Beispiel: Mehrgeschossiger...

Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090

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Beispiel: Mehrgeschossiger Skelettbau Vorbemerkung: Das Beispiel entstammt dem Buch: Beispiele zur Bemessung nach DIN 1045-1 Band 2 Ernst und Sohn 2003, herausgegeben vom Deutschen Beton- und Bautechnik-Verein E.V. Es wurde insofern berichtigt, daß die in diesem Werk gezeigte falsche Berechnung der Bauwerkssteifigkeiten ebenso korrigiert wurde, wie die Schnittkräfte in den Riegeln des aussteifenden Schachtes. In der hier gezeigten Berechnung wurde auch die eigentliche Erdbebenberechnung auf rein mathematische Routinen zurückgeführt. Damit kann etwas mehr von dem gezeigt werden, was üblicherweise von Programmen erledigt wird, ohne daß der Nutzer die Einzelheiten der Berechnung erkennen muß. Die Berechnung der Aussteifung selbst ist hier nicht ausgeführt, da sie den Rahmen dieses Seminars sprengen würde. Aufgabenstellung

DIN 1045-1, 3.1.1: üblicher Hochbau DIN 1045-1, 8.6.2: (1) ausgesteiftes Tragwerk E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbebengebieten Die Fertigteilunterzüge und –deckenplattenwerden als Einfeldträger angenommen. DIN 1045-1, 9.1: Beton DIN 1045-1, 9.2: Betonstahl

Das zu untersuchende Bauwerk ist ein ausgesteifter, sechsgeschossiger Skelettbau. In diesem Beispiel wird die horizontale Aussteifung (vertikale und horizontale aussteifende Bauteile) behandelt. In einem weiterführenden Beispiel (b) wird anhand dieses Bauwerks auf Aspekte der Erdbebenbemessung der Aussteifung eingegangen. Der Kern sowie die aussteifende Wandscheibe in Achse 7 sind Ortbeton-konstruktionen; Stützen, Unterzüge und Deckenscheiben werden als Fer-tigteilkonstruktionen vorgesehen. Baustoffe:

• Beton C30/37 Ortbeton und Fertigteile • Betonstahlmatten: BSt 500 M (A) • Betonstahl BSt 500 S (A)


1 System, Bauteilmaße

2 Räumliche Steifigkeit und Stabilität 2.1 Querschnittswerte Vorausgesetzt wird für das ausgesteifte Skelettsystem, daß eine Ausbil-dung horizontaler, starrer Deckenscheiben erfolgt. Für die weitere Nachweisführung sowohl der lotrechten, aussteifenden Bauteile (Wandscheibe, Kern) als auch des ausgesteiften, mehrgeschos-sigen Skelettragwerkes ist zu entscheiden, ob das Gesamtsystem als verschieblich oder unverschieblich einzuordnen ist. Dazu sind zunächst die Querschnittswerte der aussteifenden Bauteile zu bestimmen: E-Modul Beton C30/37: Ecm = 31.900 N/mm² G-Modul Beton C30/37: Gcm = Ecm/2,4 = 13.300 N/mm²

DIN 1045-1, 8.6.2: (1) Zur Nachweisführungwerden Tragwerke oder Bauteile inausgesteifte oder unausgesteifte eingeteilt, jenachdem ob aussteifende Bauteile vorgese-hen sind oder nicht oder sie werden als ver-schieblich oder unverschieblich betrachtet, jenachdem ob bei Tragwerken die Auswirkun-gen nach Theorie II. Ordnung entsprechend8.6.1(1) zu berücksichtigen sind ... DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9

G = E / ( )[ µ+12 ] = E / 2,4

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DIN 1045-1, 8.6.2: (5) Sofern keine ge-naueren Nachweise geführt werden,dürfen Tragwerke, die durch lotrechteBauteile wie z.B. massive Wandschei-ben oder Bauwerkskerne ausgesteiftsind, als unverschieblich im Sinne vonAbsatz (1) angesehen werden, wenndie Gleichungen 25 und 26 („Ausstei-fungskriterien“) erfüllt sind. In den aussteifenden Bauteilen solltedie Betonzugspannung unter der maß-gebenden Einwirkungskombination denWert fctm nach Tab. 9 ... nicht über-schreiten. Für die Ermittlung der Querschnittswer-te reicht es i.A. aus, den Zustand Izugrunde zu legen (Ortbetonwand-scheiben bzw. keine klaffenden Fugenin Fertigteilwänden). Im Allgemeinen sind aussteifendeWände, insbesondere bei Ausstei-fungskernen durch Tür- und Fensteröff-nungen gegliedert. Für die Auswertungder Aussteifungskriterien bei größerenÖffnungen sind Ersatzsteifigkeiten zubestimmen. Die Geschoßhöhe von 3,5 m wird derBerechnung der Schubsteifigkeit desÖffnungsbereiches zugrundegelegt. DieSchubsteifigkeit des EG ist größer.

2221, 00,601,325,050,600,7 mAc =⋅−−=

Bezeichnung Wand 3 mit Wandhöhe ml 5,221 = Öffnungsbreite mw 01,3= mittlere Geschoßhöhe mhg 5,3=

minimale Riegelhöhe mhr 37,113,250,3 =−= Kern 1 Trägheitsmomente und Schwerpunkt- bzw. Schubmittelpunktswerte werden programmiert ermittelt und sind hier nur mitgeteilt.

1,75

2,02 0,40

1,33

1,33

0,706 2,294 0,673 0,067

0,83

1,75

Die Werte des offenen Profils ergeben sich zu

)523,696(998,5

469,40

75,50

6

2

4

4

mImA

mI

mI

II

I

=

=

=

=

ω

Der Wert ωI ist jedoch an dem durch die Mitwirkung der Riegel geschlossenen Querschnitt zu berechnen. Berechnung der Riegelsteifigkeit an dem Rahmen:


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4

2

4

2

4559,1

59,1

0292,0

03,1

mI

mA

mI

mA

sl

sl

sr

sQ

=

=

=

=

66,3

69,23

=

=

Qsl

Qsr

κ

κ

4

2

0536,0

34,0

mI

mA

R

R

=

=

2,1=Rκ Mit diesen Werten errechnet sich eine wirksame Dicke von 47,29 mm. Mit diesen Werten ergibt sich die Torsionssteifigkeit zu für das offene Profil 41251,0 m

Bredtsche Torsionssteifigkeit 40261,52 m

2,86

1 3,

889

6,75

3,23

3,

52

3,00

3,

01

74

5,64 1,11

6,75

3,80 2,95

19,46°

x

I y II

M

415,52 mIt =Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsions-kenngrößen und sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlosse-nen Querschnitt zu ermitteln.

TI ωI

6402,77 mI =ω

Zur Lage des Schubmittelpunktes siehe Skizze. Dieser Schacht wirkt zusammen mit der Wandscheibe auf Achse 7. Die zusammengefaßten Steifigkeiten werden:

mxmy

mI

mI

mI

M

M

II

I

2626,8577,756,11959,40

415,57

28,6728

4

4

6

==

°==

=

=

α

ω

Bauteil 2: Wandscheibe

TI ωI

Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsions-kenngrößen und sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlosse-nen Querschnitt zu ermitteln.

6,75

m

7,00

m

Wanddicke h2 = 25 cm

x

y Fläche:

22,

22,

75,1

25,000,7

mA

mA

c

c

=

⋅=

Trägheitsmomente:

4

2,

32,

15,7

12/00,725,0

mI

I

cx

cx

=

⋅=

4

2,

32,

01,0

12/25,000,7

mI

I

cy

cy

=

⋅=

Widerstandsmoment Torsion:

4

2,

32,

04,0

3/25,000,7

mI

I

T

T

=

⋅≈


Wölbwiderstandmoment: 02, =ωI

2,866 =My 2,547

=Mx

M

1

7,86

11,99

x

y

10,1

2

6,75

6,752

40,50

B

D

A

5 7 6

C

2 3 1 4 Beispiel b: Mehrgeschossiger Skelettbau - Erdbeben Aufgabenstellung Im Beispiel b wird anhand des in Beispiel a behandelten mehrgeschossi-gen Skelettbaus auf Aspekte der Erdbebenbemessung der aussteifenden Bauteile eingegangen. Das Ausgangssystem und die Einwirkungen ohne Erdbeben werden direkt aus Beispiel a übernommen. Nach der Bewertung der im Beispiel a gewählten Anordnung der ausstei-fenden Bauteile hinsichtlich der Erdbebenbemessung werden die ausstei-fenden Bauteile in Anordnung und Wanddicke so verändert, daß die Vor-gehensweise bei Anwendung des „vereinfachten Antwortspektrenverfah-rens“ gezeigt werden kann.

Derzeit ist noch nicht entschieden, ob eine eigene deutsche Erdbeben-norm oder ein nationales Anwendungsdokument zur europäischen Erd-bebennorm EN 1998-1 (Eurocode 8) bauaufsichtlich eingeführt wird. In beiden Fällen würden die im Entwurf der DIN 4149 für Deutschland festgelegten Erdbebenlasten gelten. Deshalb werden mit diesem Beispiel einige grundsätzliche Regelungen und Vorgehensweisen bei der Erdbebenbemessung im Rahmen des neuen Normenkonzeptes im Massivbau vorgestellt, obwohl sich der im Vorgriff auf europäische Regelungen entstandene Entwurf der DIN 4149 noch in der Diskussion befindet. Die Ausführungen sind wegen möglicher Änderungen in der endgültigen Erdbebennorm als Anhaltspunkte für die Nachweisführung zu verstehen.

