Bauwerke und Erdbeben - download.e-bookshelf.de · von Ch. Petersen Dynamik der Baukonstruktionen...
30
Konstantin Meskouris Klaus-G. Hinzen Christoph Butenweg Michael Mistler Bauwerke und Erdbeben
Transcript of Bauwerke und Erdbeben - download.e-bookshelf.de · von Ch. Petersen Dynamik der Baukonstruktionen...
Konstantin Meskouris Klaus-G. Hinzen Christoph Butenweg Michael Mistler
Bauwerke undErdbeben
Aus dem Programm
vieweg
Bauentwurfslehrevon E. Neufert
Statik und Stabilität der Baukonstruktionenvon Ch. Petersen
Dynamik der Baukonstruktionenvon Ch. Petersen
Massivbauvon P. Bindseil
Holzbau von F. Colling
Holzbau – Beispiele von F. Colling
Formeln und Tabellen Stahlbau von E. Piechatzek und E.-M. Kaufmann
Bausanierungvon M. Stahr (Hrsg.)
Hochbaukosten - Flächen - Rauminhaltevon Peter J. Fröhlich
Bauwesen
Konstantin MeskourisKlaus-G. HinzenChristoph ButenwegMichael Mistler
Bauwerke undErdbebenGrundlagen – Anwendung – Beispiele
2., erweiterte und aktualisierte Auflage
mit 359 Abbildungen und 60 Tabellen
Bibliografische Information Der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
1. Auflage Juni 20032. Auflage März 2007
Alle Rechte vorbehalten© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007
Lektorat: Günter Schulz / Karina Danulat
Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.www.vieweg.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzesist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbe-sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen unddie Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.deDruck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, BerlinGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0146-3
V
Vorwort zur zweiten Auflage
Die durch die erfreulich rege Nachfrage notwendig gewordene Neuauflage des Buches ermög-lichte eine wesentlich stärkere Fokussierung auf Belange der Praxis, insbesondere durch die Berücksichtigung des Weißdrucks der DIN 4149 vom April 2005, der zur Zeit bauaufsichtlich eingeführt wird. Dem Wunsch vieler Leser entsprechend wird deshalb in der vorliegenden Ausgabe die Vorgehensweise bei der seismischen Auslegung von Beton-, Stahl- und Mauer-werksbauten anhand ausgearbeiteter Beispiele in allen Einzelheiten erläutert, die so direkt als Hilfe für den praktisch tätigen Ingenieur dienen können. Die dadurch notwendig gewordene Vergrößerung des Umfangs wurde durch den Verzicht auf das Kapitel über seismische Isolierung zumindest teilweise kompensiert. Weitere Änderungen gegenüber der ersten Auflage betreffen das Kapitel 5, in dem das Konzept der Vulnerabilität-suntersuchungen für Wohngebäude auf speziellere Bauwerkstypen wie Brücken und Industrie-anlagen erweitert wurde. Weiterhin wird in dem Kapitel 6 anstelle der Vorstellung von nume-rischen Modellen für Mauerwerk ein praxisorientiertes Verfahren für die verformungsbasierte Bemessung von Mauerwerksbauten auf Grundlage der Kapazitätsspektrum-Methode vorge-stellt. Die Autoren bedanken sich bei Herrn Dipl.-Ing. Christoph Gellert, Frau Dipl.-Ing. Britta Holt-schoppen, Herrn Dipl.-Ing. Daniel Meiners, Frau Dipl.-Ing. Hannah Norda und Herrn Dipl.-Ing. Philippe Renault für die kritische Durchsicht des Manuskriptes, sowie bei Herrn Dipl.-Ing. Frank Peiffer und Herrn Dipl.-Ing. Martin Konrad für die Unterstützung bei der Dokumentbe-arbeitung. Unser Dank geht auch an den Vieweg-Verlag für die stete Gesprächsbereitschaft und Unterstützung, und nicht zuletzt an die Deutsche Forschungsgemeinschaft und weitere Geldgeber für die finanzielle Förderung der Projekte, deren Ergebnisse teilweise in dieses Buch einflossen. Aachen und Köln, Januar 2007 Konstantin Meskouris Klaus-Günter Hinzen Christoph Butenweg Michael Mistler
VI
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
In diesem Buch wird der Versuch unternommen, eine Einführung in das weite Feld der Erdbe-benbeanspruchung von Baukonstruktionen zu präsentieren, die sowohl den geophysikalischen als auch den ingenieurmäßigen Aspekten des Problems gerecht wird. Dass es zwischen Natur-wissenschaftlern und Ingenieuren allgemein zu „Sprachschwierigkeiten“ kommen kann ist nichts Neues, so auch auf dem Gebiet des Erdbebeningenieurwesens, wo die Zusammenarbeit von Geophysikern mit Bauingenieuren angesichts ständig komplexer werdenden Aufgaben immer wichtiger wird. Nach den in den ersten beiden Kapiteln behandelten Grundlagen der Baudynamik und der Seismologie werden in diesem Buch die gängigen Rechenverfahren für die Ermittlung der seismischen Beanspruchung von Bauwerken erläutert, es wird auf die maß-gebenden Normen eingegangen und dazu Themen wie die seismische Vulnerabilität von Ge-bäuden, seismische Isolierungsmaßnahmen und Methoden zur Untersuchung von Bauteilen und speziellen Bauwerken (Mauerwerksscheiben, Schüttgutsilos, Erddämme) vorgestellt. Ge-treu der Philosophie des „learning by doing“ enthält das Buch viele durchgerechnete Zahlen-beispiele und dazu die benötigten gebrauchsfertigen Rechenprogramme auf der beiliegenden CD-ROM. Damit wird der Lehrbuchcharakter in Richtung auf die praktische Anwendung erweitert und dem Leser die Möglichkeit gegeben, den Schritt vom Leser zum Anwender im Selbststudium zu vollziehen.
