulierung von Constraint-Bedingungen

4.10. Auflager- und RandbedingungenFr ein nicht gelagertes Tragwerk gilt folgende Beziehung U =

1 SK V 2

{ } [K ] {V } = 0T SK

und [K ] V SK = 0

{ }

dabei ist V SK der Vektor der Starrkrperverschiebungen. Die globale Steifigkeitsmatrix [K] ist demnach eine singulre, positiv semidefinite symmetrische Matrix vom Rang [K]NxN. N ist die Zahl der Starrkrperverschiebungen. Diese mssen fr den Erhalt einer eindeutigen Lsung des Gleichungssystems ausgeschaltet werden. Dies geschieht durch die Definition von kinematischen Randbedingungen (nur diese treten als Unbekannte auf). Ihre Erfllung ist grundstzlich nicht schwierig, da sie allein Funktion von Randverschiebungsparametern sind. Es gengt deshalb, den Wert der Randverschiebungsparameter, die als Unbekannte bei der Lsung des globalen Gleichungssystems auftreten, vorzuschreiben. Mit: {V} {VF} {VVA} {V} =

{ }

VF VVA

Vektor der gesamten Verschiebungen Vektor der freien Verschiebungen VF Vektor der vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen VA

Das System der verallgemeinerten Gleichgewichtsgleichungen (ohne initiale Krfte) schreibt sich dann wie folgt:

[K ] {V } {P} = d.h.

K FF

K AF

K FA VF PF 0 = K AA VVA PA A

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Stabtragwerke zu lsen fr { F } V

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[K FF ] {VF } + [K FA ] {VVA } {PF } = 0und

[K AF ] {VF } + [K AA ] {VVA } {PA } = {A}Auflagerkrfte {A}

Bestimmungsgleichung fr die unbekannten

{VF } = [K FF ]1 ({PF } [K FA ] {VVA })

wobei

[K FA ] { VA } = Lastvektor infolge vorgeschriebener Auflagerverschiebungen. VDie vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen { VA } (bzw. die entsprechenden SpalV ten und Zeilen in der Matrix [K]) knnen einfach weggelassen werden. Dadurch wird das Gleichungssystem kleiner. Bei stabil gelagerten Tragwerken ist der [KFF]-Teil der Steifigkeitsmatrix [K] symmetrisch, nicht-singulr und positiv definit.

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Seite 51

4.10.1

Feste Auflager

Wie bereits im Beispiel 1a gezeigt empfiehlt sich in der Praxis folgendes Vorgehen: Einfhrung von unendlich steifen Federn (z.B. Federkonstante 1.E100) in den fest gelagerten Randknotenparametern.

Vi = 0

Vi c = 1.E100 Ai = c * 1.E100

Abbildung 4.23 Behandlung fester Auflager

Zum Diagonalkoeffizient Kii von [K] wird eine sehr grosse Federsteifigkeit c (Kraft pro Einheitsverschiebung) addiert: Kii := Kii + c mit c = 1.E100 (durch die Gleitkommaarithmetik leidet die Genauigkeit beim Lsen des Gleichungssystems nicht) Die Auflagerkraft rechnet sich dann aus den bekannten sehr kleinen Auflagerverschiebungen: Ai = c * Vi = 1.E100 * Vi Im Fall einer vorgeschriebenen Auflagerverschiebung ersetzt man den entsprechenden Lastkoeffizienten Pi durch den Wert: Pi = Vi = c * VVi Pi / Kii = VVi Aus der Lsung des Gleichungssystems ergibt sich dann: Das skizzierte Vorgehen weist einige Vorteile auf: Die Struktur des Gleichungssystems bleibt erhalten Keine numerischen Schwierigkeiten Die Auflagerkrfte {A} knnen als konzentrierte Knotenkrfte einfach bestimmt werden. Der Nachteil liegt darin, dass man bei vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen die zugehrigen Auflagerkrfte nicht berechnen kann. Verschiebt man pro Verschiebungsrichtung jeweils nur ein Auflager, kann die zugehrige Kraft jedoch aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem gerechnet werden.

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4.10.2

Elastisch gelagerte Auflagerknoten

Das Vorgehen ist identisch mit demjenigen bei festen Auflagern: Kii := Kii + c mit c = > 0 (Kraft pro Einheitsverformung).

