Beeinflussung und Messung ultrakurzer

Lichtimpulse

Praktikumsanleitung für den Lehrversuch

Hochschule München Fakultät 06 Laserzentrum Prof. H. Huber

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Lehrversuch: Beeinflussung und Messung ultrakurzer Lichtimpulse

Motivation

Das erste photografische Bild eines laufenden Pferdes löste auf, dass dieses zu einem bestimmten

Zeitpunkt mit keiner Hufe Kontakt zum Untergrund hat und somit durch die Luft fliegt. Fasziniert von

diesen Einblicken in die Vorgänge der Natur, entstanden so immer neue Techniken um die

Belichtungszeit zu verkürzen und somit das aufzeichenbare Ereignis ebenso zu minimieren. Dabei

spielte gerade die Entwicklung der Laser in den letzten Jahrzehnten eine wichtige Rolle. Ultrakurze

Pulse erstrecken sich in einem Bereich von Pico- bis Attosekunden. So gelang es, mithilfe ultrakurzer

Laserpulse, das kürzeste jemals vom Menschen erzeugte und gemessene Ereignis von 80

Attosekunden (Stand 2011) zu ermöglichen. Ähnlich verblüffte Blicke, wie einst mit dem laufenden

Pferd, könnten nun beim Beobachten der Bewegung von Elektronen folgen.

Neben der Grundlagenforschung haben sich Ultrakurzpulslaser auch in der Medizin, der Messtechnik,

der Präzisionsmaterialbearbeitung und vielen weiteren Bereichen etabliert und sind dort heutzutage

nicht mehr wegzudenken. Dabei spielt die Kontrolle über die zeitliche Dauer der Laserpulse eine

entscheidende Rolle.

Ziele des Praktikums:

- Erzeugung von Pico- und Femtosekundenlaserpulsen

- Beeinflussung der Pulsdauer in Theorie und Praxis mittels optischen Materials, Prismen-

und Gitterkompressoren

- Charakterisierung und Messung ultrakurzer Lichtpulse in Theorie und Praxis mittels

Autokorrelaiton

- Auswerten von Messdaten, anfitten von Modellfunktionen

Vorbereitung des Praktikums:

Folgende Themengebiete sind für das Verständnis und die Durchführung des Praktikums relevant.

Deshalb sollten sie vor dem Praktikum gewissenhaft vorbereitet werden.

Themengebiet Details

1. Ultrakurze Pulse Erzeugung via Modenkopplung, Zeit-Bandbreite-Produkt,

Chirp, Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

2. Dispersive Elemente Optisches Material, Prismenkompressor, Gitterkompressor

3. Frequenzverdoppelung Nichtlineare Kristalle, Doppelbrechung, Impuls- und

Energieerhaltung, Phasenanpassung

4. Autokorrelation Prinzip der optischen Methode, Autokorrelationsintegral,

Kurvenmodelle, Informationsgehalt des Signals

Als Quellen für die Vorbereitung kann der Anhang und das dort befindliche Quellenverzeichnis

dienen. Neben einem Überblick über die oben genannten Themengebiete sollten auch die Testatfragen

(die sich auf der nächsten Seite befinden) gezielt vorbereitet werden.

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Antestat, Vorbesprechung

Folgende Fragen sollen beantwortet werden:

1. Wie erzeugt man cw, ms, µs, ns, ps, fs Laserstrahlung? Erklären Sie das

Grundprinzip der Güteschaltung und Modenkopplung. Wie realisiert man aktive und

passive?

2. Der modengekoppelte Laser im Praktikum arbeitet mit einer Repetitionsrate von 82

MHz. Wodurch wird diese bestimmt? Mit welcher Frequenz müsste ein Güteschalter

bei aktiver Modenkopplung schalten? Wie groß ist der spektrale Abstand der

longitudinalen Moden?

3. Wodurch wird die Pulsdauer eines modengekoppelten Lasers bestimmt? Geben Sie

die Beziehung zwischen Bandbreite und minimaler Pulsdauer an! Welche Pulsform

gibt bei gegebener Bandbreite die kürzeste Pulsdauer?

4. Was ist der Gruppenbrechungsindex? Was versteht man unter einem gechirpten Puls?

Welchen Einfluss haben die jeweiligen Dispersionen bis zur dritten Ordnung auf die

Pulsdauer und die zeitlich Pulsform?

5. Erklären Sie wie mittels Prismen- und Gitterkompressor Einfluss auf die Pulsdauer

genommen werden kann. Was sind die Vor- und Nachteile dieser Anordnungen?

6. Kann ein negativ gechirpter Puls, in einem Gitterkompressor auf sein

bandbreitebegrenztes Minimum verkürzt werden?

7. Welche Messmethoden zur Bestimmung der Pulsdauer von Lasern kennen Sie?

Welche Wegstrecke durchläuft ein Puls in 1 ns, 1 ps und 1 fs?

8. Erklären sie kurz das Prinzip der Autokorrelation. Wann verwendet man diese

Technik zur Pulslängenbestimmung? Welche Aufgabe hat der Verdopplerkristall im

Messaufbau

9. Wie ist die Pulsdauer definiert? Wie wird aus dem Autokorrelationssignal die

Pulsdauer bestimmt?

WICHTIGE HINWEISE ZUM UMGANG MIT DEN LASERN IM PRAKTIKUM

Die im Praktikum verwendete Laserstrahlung wird der Klasse 3B zugeordnet. Es treten Wellenlängen

von 390 nm und 780 nm (beide am Rande der spektralen Sichtbarkeit) auf. Folgen Sie unbedingt

genau den Anweisungen des Betreuers. Machen sie sich klar, wo überall Strahlung auftreten kann.

Gerade im Bereich des Gitterkompressors kommt es aufgrund verschiedener Beugungsordnungen zu

Strahlen außerhalb der Anordnung. Tragen Sie während des gesamten Praktikums ihre Schutzbrille.

Am Praktikum darf nur teilnehmen, wer die jährliche Sicherheitsunterweisung zum Thema

Laserstrahlung erhalten hat. Teilnehmer des Praktikums werden aufgefordert, selbst darauf zu achten,

dass sie geeignete Schutzausrüstung (insbesondere Schutzbrillen) verwenden.

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Durchführung des Praktikums

Hinweis: Bitte bringen Sie einen USB-Stick zur Datenerfassung mit!

Es stehen Ihnen folgende Geräte und Messmittel zur Verfügung:

1. Femtosekundenoszillator

2. Handautokorrelator mit Multimeter

3. Kommerzieller Autokorrelator

4. Spektrometer

5. Photodiode mit Powermeter und Graufilter

6. Lineal

Arbeitsschritt 1: Inbetriebnahme

Nehmen Sie den Laser in Betrieb. Achten Sie auf Ihre Schutzausrüstung. Schalten Sie zuerst die

Temperaturregelung des nichtlinearen Kristalls ein. Drehen Sie den Power-Schlüsselschalter des FFS

DC Racks auf „ON“ . Warten Sie bis alle TEC LEDs kontinuierlich leuchten. Durch drücken der OCS

„ON/OFF“ Taste aktivieren Sie den Oszillator. Warten Sie auch hier auf ein konstantes Aufleuchten

der LED. Anschließend können beide Verstärkerdioden eingeschaltet werden. Versichern Sie sich,

dass der Shutter am Laserausgang offen ist. Hierzu muss die Auskerbung nach unten zeigen.

Fertigen Sie ein Messprotokoll über alle folgenden Ergebnisse an!

Arbeitsschritt 2: Messung der spektralen Breite

Bringen Sie nun nach dem PBS eine Mattscheibe in den Strahlengang ein, die die Strahlung diffus

aufstreut. Diese diffuse Aufstreuung kann nun mittels Spektrometer untersucht werden. Starten Sie

hierzu die Software „SpektraWiz“ auf dem bereitstehenden PC. Bestimmen Sie mithilfe dieser

Software die spektrale Halbwertsbreite, sowie die Zentralwellenlänge des Lasers. Notieren Sie die

Werte und speichern das aufgenommene Spektrum auf Ihren USB-Stick. Welche Pulsdauer erwarten

Sie aus den ermittelten Werten?

Arbeitsschritt 3: Vermessung des Originalpulses mittels Handautokorrelator

Entfernen Sie die Streuscheibe wieder und klappen Sie den Spiegel M1 in den Strahlengang.

Bedienen Sie die Klappspiegel mit Feingefühl, ansonsten droht eine Dejustage! Justieren Sie den

Laser jetzt mit Hilfe von M1 und dem Einkoppelspiegel des Handautokorrelators auf die

Blendenstrecke ein. Entfernen Sie die Schutzkappe des nichtlinearen Kristalls. Schließen Sie die

Photodiode an das Multimeter an. Beobachten Sie, wie sich das Messsignal verändert, wenn sie den

nichtlinearen Kristall mittels Rotationstisch verdrehen. Woran liegt das? Justieren Sie anschließend

auf ein maximales Messsignal. Stellen Sie den Verschiebetisch auf einen Skalenstrich der

Mikrometerschraube ein, welche dem maximalen Autokorrelationssignal am nächsten ist. Vermessen

Sie nun den Puls, indem Sie den Verschiebetisch mit der kleinsten Schrittweite der

Mikrometerschraube verstellen und die zugehörige Ausgangsspannung der Photodiode detektieren.

Kehren Sie zum Startpunkt zurück und vermessen auch die andere Flanke des Signals. Nehmen Sie die

Messkurve ein weiteres Mal auf, indem Sie den Puls aus dieser Position noch einmal „rückwärts“

vermessen.

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Arbeitsschritt 4: Vermessung des Originalpulses mittels kommerziellen Autokorrelator

Entfernen Sie wieder alle Klappspiegel aus dem Strahlengang. Schalten Sie den APE PulseCheck

durch längeres drücken der Power-Taste an der Kontrolleinheit ein. Klappen Sie die Blende am

Autokorrelator nach oben, sodass der Laserstrahl erfolgreich in das Gerät eingekoppelt wird. Stellen

Sie die Sensitivität (Corr Menu >> Sensitivity) des Gerätes auf 1, die Mittelungsrate auf 16 und passen

Sie gegebenenfalls mit dem „Gain“ Drehknopf, sowie der Öffnung einer der Blenden im Strahlengang

die Signalintensität an, sodass der komplette Puls möglichst rauschfrei dargestellt wird. Im Menü

„Display“ (Corr Menu >> Utility Menu >> Display Menu) können verschiedene Halbwertsbreiten der

Pulsdauer angezeigt werden. Schalten Sie durch die verschiedenen Scanbereiche (bei den „scan range“

Knöpfe am rechten Rand der Kontrolleinheit) und wählen Sie den kürzesten Zeitbereich, bei dem das

komplette Signal dargestellt werden kann. Nehmen Sie die Dauer der Autokorrelationsmesskurve

(AC), der eines Gaußpulses und der eines Sekans hyperbolicus auf. Vergleichen Sie das

Autokorrelationssignal mit dem des Handautokorrelators.