VII
Inhaltsverzeichnis
VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE............................................................................. V
1 BAUDYNAMISCHE GRUNDLAGEN...............................................................................1
1.1 Bewegungsdifferentialgleichungen, d’ALEMBERTsches Prinzip..................................1
1.2 Zeitabhängige Vorgänge und Prozesse..............................................................................6
1.3 Der Einmassenschwinger..................................................................................................10 1.3.1 Der Einmassenschwinger im Zeitbereich.................................................................................... 10 1.3.2 Der Einmassenschwinger im Frequenzbereich ........................................................................... 16 1.3.3 Der Einmassenschwinger mit nichtlinearer Rückstellkraft ......................................................... 19 1.3.4 Lineare Antwortspektren von Beschleunigungszeitverläufen..................................................... 23 1.3.5 Nichtlineare (inelastische) Antwortspektren............................................................................... 26 1.3.6 Spektrumkompatible Beschleunigungszeitverläufe .................................................................... 27
1.4 Stabtragwerke als diskrete Mehrmassenschwinger .......................................................31 1.4.1 Statische Beanspruchung ............................................................................................................ 31 1.4.2 Differentialgleichungssystem des Diskreten Mehrmassenschwingers ........................................ 36 1.4.3 Wesentliche Freiheitsgrade, statische Kondensation, Eigenwertproblem................................... 37 1.4.4 Modale Analyse .......................................................................................................................... 41 1.4.5 Viskoser Dämpfungsansatz......................................................................................................... 45 1.4.6 Direkte Integration...................................................................................................................... 46 1.4.7 Berechnung der Schnittkräfte ebener Rahmen aus den Verformungen....................................... 48
2 SEISMOLOGISCHE GRUNDLAGEN ............................................................................53
2.1 Wellenausbreitung ............................................................................................................53 2.1.1 Bewegungsgleichung .................................................................................................................. 54 2.1.2 Lösung der Bewegungsgleichung ............................................................................................... 56 2.1.3 Elastische Konstanten ................................................................................................................. 57 2.1.4 Raumwellen ................................................................................................................................ 58 2.1.5 Raumwellen in geschichteten Medien ........................................................................................ 61
2.1.5.1 FERMATsches Prinzip und SNELLIUSsches Gesetz ........................................................ 61 2.1.5.2 Laufzeit und Laufweg eines Strahls.................................................................................... 63 2.1.5.3 Kritische Refraktion ........................................................................................................... 64 2.1.5.4 Laufzeitkurven.................................................................................................................... 64 2.1.5.5 Aufteilung der seismischen Energie an Grenzflächen ........................................................ 67
2.1.6 Oberflächenwellen ...................................................................................................................... 70 2.1.6.1 2.1.6.1 RAYLEIGH-Welle ................................................................................................. 71 2.1.6.2 LOVE-Welle....................................................................................................................... 75
2.1.7 Dämpfung ................................................................................................................................... 79
2.2 Die Struktur von Seismogrammen ..................................................................................80 2.2.1 Strong-motion-Seismogramm..................................................................................................... 81 2.2.2 Seismogramm eines Lokalbebens ............................................................................................... 82
VIII
2.2.3 Seismogramm eines Fernbebens................................................................................................. 84 2.2.4 Parameter zur Beschreibung der Bewegung................................................................................ 85
2.2.4.1 Zeitbereichsgrößen.............................................................................................................. 85 2.2.4.2 Dauer der Bodenbewegung................................................................................................. 87 2.2.4.3 Frequenzbereichsgrößen ..................................................................................................... 88 2.2.4.4 Beispiel ............................................................................................................................... 89
2.3 Einfluss des lokalen Untergrundes ..................................................................................92 2.3.1 Verstärkungsfunktion eines Schichtpaketes ................................................................................ 93
2.3.1.1 Homogene Sedimentschicht auf steifer Festgesteinsschicht ohne Dämpfung..................... 94 2.3.1.2 Homogene Sedimentschicht mit Dämpfung auf steifer Festgesteinsschicht ....................... 96 2.3.1.3 Homogene Sedimentschicht mit Dämpfung auf elastischer Festgesteinsschicht ................ 97 2.3.1.4 Sedimentschichtpaket mit Dämpfung auf elastischer Festgesteinsschicht .......................... 99
2.3.2 Beispiele von Standorteffekten ................................................................................................. 100 2.3.3 Nichtlineares Materialverhalten ................................................................................................ 104
2.3.3.1 Dynamische Setzung......................................................................................................... 104 2.3.3.2 Bodenverflüssigung .......................................................................................................... 104
2.3.4 Einfluss der dreidimensionalen Struktur des Untergrundes ...................................................... 106
2.4 Ermittlung ingenieurseismologischer Standortparameter ..........................................107 2.4.1 Wellengeschwindigkeiten ......................................................................................................... 107
2.4.1.1 Refraktionsseismik............................................................................................................ 107 2.4.1.2 Reflexionsseismik............................................................................................................. 109 2.4.1.3 Spektrale Analyse von Oberflächenwellen ....................................................................... 109 2.4.1.4 Bohrlochmessungen.......................................................................................................... 109
2.4.2 Ermittlung der Materialdämpfung............................................................................................. 111 2.4.3 Dichte ...................................................................................................................................... 111 2.4.4 Passive Messungen ................................................................................................................... 111 2.4.5 H/V Methode ............................................................................................................................ 111
2.5 Der seismische Herdprozess ...........................................................................................113 2.5.1 Scherverschiebung .................................................................................................................... 114 2.5.2 Punktquellenapproximation und äquivalente Kräfte ................................................................. 115 2.5.3 Momententensor........................................................................................................................ 122 2.5.4 Der ausgedehnte seismische Herd............................................................................................. 124 2.5.5 Das Herdspektrum..................................................................................................................... 128 2.5.6 Spannungsabfall ........................................................................................................................ 130 2.5.7 Abschätzung maximaler Bodenbewegungen............................................................................. 130
2.6 Ingenieurseismologische Parameter ..............................................................................131 2.6.1 Erdbebenstärke.......................................................................................................................... 131
2.6.1.1 Magnitude ......................................................................................................................... 131 2.6.1.2 Seismische Energie ........................................................................................................... 133 2.6.1.3 Beziehungen zwischen Moment und Magnitude .............................................................. 136 2.6.1.4 Beziehungen zwischen Momentmagnitude und Herddimension ...................................... 136
2.6.2 Standortbezogene Parameter ..................................................................................................... 137 2.6.2.1 Makroseismische Intensität............................................................................................... 137 2.6.2.2 Die europäische makroseismische Skala........................................................................... 138 2.6.2.3 Makroseismische Begriffe und Auswerteverfahren .......................................................... 142 2.6.2.4 Beziehungen zwischen Intensität und Beschleunigung..................................................... 145 2.6.2.5 Beziehungen zwischen Magnitude und Beschleunigung .................................................. 146
IX
2.7 Erdbebenstatistik und Erdbebengefährdung ...............................................................149 2.7.1 Rezente, historische und Paläoerdbeben ................................................................................... 150 2.7.2 Archäoseismologie.................................................................................................................... 151 2.7.3 Charakterisierung der seismischen Quellen .............................................................................. 154
2.7.3.1 Räumliche Bebenverteilung.............................................................................................. 154 2.7.3.2 Zeitliche Bebenverteilung................................................................................................. 156
2.7.4 Deterministische Verfahren der Gefährdungsanalyse............................................................... 156 2.7.5 Probabilistische Verfahren........................................................................................................ 158 2.7.6 Erdbebengefährdungskarten ..................................................................................................... 162