E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbebengebieten

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Baustoffe:

• Beton C30/37 Ortbeton und Fertigteile DIN 1045-1, 9.1: Beton DIN 1045-1, 9.2: Betonstahl DAfStb-Heft 525, zu 9.2.2: Durch die plastische Verformungsfähigkeit (Duktilität) des Betonstahls wird die Voran-kündigung des Bruches durch große Verfor-mungen und eine Energiedissipation bei zykli-scher Belastung (Erdbeben) gewährleistet. Die entsprechenden Kennwerte der Duktili-tätsklassen A und B der Betonstähle wurden aus der europäischen Normung für die Be-messung und Konstruktion von Stahlbeton-bauteilen übernommen. Für Sonderanwendungen existieren neben den Stählen der Klassen A und B noch spezi-elle Stähle mit sehr hohen Duktilitätseigen-schaften (z.B. für Bauten in Erdbebengebie-ten). Bei Verwendung dieser Stähle sind die Bemessungswerte aus den technischen Un-terlagen abzuleiten. Die Bemessungswerte sind dann ggf. außer bei der Bemessung in der außergewöhnlichen Bemessungssituation (Erdbeben) auch in den ständigen oder vor-übergehenden Bemessungssituationen zu verwenden.

• Betonstahlmatten: BSt 500 M (B) • Betonstahl BSt 500 S (B)

Der in kritischen Bereichen von Tragwerken, an die Duktilitätsanforde-rungen gestellt werden, verwendete Betonstahl hat die Anforderungen an hochduktile Stähle nach DIN 1045-1 (Duktilitätsklasse B) zu erfüllen.


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Der diesem Beispiel zugrunde gelegte Norm-entwurf E DIN 4149 entspricht grundsätzlichdem zukünftigen EC 8 – Auslegung von Bau-werken gegen Erdbeben – und ist auf diedeutschen Schwachbebengebiete zugeschnit-ten. E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbeben-gebieten – Lastannahmen, Bemessung undAusführung üblicher Hochbauten, 2002-10 E DIN 4149, 5.1 E DIN 4149, 5.2 E DIN 4149, 5.3.1 (2) E DIN 4149, Tabelle 2 E DIN 4149, 5.3.2 (1) E DIN 4149, Tabelle 3 E DIN 4149, Gl. (1) – (4)

3 Aussteifungsbauteile in deutschen Erdbebengebieten 3.1 Standort und elastisches Antwortspektrum Mit der Einführung des neuen Normenkonzepts im Bauwesen wird auch die entsprechende Norm für Bauwerke in deutschen Erdbebengebieten überarbeitet. Sie wurde zwischenzeitlich als Entwurf E DIN 4149 veröf-fentlicht. Für das vorliegende Beispiel des mehrgeschossigen Skelettbaus, für das die Abmessungen der aussteifenden Bauteile bereits festgelegt sind, ist zunächst die Erdbebeneinwirkung zu bestimmen. In den folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, daß sich das Gebäude südlich von Aachen befindet. Entsprechend der Bilder 1 und 2 der Norm gilt somit für das Gebäude eine Zuordnung zu der Erdbeben-zone 2 und der geologischen Untergrundklasse A. Als Baugrund steht festes bis mittelfestes Gestein an (Baugrundkl. 1). Mit den vorstehenden Zuordnungen zu der Erdbebenzone und der geo-logischen Untergrundklasse sowie der Klassifizierung des Baugrunds lassen sich die Ordinaten ( )TSe des elastischen Antwortspektrums mittels der folgenden Parameter bestimmen:

Bemessungswert der Bodenbeschleunigung: 2/60,0 smag =

Verstärkungswert der Spektralbeschleunigung: 50,20 =β Dämpfungs-Korrekturbeiwert (5 % Dämpfung): 0,1=η

Parameter zur Beschreibung des elastischen Antwortspektrums:

Bodenparameter: 0,1=S Kontrollperioden: T sB 05,0=

sTsT

D

C

00,220,0

==

Mit diesen Parametern wird das elastische Antwortspektrum nach Norm wie folgt festgelegt:

( ) ( )[ ]( )( )( ) 2

0

0

0

0

/:

/:

:

/11:

TTTSaTSTT

TTSaTSTTT

SaTSTTT

TTSaTSTTT

DCgED

CgEDC

gECB

BgEBA

⋅⋅⋅⋅⋅=≤

⋅⋅⋅⋅=≤≤

⋅⋅⋅=≤≤

⋅−⋅+⋅⋅=≤≤

βη

βη

βη

βη

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Schwingdauer [sec]

Bes

chle

unig

ungs

ampl

itude

[m/s

ec²]


Seite 8

3.2 Untersuchungen für das vorliegende Bauwerk 3.2.1 Ermittlung der Bemessungsspektren

In dieser Berechnung wird die Hauptrichtung Imit x und die Hauptrichtung II mit y bezeich-net. S. 46 Querschnittswerte siehe Abschnitt 3.1

siehe Beispiel a E DIN 4149, 6.3.2.4 (7) E DIN 4149, Gl. (37) E DIN 4149, 8.4.2.1 (5) E DIN 4149, Gl. (38) siehe Seite 53 E DIN 4149, Tabelle 8 s. S. 44 E DIN 4149, 8.4.2.2.1 (3)

Zur Beurteilung der Mindest-Torsionssteifigkeit sind zunächst die Torsi-onsradien der einzelnen Hauptrichtungen und der Trägheitsradius des Tragsystems im Grundriß zu bestimmen.

ir sl

Nach dem Script Seite 46 bestimmt sich das Quadrat des Torsionsradius für Bauwerke, die sich auf einen Ersatzstab zurückführen lassen, wie folgt:

∑∑ ∑ ∑ ⋅⋅++⋅+⋅

=iyxc

tiMicyiMicxyx I

hIIyIxIr

,/,

22,,

2,,2

/173,0ω

Verhältnis in x-Richtung: mrmr xx 03,1419741,57/15,525,22173,028,6728 222 =→=⋅⋅+= Verhältnis in y-Richtung: mrmr yy 62,162,27696,40/67,458528,6728 22 =→=+= Der Trägheitsradius des Tragsystems im Grundriß ermittelt sich für ein Bauwerk mit rechteckigem Grundriß und den Grundrißabmessungen L und B zu:

( )( )

2

22

222

9,170

12/25,2050,40

12/

m

BLls

=

+=

+=

mls 1,13=

Somit ergibt sich für die Bedingung der Mindest-Torsionssteifigkeit: 80,007,11,13/03,14/ >==slr Das Tragwerk ist zur Bestimmung des Verhaltensbeiwerts q für die Dukti-litätsklasse 3 demnach den Wandsystemen zuzuordnen. Der zur Berücksichtigung der Energiedissipationsfähigkeit eingeführte Verhaltensbeiwert q ist für jede Bemessungsrichtung wie folgt zu bestimmen: 50,10 ≥⋅⋅= WR kkqq Der Grundwert ist für den Tragwerkstyp Wandsystem gem. Tabelle 8 festgelegt:

0q

50,20 =q Der Beiwert zur Berücksichtigung der Regelmäßigkeit im Aufriß be-trägt für regelmäßige Tragwerke:

Rk

00,1=Rk


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Hinweis: Die angegebene Beziehung für denBeiwert ist nur für den Bereich auszuwerten. Für gilt immer . E DIN 4149, 8.4.2.2.1 (4) siehe Seite 54 E DIN 4149, Gl. (39) Eibl / Keintzel: Vergleich der Erdbebenausle-gung von Stahlbetonbauten nach DIN 4149und Eurocode 8 Beton- und Stahlbetonbau 90 (1995), S. 217 E DIN 4149, Gl. (39) E DIN 4149, Gl. (38) E DIN 4149, Gl. (6) – (9) α - Verhältnis zwischen dem Bemessungs-wert der Bodenbeschleunigung und dega r

Erdbeschleunigung g E DIN 4149, 8.3.1 Verhaltensbeiwert Duktilitätsklasse 2 dq E DIN 4149, 8.4.2.2, Gl. (38) Verhaltensbeiwert q Duktilitätsklasse 3

0,1=Wk30 >α

Wk 30 0 ≤≤ αDer Beiwert zur Berücksichtigung der vorherrschenden Versagensart bei Tragsystemen mit Wänden ist für Wände, Mischsysteme, bei denen Wände überwiegen, und Kernsysteme wie folgt anzusetzen:

Wk

( ) 0,150,050,2/1 0 ≤⋅−= αWk Das vorherrschende Maßverhältnis 0α der Wände des Tragsystems darf, wenn die Maßverhältnisse aller Wände i eines Tragsystems sich nicht signifikant unterscheiden, wie folgt bestimmt werden:

WiWi lH /

∑ ∑= WiWi lH /0α Dabei ist die Höhe der Wand i und die Länge des Querschnitts der Wand i. Nach Eibl / Keintzel dürfen alle Wände i ungeachtet der Be-messungsrichtung berücksichtigt werden.