Arbeitsschritt 5: Pulsbeeinflussung mittels Prismenkompressor

Bringen Sie für diesen Versuch die beiden Klappspiegel M4 und M5 in den Strahlengang ein. Passen

Sie gegebenenfalls die Sensitivität des Autokorrelators an. Platzieren Sie die Translationsstage, auf der

das Prisma P2 montiert ist, so, dass der Strahl die Spitze von P2 trifft, jedoch ohne in der

Signalintensität abzusinken (Kontrolle am PulseCheck). Nehmen Sie die AC-Pulsbreite auf. Verfahren

Sie anschließend das Prisma in Millimeterschritten so, dass der Strahl immer mehr Prismenmaterial

durchqueren muss, und notieren dabei die zugehörigen AC-FWHM-Pulsbreiten. Machen Sie dies, bis

die Signalintensität aufgrund der endlichen Prismengröße drastisch abfällt. Stellen Sie anschließend

den Prismenkompressor auf minimale Pulsdauer und nehmen Sie eine die Pulsform mittels LabView-

Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick

Arbeitsschritt 6: Pulsbeeinflussung mittels Gitterkompressor

Entfernen Sie Spiegel M4 und M5 wieder aus dem Strahlengang, bringen dafür jedoch M2 und M3

ein. Passen Sie Sensitivity, Gain und den Scanbereich für das Signal nach dem Gitterkompressor an,

dass wieder ein klares Signal widergegeben wird. Stellen Sie den Verschiebetisch mit dem Gitter G1

auf minimalen Abstand zu Gitter G2 ein und nehmen die zugehörige AC Pulsbreite auf. Variieren Sie

auch hier die Position des Verschiebetisches in Millimeterschritten. Nehmen Sie die Werte solange

auf, bis am Autokorrelator ein deutlicher Signalabfall auftritt, dann wird der Puls vom Umlenkprisma

abgeschnitten. Nehmen Sie eine beliebige Pulsform mittels LabView-Software auf und speichern diese

auf dem USB-Stick.

Arbeitsschritt 7: Pulsbeeinflussung mittels dispersiven Materialien

Klappen Sie M2, wie auch M3 wieder aus dem Strahlengang aus, bringen dafür jedoch den YAG Stab

in die dafür vorgesehene Halterung zwischen den beiden Blenden vor dem PulseCheck ein. Nehmen

Sie die Pulsformen mittels LabView-Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick.

Arbeitsschritt 8: Kombination aus Prismenkompressor und YAG Stab

Es sei erneut M4 und M5 in den Strahlengang zu schalten. Versuchen Sie nun mittels

Prismenkompressor die Dispersion des YAG Stabs zu kompensieren. Nehmen Sie die Pulsformen

mittels LabView-Software auf und speichern diese auf dem USB-Stick.

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Skizze 1: Strahlengang für den Gitterkompressor.

Skizze 2: Strahlengang für den Prismenkompressor.

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Ausarbeitung der Versuchsergebnisse

Besonderer Wert wird auf die physikalisch sinnvolle Aufbereitung der Ergebnisse, anpassen

geeigneter Modellfunktionen und hinreichende Genauigkeit der Auswertung gelegt. Werden Größen

aus gemessenen Werten berechnet, dann sind die zu Grunde liegende Formel und die zugehörige

Quelle zu nennen. Weniger wichtig sind lange verbale Beschreibungen und aufwändige graphische

Spielereien.

Folgendes sollte die Ausarbeitung beinhalten:

1. Titelblatt mit Gruppennummer

2. Kurzbeschreibung des Versuches

3. Schriftliche Beantwortung der Testatfragen

4. Laserparameter: Graphische Darstellung des Spektrums, Bestimmung der spektralen Breite

(FWHM), der Zentralwellenlänge und der daraus abgeleiteten fourierlimiterten Pulsdauer

(FWHM) für ein Gauß-, sech²-, und Lorentzprofil. (Tipp: Leiten Sie sich dazu eine Formel aus

c = f*λ her, um die Frequenzbreite aus der gemessenen spektralen breite zu berechnen. Sie

benötigen auch Gleichung 17).

5. Pulsdauer des Lasers: Stellen Sie das Autokorrelationssignal des kommerziellen

Autokorrelators graphisch dar. Fitten Sie zudem eine Gauß-, sech² und Lorentzfunktion und

bestimmen Sie die jeweilige Pulsdauer (FWHM). Nehmen Sie einen Gaußpuls an und

berechnen damit den Betrag des Chirpes, den der unbehandelte Laserpuls besitzt (Gleichung

51).

6. Gitter- und Prismenkompressor: Stellen Sie die gemessenen Autokorrelations-kurven

graphisch dar und bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch fitten der Gaußfunktion.

Diskutieren Sie eventuelle Änderungen in der zeitlichen Pulsform? Sind diese symmetrisch,

wenn ja, warum?

7. Materie Durchgang: Stellen Sie die gemessene Autokorrelations-kurve graphisch dar und

bestimmen Sie die Pulsdauer (FWHM) durch fitten der Gaußfunktion. Berechnen Sie den aus

der Theorie zu erwartenden Wert. Verwenden Sie hierzu die Sellmeiergleichung und deren

Ableitungen (Gleichung 44). Beschreiben Sie die von Ihnen beobachtete zeitliche Pulsform.

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Anhang

Auszug aus der Bachelorarbeit zum Thema „Zeitliche Veränderung ultrakurzer Lichtimpulse mittels

Dispersionskontrolle“.

Grundlagen der ultraschnellen Optik

Charakterisierung ultrakurzer Laserpulse

Ultrakurze Lichtpulse sind elektromagnetische Wellenpakete, welche somit vollständig mit dem

zeit- und raumabhängigen elektrischen Feld ( , , , )x y z tE beschrieben werden. Zugänglich ist

dies durch die Maxwell-Gleichungen. Für unsere Problematik genügt es jedoch, nur das

zeitabhängige elektrische Feld ( , , , ) ( )x y z t E tE zu betrachten. Auf das elektrische Feld des

Pulses kann quantitativ über direkt verwandte, messbare Größen geschlossen werden. Obwohl

diese Größen real sind, empfiehlt sich eine Darstellung im Komplexen. Eine Darstellung des

elektrischen Feldes im Zeitraum ist der im Frequenzraum gleichgestellt. Über die komplexe

Fouriertransformation, bzw. ihrer Inversen, können diese beiden ineinander umgerechnet

werden. Im Hinblick auf die zugänglichen messtechnischen Größen, wie etwa dem Spektrum,

erweist sich diese Beziehung als äußerst hilfreich.

( ) ( ) ( ) i tE F E t E t e dt

(1)

1 1( ) ( ) ( )

2

i tE t F E E e d

(2)

Nach [2] kann das komplexe elektrische Feld als ein Produkt aus einer Amplitudenfunktion ( )t

sowie eines Phasenterms ( )i te angesehen werden:

( )1

( ) ( )2

i tE t t e (3)

Gemäß dem Fourier Theorem besitzt jeder Puls mit einer endlichen zeitlichen Breite eine per

Fouriertransformation deterministische spektrale Breite. In den meisten praktischen Fällen

macht es Sinn, die Spektralamplitude um eine entsprechende Zentralfrequenz l zu zentrieren.

Dementsprechend kann ( )t in eine zeitabhängige Phase ( )t , die Zentralfrequenz l und einer

konstanten Phase 0 aufgeteilt werden, mit ( )t als komplexe Einhüllenden:

0 ( )1 1( ) ( ) ( )

2 2l li i t i ti tE t t e e e t e

(4)

Für Femtosekundenpulse kann der konstante Phasenterm 0ie meist vernachlässigt werden.

Erreicht die Pulsdauer jedoch Größenordnungen im Bereich der Periodendauer des

oszillierenden elektrischen Feldes, kann dieser Phasenoffset entscheidenden Einfluss auf die

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Interaktion des Pulses mit Materie haben (siehe Veranschaulichung bei der Abhandlung der

Chirpordnungen). Dies miteinbeziehend ist die Gültigkeit einer Einhüllenden und einer

Trägerfrequenz für den Fall limitiert, dass die Bandbreite im Vergleich zur Trägerfrequenz

1l

(5)

ist.

Für die Phase und das elektrische Feld bedeutet dies eine nur kleine Änderung ihrer Größe

innerhalb eines optischen Zyklus 2 / lT

( ) ( )l

dt t

dt (6)

Die hier eingeführte slowly varying envelope approximation (SVEA) ist also nur bei der

Gültigkeit der Ungleichungen (5) und (6) hinreichend.

Mit dieser Darstellung ergibt sich für die komplexe Einhüllende ( )t aus der spektralen

Beschreibung ( )E per inverser Fouriertransformation:

( ) 1

( ) ( ) 2 ( )2

i t i t

lt t e E e d

(7)

Mit der entsprechenden Gegentransformation:

( )

( ) ( ) 2 ( ) li ti tt e dt E t e dt

(8)

Dabei wird die Zentralfrequenz l so gewählt, dass die spektrale Amplitude ( ) um den

Ursprung bei 0 zentriert wird [2].

Verwandte Größen des elektrischen Feldes

In der Praxis steht das elektrische Feld messtechnisch nicht zur Verfügung. Über Photodioden,

Photomultiplier etc. können jedoch zum elektrischen Feld direkt verwandte Größen gemessen

werden. Eine wichtige Größe spielt dabei die Leistung. Aus dem Poynting Theorem der

Elektrodynamik kann direkt die momentane Pulsleistung [W] abgeleitet werden.

/2

2

0

/2

1( ) ( )́ ´

t T

A t T

P t cn dS E t dtT

(9)

Dabei ist 0 die dielektrische Primitivität, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, n der

dispersionsfreie Brechungsindex, und A

dS steht für die Integration des Strahls über seine

Fläche. Gleichung (9) stellt jedoch nur eine theoretische Größe dar, da die Ansprechzeit des

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Gerätes, im Vergleich zur Änderung der Einhüllenden des gemessenen Pulses, klein sein muss.

Mit 2 / lT bleiben Strukturdetails der Einhüllenden von Femtosekundenpulsen jedoch

nicht auflösbar, da heutige Detektoren eine Ansprechzeit a von minimal 10-13 s vorweisen.

Demnach ist T durch a zu ersetzen.

Die Energie W [J] erhält man durch Integration der Leistung über die Zeit:

( )́ ´W P t dt

(10)

Für die Ultrakurzpulsphysik ist auch die Einheit der Intensität I [W/cm²] von großer Bedeutung,

da sie für viele Interaktionen des Lichtes mit Materie entscheidend ist.

/2

2 2

0 0

/2

1 1( ) ( )́ ´ ( )

2

t T

t T

I t cn E t dt cn tT

(11)

In Abbildung A1 ist ein Femtosekundenlaserpuls mit seiner Einhüllenden, sowie dem

zugehörigen Intensitätsprofil dargestellt.