2.8 Seismologische Praxis......................................................................................................163 2.8.1 Messtechnik .............................................................................................................................. 163
2.8.1.1 Seismometer ..................................................................................................................... 163 2.8.1.2 Messstation ....................................................................................................................... 168
2.8.2 Lokalisierung ............................................................................................................................ 172 2.8.3 Bestimmung der Magnitude...................................................................................................... 174
2.9 Beispiele typischer Erdbebenschäden ...........................................................................175
3 SEISMISCHE BEANSPRUCHUNG VON KONSTRUKTIONEN ..............................189
3.1 Rechenverfahren .............................................................................................................189 3.1.1 Modalanalytisches Antwortspektrenverfahren.......................................................................... 190 3.1.2 Verfahren mit statischen Ersatzlasten ....................................................................................... 196 3.1.3 Direkte Integrationsverfahren ................................................................................................... 196 3.1.4 Nichtlineare Verfahren ............................................................................................................. 201
3.1.4.1 Inelastische statische Untersuchungen („Pushover-Analysis“)......................................... 212 3.1.4.2 Kapazitätsspektrum-Methode ........................................................................................... 216 3.1.4.3 Inelastische dynamische Untersuchungen (Zeitverlaufsmethode) .................................... 222
3.2 Asynchrone multiple seismische Erregung ...................................................................229
3.3 Boden-Bauwerk Interaktion...........................................................................................238 3.3.1 Allgemeines zur Boden-Bauwerk Interaktion........................................................................... 238 3.3.2 Untersuchungsmethoden........................................................................................................... 239
3.3.2.1 Direkte Methode und Substrukturmethode ....................................................................... 239 3.3.2.2 Frequenzbereich und Zeitbereich ..................................................................................... 240 3.3.2.3 Einfache physikalische Modelle und Randelementmethode............................................. 241
3.3.3 Berechnungsmodelle................................................................................................................. 241 3.3.3.1 Bettungszahlmodell nach Winkler.................................................................................... 241 3.3.3.2 Kegelstumpfmodell nach Wolf......................................................................................... 243 3.3.3.3 Geometrische Dämpfung und Materialdämpfung............................................................. 245 3.3.3.4 Randelementmethode ....................................................................................................... 245
3.3.4 Berechnungsbeispiel ................................................................................................................. 248 3.3.4.1 Problemstellung................................................................................................................ 248 3.3.4.2 Modellbeschreibung ......................................................................................................... 248 3.3.4.3 Brückenpfeiler unter Vertikallast ..................................................................................... 249 3.3.4.4 Brückenpfeiler unter Horizontallast.................................................................................. 250
X
4 BEMESSUNG VON BAUWERKEN NACH DIN 4149:2005 ........................................255
4.1 Inhaltliche Erläuterung der DIN 4149:2005 .................................................................255 4.1.1 Stand der Erdbebennormung in Deutschland ............................................................................ 255 4.1.2 Anwendungsbereich und Zielsetzung ....................................................................................... 255 4.1.3 Gliederung der DIN 4149:2005................................................................................................. 256 4.1.4 Erdbebengerechter Entwurf ...................................................................................................... 257
4.1.4.1 Grundrissgestaltung .......................................................................................................... 257 4.1.4.2 Aufrissgestaltung .............................................................................................................. 258 4.1.4.3 Ausbildung der Gründung................................................................................................. 260
4.1.5 Erdbebeneinwirkung ................................................................................................................. 260 4.1.5.1 Erdbebenzonenkarte und Untergrundbeschreibung .......................................................... 260 4.1.5.2 Elastisches Antwortspektrum............................................................................................ 262 4.1.5.3 Bemessungsspektrum für lineare Tragwerksberechnungen .............................................. 265
4.1.6 Berechnungsverfahren............................................................................................................... 265 4.1.6.1 Vereinfachtes Antwortspektrenverfahren ......................................................................... 266 4.1.6.2 Multimodales Antwortspektrenverfahren ......................................................................... 267
4.1.7 Berücksichtigung von Torsionswirkungen................................................................................ 268 4.1.8 Nachweis der Standsicherheit ................................................................................................... 270
4.1.8.1 Vereinfachter Nachweis der Standsicherheit .................................................................... 270 4.1.8.2 Grenzzustand der Tragfähigkeit........................................................................................ 271 4.1.8.3 Nachweis der Duktilität .................................................................................................... 272 4.1.8.4 Nachweis des Gleichgewichts........................................................................................... 272 4.1.8.5 Nachweis der Tragfähigkeit von Gründungen .................................................................. 272 4.1.8.6 Nachweis der erdbebengerechten Ausführung von Fugen................................................ 272
4.1.9 Baustoffspezifische Regelungen für Betonbauten..................................................................... 272 4.1.9.1 Teilsicherheitsbeiwerte ..................................................................................................... 272 4.1.9.2 Duktilitätsklasse 1............................................................................................................. 273 4.1.9.3 Duktilitätsklasse 2............................................................................................................. 274
4.1.10 Baustoffspezifische Regelungen für Stahlbauten .................................................................... 283 4.1.10.1 Duktilitätsklasse 1........................................................................................................... 283 4.1.10.2 Duktilitätsklassen 2 und 3............................................................................................... 283 4.1.10.3 Ablaufschema für den Nachweis von Stahlbauten.......................................................... 291
4.1.11 Baustoffspezifische Regelungen für Mauerwerksbauten ........................................................ 292 4.1.11.1 Anforderungen an Mauerwerksbaustoffe und Konstruktionsregeln................................ 292 4.1.11.2 Nachweis: Einhaltung konstruktiver Regeln (DIN 4149:2005, Abschnitt 11.6) ............. 293 4.1.11.3 Rechnerischer Nachweis (DIN 4149:2005, Abschnitt 11.6) ........................................... 294
4.1.12 Baustoffspezifische Regelungen für Holzbauten .................................................................... 296
4.2 Beispiele zur DIN 4149:2005...........................................................................................296 4.2.1 Stahlbetontragwerk mit aussteifenden Wandscheiben .............................................................. 296
4.2.1.1 Tragwerksbeschreibung .................................................................................................... 297 4.2.1.2 Lastannahmen und Bemessungskombination ................................................................... 298 4.2.1.3 Elastische Antwortspektren .............................................................................................. 299 4.2.1.4 Vertikalkomponente der Erdbebeneinwirkung ................................................................. 299 4.2.1.5 Verhaltensbeiwerte ........................................................................................................... 300 4.2.1.6 Anzusetzende Vertikallasten für die seismische Berechnung ........................................... 300 4.2.1.7 Modellabbildung............................................................................................................... 301 4.2.1.8 Bemessungsschnittgrößen: Vereinfachtes Antwortspektrenverfahren .............................. 303 4.2.1.9 Bemessungsschnittgrößen nach dem multimodalen Antwortspektrenverfahren unter Verwendung des Ersatzstabs ............................................................................................... 308 4.2.1.10 Bemessungsschnittgrößen nach dem multimodalen Antwortspektrenverfahren unter Verwendung eines räumlichen Modells............................................................................... 310
XI
4.2.1.11 Bemessung und konstruktive Durchbildung: Duktilitätsklasse 1.................................... 318 4.2.1.12 Bemessung und konstruktive Durchbildung: Duktilitätsklasse 2.................................... 319 4.2.1.13 Anmerkungen zur Bemessung von Stahlbetonbauten nach DIN 4149:2005 .................. 323
4.2.2 Stahltragwerk............................................................................................................................ 323 4.2.2.1 Nachweis in Duktilitätsklasse 1........................................................................................ 328 4.2.2.2 Nachweis in Duktilitätsklasse 2........................................................................................ 329 4.2.2.3 Anmerkungen zur Bemessung von Stahlbauten nach DIN 4149:2005 ............................. 331
4.2.3 Reihenhaus aus Mauerwerk ...................................................................................................... 331 4.2.3.1 Allgemeines...................................................................................................................... 331 4.2.3.2 Einhaltung der konstruktiven Regeln ............................................................................. 332 4.2.3.3 Einhaltung materialspezifischer konstruktiver Regeln ................................................... 332 4.2.3.4 Rechnerischer Nachweis................................................................................................. 333
