Bemessungswerkzeug für zwangsbeanspruchte dünne ...

Bemessungswerkzeug für zwangsbeanspruchte dünne Sohlplatten im

Betriebszustand

Prof. Dr.-Ing. Erhard Gunkler Dipl.-Ing. Alice Becke

Detmold, September 2002

Bemessung von dünnen Sohlplatten Seite 2


1 Einführung in die Aufgabenstellung

Die Bemessung von Sohlplatten für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zur Beschränkung der Rissbreite gehört zu den üblichen Aufgaben in der Baupraxis. Vor dem Hintergrund zunehmenden Kostendruckes kommt hierbei der wirtschaftlichen Bemessung eine besondere Bedeutung zu. Erhebliche Bewehrungseinsparungen gegenüber Berechnungen mit vereinfachten Rechenannahmen sind möglich, wenn im Lastfall „Zwang“ die rechnerische Zwangsschnittgröße kleiner ist als die Riss-schnittgröße. Zur Bestimmung der Zwangsschnittgröße ist die Kenntnis von Verfor-mungsgrößen erforderlich, die von der Interaktion zwischen Bauwerk und Untergrund abhängen. Diese wurden im vorliegenden Beitrag aus der Literatur entnommen und sind im Anhang zu diesem Beitrag unter [A1] bis [A6] zusammengestellt. Hier wird ein Bemessungswerkzeug vorgestellt, das modular in sechs Einzelschritten eine wirtschaftliche Rissbreitenbeschränkung auf der Grundlage von DIN 1045-1 (07/2001) gestattet. Im Folgenden werden die Rechengrundlagen bewusst kurz angegeben und an-schließend das modulare Bemessungswerkzeug vorgestellt. Ein Bemessungsbeispiel gestattet eine schnelle Einarbeitung.

2 Berechnungsgrundlagen

2.1 Ursachen der Betonverformungen (Schritt 1) Ursachen für Betonverformungen sind u.a. Hydratationswärmeabfluss, Kriechen, Re-laxation, Schwinden sowie meteorologische Einwirkungen. Für den hier betrachteten Betriebszustand werden nur Schwindverformungen und meteorologische Einwirkun-gen berücksichtigt, die als hygrothermische Verformungen bezeichnet werden. Zur Ermittlung der Schwindverformungen muss sowohl die Betonfestigkeitsklasse also auch die Zementart und die relative Luftfeuchte bekannt sein ([A1] und [A2]). Zur vereinfachten Erfassung der meteorologischen Einflüsse wird für Mitteleuropa ein Anhaltswert von 30 K als zentrischen Zwang auslösende mittlere Temperatur ange-geben [3]. Dieser Wert liegt jedoch weit auf der „sicheren“ Seite und ergibt zum Teil zu große Verformungen. Zur genaueren Bestimmung der meteorologischen Einflüsse wird die Anwendung des Diagramms in Bild 1 empfohlen.



Bild 1: Temperaturverläufe in Bodenplatten in Abhängigkeit von der Bauteildicke [2] Die Entstehung hygrothermischer Verformungen in ihrer vollen Höhe wird durch an-grenzende Bauteile und, besonders bei Bodenplatten, durch den Untergrund behin-dert. Die Höhe der Verformungsbehinderung wird durch den Behinderungsgrad k rechnerisch berücksichtigt (siehe Abs. 2.3)

2.2 Äußere Lasten (Schritt 2)

Äußere Lasten wie Eigengewicht, Verkehrslast, Wasserfüllung u.a. werden als Gebrauchslasten berücksichtigt. Sie beeinflussen die Höhe des Behinderungsgrades der Sohlplatte.

2.3 Verformungsbehinderung (Schritt 3)

Hier werden ausschließlich auf PE-Folien gelagerte Bodenplatten (Bild 2) behandelt. Für „dünne Sohlplatten“ ist auch seine Anwendung für Lagerung auf Kiestragschicht oder Unterbeton möglich. Davon abweichende Lagerungsbedingungen (viskose Gleitschichten sowie Pfahlstützungen oder gegliederten Unterseiten von Bodenplat-ten) müssen gesondert untersucht werden [3]. Bild 2: prinzipieller Aufbau der betrachteten Bodenplatten



Die Interaktion zwischen Bodenplatte und Untergrund wird über den Reibungskoeffi-zienten µ erfasst. Die Größe des Reibungskoeffizienten kann für Standardanwen-dungen [A6] entnommen werden. Damit wird ein resultierender Behinderungsgrad kres und die maßgebende Dehnung für die Sohlplatten ermittelt.