Abbildung A1: Veranschaulichung eines, gemessen an der Intensität (blaue Kurve), 40 fs langen Pulses. Der rote Graph stellt die Oszillation des elektrischen Feldes bei einer Frequenz von 200 THz dar. Die gestrichelte Linie repräsentiert die Einhüllende.

Entsprechend gibt es auch eine spektrale Intensität:

Seite | 10

2

( ) ) ( )S E (12)

Wobei ein Skalierungsfaktor für reale, nichtideale Spektrometer darstellt. Aus dem

Energieerhaltungssatz sowie Parcevals Theorem lässt sich die spektrale Intensität entwickeln

als:

20( ) ( )

4l

cnS

(13)

Mit 0 als dielektrische Primitivität.

Gechirpte Pulse

Aus Gleichung (4) geht hervort, dass die Phase ( )t zeitabhängig sein kann. Somit ist auch die

erste Ableitung der Phase, die Frequenz moduliert mit der Zeit.

( )

i l

d t

dt

(14)

Bevor darauf jedoch näher eingegangen wird, sollen noch einmal folgende zwei Begriffe zu

vergegenwärtigen. Die Phasengeschwindigkeit Pv

k

beschreibt die

Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle, gibt also an, mit welcher Geschwindigkeit sich diese

Phase ausbreitet. In einem dispersiven Medium ist sie für die spektralen Komponenten eines

ultrakurzen Pulses im Allgemeinen nicht einheitlich, da sie von der Wellenlänge abhängt. Für die

Ausbreitung von Energie und Information ist jedoch die Gruppengeschwindigkeit gv

k

verantwortlich. Dies entspricht der Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende, also das

komplette Wellenpaket fortbewegt. Im nichtdispersiven Raum sind diese beiden

Geschwindigkeiten gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit.

Ändert sich nun die instantane (Kreis-)Frequenz i eines Pulses, so spricht man von einem

gechirpten oder frequenzmodulierten Puls. Die Oszillation des elektrischen Feldes vom

Laserpuls ändert also innerhalb der Einhüllenden seine Frequenz. Zeitlich sieht das so aus, dass

die höheren Frequenzen der Zentralfrequenz l vorauslaufen, die niedrigeren nachlaufen, oder

umgekehrt. Bei 2

2'' 0

d

dt

spricht man von einem positiven Chirp, bei 2

2'' 0

d

dt

von

einem negativen Chirp, die hohen Frequenzen laufen den niedrigeren voraus. Nehmen wir für

die Phase eine quadratische Funktion der Zeit an.

2

2( )

at t

(15)

Als momentane Frequenz ergibt sich somit:

Seite | 11

2

2i l

at

(16)

In einem solch linear gechirpten Puls ändert sich die Frequenz linear mit der Zeit.

Eine frequenzabhängige Phase kann entscheidenden Einfluss auf die Pulsstruktur haben. Zur

besseren Veranschaulichung folgt nun eine qualitative Darstellung der ersten Chirpordnungen.

Die nullte Ordnung ( ( ) ) verursacht eine globale Phasenverschiebung, verschiebt somit die

Trägerschwingung relativ zu seiner Einhüllenden. Bemerkbar macht sich das jedoch fast

ausschließlich bei den äußerst kurzen, nur wenigen Oszillationszyklen langen few-cycle-pulses.

Auf die Gruppengeschwindigkeit des Pulses hat die erste Ordnung ( '( ) ) Einfluss, indem sie

den Puls als Ganzes zeitlich verzögert. Die Form des Pulses ändert sich dabei jedoch nicht, diese

Ordnung ist also weitestgehend unproblematisch.

Abbildung A1: Effekte der Dispersion nullter Ordnung auf einen wenige Femtosekunden langen Puls mit einer Trägerkreisfrequenz von 500 Thz. Die gestrichelte e-Feld Oszillation stellt den Originalpuls dar, welcher bei t=0 die maximal mögliche Intensität erreicht. Hierfür ist es Konvektion von einem sogenannten Cosinuspuls zu sprechen. Die rote Oszillationskurve ist gegenüber um den Cosinuspuls um φ(ω)=π/2 (Sinuspuls) verschoben. Es ist klar, dass solch ein Puls eine geringere Intensität erreicht und durch die beiden gleichstarken, entgegengesetzten Auslenkungen für single-Puls-Anregungen ungeeignet ist.

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Abbildung A3: Eine Dispersion erster Ordnung φ‘(ω) verzögert den Puls lediglich als Ganzes, er läuft als seinem unbehandelten (gestrichelter Puls) nach, hier um 10 fs. Die Pulsform und –dauer wird dabei nicht beeinflusst.

Die zweite Ordnung ( ''( ) ) hingegen sorgt für den bereits angesprochenen Chirp. Es folgt nicht

nur, dass der Puls eine Substruktur aufweist, sondern auch, dass sich der Puls verbreitert.

Aufgrund der Dispersion zweiter Ordnung folgt, dass die verschiedenen, in einem ultrakurzen

Puls enthaltenen Frequenzen eine zueinander unterschiedliche Gruppengeschwindigkeit

besitzen. Der Puls läuft quasi auseinander. Für normale oder positive Dispersion ( ''( ) 0 )

laufen die niederen Frequenzen der Zentralfrequenz voraus, bei negativer Dispersion (

''( ) 0 ) sind die höheren Frequenzen schneller. Der Puls erscheint also mit einem

Farbeindruck, bei dem z. B. bei normaler Dispersion der Anfang des Pulses rotverschoben ist,

das Ende hingegen die bläulicheren Anteile enthält. Es ist klar, dass der Puls dabei länger wird

und die Spitzenintensität abnimmt. In vielen Bereichen genügt es, die Dispersion bis zur dritten

Ordnung zu behandeln ( '''( ) , häufig auch bekannt als third order dispersion, TOD), welche zu

einer nichtlinearen Frequenzabhängigkeit von der Zeit führt. Auch die TOD verbreitert den Puls,

sorgt jedoch durch Interferenzeffekte zusätzlich zu einem Vor- '''( ) 0 beziehungsweise

Nachpulsen '''( ) 0 .

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Abbildung A4: Eine Dispersion 2. Ordnung erzeugt einen linearen Chirp. Die niedrigeren Frequenzen laufen dem Zentrum voraus, während die höheren zeitlich nachlaufen.

Abbildung A5: Dispersion 3 Ordnung. Auswirkungen der TOD werden hier anhand einer positiven TOD veranschaulicht, welche zu einem Nachpulsen führt.

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Auf höhere Ordnungen wird hier nicht weiter eingegangen, allgemein gilt jedoch, dass mit

abnehmender Pulsdauer diese immer stärker zum Tragen kommen.

Dispersionen n-ten Grades werden üblicherweise in der Einheit fsn angegeben.

Pulsdauer und das Zeit-Bandbreite-Produkt

Führt man eine Definition einer Pulslänge ein, wird man unweigerlich damit konfrontiert, dass

hierfür viele verschiedene Bezugssysteme in Frage kämen. So gibt es z. B. die 1/e Breite, die

Methode nach dem zweiten Moment, usw. Im Fortlaufenden soll die Pulsdauer p als die full

width at half maximum (FWHM) des Intensitätsprofils gesetzt werden.

Für die Erzeugung ultrakurzer Pulse ist eine große spektrale Breite des Pulses eine notwendige,

aber nicht hinreichende (siehe Kapitel Modenkopplung) Bedingung. Je mehr Farben, bzw. desto

spektral Breiter der Puls ist, desto kürzer kann dieser in der Zeitebene werden. Die durch die

Anzahl der im aktiven Material anschwingenden und verstärkten Moden gegebene, theoretisch

kürzeste Pulsdauer ist mit der spektralen Breite p über die Fouriertransformation gekoppelt

und kann somit nicht beliebig variieren, sondern nur größergleich einem minimalen Wert sein.

Für die Anwendung resultiert daraus die Wichtigkeit des Spektrums, da es leicht zu messen ist

und Aufschluss über die theoretisch minimale Pulsdauer bei bekannter Pulsform gibt. Die

Bedingung dieser Fourierkopplung als theoretisches Minimum, wird als das sogenannte Zeit-

Bandbreite-Produkt in der Ungleichung (17) definiert:

1

2p p p p Bc const

(17)

Wie bereits erwähnt, hängt der Wert von cB von der exakten Pulsform ab. Dem Experimentator

steht in der Regel jedoch nur eine Autokorrelationsfunktion der Intensität zur Verfügung,

welche keine Information über die exakte Form des Pulses liefert (siehe Kapitel

Autokorrelation). Oftmals behilft man sich mit Standardkurven, relevant hierfür sind die Gauß-,

Lorentz- oder Sekans hyperbolicuskurve. Pulse, für die die Ungleichung (17) die

Gleichungsbedingung hält, nennt man „Bandbreitebegrenzt“ oder „Fourierbegrenzt“. Sie

besitzen also die theoretische, minimale Pulsdauer bei einer gegebenen spektralen Breite und

Pulsform.

Im Folgenden soll der Wert für cB anhand einer Herleitung für einen Gaußpuls nach [2] erläutert

werden.

2

0( ) e G

t

t

(18)

Da es für diverse theoretische Berechnungen angenehmer ist, mit den für die jeweilige Pulsform

charakteristische Zeitkonstanten zu rechnen, folgt erst eine Klärung des Zusammenhanges von

p und G . Hierzu wird die zu Gleichung (18) gehörende Intensität benötigt:

2

2

0( ) e G

t

I t I

(19)

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Ziel ist es also, die FWHM in Einheiten von G zu erhalten. Dies geschieht per Einsetzen von I(t)

= 0.5I0 und auflösen nach t:

ln 2

2Gt (20)

Eine Multiplikation von (20) mit dem Faktor 2 resultiert in der FWHM, da G nur der seitliche

Abstand vom Intensitätsmaximum zu dessen Halbwert beschreibt, also die halbe

Halbwertsbreite.

2 2ln 2p Gt (21)

Durch eine komplexe Darstellung von Gleichung (18) lässt sich nun das Zeit-Bandbreiten-

Produkt eines Gaußpulses allgemein, mit dem Chirpparameter a, herleiten:

2

1

0( ) e G

tia

t

(22)

Aus der Fouriertransformation von Gleichung (22) folgt:

2 2

0

224( ) exp

4(1 )1

G Giaa

(23)

Mit der spektralen Phase 2

2

2

1( ) arctan( )

2 4(1 )

Gaa

a

.

Es folgt aus Gleichung (23) die spektrale Intensität:

2 2 2 2 20

22( ) exp

2(1 )1

G GlS

aa

(24)

Die spektrale FWHM berechnet sich äquivalent zur zeitlichen Breite:

21

2 8ln 2(1 )p p

G

a

(25)

Letztendlich lässt sich das Zeit-Bandbreite-Produkt berechnen.

22ln 2

1p p a

(26)

Wie sich zeigt, erhöht sich der Wert des Zeit-Bandbreite-Produkts mit vorhanden sein eines

Chirpes ( 0)a . Dadurch ist auch der Laserpuls nicht mehr fourierlimitiert, sondern weicht vom

theoretischen Minimum von 2ln 2

0.441

(für einen Gaußpuls) um den Faktor 21 a ab.