4.2.4 Mehrstöckiges Haus aus Mauerwerk ........................................................................................ 336 4.2.4.1 Allgemeines...................................................................................................................... 336 4.2.4.2 Lastannahmen und anzusetzende Vertikallasten............................................................... 337 4.2.4.3 Modellabbildung............................................................................................................... 337 4.2.4.4 Ermittlung der horizontalen Erdbebenersatzkraft ............................................................. 339 4.2.4.5 Bemessungsschnittgrößen und Spannungsnachweis......................................................... 340 4.2.4.6 Anmerkungen zur Bemessung von Mauerwerksbauten nach DIN 4149:2005 ................. 345
5 SEISMISCHE VULNERABILITÄT BESTEHENDER BAUWERKE ........................349
5.1 Grundlegendes Beurteilungskonzept.............................................................................349
5.2 Bauwerksschädigung ......................................................................................................349 5.2.1 Strukturelle Schädigungsindikatoren ........................................................................................ 350
5.2.1.1 Lokale Schädigungsindikatoren........................................................................................ 350 5.2.1.2 Globale Schädigungsindikatoren ...................................................................................... 351
5.2.2 Ökonomische Schädigungsindikatoren ..................................................................................... 351 5.2.3 Bewertung der Schädigung ....................................................................................................... 352
5.3 Seismische Gefährdung...................................................................................................353 5.3.1 Klassifizierungsparameter......................................................................................................... 353 5.3.2 Seismische Gefährdungskurven................................................................................................ 354
5.4 Methoden zur Bestimmung der seismischen Vulnerabilität........................................355 5.4.1 Vereinfachte Methoden (Untersuchungsstufe I) ....................................................................... 355
5.4.1.1 Vulnerabilitätskurven ....................................................................................................... 355 5.4.1.2 Empirische Formeln ......................................................................................................... 358
5.4.2 Methoden in Untersuchungsstufe II .......................................................................................... 358 5.4.3 Methoden in Untersuchungsstufe III......................................................................................... 362
5.5 Integriertes Gesamtkonzept ...........................................................................................364 5.5.1 Bauwerksklassifizierung ........................................................................................................... 364 5.5.2 Spezifikation für Hochbauten ................................................................................................... 364
5.5.2.1 Untersuchungsstufe I ........................................................................................................ 364 5.5.2.1.1 Berechnungsgrundlagen ........................................................................................... 365 5.5.2.1.2 Bauwerkseigenschaften und Geländedaten .............................................................. 368 5.5.2.1.3 Resultate in Untersuchungsstufe I ............................................................................ 371
5.5.2.2 Untersuchungsstufe II....................................................................................................... 372 5.5.2.2.1 Berechnung der Erdbebenersatzkräfte und Kontrolle der Kippsicherheit ................ 372
XII
5.5.2.2.2 Verformungskontrolle für Rahmentragwerke ........................................................... 372 5.5.2.2.3 Schubspannungskontrolle bei Stahlbetonrahmenstützen .......................................... 372 5.5.2.2.4 Schubspannungskontrolle in den Schubwänden ....................................................... 373 5.5.2.2.5 Kontrolle der Diagonalaussteifungen ....................................................................... 373 5.5.2.2.6 Bauwerk/Baugrund Frequenzkontrolle ..................................................................... 373 5.5.2.2.7 Resultate in Untersuchungsstufe II ........................................................................... 375
5.5.2.3 Untersuchungsstufe III...................................................................................................... 375 5.5.2.3.1 Grundlagen der probabilistischen Schädigung ......................................................... 375 5.5.2.3.2 Korrelation zwischen Erdbebenintensität und Schädigungswerten .......................... 376
5.5.2.4 Beispiel 1: Verwaltungsgebäude in Istanbul: Untersuchungsstufen I und II..................... 377 5.5.2.5 Beispiel 2: Bürogebäude in Istanbul: Untersuchungsstufe III........................................... 379
5.5.2.5.1 Modellbeschreibung ................................................................................................. 379 5.5.2.5.2 Eigenfrequenzen des Gebäudes ................................................................................ 379 5.5.2.5.3 Rayleigh-Dämpfung ................................................................................................. 379 5.5.2.5.4 Seismische Gefährdungskurve von Istanbul, Türkei ................................................ 380 5.5.2.5.5 Wahl der Beschleunigungszeitverläufe..................................................................... 381 5.5.2.5.6 Jährliche Schädigungskurve ..................................................................................... 381
5.5.3 Spezifikation für Brückenbauwerke.......................................................................................... 382 5.5.3.1 Programmsystem SVBS.................................................................................................... 383 5.5.3.2 Untersuchungsstufe I ........................................................................................................ 384 5.5.3.3 Untersuchungsstufe II ....................................................................................................... 384 5.5.3.4 Untersuchungsstufe III...................................................................................................... 384 5.5.3.5 Beispiel: Rheinbrücke Emmerich: Untersuchungsstufen I, II und III ............................... 385
5.5.3.5.1 Erdbebengefährdung am Brückenstandort................................................................ 385 5.5.3.5.2 Rechenmodelle ......................................................................................................... 386 5.5.3.5.3 Schwingungsmessungen ........................................................................................... 387 5.5.3.5.4 Modellkalibrierung ................................................................................................... 389 5.5.3.5.5 Lastfallkombinationen .............................................................................................. 389 5.5.3.5.6 Ergebnisse in den drei Untersuchungsstufen ............................................................ 390
5.5.4 Spezifikation für Industrieanlagen ............................................................................................ 392
6 UNTERSUCHUNG WEITERER BAUWERKE UND ANLAGEN.............................401
6.1 Mauerwerksbauten .........................................................................................................401 6.1.1 Versagensarten von Mauerwerksscheiben unter seismischer Belastung ................................... 402 6.1.2 Verformungsbasierte Bemessung von Mauerwerksbauten........................................................ 404 6.1.3 Berechnung des Gebäude-Kapazitätsspektrums........................................................................ 406
6.1.3.1 Vereinfachter Ansatz: Kapazitätskurve bezogen auf das Erdgeschoss ............................. 406 6.1.3.2 Genauerer Ansatz: Kapazitätskurve bezogen auf das oberste Geschoss ........................... 409
6.1.4 Iterative Ermittlung des Performance Point .............................................................................. 411 6.1.5 Berücksichtigung der normativen Anforderungen .................................................................... 413 6.1.6 Praxisorientierte Umsetzung des Verfahrens ............................................................................ 415 6.1.7 Anwendungsbeispiele ............................................................................................................... 415
6.1.7.1 Beispiel 1: Dreistöckiges Reihenhaus............................................................................... 415 6.1.7.2 Einfluss der Torsion am Beispiel eines freistehenden Gebäudes ...................................... 419
6.2 Silos ...................................................................................................................................420 6.2.1 Ersatzlastverfahren ................................................................................................................... 421 6.2.2 Numerische Simulation............................................................................................................. 428 6.2.3 Vergleich der Verfahren ........................................................................................................... 431
XIII
6.3 Standsicherheitsnachweise für Erddämme...................................................................435 6.3.1 Standsicherheitsnachweise........................................................................................................ 435
6.3.1.1 Das pseudostatische Verfahren......................................................................................... 437 6.3.1.2 Dynamische Verfahren ..................................................................................................... 438
6.3.2 Berechnung der Gleitsicherheit mit Hilfe der Finite-Elemente Methode ................................. 439 6.3.2.1 Berechnung des Sicherheitsfaktors ................................................................................... 439 6.3.2.2 Gleitkreis der geringsten Sicherheit.................................................................................. 440
6.3.3 Berechnungsbeispiel................................................................................................................. 444 6.3.3.1 Modellbildung .................................................................................................................. 444 6.3.3.2 Lastfall Eigengewicht ....................................................................................................... 446 6.3.3.3 Lastfall Wassereinstau...................................................................................................... 447 6.3.3.4 Nachweis der Böschungsbruchsicherheit für den Lastfall Wassereinstau ........................ 447 6.3.3.5 Lastfall Erdbeben.............................................................................................................. 448
7 ANHANG - PROGRAMMBESCHREIBUNGEN .........................................................453 7.1 Übersicht ..........................................................................................................................453
7.2 Programmbeschreibungen .............................................................................................456
Sachwortverzeichnis..............................................................................................................487
1
1 Baudynamische Grundlagen
In diesem Abschnitt werden die wichtigsten baudynamischen Werkzeuge bereitgestellt, die in den weiteren Kapiteln dieses Buches benötigt werden. Die theoretischen Herleitungen werden durchwegs auf ein Minimum beschränkt, dafür werden die praktischen Anwendungen in den Vordergrund gerückt. Für die meisten Algorithmen werden Rechenprogramme bereitgestellt, deren Gebrauch anhand von ausgeführten Beispielen illustriert wird.