WiH Wil

( ) ( ) 0,1339,474,00,375,64/50,2260 =→>=++⋅⋅= Wkα Der Verhaltensbeiwert q ist für das Tragwerk in der Duktilitätsklasse 3 für jede Bemessungsrichtung: 5,15,20,10,15,2 >=⋅⋅=q Mit diesen Parametern wird das auf die Erdbeschleunigung g normierte Bemessungsspektrum Norm wie folgt festgelegt: ( )TSd

( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2

0

0

0

0

//:

//:/:

/1/1:

TTTqSTSTT

TTqSTSTTTqSTSTTT

TTqSTSTTT

DCdD

CdDC

dCB

BdBA

⋅⋅⋅⋅⋅=≤

⋅⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅=≤≤

⋅−+⋅⋅=≤≤

βηα

βηαβα

βα

Mit den vorstehend ermittelten Verhaltensbeiwerten für die Duktilitäts-klassen 2 und 3 folgen die nachstehend dargestellten Bemessungsspek-tren:

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Schwingdauer [sec]

Bes

chle

unig

ungs

ampl

itude

[m/s

ec²]

Obere Kurve: Duktilitätsklasse 1 Mittlere Kurve: Duktilitätsklasse 2 Untere Kurve: Duktilitätsklasse 3


3.2.2 Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen 3.2.2.1 Ermittlung der an der Schwingung beteiligten Vertikallasten Der Bemessungswert der Beanspruchungen aus Erdbeben wird unter Berücksichtigung aller Vertikallasten, die in die folgende Kombination eingehen, ermittelt: ∑ ∑ ⋅+ kiEikj QG ψ''''

Die Kombinationsbeiwerte iEi 2ψϕψ ⋅= berücksichtigen dabei die Wahr-scheinlichkeit, daß die veränderlichen Lasten kii Q⋅2ψ während des Erd-bebens nicht in voller Größe vorhanden sind. Die Beiwerte ϕ ermitteln sich für Verkehrslasten in „Sonstigen Gebäu-den“ bei unabhängig voneinander genutzten Geschossen zu: Geschosse 01 – 05: 5,0=ϕ Geschoß 06: 0,1=ϕ Die Kombinationsbeiwerte i2ψ werden aus DIN 1055-100 entnommen: Büro (Kategorie B) 3,02 =ψ Treppen (Kategorie B) 3,02 =ψ Dächer (Kategorie H) 0,02 =ψ Schnee (Orte bis NN + 1000 m) 0,02 =ψ Veränderliche Einwirkungen mit Kombinationsbeiwert 2ψ

Veränderliche Einwirkungen E 2ψ

Innenstützen B2-B6 C4-C6

redEkEk QQ ,

Randstützen A2-A6 B1 D4-D6 C1

redEkEk QQ ,

Eckstützen A1, A7 D1, D7

EkEk QQ ,

06 Schnee 0,00 45,6 0 24,1 0 12,8 0

06 Summe kN 0 0 0

05 Büro 0,30 91,1 27,3 48,3 14,5 25,6 7,7

05 Treppe 0,30

01-05 Summe kN 5 x 27,3 5 x 14,5 5 x 7,

Summe 1-6 kN 137 73 3

Summe kN ∑ i i = 8 1.092 i = 10 725 i = 4 15

Gesamt: 2.592 kN =redEkQ ,

Vertikale Einwirkungen W zur Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen k

Veränderliche Einwirkungen E Last

Innenstützen B2-B6 C4-C6 W k

Randstützen A2-A6 B1 D4-D6 C1 W k

Eckstützen A1, A7 D1, D7 Wk

06 Summe kN 305,9 220,6 153,

02-05 Summe kN 4 x 387,8 4 x 258,5 4 x 170,

01 Summe kN 392,4 283,3 196,

Summe 1-6 kN 2.250 1.538 1.03

Summe kN ∑ i i = 8 18.000 i = 10 15.380 i = 4 4.124

Gesamt: W 51.625 kN =k

E DIN 4149, Gl. (12) “+” zu kombinieren mit Seite 31 E DIN 4149, 5.4 (3) E DIN 4149, Tabelle 5 An dieser Normauslegung sind sicherlichZweifel angebracht, da es nicht die Absichtder Norm sein kann, die vorgesehene Erhö-hung auf ein Geschoß zu beziehen, das keinezu erhöhenden Lasten trägt. Da die Beispiel-sammlung des dbv jedoch so verfährt, wirddiese Rechnung hier belassen. DIN 1055-100, Tabelle A.2 DIN 1055-3, Tab. 1, Kategorie T: Treppen undTreppenpodeste, Fußnote d: Hinsichtlich der Einwirkungskombinationennach DIN 1055-100 sind die Einwirkungen derNutzungskategorie des jeweiligen Gebäudesoder Gebäudeteils zuzuordnen.

im Beispiel: Kategorie B Büroflächen

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red

Wand 2 B7-C7

redEkEk QQ ,

Kern 1 C2-D3

redEkEk QQ ,

48,3 0 139,4 0

0 0

96,5 29,0 187,7 56,3

129,4 38,8

7 5 x 29,0 5 x 95,1

9 145 476

4 i = 1 145 i = 1 476

Wand 2 B7-C7 W k

Kern 1 C2-D3 W k

2 513,5 1.503,2

4 4 x 595,0 4 x 1.754,5

4 678,5 2.027,8

1 3.572 10.549

i = 1 3.572 i = 1 10.549


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3.2.2.2 Überprüfung von Vereinfachungsmöglichkeiten

Allgemeine Hinweise siehe S. 14 - 15 E DIN 4149, 6.6 Hochbauten sind entsprechend ihrer Bedeu-tung für den Schutz der Allgemeinheit bzw.der mit einem Einsturz verbundenen Folgen(Verlust von Menschenleben, Kulturgütern undSachwerten) einer Bedeutungskategorie zu-zuordnen. E DIN 4149, 6.3.2.2 E DIN 4149, Gl. (15) E DIN 4149, 6.3.2.2: (2) Zur Bestimmung derGrundschwingzeiten T beider ebenen Model-le des Bauwerks dürfen vereinfachte Bezie-hungen der Baudynamik (z.B. Rayleigh-Verfahren s. S. 93) angewendet werden. DieGleichung entspricht der aus DIN 4149 A 81

1

E DIN 4149, 6.1: (3) In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten mußdie Steifigkeit der tragenden Bauteile im All-gemeinen unter Annahme von gerissenenQuerschnitten angesetzt werden. 1) 1) ... Wenn keine genaueren Angaben vorlie-gen, sollte eine Steifigkeit von 50 % derjeni-gen des ungerissenen Querschnitts ange-nommen werden. Die Werte sind der Natur des Energieverfah-rens folgend etwas zu niedrig. Außerdem bil-det die Berechnung die Wirkung der Dreh-schwingung nicht zutreffend ab, die die Fre-quenz noch einmal senken würde.

Für Hochbauten der Bedeutungskategorie II bis IV können die vorge-schriebenen Nachweise als erbracht angesehen werden, wenn die für die Erdbebenbemessungskombination mit q = 1 ermittelte Gesamterdbeben-kraft kleiner als die Horizontalkraft der anderen Einwirkungskombinatio-nen ist und weitere Konstruktionsmerkmale eingehalten sind. Die seismische Gesamterdbebenkraft für jede Hauptrichtung wird wie folgt bestimmt:

bF

( ) WTSF db ⋅= 1

Dabei ist: die Ordinate des Bemessungsspektrums ( )1TSd bei Schwingzeit T 1

die Grundschwingzeit des Bauwerks für die Translations- 1T bewegung in der betrachteten Richtung

das Gesamtgewicht des Bauwerkes W Die Bestimmung der Grundschwingzeiten T erfolgt nach dem Energie-verfahren

1

8

6.021

121 ⋅⋅

⋅⋅⋅=

IEhmhT π

Wandhöhe mh 5,22=

mittlere Geschoßhöhe mh 75,31 =

0,10/6/516251 =m mittlere Geschoßmasse t4,860=

m73,11 =α Schwingzeitbeiwert (n = 6) 900.3150,0, ⋅=redcmE

= reduzierter E-Modul C30/37 2/950.15 mMN

∑ = 4,, 41,57 mI jxc

∑ = 4,, 96,40 mI iyc

Grundschwingzeit für Schwingungen in x-Richtung:

sm

mMNm

ktmT x 516,0896,401595075,3

8604,06,05.2224

2

22,1 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= π

Grundschwingzeit für Schwingungen in y-Richtung:

sm

mMNm

ktmT y 436,0841,571595075,3

8604,06,05,2224

2

22,1 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= π


Mit den vorstehend ermittelten Grundschwingzeiten kann die Gesamt-erdbebenkraft mit einem Verhaltensbeiwert q = 1 berechnet werden: ( ) ( )( ) ( ) ( )yxCgyxdyxb TTqSWTSWF /10/1/ // ⋅⋅⋅⋅=⋅= βα

( )kN

F xb

65,2996516,0/20,050,20,106,051625,

=

⋅⋅⋅⋅=

( )kN

F yb

3632

436,0/20,050,20,106,051625,

=

⋅⋅⋅⋅=

Aus Tabelle 4.2 und 4.3 ergeben sich für die Bemessungswerte der hori-zontalen Einwirkungen aus Wind und Schiefstellung: kNFkNH xbxd 65,29964,937 , =<= kNFkNH ybyd 0,36325,1772 , =<= Es zeigt sich, daß die vorgeschriebenen Nachweise für die Aufnahme der Horizontallasten infolge Erdbeben noch nicht als erbracht anzusehen sind. Weiter Voraussetzungen für Vereinfachungen, wie sie in E DIN 4149, 7.1 genannt sind, treffen für das Tragwerk nicht zu. 3.2.2.3 Hinweise zur Festlegung des Berechnungsverfahrens Das vereinfachte Verfahren (nach Kap. 3.9) kann bei Bauwerken ange-wandt werden, die sich durch zwei ebene Modelle darstellen lassen und deren Verhalten durch Beiträge höherer Schwingungsformen nicht we-sentlich beeinflußt wird. Diese Anforderungen werden als erfüllt erachtet von Bauwerken, wenn die auf Seite 44 beschriebenen Kriterien erfüllt sind. Die im Kap. 3.10 angegebenen Bedingungen sind gleichzeitig zu beach-ten. Darüber hinaus müssen unabhängig von den o.g. Kriterien alle Bau-werke, die nach dem vereinfachten Antwortspektrenverfahren berechnet werden sollen, eine Grundschwingzeit T in beiden Hauptrichtungen auf-weisen, die die folgenden Grenzwerte nicht überschreitet:

1

⋅

≤sT

T C

0,24

max 1

wobei entsprechend der Zuordnung zu der Erdbebenzone und den geologischen Untergrundverhältnissen E DIN 4149, Tabelle 3 zu ent-nehmen ist.