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Das Bandbreiteprodukt realer Laser ist jedoch meist größer als das theoretische Minimum. Für

die reale Pulsdauer spielen folgende Faktoren eine Rolle:

Die exakte Form des Pulses (z. B. Gauß, Sech²)

Die genaue Definition von „Breite“ (z. B. FWHM, RMS)

Ob der Puls eine Unterstruktur aufweist (z. B. Chirp)

In Tabelle A1 sind die Zeit-Bandbreiten-Produkte von weiteren gebräuchlichen Pulsformen

aufgelistet.

Form Intensitätspro

fil I(t) p

Spektralprofil

S ( ) p cB Intensitätsgra

ph

Gauss 2

2 / Gte

1.177 G

2

2

G

e

2.355 / G

0.441

Sech2 2sec / Sh t 1.763 S 2sec2

Sh

1.122 / S 0.315

Lorentz 2

21 / Lt

1.287 L 2 Le

0.693 / L 0.142

Tabelle A1: Auflistung der Zeit-Bandbreite-Produkte für ungechirpte Standardpulsformen.

Pulsausbreitung und Raum-Zeit Wellengleichung

Ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit stellt die Untersuchung der Auswirkungen von

Materiedurchläufen auf ultrakurze Pulse dar. Diese Effekte treten bei sich ausbreitenden

elektromagnetischen Wellenpaketen immer auf. Für die Berücksichtigung des zeitlichen und

räumlichen Verhaltens solcher Pulse, setzen wir zuerst für die untersuchten Materialien

folgende Kriterien fest. Von einem einheitlichen Medium mit nichtmagnetischer Permeabilität

ausgehend werden externe Ströme und Ladungen vernachlässigt. Hierfür kann aus den Maxwell

Gleichungen eine Wellengleichung für den elektrischen Feldvektor E abgeleitet werden:

2 2 2 2 2

02 2 2 2 2 2

1( , , , ) ( , , , )x y z t x y z t

x y z c t t

E P (27)

Wobei die magnetische Permeabilität im freien Raum mit 0 und die

Vakuumlichtgeschwindigkeit mit c bezeichnet wird. Durch die Polarisation P wird sowohl der

Einfluss eines Mediums auf einen Puls, als auch die Antwort des Mediums darauf beschrieben.

Eine Aufspaltung der Polarisation in zwei Komponenten ist möglich und sinnvoll.

Seite | 17

L NL P P P (28)

PL beschreibt dabei die Polarisationskomponente, welche sich linear mit dem Feld ändert. Sie ist

für Antworten des Mediums zuständig, welche mit der klassischen Optik beschrieben werden

kann, wie zum Beispiel die Brechung, die Beugung und die Dispersion. Verantwortlich für die

nichtlinearen Effekte, zu denen die sättigbare Absorption und Erzeugung höherer Harmonischer

zählen, ist PNL.

In vielen Anwendungen kann der nichtlineare Polarisationsterm vernachlässigt werden.

Hiermit, sowie der Annahme einer sich in z-Richtung ausbreitenden ebenen Welle, vereinfacht

sich Gleichung (28) zu:

2 2 2

02 2 2 2

1( , ) ( , )LE z t P z t

z c t t

(29)

Mit der Einführung einer dielektrischen Konstante

0( ) 1 ( ) (30)

und der dielektrischen Suszeptibilität , kann gezeigt werden [2], dass folgende Gleichung eine

Lösung für Gleichung (29) in +z als Ausbreitungsrichtung ist:

( )( , ) ( ,0) ik zE z E e (31)

Als Ausbreitungskonstante oder Wellenzahlvektor wird hier ( )k eingeführt. Diese ist über die

Dispersionsbeziehung der linearen Optik über einen frequenzabhängigen Brechungsindex ( )n

des Mediums definiert als:

2

2 2

2( ) ( )k n

c

(32)

Weiter entwickeln wir ( )k um die Trägerfrequenz l zu:

( ) ( )lk k k (33)

Mit der Taylor-Reihe als Substitution:

2

2

2

1...

2l l

l l

dk d kk

d d

(34)

Die jeweiligen Ordnungen der Terme beschreiben wieder die bereits eingeführten

Chirpordnungen. Äquivalent zu Gleichung (31) lässt sich nun schreiben:

( , ) ( ,0) lik z i kzE z E e e (35)

In vielen Fällen lässt sich die Fourieramplitude um einen mittleren Wellenzahlvektor

( ) /l l lk n c zentrieren. Durch Beschränkung der spektralen Breite auf einen kleinen

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Bruchteil der Zentralfrequenz 1l

k

k

lässt sich wieder eine SVEA durchführen, was nun eine

Einhüllungsfunktion in Raumkoordinaten definiert.

( , ) ( ,0) i kz

lz E e (36)

Für die Beschreibung von Laserpulsen empfiehlt sich ein Koordinatensystem, welches sich mit

der Gruppengeschwindigkeit gv mitbewegt. Vorteil dieser Betrachtung ist, dass die maximale

Feldamplitude immer bei t=0 zentriert ist und somit Änderungen dieser Amplitude nur durch

Terme höherer Ordnung von Gleichung (34) beschrieben werden.

1

'

l

l l

g

dkk

v d

(37)

Die zweite Ableitung des Wellenzahlvektors beschreibt den Dispersionsterm zweiter Ordnung

und definiert die sogenannte GVD (group velocity dispersion):

2

2 2

1''

l l

g

l

g

dvkGVD k

v d

(38)

Als nützlich erweist es sich, diese Gleichung in Abhängigkeit der Wellenlänge zu präsentieren:

2 2 2

22

g gdv v d kGVD

d c d

(39)

Für die, üblicherweise in fs2 angegebene GDD (group delay dispersion), welche die GVD

multipliziert mit der Länge der Dispersionsstrecke z ist, gilt:

GDD GVD z (40)

Dispersion

Im Falle einer Dispersion '' 0lk kann das Problem entweder im Zeit- oder im

Frequenzbereich gelöst werden. Es ist handsamer, dies für Letzteres zu tun, da beim Durchgang

durch ein transparentes, lineares Medium nur der Phasenfaktor der Einhüllenden ( )

beeinflusst wird. Nach dem Passieren eines solchen Mediums der Länge z ergibt sich die

Einhüllende im Frequenz-, beziehungsweise im Zeitbereich zu:

2 3( , ) ( ,0)exp ...

2 3!l l

i iz k z k z

(41)

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1 2 3( , ) ( ,0)exp ...

2 3!l l

i it z F k z k z

(42)

Die Dispersion beeinflusst das Spektrum des Pulses nicht, es bleibt in der Amplitude konstant,

wie aus Gleichung (41) hervorgeht. Die für den Chirp verantwortlichen spektralen

Komponenten müssen also die zeitliche Einhüllende verändern, welche breiter wird.

Da sich die Dispersion eines Materials in einem von der Wellenlänge abhängigen

Brechungsindex ( )n widerspiegelt, ist es möglich, diese entweder in Betrachtung der Frequenz

oder der Wellenlänge zu berechnen.

1dk n dn dn

nd c c d c d

(43)

2 2 22

2 2 2

2 1

2

d k dn d n d n

d c d c d c c d

(44)

23 2 3 2 32 3

3 2 3 2 3

3 13

2

d k d n d n d n d n

d c d c d c c d d

(45)

Ein resultierender quadratischer Chirp bei einem Materialdurchgang lässt sich somit aus der

Gleichung (44) eingesetzt in die GDD Gleichung (40) berechnen. Über den optischen Weg lässt

sich ebenfalls direkt die Dispersion (im Fall der zweiten Ableitung also die GDD) aus den

Gleichungen (43 – 45) ausdrücken:

1 dP

Pc d

(46)

22

2

1

2

d P

c c d

(47)

2 2 32 3

2 3

13

2

d P d P

c c d d

(48)

Pulsdauer eines Gaußpulses unter Dispersionseinfluss

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Will man den Effekt der Dispersion zweiter Ordnung auf die Pulsdauer eines Gaußpulses wissen,

ausgehend von einem Ansatz für den Gaußpuls nach Gleichung (22), dann kann gezeigt werden

[2], dass gilt:

2

0( ) 1G G

d

zz

L

(49)

Mit der charakteristischen Länge:

2

0

2

Gd

l

Lk

(50)

Hierbei ist 0G die Eintrittspulsdauer eines Gaußpulses. Es sei jedoch darauf hinzuweisen, dass

die gaußpulscharakteristische Pulsdauer G nicht der für die Pulsdauer charakteristischen

FWHM ist ( 2ln 2 )p G .

Somit ergibt sich für die FWHM Pulsdauer (Gauß) eines Eingangspulses 1p unter Einfluss eines

Chirps eine Ausgangspulsdauer 2p von:

2

2 1 2

1

16ln 21p p

p

(51)

Für den Fall eines vorgechirpten Eingangspules 0a können sich je nach Vorzeichen des

Chirps zwei Sachen einstellen. Im Falle eines zu lk entgegengesetztem Vorzeichens des

Chirpparamters a, verbreitert sich der Puls monoton. Sind die beiden Vorzeichen jedoch

identisch, verkürzt sich die Pulsdauer bis zu seinem Fourierlimit. Alles darüber hinaus

verbreitert den Puls wieder. Der Ort des Minimums ist definiert als:

2

0

22 1

Gc

l

az

k a

(52)

Für die Pulsdauer an dieser Position gilt somit:

0

min2

( )1

GG c Gz

a

(53)

In vielen Anwendungen steht jedoch nicht an jeder gewünschten Stelle die Möglichkeit einer

Pulsdauernbestimmung experimentell zur Verfügung, weshalb Gleichung (49) darum erweitert

werden kann, dass der Vorchirp mitberücksichtigt wird und vom Fourierlimit aus gerechnet

werden kann. Dafür wird die virtuelle Länge L eingeführt:

cL z z (54)

Man erhält dadurch die allgemeine Form:

Seite | 21

2

min( ) 1G G

d

LL

L

(55)

Abbildung A6: Schematische Darstellung [2] eines linear gechirpten Gaußpulses. In diesem Fall besitzen a und kl'' dasselbe Vorzeichen. Als Resultat verkürzt sich der Puls zuerst, bis er sein bandbreitebegrenztes Minimum erreicht. Propagiert er weiter in diesem Medium, wird er wieder länger. Die maximale Intensität des Pulses hängt damit ebenfalls vom Chirp und somit der Menge an Dispersion ab, die der Puls erfährt.

