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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baudynamik (Master) – SS 2017

Beispiele: Ungedämpfte freie Schwingungen

1


Ungedämpfte freie Schwingungen

Beispiel 1: Eigenfrequenzen und Eigenformen

1m2m

1 2 1, 2 2m m m m m

Steifigkeitsmatrix:2 5

=5 167

k

K3

48EIkl

Massenmatrix: 1

2

0 0=

0 0 2m m

m m

M

K w + M w 0Schwingungsgleichungen:

Lösungsansatz: cos t w A

2



2

2

2

2 57 7=

5 16 27 7

k km

k k m

K - M

2- K M A 0

2 2 4 2 2det( )=14 20 0m km k K - M

21,2

10 8614

km

2 21 2

10 86 10 860,519 , 1,376714 14

k k k km m m m

3


Herleitung der Schwingungsgleichungen

Zu jeder Eigenfrequenz gehört ein Eigenvektor:

1 1

2 2

AA

11

2

10,327

aa

A

Die beiden Komponenten eines Eigenvektors können nicht eindeutig bestimmtwerden, da sie nicht unabhängig voneinander sind. Eine Komponente davon kannzu 1 normiert werden. Die andere Komponente kann dann aus einer der beidenSchwingungsgleichungen bestimmt werden.

2

1 2 1 1 2 21

2 5z. B.: = 1 aus der 1. Gl.: 0 0,3277 7k ka a m a a a

1. Eigenvektor

4



Analog für 2 2 : A

2. Eigenvektor12

2

11,528

aa

A

10,327 1

1,528

2. Eigenform1. Eigenform

5



Beispiel 2: Normierung und Orthogonalität der Eigenvektoren1m2m

Massennormierung: 1 0=

0 2m

MT1 1T2 2

1,2143

5,6683

m

m

A MA

A MA

Angabe siehe Beispiel 1!

Ingenieurnormierung: 1 0,3271

A 2 1,5281

A

1 11M T

1 1

2 22M T

2 2

0,90751=0, 29701, 2143

0,42001=0,64205,6683

m m

m m

A AAA MA

A AAA MA

6



Orthogonalität:

Hausaufgaben:

1) Bestimmen Sie die steifigkeitsnormierten Eigenvektoren

2) Überprüfen Sie die Orthogonalität der steifigkeitsnormiertenEigenvektoren:

1 2TM M

1M 1T

M

0

1

A MA

A MA2 1T

M M

2M 2T

M

0

1

A MA

A MA

1K 2K, .A A

1 2TK K

1K 1T

K

0

1

A KA

A KA2 1T

K K

2K 2T

K

0

1

A KA

A KA

7



Beispiel 3: Modalmatrix1m2m Angabe siehe Beispiel 2!

Modalmatrix:

1M 2M

0,9075 0, 42001 1= , =0, 2970 0,6420m m

A A

1M 2M

0,9075 0,42001 0,2970 0,6420m

A A

2T T 1

22

1 0 0,

0 1 0

I ω

M K

8



Beispiel 4: Freiheitsgrade

Anzahl der Freiheitsgrade = 3 Anzahl der Massen = 2!

1m

2m

EA

1m

2m

EA


1m

2m

EA


• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleich der Anzahl der Massen.

• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme (dehnstarr, dehnbar, etc.).

• Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von der statischen Unbestimmtheit undder geometrischen Unbestimmtheit.

9



Beispiel 5: Lösung ungedämpfter freier Schwingung1m2m Am Ende des Kragträgers wird eine wirkende Kraft F

plötzlich entfernt. Danach schwingt der Träger frei.

Sonstige Angaben: Siehe Beispiel 1!

3

1 10

3

2 20

(0)35(0)48

Flw wEIFlw wEI

1w2w

F

1 10

2 20

(0) 0(0) 0

w vw v

Anfangsbedingungen:

10


1 1M 1 2 2M 2 0

1 1M 1 1 2 2M 2 2 0

(0) cos cos(0) sin ( ) sin ( )

c cc c

w = A A ww = A A v 0

Aus den Anfangsbedingungen:

1 2Die 2. Gleichung ist automatisch erfüllt, falls 0!