CT

Bei der Feststellung der Regelmäßigkeit im Grundriß zeigt sich: Das letzte Kriterium einer guten Torsionsaussteifung ist hier mindestens zwei-felhaft. Die Kriterien für die Regelmäßigkeit im Aufriß sind erfüllt. Auch die Kriterien für die Anwendbarkeit des Näherungsverfahrens zur Berücksichtigung von Torsionswirkungen sind erfüllt.

E DIN 4149, Gl. (15) mit Gl. (8), da T sTTs DC 0,22,0 1 =<<= Werte für 0,, βα S und T nach 6.1C

E DIN 4149, 6.3.1 E DIN 4149, 6.3.2.1 (1) E DIN 4149, 6.3.2.1 (2) E DIN 4149, 4.3.2, 4.3.3 und Seite 44 E DIN 4149, 6.3.2.1 (2) Vergleiche Tabelle auf Seite 26

Seite 12


Seite 13

Somit ist vor einer Festlegung noch zu untersuchen, ob die Anwendung des Näherungsverfahrens wirtschaftlich sinnvoll ist. Zu diesem Zweck ist die tatsächliche Exzentrizität zwischen dem Stei-figkeitsmittelpunkt und dem normalen Massenschwerpunkt des Bauwerks zu bestimmen.

0e siehe Seite 47 Eine „genaue“ Berechnung des Massen-schwerpunktes aus den Auflagerkräften derKonstruktion ist ohne Zweifel möglich, verbes-sert jedoch die Genauigkeit des Ergebnissesnicht. Die Verwendung von in DIN 4149 geht oh-nehin von gleichmäßiger Massenverteilungaus.

sl

xr yr

Hier wurden die Maße in den Hauptachsendes Systems angegeben. Eine Unterscheidung in und ist mecha-

nisch unsinnig.

Der Massenschwerpunkt kann ohne nennenswerten Fehler im Flächen-schwerpunkt des Bauwerkes angenommen werden. Für die Lage des Massenschwerpunkts, bezogen auf den Schubmittel-punkt, ergibt sich somit: in x-Richtung: mxMm 77,5= in y-Richtung: myMn 61,9= Da die Lage des Massenschwerpunkts bereits auf die Lage des Schub-mittelpunkts bezogen ist, entspricht diese Lage der tatsächlichen Exzen-trizität e . Somit ist: 0

54,29661,977,59,170

54,29622

20

20

2

=++

=++ yxs eel1972 => r

Es wird also eine Untersuchung mehrerer Schwingungsformen ausge-führt. Eine Berechnung mit zwei ebenen Modellen ist hier gemäß den in der Norm angegebenen Kriterien nicht möglich. Aus diesem Grund wird ein räumliches Modell verwendet.


Seite 14

3.2.2.4 Ermittlung der Schwingungsformen

E DIN 4149, 6.3.3.1 (4) E DIN 4149, 6.3.3.1 (5) E DIN 4149, 6.1 (3)

Wird ein räumliches Modell verwendet, sollte die Bemessungs-Erdbebeneinwirkung in den Hauptachsen der Aussteifung angenommen werden. Die Schnittgrößen und Verschiebungen aus allen Schwingungsformen, die wesentlich zum globalen Schwingungsverhalten beitragen, sind zu berücksichtigen. Dies gilt als erfüllt, wenn:

- die Summe der Ersatzmassen (der „effektiven modalen Massen“) für die berücksichtigten Schwingungsformen mindestens 90 % der Ge-samtmasse des Tragwerkes beträgt, oder

- alle Schwingungsformen mit Ersatzmassen („effektiven modalen

Massen“) von mehr als 5 % der Gesamtmasse berücksichtigt werden. Die vorstehend genannten Bedingungen sind für beide Hauptrichtungen nachzuweisen. In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten muß die Steifigkeit der tragenden Bauteile im Allgemeinen unter Annahme von gerissenen Querschnitten angesetzt werden. Liegen keine genaueren Angaben vor, sollte eine Stei-figkeit von 50 % derjenigen des ungerissenen Querschnitts angenommen werden. Aus diesem Grund werden die zuvor ermittelten elastischen Querschnittswerte und ein reduzierter E-Modul mit 50 % seines Wertes nach DIN 1045-1 verwendet. Zur Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenformen ist ein Programm für dynamische Berechnungen sinnvoll. Die Modellbildung muß die Mas-senverteilung im Bereich der Decken entweder vollständig widerspiegeln oder die Massenträgheitsmomente der Geschosse mit abbilden. Eine Abbildung des gesamten Tragsystems (zur Abtragung der Vertikal-lasten) ist nicht erforderlich. Bei der Abbildung der mechanischen Eigenschaften ist, wenn mehr als die drei ersten Eigenformen von Interesse sind, auf eine Abbildung der Schubverformungen (sowohl Querschub als auch Schub aus sekundä-rem Wölbmoment) nicht zu verzichten. Hier wird die Berechnung bei-spielartig mit der Deformationsmethode gezeigt. Dabei wird auf die An-wendung eines vorgefertigten Programms verzichtet. Geschoßmassen von unten nach oben

M Θ __________________________________________________________ 1. 946,41 t 161741,47 t m² 2. 871,85 t 148999,16 t m² 3. 871,85 t 148999,16 t m² 4. 871,85 t 148999,16 t m² 5. 871,85 t 148999,16 t m² 6. 728,27 t 124461,34 t m² Mit diesen Angaben ermittelt sich die Massenmatrix, die das Schwin-gungsverhalten des Gebäudes beschreibt:


Seite 15

M1

945.95

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

945.95

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

161624.43

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

148963.75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

148963.75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

M2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

148963.75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

871.85

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

148963.75

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

728.27

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

728.27

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

124431.76

=

Die Berechnung der Schwingungen muß die Ausmitten der Geschoß-massen vom Schubmittelpunkt der Aussteifung aus berücksichtigt wer-den. Dabei ist die ungewollte Ausmitte einzuarbeiten: Ausmitte um die ungewollte Ausmitte vergrößert:

y ηMt e21+ ex cos α0( )⋅+ ey sin α0( )⋅+( ):=

x ξMt e22+ ex sin α0( )⋅+ ey sin α0( )⋅+( )−:=

x

6.781−

6.781−

6.781−

6.781−

6.781−

6.781−

m= y

11.638

11.638

11.638

11.638

11.638

11.638

m=

Zur Berechnung der Schwingung ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Bauwerkes erforderlich. Sie bestimmt sich einfach, indem die Verfor-mungsmatrix aufgestellt wird, die sich mit jedem Programm leicht ermit-teln läßt. Hier ist die Verformung mit gemischter Torsion eingearbeitet

Siehe Seite 41


Seite 16

s

worden. Hier wurden für die Verdrehungen die Gleichungen von Born-scheuer (Stahlbau 1952) verwendet. Die Biegeverformungen ergeben sich aus den elementaren Biegelinien eines Kragarmes. Die Verfor-mungsmatrix ist:

Verformungsmatrix

δ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0

12

3

4

5

6

7

8

910

11

1213

14

15

1617

90 -26 4 171 -50 7 200 -71 10 132 -90 13 -79 -107 16 -478 -124 18

-26 79 -2 -50 149 -4 -71 151 -6 -90 22 -8 -107 -306 -9 -124 -896 -114 -2 0 7 -4 1 10 -6 1 13 -8 1 16 -9 1 18 -11 2

171 -50 7 420 -115 17 656 -176 26 834 -231 34 912 -283 42 846 -332 49

-50 149 -4 -115 380 -10 -176 599 -15 -231 748 -20 -283 763 -24 -332 581 -29

7 -4 1 17 -10 1 26 -15 2 34 -20 3 42 -24 4 49 -29 4

200 -71 10 656 -176 26 1136 -296 44 1596 -408 60 1996 -512 76 2295 -612 90

-71 151 -6 -176 599 -15 -296 1054 -25 -408 1494 -35 -512 1864 -44 -612 2100 -53

10 -6 1 26 -15 2 44 -25 4 60 -35 5 76 -44 6 90 -53 8

132 -90 13 834 -231 34 1596 -408 60 2376 -595 88 3134 -773 114 3833 -945 139-90 22 -8 -231 748 -20 -408 1494 -35 -595 2247 -51 -773 2983 -66 -945 3650 -81

13 -8 1 34 -20 3 60 -35 5 88 -51 8 114 -66 10 139 -81 12

-79 -107 16 912 -283 42 1996 -512 76 3134 -773 114 4289 -1045 154 5428 -1311 193-107 -306 -9 -283 763 -24 -512 1864 -44 -773 2983 -66 -1045 4108 -90 -1311 5219 -113

16 -9 1 42 -24 4 76 -44 6 114 -66 10 154 -90 13 193 -113 17

-478 -124 18 846 -332 49 2295 -612 90 3833 -945 139 5428 -1311 193 7052 -1693 250

-124 -896 -11 -332 581 -29 -612 2100 -53 -945 3650 -81 -1311 5219 -113 -1693 6798 -14518 -11 2 49 -29 4 90 -53 8 139 -81 12 193 -113 17 250 -145 21

10 9−=

Als reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix wird die Inversmatrix dieser Ver-formungsmatrix verwendet. Aus der Lö ung der verallgemeinerten Eigenwertgleichung

( ) 0det 2 =⋅− MK ω ergibt sich:

Eigenwerte numerisch:

ω

7.482

10.698

19.317

30.097

34.605

75.573

154.931

285.236

451.693

611.349

= f

1.19

1.70

3.07

4.79

5.51

12.03

24.66

45.40

71.89

97.30

Hz= T

0.840

0.587

0.325

0.209

0.182

0.083

0.041

0.022

0.014

0.010

s=

Für diese Eigenwerte werden die Eigenformen ausgewertet und gra-phisch aufgetragen. Die betrachteten Richtungen sind die Hauptachsen der Gesamtaussteifung. Die Verformung wird für die Verbindung der Massenschwerpunkte angegeben (verschoben um die ungewollte Aus-mitte).

