Beispiele für Schwingungen kontinuierlicher Systeme · LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT...

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baudynamik (Master) – SS 2017

Beispiele für Schwingungen kontinuierlicher Systeme

1



Beispiele: Erzwungene Stabschwingungen

2


2

1( , ) ( , ) ( , )L

u x t u x t n x tc

Homogene RB:

(0, ) 0( , ) ( , ) 0

u tN l t EAu l t

Inhomogene Dgl:

Erzwungene Stabschwingung

x 0( , ) cos( )n x t n t ( , )n x t

Beispiel 1: Streckenlast

3


),(),(),( txutxutxu ph

)sin()cos()(),(1

tDtCxUtxu iiiii

ih

)cos()(),( txUtxu pp

2

02p pL

U U nc

Gesamtlösung:

Homogene Lösung: Freie Schwingung

Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite


4


2

1 2 02( ) ( ) ( ) cos sin Lp ph pp

L L

cU x U x U x B x B x nc c

2

1 2 02( , ) cos sin cos( )Lp

L L

cu x t B x B x n tc c

(0, ) 0pu t

( , ) ( , ) 0p pN l t EAu l t

2

1 02LcB n

2

2 02 tanL

L

cB n xc

Randbedingungen:


5



2

02( , ) cos tan sin 1 cos( )Lp

L L L

cu x t n x l x tc c c

1

2

02

( , ) ( , ) ( , )

( ) cos( ) sin( )

cos tan sin 1 cos( )

h p

i i i i ii

L

L L L

u x t u x t u x t

U x C t D t

c n x l x tc c c

Gesamtlösung:

6


0

0

( ,0) ( )( ,0) ( )u x u xu x v x

010 0

010 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

j j

j

l l

i i p

l l

i i ji

C dx dx

d

U x U x

U x x

U x u x U x

D dU x vx xU x

Anpassung der Anfangsbedingungen:


01

01

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i pi

i i ii

CU x U x u x

D U x v x

Die noch unbekannten Konstanten Ci und Di können aus den Anfangs-bedingungen bestimmt werden.

7


0

0, ( ) ( )

,

l

i j

i jU x U x dx

g i j

00

00

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

l

i i p

l

i ii

C U x u x U x dxg

D U x v x dxg

Orthogonalitätsbedingung der Eigenfunktionen:


8


01 1

( ) ( ); ( ) ( )i i p i ii i

n x aU x U x bU x

010 0

)( ) )( (l l

i ii

j jU x Un aU xdx dxx

00

0 0

1 ( ) ( )l l

i i ina U x n dx U x dx

g g

Entwicklung nach Eigenfunktionen:


)cos()(),( txUtxu pp 2

02p pL

U U nc

Andere Möglichkeit für die Partikularlösung:

9



2

2 0ii i

L

U Uc

2

21 1

i i i i ii iL

b U U aUc

2 22

1 1

1i i i i i

i iL

b U aUc

2

2 2L

i ii

cb a

01

1

( )

( ) ( )

i ii

p i ii

n aU x

U x bU x

2

02p pL

U U nc

10


2

2 21

( , ) ( ) cos( )Lp i i

i i

cu x t aU x t

! bei Resonanz i


1

2

2 21

( , ) ( , ) ( , )

( ) cos( ) sin( )

( ) cos( )

h p

i i i i ii

Li i

i i

u x t u x t u x t

U x C t D t

c aU x t

Gesamtlösung:

11


0

0

( ,0) ( )( ,0) ( )u x u xu x v x

2

02 210 0

010 0

( ) ( )

(

( ) ( )

( ) () ( ))

l lL

i i ii

l l

i i i

j j

j j

dx dx

dx

U x U x

U x

cC a U x u x

D U x v xU dx x



2

02 21

01

( ) ( )

( ) ( )

Li i i

i i

i i ii

cC a U x u x

D U x v x


12


0

0, ( ) ( )

,

l

i j

i jU x U x dx

g i j

2

0 2 20

00

1 ( ) ( )

1 ( ) ( )

lL

i i ii

l

i ii

cC U x u x dx ag

D U x v x dxg



13


x)cos()( 0 tFtF

012

2

22

2

dtud

cdxud

L

Inhomogene RB:

)(),(),(0),0(

tFtluEAtlNtu

Homogene Dgl:


Beispiel 2: Einzellast

14


),(),(),( txutxutxu ph

)sin()cos()(),(1

tDtCxUtxu iiiii

ih

)cos()(),( txUtxu pp

02

2

2

2

pL

p Ucdx

Ud

Gesamtlösung:


Partikularlösung:


15


x

cBx

cBxU

LLp sincos)( 21

)cos(sincos),( 21 txc

Bxc

BtxuLL

p

0),0( tu

)(),(),( tFtluEAtlN

01 B

lcc

EA

FB

LL

cos

02

Randbedingungen:


16


)cos(sincos

),( 0 txc

lc

lc

EA

lFtxuL

LL

p


1

0

( , ) ( , ) ( , )