1 1M 2 2M 0c c A A w

T T T1M 1M 1M

1 0

1 1M 2 2M 0c c A M A M A MA A w

T3

1 01M 0,364 Flc mEI

MwA

Lösungsweg 1: Konventionelle Methode

1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )c t c t w = A A


11


3

1M 1 2M 2( ) 0,364 cos 0,006 cos Flt m t m tEI

w = A A

Einsetzten der 4 Konstanten liefert:

Analog:T

3

2 02M 0,006 Flc mEI

MwA


12



Lösungsweg 2: Modaltransformation

w = q

2 q q 0

21 1 1

22 2 2

0

0

q q

q q

1 1 1 1 2 2 2 2cos , cosq b t q b t

Die 4 Konstanten können aus den 4 Anfangsbedingungen bestimmtwerden.

13



Anfangsbedingungen:

w = q -1

1 T T 1 T ( ) q = w = Mw M I = M

31 T

02

0,3640,006

b Flmb EI

= Mw

1 1 1 1 T0

2 2 2 2

(0) sin 0(0)

(0) sin 0q bq b

q = Mw

1 2Die 2. Gleichung ist automatisch erfüllt, falls 0!

1 1 1 T0

2 2 2

(0) cos(0)

(0) cosq bq b

q = = Mw

14



311

22

0,364cos( )0,006cos( )

tq t Flmtq t EI

q =

11M 2M 1M 1 2M 2

2

3

1M 1 2M 2

= 0,364 cos 0,006 cos

qq q

q

Flt t mEI

w = q A A A A

A A

Bemerkung:

Die Anpassung an die Anfangsbedingungen kann auch nach der Rücktrans-formation durchgeführt werden!

11M 2M 1M 1 2M 2

2

1 1M 1 1 2 2M 2 2

= cos cos

qq q

q

b t b t

w = q A A A A

A A

0

0

(0)(0)

w ww v 1 2 1 2, , ,b b

15



Beispiel 6: Rayleigh-Verfahren für diskretes System1m2m Bestimmung der 1. Eigenfrequenz mit dem Rayleigh-

Verfahren.

Angaben: Siehe Beispiel 1!

3

1

3

2

3548

FlwEIFlwEI

1w2w

F

Rayleigh-Quotient:T

2T

A KAA MA

Statische Biegelinie:

2

1

516

ww

15

16

A

16



T12 5 1 15155 16 0 07 16 16 16 16

16

k k k k

KA A KA

T1 1 11 0 51 1,19535 5 50 2 16

16 8 8m m m m

MA A MA

T2

T

/16 0,05231,1953k k

m m

A KAA MA

Zum Vergleich: Ergebnis aus dem Zweimassenschwinger

21 0,0519 k

m

17



, ,EI l M

Beispiel 7: Rayleigh-Verfahren für kontinuierliches System

Bestimmung der 1. Eigenfrequenz mit dem Rayleigh-Verfahren.

Massenbelegung: Mml

Rayleigh-Quotient:

2

2 02

0

( )

( )

l

l

EI W x dx

m W x dx

Biegelinie: 2( )W x ax Die geometrischen (wesentlichen)RB sind erfüllt:

(0) 0(0) 0

WW

18



2 22

0 052 2

2 2

0 0

( ) 2 4

( )5

l l

l l

EI W x dx EI a dx EI a l

lm W x dx m ax dx m a

22

2 02 2 5 4

0

( ) 4 20/ 5( )

l

l

EI W x dx EI a l EIma l mlm W x dx

Zum Vergleich: Exaktes Ergebnis

21 412,39 EI

ml

19



, ,EI l M

Beispiel 8: Ritz-Verfahren für kontinuierliches System

Bestimmung der Eigenfrequenzen mit dem Ritz-Verfahren.