2.4 Rissbreitenbegrenzung nach DIN 1045-1 (Schritt 4 bis 6)

Zunächst ist die rechnerische Zwangsschnittkraft

Fzwang = kres ⋅ εew ⋅ ESo ⋅ Act (Gl. 1)

zu bestimmen (Schritt 4). Diese ist mit der Risskraft Fcr zu vergleichen. Ist Fzwang grö-ßer als Fcr ist die rissbreitenbegrenzende Mindestbewehrung nach DIN 1045-1 zu berechnen aus

(Gl. 2) Hierin gehen u.a. die wirksame Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt (fct,eff) sowie die zulässige Stahlspannung σs der Bewehrung in Abhängigkeit vom Grenzdurchmesser ein [A5]. Abweichend von Gl. 2 darf nach DIN 1045-1, Abschn. 11.2.2. (2) für Stahlbetonbau-teile und bei Bauteilen mit Vorspannung ohne Verbund die Mindestbewehrung nach der Gleichung (Gl. 3) bestimmt werden, wenn Fzwang < Fcr ist. Die Anforderungen an die Rissbreitenbe-grenzung sind zu berücksichtigen.

s

cteff,ctcS

AfkkA

σ⋅⋅⋅

=

S

zwangs

FA

σ=



3 Bemessungswerkzeug Schritt 1: Dehnungen infolge lastunabhängiger Einwirkungen

Schritt 2: Vertikale Spannungen

Schritt 3: Berücksichtigung der Lagerungsbedingungen (nach Sommer [3])



Schritt 4: Bestimmung der zentrischen Zwangskraft

Schritt 5: Ermittlung der zentrischen Risskraft



Schritt 6: Rissbreitenbeschränkung nach DIN 1045-1



[A1] Bestimmung der Schrumpfdehnung εcas∞ nach Bild 20, DIN 1045-1 zum Zeitpunkt t = ∞ für Normalbeton

[A2] Bestimmung der Trockenschwinddehnung εcds∞ nach Bild 21, DIN 1045-1 zum Zeitpunkt t = ∞ für Normalbeton



[A3] Betonfestigkeitsklassen und Festigkeitswerte Auszug aus Tabelle 9, DIN 1045-1

C 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105 100/115 fck 16 20 25 30 35 40 45 50 55 50 70 80 90 100

fct,m 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2

Ecm 27400 28800 30500 31900 33300 34500 35700 36800 37800 38800 40600 42300 43800 45200

[A4] Grenzdurchmesser ds* in mm und rechnerische Rissbreite wk gemäß DIN 1045-1 für Betonrippenstählen

Grenzdurchmesser der Stäbe in mm in Abhängigkeit vom Rechenwert der Rissbreite wk

Stahlspannung σs N/mm²

wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 160 56 42 28 200 36 28 18 240 25 19 13 280 18 14 9 320 14 11 7 360 11 8 6 400 9 7 5 450 7 5 4



[A5] Mittlere Bodenkenngrößen für Vorentwürfe [4]

Bodenart Steifemodul ES [MN/m²] nichtbindige Böden Sand, locker, rund 20 bis 50 Sand, locker, eckig 40 bis 80 Sand, mitteldicht, rund 50 bis 100 Sand, mitteldicht, eckig 80 bis 150 Sand, dicht, eckig 150 bis 250 Kies ohne Sand 100 bis 200 Naturschotter, scharfkantig 150 bis 300 bindige Böden Ton, halbfest 5 bis 10 Ton, schwer knetbar, steif 2 bis 5 Ton, leicht knetbar, weich 1 bis 2,5 Geschiebemergel, fest 30 bis 100 Lehm, halbfest 5 bis 20 Lehm, weich 4 bis 8 Schluff 3 bis 10 Klei, org., tonarm, weich 2 bis 5 Klei, stark org., tonreich, weich 0,5 bis 3 Torf 0,4 bis 1 Torf unter mäßiger Vorbelastung 0,8 bis 2