Allgemeine Abschätzung

Eine schnelle Abschätzung der resultierenden FWHM Pulsdauer eines bandbreitebegrenzten

Eingangspuls ergibt sich, betrachtet man jedes Wellenpacket mit der Frequenz , so dass sie

ihre eigene Gruppengeschwindigkeit ( )gv besitzt. Über das gesamte Spektrum ergibt sich

somit eine Differenz zwischen den Gruppengeschwindigkeiten.

l

g

g p

dvv

d

(56)

Nach einer Propergationsdistanz z ergibt sich die zeitliche Breite zu:

2p g

g g

L Lv

v v

(57)

Beziehungsweise, unter Einbeziehen von Gleichung (38):

p l pL k (58)

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Sellmeier-Gleichung

Eine analytische Betrachtung der Dispersion verlangt das Wissen über den jeweiligen

Brechungsindex ( )n und dessen Ableitungen (vgl. Gleichung (43 – 45)). Hierfür gibt es die

sogenannte Sellmeierformel.

2 2 2

2 2 21

A C En

B D F

(59)

Für die meisten gebräuchlichen Gläser gibt es sogenannte Sellmeierkoeffizienten, welche in

gleichnamige Gleichung einzusetzen sind. Das Ergebnis ist der jeweilige Brechungsindex für die

gewünschte Wellenlänge. Allerdings basiert die Formel auf rein empirischen Werten, beschreibt

also nicht die Physik. Trotzdem bildet sie für den sichtbaren Spektralbereich und etwas darüber

hinaus eine sehr gute Näherung. Es ist jedoch noch darauf zu achten, dass die Wellenlänge hier

meist in Mikrometer einzusetzen ist. In Tabelle A2 sind die Koeffizienten für ein paar

exemplarische Materialien gegeben.

Quarzglas YAG SF10

A 0.6694226 2.28200 1.61625977

B 0.004480112 0.01185 0.0127534559

C 0.4345839 3.27644 0.259229334

D 0.01328470 282.734 0.0581983954

E 0.8716947 0 1.07762317

F 95.34148 0 116.60768

Tabelle A21: Sellmeierkoeffizienten für eine kleine Auswahl an, für die Optik relevante, Materialien. Die Werte wurden aus den Datenblättern der Firma Schott entnommen.

Modenkopplung

Grundlagen

Wie bereits bei der Betrachtung des Zeit-Bandbreite-Produktes festgestellt wurde, ist mit einem

ultrakurzen Puls immer eine gewisse spektrale Breite einhergehend. In einem gewöhnlichen

Resonator können für einen stabilen Zustand nur solche Frequenzen (Moden) anschwingen,

welche die Bedingung einer stehenden Welle erfüllen. Demnach ist das Frequenzspektrum kein

Kontinuum, sondern besitzt diskrete Werte. Bei einer Resonatorlänge L, der

Lichtgeschwindigkeit c und einem effektiven Gruppenbrechungsindex n sind diese Moden

separiert durch / 2v c nL . Die Repitationsrate eines modengekoppelten Lasers ist ebenfalls

von der Resonatorlänge abhängig. Somit ist die Zeit zwischen zwei Pulsen gleich 1/ v da der

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Puls vom Auskoppelspiegel zum Endspiegel und wieder zurück laufen muss. Der resultierende

Pulszug ist also eine Superposition eines breiten Frequenzbereiches. Damit es jedoch zu

einzelnen Pulsen kommt, müssen diese Moden in ihrer relativen Phase zueinander stabil in einer

bestimmten Beziehung zueinander stehen. Solch eine phasenstarre Superposition wird in

Abbildung A7 verdeutlicht. Mit dem Prinzip der Modenkopplung gelang es so erstmals

Subpicosekundenpulse zu verwirklichen.

Es sei hier darauf hingewiesen, dass es eine Vielzahl von Mechanismen für eine mögliche

Modenkopplung gibt, unterteilt in aktive und passive Kopplungen, wobei letztere wiederum in

langsame und schnelle sättigbare Absorber zu unterteilen sind. Auf diese wird nicht weiter

eingegangen, sondern lediglich auf die speziell in dem für diesen Versuch verwendeten Laser.

Zuvor soll jedoch noch auf ein paar allgemeine Eigenschaften der Modenkopplung eingegangen

werden, da die Dispersion bei der Auslegung einer solchen Modenkopplung eine Rolle spielt.

Hierfür sei noch kurz das Phänomen der Selbst-Phasen Modulation (SPM) erläutert. In einem

Medium ruft ein Puls hoher Intensität I nichtlineare Effekte hervor, wie der nichtlinearen

Änderung des Brechungsindexes 2n n I mit n2 als nichtlinearen Brechungsindex. Als Folge

dieser Beeinflussung, laufen (bei positivem n2, sowie einer räumlichen Gaußverteilung der

Intensität) zentral, hochintensive Anteile aufgrund des höheren Brechungsindexes langsamer, es

Abbildung 2: Bei der Modenkopplung werden viele Moden in einem benachbarten Frequenzbereich phasenstabil überlagert. Besitzen all diese Moden eine gleiche relative Phase zueinander, so interferieren sie zu einem bestimmten Zeitpunkt konstruktiv, an allen anderen destruktiv, bis sich das ganze periodisch wiederholt. Je mehr Moden überlagern, desto weniger Oszillationen vollführt das E-Feld – und wird damit kürzer. Zugleich nimmt jedoch die Amplitude zu, was aufgrund des normalisierten E-Feldes in dem Graphen nicht ersichtlich ist. Die rote Kurve ist ein einzelner Cosinusverlauf. In der schwarzen Kurve überlagern sich bereits 20 frequenznahe, phasengleiche Schwingungen, es kommt zu Interferenzerscheinungen. Auf nur wenige Oszillationszyklen beschränkt und damit ideal für einen Femtosekundenpuls ist die blaue Kurve, welche die Superposition von 80 benachbarten Frequenzmoden darstellt.

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kommt zu einem zeitlichen Phasenversatz. Die SPM verändert das Spektrum, nicht aber die

zeitliche Form des Pulses.

Puls-Verkürzungsrate

Aufgrund von endlichen Ansprechzeiten und Sättigungen des Absorbers werden in den meisten

Modenkopplungsmechanismen die Flanken des Pulses jeweils abgeschwächt, während die

Hauptintensität unverändert oder sogar verstärkt wird. Je nach Art der Absorption, aufgeteilt in

langsame und schnelle, nimmt dieser Effekt mit sinkender Pulsdauer zu oder ab. Letzteres ist im

Fall der langsamen Sättigung. Erreicht die Pulsdauer einen Wert gleich der Reaktionszeit des

Absorbers, oder ist dieser völlig gesättigt, ist keine weitere Verkürzung mehr möglich.

Selbst-Starten

Theoretisch sollte ein schwacher kurzer Puls, welcher durch die nichtlinearen Effekte der

Modenkopplung sich gegen den CW Untergrund durchsetzt, aus statistischen Fluktuationen

herauswachsen. Dies ist jedoch gerade bei den schnellen Absorbern nicht immer der Fall, da die

Puls-Verkürzungsrate für kleine, lange Pulse äußerst gering ist. Wird dieser Puls innerhalb eines

Umlaufes jedoch nicht signifikant verkürzt, so läuft er aufgrund der Dispersion wieder

auseinander. Um solch eine Fluktuation hervorzurufen reicht es häufig aus, an das Gerät zu

klopfen, erstrebenswerter sind jedoch Methoden wie z. B. ein beweglicher Spiegel im Resonator.

Der stabile Zustand

In einem stabilen Zustand erreicht man bei nicht vorhandener SPM die kürzesten Pulse, wenn

auch die GVD null ist. Interessanterweise kann jedoch durch Erzeugung von GVD mit einem

bestimmten Vorzeichen im Resonator noch kürzere Pulse erzeugt werden. Dies ist der Fall,

wenn sich SPM und GVD genau kompensieren. Durch das so verbreiterte Spektrum ist eine

Pulsdauer mit einem Faktor von 2,75 kleiner zu erreichen, als im Falle des ungechirpten Pulses.

Solch ein Soliton ähnlicher Zustand wurde von Martinez et. al. beschrieben. Durch ein

Ausbalancieren dieser Effekte lässt sich so das Resonatordesigne optimieren. Jedoch führt das

auch schnell zu Instabilitäten, wie Abbildung A8 zeigt.

Abbildung A8: links) Für den ungechirpten, rein Selbst-Amplituden Modulierten (SAM) Puls erreicht man den bandbreitebegrenzten Puls. Durch geschicktes Ausloten der SPM und GVD kann dieser Wert jedoch noch unterschritten werden. Rechts) Allerdings gibt es bei reiner SPM Stabilitätsproblem.

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Polarisations-Rotations Modenkopplung

Der für diesen Versuch zur Verwendung kommende Laser erfährt durch eine Polarisations-

Rotation die Modenkopplung. Wie in allen passiven Modenkopplungen moduliert sich der Puls

dabei selbst. Dieses Prinzip wird den schnell sättigbaren Absorbern untergeordnet. Da als

nichtlinearer Effekt der nichtlineare, intensitätsabhängige Brechungsindex eine Rolle spielt,

erfolgt die Antwort des Mediums auf das elektrische Feld binnen weniger Femtosekunden und

damit annähernd instantan. Diese intensitätsabhängige Änderung des Brechungsindexes wird in

eine Amplitudenmodulation des Pulses umgewandelt. Eben wegen der annähernd sofortigen

Antwort des Mediums auf den Puls, ist dieser Effekt jedoch relativ gering. Anwendung findet

diese Art der Modenkopplung in Faserlasern, sowohl in Linear- wie auch in Ringcavities.

Letzteres trifft dabei auf den verwendeten Laser zu.

In einer gekrümmten Faser erfährt ein Strahl eine elliptische Polarisation. Diese kann als eine

Superposition einer links- bzw. rechtszirkularen Polarisation unterschiedlicher Intensitäten

angesehen werden. Zur Verwendung kommt eine doppelbrechende Faser, deren

doppelbrechende Eigenschaft nichtlinear von der Intensität abhängt. Ein etwas intensiverer Puls

erfährt also eine andere Polarisationsdrehung als der CW-Untergrund. Der Strahl wird in eine

Freistrahlstrecke ausgekoppelt. Hier wird über eine doppelbrechende Wellenplatte und

polarisierendes Strahlteilerelement eine bestimmte Polarisation diesbezüglich bevorzugt, so

dass sie keine Abschwächung erfährt, während der Rest zum Teil oder ganz separiert wird. Eine

anschließende Anordnung aus Wellenplatten polarisiert den wieder in die Faser

einzukoppelnden Puls so, dass er nach Durchlaufen der Faser wieder die Bedingung derselben

elliptischen Polarisation erfüllt, wie einen Durchgang zuvor. Es kann sich also nur ein Puls mit

einer bestimmten Polarisation durchsetzen. Zur Verminderung und Stabilisierung des Systems

wird noch ein polarisierender Isolator eingebaut, welcher Rückreflexe verhindert.