1.1 Bewegungsdifferentialgleichungen, d’ALEMBERTsches Prinzip
Die Wahl eines konsistenten Einheitensystems ist in der Baudynamik besonders wichtig, da in den auftretenden Beziehungen in der Regel sowohl Kräfte als auch Massen vorkommen, wo-mit sich leicht Fehler einschleichen können, die auf die Wahl inkompatibler Einheiten zurück-zuführen sind. Um solche Fehler zu vermeiden, wird in diesem Buch das Internationale Einhei-tensystem („Système International“, SI) mit den in Tabelle 1-1 angegebenen Einheiten (und nur mit diesen!) allen Berechnungen zugrunde gelegt:
Tabelle 1-1 In diesem Buch ausschließlich verwendete Einheiten
Physikalische Größe Bezeichnung Einheit
Länge l, Meter, m
Masse M, m Tonnen, t
Kraft F, P Kilonewton, kN
Zeit t Sekunde, s
Druck, Spannung Kilopascal, 1 kPA = 1 kN/m2 Beim konsequenten, ausschließlichen Gebrauch dieser Einheiten entfällt jede Kraft/Masse–Umrechnung, da eine Masse von einer Tonne (entsprechend z.B. einem Wasserwürfel mit 1 m Kantenlänge) im Erdschwerefeld rund 10 kN wiegt, wodurch der Faktor g im zweiten NEW-TONschen Gesetz F = mg zahlenmäßig bereits berücksichtigt ist (definitionsgemäß ist 1 N = 1 kg · 1 m/s2 und damit gilt auch 10 kN = 1 t · 10 m/s2). Bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsproblemen wird häufig das Prinzip von d‘ ALEMBERT benutzt, wonach bei formaler Einführung der Trägheitskraft FI gemäß
FI = -m·a, (1.1) mit der Masse m und der Beschleunigung a als weitere Kraftwirkung zusätzlich zu den sonsti-gen Kräften F das Kräftegleichgewicht wie in der Statik üblich angeschrieben werden kann:
F = F + FI = 0. (1.2) Vektoren und Matrizen werden hier wie im Folgenden durch Unterstreichung kenntlich ge-macht. Als erstes Beispiel für die Aufstellung der Bewegungsdifferentialgleichungen eines Systems sei der in Bild 1-1 skizzierte Einmassenschwinger betrachtet, bei dem sich die Masse
2 1 Baudynamische Grundlagen
m unter der Einwirkung der zeitabhängigen Last F(t) um den Betrag u(t) verschiebt. Dabei ist die Trägheitskraft gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung:
).t(umFI (1.3)
F(t)
u(t)
c
F(t)
FR
FD
FI
k
Bild 1-1 Einmassenschwinger und freigeschnittene Masse
Freischneiden der Masse und Formulierung des Kräftegleichgewichts in horizontaler Richtung ergibt die Gleichung
FFFF RDI (1.4)
mit der Trägheitskraft FI, der Dämpfungskraft FD und der Rückstellkraft FR, die mit der äuße-ren Last F in Gleichgewicht stehen. Die Rückstellkraft ergibt sich als
ukFR (1.5)
mit der Federsteifigkeit k in kN/m und der Verschiebung u in m. Der einfache linear-viskose Dämpfungsansatz setzt die Dämpfungskraft proportional zur 1. Potenz der Geschwindigkeit an, gemäß
ucFD (1.6)
mit der Dämpfungskonstante c in kNs/m und der Geschwindigkeit u in m/s. Somit ergibt sich die Bewegungsdifferentialgleichung des Einmassenschwingers in der Form
)t(Fukucum . (1.7)
Als weiteres Beispiel sei der vierstöckige Rahmen des Bildes 1-2 betrachtet. Die Masse der Stützen wird gegenüber den Massen der Decken vernachlässigt, darüber hinaus werden die Riegel als starr angenommen (Scherbalkenmodell). Der Rahmen wird durch die horizontale Bodenbeschleunigung gu beansprucht; gesucht sind die Bewegungsdifferentialgleichungen in
den Freiheitsgraden u1, u2, u3 und u4, die als horizontale Relativverschiebungen der jeweiligen Stockwerksdecke in Bezug auf den Fußpunkt definiert sind. Bei der Biegesteifigkeit EI der Einzelstütze in kNm2 und einer Stockwerkshöhe von h in m (in diesem Beispiel wurden EI und
1.1 Bewegungsdifferentialgleichungen, d’ALEMBERTsches Prinzip 3
h für alle Stützen und Stockwerke gleich gewählt), beträgt die horizontale Federsteifigkeit k eines Stockwerks mit zwei Stützen in kN/m:
3hEI122k (1.8)
EIs
EIs
EIs
EIs
EIs
EIs
EIs
EIs
ü g
h
h
h
h
c
üg
Detail I
Detail II
Detail III
Detail IV
u4
u3
u2
u1
EIm ,3
EIm ,2
EIm ,1
EIm ,4
Bild 1-2 Stockwerkrahmen mit starren Riegeln
I
m4.(ü4+üg)
(1/2).k4.(u4-u3)
III
m2.(ü2+üg)
(1/2).k2.(u2-u1)
(1/2).k3.(u3-u2)
II
m3.(ü3+üg)
(1/2).k3.(u3-u2)
(1/2).k4.(u4-u3)
IV
m1.(ü1+üg)
(1/2).k1u1
(1/2).k2.(u2-u1)
Bild 1-3 Freigeschnittene Decken
Die Trägheitskräfte ergeben sich als Produkte der Stockwerkmassen mit der jeweiligen De-cken-Absolutbeschleunigung, wobei sich letztere als Summe der Fußpunktbeschleunigung gu
4 1 Baudynamische Grundlagen
und der Deckenbeschleunigung relativ zum Fundament ergibt. Andererseits sind die Rück-stellkräfte gleich den Produkten der Stockwerkssteifigkeiten k nach (1.8) mit den jeweiligen Decken-Relativverschiebungen ui. Durch das Freischneiden der einzelnen Decken und Anset-zen der wirkenden Trägheits- und Rückstellkräfte, wie in Bild 1-3 skizziert, ergeben sich fol-gende Beziehungen aus der Gleichgewichtsbetrachtung 0H (Kräftegleichgewicht in Hori-zontalrichtung): 4. OG (Detail I):
0uuk212uum 344g44
g434444 umuukum (1.9)
3. OG (Detail II):
0uuk212uuk
212uum 344233g33
g3444333233 umkukkukuum (1.10)
2. OG (Detail III):
g2333222122 umkukkukuum (1.11)
1. OG (Detail IV):
g12221111 umkukkuum (1.12)
Die Zusammenfassung der vier Gleichungen (1.9) bis (1.12) liefert folgendes Differentialglei-chungssystem für das (ungedämpfte) Scherbalkenmodell eines biegesteifen Stockwerkrah-mens:
4
3
2
1
g
4
3
2
1
44
4433
3322
221
4
3
2
1
4
3
2
1
mmmm
u
uuuu
kk00kkkk00kkkk00kkk
uuuu
m0000m0000m0000m
(1.13)
oder kürzer
rMuVKVM g (1.14)
mit der Diagonalmassenmatrix M, der symmetrischen Steifigkeitsmatrix K, den Beschleuni-gungs-, bzw. Verschiebungsvektoren V und V und dem Vektor r, der die Verschiebungen in den einzelnen Freiheitsgraden infolge einer Einheitsverschiebung des seismisch erregten Fuß-punktes angibt. Im vorliegenden Fall ist
1.1 Bewegungsdifferentialgleichungen, d’ALEMBERTsches Prinzip 5
1111
r . (1.15)
Bei zusätzlicher Berücksichtigung einer linear-viskosen Dämpfung erhält Gleichung (1.14) die Form
rMuVKVCVM g . (1.16)
c
c
c
c
c
c
c
c
Bild 1-4 Viskose Dämpfung bezogen auf die Relativ- oder Absolutgeschwindigkeiten
Der Ansatz der viskosen Dämpfer kann bei diesem Beispiel entweder nach Bild 1-4 links oder nach Bild 1-4 rechts erfolgen. Im ersten Fall ergibt sich die Dämpfungsmatrix analog zur Stei-figkeitsmatrix in der Form
44
4433
3322
221
cc00cccc00cccc00ccc
C , (1.17)
während die Annahme nach Bild 1-4 rechts zu folgendem Differentialgleichungssystem führt:
4
3
2
1
gg
4
3
2
1
4
3
2
1
cccc
urMuVK
uuuu
c0000c0000c0000c
VM . (1.18)
6 1 Baudynamische Grundlagen
Ein Nachteil dieser letzten Idealisierung ist, dass hierbei auch der zeitliche Verlauf der Boden-geschwindigkeit )t(ug benötigt wird.
1.2 Zeitabhängige Vorgänge und Prozesse
Bei zeitabhängigen Prozessen spielen Variablen in Raum und Zeit eine Rolle, wobei eine Rei-he von Begriffen zur geeigneten Beschreibung solcher Vorgänge eingeführt werden muss. Einige davon lassen sich anhand der stationären harmonischen Schwingung erläutern. So zeigt Bild 1-5 die graphische Darstellung der Funktion
tsinA)t(x (1.19)
für die konkreten Werte A = 10 Einheiten, s/rad , entsprechend 180 (Altgrad) pro Sekunde und = 45° oder /4 im Bogenmaß (rad). A ist die Amplitude der Schwingung, ihre Kreisfrequenz, d.h. die Anzahl von Schwingungszyklen in 2 Sekunden (Einheit rad/s), und ist der Anfangsphasenwinkel. Wie Bild 1-5 zu entnehmen ist, liegt der dem Koordina-tenursprung nächstgelegene positive (d.h. mit 0x ) Nulldurchgang von x(t) im Abstand t = -
/ von ihm entfernt; hier beträgt dieser Abstand -0,25 s. Die Anzahl der Schwingungszyklen in einer Sekunde wird als Frequenz f (Einheit: s/1 oder Hertz, Hz) bezeichnet und ihr Kehr-wert, d.h. die Dauer eines Schwingungszyklus, als Periode T (Einheit: s). Es gilt:
2f1T (1.20)
Im Beispiel von Bild 1-5 beträgt die Frequenz f = / = 0,5 Hz und die Periode T = 2 s.