4.10.3

Randbedingungen in vorgegebenen RichtungenWi Wi Ui Ui

{Vi } = [R] {Vi ' }U i cos = Wi sin sin U 'i cos W 'i

Abbildung 4.24 Gedrehtes Auflagerkoordinatensystem

Gedrehte Randbedingungen werden gleich behandelt wie die Rotation der Knotenfreiheitsgrade vom globalen in das lokale Koordinatensystem. Die entsprechenden Zeilen und Spalten der Matrix [K] werden mit der Rotationsmatrix vor und nachmultipliziert; Ebenso werden die Lastkoeffizienten {P} in die entsprechende Richtung gedreht. Diese kongruenten Transformationen werden am besten gleich beim Zusammensetzen des globalen Gleichungssytems durchgefhrt.

4.11. Spannungsberechnungen, Einflusslinien und Einflussfelder

4.11.1

Spannungsberechnungen

Aus dem Lsungsvektor {V} erhlt man die lokalen Verschiebungsparameter (da im allgemeinen mehrere Lastflle gleichzeitig gelst werden, -> mehrere Verschiebungsvektoren): Rotationsmatrix RT= Rotation global -> lokal RT =

cos sin -sin cos

{v} = RT {V }

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Stabtragwerke

Seite 53

Die Berechnung der Spannungen {(x,y,z)}, bzw. der Schnittkrfte fr alle unabhngigen Lastflle erfolgt fr Stabtragwerke und allgemeine Finite Elemente mit kinematischen Ansatzfunktionen ber die Dehnungen:

{ (x, y, z )} = [D] ({ } { 0 }) = [D] [H ' (x, y, z )] {v} [D] { 0 }_

Bestimmte Spannungskomponenten i in ausgewhlten Elementpunkten (Resultatpunkten) erhlt man aus:

i = sij v j + si0j

_

bzw.

_ 0 = [s ] {v} + s

{ }

wobei

[s]

= lokale Spannungsmatrix

{s0} = lokaler Spannungsvektor infolge {0} Legt man bei Stabtragwerken die ausgewhlten Spannungspunkte in die Knoten, entspricht die Spannungsmatrix der lokalen Elementsteifigkeitsmatrix. Weiters gilt: Am voll eingespannten Element -> {v} = 0 knnen die Spannungen infolge Elementlasten nicht bestimmt werden (ausser beim Stabelement und bei hybriden Finiten Elementen). Im allgemeinen verlaufen die Spannungen zwischen den Elementen diskontinuierlich. Ausser bei Stabelementen bildet man fr die Spannungen in den Knoten von Flchen- und Volumenelementen oftmals einen Mittelwert oder rechnet nur mit den inneren Spannungen. Die Mittelwertbildung darf nur dort vorgenommen werden, wo ein kontinuierlicher Verlauf zu erwarten ist und die Spannungskomponenten in die gleiche Richtung weisen.

4.11.2

Einflusslinien und Einflussfelder_

Der Einflussvektor {Ei} fr eine vorgegebene Spannungskomponente i ist wie folgt definiert:_

i = {Ei } {P} i = sij v j =< s (i ) > {v} =< s (i ) > [ae ] {V } = {Si }T {V }j

_

wobei :

< s (i ) > = i-te Zeile der Spannungsmatrix [s ]

[ae ]

= topologische Zuordnungsmatrix (siehe Abbildung 2.8) entspricht < s (i ) > ist aber global nummeriert.

{Si }T < s (i ) > [ae ]1

Aus { } = [K ] {P} folgt: V

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i = {Si }T {V } = {Si }T [K ]1 {P} = {Ei }T {P}

{Ei } = [K ]1 {Si }Der Einflussvektor fr i wird durch die Lsung des globalen Gleichungssystems fr einen Lastfall bestimmt, bei dem die Koeffizienten der i-ten Zeile der Spannungsmatrix [s] die rechte Seite des Gleichungssystems bilden. Der Lsungsvektor {Ei} gibt einen Verschiebungszustand an, der dem Einflussfeld fr i entspricht._

_

4.12. Statisch bestimmte und unbestimmte SystemeDie fr die Berechnung von Hand essentielle Unterscheidung von statisch bestimmten und unbestimmten Tragwerken hat in der Computerstatik bezglich des Berechnungsverfahrens keine Bedeutung. In beiden Fllen erfolgt die Berechnung nach der gleichen Methode. Fr das grundstzliche Verstndnis des Tragverhaltens eines Systems ist die Unterscheidung jedoch nach wie vor wesentlich. An einem statisch bestimmten System lassen sich die Schnittkrfte allein aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmen, d.h. es treten keine inneren Zwngungen auf. Steifigkeitsunterschiede innerhalb des Tragwerks wirken sich nur auf die Verschiebungen, nicht jedoch auf den Schnittkraftverlauf aus. Das folgende Beispiel verdeutlicht dies.