Second Harmonic Generation (SHG)

Interagiert eine elektromagnetische Welle mit Materie, so wirkt auf die Elektronen eine zur

Auslenkung lineare Kraft gemäß dem Hook´schen Gesetz, und es kommt zur Oszillation mit der

Anregungsfrequenz. Gerade in Laserpulsen kann die Intensität so groß sein, dass sie die

Größenordnung der inneratomaren elektrischen Feldstärken erreicht, bzw. übersteigt. In solch

einem Fall gilt die simple Annahme des Hook´schen Gesetzes nicht mehr und es kommt zu

Nichtlinearitäten. In diesem Fall gilt der lineare Zusammenhang zwischen Polarisation P und

elektrischem Feld E nicht mehr, da die bei geringen Intensitäten auftretenden höheren

Ordnungen (n) nicht mehr vernachlässigt werden können. Die Polarisation muss in einer Taylor-

Reihe um die höheren Ordnungen erweitert werden:

(2) 2 (3) 3

0 ... P E E E (60)

Mit 0 als dielektrische Primitivität des freien Raums und als der elektrischen Suszeptibilität

des Mediums. Für die Erzeugung der zweiten Harmonischen (SHG), erstmals beobachtet von

Franken et. al., wird diese Erweiterung nach dem zweiten Term abgebrochen. Die Erzeugung

einer Summenfrequenz 3 ist ein Dreiwellen-Prozess, bei dem zwei intensitätsstarke

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Einfallswellen mit den Frequenzen 1 2, , welche vermittelt über die nichtlineare

Suszeptibilität zweiter Ordnung (2) die Summenfrequenz ergeben. Die SHG ist dabei ein

Spezialfall der Summenfrequenzerzeugung, da hierbei die beiden Einfallswellen gleich sind

1 2( ) und somit 3 12 gilt. Es gelten sowohl der Energie-, als auch der

Impulserhaltungssatz, woraus sich folgende Bedingungen ergeben:

3 12 0 (61)

3 12 0 k k k (62)

Gleichung (62) stellt die Bedingung der Phasenanpassung zwischen den Wellenvektoren der

Einfallenden und der zweiten Harmonischen. Um dieser Impulserhaltung gerecht zu werden, ist

es erforderlich, dass die Phasengeschwindigkeit der Grundwelle 1Pv und der SH 3Pv gleich sind.

Wegen der (positiven) Materialdispersion ist jedoch der Brechungsindex ( )n von der Frequenz

abhängig und somit die Phasengeschwindigkeiten der Grundwelle sowie deren zweite

Harmonische nicht identisch. Hierfür kann man sich jedoch eines doppelbrechenden Kristalls

bedienen. In solch einem Kristall ist der Brechungsindex nicht nur von der Frequenz, sondern

auch von der Polarisation und dem Einfallswinkel der Welle abhängig. Solche (uniaxiale)

Kristalle weisen eine Vorzugsrichtung auf. Auf dieser sogenannten optischen Achse erfährt ein

hierzu senkrecht polarisierter Strahl den ordentlichen Brechungsindex on , während ein parallel

polarisierter Strahl einen außerordentlichen Brechungsindex aon sieht. Für den ordentlichen

Brechungsindex gilt eine isotrope Ausbreitungsrichtung, der Außerordentliche ist hingegen

Winkelabhängig. Veranschaulicht wird dieser Sachverhalt in Abbildung A9.

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Abbildung A9: Der rote Kreis bzw. Ellipse zeigt den Brechungsindexverlauf für die Grundwelle. Ein Kreis bedeutet eine isotrope Ausbreitung, die Polarisation steht also senkrecht zur optischen Achse, während sie bei einer Ellipse parallel steht. Für den Brechungsindex der zweiten Harmonischen gelten die gestrichelten Kurven. An der Stelle eines Überlapps zwischen Grundwelle und zweiter Harmonischer ist der Winkel der Phasenanpassung markiert. In diese Richtung haben alle Wellen dieselbe Phasengeschwindigkeit [1].

Je nach verwendeten Kristalltyp (positiv für o aon n , negativ für o aon n ) muss folgende

Bedingung gelten:

1 3: ( , ) ( )opositiv n n (63)

3 1: ( , ) ( ) onegativ n n (64)

Fallen die beiden Grundwellen kollinear ein, so kann diese durch Anpassen des Kristallwinkels

erfüllt werden. Dieser Winkel m ist in Abbildung A9 eingezeichnet. Stimmt der Winkel zur

Phasenanpassung nicht exakt überein, sind die Grundwellen und die zweite Harmonische nicht

über die gesamte Länge im Kristall in Phase, was zu destruktiven Interferenzen der an

unterschiedlichen Orten und somit phasenverschobenen zweiten Harmonischen führt.

Im nicht-kollinearen Fall erhält man auf Grund der Impulserhaltung die SH in Richtung der

Winkelhalbierenden der sich kreuzenden Grundwellen. Die zweite Harmonische wird also

räumlich effektiv von seiner Grundwelle getrennt.

Für den Vorgang der zweiten Harmonischen Erzeugung lässt sich eine Konversionseffizienz

angeben:

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2 22 33

0 3

1

( )2

( )SHG

I d LP

I n A

(65)

Mit d als Materialparameter für den Kopplungskoeffizienten, 1

20 0 0/ als Impedanz des

freien Raums, der Länge L des Interaktionsvolumens (i. A. die Länge des Kristalls), des

Strahlwirkungsquerschnittes A und der Eingangsleistung P.

Wie bei der Behandlung des Zeit-Bandbreite Produkts hervorging, ist ein kurzer Puls an ein

entsprechend breites Frequenzspektrum gekoppelt. Bei der Frequenzverdoppelung ist jedoch

nicht immer gegeben, dass das komplette Spektrum der Grundwelle konvertiert wird, da eine

Phasenanpassung über das gesamte Spektrum unwahrscheinlich ist. Den Anteil an konvertierten

Frequenzen und somit die Pulsdauer lässt sich über die Kristalllänge regulieren. Kürzere Längen

hier resultieren in kürzeren Pulsen, was jedoch nach Gleichung (65) wieder einen enormen

Einbruch der Intensität nach sich zieht.

Autokorrelation

Soll ein kurzes Ereignis festgehalten werden, gelingt dies üblicherweise, indem es mit einem

noch kürzeren belichtet/abgetastet wird. Für ultrakurze Pulse ist solch ein Verfahren

notwendig, da moderne Photodioden etwa um einen Faktor von 1000 zu langsam sind, um das

Intensitätsprofil eines Femtosekundenpulses auflösen zu können. Der Puls kann also nicht

einfach aufgenommen, sondern muss abgetastet werden. Im Idealfall geschieht dies mit einem

Delta-Impuls. Genannt wird diese Methode die Kreuzkorrelation, bei der ein Signalpuls sI von

einem Referenzpuls rI abgetastet wird, wobei das zu jedem Ort gehörende Korrelationssignal

proportional zum Signalpuls ist und dadurch seine Form aufgezeigt wird.

( ) ( ) ( )c s rA I t I t dt

(66)

Dies führt jedoch zwangsläufig zu einem Problem. Abgesehen davon, dass in der

Ultrakurzpulsphysik zumeist kein kürzerer Abtastpuls zur Verfügung steht, da der kürzeste,

technisch realisierbare Puls für das Experiment verwendet wird, müsste auch der Referenzpuls

irgendwie charakterisiert werden. Es ist also die logische Folge, dass das Signal mit sich selbst

überlagert wird, s rI I , auch Autokorrelation genannt.

Eine Autokorrelation zweiter Ordnung verwendet dabei das SHG Signal der miteinander

korrelierenden Pulse. Dabei kommt ein modifiziertes Michelson-Interferometer zum Einsatz.

Für eine aussagekräftige Autokorrelation müssen die beiden Pulse genau identisch sein. Hierfür

wird der Originalpuls über einen 50/50 Strahlteiler in zwei identische Pulse aufgeteilt und

jeweils in einen der Interferometerarme eingespeist, siehe auch Abbildung A10. Über eine

Rückspiegelung durch Retroreflektoren werden die Pulse nach erneutem Kontakt mit dem

Strahlteiler kollinear überlagert, oder fokussiert. Notwendig ist, dass sie sich in einem

nichtlinearen Kristall zur Frequenzverdopplung überschneiden. Ebenfalls unerlässlich ist, dass

beide Interferometerarme genau gleich lang sind, damit auch beide Pulse nicht nur am gleichen

Ort, sondern auch zur gleichen Zeit zur SHG überlagern. Das SHG Signal kann dann von einer

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Photodiode oder einem Photomultiplier aufgenommen werden. Für die Realisierung der

Abtastung ist der Retroreflektor eines Interferometerarms auf einen Verschiebetisch parallel zur

Strahlrichtung montiert. Mithilfe dieser Verstellmöglichkeit lässt sich der Weg, den einer der

Teilpulse zurücklegen muss, variieren. Eine zeitliche Überlagerung und Abtastung der beiden

Teilpulse wird somit in einen messbaren Wegunterschied konvertiert. Eine Eigenschaft der

Faltung zweier Kurven ist, dass das Ergebnis immer symmetrisch ist. Wird ein asymmetrischer

Puls mit sich selbst überlagert, ist das Resultat dennoch symmetrisch. Dies hat entscheidenden

Einfluss auf die Aussagekraft dieser Methode, da damit nicht die Pulsform bestimmt werden

kann. Um einen verlässlichen Wert für die Pulsdauer zu erhalten, muss sogar ganz im Gegenteil

die Pulsform des einfallenden Strahls bereits bekannt sein, da das Autokorrelationssignal breiter

ist, als der ursprüngliche Puls. Im Falle einfacher Standardpulsformen lässt sich die

Autokorrelationsbreite in eine Pulsbreite umrechnen. Sieh hierzu Tabelle A3.

Pulsform 2( )G , /y T /ac p

Gauss 2

2

y

e

1.414

Sech² 2

3coth 1

sinhy y

y 1.543

Lorentz

2

1

1 / 2y 2

Tabelle A3: Verhältnis der FWHM der Autokorrelationsfunktion zur FWHM der jeweiligen Pulsform.

Je nach Fokussierung oder kollinearer Überlagerung der beiden Teilstrahlen ergibt sich mit dem

beschriebenen Aufbau entweder die Intensitätsautokorrelation, oder die interferometrische

Autokorrelation.

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Abbildung A10: Schematischer Aufbau eines Autokorrelators für den nicht-kollinearen Fall. Der einfallende Strahl wird über einen Strahlteiler in gleichintensive Strahlen aufgeteilt und je in einen Interferometerarm gelenkt. Über Retroreflektoren werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear gebracht. Einer der Retroreflektoren steht dabei auf einer Translationsstage, wodurch der Weg und somit der zeitliche Überlapp für diesen Teilstrahl gegenüber dem Fixen eingestellt werden kann. Nach einem Fokussierelement überlagern sich die beiden Pulse in einem phasenangepassten nichtlinearen Kristall zur Erzeugung der zweiten Harmonischen. Diese wird über Filter und Blenden von den Fundamentalen getrennt und über einen empfindlichen Photomultiplier aufgenommen. Zu beachten sei außerdem, dass beide Teilstrahlen möglichst wenig und gleich viel Dispersion erfahren.