-1 0 1 2 3 4Zeit t in s
-12
-8
-4
0
4
8
12
Sign
al x
(t)
Bild 1-5 Stationäre Sinusschwingung
1.2 Zeitabhängige Vorgänge und Prozesse 7
Zeitabhängige Prozesse sind deterministisch oder stochastisch. Während bei deterministischen Prozessen die entsprechenden Variablen als Funktionen von Zeit (und Raum) prinzipiell bere-chenbar sind, lassen sich bei stochastischen oder zufälligen Prozessen nur einige ihrer statisti-schen Erwartungswerte angeben, allerdings lassen sich bei entsprechender numerischer oder experimenteller Modellierung beliebig viele passende Realisationen oder Musterfunktionen generieren. Beispiele für deterministische Prozesse in der Baudynamik sind Maschinenkräfte und Auflagerkräfte von Glocken, dagegen lassen sich die meisten Belastungen natürlichen Ursprungs wie Wind und Erdbeben nur als stochastische Prozesse adäquat beschreiben. Selbst-verständlich lassen sich auch zu stochastischen Prozessen deterministische Modelle als erste (z.T. recht genaue) Näherungen konstruieren. Beim stationären stochastischen Prozess ändern sich die statistischen Kennwerte mit der Zeit nicht, beim so genannten ergodischen Prozess kann darüber hinaus davon ausgegangen wer-den, dass jede Musterfunktion für sich betrachtet imstande ist, diese statistischen Werte zu liefern. Damit lassen sich statistische Untersuchungen „quer durch das Ensemble“, das ist die Gesamtheit aller möglichen Prozessrealisationen, durch Untersuchungen einer einzigen ausrei-chend langen Musterfunktion ersetzen. Im Folgenden werden die wichtigsten Kennfunktionen zur Beschreibung einer Musterfunktion x(t) des gleichnamigen Prozesses zusammengefasst. 1. Der Mittelwert (mean value) wird definiert als
T
0
dt)t(xT1mx (1.21)
bei ausreichend langem T. Liegt die Funktion x(t) als Zeitreihe N....,,2,1r,xr von Funk-tionsordinaten im konstanten Abstand (Abtastintervall) t vor, so lautet der Mittelwert
N
1iix
N1m (1.22)
2. Das quadratische Mittel (mean square), also der Mittelwert der quadrierten Musterfunktion über T, wird definiert als
T
0
22 dt)t(xT1x (1.23)
bzw. bei einer diskreten Zeitreihe N
1i
2i
2 xN1x (1.24)
3. Die Varianz (variance) 2 als Quadrat der Standardabweichung (standard deviation) er-gibt sich zu
2 = 22 mx (1.25)
Durch eine Koordinatentransformation kann das Mittel m immer zu Null gemacht werden, womit die Varianz gleich dem quadratischen Mittel wird.
8 1 Baudynamische Grundlagen
4. Die Autokorrelationsfunktion (auto correlation function)
dttxtxT1)(R
T
0xx (1.26)
bzw. für eine Zeitreihe
...,2,1k,xx)1k(N
1)t)1k((R)1k(N
1i)1k(iixx (1.27)
ist eine gerade Funktion, Rxx ( ) = Rxx (- ) mit Werten zwischen )22 m( und )22 m( . Es gilt weiter
22xx m)0(R (1.28)
Auch Kreuzkorrelationsfunktionen (cross correlation functions) zwischen zwei verschiedenen Schrieben x(t) und y(t) lassen sich analog definieren:
T
0xy dt)t(y)t(x
T1)(R (1.29)
Haben beide Prozesse x(t) und y(t) den Mittelwert Null, so gilt
yxxyyx )(R (1.30)
5. Die Leistungsspektraldichte eines Prozesses wird als FOURIER-Transformierte seiner Au-tokorrelationsfunktion definiert, bzw. die Autokorrelationsfunktion ist die inverse FOURIER-Transformierte der Leistungsspektraldichte (WIENER-KHINTCHINE-Beziehung):
de)(R21)(S i
xxxx (1.31)
de)(S)(R ixxxx (1.32)
Da )(R xx eine gerade Funktion ist, lautet ihre FOURIER-Transformierte:
0xxxxxx dcos)(R1dcos)(R
21)(S (1.33)
Sxx( ) ist wie Rxx reell und gerade. Für 0 gilt:
2xxxx xd)(S)0(R (1.34)
Das bedeutet, dass die Fläche unterhalb der Spektraldichtefunktion gleich dem quadratischen Mittel des Prozesses ist.
1.2 Zeitabhängige Vorgänge und Prozesse 9
Kreuzspektraldichten werden analog eingeführt:
)(Bi)(Ade)(R21)(S i
xyxy (1.35)
Im Gegensatz zu Autospektraldichten sind sie im Allgemeinen komplex. Mit der zu Sxy( ) konjugiert komplexen Kreuzspektraldichte )(S*
xy gilt:
)(S)(S yx*xy (1.36)
Die Leistungsspektraldichten von abgeleiteten Prozessen x , x etc. ergeben sich zu:
xx2
xx SS (1.37)
xx4
xx SS (1.38)
Dadurch ist die Möglichkeit gegeben, bei Kenntnis der Leistungsspektraldichte einer Ver-schiebung auch für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung Kennwerte wie etwa das quadratische Mittel zu bestimmen.
Maßeinheit der Leistungsspektraldichte Sxx ( ) ist das Quadrat der Einheit von x pro Einheit der Kreisfrequenz (rad/s). Oft wird anstelle von Sxx ( ) die einseitige Leistungsdichte Gxx ( ) betrachtet, die nur positive Frequenzanteile enthält. Es ist
)(S2)(G xxxx (1.39)
Wird anstelle der Kreisfrequenz in rad/s die Frequenz f in 1/s verwendet, so hängen die Ordinaten der zugehörigen Leistungsspektraldichte Wxx (f) wie folgt mit denjenigen von Sxx ( ) zusammen:
xxxx S4fW (1.40)
Als Grenzfall eines Breitbandprozesses ergibt sich der als „weißes Rauschen“ (white noise) bezeichnete stationäre Prozess, bei dem alle Frequenzanteile gleichmäßig zur (unendlich gro-ßen) Varianz beitragen. Seine Autokorrrelationsfunktion ist eine DIRACsche Delta-Funktion, d.h. die Ordinaten der Musterfunktionen sind vollkommen unkorreliert. Da sich der Prozess durch einen einzigen Parameter, nämlich die konstante Leistungsspektraldichte S0 beschreiben lässt, stellt er das einfachste Modell für stationäre stochastische Prozesse dar. Der zugehörige allgemeinere instationäre Prozess wird als Stoßrauschen (shot noise) bezeichnet. Er kann unter anderem als Produkt von „weißem Rauschen“ mit einer deterministischen Zeitfunktion reali-siert werden. In Bild 1-6 sind einige Autokorrelationsfunktionen und Leistungsspektraldichten typischer Prozesse gegenübergestellt.
10 1 Baudynamische Grundlagen
Bild 1-6 Autokorrelationsfunktionen, zugehörige Spektraldichten und Musterfunktionen
1.3 Der Einmassenschwinger
Der viskos gedämpfte Einmassenschwinger, dessen Differentialgleichung gemäß (1.7) bereits vorliegt, stellt ein für viele baudynamischen Anwendungen sehr nützliches Modell dar und hat zudem den Vorzug der einfachen mathematisch-numerischen Handhabung. In diesem Ab-schnitt werden Lösungsalgorithmen für lineare und nichtlineare Einmassenschwinger disku-tiert und anhand von Beispielen erläutert. Die praktische Durchführung der Berechnungen erfolgt mit Hilfe der angegebenen Computerprogramme, deren Ein- und Ausgabe im Einzelnen erläutert wird.
