BCS-BEC-CROSSOVER - TU Dresden · 01 Fermionische Kondensate BCS: Teilchenpaare ~k,...

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BCS-BEC-CROSSOVER Hauptseminarvortrag Silvan Kretschmer Dresden, 06/2014

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  • BCS-BEC-CROSSOVER

    Hauptseminarvortrag

    Silvan Kretschmer

    Dresden, 06/2014

  • 1 Fermionische Kondensation: Phänomenologie

    2 BCS - Meanfield - Theorie: Gap-Gleichung und chemisches Potential

    3 BCS - BEC - Crossover: Experimenteller Nachweis

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 2 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:

    exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap

    ∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 3 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:

    exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap

    ∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 3 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:

    exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap

    ∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 3 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc

    - Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:

    exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc

    - Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap

    ∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 3 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)

    - Einteilchenanregungs-Gap ∆:exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)

    - Einteilchenanregungs-Gap∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 3 of 16

  • 01 Fermionische Kondensate

    BCS: Teilchenpaare −~k,~k (Cooper-Paare): schwach gebunden

    BEC: Paare im Ortsraum (Moleküle):stark gebunden

    Phasenübergang ?

    - Abstand im Paar � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ ≈ Tc- Kondensatanteil � 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap ∆:

    exponentiell klein zu EF

    - Bindungsabstand � mittlererTeilchenabstand

    - Paarungs-Temperatur T∗ � Tc- Kondensatanteil ≈ 1 (T=0)- Einteilchenanregungs-Gap

    ∆ ∼ Eb groß gegenüber EF

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  • 01 Kontrollparameter - Feshbachresonanz

    as ≡ a ... Streulänge

    kF ... Fermi-Wellenzahl ∼ n1/3 ... Dichte

    Streulänge a an einer Feshbachresonanz, Bindungsenergie Eb = − ~2

    2mra2

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  • 02 Vielteilchen-Hamiltonian

    Ĥ =∑σ

    ∫d3rΨ̂†σ(~r)

    (−∇2

    2m− µ

    )Ψ̂σ(~r)

    +

    ∫d3r

    ∫d3r′Ψ̂†↑(~r)Ψ̂

    †↓(~r′)V(~r,~r′)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r

    ′)

    Kontaktwechselwirkung V(~r1,~r2) = V(~r = ~r1 −~r2) = gδ(~r) ∂∂r r mit g =4π~2am

    :

    Ĥ =∑σ

    ∫d3rΨ̂†σ(~r)

    (−∇2

    2m− µ

    )Ψ̂σ(~r) + g

    ∫d3rΨ̂†↑(~r)Ψ̂

    †↓(~r)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r)

    Meanfield + uniformes Gas ⇒ ebene Wellen, Fouriertransformation∆ = − 1

    V

    ∑k

    Vk

    〈ck↑c−k↓

    〉︸ ︷︷ ︸

    Fk

    = − gV

    ∑k

    〈ck↑c−k↓

    〉, Fk...Ordnungsparameter:

    ĤBCS =∑k,σ

    (~2k2

    2m− µ

    )c†kσckσ + ∆

    ∑k

    (c†k↑c†−k↓ + ck↑c−k↓) + const.

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  • 02 Vielteilchen-Hamiltonian

    Ĥ =∑σ

    ∫d3rΨ̂†σ(~r)

    (−∇2

    2m− µ

    )Ψ̂σ(~r)

    +

    ∫d3r

    ∫d3r′Ψ̂†↑(~r)Ψ̂

    †↓(~r′)V(~r,~r′)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r

    ′)

    Kontaktwechselwirkung V(~r1,~r2) = V(~r = ~r1 −~r2) = gδ(~r) ∂∂r r mit g =4π~2am

    :

    Ĥ =∑σ

    ∫d3rΨ̂†σ(~r)

    (−∇2

    2m− µ

    )Ψ̂σ(~r) + g

    ∫d3rΨ̂†↑(~r)Ψ̂

    †↓(~r)Ψ̂↑(~r)Ψ̂↓(~r)

    Meanfield + uniformes Gas ⇒ ebene Wellen, Fouriertransformation∆ = − 1

    V

    ∑k

    Vk

    〈ck↑c−k↓

    〉︸ ︷︷ ︸

    Fk

    = − gV

    ∑k

    〈ck↑c−k↓

    〉, Fk...Ordnungsparameter:

    ĤBCS =∑k,σ

    (~2k2

    2m− µ

    )c†kσckσ + ∆

    ∑k

    (c†k↑c†−k↓ + ck↑c−k↓) + const.