600 400 200 0

1

2

3

4

5

6Verformung in x Richtung

Verschiebung in mm

Ges

chos

se

200 0 200 400 600

1

2

3

4

5

6Verformung in y Richtung

Verschiebung in mm

Ges

chos

se

40 20 0

1

2

3

4

5

6Verdrehung 1000 fach

Versdrehung in 1000rad

Ges

chos

se

Die erste Eigenform T = 0,840 sec ist of-fenbar die Grundschwingung in x – Richtung. Die Verschiebungen in der anderen Hauptachse sind kleiner. Sie entstehen hauptsächlich durch die Ver-drehung.


Seite 17

400 200 0 200

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

1000 500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

10 5 0

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

500 0 500 1000

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

400 200 0 200

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

100 50 0

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

400 200 0 200 400

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

500 250 0 250 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

20 0 20

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

Die zweite Eigenform T = 0,587 sec ist die Grundschwingung in y - Rich-tung. Die dritte Eigenform T = 0,325 sec ist offensichtlich die Dreh-Grund-schwingung. Die Verdrehung ist si-gnifikant größer als bei den ersten beiden Eigenformen. Es folgen dann die Oberschwingun-gen, die wieder in der gleichen Rei-henfolge auftreten. Hier die vierte Eigenform mit T = 0,209 sec. Fünfte Eigenform mit T = 0,182 sec.

500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

400 200 0 200 400

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

10 0 10 20

1

2

3

4

5



Ges

chos

se


Seite 18

1000 500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

200 0 200 400

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

200 100 0 100 200

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

1000 500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

400 200 0 200 400

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

100 0 100

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

1000 500 0 500 1000

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

100 0 100

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

Die sechste Eigenform T = 0,083 ist wieder eine Drehschwingung, bei der die Biegeverformungen eigenartig aus-sehen. Die Eigenformen von der siebenten Eigenform an sind recht hochfre-quente Schwingungen, die in den Modellbildungen nicht mehr recht abgebildet werden können. Eine Be-rechnung der reinen Biege- Wölb- und Torsionsverformung bildet diese Schwingungen nicht mehr hinrei-chend ab. Hier sind die Schubver-formungen der aussteifenden Bau-teile ebenso zu verfolgen wie die Verformungen in den als starr an-genommenen Decken. Dies ist je-doch ohne praktische Bedeutung, da sich diese Eigenformen am Erd-beben nicht beteiligen. Die Eigenformen beteiligen sich am Erdbeben nach dem sogenannten Beteiligungsvektor, der von der Erregungsrichtung abhängt:

Erdbeben in y RichtungIT 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0( )=

b ψT

M⋅ I⋅:= Beteiligungsvektor:F

b2

b2∑:=

28.482

12.356

15.646

6.68

17.596

mErdbeben in x Richtung

Siehe Seite 37

F18.63

0.585

0.022

0.003

0

%=

IT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0( )=

F

22.327

36.549

1.137

25.896

10.171

3.749

0.163

0.007

0.001

0

%=


Seite 19

Das Antwortspektrum nach DIN E 4149

TB 0.05s:= qu 1.5:= αg 0.6m

s2:=

TC 0.2s:= β0 2.5:=

TD 2s:= S 1:= Sd T1 q,( ) αg S⋅ 1T1

TB

β0

q1−

⋅+

⋅

T1 TB<if

αg S⋅β0

q⋅

TB T1≤ TC<if

αg S⋅β0

q⋅

TC

T1

⋅

TC T1≤ TD<if

αg S⋅β0

q⋅

TC

T1

⋅

TD

T1

⋅

otherwise

:=

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Schwingdauer [sec]

Bes

chle

unig

ungs

ampl

itude

[m/s

ec²]

Das Norm – Antwortspektrum nach DIN E 4149 ergibt sich hier für die Verhal-tensbeiwerte q = 1 (obere Kurve) – Duktili-tätsklasse 1, q = 1,5 (mittlere Kurve) – Dukti-litätsklasse 2 q = 2,5 (untere Kurve) – Dukti-litätsklasse 3 Mit diesen Gleichungen lassen sich nun für jede Eigenform und Erre-gungsrichtung die Erregerkräfte ermitteln. Das Ergebnis für die Duktili-tätsklasse 2 ist unten aufgetragen. (mit B ist hier der jeweils zugehörige Spektralwert bezeichnet). Die Spalten stehen jeweils für eine Erregung, wobei sechs Spalten aus dem Erdbeben in y – Richtung und vier Spalten aus dem in x – Richtung stammen. Erregungen, die weniger als 5% der Masse bewegen, sind weggelassen.

Gleichungen siehe Seite 36 sowie S. 90 f für die Matritzendarstellungen

H M γ⋅ diag B( )⋅

Horizontalkräfte und Momente aus dem Erdbeben in beiden Richtungen in kN bzw. kNm:

HG

2.3

1.5

116.4

25.9

18.5−

280.1

53.1

40.2−

502.5

81.9

63−

751.9

111.2

85.9−

1011.8

116.9

90.4−

1063.4

7.2−

22.6−

36

17.3

20.8

86.1

42.4

62

153.7

67.9

103

229.1

93.3

143.5

307.4

98.4

152.5

322.5

55.2−

31.1

271.5−

11.3−

12.1

628.5−

23.5

1.9−

1089.6−

57.7

16.1−

1585.7−

93.8

32.4−

2088.1−

110.5

43.3−

2160.7−

112.4

230.7−

418

140.6

238.5−

671.2

148.8

236.5−

608.3

111.6

178.2−

90.5

19.6

30.5−

805.3−

111−

203.6

1579.8−

387.8

291.9

600.8

409.2

257.4

1002.4

408.2

240.6

1002.2

304.9

187.4

399.7

48

40.3

706−

348.4−

230.5−

1724.3−

88.3

38.6−

1206.3−

33.1

9.3−

2223.3−

16.8

1.3−

2544.4−

33.5

13.1−

1654.6−

34.6

18.7−

215.4

48−

20.2

2101.2

1.8−

1.1−

88.2−

19.6−

14

212.2−

40.2−

30.5

380.7−

62.1−

47.7

569.7−

84.3−

65.1

766.6−

88.6−

68.5

805.7−

10.7−

33.3−

53

25.5

30.6

126.7

62.4

91.3

226.2

99.9

151.6

337.1

137.3

211.3

452.4

144.8

224.5

474.6

189.4−

388.7

704.3−

236.9−

401.8

1130.9−

250.7−

398.5

1024.9−

188−

300.3

152.4−

32.9−

51.4

1356.8

187

343−

2661.8

252.3

189.9

390.9

266.2

167.5

652.2

265.6

156.6

652

198.4

121.9

260.1

31.2

26.2

459.4−

226.7−

150−

1121.9−

=


E

Wenn alle maßgebenden modalen Schnittgrößen oder Verschiebungen als voneinander unabhängig betrachtet werden können, kann der Höchstwert einer Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbeben-einwirkung wie folgt angenommen werden:

E

∑= 2iEE EE

Dabei ist: die betrachtete Schnittgröße oder Verschiebung infolge

Erdbebeneinwirkung (Kraft, Verschiebung, etc.) EE

der Wert dieser Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbebeneinwirkung, entsprechend der Schwingungs-form i

iEE

0 5 10

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

10

20

30

40

50

Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10

WölbbW

in M

N/m

² Da das System durch gemischte Torsion trägt, muß die Wölbwirkung für jede einzelne Erre-gung berechnet und über die Höhe zusammen-gestellt werden. Zu dieser Berechnung werden die Gleichungen von Bornscheuer verwendet. Für den Wölbwiderstand ist hier der des gesam-ten Querschnittes zu setzen. So gilt:

κ h gI t

C gt 2.4⋅⋅:=

279,14,2276,6728

151,525,22 6

4

=⋅

⋅mmm

Mtk11 a ξ, κ, Mzi,( ) Mzi 1cosh κ( ) cosh κ a ξ−(⋅⋅

−

⋅

Mzicosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1(⋅⋅

cosh κ( )

⋅

:=

Mtk12 a ξ, κ, Mzi,( ) Mzicosh κ( ) cosh κ a ξ−( )⋅ ⋅ −

c

⋅

Mzicosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ ⋅⋅

cosh κ( )−

⋅

:=

Wk11 a ξ, κ, Mzi, l,( )Mzi l⋅

κ

cosh κ( ) sinh κ a −(⋅⋅−

⋅

Mzi l⋅

κ

cosh κ a⋅( ) 1−( ) sinh κ⋅

cosh κ( )

⋅

:=

Diese Gleichungen sind für alle La-sten an allen Lastpunkten ausgewer-tet worden. Die Schnittkraft an jedem Punkt ergibt sich so als die Summe der entsprechenden Schnittkräfte an dem Punkt aus allen Lasten.

E DIN 4149, 6.3.3.2 (2) siehe Seite 36 E DIN 4149, Gl. (30)

15 20

imomente

Höhe

Seite 20

) cosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅−

cosh κ( )

a ξ≥if

ξ− )

otherwise

cosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅

osh κ( )

a ξ≥if

1 ξ−( )

otherwise

ξ) cosh κ a⋅( ) 1−( ) sinh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅−

cosh κ( )

a ξ≥if

1 ξ−( )⋅

otherwise

Dipl.-Ing. Matthias Küttler Prüfingenieur für Baustatik

Seite 21

KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090

0 5 10 15 20

2.5

2

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5


Torsionsmomente Reine Torsion

Höhe

prim

äres

Tor

sion

smom

ent i

n M

N/m

0 5 10 15 20

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7

Torsionsmomente Wölbkraftorsion

Höhe

seku

ndär

es T

orsi

onsm

omen

t in

MN

/m

Die Torsionsmomente der Reinen (St.-Venantschen) Torsion treten im oberen Bereich der Gebäude auf. Sie sind für die Bemessung der Sturzbereiche im Kern wichtig. Das sekundäre Torsionsmoment (Wölbtorsionsmoment) wird zur Torsionseinspannung hin größer. Das gesamte Torsionsmoment be-steht aus der Summe des primären und des sekundären Torsionsmo-mentes. Es ist als Gleichgewichts-kraft leicht zu kontrollieren. Erregung 8

Erregung 9 Erregung 10


Seite 22

Für die Schnittgrößen in den aussteifenden Bauteilen ergeben sich fol-gende in den Matritzen dargestellten Werte, wobei zu beachten ist, daß es sich hierbei um einhüllende Größen handelt.