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Stabtragwerke

Seite 55

Beispiel 4: Rahmen mit unterschiedlichen Sttzenquerschnitten

Abbildung 4.25 Hallenrahmen mit unterschiedlichen Sttzensteifigkeiten

Die beiden Rahmen auf der linken Seite sind durch die beiden Gelenke im Riegel fr diesen symmetrischen Lastfall statisch bestimmt (Einzellast von 100 kN in der Mitte). Die Schnittkrfte oben und unten sind gleich, obwohl der untere Rahmen links eine steifere Sttze aufweist (Stahlprofil HEB1000 an Stelle von IPE80 fr die rechte Sttze). Die beiden Rahmen auf der rechten Seite, ohne Gelenke im Riegel bilden ein dreifach statisch unbestimmtes System. In der oberen Abbildung sind die beiden Sttzen gleich und bekommen auch die gleiche Normalkraft von je 50 kN. Im unteren System rechts sind die Steifigkeitsverhltnisse der Sttzen gleich wie unten links. Durch die Einspannung des Riegels in den Sttzen verschiebt sich die Normalkraft in die strkere Sttze. Der Anteil, welcher angezogen wird hngt dabei auch von der Biegesteifigkeit des Riegels ab; je weicher dieser ist, desto geringer die Differenz in den Sttzen.

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Platten

Seite 56

5. Platten5.1.

Anwendungsbereich

Als Platten bezeichnet man in der Statik ebene Flchentragwerke, welche senkrecht zu ihrer Mittelebene belastet werden. Die theoretischen Grundlagen zur Berechnungen von Platten basieren entweder auf dem Modell von Kirchhoff, bei dem in der verformten Lage die Querschnittsebene senkrecht zur Mittelebene bleibt (analog der Stabtheorie fr die Biegung ohne Schubverformung) oder derjenigen von Reissner bei der auch die Schubverformung mitbercksichtigt wird. In beiden Fllen wird die Verformung senkrecht zur Platte vernachlssigt. Die statische Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente erfolgt blicherweise nach der Kirchhoffschen Theorie, da insbesondere in der Baupraxis, die Dicke von Platten gegenber der Spannweit klein ist. Bei sogenannten dicken Platten, bei denen die Ausdehnung senkrecht zur Plattenebene vergleichbar mit der Spannweite ist, kommt die Reissnersche Theorie zur Anwendung. Da im allgemeinen auch die Verformungen gegenber den Abmessungen klein sind, erfolgen die Berechnungen nach der Theorie erster Ordnung. Die hufigsten Anwendungen von Plattenberechnungen sind: Hochbaudecken, Flachdcher, Brckenfahrbahnen, Fundamentplatten. Spezielle Methoden der Plattenberechnung erlauben auch die Berechnung von verstrkten Platten (z.B. Rippen- und Kassettendecken).

Abbildung 5.1 Vorgespannte Hochbaudecke

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Platten

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Abbildung 5.2 Beispiele von Rippendecken

5.2.

Modellbildung

Die Berechnung von Platten erfolgt nach der Methode der Finiten Elemente durch die Modellierung des Tragwerks mit einer endlichen Zahl von dreieckigen oder viereckigen Elementen. Diese weisen je nach Grad der Ansatzfunktionen analog den Scheiben fr die Beschreibung des Verschiebungsfeldes im Inneren und entlang der Rnder eine unterschiedliche Anzahl von Elementknoten auf (Knoteneckpunkte und Knoten auf den Rndern). Als unbekannte Knotenverschiebungsparameter werden blicherweise die Verschiebung w und die zwei Rotationen Rx und Ry in den Knotenpunkten eingefhrt.w3 w, z v, y u, x Rx3 w2 Ry2 w1 Ry1 Rx2 Rx1 Rx1 w1 Ry3 w4 Ry4 Rx4 Ry2 Rx2 w3

Ry3 Rx3

Ry1

w2

Abbildung 5.3 Verschiebungsfreiheitsgrade der FLASH Plattenelemente

Als Belastungen knnen konzentrierte oder verteilte Belastungen senkrecht zu