1.3.1 Der Einmassenschwinger im Zeitbereich
Ausgangspunkt ist die allgemeine Bewegungsdifferentialgleichung des viskos gedämpften linearen Einmassenschwingers gemäß (1.7). Mit der Verschiebung u(t), der Geschwindigkeit
)t(u und der Beschleunigung )t(u lautet sie
)t(Fukucum (1.41)
bzw. nach Division durch die Masse m
1.3 Der Einmassenschwinger 11
)t(fm
)t(Fumku
mcu (1.42)
Zunächst wird die homogene Differentialgleichung, F(t)=0 betrachtet. Mit dem Ansatz
)texp(u (1.43)
ergibt sich die charakteristische Gleichung
mk;0
mc 2
12
12 (1.44)
mit 1 als Kreiseigenfrequenz des Einmassenschwingers. Die Lösungen von (1.44) sind
21
2
2,1 m2c
m2c (1.45)
Das Verhalten des Systems hängt vom Vorzeichen des Wurzelausdrucks ab. Für hohe Dämp-fungswerte ist der Radikand positiv, die Lösungen 1 und 2 sind reell und die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
t2
t1 21 eCeCu (1.46)
stellt eine asymptotisch gegen Null strebende Funktion dar. Nur für Dämpfungswerte kleiner als
1krit m2cc (1.47)
tritt eine Schwingung überhaupt auf. Das Verhältnis zwischen dem vorhandenen Dämpfungs-wert c und ckrit wird als LEHRsches Dämpfungsmaß D oder Prozentsatz der kritischen Dämp-fung bezeichnet. Es ist
1krit m2c
ccD (1.48)
Mit 1D2mc ergibt sich aus der Differentialgleichung (1.42):
)t(fuuD2u 211 (1.49)
Für f(t)=0 lautet die homogene Lösung
tD1sinCtD1cosCetu 12
212
1tD 1 (1.50)
Für den allgemeinen Fall der Anfangsbedingungen 00 u0u,u0u lautet sie:
tD1sinD1
uDutD1cosuetu 12
21
0101
20
tD 1 (1.51)
Zu beachten ist dabei die reduzierte Kreiseigenfrequenz D des gedämpften Systems
21D D1 (1.52)
12 1 Baudynamische Grundlagen
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1.49) ergibt sich als Summe von (1.51) und einer partikulären Lösung up(t). Letztere kann als DUHAMEL- oder Faltungs-integral wie folgt dargestellt werden:
t
0D
tD
Dp dtsinef1tu 1 (1.53)
Zur praktischen Lösungsermittlung empfiehlt sich die direkte numerische Integration der in-krementellen Form (1.54) der Differentialgleichung unter Verwendung eines geeigneten Algo-rithmus:
Fukucum (1.54)
mit den Inkrementen über den Zeitschritt 12 ttt :
1212
1212
1212
1212
FF)t(F)t(FFuu)t(u)t(uuuu)t(u)t(uuuu)t(u)t(uu
(1.55)
In diesem Buch wird ausschließlich der weit verbreitete NEWMARK - – Integrator verwen-det. Es wird je nach Wahl der Parameter und ein konstanter ( = 0,25 und = 0,50) oder ein linearer ( = 1/6 und = 0,50) Verlauf der Beschleunigung u im Zeitschritt t unterstellt. Die Inkremente der Geschwindigkeit und der Beschleunigung über t ergeben sich zu
.112
11
u21u
t1u
t1u
u12
tuut
u (1.56)
und das Verschiebungsinkrement berechnet sich aus
12
tuuc2u
tumF
kt
ct
1m
kfu
1111
2
*
* (1.57)
Zur Durchführung dieser Berechnung steht das Programm LEINM zur Verfügung. Es benötigt eine selbst zu erstellende Eingabedatei mit dem Namen RHS, in der die Belastungsfunktion (rechte Seite) f(t) oder F(t) abgelegt ist, und zwar zweispaltig im Format 2E14.7 (zwei Spalten mit je 14 Zeichen), mit den Zeitmarken im konstanten Abstand t in der ersten und den Be-lastungsordinaten in der zweiten Spalte. Alle Kenndaten des Einmassenschwingers werden nach dem Programmstart interaktiv abgefragt, dazu auch der Faktor (1/m) zur Gewinnung von f(t) durch Skalierung von F(t). In der Ausgabedatei THNEW stehen in vier Spalten nebenein-ander die Zeitpunkte sowie die berechneten Werte der Auslenkung, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung des Systems; wegen der vorgesehenen Ausgabe der Beschleunigung in g-Einheiten ist es notwendig, den gültigen Umrechnungsfaktor bei der verwendeten Längenein-heit (die Zeit wird stets in s gemessen) interaktiv einzugeben (z.B. mit 9,81 bei Verwendung von m als Längeneinheit). Es werden zusätzlich die erreichten Maximalwerte der Auslenkung,
1.3 Der Einmassenschwinger 13
der Geschwindigkeit und der Beschleunigung (letztere in g) mit den zugehörigen Zeiten am Bildschirm ausgegeben. Ist die Belastungsfunktion stückweise linear, kann das Programm LININT herangezogen wer-den, um mittels linearer Interpolation Funktionswerte im konstanten Abstand t zu ermitteln. Das Programm benötigt eine Eingabedatei FKT, in der in zwei Spalten die Zeitpunkte und die Ordinaten an den Knickpunkten des Polygonzuges formatfrei angegeben sind; in der Ausgabe-datei FKTINT stehen dann die Zeitmarken und die interpolierten Funktionswerte im Format 2E14.7.
Beispiel 1-1 (Programme und Daten im Verzeichnis BSP1-1):
P(t)
EI1 EI2 EI3
m,
h
u1,0
0,05
P(kN)
0 0,1 t (s)
REI
1 2
Bild 1-7 Einstöckig-zweifeldriger Rahmen mit starrem Riegel
Als Beispiel wird der in Bild 1-7 dargestellte Rahmen unter der angegebenen Belastung be-trachtet, mit folgenden Angaben:
23
22
21
21
kNm000.55EI,kNm000.80EI,kNm000.65EI
t7mm5,4h
m5,4,m5,6
Als Dämpfung wird ein LEHRsches Dämpfungsmaß von D = 1 % angenommen. Beim starren Riegel beträgt die horizontale Steifigkeit des Rahmens
mkN45,26337
h
EI12
h
EI12
h
EI12k
33
32
31
Damit lautet die Kreiseigenfrequenz des Systems
srad34,61
0,745,26337
mk
1
entsprechend einer Periode s102,034,612T1 . Für die Lösung der Differentialgleichung durch Direkte Integration empfiehlt sich im Allgemeinen die Wahl eines Zeitschritts t von etwa einem Zehntel der Periode des Einmassenschwingers; hier wird jedoch ein halb so großer Zeitschritt mit s005,0t angenommen.