Biegelinie:

1 2

2 3

1 1 2 2 1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x

x xW x a x a x a al l

Die geometrischen (wesentlichen)RB sind erfüllt:

(0) 0

(0) 0

W

W

20



1 22 3

2( ) , ( ) 6 xx xl l

11 1 1 30

12 1 2 30

21 12 3

22 2 2 30

( ) ( ) 4

( ) ( ) 6

6

( ) ( ) 12

l

l

l

EIk EI x x dxlEIk EI x x dxl

EIk kl

EIk EI x x dxl

11 1 10

12 1 20

21 12

22 2 20

1( ) ( )51( ) ( )6

16

1( ) ( )7

l

l

l

m m x x dx ml

m m x x dx ml

m m ml

m m x x dx ml

21



3

4 6 1/ 5 1/ 6,

6 12 1/ 6 1/ 7EI mll

K M

2- K M a 0 2Det - 0 K M

2 2 24 4 4 21 1 -0,9714EI 12 035 36

ml ml EI

2 21 24 412,480 , 1211,5195EI EI

ml ml

Zum Vergleich: Exaktes Ergebnis

2 21 24 412,39 , 484EI EI

ml ml

22



12

113

2

4 6 1/ 5 1/ 6 06 12 1/ 6 1/ 7 0

aEI mll a

21- K M a 0

Eigenvektoren:

1 :

2 21 1 23 3

1 14 1 6 05 6

EI EIml ml al l

2 0,384a 2 3

1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 1 0,384x xW x a x a xl l

23



12

123

2

4 6 1/ 5 1/ 6 06 12 1/ 6 1/ 7 0

aEI mll a

21- K M a 0

Analog:

2 :

2 1,216a 2 3

2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 1 1,216x xW x a x a xl l

1. Eigenform 2. Eigenform2 ( )W x

1( )W x

24

UNIVERSITÄT SIEGEN

21

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK


Diskret(1 Masse)

Diskret(2 Massen)

Rayleigh(diskret)

Rayleigh(kontinu.)

Ritz(kontinu.)

Exakt

2,45 3,16 3,17 4,47 3,53 3,52

16,26 34,81 22,0

4

EIml

/ 2l, ,EI l M

/ 2l

mm

/ 4l, ,EI l M

/ 4l/ 4l/ 4l

mm 2m

Vergleich:

Einmassenschwinger: Zweimassenschwinger:22 M mM m m

l l

44 M mM m ml l

Bemerkung:

Falls die i-te Eigenfrequenz zu bestimmen ist, dann immer i+1 Terme im Ritz-Ansatz verwenden!

25



Beispiel: Gedämpfte freie Schwingungen

26


Gedämpfte freie Schwingungen

Beispiel 9: Gedämpfte freie Schwingungen

1m2m1 2 1, 2 2m m m m m

Angaben: Wie im Bsp. 1!

Jetzt aber mit Dämpfung:

1 2 0,05 5%D D

w = q

21 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2

2 0

2 0

q D q q

q D q q

1 21 1 1 1 2 2 2 2cos , cost t

d dq c e t q c e t

Lösung: mit der Modaltransformation

Einmassenschwinger!

27



2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 , 1 , , d dD D D D Mit:

Die 4 Konstanten können aus den 4 Anfangsbedingungen bestimmtwerden.

Anfangsbedingungen:

w = q -1

1 T T 1 T ( ) q = w = Mw M I = M

1 1 1 1 11 T0

2 2 2 2 22

sin cos(0) 0(0)

sin cos(0) 0d

d

cqcq

q = = Mw

1 1 1 T0

2 2 2

(0) cos(0)

(0) cosq cq c

q = = Mw

28



Aus der 2. Gleichung:

1 11 2

1 1

2 22 2

2 2

tan1

tan1

d

d

DDDD

1 2 2,87

31 1 T

02 2

cos 0,364cos 0,006

c Flmc EI

= Mw

Aus der 1. Gleichung:

31

2

0,3640,006

c Flmc EI

=

29



1

2

3

1 1

3

2 2

0,364 cos 2,87

0,006 cos 2,87

td

td

Flq e t mEIFlq e t mEI

11M 2M 1M 1 2M 2

2

qq q

q

w q A A A A

1 2

3

1M 1 2M 20,364 cos 2,87 0,006 cos 2,87t td d

Fle t e t mEI

w A A

30



1 2

1 2

1 2

3

1M 1 2M 20 0

3

1M 1 2M 2

0,364 cos 2,87 0,006 cos 2,87

= 0,364 cos 0,006 cos

t td d

t t

Fle t e t mEI

Flt t meE

eI

w A A

A A

Näherung:

Vergleich mit der ungedämpften freien Schwingung:

3

1M 1 2M 2= 0,364 cos 0,006 cos Flt t mEI

w A A

31



Beispiel: Ungedämpfte erzwungene Schwingungen

32


Ungedämpfte erzwungene Schwingungen

Beispiel 10: Ungedämpfte erzwungene Schwingung

1 2 1, 2 2m m m m m

Erregerkräfte:

Lösung:

*1 1

*2 2

cos( )

cos( )

F F t

F F t

* *1 1 1

* *2 2 2

cos( )cos( ) cos( )

cos( )F F t F

t tF F t F

*F F

Gesamtlösung: h p w w w

Homogene Lösung: siehe Bsp. 5!

Anfangsbedingungen: 0(0) , (0)=w w w 0

1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )h c t c t w = A A

1m2m 1F2F

33



1.) Direkte Methode

2 * *-

dyn

p K

K M w F

Partikularlösung:

* cos(p p tw = w

* 1 *p dyn

w K F

p p Kw Mw F

2

2

2

2 57 7=

5 16 27 7

dyn

k km

k k m

K K - M

2

1

2

16 5217 7

5 27 7

dyn

k km

k k m

K

34



det dyn = K

2

12 2 2 2

21 2

16 521 7 7

5 27 7

dyn

k km

k k m

K

Da 0 (siehe Bsp. 5!): =

2 2 2 21 2

2*

* 1 * 1*2 2 2 2

2 21 2

16 521 7 7

5 27 7

p dyn

k km Fk k Fm

w = K F

35



Gesamtlösung:

Anfangsbedingungen:

*1 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( ) cosh p pc t c t t w w w = A A w

0(0) :w w *1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) pc c A A w w

*1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) pc c A A w w

(0) :w 0 1 1 1M 1 2 2 2M 2sin( ) sin( )c c A A 0

1 2 0

36



Aus der 1. AB:

T T T1M 1M 1M

*1 1M 2 2M 0

1 0

pc c A M A M AA A wM w

*1 1M 2 2M 0 pc c A A w w

T1M

*1 0 pc A M w w

Analog: T2M

*2 0 pc A M w w

Nachteil der direkten Methode:Man muss immer die inverse dynamische Steifigkeitsmatrix bilden, was beigroßen Matrizen recht schwierig ist!

37



2.) Modaltransformation

2 T1 1 1 1M

2 T2 2 2 2M

p p

p p

q q

q q

A F

A F

Partikularlösung:

p pw = q

( ) cos( )p t t q q

T *1 1M2 2

1

T *2 2M2 2

2

1

1

q

q

A F

A F

38



T *1 1 1M2 2

1

T *2 2 2M2 2

2

1cos cos

1cos cos

p

p

q q t t

q q t t

F

F

A F

A F

2T T T

1M 1M 2M 2M iM iM2 2 2 2 2 211 2

1 1 1p

i i

w F F F

1 2 1 2Bestimmung der Konstanten , , und :c c

Wie bei der direkten Methode zuvor!39



Beispiel: Gedämpfte erzwungene Schwingungen

40


Gedämpfte erzwungene Schwingungen

Beispiel 11: Gedämpfte erzwungene Schwingung

1 2 1, 2 2m m m m m

Erregerkräfte:

Lösung:

*1 1

*2 2

cos( )

cos( )

F F t

F F t

* *1 1 1

* *2 2 2

cos( )cos( ) cos( )

cos( )F F t F

t tF F t F

*F F

Die direkte Methode ist komplizierter in diesem Fall, da sie die Lösung derkomplizierten Eigenwertgleichung benötigt! Die Modaltransformation ist hierbeidagegen einfacher wegen der Annahme der modalen Dämpfung.