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  • 02 Lösung des BCS-Hamiltonians

    BCS-Grundzustand: |ΨBCS〉 =∏k

    (uk + vkc†k↑c†−k↓)|0〉

    v2k =1

    2

    (1−

    ηk√η2 + ∆2

    )=

    1

    2

    (1−

    ηk

    �k

    )ukvk =

    1

    2

    ∆√η2k + ∆

    2=

    1

    2

    �k=〈ck↑c−k↓

    〉= Fk

    Mit ηk =~2k22m− µ, �k =

    √η2k + ∆

    2.

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  • 02 Paarkorrelationsfunktion und Gap-Gleichung

    Paarkorrelationsfunktion R = r1+r22

    , s = r1 − r2:

    F(s) =〈

    Ψ̂↑(R +s

    2)Ψ̂↓(R−

    s

    2)〉

    =

    ∫d3k

    (2π)3Fke

    iks

    Gap-Gleichung:

    ∆ = −1

    V

    ∑k

    Vk

    〈ck↑c−k↓

    〉= −

    ∫d3s V(s)

    〈Ψ̂↑(R +

    s

    2)Ψ̂↓(R−

    s

    2)〉

    = −∫

    d3s δ(s)∂

    ∂ss〈

    Ψ̂↑(R +s

    2)Ψ̂↓(R−

    s

    2)〉

    = −g[∂

    ∂ssF(s)

    ]s=0

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  • 02 Gap-Gleichung und chemisches Potential

    Mit ηk =~2k22m− µ, �k =

    √η2k + ∆

    2:

    m

    4π~2a=

    ∫d3k

    (2π)3

    (m

    ~2k2−

    1

    2�k

    )(∆)

    n =k3F

    3π2=

    ∫d3k

    (2π)3

    (1−

    ηk

    �k

    )(µ)

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  • Verhalten von µ und |∆| beim BCS-BEC-Crossover [1]

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  • 03 Experimenteller Nachweis

    (2004) JILA: C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin. Observation of resonance condensationof fermionic atom pairs.

    (2004) MIT: M.W. Zwierlein, C.A. Stan, C.H. Schunck, S.M.F. Raupach, A.J. Kerman, andW. Ketterle. Condensation of pairs of fermionic atoms near a Feshbach resonance.

    BCS: Time-of-flight Aufnahmen des fermionischeKondensats (40K; paarweise Projektion) für ∆B =0.12, 0.25, and 0.55 G bei B0 = 202.10± 0.07 G [8]

    BEC: Time-of-flight Aufnahmen derMolekülwolke (40K) für T > Tcbzw. T < Tc [4]

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  • 03 Experimenteller Nachweis

    Beobachtung von Vortices in einem starkwechselwirkenden Fermigas (6Li; NachweisSuprafluidität und Phasenkoheränz) [3]

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  • 04 Referenzen

    [1] Leggett, A.J. Quantum Liquids - Bose Condensation and Cooper Pairingin Condensed-Matter Systems, Oxford University Press, (2006)

    [2] Giorgini, S. and Pitaevskii, L and Stringari, S. Theory of ultracold atomicFermi gases Rev. Mod. Phys. 80, 1215 (2008)

    [3] Ketterle, W. et al. Superfluidity in a gas of strongly interacting fermions.Journal of Physics: Condensed Matter 21.16 (2009): 164206.

    [4] Greiner, M. and Regal, C.A. and Jin, D.S. Emergence of a molecularBose-Einstein condensate from a Fermi gas. Nature: Volume 426 (2003)

    [5] Randeria, M. and Taylor, E. BCS-BEC Crossover and the Unitary FermiGas. Condensed Matter Physics: Vol. 5: 209-232 (2014)

    [6] http://www.nature.com (04/06/2014).

    [7] M. Zwierlein Teilchen auf Partnersuche, Physik Journal 7 Nr. 12 (2008).

    [8] C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin. Observation of resonancecondensation of fermionic atom pairs. Phys. Rev. Lett., 92:040403, (2004)

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  • 05 Anhang: BCS/BEC-Grenzfall analytisch [2]

    BCS a→ 0− :E0

    N=

    3

    5EF

    (1−

    40

    e4eπ/kFa + ...

    )BEC a→ 0+ :

    E0

    N= −

    ~2

    2ma2+

    3

    5EF

    (5kFa

    9π−

    5(kFa)4

    54π2+ ...

    )

    TU Dresden, 06/2014 BCS-BEC-Crossover slide 16 of 16

    Fermionische Kondensation: PhänomenologieBCS - Meanfield - TheorieExperimenteller NachweisReferenzenAnhang