Intensitätsautokorrelation

Liegt eine nicht-kollineare Überlagerung der beiden Teilpulse in dem nichtlinearen Medium vor,

ist das Resultat die sogenannte Intensitätsautokorrelation. Hierfür tragen je ein Photon der

beiden Interferometerarme zu einem Frequenzverdoppelten bei, welches einen

superpositionierten Impuls von den beiden Erzeugerphotonen besitzt und somit räumlich mit

der Winkelhalbierenden von den Grundwellen getrennt wird. Aus diesem Grund lassen sich die

Grundwellen einfach per Blende vor dem Detektor abfangen. Dadurch wird diese Messung

untergrundfrei. Das normierte Autokorrelationssignal zweiter Ordnung 2G lautet dabei:

2 2

0 0

2

4

0

( ) ( )

( )

( )

E t E t dt

G

E t dt

(67)

Wegen der langen Ansprechzeit des Detektors im Vergleich zur Pulslänge kann die Integration

über den Puls als gegen unendlich betrachtet werden, 2( )G . Die

Intensitätsautokorrelation ist jedoch ein Verfahren, welches nur Aufschluss über die Amplitude

und somit die zeitliche Breite liefert. Es fehlt jegliche Phaseninformation. Durch die durch die

Faltung entstehende Symmetrie des Korrelationssignals kann auch keine exakte Form des

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ursprünglichen Pulses rekonstruiert werden. Für eine verlässliche Aussage über die Pulsdauer

sollte der zu vermessende Puls eine einfache Standardgeometrie aufweisen, welche als bekannt

vorauszusetzen ist. Ein weiterer Nachteil ist, dass das Verfahren im Bereich von unter 20 fs an

sein Limit stößt. Nichtsdestotrotz ist dieses Verfahren weit verbreitet, da es ein schnelles

Ergebnis über die Pulsdauer liefert und so im täglichen Laboralltag für viele Justier- und

Kontrollanalysen ausreichend ist.

Abbildung 3: [2] a) Messignal eines fourierlimitierten Pulses durch Intensitätsautokorralation. b) Ebenfalls das Signal einer Intensitätsautokorrelation. Diesmal jedoch mit Chirp, der sich, wie aus der Abbildung ersichtlich, aus dem Graphen nicht erschließt. Nur eine Abweichung von der fourierlimitierten Pulsdauer lässt auf dessen Vorhandensein schließen.

Interferometrische Autokorrelation

Werden die beiden Teilstrahlen nach dem Strahlteiler wieder kollinear überlagert, entspricht die

Anordnung einer interferometrischen Autokorrelation. Anders als in der

Intensitätsautokorrelation, werden hier die Fundamentalwellen nicht von der zweiten

Harmonischen getrennt, weshalb im Falle eines nichtidealen Filters vor dem Detektor auch

immer ein Untergrund mit gemessen wird. Neben dem Korrelationssignal treten auch

Interferenzerscheinungen auf, welche das Signal modulieren. Aus dieser Modulation der

Einhüllenden lässt sich neben der Amplitude auch eine Phaseninformation ableiten. Dies

beinhaltet eine qualitative Aussage über das Vorhandensein einer Phasenmodulation. Wie in

Abbildung A12 dargestellt, zeigt sich das durch eine Aufspaltung der oberen sowie unteren

Einhüllenden in Bezug auf den Untergrund. Ein linearer Chirp lässt sich sogar quantitativ über

die Höhe der beginnenden Interferenzerscheinungen relativ zum Signalmaximum bestimmen.

Mathematisch beschreibt sich das Autokorrelationssignal folgendermaßen:

2

2

2 0 0( ) ( ) ( )G E t E t dt

(68)

Hierbei steht für eine Mittelung über das schnell oszillierende elektrische Feld, während das

Integral über die Einhüllende integriert.

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Vorteil dieser Methode ist, dass neben einer zusätzlichen Phaseninformation noch kürzere Pulse

aufgelöst werden können als mit der Intensitätsautokorrelation. Jedoch ist auch diese

Autokorrelation, wie eine jede, symmetrisch und bietet damit nur begrenzt Aufschluss über die

exakte Pulsform.

Für noch genauere Analysemethoden sei auf das FROG oder SPIDER Verfahren verwiesen.

Abbildung A12: [2] a) Interferometrische Autokorrelation eines fourierlimitierten Pulses. Zu sehen sind sowohl die obere, wie die untere Einhüllenden, welche ein moduliertes Trägersignal beinhaltet. b) Durch Vorhandensein eines Chirps, verändert sich die die Lage der Modulation gegenüber dem Untergrund. Ebenso wird die untere wie die obere Einhüllende durch Vorhandensein eines linearen Chirps beeinflusst.

Pulsformung

Auf die zeitliche Form des Pulses kann mittels bestimmter Arrangements Einfluss genommen

werden. Pulse können gestreckt oder kompressiert werden. Physikalischer Hintergrund ist, dass

beim Kompressieren ein vorhandener Chirp ganz oder teilweise vermindert wird, beim Strecken

erfolgt das entsprechende Gegenteil. Dies geht jedoch nie über das durch das Zeit-Bandbreite-

Produkt vorgegebene Minimum hinaus. Ein fourierbegrenzter Puls wird beim Durchlaufen einer

solchen Anordnung immer verlängert. Deswegen ist die historisch bedingte Bezeichnung von

Kompressoren und Strechern missverständlich, richtiger wäre für Kompressoren „Induzierung

negativer Dispersion“ und entsprechend „Induzierung positiver Dispersion“ für letztere.

Anwendung finden diese Systeme hauptsächlich innerhalb des Resonators, um stabile kurze

Pulse zu erzeugen, der natürlichen Dispersion von Fasern in der Datenübermittlung

entgegenzuwirken, sowie in der Chirped Pulse Amplification (CPA). Bei letzterem handelt es sich

um ein Verstärkerelement für ultrakurze Pulse. Damit das aktive Medium jedoch bei den dabei

auftretenden sehr hohen Intensitäten nicht zerstört wird, muss der Puls zeitlich gestreckt, dann

verstärkt und anschließend wieder zurückkomprimiert werden.

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Es folgt eine Tabelle mit unterschiedlichen Systemen, welche die Pulsform beeinflussen können.

Gezeigt wird das jeweilige Vorzeichen der Dispersionsordnung.

Prismenkompressor

Eine etablierte Methode, Pulse per eingeleiteter GVD zeitlich zu verändert, verwendet

Prismenpaare. Hierbei wird die zeitliche Dispersion, durch die wellenlängenabhängige Brechung

von Licht, aus einer räumlichen Winkeldispersion erzielt. Aus Abbildung A13 geht der

schematische Aufbau eines solchen Kompressors hervor.

Abbildung A13: Prismenkompressor, entweder mit vier Prismen, welche keinen resultierenen Strahlversatz verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Die Prismen sind allesamt auf den minimalen Ablenkwinkel sowie Brewsterwinkel geschnitten und justiert. Durch den wellenlängenabhängigen Brechungsindex kommt es zu einer spektral verschiedenen Laufzeit durch den Kompressor. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Prisma II und III eingestellt werden, von negativ, über null hin zu positiver Dispersion.

' '' '''

Optisches Material im

VIS + + +

Prismenkompressor - - -

Gitterkompressor - - +

Tabelle A4: Dispersionsvorzeichen der verschiedenen Systeme in den verschiedenen Ordnungen. Es ist ersichtlich, dass sich durch geschicktes Kombinieren dieser Anordnungen mehrere Ordnungen kompensiert werden können.

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Der einfallende Strahl durchläuft dabei einen Abschnitt, bestehend aus vier gleichen Prismen.

Für die Zentralwellenlänge des Laserpulses sind die Prismen dabei im Brewsterwinkel

geschnitten, um Verluste minimal zu halten. Zudem ist dieser Winkel noch darauf hin angepasst,

dass die Zentralwellenlänge die Prismen im minimalen Ablenkwinkel durchläuft. Ist dies der

Fall, haben einfallender und ausfallender Strahl denselben relativen Winkel zur brechenden

Prismenoberfläche. Dies gilt für den monochromatischen Fall bzw. für die Zentralwellenlänge.

Da nun aber der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt und der Laserstrahl eine gewisse

spektrale Breite besitzt, werden die einzelnen Frequenzen verschieden stark gebrochen. Es folgt

nach Wiederaustritt des Pulses vom ersten Prisma eine räumliche Dispersion, also ein nach

Spektren selektierte Divergenz. Der aufgespaltene Strahl trifft so auf das zweite Prisma. Dieses

ist so orientiert, dass die beiden zueinander stehenden Stirnflächen der Prismen parallel

zueinander sind. Für den Puls, welcher das zweite Prisma verlässt, gilt, dass aufgrund der

Symmetrie der Prismen und deren Anordnung die spektralen Komponenten kollinear

zueinander verlaufen, räumlich aber noch getrennt sind. Der gesamte optische Weg der

einzelnen Frequenzen bestimmt dabei die erzielte GVD. Der Weg im Medium zwischen den

beiden Prismen (in der Regel Luft) ist für die blauen Komponenten länger wegen der höheren

Ablenkung durch die Brechung. Dafür müssen die roten Anteile jedoch mehr Wegstrecke im

optisch dichteren Prismenmaterial zurücklegen. Durch eine geschickte Balance dieser beiden

gegenläufigen Effekte, kann die gewünschte GVD eingestellt werden. Für eine sehr nützliche

Justage der benötigten Dispersion, ohne Veränderung des Aufbaus und jederzeit während des

Versuches durchführbar, wird das zweite Prisma auf eine Translationsstage montiert. Somit

lässt sich die Menge an Materialdurchgang des Lichtes durch das Prisma einstellen und somit

das Verhältnis von negativer Winkeldispersion und positiver Materialdispersion verändern. In

der Regel soll solch eine Anordnung negative Dispersion einleiten. Tritt der Puls dabei durch die

Spitzen der Prismen, ist die Materialdispersion zu vernachlässigen und das Maximum an negativ

erreichbarer Dispersion ist erreicht. Wie die Skizze andeutet, kann nach dem zweiten Prisma

entweder ein Faltungsspiegel platziert werden, welcher den Strahl durch die beiden ersten

Prismen zurückschickt oder aber noch einmal eine äquivalente Prismenpaaranordnung, dessen

Spiegelebene der mögliche Faltungsspiegel ist. Zweck des zweiten Paares ist es den räumlich

aufgespaltenen Puls wieder kollinear zu überlagern. Der so überlagerte Puls erfährt durch den

zweiten Durchgang durch das Prismenpaar noch einmal dieselbe Dispersion. Ob ein oder zwei

Prismenpaare verwendet werden, hängt primär davon ab, wo und wie die Dispersionstrecke

zum Einsatz kommt. Als Eingliederung für einen vorgegebenen oder bestehenden Strahlengang

empfiehlt sich die Variante mit den vier Prismen, da der einfallende und der ausfallende Strahl

kollinear und ohne Versatz zueinander verlaufen. Ein kompakterer Aufbau lässt sich mit der

gefalteten Variante realisieren, dabei wird der Strahl jedoch in sich zurück reflektiert und muss

mit einem Höhenversatz versehen werden.