14 1 Baudynamische Grundlagen
Für das Programm LININT lässt sich die Belastungsfunktion durch folgende vier Punkte beschreiben: (0;0), (0,05;1,0), (0,1;0) und (100;0); sie werden mit Hilfe des Editors in die neu zu erstellende Eingabedatei FKT eingetragen (siehe Verzeichnis BSP1-1). Zur Bestimmung der Zeitverläufe bis t = 0,5 s werden damit 0,5/0,005=100 Punkte der Lastfunktion benötigt. Nach Aufruf von LININT und Eingabe der Anzahl der Punkte, welche die zu interpolierende Kurve beschreiben (hier 4), der konstanten Interpolationsschrittweite (gleich dem Zeitschritt, hier 0.005) und der Anzahl der auszugebenden Punkte (100) entsteht die Datei FKTINT, die vor dem Aufruf von LEINM als Datei RHS kopiert wird. Es ist zu beachten, dass bei der Ein-gabe Dezimalpunkte anstelle von Kommas zu verwenden sind. Beim Aufruf von LEINM sind nacheinander einzugeben die Kreiseigenfrequenz des Einmassenschwingers (61.34), das LEHRsche Dämpfungsmaß (0.01), die Anfangsverschiebung zum Zeitpunkt t = 0 (hier 0), die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 (hier ebenfalls 0), die Anzahl der Zeitschritte (100), die Zeitschrittweite (0.005), der Wert von g (9.81) und schließlich der Normierungsfak-tor (1/Masse) der Lastfunktion F(t) nach (1.42), hier 1/7 = 0.1428. Auf dem Bildschirm er-scheinen die Maximalwerte der Systemantworten u,u,u mit den zugehörigen Zeitpunkten, hier als die Maximalverschiebung umax = 0,56·10-4 zum Zeitpunkt 0,075 s, die Maximalge-schwindigkeit s/m1029,0u 2
max (t = 0,105 s) und die Maximalbeschleunigung g0179,0umax zum Zeitpunkt t = 0,130 s. In der Ausgabedatei THNEW stehen in vier Spal-
ten die Zeitpunkte, die Verschiebungen, die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen (letztere in g) vom Rahmenriegel. Bild 1-8 zeigt den Zeitverlauf der Auslenkung.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Zeit, s
-8E-005
-4E-005
0
4E-005
8E-005
Aus
lenk
ung,
m
Bild 1-8 Zeitverlauf der Riegelauslenkung
1.3 Der Einmassenschwinger 15
Beispiel 1-2 (Programme und Daten im Verzeichnis BSP1-2):
Betrachtet wird wiederum der Rahmen von Bild 1-7, allerdings diesmal mit nichtstarrem Rie-gel und unter Erdbebenbelastung. Zur Berücksichtigung der Biegesteifigkeit des Riegels muss die Federsteifigkeit k des Einmassenschwingers als Reziprokwert der Auslenkung in Rich-tung u infolge einer Eins-Last P = 1 bestimmt werden. Dies kann mittels einer statischen Be-rechnung erfolgen (Einzelheiten dazu siehe unter 1.4.1) oder durch statische Kondensation (siehe Abschnitt 1.4.3). Für eine Riegelsteifigkeit EIR = 120.000 kNm2 und P = 1 kN ist = 4,742 10-5 m, entsprechend einer Steifigkeit von k = 21087,29 kN/m. Die Eigenkreisfre-
quenz ist in diesem Fall 54,886 rad/s und die Periode 0,114 s. Beansprucht wird der Rahmen durch die Bodenbeschleunigung gemäß Bild 1-9, das ist die in Bergheim in Nord-Süd-Richtung gemessene Komponente des Roermond-Bebens von 1992. Die zu lösende Differentialgleichung lautet nach (1.16):
gumukucum (1.58)
oder, nach Division durch die Masse m:
g2
11 uuuD2u (1.59)
mit D = 0,01, 886,541 rad/s und dem Bodenbeschleunigungsverlauf gu nach Bild 1-9. Die
Berechnung mit dem Programm LEINM liefert den in Bild 1-10 skizzierten Zeitverlauf der Beschleunigung u des Rahmenriegels mit dem Maximalwert 0,136 g.
0 10 20 30 40 50Zeit, s
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Bes
chle
unig
ung,
m/s
**2
Bes
chle
unig
ung
[m/s
2 ]
Zeit [s]
0 10 20 30 40 50Zeit, s
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Bes
chle
unig
ung,
m/s
**2
Bes
chle
unig
ung
[m/s
2 ]
Zeit [s]
Bild 1-9 In Bergheim gemessene NS Komponente des Roermond-Bebens
16 1 Baudynamische Grundlagen
0 10 20 30 40 50Zeit, s
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Rie
gelb
esch
leun
igun
g, g
Bild 1-10 Beschleunigung des Rahmenriegels infolge des Roermond-Bebens
1.3.2 Der Einmassenschwinger im Frequenzbereich
Die Lösung u(t) der Differentialgleichung (1.49) lässt sich im Zeitbereich als Faltung der so genannten Impulsreaktionsfunktion h(t) mit der Belastung f(t) darstellen, gemäß
d)t(h)(f)t(u (1.60)
mit
tD2
1
21 1e
D1
tD1sin)t(h (1.61)
Dabei stellt die Impulsreaktionsfunktion die Systemantwort auf einen Einheitsimpuls dar. Durch die Einführung der FOURIER-Transformierten U( ), F( ) und H( ) der Zeitfunktio-nen u(t), f(t) und h(t) gemäß
dte)t(x21)(X ti (1.62)
erhält (1.60) die Form:
)(F)(H)(U (1.63)
1.3 Der Einmassenschwinger 17
mit H( ) als Übertragungsfunktion des Systems, die analog zur Impulsreaktionsfunktion des Zeitbereichs die Systemantwort auf eine stationär-harmonische Einheitserregung beschreibt. Für die Einheitserregung f(t) = )tiexp(1 lautet die Antwort u(t) des Einmassenschwingers nach (1.49) definitionsgemäß tiexpH)t(u und die (komplexe) Übertragungsfunktion ergibt sich daraus zu
122
1 D2i1)(H (1.64)
Die „Faltung“ der Funktionen h(t) und f(t) in (1.60) wird im Frequenzbereich gemäß (1.63) durch die komplexe Multiplikation ihrer FOURIER-Transformierten H und F ersetzt. Der numerische Aufwand ist jedoch nicht unbedingt geringer, da nach Hintransformation der Be-lastungsfunktion f(t) in den Frequenzbereich, Ermittlung der Übertragungsfunktion und Durchführung der komplexen Multiplikation zur Bestimmung von U( ) diese Lösung noch mit Hilfe der inversen FOURIER-Transformation zurück in den Zeitbereich transformiert werden muss. Die entsprechende Beziehung als Gegenstück zu (1.62) lautet:
dtiexp)(X)t(x (1.65)
In der Praxis liegen die Funktionen in der Regel digital als Zeitreihen fr oder Frequenzreihen Fk mit jeweils N diskreten Werten (reell oder komplex) im konstanten Zeitabstand t bzw. im Frequenzabstand vor. Anstelle der Integrale (1.62), (1.65) treten damit Summenausdrücke der „Diskreten FOURIER-Transformation“ (DFT) auf:
Nkr2iexpf
N1F
1N
0rrk (1.66)
Nkr2iexpFf
1N
0kkr (1.67)
Hierbei umfasst die Zeitreihe fr eine Zeitdauer von tNT Sekunden, wobei implizit unter-stellt wird, dass sich die Funktion nach T s wiederholt. Bei aperiodischen Vorgängen muss zur Vermeidung von Überlappungseffekten T ausreichend groß gewählt werden, so dass nach dem Abklingen der Funktion genügend viele Nullordinaten bis zum Periodenende vorhanden sind. Für eine Zeitreihe fr mit N Ordinaten im Abstand t liefert (1.66) N komplexe Koeffizienten Fk im Frequenzabstand ]s/rad[T2 , wovon allerdings nur die erste Hälfte (k = 0, 1, ... N/2-1) von Bedeutung ist, da die Koeffizienten Fk für k=N/2 bis N Spiegelbilder der ersten Hälfte sind (Spiegelung um die sog. NYQUIST-Frequenz tNYQ , wobei die Realteile gleich bleiben, während die Imaginärteile mit umgekehrtem Vorzeichen vorkom-men). Enthält die Zeitreihe höhere Frequenzanteile als NYQ , was sich darin manifestiert, dass die Koeffizienten Fk mit k in der Nähe von N/2 nicht praktisch Null sind, tritt eine Verfäl-schung des Frequenzspektrums Fk auf, was unter Umständen das Entfernen dieser hochfre-quenten Anteile durch eine Tiefpassfilterung vor Durchführung der Frequenzanalyse notwen-dig macht. Zur Durchführung der Diskreten FOURIER Transformation werden nicht etwa (1.66) und (1.67) direkt programmiert, sondern so genannte Fast-FOURIER-Algorithmen wie das klassische COOLEY-TUKEY-Verfahren verwendet, die den numerischen Aufwand dras-