T

3.3

586.6

846.9

1001.7

1074.9

1093.2

1092.6

1

178.4

257.5

304.5

326.7

332.2

332

6.8−

1219.3−

1756.9−

2074.3−

2222.4−

2258−

2256.1−

1.5−

322.1−

525.4−

694.7−

813.6−

871.3−

885.2−

0.9−

215−

391.2−

560.9−

693.1−

763.8−

782.6−

2.1−

258.6−

219.2−

70.4−

101

216.4

253.3

2.5−

444.5−

641.7−

759−

814.5−

828.3−

827.9−

1.5

262.6

379

448.1

480.8

488.9

488.6

2.6

542.8

885.2

1170.5

1370.8

1468.1

1491.4

0.6−

139.9−

254.5−

364.9−

451−

496.9−

509.2−

kNm=

Die Torsionsmomente ergeben sich an den Geschoßpunkten:

D102614.748−

650.038−

5278.274

1.139

70.408

0

5847.908

650.038

706.44−

1.139

kNm=

D97953.176−

100.711−

5299.068−

0.771−

328.923−

0

2345.99−

100.711

9264.419−

0.771−

kNm=

D811417.962−

1186.305−

8325.891

2.156

185.943−

0

11654.816

1186.305

7990.97−

2.156

kNm=

D72714.865−

1282.69−

5214.053−

1.378−

314.673

0

4011.383−

1282.69

4297.166−

1.378−

kNm=

D61052.9

661.406−

1020.986

0.018−

266.267

0

611.778

661.406

1332.943

0.018−

kNm=

D54018.834−

999.101−

8112.64

1.751

108.216

0

8988.16

999.101

1085.789−

1.751

kNm=

D44720.217

59.772

3145.001

0.458

195.216

0

1392.347

59.772−

5498.441

0.458

kNm=

D33728.542

2123.757−

5072.669

0.324

864.99

0

3540.295

2123.757

5205.795

0.324

kNm=

D27757.615−

806.002−

5656.793

1.465

126.333−

0

7918.538

806.002

5429.24−

1.465

kNm=

D13583.055

1692.883

6881.461

1.819

415.303−

0

5294.189

1692.883−

5671.362

1.819

kNm=Stab 1Stab 2

MηMξW1MnyMnx

Die Schnittkräfte an der Einspannstelle werden aus diesen Beanspruchungen (Wölbbimomente in kNm²):

Zur Überlagerung der Kräfte: Siehe Seite 36 dort finden sich auch Hin-

weise zu den Grenzen der Summenregel - Die Schnittgrößen und Verschiebungen des Tragwerks sind für jede Horizontalkomponente getrennt zu ermitteln, wobei für die modalen Werte die vorstehend erläuterten Kombinationsregeln anzuwenden sind.

- Der Maximalwert je-

der Schnittgröße am Tragwerk infolge der zwei Horizontalkom-ponenten der Erdbe-beneinwirkung kann dann als Quadratwur-zel der Summe der Quadrate der für die beiden Horizontal-komponenten berech-neten Werte ermittelt werden.

Ge

Mit der Quadratsummenregel zusammengefaßt wird daraus:

An der Fundamentoberseite

Ge D( )18283.63

3598.66

18283.36

4.16

1141.97

0

19442.04

3598.66

17046.39

4.16

kNm=

Die Torsionsmomente in allen Geschossen werden:In der EG Decke

D1( )11341.15

2368.57

10834.82

2.52

748.17

0

11922.67

2368.57

10191.41

2.52

kNm=

In der Decke 1. OG

Ge D2( )8027.74

1805.93

7625.75

1.85

549.05

0

8561.43

1805.93

7021.3

1.85

kNm= Zu T( )

9

1631

2398.1

2912.2

3214.1

3334.8

3355.9

kNm=

In der Decke 2. OG

Ge D3( )5721.06

1359.81

5733.91

1.45

388.5

0

6360.64

1359.81

5015.03

1.45

kNm=

In der Decke 3. OG

Ge D4( )5721.06

1359.81

5733.91

1.45

388.5

0

6360.64

1359.81

5015.03

1.45

kNm=


3.2.3 Nachweis der Standsicherheit im Grenzzustand der

Tragfähigkeit Entsprechend ihrer Bedeutung für den Schutz der Allgemeinheit bzw. für die mit einem Einsturz verbundenen Folgen werden Hochbauten in vier Bedeutungskategorien unterteilt. Das vorliegende Verwaltungsgebäude ist der Bedeutungskategorie II zuzuordnen. Für die Bedeutungskategorie II ist der zugehörige Bedeutungsbeiwert 1γ : 20,11 =γ Im Folgenden wird die Einwirkungskombination angegeben, die für alle tragenden Bauteile – einschließlich Verbindungen – und die maßgeben-den nichttragenden Bauteile gilt. Maßgebende nichttragende Bauteile nach Norm sind z.B. Brüstungen, Giebel, Antennen, technische Anlagenteile, Trennwände, Geländer, Schornsteine auf Dächern. Für derartige Bauteile, die im Falle des Versagens Gefahren für Personen hervorrufen oder das Tragwerk des Bauwerks beeinträchtigen können, muß einschließlich deren Verbindun-gen, Verankerungen oder Befestigungen nachgewiesen werden, daß die-se die Bemessungs-Erdbebeneinwirkung aufnehmen können.

In dem Stab 1 ergeben sich aus diesen Schnittkräften die folgenden Spannungen:

σL

83−

98−

35−

90

18

42−

87−

84−

92

65

114−

103−

76−

84−

30−

61

28

4−

39−

48−

48−

42

46

8

118−

122−

55

97

78−

95−

16−

18−

9−

12

9

3

63

74

27

69−

14−

32

128−

124−

136

95

168−

152−

65

81

81

70−

77−

14−

77−

80−

36

63

51−

62−

N

cm=

Zur einfacheren Auswertung werden die Schnittkräfte in den einzelnen Querschnittsteilen bereStab 1Normalkräfte

Ne

167.7−

1125.11−

465.62

916.91

88.87−

157.99−

68.11

1324.05

417.56−

816.36−

147.33−

957.59−

265.56

750.42

87.2

80.49−

810.45−

51.59−

739.74

202.39

222.54−

571.56−

1280.37

162.77

649.26−

31.2−

223.05−

28.33

180.47

44.91

127.07

852.49

352.8−

694.74−

67.34

232.53−

100.25

1948.78

614.58−

1201.55−

135.63

1365.54

86.92

1246.41−

341.01−

144.79−

371.87−

833.04

105.9

422.42−

=

Biegemomente

Me

3.38

1191.83−

2387.31−

1371.91

225.39

0.61−

3344.84−

519

3399.62

40.75−

1.79

1018.11−

1733.98−

643.05

119.3

2.13

5.8−

1701.64−

78.85−

141.96

1

3364.16−

802.66−

3317.24

66.35

0.37

169.36−

396.24−

53.91

24.65

2.56−

903.04

1808.86

1039.49−

170.78−

0.9−

4923.07−

763.88

5003.7

59.98−

3.59−

9.77

2867.13

132.85

239.19−

0

2−

5−

215

43

=

Schubkräfte

SQ

0.19

70.3−

132.29−

83.85

12.8

0.03−

182.65−

26.97

186.78

2.01−

0.07

40.5−

81.5−

12.02

4.65

0.31

6.82

233.95−

8.54−

20.39

0.14

514.32−

103.76−

517.02

9.35

0.06

24.79−

63.61−

4.32

3.79

0.15−

53.27

100.24

63.54−

9.7−

0.04−

268.83−

39.7

274.9

2.95−

0.52−

11.49−

394.18

14.39

34.35−

0.09

334.63−

67.51−

336.38

6.08

kN=
E DIN 4149, 6.6 und Tabelle 6 siehe Seite 28 E DIN 4149, 7.2.2 E DIN 4149, 6.5 DIN 1055-100, A.4 DIN 1055-100, A.4, Gl. (A.7) E DIN 4149, 7.2.2. (1)
Seite 23

Zusammengefaßt wird:

2σzus

257.614

273.98

207.052

224.017

243.74

223.29

N

cm2=

itgestellt

kN Ng

491.266

2441.421

2882.177

2147.001

1699.837

kN=

.65

188.8

22.23

8.28

.17

kNm Mg

6.433

7405.022

5002.079

7460.534

428.599

kNm=

Qg

0.676

701.676

515.729

708.825

45.02

kN=


Die Einwirkungskombination für den Grenzzustand der Tragfähigkeit im Kombinationsfall „Erdbeben“ ergibt sich aus der Kombination des Be-messungswertes aus einer quasi-ständigen Einwirkungskombina-tion und dem Bemessungswert einer Einwirkung aus Erdbeben.

permdE ,

AEdE

DIN 1045-1, 7.2: Imperfektionen (1) Für die Nachweise im Grenzzustand derTragfähigkeit sind mit Ausnahme der au-ßergewöhnlichen Bemessungssituationenungünstige Auswirkungen möglicher Imper-fektionen des unbelasteten Tragwerks zuberücksichtigen. DIN 1055-100, 3.1.2.5.4: seismische Einwirkung außergewöhnliche Einwirkung infolge Erd-beben

siehe Beispielsammlung zu DIN 1045-1,Teil 2

iQk

iiPkGkEdpermdAEddE EEEAEEE ,

1,21, ⋅+++⋅=+= ∑

≥ψγ

Horizontallasten aus Imperfektion brauchen nicht berücksichtigt zu wer-den. Ermittlung der Schnittkräfte Schnittkräfte OK Bodenplatte: Normalkräfte - aus Beispiel siehe Buch: Kern 1: ∑ =+=⋅+= kNQGN iEkiEkAEd 1078747610311,,2ψ Wand 2: ∑ =+=⋅+= kNQGN iEkiEkAEd 36451453500,,2ψ Die Schnittkräfte in den aussteifenden

Bauteilen enthalten immer auch einen AnteilBiegemomente (und Wölbbimomente), diezur Berechnung des Spannungszustandesnicht vernachlässigt werden können.