Anfangsbedingungen: 0 0(0) , (0)=w w w v

1m2m 1F2F

1 2 0,05 5%D D Modale Dämpfung:

41



Gesamtlösung:h p w w w

Homogene Lösung: siehe Bsp. 9!

1 21 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( )t t

h d dc e t c e t w = A A

Partikularlösung: Modaltransformationp pw = q

2 T1 1 1 1M

2 T2 2 2 2

1 1 1

M2 2 2

2

2p pp

ppp

q q

q q

D q

D q

A F

A F

Einmassenschwinger!

42



T *1 1 1M 12

1

T *2 2 2M 22

2

1 cos

1 cos

p

p

q V t

q V t

A F

A F

1 11 2

1

2 22 2

2

2tan12tan1

D

D

1 221 1 1

2 222 2 2

1

1 4

1

1 4

VD

VD

1 21 2

,

11M 2M 1M 1 2M 2

2

T * T *1 21M 1M 1 2M 2M 2

1 22

T *iM iM

1

cos cos

cos

pp p p p

p

ii

i i

qq q

q

V Vt t

V t

w q

F F

F

43



Gesamtlösung:

Anfangsbedingungen:

0(0) :w w0

1 1M 1 2 2M 2 0cos( ) cos( ) (0)p

pc c w

A A w w

1 1M 1 2 2M 2 0 0cos( ) cos( ) pc c A A w w

1 21 1M 1 1 2 2M 2 2cos( ) cos( ) ( )t t

h p d d pc e t c e t t w w w A A w

T1 1 1M 0 0 1

T2 2 2M 0 0 2

cos( )

cos( )

p

p

c f

c f

A M w w

A M w wvgl. Bsp. 10! (I)

44



0(0) :w v

1 1

2 2

1 1M 1 1 1 1 1 1

2 2M 2 2 2 2 2 2

T * T *1 21M 1M 1 2M 2M 2

1 2

( )

( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

sin sin

p

t th p d d d

t td d d

t

t c e t e t

c e t e t

V Vt t

w

w w w A

A

F F

0

1 1M 1 1 1 1

2 2M 2 2 2 2

T * T *1 1 1M 1M 1 2 2 2M 2M 2 0

(0) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

sin sinp

d

d

c

c

V V

v

w A

A

F F v

45



1 1M 1 1 1 1 2 2M 2 2 2 2 0 0cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) pc c A A v v

1M

2M

T1 1 1 1 1 0 0

T2 2 2 2 2 0 0

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

p

p

c

c

A M v v

A M v v(II)

1 2 1 2(I) und (II) bilden 4 Gleichungen für 4 Unbekannten , , und !c c

1M

2M

T T1 1M 0 0 1 1 1 0 0

T T2 2M 0 0 2 2 2 0 0

sin( )

sin( )

p d p

p d p

c

c

A M w w A M v v

A M w w A M v v

(I) in (II) eingesetzt:

46



(III)

1M

2M

T T1 1 0 0 1 1M 0 0 1

1

T T2 2 0 0 2 2M 0 0 2

2

1sin( )

1sin( )

p pd

p pd

c g

c g

A M v v A M w w

A M v v A M w w

(I)2 + (II)2: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

cos ( ) sin ( )

cos ( ) sin ( )

c c f g

c c f g

2 21 1 1

2 22 2 2

c f g

c f g

47



11

1

22

2

tan( )

tan( )

gfgf

(III) / (I):

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Beispiele: Ungedämpfte freie Schwingungen · LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN...

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