[A6] Reibungskoeffizienten µ nach [3] Anwendung von PE-Folien Reibungsuntersuchungen an Gleitfolien haben zu folgenden Ergebnissen geführt: - zweilagige PE-Baufolien besitzen auf flügelgeglättetem Unterbeton einen Rei-

bungskoeffizienten der Größenordung µ = 0,5 ÷ 0,75 (Bild A6.1) - kaschierte und geschmierte Gleitfolien setzen den Reibungskoeffizienten herab;

ihre Wirksamkeit ist sehr an die Randbedingungen geknüpft; Versuche ergaben Ergebnisse zwischen µ = 0,4 ÷ 0,55

Bild A6.1: Reibungsverhalten von handels-üblichen Bau- und Gleitfolien in Abhängig-keit vom Verschiebungsweg

Bodenplatten auf Kiesbett und Unterbeton Der Reibungskoeffizient zwischen Erdreich und rauer Betonfläche liegt bei geringer vertikaler Belastung bzw. dünnen Sohlplatten (d < 1 m) wesentlich über dem inneren Reibungswinkel von Sand (ϕ = 33°). Werte für den Reibungskoeffizienten siehe Bild A6.2

Bild A6.2: maximaler Reibungskoeffizient von Sohlplatten auf nichtbindigem Boden in Abhängigkeit von der Sohlplattendicke (bzw. vertikaler Vorbelastung)

Detailliertere Informationen zu den Lagerungsbedingungen von Sohlplatten siehe [3].



4 Beispiel Bemessen werden soll eine 60 m lange und 50 cm dicke Betonplatte für den Be-triebszustand. Die Platte soll auch im Betriebszustand frei bewittert werden. Der Rissbreitennachweis wird für eine Rissbreite von wk = 0,2 mm geführt.

Vorgaben:

Beton C 40 / 50: Druckfestigkeit fck = 40 MN/m² Zugfestigkeit fctm = 3,5 MN/m² E-Modul Ecm = 34500 MN/m² Wärmeausdehnungskoeffizient αT = 1,1 ⋅ 10-5 1/K Abmessungen der Platte: Länge l = 60 m Breite b = 40 m Dicke h = 0,50 m Zementart: CEM ΙΙΙ / A 32,5 Belastung: Verkehrslast q = 30,0 kN/m² Eigengewicht γ = 25,0 kN/m³ Baufolie: PE-Folie 2 × 0,2 mm Erdreich: Kies ohne Sand Es ≈ 150 MN/m² Anwendung des Bemessungsalgorithmus

1. Schritt: Ermittlung der lastunabhängigen Einwirkungen

Schwinden: ⇒ Schrumpfdehnung εcas∞ Anwendung Bild 20, DIN 1045-1 [A1] (fck = 40 MN/m², Zement 32,5)

Ablesung: εcas∞ = -0,11 ‰



⇒ Trockenschwindmaß εcds∞ Anwendung Bild 21, DIN 1045-1 [A2]

Gesamtschwindmaß: εcs∞ = 0,11 + 0,14 ‰ = 0,25 ‰ meteorologische Einwirkung: ϑm = 30 K (Übernahme des Vorschlages) Temperaturdehnung: εT = ϑm ⋅ αT = 30 ⋅ 1,1 ⋅ 10-5 = 0,33 ‰

Gesamtdehnung aus lastunabhängigen Einwirkungen: εew = 0,25 + 0,33 = 0,58 ‰

2. Schritt: Ermittlung der vertikalen Spannungen aus äußeren Lasten

Eigengewicht: gd = 0,5 ⋅ 25,0 = 12,5 kN/m² Verkehrslast: qd = 3,0 ⋅ 10,0 = 30,0 kN/m² σV = 42,5 kN/m²

3. Schritt: Berücksichtigung der Lagerungsbedingungen

Lagerung auf PE-Folie: µ ≈ 0,6 (vorsichtige Annahme nach [A6])

a) Bestimmung des Behinderungsgrades für elastische Kopplung:

( ) ( )115,0

1500,6025,001)5,034500(1

1

El25,0EA1EA1

1k

ErSoUBSo

.elast =

⋅⋅+⋅⋅+

=

⋅⋅+⋅+

=

b) Behinderungsgrad bei Entkopplung von Sohlplatte und Boden:

1076,058,01

3450050,0105,42

2606,01

Edlk 3

3

ewSoSo

v ≤=⋅⋅⋅⋅⋅=

ε⋅

⋅σ⋅⋅µ= −

−

µµ

c) Entfernung von Plattenmitte, von der an ein Gleiten der Sohle zu erwarten ist

( ) m25,147,05,0345001058,08115,0

²0,60105,426,0EA8k

²lx 3

3

Soew.elast

Sovres =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

ψ⋅⋅ε⋅⋅⋅σ⋅µ= −

−

xres = 14,25 m < 60 / 2 = 30 m → es tritt eine teilweise Entkopplung der Sohl-platte auf

Ablesung: εcds∞ = -0,14 ‰

wirksame Bauteildicke: h0 = 2 ⋅ A / u A = 0,50 ⋅ 1,0 = 0,50 m² u = 1,0 m (nur Oberseite) h0 = 2 ⋅ 0,5 / 1,0 = 1,0 m = 1000 mm relative Luftfeuchte: RH = 80 %



d) Berechnung eines resultierenden Verformungsbehinderungsgrades:

095,0076,00,605,0

25,140,605,0115,00,605,0

25,14

kl5,0

xl5,0kl5,0

xkSo

resSo.elast

So

resres

=⋅⋅−⋅+⋅

⋅=

⋅⋅−⋅+⋅

⋅= µ

4. Schritt: Bestimmung der zentrischen Zwangskraft in Plattenmitte

σzwang = kres ⋅ εew ⋅ Eso = 0,095 ⋅ 0,58 ⋅ 10-3 ⋅ 34500 = 1,901 MN/m² Fzwang = σzwang ⋅ Act = 2,461 ⋅ (0,5 ⋅ 1,0) = 0,950 MN

5. Schritt: Ermittlung der zentrischen Risskraft

Fcr = kc ⋅ k ⋅ fct,m ⋅ Act mit: kc = 1,0 k = 0,8 - 0,3 ⋅ 0,2 / 0,5 = 0,68 fct,m = 3,5 MN/m² Act = 0,5 m² Fcr = 1,0 ⋅ 0,68 ⋅ 3,5 ⋅ 0,5 = 1,190 MN > Fzwang erforderliche Bewehrung kann für die kleinere Zwangskraft ermittelt werden!!

6. Schritt: Rissbreitenbeschränkung nach DIN 1045-1

Bemessung der Bewehrung zur Rissbreitenbeschränkung für die Zwangskraft

s

zwangs

FA.erf

σ=

Bestimmung des Vergleichsdurchmessers: für Stabdurchmesser 10 mm ( )

seff,ct

0,ct

eff,ct

0,ct

tcs

*s d

ff

ff

hkkdh4dd ⋅≤⋅⋅⋅−⋅⋅=

( ) 105,30,3

5,30,3

25068,00,14450410d*

s ⋅≤⋅⋅⋅−⋅⋅=

mm6,8105,30,3mm1,12

5,30,312,14d*

s =⋅≤=⋅=

⇒ Ablesen der Stahlspannung aus [A4]: σs = 280 N/mm² Grenzdurchmesser der Stäbe in mm in Abhängigkeit vom

Rechenwert der Rissbreite wk Stahlspannung

σs N/mm² wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm

160 56 42 28 200 36 28 18 240 25 19 13 280 18 14 9 320 14 11 7 360 11 8 6 400 9 7 5 450 7 5 4

erf. As = 0,95 / 280 = 33,93 ⋅ 10-4 m²/m = 33,9cm²/m



5 Literatur

[1] „DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton – Teil 1: Bemes-sung und Konstruktion“, Juli 2001

[2] „Betonbau beim Umgang mit wassergefährdenden Stoffen“, DAfStb-Richtlinie; Entwurf Juni 1996

[3] „Wasserundurchlässige Becken und Behälter in Stahlbeton“, Dissertation Rolf Sommer; Essen 1993

[4] „Grundbau 1: Bodenmechanik und erdstatische Berechnungen“, Konrad Simmer; 19. Auflage Stuttgart 1994

[5] „Rissbreitenbegrenzung von Sohlplattenkonstruktionen aus Stahlbeton“, Diplom Michael Fischer; Detmold 2001

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