Zugehörige Momente im Kern:

kNmmmmkNM Edx 6,23747275.6889.3

475.6107871 −=

−+−⋅=

kNmmmkNM Edy 47,4584275.680.3107871 =

−⋅=

Die angegebenen Bemessungsschnittgrößen aus Erdbeben sind beim Nachweis der Tragfähigkeit mit wechselnden Vorzeichen zu berücksichti-gen. Nachweisführung bei Wänden in der Duktilitätsklasse 2 Generell gelten die in DIN 1045-1 angegebenen Festlegungen für die Bemessung und bauliche Durchbildung. Da es sich bei einer Erdbebenbeanspruchung um eine Kurzzeitbelastung handelt, kann für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit der Wert mit cdf 0,1=α ermittelt werden. Zusätzlich sind die folgenden Bedingungen einzuhalten:

a) Im Rahmen der Erdbeben-Norm sind die in DIN 1045-1 für die Grundkombination angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte 5,1=cγ und 15,1=sγ anzuwenden.

E DIN 4149, 8.3 (4) DIN 1045-1: 9.1.6 (2) E DIN 4149, 8.1.3 (2)

Seite 24


Seite 25

b) Für Wände wird der Bemessungswert der Querkraft durch Multipli-kation der aus der Berechnung erhaltenen Querkraft mit dem Fak-tor 5,1=ε bestimmt. Dies gilt auch für die Querkraft in den Riegeln über den Türen.

E DIN 4149, 8.4.7.3 siehe Seite 53 ff

E DIN 4149, 8.3 (3) siehe Seite 53 E DIN 4149, 8.3 (5) E DIN 4149, 8.3. (7) Hinweis: Im Normentext wird der Bemes-sungswert der aufzunehmenden Längskraft mit bezeichnet. Aus Gründen der Ver-

einheitlichung wird hier verwendet. SdN

AEdN E DIN 4149, 8.3. (8)

DIN 1045-1: 9.1.6. (2) E DIN 4149, 8.1.3 (2) E DIN 4149, 8.4.1 E DIN 4149, 8.4.7.2.2 siehe Seite 63

c) Der in kritischen Bereichen verwendete Betonstahl hat die Anfor-

derungen an hochduktile Stähle (B) nach DIN 1045-1 zu erfüllen.

d) In symmetrisch bewehrten Druckgliedern (Stützen und Wänden), die für die Abtragung der horizontalen Erdbebenlasten über Biege-beanspruchung herangezogen werden, darf der Bemessungswert der bezogenen Längskraft ( )cdcAEdd fAN ⋅= /ν mit =AEdN Bemes-sungswert der aufzunehmenden Längskraft und =cA

25,0 Gesamtflä-

che des Betonquerschnitts, den Grenzwert =dν für Stützen und 20,0=dν für Wände nicht überschreiten.

e) In Rahmenriegelanschlüssen mit Rechteckquerschnitt wird der

größte zulässige Bewehrungsgrad der Zugbewehrung zu 03,0max =ρ angesetzt. Der Bewehrungsquerschnitt auf der Druck-

seite muß mindestens der Hälfte der Zugbewehrung entsprechen. Nachweisführung bei Wänden in der Duktilitätsklasse 3 Durch die Zuordnung des Tragwerks in die Duktilitätsklasse 3 konnten gegenüber der Duktilitätsklasse 2 ca. 30 % kleinere Bemessungsschnitt-größen ermittelt werden. Demgegenüber steht aber ein größerer Umfang an Nachweisen und Anforderungen an die bauliche Durchbildung der Bauteile. Generell werden die Biege- und Querkrafttragfähigkeit wie in DIN 1045-1 ermittelt. Zusätzliche Bewehrungsregeln, die über die Anforderungen nach DIN 1045-1 hinausgehen, sind in 3.4 zusammengestellt. Da es sich bei einer Erdbebenbeanspruchung um eine Kurzzeitbelastung handelt, kann für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit der Wert mit cdf 0,1=α ermittelt werden. Im Rahmen der Erdbeben-Norm sind die in DIN 1045-1 für die Grund-kombination angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte 5,1=cγ und 15,1=sγ anzuwenden. Hinsichtlich der zu verwendenden Baustoffe gelten folgende Anforderun-gen:

a) Die Verwendung einer Betonfestigkeitsklasse niedriger als C16/20 ist nicht gestattet.

b) Außer für geschlossene Bügel und für Querhaken sind nur Rip-

penstähle als Bewehrung in kritischen Bereichen zulässig.

c) Der in kritischen Bereichen verwendete Betonstahl hat die Anfor-derungen an hochduktile Stähle (B) nach DIN 1045-1 zu erfüllen.

d) Geschweißte Matten sind zulässig, wenn sie den unter b) und c)

angegebenen Bedingungen entsprechen.


Seite 26

cr

Im Hinblick auf die Bemessungsschnittgrößen sind für schlanke Wände mit einem Verhältnis Höhe zu Länge größer als 2,0 weitere An-forderungen zu erfüllen.

WW lH /

00,233,375,6/50,22/ >==WW lH Zur Berücksichtigung der Unsicherheit hinsichtlich der wirklichen Momen-tenverteilung über die Wandhöhe während des Bemessungserdbebens kann folgendes vereinfachtes Verfahren angewendet werden:

a) Das Diagramm des Bemessungswertes des Biegemoments über die Wandhöhe ist als Einhüllende des berechneten Biegemomen-tendiagramms zu bestimmen, die in Vertikalrichtung um einen Längenbetrag gleich der Höhe des kritischen Wandbereiches versetzt ist. Wenn das Tragwerk keine bedeutenden Unstetigkeiten in Massenbelegung, Steifigkeit oder Tragfähigkeit entlang seiner Höhe aufweist, darf die Einhüllende als Gerade angenommen wer-den.

crh

b) Die Höhe des kritischen Bereichs über der Unterkante der Wand kann wie folgt abgeschätzt werden:

h E DIN 4149, Gl. (54) s. S. 64 E DIN 4149, Gl. (55) E DIN 4149, 8.4.7.2.2 (4) E DIN 4149, 7.2.3

===

=mHml

hw

wcr 75,36/5,226/

75,6max

aber

≥⋅≤=

=⋅=⋅≤

GeschossenfürhGeschossenfürmh

mlh

s

s

w

cr

7260,5

50,1375,622

Für die Wände des vorliegenden Bauwerks kann somit die Höhe des kri-tischen Bereichs zu abgeschätzt werden. mhcr 0,5= Ein mögliches Anwachsen der Querkraft nach dem Plastifizieren an der Unterkante der Wand ist zu berücksichtigen. Dies kann dadurch erfüllt werden, daß man die Ordinaten der Einhüllenden des Bemessungswer-tes der Querkraft V entlang der Wand mit einem Vergrößerungsfaktor AEd

7,1=ε multipliziert. Die Nachweisführung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit entspre-chend DIN 1045-1 ist hier nicht Gegenstand. Für die tragenden Bauteile und das Gesamttragwerk ist die der Schnitt-größenermittlung zugrundegelegte Duktilität nachzuweisen. Es sind bestimmte Anforderungen zu erfüllen, deren Einhaltung zur Si-cherstellung der geplanten Anordnung der Fließgelenke und zur Vermei-dung von Sprödbruchverhalten erforderlich ist.


Seite 27

Vor einer ausführlichen Behandlung der Anforderungen an Wände zur Sicherstellung einer ausreichenden Duktilität sollten zunächst die beson-deren Maßnahmen bei Wänden betrachtet werden.

E DIN 4149, 8.4.7.6 (1) E DIN 4149, Gl. (69) siehe Seite 68 E DIN 4149, 8.4.7.6 (2) E DIN 4149, Gl. (70)

Als Mindestmaßnahme gegen seitliche Instabilität von Wänden mit freien Rändern sollte die Stegdicke der Wand (die Wanddicke zwischen den Randelementen) im kritischen Bereich nicht kleiner sein als:

wob

===⋅=⋅==

mmhmmlqbmm

b

s

wcrwo

25020/500020/22560/67500,260/150

min

worin für kein größerer Wert als 1wl mhs 0,86, =⋅ eingeführt zu werden braucht. Die Dicke b der umschnürten Wandabschnitte (der Randelemente) soll-te folgenden Regeln genügen:

w

a) wenn

=⋅=⋅=⋅=⋅

≥mlmb

lw

wc 35,175,62,02,0

50,025,022max

dann

E DIN 4149, Gl. (71)

==≥

mmhmm

bs

w 50010/500010/200

b) wenn

E DIN 4149, 8.4.7.6 (3)

cε

wb

fl

fb

wob

clwob

2‰

=⋅=⋅=⋅=⋅

<mlmb

lw

wc 35,175,62,02,0

50,025,022max

dann

==≥

mmhmm

bs

w 33315/500015/200

Die Länge l ist dabei die Länge des Wandabschnitts mit Umschnü-rungsbewehrung.

c

Wenn der am stärksten gedrückte Rand der Wand an einem ausreichen-den Querflansch

mit einer Flanschbreite mhb sf 33,015/ =≥ und einer Flanschlänge mhl sf 0,15/ =≥ anschließt, ist kein umschnürtes Randelement erforderlich.