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Um eine quantitative Aussage über die Dispersion eines Prismenkompressors zu erhalten, geht

aus Gleichung (47) hervor, dass hierfür die zweite Ableitung des optischen Weges nach der

Wellenlänge 2

2

d P

d erforderlich ist. Dafür wird der extreme Strahl betrachtet, welcher von

Prismenspitze zu Prismenspitze propagiert und als Referenzstrahl definiert. Diese Strecke wird

folglich mit l benannt. Um den optischen Wegunterschied des anderen Extremstrahls

bestimmen zu können, veranschauliche man sich das an einer Skizze wie in Abbildung A14b).

Die Strecke von CB markiert dabei den Referenzstrahl. Von Interesse ist der optische Weg CDE.

Da sowohl AC, als auch BE mögliche Wellenfronten des Pulses darstellen, muss AB gleich CDE

sein. In Skizze A14c) wird der Weg CJ eingeführt, welcher parallel und gleich AB ist und somit

auch gleich CDE. Mit als dem Differenzwinkel zwischen den beiden Extremstrahlen folgt für

den optischen Weg des CDE Strahls:

cosP l (69)

Die Teilstrecken EFH und BG tragen nicht zur Dispersion bei, da BE und GH wieder mögliche

Wellenfronten sind und FH zu BG parallel ist. Das zweite Prismenpaar bzw. durch den

Faltungsspiegel verdoppelt sich der zur Dispersion beitragende optische Weg zu:

2 cosP l (70)

2 sindP

ld

(71)

2

22 cos

d Pl

d

(72)

Es resultiert durch Anwenden der Kettenregel für Ableitungen:

Abbildung A14: a) Wellenlängenabhängige Brechung durch ein Glasprisma, welches auf minimalen Ablenkwinkel γ, sowie Brewsterwinkel εBr justiert ist. b) Konstrukt zur Herleitung des optischen Wegunterschieds. Mit AC und BE als mögliche Wellenfronten. c) CJ ist parallel zu AB und hat dieselbe Länge. Dadurch ist der optische Weg CDE gleich lcosβ.

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2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

d P d n d dn d dP dn d d P

d d dn d dn d d dn d

(73)

In dieser Darstellung wird der einfallende Winkel 1 als fest angenommen. Da dieser durch den

Brewsterwinkel durch die Schnittform des Prismas festgelegt ist, trifft das auch im Allgemeinen

zu. Sei entsprechend 2 der Winkel des transmittierten Strahles und 1 2', ' die

entsprechenden Winkel im Inneren des Prismas, so erhält man durch das Snellius Gesetz und

der Beziehung vom Winkel der brechenden Kante 1 2' ' für ein Prisma mit dem

Brechungsindex n:

2 2 2 1

2

sin( ') cos( ') tan( ')

cos

d

dn

(74)

22 2

2 2 1 222

tan ( ')tan( )

d d d

dn dn n dn

(75)

Für den minimalen Ablenkwinkel, sowie Brewsterwinkel gelten 1 2' ' und 2tan n . Man

kann zeigen, dass 2/ /d dn d dn sowie 2 2 2 2

2/ /d dn d dn gilt , wodurch man erhält

2d

dn

(76)

2

2 3

24

d

dn n

(77)

All diese Beziehungen in Gleichung (73) eingesetzt ergibt den Betrag zur SOD:

2 22 2

2 2 3

14 2 sin 2 cos

d P d n dn dnl n

d d n d d

(78)

Trotz positiver Materialdispersion lässt sich mit solch einer Anordnung eine resultierende

negative Dispersion einstellen. Dabei durchlaufen die blauen Spektralanteile den Kompressor

schneller als die roten. Wie in Gleichung (78) ersichtlich, ist der Betrag der GVD vom

Prismenmaterial, der spektralen Breite und dem Abstand zwischen den Prismen abhängig. Ohne

besonderen Einfluss, abgesehen von der natürlichen Strahlaufweitung, ist jedoch der Abstand

zwischen Prisma II und III.

Die dritte, recht komplexe Ableitung lässt sich durch folgenden Ausdruck annähern:

3 3 2

3 3 24 sin 6 cos

d P d n dn d nl

d d d d

(79)

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Gitterkompressor

Eine weitere Möglichkeit, die Pulsdauer zu beeinflussen, besteht über die Verwendung von

Beugungsgittern. Anders als bei Prismen gibt es hier nur einen Dispersionseffekt. Verbunden mit

einer Winkeldispersion ist diese immer negativ. Mit der Methode der Strahlaufweitung mittels

Teleskop zwischen den Komponenten des Kompressors kann jedoch auch positive Dispersion

induziert werden. Trifft ein ultrakurzer Puls auf ein optisches Gitter, werden seine spektralen

Komponenten unterschiedlich stark gebeugt. Aufgrund dieser Winkeldispersion divergieren sie

also unter verschiedenen Winkeln relativ zum einfallenden Strahl auseinander. Dabei erfahren

die roten Spektralkomponenten eine stärkere Beugung als die blauen. Diese Strahlen treffen auf

das zweite Gitter, werden dort wieder gebeugt und propagieren von dort aus parallel zum

ursprünglichen Strahl weiter. Die verschiedenen Wellenlängen sind also wieder kollinear, jedoch

räumlich separiert, vergleichbar mit dem Zustand nach Prisma II beim Prismenkompressor. Der

optische Wegunterschied ist ein Resultat der unterschiedlich langen Wege zum zweiten Gitter

und anschließender Kollimation aufgrund des wellenlängenabhängigen Beugungswinkels.

Abbildung A15 verdeutlicht dies.

Abbildung A15: Gitterkompressor, entweder mit vier Gitter, welche keinen resultierenen Strahlversatz verursachen, oder mit einem Faltungsspiegel M, wodurch der Strahl in sich zurückfällt. Wegen dem wellenlängenabhängigen Beugungswinkel durchlaufen die roten Spektralanteile in solch einer Anordnung immer einen längeren optischen Weg, der Puls erfährt insgesamt nach der Bündelung eine negative Dispersion. Der Betrag hiervon kann per Translationsversatz von Gitter II und III eingestellt werden.

Äquivalent zum Prismenkompressor kann der Gitterkompressor aus vier identischen Gittern

aufgebaut werden, welche alle in der Groovesausrichtung parallel sein müssen. Zudem ist es

notwendig, dass die jeweiligen Gitterpartner in allen Achsen parallel zueinander stehen. Vier

Gitter werden verwendet, wenn der Strahl keine Ablenkung zu seiner ursprünglichen

Einfallsrichtung erfahren soll. Die Bündelung des Strahls wird durch einen Faltungsspiegel mit

nur einem Gitterpaar erreicht, welches daraufhin zweimal durchlaufen wird. Diese Anordnung

spiegelt den Strahl in seine einfallende Richtung zurück. Für die Strahlseparation ist also ein

Höhenversatz notwendig. Wird eines der Gitter auf eine Translationsstage mit einem

Verschiebeweg parallel zur Gitternormalen montiert, kann auf den Wert der GVD durch

Abstandsbeeinflussung der Gitter zueinander beeinflusst werden. Gitterkompressoren haben

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den Vorteil, dass sie eine hohe Dispersion aufweisen und somit Pulse um einen Faktor von bis zu

104 strecken oder kompressieren können. Aufgrund der nicht unterdrückbaren 0-ten

Beugungsordnung sind jedoch keine besseren Effizienzen als 80% pro Gitterpaar zu erreichen.

Aufgrund dieser Vor- und Nachteile finden solche Aufbauten meist Anwendung in der CPA.

Die frequenzabhängige Beugungsbedingung ist gegeben durch:

2

sin ' sinc

d

(80)

Abbildung A16: Gitterpaar, welches eine frequenzabhängige Winkeldispersion erzeugt. PP0 stellt dabei eine mögliche Wellenfront des wieder austretenden räumlich gechirpten Pulses.

mit dem Einfallswinkel , dem Beugungswinkel ' der Frequenz und dem Linienabstand d.

Da Beugungsgitter mit hohen Verlusten zu kämpfen haben, sind diese speziell für eine

Wellenlänge konzipiert, wodurch es neben dem geometrischen Reflex nur noch zu einer ersten

Beugungsordnung kommt und Gleichung (80) in ihrer dortigen Form Richtigkeit bewahrt. Zur

Bestimmung der Dispersion verfolge man den frequenzabhängigen Strahlengang. Die optische

Weglänge ACP aus Abbildung A16 lässt sich konstruieren zu:

1 cos( ' )cos '

bACP

(81)

Der Normalengitterabstand wird hierbei mit b bezeichnet. Es soll hier noch der Begriff der

Phasenverzögerung eingeführt werden, welche über den optischen Weg POL definiert ist:

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( ) ( )OLPc

(82)

Der Phasenfaktor ist gleichbedeutend mit dem Phasenfaktor lk L und somit ist dies nach

zweimaliger Ableitung nach der Frequenz konsistent mit Gleichung (47). Mit jeder

überstrichenen Gitterperiode, welcher ein Strahl einer leicht anderen Frequenz im Vergleich zu

einer Referenzfrequenz erfährt, springt der Phasenfaktor um 2π im Falle der ersten

Beugungsordnung. Da jedoch nur der relative Phasenversatz entlang 0PP interessiert, werden

quasi die überstrichenen Gitterlinien relativ der Gitternormalen in A mit G2 gezählt:

( ) ( ) 2 tan 'b

ACPc d

(83)

Unter Einsetzen der Gittergleichung (80) ergeben sich die erste und zweite Ableitung zu:

1 cos( ')

cos '

d b

d c

(84)

2 2

2 3 2 3

4

cos '

d bc

d d

(85)

Dieser Dispersionswert ist das Resultat eines Gitterpaares. Für einen Kompressor muss dieser

Wert also noch mit dem Faktor 2 multipliziert werden. In Wellenlängen ausgedrückt ergibt das:

22

2 2 32

2 cos '( )l

l l

l

d b

d c d

(86)

Für den Term dritter Ordnung gilt:

3 22

3 2 2

3cos '( ) sin

2 cos '( )l l

l l ll

l

d d

d c d d d

(87)

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Quellen

Allgemein:

Skript zur Vorlesung Lasertechnologie (Prof. Dr. Huber)

RP Photonics – Encyclopedia of Laser Physics and Technology (www.rp-photonics.com)

Weiterführend:

[1] B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics. John Wiley & Sons, 2007 (2.

Auflage)

[2] J. C. Diels, W. Rudolph, Ultrafast laser pulse phenomena. Elsevier, Academic Press, second

ed., 2006.

[3] M. Hugenschmidt. Lasermesstechnik, Diagnostik der Kurzzeitphysik. Springer Berlin, 2006.