( ) cos( ) sin( )

+ sin cos( )cos

h p

i i i i ii

L

L L

u x t u x t u x t

U x C t D t

F l x tc

EA l lc c

Gesamtlösung:

17


0

0

( ,0) ( )( ,0) ( )u x u xu x v x

010 0

010 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

j j

j

l l

i i p

l l

i i ji

C dx dx

d

U x U x

U x x

U x u x U x

D dU x vx xU x



01

01

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i pi

i i ii

CU x U x u x

D U x v x


18


0

0, ( ) ( )

,

l

i j

i jU x U x dx

g i j

00

00

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

l

i i p

l

i ii

C U x u x U x dxg

D U x v x dxg



19



Beispiele: Erzwungene Balkenschwingungen

20


Erzwungene Balkenschwingung

21

( , ) ( ) cos( )p x t p x t

Beispiel 1: Streckenlast

),(),(),( txwtxwtxw ph

)sin()cos()(),(1

tDtCxWtxw iiiii

ih

)cos()(),( txWtxw pp

Gesamtlösung:



*( , ) ( ) cos( )IVEIw Aw p x t p x t Differentialgleichung:


2 *( )IVp pEIW A W p x

)()( );()(11

* xWqxWxWpxpi

iipi

ii

l

ji

ii

l

j dxxWxWpdxxpxW0 10

* )()()()(

dxxpxWg

pl

ii 0

* )()(1



22



2 0IVi i iEIW A W

2

1 1

IVi i i i i

i i

q EIW A W pW

11

22

iii

iiii WpWAq

22

i

ii A

pq

2 *( )IVp pEIW A W p x

)()(

)()(

1

1

*

xWqxW

xWpxp

iiip

iii

23


1

22 )cos()(),(i

ii

ip txW

Aptxw

! bei Resonanz i


1

2 21

( , ) ( , ) ( , )

( ) cos( ) sin( )

( ) cos( )

h p

i i i i ii

ii

i i

w x t w x t w x t

W x C t D t

p W x tA

Gesamtlösung:

24


0

0

( ,0) ( )( ,0) ( )w x w xw x v x

02 210 0

010 0

( ) ( )( ) ( )

( ) (( ) ) ( )

l li

i ii

l l

i i i

j j

j j

pC W x w xW x W x

W

dx dxA

D W x dx dxvx W x x



02 21

01

( ) ( )

( ) ( )

ii i

i i

i i ii

pC W x w xA

D W x v x


25


0

0, ( ) ( )

,

l

i j

i jW x W x dx

g i j

0 2 20

00

1 ( ) ( )

1 ( ) ( )

li

i ii

l

i ii

pC W x w x dxg A

D W x v x dxg



26



27

0, 0( ) ( ),

0

a

a e

e

x xp x p x x x x

x x l

Die Lösung vom Beispiel 1 kann vollständig übernommen werden!Hierbei ist aber:

Beispiel 2: Teilstreckenlast

* *

0 0

*

1 1( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

1 = ( ) ( )

a e

a e

e

a

x xl l

i i ix x

x

ix

p W x p x dx dx W x p x dx dxg g

W x p x dxg

( , ) ( ) cos( )p x t p x t

ax ex



28

Beispiel 3: Einzellast

( )

( , ) ( ) ( / 2) ( / 2)cos( )p x

p x t F t x l F x l t

Dirac-Delta-Funktion:

Darstellung der Einzellast als Streckenlast:

( ) cos( )F t F t / 2l / 2l

0,( )

0,x a

x ax a

( ) 1x a dx

( ) ( ) ( )f x x a dx f a

Siebeigenschaft



29

( ) ( / 2)p x F x l kann die Lösung vom Beispiel 1 vollständig übernommen werden! Esmuss lediglich nur pi bestimmt werden.

2

0 0( ) ( ) sin

2l l

i ii lg W x W x dx x dxl

Mit

* *

0 0

* * *

0

1 1( ) ( ) ( ) ( / 2)

( ) ( / 2) ( / 2) sin2

l l

i i i

l

i i

p W x p x dx W x F x l dxg g

F F F iW x x l dx W lg g g

*2 sin2i

F ipl


Inhomogene RB:(0, ) 0, (0, ) 0( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( )

w t w tM l t EIw l t Q l t EIw l t F t

Homogene Dgl:


Beispiel 4: Randlast

x

( ) cos( )F t F t l

0IVEIw Aw

30


( , ) ( , ) ( , )h pw x t w x t w x t

1

( , ) ( ) cos( ) sin( )h i i i i ii

w x t W x C t D t

( , ) ( ) cos( )p pw x t W x t

Gesamtlösung:


Partikularlösung:


2 0IVp pEIw A w

4 0IVp pw w 4 A

EI

31


1 2 3 4( ) cos sin cosh sinhpW x B x B x B x B x

(0, ) 0w t

( , ) Fw l tEI

1 3 0B B Randbedingungen:


1 2

3 4

( , ) cos sin

cosh sinh cospw x t B x B x

B x B x t

(0, ) 0w t 2 4 0B B

( , ) 0w l t 1 2 3 4cos sin cosh sinh 0B l B l B l B l

1 2 3 4 3sin cos sinh cosh FB l B l B l B lEI

32


1 3 3

2 4 3

sin( ) sinh( )2 1 cos( ) cosh( )

cos( ) cosh( )2 1 cos( )cosh( )

F l lB BEI l lF l lB BEI l l

Daraus folgt:


1

( , ) ( , ) ( , )

( ) cos( ) sin( )

( ) cos

h p

i i i i ii

p

w x t w x t w x t

W x C t D t

W x t

Gesamtlösung:

33


0

0

( ,0) ( )( ,0) ( )w x w xw x v x

010 0

010 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

j j

j

l l

i i p

l l

i i ji

C dx dx

d

W x W x

W x x

W x w x W x

D dW x vx xW x



01

01

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i pi

i i ii

CW x W x w x

D W x v x


34


0

0, ( ) ( )

,

l

i j

i jW x W x dx

g i j

00

00

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

l

i i p

l

i ii

C W x w x W x dxg

D W x v x dxg



35



Beispiele: Erzwungene Plattenschwingungen

36


Erzwungene Plattenschwingung

*

( , , ) ( , ) cos( )K w hw p x y t

p x y t

),,(),,(),,( tyxwtyxwtyxw ph

1 1

)sin()cos(),(),,(i j

ijijijijijh tDtCyxWtyxw

)cos(),(),,( tyxWtyxw pp

Gesamtlösung:



Beispiel 1: Vollflächenlast( , , )p x y t x

y a

b

37



1 11 1

* ),(),( ;),(),(i j

ijijpi j

ijij yxWqyxWyxWpyxp

a b

kli

ijijj

a b

kl dxdyyxWyxWpdxdyyxpyxW0 0 1 10 0

* ),(),(),(),(

dxdyyxpyxWg

pb

ij

a

ij 0

*

0

),(),(1


),(*2 yxpWhWK pp

38


2 0ij ij ijK W h W

1 11 1

2

i jijij

i jijijij WpWhWKq

1 11 1

22

i jijij

i jijijij WpWhq

22

ij

ijij h

pq

),(*2 yxpWhWK pp

1 1

1 1

*

),(),(

),(),(

i jijijp

i jijij

yxWqyxW

yxWpyxp


39



1 1

22 )cos(),(),,(i j

ijij

ijp tyxW

hp

tyxw

! bei Resonanz ij

1 1

2 21 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , ) cos( ) sin( )

( , ) cos( )

h p

ij ij ij ij iji j

ijij

i j ij

w x y t w x y t w x y t

W x y C t D t

pW x y t

h

Gesamtlösung:

40


0

0

( , ,0) ( , )( , ,0) ( , )w x y w x yw x y v x y

02 21 1

01 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

ijij ij

i j ij

ij ij iji j

pC W x y w x y

h

D W x y v x y

02 210 0 0 0

010 0 0 0

( , ) ( , )

( , ) ( ,

( , ) ( , )

( , ))) ( ,

kl kl

kl kl

b a b aij

ij ijij

b a b a

ij ij ij

dxdy dxdy

dxdy

pC W x y w x y

h

D W x y v x y dxdy

W x y W x y

W x y W x y



Die noch unbekannten Konstanten Cij und Dij können aus den Anfangs-bedingungen bestimmt werden.

41



0 0

0, , ( , ) ( , )

, ,

b a

ij kl

i k j lW x y W x y dxdy

g i k j l

0 2 20 0

00 0

1 ( , ) ( , )

1 ( , ) ( , )

b aij

ij ijij

b a

ij ijij

pC W x y w x y dxdy

g h

D W x y v x y dxdyg


42



Beispiel 2: Teilflächenlast

x

y a

( , , )p x y t

bax ex

ay

ey0, 0 ;0 ,

( , ) ( , ), ; ,0 ;

a a

a e a e

e e

x x y yp x y p x y x x x y y y

x x a y y b


*1 ( , ) ( , )e e

a a

y x

ij ijy x

p W x y p x y dxdyg

43



Beispiel 3: Einzellastx

y a

( ) cos( )F t F t

b( / 2, / 2)a b ( , ) ( / 2) ( / 2)p x y F x a y b


*

0 0

*

0 0

1 ( , ) ( , )

1 ( , ) ( / 2) ( / 2)

( / 2, / 2)

b a

ij ij

b a

ij

ij

p W x y p x y dxdyg

W x y F x a y b dxdyg

F W a bg

44



2 2

( , ) sin sin

ij

ij

i ja b

i x j yW x ya b

Bei allseitiger gelenkiger Lagerung: siehe freie Plattenschwingungen!

( / 2, / 2) sin sin2 2iji jW a b

2 2

0 0

sin sin2 2 4

b a i j a b abg x y dxdya b

45

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