vorhandene Wanddicken mmbh w 250== Anhand der vorstehenden Kriterien ist ersichtlich, daß für das vorliegende Tragwerk aufgrund der erforderlichen Wanddicken in den Bereichen, in denen Randelemente vorzusehen sind, die Nachweise zur Sicherstellung


Seite 28

der erforderlichen Duktilität in der Duktilitätsklasse 3 nur erfüllt werden können, wenn entweder die einzeln stehende Wand an den freien Enden durch Verstärkungen auf mindestens 35 cm Dicke gebracht wird oder die Dehnung dieser Wand geringer als 0,2 % wird. Obgleich eine Verstär-kung der Aussteifung wünschenswert wäre, wird hier der Nachweis mit den angesprochenen nachträglichen Verstärkungen geführt. Schnittkräfte für Duktilitätsklasse 3 Mit den gleichen Berechnungen wie oben werden die Schnittkräfte mit dem Verhaltensbeiwert von 2,5 bereitgestellt:

0 5 10 15 20

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

2

2.5


Torsionsmomente Wölbkraftorsion

Höhe

seku

ndär

es T

orsi

onsm

omen

t in

MN

/m

0 5 10 15 20

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8


Torsionsmomente Reine Torsion

Höhe

prim

äres

Tor

sion

smom

ent i

n M

N/m

0 5 10 15 20

60

50

40

30

20

10

10

20

30


Wölbbimomente

Höhe

W in

MN

/m²

Der Verlauf der Torsionsbeanspruchung über die Höhe in charakteristischen Größen. Es ist wichtig, diese Kräfte für jede Erdbebenerregung einzeln auszuwerten, da diese Schnittkräfte erst zum Schluß zusammengefaßt werden dürfen.


Seite 29

T

2

352

508.1

601

644.9

655.9

655.6

0.6

107

154.5

182.7

196

199.3

199.2

4.1−

731.6−

1054.1−

1244.6−

1333.4−

1354.8−

1353.7−

0.9−

193.3−

315.2−

416.8−

488.1−

522.8−

531.1−

0.5−

129−

234.7−

336.5−

415.9−

458.3−

469.6−

1.3−

155.2−

131.5−

42.2−

60.6

129.9

152

1.5−

266.7−

385−

455.4−

488.7−

497−

496.7−

0.9

157.5

227.4

268.9

288.5

293.4

293.2

1.6

325.7

531.1

702.3

822.5

880.8

894.9

0.3−

83.9−

152.7−

218.9−

270.6−

298.2−

305.5−

kNm=

Die Torsionsmomente ergeben sich an den Geschoßpunkten:

D101568.849−

390.023−

3166.964

0.684

42.245

0

3508.745

390.023

423.864−

0.684

kNm=

D94771.906−

60.427−

3179.441−

0.463−

197.354−

0

1407.594−

60.427

5558.651−

0.463−

kNm=

D86850.777−

711.783−

4995.535

1.293

111.566−

0

6992.889

711.783

4794.582−

1.293

kNm=

D71628.919−

769.614−

3128.432−

0.827−

188.804

0

2406.83−

769.614

2578.3−

0.827−

kNm=

D6631.74

396.844−

612.591

0.011−

159.76

0

367.067

396.844

799.766

0.011−

kNm=

D52411.301−

599.461−

4867.584

1.051

64.93

0

5392.896

599.461

651.474−

1.051

kNm=

D42832.13

35.863

1887.001

0.275

117.13

0

835.408

35.863−

3299.064

0.275

kNm=

D32237.125

1274.254−

3043.601

0.194

518.994

0

2124.177

1274.254

3123.477

0.194

kNm=

D24654.569−

483.601−

3394.076

0.879

75.8−

0

4751.123

483.601

3257.544−

0.879

kNm=

D12149.833

1015.73

4128.876

1.091

249.182−

0

3176.513

1015.73−

3402.817

1.091

kNm=Stab 1Stab 2

MηMξW1MnyMnx

Die Schnittkräfte an der Einspannstelle werden aus diesen Beanspruchungen (Wölbbimomente in kNm²):

Auch hier werden die mit der Quadratsummenformel zusammengefaßten Schnittkräfte angegeben:

Ge D4( )

3432.63

815.89

3440.34

0.87

233.1

0

3816.38

815.89

3009.02

0.87

kNm=

In der Decke 3. OG

Ge D3( )3432.63

815.89

3440.34

0.87

233.1

0

3816.38

815.89

3009.02

0.87

kNm=

In der Decke 2. OG

Ge D2( )4816.64

1083.56

4575.45

1.11

329.43

0

5136.86

1083.56

4212.78

1.11

kNm=

In der Decke 1. OG

Zu T( )

5.4

978.6

1438.9

1747.3

1928.5

2000.9

2013.5

kNm=Ge D1( )6804.69

1421.14

6500.89

1.51

448.9

0

7153.6

1421.14

6114.85

1.51

kNm=

In der EG Decke

Ge D( )10970.18

2159.2

10970.02

2.49

685.18

0

11665.22

2159.2

10227.84

2.49

kNm=

MηMξW1MnyMnx

An der Fundamentoberseite

Die Torsionsmomente in allen Geschossen werden:

Mit der Quadratsummenregel zusammengefaßt wird daraus:

Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen

Seite 30

Tel.: 0221/9636290 Fax: 0221/636090

3 4

2 1 6 5

Die Berechnung des Kernes ist mit einer Aufteilung der Schnittkräfte auf die geraden Querschnittsteile sinnvoll möglich. Diese Aufteilung wird durch eine Spannungsberechnung ausgeführt. Dies ist erforderlich, weil die Bernoulli – Hypothese (der Hypothese vom Ebenbleiben der Quer-schnitte) nicht erfüllt ist und somit die Bemessung nach den Regeln des Stahlbetonbaues nicht möglich ist (Sie setzt die Bernoulli – Hypothese voraus). Die mit 1γ vervielfachten Spannungen und Schnittkräfte sind:

In dem Stab 1 ergeben sich aus diesen Schnittkräften die folgenden Spannungen: Zusammengefaßt wird:

σL

50−

59−

21−

54

11

25−

52−

50−

55

39

69−

62−

45−

50−

18−

37

17

3−

23−

29−

29−

25

28

5

71−

73−

33

58

47−

57−

10−

11−

5−

7

6

2

38

45

16

41−

8−

19

77−

74−

81

57

101−

91−

39

49

48

42−

46−

8−

46−

48−

21

38

30−

37−

N

cm2= σzus

154.569

164.388

124.231

134.41

146.244

133.974

N

cm2=

Zur einfacheren Auswertung werden die Schnittkräfte in den einzelnen Querschnittsteilen bereitgestelltStab 1Normalkräfte

Ne

100.62−

675.07−

279.37

550.15

53.32−

94.79−

40.87

794.43

250.54−

489.81−

88.4−

574.56−

159.34

450.25

52.32

48.3−

486.27−

30.95−

443.85

121.43

133.52−

342.93−

768.22

97.66

389.56−

18.72−

133.83−

17

108.28

26.95

76.24

511.5

211.68−

416.84−

40.4

139.52−

60.15

1169.27

368.75−

720.93−

81.38

819.32

52.15

747.84−

204.61−

86.87−

223.12−

499.82

63.54

253.45−

kN= Ng

294.76

1464.853

1729.306

1288.201

1019.902

kN=

Biegemomente

Me

2.03

715.1−

1432.39−

823.14

135.24

0.37−

2006.91−

311.4

2039.77

24.45−

1.07

610.87−

1040.39−

385.83

71.58

1.28

3.48−

1020.99−

47.31−

85.18

0.6

2018.5−

481.6−

1990.34

39.81

0.22

101.62−

237.74−

32.34

14.79

1.54−

541.83

1085.31

623.69−

102.47−

0.54−

2953.84−

458.33

3002.22

35.99−

2.15−

5.86

1720.28

79.71

143.51−

0.39

1313.28−

313.34−

1294.97

25.9

kNm= Mg

3.86

4443.013

3001.247

4476.32

257.159

kNm=

Schubkräfte

SQ

0.12

42.18−

79.38−

50.31

7.68

0.02−

109.59−

16.18

112.07

1.2−

0.04

24.3−

48.9−

7.21

2.79

0.18

4.09

140.37−

5.12−

12.23

0.08

308.59−

62.26−

310.21

5.61

0.03

14.87−

38.17−

2.59

2.27

0.09−

31.96

60.14

38.12−

5.82−

0.03−

161.3−

23.82

164.94

1.77−

0.31−

6.9−

236.51

8.63

20.61−

0.05

200.78−

40.5−

201.83

3.65

kN=Qg

0.405

421.006

309.438

425.295

27.012

kN=

Aus den primären Torsionsmomenten werden die Querkräfte in den Rie-geln ermittelt:

Mit m

t

AM2

=T und über jeweils ein Geschoß wird: ∫=2

1

gm

gmR TdsQ

Je Erregung Zusammengefaßt:

QR

25.545

32.658

38.465

41.58

42.078

21.314

7.769

9.929

11.692

12.636

12.786

6.476

53.096−

67.749−

79.65−

85.968−

86.915−

44.011−

13.992−

20.313−

26.694−

31.438−

33.494−

17.244−

9.314−

15.155−

21.562−

26.77−

29.341−

15.235−

11.351−

8.318−

2.654−

3.825

8.219

4.881

19.356−

24.745−

29.145−

31.505−

31.882−

16.149−

11.434

14.614

17.209

18.599

18.819

9.532

23.576

34.226

44.978

52.971

56.434

29.054

6.06−

9.86−

14.029−

17.417−

19.09−

9.912−

kN= Zu QR( )

71.003

92.526

111.849

124.284

128.29

65.426

kN=

Beispiel: Mehrgeschossiger...

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Transcript of Beispiel: Mehrgeschossiger...